Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina-5

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30. Si p, q, r, s, t, u y w son proposiciones lógicas tal 
que: p » (q ^ r) es falsa, q «»(p » t) es falsa, indi­
car el valor de verdad de las siguientes proposicio­
nes, es:
I. ~ tA { r = w) II. qv (~ r«* u )
lll.t=»(s Ar)
Resolución;
Si: p » (q r) es F » p es V y q » r es F
Entonces: p es V; q es V y r es F 
q « (p => t) es F.
Entonces p =* t es F y como p es V 
Entonces t es F
I. ~ t A (r=> w) = V A (F =» w)
= V A (V) = V
II. q V ( ~ r « u) = V V (~r*=» u) = V
III. t ^ (sAr) = F ^ (sAr) = V V W
31. Se sabe que x es un conjunto tal que; x g P(A). 
Para todo conjunto A. Determinar cuáles de las si­
guientes afinmaciones son verdaderas:
I. x n x = x, V A II. x - A = x , VA
l l l . ( A - x ) u ( x - A ) = A . VA
Resolución:
X e P(A), VA =» x c A
I. x n x = x. VA (V)
II. x - A = x , VA (F)
Como x c A = » x - A = 0
III. ( A - x ) u (X - A ) = A (F)
Es igual a: A - x
VFF
32. Sea el conjunto A = {0;1; {1}; {0;1}; {0 } } y las 
siguientes proposiciones;
I. { l l e A II. {0:1} eA
IM . Í D c A I V { 0 ; { 1 } } c A
V { { 0 } } c A
Determinar el número de proposiciones verda­
deras.
Resolución;
A - { 0 ; 1 : { 1 } ; { 0 : 1 } ; { 0 »
I. { 1 } g A (V)
II. {0:1} e A (V)
III. { 1 } c A (V)
IV. { 0 ; { 1 } } c A (V), puesOeAA {1} eA.
V. { { 0 } } c A (V), pues {0 } g A
.'. Las 5 son verdaderas
33. Sean los conjuntos A = {{1; {1}} ; { 0 }}, y 
B = {{1>: 4; 0 }. Hallar el valorde verdad de las 
siguientes proposiciones:
I. ín(P(A)}eB
II. A n B $ A, entonces (ji ^ P(A) n B
III. ( 1 } e A , si y solo si A - B e P(A)
IV. {{1}¡ 0 }e P (B )
Resolución:
A = {{1: {1} } ; { 0 } }
B = { { 1 } ; 4 ; 0 }
n(A) = 2 ^ n(P(A)) = 2 ̂= 4
I. ín(P(A))} = { 4 } e B (F) 
pues: {4 } c B
II. A n B í A » 0 ^ P ( A ) n B
F; pues: A n B = 0 c A 
Luego, la proposición es (V)
III. { 1 } e A « A - B e P(A)
F V, pues; A - B = A
Luego, la proposidón es (F)
IV. {{1} ; 0 } e P(B); V, pues {{1}; 0 } c B 
.-. FVFV
34. Indicar el valor de verdad de cada una de las pro­
posiciones:
I. V x e IR, X* e E
II. v x G ® , V y eE : x ' 'em
III. VxEiR, 3 y E ( S /x ’ E(&
Resolución:
I. V X e IR: x* e E (F), 
pues: ( - 0,5)"®® í E
II. V x e ® , v y eE: x ^ e E (F)
■j \-0.S
pues: ? E
lll. v x e E : 3 y e®/x^e® (F), 
pues; x* € ®, V y € ®
.-. FFF
35. Sea A={ xeE/x <1 «x>0} yB = {xeZ/{x*/16)eA>, 
halle el número de elementos de B.
