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TEOREMA DE PITAGORAS 
 
 
 
 
 
INTRODUCCION 
El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae 
sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto 
se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un 
triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los 
citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha 
perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La 
pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide 
que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de 
proporciones 3-4-5. 
 
 
OBJETIVO 
Demostrar que el teorema de Pitágoras también se cumple con otras figuras, 
considerando que la suma de las áreas de los polígonos regulares semejantes 
construidos sobre los catetos será igual al área del polígono regular semejante 
construido sobre la hipotenusa. 
 
 
HIPÓTESIS 
En todo triangulo rectángulo, la suma de las áreas de los polígonos regulares 
semejantes construidos sobre los catetos, es igual al área del polígono regular 
semejante construido sobre la hipotenusa. 
 
 
PROBLEMÁTICA 
¿Seguirá siendo cierto, que el área de la figura regular construida sobre la 
hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras regulares semejantes 
construidas sobre los catetos? 
 
 
 
MARCO TEORICO 
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera 
dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es el asunto central en la 
matemática. 
Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser 
enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan respuesta. Luego 
existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las 
condiciones en las que se trabaja. 
El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis 
y la tesis o conclusión. 
Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto 
de axiomas y un proceso de inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir 
de los axiomas y teoremas que han sido derivados previamente. En lógica 
matemática y en lógica proposicional, cualquier afirmación demostrada se 
denomina teorema. 
REMEMBRANZA HISTÓRICA 
� Platón: La relación que expresa el teorema de Pitágoras es 
especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. 
Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos. Platón aborda y 
resuelve el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo e 
isósceles, (catetos iguales). Al ser las áreas construidas sobre los 
catetos iguales, el área construida sobre la hipotenusa es el doble de 
cada uno de los construidos sobre los otros lados. 
� Euclides: La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo 
rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides. En los triángulos 
rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a 
los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. 
� Bhâskara: El cuadrado sobre la hipotenusa se divide en 4 triángulos 
rectángulos iguales al original y un cuadrado de lado la diferencia de los 
catetos. Reordenando las 5 piezas anteriores se obtienen dos cuadrados 
de lados los catetos del triangulo inicial. 
 
DESARROLLO 
En un triángulo rectángulo, la suma de las áreas del cuadrado construido sobre 
la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos 
sobre los catetos. 
 
 a2 + b2 = c2 
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. 
Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma 
siguiente: 
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, 
es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. 
 
Cuadrado (polígono regular de 4 lados) 
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado formando la 
figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se 
puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - 
a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente 
manera: 
 
 
 
Ya que . 
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los 
cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del 
cuadrado menor: 
 
 
Con lo cual queda demostrado geométricamente el teorema. 
 
 a2 + b2 = c2 
EJEMPLO 
 
Si a = 3, b = 4 y c = 5, entonces 
2 2 25 4 3= + 
25 = 25 
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR 
 
La fórmula para obtener el perímetro de cualquier polígono regular es: 
2
perímetro apotema
Área
×= 
k'apotema
 
Cálculo del apotema de cualquier polígono regular: 
Todos los polígonos regulares de n lados, se pueden dividir en n triángulos 
rectángulos isósceles cuyos ángulos iguales (α ) miden: 
180( 2)
/ 2
180( 2)
2
90( 2)
n
n
n
n
n
n
α
α
α
−=
−=
−=
�
�
�
 
La altura es el apotema del triángulo, y lo divide en dos triángulos rectángulos 
iguales y de base la mitad el lado ( l ) del polígono. 
Base del triángulo rectángulo=
2
l
 
Usando la razón trigonométrica tanα se obtiene: 
tan
2
2
tan
apotema
l
apotema
l
α
α
=
×=
 
y despejando la apotema: 
tan
2
l
apotema α= 
Por lo que el área de un polígono regular de lado l es igual a: 
2
2
( tan )
2
2
(tan )
4
Perímetro apotema
Área
l
nl
Área
nl
Área
α
α
×=
=
=
 
 Por lo que si el lado del polígono de nnúmero de lados mide aunidades y 
la mitad de su ángulo interior α mide
90( 2)n
n
α −=�
, su área mide: 
 
2 90( 2)
(tan )
4
n
na
nÁrea
−
= 
 
Si el lado del polígono de nnúmero de lados mide bunidades y la mitad de 
su ángulo interior α mide
90( 2)n
n
α −=�
, su área mide: 
 
