Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (128)

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Resolución:
Según el enunciado del problema: 
ln(2p) = 3ln(p) ^ 2p = p̂
Además: log(4p) = klog(p)
=> 4p = p'' => p“ ■ ' = 4
Como p > O => p" = 2 A ' = 2̂
^ p' ’ = (p2)2 = ^ k - 1 = 4 k = 5
15. Determinar cuáles de los enunciados son verda­
deros:
I. log^a" = 2loga, v a O
II. Six'°®’ = 10^ entonces xG {10 '^ 10']
III. Si 2'°®̂ = p, entonces: p = -/x 
Resolución:
I. log2â = 2log2|a| 9= 2loga (F)
I I . x'“'” = 10 ̂ ^ log{x*°̂ )̂ = log 10̂
^ (logx)(logx) = 4 =:• (logx)" = 4 
= logx = 2 V logx = -2
X, = 10̂ V X2 = 10 " (V)
III. 2'"̂ ’̂ = p =» 2''̂ 2̂'' = p
- / í = p (V)
Por lo tanto, son verdaderos: II y Ili
16. Sea: A = {x e ZZ / log„3( 11 - |x|) > -2 } 
calcular el cardinal (A).
Resolución:
A - [ x & ZZ/log„3(11 - | x | ) > - 2 }
De la inecuación:
1 1 - | x | > O A 1 1 - j x | < ( 1 ) '
^ jx) < 11 A )x)>2 ^ 2< |x) < 11 
^ -11 < X < -2 V 2 < X 11 
Luego: A = z n {( -11 ; -2 ] u [2:11 )}
A = {-10; -9 ; ...; -2 ; 2; 3; 10} .-. n(A) = 18
17. Si O < a® < a®, determinar el conjunto solución de 
la inecuación: log^síx - 1)" < loga2[(x - 1)̂ /3 - x]
Resolución:
O <" a® < a*̂ => O < < â
=> a > O A â - a" < O = a"(a - 1 ) < O 
= ^ a > 0 A a - 1 < 0 = > 0 < a < 1 
De: loga3(x ~ 1)" < iog32[(x - 1)̂ J3 - x ]
= > l o g a ( x - 1 ) ^ ' ^ < - l o g a i ( x - 1 ) ^ / 3 - X 
^ (x - 1)"' ̂ > J (x - 1 ) ^ / 3 ^ > O
= ( X - 1 ) " - - / ( x -1 ) ^ ( Í ”- x ) > O
- ( x - 1 ) ^ - > ( x - 1 ) ^ ( 3 - x ) > 0 
= » ( X - 1)'(x - 1 + X - 3 ) > 0 A (X - 1 )'(3 -X )x o 
^ ( X - 1)(2x - 4) > o A ( x - 1 ) ( x - 3 ) < 0 
=• (x • : 1 V x 2) A (1 < X < 3)
^ 2 < x : 3 e s = ( 2 ; 3 )
18. Al resolver la inecuación logaritmica:
JiogzO* - 1) < 1. se obtiene como conjunto solu­
ción [log^b; c), hallar: a -t- b + c
Resolución:
V l o g 2 ( 3 * - 1 ) ^ 1 O < l o g 2 ( 3 ' - 1 ) < 1 
= 3 ‘ - 1 > A 2° < 3"^ - 1 < 2 ’
« 3 ” > 1 A 2 < 3 ’ < 3
= » X O A l o g , 2 < x ^ 1
logj2 < X < 1 X G [log32; 1 >
= e s = [ l o g 32; 1 ) = [ l o g . b ; c )
D e d o n d e ; a = 3 a b = 2 a c = 1 
. - . a -H b + c = 6
1 9 . S i A = ( a ; b ) e s e l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e :
( 3 - l n x ) ( x - 5 ) ' O , h a l l a r : T = a b