Resoiución:
A = { x e E / x < 1 * » x > 0 }
p q = (p A q) V (~p A ~q)
x < 1 » x > 0 = (x< 1 A X > 0 ) V ( X > 1 A X < 0 ) =
= x < l A x > 0 = x e ( 0 ; 1 )
A = (0; 1); B = { x e Z / x V l 6 e A }
^ O < xVl6 < 1 =» O < x^< 16 
« B = { - 3 ; - 2 ; -1 ;0 ; 1;2;3}
.-. n(B) = 7
36. Sea el conjunto A = {3; 5; {2; 8}}, halle el valorde 
verdad de cada una de las proposiciortes:
I. 3 x e P ( A ) / 2 e x
II. 3 x e P ( A ) / { 2 ; 8 } c x
III. 3 x g P(A)/{{<|)}}c x
IV. 3 X € P(A)/{3} c X
Resolución:
A = { 3 ; 5; {2; 8}}
I. 3 x e P ( A ) / 2 e x (F)
No hay un subconjunto x c A, de modo que: 2 e x.
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ti 3 xeP (A ) / { 2 ;8 } 1 c x(F)
{2:8} e A =» {2:8} O i x c A
III. 3 x e P ( A ) / { { 0 } } C x (F) 
pues { 0 } í A.
IV. 3 X € P(A)/ {3 } c X (V)
Pues: 3 eA A {3 } c {3: 5} c A 
FFFV
37. Si el valor de verdad de la siguiente proposición;
(r u s) ^ [(p n -s ) => (p n ~ q ) ] es falso, hatiar el 
valor de verdad de las proposiciones:
I. (p n ~ q ) r II. q n (~p u ~s)
l l l .(~p=>r)u~s
Resolución:
(*3) (*1) (*2)
(r V s) ® [(p A ~s) ® (p A ~ q )]
V V V F
V________ F
De (*1)
De(*2) 
De (*3)
PesV 
• ~ s es V = 
~ q es F = 
r V s = V; 
i i 
V F
Luego tenemos:
I) ( p A ~ q ) « r 
V F V
8 es F 
q es V 
res V
II) q A ( ~ p A ~ s )
V V ~V
V V
(F)
lll) ( ~ p « r ) v
(V)
V
(V)
38. Simpliflcar ta siguiente proposición: 
t = {(~p V q) V [(p =» q) A r]} A q
Resolución:
Sabemos que: p ^ q = ~p v q 
t = {(~p V q) V t(~p V q) A r]} A q
Absorción
t = ( - P V q) A q 
t = q A (q V ~p) => t = q
Absorción
39. Se definen las operaciones:
p *q = - . p « . ^ q A p # q = ~ p A q 
Simplificar:
[ ( ~p ) * q ]# [ ( -q )# p ]
Resolución:
~ p * q = p )= » ^ q = p = ,- ,q = ^ p u ~ q = ~ ( p n q )
- q # p = ~<~<i) n p = q n p = p n q
Entonces:
[(~p) * q] # [(~q) # p] = [~(p n q)] # Ip n qj 
= (p n q) n (p n q)
= p n q
40. Sabiendo que:
p q p o q
V V V
V F V
F V F
F F V
y si [(p o q) o r] o s, es falso
Hallar los valores de verdad de;
l )p=«r i D s ^ r l l l )~p«»q
Resolución:
De la tabla de verdad: 
p o q, es Falso « p es F a q es V 
[(p o q) o r ] o s es falso
p es F
F V q es V 
res V 
s es V
V
. S o r
V
~ p « q
V « V
V
41 . Aque es igual: {(p ^ q) A [(p ^ q) v r]} a q 
Resolución:
Í(P q) A [{p =9 q) V r]} A q: Absorción 
A q; Condicional 
A q: Conmutativa 
A q; Conmutativa 
Absorción
(P=>q)
í~pv q)
(q V ~p)
q A (q V ~p);
42 . Simplificar el esquema: {(~p vq) v [ (p^q) A r ] } A q 
Resolución:
Se sabe que: p » q = ~p v q:
Con lo cual: {(~p v q) v [(~p v q) a r ] } a q 
Absorción
Luego se tendrá:
( - p v q ) A q : (qv~p)Aq : q A ( q v ~ p ) = q
Conmutativa Conmutativa Absorción
43. Simplificar la siguiente proposición;
~ r~ (p A ~q) =*. p] V q
Resolución:
Se sabe que: p ^ q = ~p v q: luego aplicamos esta 
propiedad dentro del corchete.