2 90( 2)
(tan )
4
n
nb
nÁrea
−
= 
 
Si el lado del polígono de nnúmero de lados mide cunidades y la mitad de 
su ángulo interior α mide
90( 2)n
n
α −=�
, su área mide: 
 
2 90( 2)
(tan )
4
n
nc
nÁrea
−
= 
Sumando las áreas de los polígonos semejantes de lados a y b 
respectivamente se obtiene: 
 
2 2 2 290( 2) 90( 2) 90( 2)
(tan ) (tan ) ( ) (tan )
4 4 4
n n n
na nb a b n
n n n
− − −+
+ = 
 
Pero por el teorema de Pitágoras se sabe que 2 2 2a b c+ = , por lo que l 
sustituir 2 2a b+ por 2c se obtiene: 
 
2 2 90( 2)
( ) (tan )
4
n
a b n
n
−+
=
2 90( 2)
(tan )
4
n
c n
n
−
=
2 90( 2)
(tan )
4
n
nc
n
−
 
 
En resumen se confirma la hipótesis que se planteó en un principio: 
 “En todo triangulo rectángulo, la suma de las área s de los polígonos 
regulares semejantes construidos sobre los catetos, es igual al área del 
polígono regular semejante construido sobre la hipo tenusa” 
 
Ejemplo 
Si, a = 3, b =4 y c = 5, y los polígonos semejantes son de 6 lados, la suma de 
las áreas de los hexágonos construidos sobre los catetos es: 
 
 
Área de hexágono de base a=3: 
2 90(6 2)
6(3) (tan )
6
4
Área
−
= 
23.38Área= 
 
Área de hexágono de base b=4: 
2 90(6 2)
6(4) (tan )
6
4
Área
−
= 
41.57Área= 
 
Área de hexágono de base c=5: 
2 90(6 2)
6(5) (tan )
6
4
Área
−
= 
64.95Área= 
 
23.38 + 41.57= 64.95 
64.95=64.95 
 
Por lo que “La suma de las áreas de los hexágonos semejantes construidos 
sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual ál área del hexágono 
semejante construido sobre su hipotenusa”. 
Ésta propiedad también se cumple para polígonos irregulares. 
 
Semicírculo (polígono irregular de infinito número de 
lados) 
Si en un triangulo rectángulo, se construye sobre cada uno de sus lados, un 
semicírculo, entonces “la suma de las áreas de los semicírculos construidos 
sobre los catetos, es igual al área del semicírculo construido sobre la 
hipotenusa”. 
 
 
Demostración 
 
El radiode cada semicírculo, es respectivamente igual a: 
ra = , rb= y rc= 
 
Así, el área de cada semicírculo es: 
21
8
Aazul aπ= 
21
8
Averde bπ= 
21
8
Aroja cπ= 
 
Sumando las áreas de los círculos azul y verde se obtiene: 
 
2 2 2 21 1 1
( )
8 8 8
a b a bπ π π+ = + 
Pero como 2 2 2a b c+ = , al sustituir cen la ecuación anterior se obtiene: 
 
2 2 21 1 1
8 8 8
a b cπ π π+ = 
 
Por lo que se comprueba que: 
Si en un triangulo rectángulo, se construye sobre cada uno de sus lados, un 
polígono irregular (semicírculo), entonces la suma de las áreas de los 
semicírculos construidos sobre los catetos, es igual al área del semicírculo 
construido sobre la hipotenusa. 
RESULTADOS 
“En todo triangulo rectángulo, la suma de las áreas de los polígonos 
regulares semejantes construidos sobre los catetos, es igual al área del 
polígono regular semejante construido sobre la hipo tenusa” 
“En todo triangulo rectángulo, la suma de las áreas de los semicírculos 
semejantes construidos sobre los catetos, es igual al área del 
semicírculo semejante construido sobre la hipotenus a” 
 
CONCLUSIONES 
 
Con los desarrollos anteriores, se puede concluir que se puede 
hacer una generalización del Teorema de Pitágoras para polígonos 
regulares. 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
• “Geometría una moderna introducción” Mervin L. Keely 
México 1965 
 
• “Trigonometría” de Juan José Rivauld 
México 1987 
 
• “Relación de Semejanzas” Conrado Flores García 
México1984