Resolución:
a b > O = > ( a • O a b :■ 0 ) v ( a < . O a b < 0 ) 
( 3 - ! n x ) ( x - 5 ) > O
=» ( 3 - I n x O A X - 5 > 0 ) V ( 3 - I n x O a X - 5 < 0 )
= ( I n x 3 A X - 5 ) A ( 3 <■ I n x a x < 5 )
= . ( O < x < e ^ A X 5 ) V ( e ^ < X A X < 5 )
« 5 < ~ x < e ^ V x e 0 = - 5 < x < e ^
L u e g o : A = ( 5 ; e ^ ) = ( a ; b )
= > a = 5 A b = e ’ . - . a b = 5 e ^
20. D e t e r m i n a r e l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e l a i n e c u a c i ó n ; 
l o g ^ i x - V 2 x - 3 < O , d o n d e " a " s a t i s f a c e l a c o n d i ­
c i ó n : | 2 a " + 4 a - 3 | < 3
Resolución:
l o g a - / x - / 2 x - 3 < O 
D e ; | 2 a " + 4 a - 3 | < 3 
- 3 < 2 a ^ + 4 a - 3 < 3 = . O < a "
1 K ( a + 1 ) ^ 3 A c o m o a > O
= > 1 < . a + 1 < 2 = > 0 < a < 1
L u e g o : l o g ^ - Z x - - / 2 x - 3 < 0
^ x -V 2 x -3 > a° = 1 
x - ^ 2 x -3 > 1 ^ X - 1 > ^ x - 3 
2x - 3 > O A ( X - 1 )" > 2x - 3 
A x' - 4x + 4 > Ox > 3x _ 2
-I
es =
A ( X - 2)' > O == X > I
21 . Resolver: log2(4 
Resolución:
log2(4’ - 2-) < 1
T) < 1
O < 4‘ - 2' < 2’
O <. 4’ - 2 ' A 4' - 2‘ < 2
2' < 2"‘ A (2')^ - (2‘) - 2 < O
X ^ 2x A (2‘ - 2)(2“̂ + 1) < O
O < X A 2' - 2 < O
0 < x A 2’ < 2 = > 0 < x A x < 1
O 1 e s = (0; 1)
2 2 . Resolver la ecuación logaritmica:
log,8 -I- log,(log,^</2) - 3
Resolución:
log,8 + log.(log.W) = 3
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log.{8 X log,2/2) = 3 ® log,^/2® =
- - x’ ̂ ^ 2̂ = ix'^)'
^4‘ = ix^f' ^ - 4 .■. X = ^/4
23. Resolver:
log.T(^3̂ ^ ) - lo g i , . ^ ( x + 2) > iog,,,4
Resolución:
7 -3 x
x + 2 > 0 a x + 2 > 0 a
'° 9 '5 ( x + 2 ) ' - - 2
= > 7 - 3 x > 0 a x + 2 ' > 0 a log ,'2 {7 - 3 x ) > - 2 
=» X < -^ a X - 2 a 7 - 3 x > /2
=> - 2 < x < ^ A 7 -3 x :> -^
^ - 2 < X < I A ^ > 3x
=» - 2 < x < ^ A X < ^ = _ 2 < x < ^ o b b
es = ^ - 2 ; ^
24. Halle el conjunto solución de:
jín(ex) + /lñ(x/e) / .̂ 2
/ln{ex) - /ln(x/e)
Resoiución:
Por propiedad de proporciones:
/Ín(ex) (/2 + 1)"+1 4 + 2/2
■/Íñ(x/e) (/2 + l f - 1 2 + 2/2
/K iiÓ /2(2/2 + 2) ^
/ln(x/e) 2 + 2/2
Al cuadrado: 7̂ ^ = 2ln(x/e)
= 2 = lnx=3 = x = e'Inx - 1 
.•• es = {e }̂
„2*e^
25. Resuelva la ecuación: x®'"’ - - ^ - r - = O, e indique
ê ®
su raíz de menor valor.
Resoiución:
= O
ln(e'") = ln(x'^®'-®'"^)
2e = (2 + e’ - einx) Inx. 