~ [(p A ~q) V p] V q: ~ [p V (p A ~ q ) ] v q
Conmutativa
'(P) v q = ~ p v q = p
Absorción
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44. Simplificar el esquema: (~p a q) (q =» p) 
Resolución:
Dado que: p =» q = ~p v q; entonces se tiene que:
(~p A q) (~q V p); ~ (~p A q) v (-q v p)
— I— — I—
(P V ~q) V (~q V p)Condicional
(p V ~q) V (p V ~q) = p V ~q
Conmutativa
Idempotencia
45. Si: p O q = [((p => q) => p) V q] A p 
Simplificar:
{[(~p A r) O qí O (p O q)} 0 (p v r )
Resolución:
Vamos a redefinir p O q 
p O q = { [(p =► q) =» p] V q} A p 
Aplicando dos veces condicional: 
p O q = { [~(~p V q) V p] V q} A p 
Por Morgan: = { [ (p A ~ q ) v p ] v q} a p 
Por absonsión, dos veces: = (p v q) a p = p 
pG q = p 
Luego, en la expresión a simplificar:
{ [(~p A r) Q q] Q (p O q)} O (p v r)
= [(~p A r) G q] O (p O q), (definición de O)
= (~p A r) O q 
= ~p A r
46. La proposición equivalente a:
No es un buen estudiante, sin embarco destaca en 
el fútbol es:
I. No es cierto que, sea un buen estudiante o no 
destaque en fútbol.
II. Es un buen estudiante o no destaca en fútbol.
III. No es un buen estudiante y no destaca en fútbol.
IV. No es cierto que, no sea un buen estudiante y 
destaque en fútbol.
V. No es el caso que, sea buen estudiante y no 
destaque en el fútbol.
Resolución:
Consideremos: 
p : es un buen estudiante 
q : destaca en fútbol 
Formalizando; no p, sin embargo q 
Simbolizando:
= ~pAq
= ~(p V ~q), por Morgan 
Resulta:
I. No es cierto que, sea un buen estudiante o no 
destaque en fútbol.
47. Si el Siguiente esquema es falso:
{[(p Aq)=>r] a s } =>(q v r)
Hallar el valor de verdad de:
L t ( p v s ) A q ] « ( r v s )
II. p = , [q ^ ( r A s ) l
ill. (~p A q) =» [p V (~q V r)]
Resolución:
Sabemos que:
{[(p A q) =* rl A s} =» (q V r) = F 
V F
• q v r = F=»q = F ; r = F
• [(p A q) =» r] A s = V
V
V
s = V; p = F
Además: (p A q) =» r = V 
F F
F
Luego;
I. [ ( pvs )A q ]= >( r vs ) = V 
V F
V
Jí. [q ^ (r A s) J = V 
F
V
l ll. (~ p A q ) [p V (~ q V r)] = V
.-. V W
48. El equivalente de la proposición:
“Hay que pagar 100 soles y ser socio para ingresar 
al teatro" es;
I. No ingresar al teatro o pagar 100 soles, y ser 
socio.
il. Pagar 100 soles o ser socio, y no ingresar al 
teatro.
III. Pagar 100 soles y ser socio, o no ingresar ai 
teatro.
IV. Pagar 100 soles y no ser socio, y enb-ar ai teatro. 
V: No es cierto que se pague 100 soles o sea so­
cio, o ingrese al teatro.
Resolución:
Formalizando tenemos: 
p : pagar 100 soles 
q ; ser socio 
r ; ingresar al teatro
Simbolizando se tiene; tiay que p y q para r 
= (p A q) r. por condicional; = -(p a q) v r 
No es cierto que se pague 100 soles y sea socio, 
o ingrese al teatro.