e(lnx)^ - (2 + e^)lnx + 2e = O 
e(lnx) -2
Inx — ------ -
=> Inx = — V Inx = e e
=> X, = e V X2 = e
.'. La menor es; ê '®
Pues: - < e =? ê '® < e® e
26. Si log,2l 8 = a y 1092464 = p, halle el valor de:
E = ap + 5(a - p) = 1:
Resolución:
l o g , 2l 8 = a A 1092464 = p
logaos ^ 109354 ^
(09312 “ log324 ^
_ 1093(2x3^) ^ 1093(2x3^) _
1093(2^x3) 1093(2^x3)
log,2 + 2 ^ J 2 9 ¿ ± 1
2109,2 + 1 310932 + 1 '
= '“ 9’2 = | ^ - '“ 9 = 2 = 1 ^
2 - a _ 3 - p
2a - 1 3p - 1
= . ( 2 - a ) ( 3 ß - 1 ) = ( 3 - p ) { 2 a - 1 )
=> 6p — 3ap + a — 2 = 6a — 2aP + p — 3
= aß + 5(a - p) - 1 = O
27. Resolver: = 27''
Resolución:
J4'098^]9'”S?'2-' — 27 ’ = _ 2 7 '
2
(4'°943''̂ )b‘='9,9-2“ ^ 33. ^ (35)®' '̂ = 3 '̂
^ 3 X 2 ^ ^ = 3 x X = 2^'* - /̂4
28. Si lo9g2 = a; determine 1093472 en función de “a". 
Resolución:
10962 = a
Inn 72 ^ - 109 6 (6 ^ x 2 )
loge24-log,(6x2^)
1092472= 2 + log«2 ^ 2 + a _ a + 2
1 + 2 logg2 1 + 2a 2a + 1
29. Determine el valor de: E = logat,/^ ]; si se cumple 
que: l09a(,a = 4 '
Resolución;
log,,a = 4 A l0Q3,{ab) = 1 
= log,t,a + log,^b = 1 =» l09at,b = -3
E - ^ loQab'/^ - log,,/b
E = |loga,a - i lo g 3,b 
^ E = l ( 4 ) - I ( - 3 ) = | + f . - . E = : ^
30. Simplificar;
A = log^,5 /5 - logs^^yg lo9(.3^,,(4 + 2/3)
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Resolución:
A = - l o g 5 , j - / 5 + l o g , . 3 _ , , ( 4 + 2 / 3 )
A = ( l o g - f s M ^ - 1 + l o g . j , , ( / 3 + 1 )^
A -
3 1 . H a l l a r l a s u m a d e l a s r a í c e s d e l a e c u a c i ó n :
1 - h 2 i o g x - l o g ( x + 2 ) = O
Resolución:
1 + 2 l o g x - l o g { x + 2 ) = l o g l O + l o g x ^ = l o g ( x + 2 ) 
I o g 1 0 x ‘ = t o g ( x + 2 )
^ 10x ' - x + 2
P o r l o t a n t o , r e s o l v i e n d o r e s u l t a : x = 1 / 2
3 2 . H a l l a r e l v a l o r d e x d i f e r e n t e d e l a u n i d a d q u e s a t i s ­
f a c e l a e c u a c i ó n ; l o g x ' = ( l o g x ) "
Resolución:
( l o g x ) ^ = l o g x " = 2 l o g x . d e d o n d e : ( l o g x ) " - 2 l o g x = O
L u e g o : ) o g x ( i o g x - 2 ) = O ,
[ l o g x = O = » X = 1
[ l o g x = 2 ^ X = 1 0 0
X = 100
R e s u l t a :
3 3 . H a l l a r e l c o l o g a r i t m o e n b a s e 1 0 d e / Í Ó . 
Resolución:
c o l o g / T O - - l o g / T O = - 1/2
3 4 . S i e l l o g a r i t m o d e l n ú m e r o “ e " v a l e 0 , 4 3 4 2 9 4 , h a l l a r 
c u á n t o v a l e e l l o g a r i t m o n a t u r a l d e 1000.
Resolución:
P o r d a t o , s e t i e n e : l o g e = 0 , 4 3 4 2 9 4
l o g J O O O = I n l O O O - ^ ^ ^ g
l o g e 0 , 4 3 4 2 9 4
3 5 . H a l l a r x y z . s i : l o g 3x ’ = - 2 ; l o g , 1 6 = / y , l o g ^ S = 2 / 3 
Resolución:
S i : l o g ^ x " = - 2 = • x " = 3 ^ ^ X = 3 ’ ’ 
l o g 4l 6 = / y ^ 2 = l y = > y = 4 
l o g , 9 = 2 / 3 =» z ' ' = 9 z = 2 7 
x y z = 3 6
3 6 . S i s e s a b e q u e : l o g j j X = 4 , h a l l a r : l o g j X 
Resolución:
S a b e m o s q u e : log^x = lo g „x / log^,a 
D e d o n d e te n e m o s q u e : I o Q i^ x = 109^x109^,3 
. - . lO Q s X = l o g 2 7 X l o g ,2 7 = 4 l o g 3 3 ' * = 12
3 7 . H a l l a r X , s i : l o g o X l o g j b = 3 
Resolución:
P a s a n d o a b a s e 1 0
= 3 ^ = 3
l o g b l o g 5 ^ l o g 5
logjX = 3 X = 125
38. Si; log2 = 0,301, determinar: log[antilog(colog2)] 
R e s o lu c ió n :
De la definición de log y antilog, se tiene; 
log[antiiog(colog2)] = colog2 = -íog2 = -0,301
39. Determinar x en: (8 - = 7 
R e s o lu c ió n :
Por propiedad: = n''̂ ^™
la ecuación se convierte en: = 7
=» 8 - x = 16 X = -8
40. Hallar para que valor de “m" se cumple que;
log„(m'")"’'” = (m")™ ^
R e s o lu c ió n :
Por propiedad; m™(mlog„m) m""” '* 
Simplificando tenemos: m"" ' ' = m̂™ " “
Por bases iguales: m -i- 1 = 2m - 4 
m = 5
41. Hallar X, si: log[log(logx)j = O
R e s o lu c ió n ;
Se sabe que: logi = O 
^ log[log(logx)] = logi
Aplicando el antilogahtmo, se tiene; log(logx) = 1 
Así mismo se tiene que; loglO = 1 
=> log(logx) = loglO
Por el antilogaritmo tenemos: logx =10 => 10 “̂ = x
.-. X = (100)*
42. Hallar x, en la siguiente expresión:
logx = 31og6 - 21og3 + 3log2 - 3log4
R e s o lu c ió n ;
Por propiedad;
logx = Ioq6 ̂ - logS" -1- log2^ - log4^
- logx - log (l^ ) + log(|^
- logx = lo g ( |^ x ^ )
l o g x = l o g
X = 3
2 ^ X 3 ^ x 2 ^ 
3 " X 2 ^ x 2 ^
l o g x = l o g 3
43. R e s o l v e r : = x ”
R esolución:
D e l a e c u a c i ó n : ( 2 5 6 ) ' ° ® ' ’ * = ( x * ) “ ’
Por propiedad: = x'“
1094256 = x " = > 10944“ = x “ 4 = x ' “ x =
44. S i ; a n t i l o g ^ s e X = 6 2 5 , h a l l a r X, s a b i e n d o q u e ; 1 0 9 3 = p 
R esolución:
2 5 6 ' = 6 2 5 ^ 4 " ’ = 5 " ^ 4 ' = 5
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= » l o g 4 ‘ = l o g S = l o g 2 ^ ’ = l o g ( l 0 / 2 )
P o r p r o p i e d a d :
2x l o g 2 = 1 - l o g 2 =» 2x p = 1 - p
1 - p X = — -í- 
2p
45. H a l l a r x e n l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n : l o g i „ g ^ , , ¿ ¡ 3 2 = 5 
Resolución.’
A p l i c a n d o l a d e f i n i c i ó n : [ l o g ^ í x - 2)f = 3 2 
- - l o g , ( x ~ 2) - 2
P o r d e f i n i c i ó n : 7̂ = x - 2 
X = 5 1
46. D e t e r m i n a r e l v a l o r d e :
\w = log{amilog4l(lo925 + 2) - 1]} 
Resolución:
Si e f e c t u a m o s p o r p a r t e s : 
l o g ^ S + 2 = l o g 25 + l o g 24 = I o g 220 
R e e m p l a z a n d o : w = I o g [ a n t i l o g 4( l o g 220 - 1 ) 1 
E f e c t u a m o s :
log;;20 - 1 = Iog220 - log22 = iog2l0 
w l o g f a n t i i o g ^ í l o g j I O ) ] 
w = I o g [ a n t i l o g 4( l o g 4l 00) ] = w = l o g l O O 
w = 2
47. H a l l a r x : l o g , , . d ( x + 5 ) = 2 
Resolución:
P o r d e f i n i c i ó n : ( x - 1 ) ^ = x + 5 
^ x ^ - 2 x + 1 = x + 5 = > = x ^ - 3 x - 4 = 0 
= ( x - 4 ) { x + 1 ) = 0 = > x = 4 v x = - 1 
S e d e s c a r t a e l v a l o r ( - 1 ) p o r q u e l a b a s e n o p u e d e 
s e r n e g a t i v a .