49. Si la proposición compuesta;
~ {~(t => s) a ~ [ ( ~ p aq) (r a p)]} es falsa, 
¿cuántas de las proposiciones p, q, r, s y t son 
verdaderas?
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Resolución:
Sea:
I. ~{~(t => s) A ~[(~p A q) => (r A p)]} = F
V
II. ~( t=»s)A~[ (~pAq)«( rAp) ] = V
V V
11!. ~ ( t ^ s ) = « V
t = » s = F =»t = V ; s = F
IV. ~[(~pAq) => (rAp)] = V
F
- Luego: (~p a q) =» (r A p) = F 
y
Entonces: ~p a q = V
V V =>p = F ;q = V 
También: r A p = F
rA F = F = » r = F 
Son verdaderos: 2
50. Si: p V (r => w) = ~(t => t) V ~(p p) 
Simplificar la proposición molecular;
[(p =í (q A r)] A { [ ( ~ t V q) A (q =* ~q)] v ~ t } 
Resoiución;
p V (r =» Vií) = ~ ( t =» t) V ~ (p =* p)
= ~ H V t) V ~(~p V p)
V V
F V F = F
p V (r ^ w) = F 
t t t 
F V F
Reemplazando estos valores en la proposición pedida: 
[(p =» (q A r)] A { [(~t V q) A (q =» ~q)] v ~t}
t
F
V A { [(~t V q) A (~q V --q)] v ~t}
Idempotencia
V A { [ ( ~ t vq ) A~q 3 v ~t}
Absorción
V A {[(~q A ~ t)] V --t}
Absorción
V A ~t = ~t
51. “Et equivalente de la proposición: Si Juan es depor­
tista. mantiene una dieta estricta"
Es:
I. O Juan es deportista o mantiene una dieta es­
tricta.
IL Juan no es deportista y mantiene una dieta es­
tricta.
III. Juan mantiene una dieta estricta o no es depor­
tista.
IV. Juan es deportista y no mantiene una dieta es­
tricta.
V. Juan no es deportista y no mantiene ta dieta 
estricta.
Resoiución:
Simbolizando;
Si Juan es deportista, mantiene una dieta estricta, 
p : Juan es deportista 
q : mantiene una dieta estricta 
Si:p, q = p=»q
Equivatente: ~p v q, por condicional 
Luego;
‘Juan no es deportista o mantiene una dieta es­
tricta".
= “Juan mantiene una dieta estricta o no es de­
portista”.
52. Si vas at estadio pierdes tu dinero. Si no vas al es­
tadio, vas a la playa.
Si no fuiste a la playa, entonces:
I. No fuiste al estadio.
II. No perdiste tu dinero, 
til. Pierdes tu dinero.
IV. Fuiste al estadio y ganaste dinero.
V. Perdiste tu dinero y no fuiste a la playa.
Resoiución:
Consideremos: 
p : vas al estadio 
q ; pierdes tu dinero 
r : vas a la playa
Simbolizando tos enunciados, tenemos;
I. p=»q
II. ~p ^ r
Por propiedad de la condicional;
~p =» r = ~r » ~(~p), transposición.
= ~r =» p, doble negación
III. -r=»p
De I y Iti: ~r => p a p q 
~r=» q (transitiva)
Luego:
“Si no vas a la playa entonces pierdes tu dinero”.
53. Si la proposición:
(~p A q) => [(p a r) V t] = F 
Hallar el valor de verdad de;
I- ~ t (~ pv ~q )« ( r v~ t ) ]
II. ( ~ q A ~ r ) v H A ( p v q ) ]
III. ~ {~[~(p « p) - (s A w ))}
Resoiución:
De; (~p A q) * [(p A r) V t] = F
• ~p A q = V
V V p = F; q = V
• (p A r) V t = F
F F t = F
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