. - . x = 4
48. R e s o l v e r : E = + 310934-2 ^ 510̂56 • 2
Resolución:
R e c o r d e m o s l a p r o p i e d a d ; = m 
D e s a r r o l l a n d o c a d a s u m a n d o :
210923 - 2 ^ 2 '° 3 2 3 X 2 ^ = 3 X 4 = 1 2 
310934 - 2 ^ 3io«34 X 32 = 4 X 9 = 3 6 
510̂56*2 ^ 5̂ 956 X 5 ‘ = 6 X 2 5 = 1 5 0
R e e m p l a z a n d o l o s v a l o r e s e n E :
E = 1 2 + 3 6 + 1 5 0 • • . E = 1 9 8
49. H a l l a r l a b a s e d e l l o g a n t m o p a r a l a c u a l d e b e c u m ­
p l i r s e : l o g . í x “ ) ” ’ ' = ( x ^ ) “ ’ ^
Resolución:
P o r d e f i n i c i ó n : ^ = ( x ' ) ' " x * ^ ‘ ”* = x ' " ’
P o r b a s e s i g u a l e s s e t i e n e ; 2 x - 4 = x - h 1 
x = 5
50. Si: lo g ,(x -2 ) = 3 ...(1)
l o g 2 ( 3 m - 5 ) = 4 . . . ( 2)
c a S c u l a r , x - m
Resolución;
Aplicando la definición;
De (1): 5' = (X - 2) 125 = x - 2 m = 127
De (2); 2‘ = 3 m - 5 ^ 16 = 3 m -5 = » m = 7
.-. X - m = 120
51. Determine el conjunto solución de la siguiente 
inecuación: log2{2* - 2)log,,2(2‘ '* ’ - 4) > -2
Resolución;
2’ - 2 ■> O A 2“ ’ - 4 - > O
2 ’ > 2 ’ A 2 ' ^ ’ X 2^ = X > 1 . . . ( a )
De la inecuación:
log2(2’ - 2)[-log22(2- - 2)] > -2
- 1092(2- - 2)1092(2(2 ' - 2)3 < 2
^ {1092(2- - 2)](1 + log3(2- - 2)] < 2
^ 10922(2- - 2) +tog2(2- - 2) - 2 < O
^ [log2(2‘ - 2) +2][log2(2- - 2) - 1] < O
= -2 < 1092(2- - 2) < 1
^ 2’ ̂ < 2- - 2 < 2' ^ ^ < 2' < 4 4
Tomando logaritmos en base 2: fo92̂ -| < x < 2
Intersecando con (a): log2(9/4) < x < 2 
es = (1092(9/4): 2)
52 . Hallar x, en la ecuación: - 27x = O
Resolución:
Dando forma en el corchete:
, 2 2
_ ^ 3 ^ 4*86̂ — 33
Reemplazando:
1 g,s''>Q2J¿
(3=) = 27" ^ 27®^" = 27-
^ 9 '“s„2 = X ^ X = 2'°«^’ ^ ' ^ X = 2̂'̂
X = 2/4
5 3 . ¿Cuántos ceros, entre la coma decimal y la prime­
ra cifra significativa, tiene el número 0,006“ ? 
Datos: log2 = 0,301030 y log3 = 0,477121
Resolución;
Sea: N = 0,006®“ =
10̂
=» logN = 60(log6 - Iog10^)
=» logN = 60(log2 + log3 - 3) = 60(- 2,221849) 
^ logN = -133,31094 
logN = -134 + 0,68906.-. 133 
característica
54. Hallar el conjunto solución de la inecuación; 
1093(3 - 4x| > 2
Resolución:
1093(3 - 4x1 > 2 ...(1)
3 - 4x ^ O « X 3/4 
|3 - 4x| 9
3 - 4x < -9 V 3 - 4x 9
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