proyecto matematica 6 grado Unido-1

Vista previa del material en texto

Los Números Enteros Z 
 
 
Los números Z se representan en una recta 
numérica: 
 
 
 
Actividad #1 
Coloca en el siguiente cuadro el número donde corresponde, separa con comas (,) 
9,-2, 15,-33,5,1,-74, 42,-12,-87,9,51,-24 
ENTEROS POSITIVOS ENTEROS NEGATIVOS 
9, 15, 5,1,42,9,51, -2,-33,-74,-12,-87,-24 
 
Observa y lee cuidadosamente para completar con la respuesta correcta 
 
➢ Sí Ester está en el piso +1 y sube dos 
pisos ¿a qué piso llegará? 
 R: +3 
➢ Que tipos de números enteros son los 
que corresponden a los pisos 
inferiores a la planta 0 
R: Números 
enteros 
negativos 
➢ Qué número representa la planta baja R: 0 
➢ Luis está en la planta 0, baja un piso 
¿en qué piso esta? R: -1 
➢ Qué tipos de números enteros son los 
que corresponden a los pisos 
superiores a la planta 0 
R: Números 
enteros 
positivos 
 
 
Los números enteros se 
representan a través de la letra 
Z. Los números positivos, que 
son mayores a cero se escriben 
sin ningún símbolo adicional y 
los números negativos, que son 
menores que cero llevan el signo 
menos antes del valor. 
Relaciona cada situación con su expresión en números Z 
 
 
 
 
Estacionamiento 
sótano 4 
-5 
Deuda de 345 -400 
400 metros bajo 
el nivel del mar 
-4 
5 grados bajo 
cero 
-345 
Números Opuesto y valor 
absoluto 
 
Actividad #2 
Escribe el número opuesto de los siguientes números: 
+1235 ___________ 
 -14 ___________ 
+306 ___________ 
-18 ___________ 
-2158 ____________ 
+478 ____________ 
+98 ____________ 
-102 ____________ 
+145 ____________ 
+45 ____________ 
-7459 ____________ 
-41 ____________ 
 
Complete la recta numérica con el numero opuesto correcto: 
 
 
 
 
 
 
 
Dos números que sólo se diferencian en 
su signo, se llaman opuestos. 
Todos los números tienen su opuesto. 
• El opuesto de +3 es -3. 
• el opuesto de -12 es +12 
El valor absoluto de un número entero 
es el que posee prescindiendo del 
signo. 
• -12 = 12 
• +7  = 7 
• 0 = 0 
-3 -2
 
-1 0 1 -2
 
3 4 
-7 -6
 
-5 -4 -3 -2
 
-1 0 1 2 
Hallar el Valor absoluto: 
|-14| 14 |+25| 25 |-45| 45 |-74| 74 
 
|-1256| 1256 |789| 789 |-285| 285 |+52| 52 
 
|+89| 89 |+32| 32 |-98| 98 |-65| 65 
 
 
Relación de Orden 
a. Un número entero es mayor (<) que otro, si se encuentra a la derecha del otro en la 
recta numérica. 
b. Todo número entero positivo es mayor que su antecesor. 
c. Todo número entero negativo es menor (>) que su sucesor. 
 
Actividad # 3 
Escriba el signo mayor (<) o menor (>) según corresponda 
❖ -6 _<__ +6 
 
❖ -75 _<__ -45 
 
❖ +24 _>__ +12 
 
❖ +3145 _>__ +21 
 
❖ -16 __<__-9 
❖ -124 _<__ -98 
 
❖ +94 __>__+25 
 
❖ -12 __>__ -56 
 
❖ +45 __<____+245 
 
❖ -14 ___<___ -2 
 
Actividad #4 
 
Completa las expresiones siguientes: 
a. -5 es opuesto de: _+5_ 
b. El Valor absoluto de -15 es: _|-15|_ 
c. 36 es opuesto de: _-36_ 
d. +15 es opuesto de: _-15__ 
e. El valor absoluto de 25 es _|+25|_ 
f. El valor absoluto -84 es: _|-84|_
 
Traza una recta numérica para cada caso y representa en ella: (agregar las otras rectas) 
a. + 7 - 6 b. - 10 – 2 c. - 8 + 8 d. + 3 + 9
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 Actividad # 5 
Resuelve las siguientes situaciones: 
1. Un submarino se encuentra sumergido a 50 metros de la superficie, luego realiza 
los siguientes movimientos: 
Primer movimiento: desciende 120 metros. 
Segundo movimiento: asciende 70 metros. 
Tercer movimiento: desciende 50 metros. 
a. Luego del primer movimiento, ¿a cuántos metros de profundidad se 
encuentra el submarino? 
R: se encuentra -170 metros 
b. Luego del segundo movimiento ¿a cuántos metros de la superficie se 
encuentra el submarino? 
R: se encuentra a -100 metros 
c. Luego del tercer movimiento, ¿cuál es la distancia que separa el submarino 
de la superficie? 
R: se encuentra en -150metros 
d. ¿Cuál es la mayor profundidad alcanzada por el submarino? ¿En qué 
movimiento? 
R: -170 metros en el primer movimiento. 
 
 
Operaciones Básicas con 
números enteros 
Suma de números enteros 
1. Si los números enteros tienen el mismo signo, se 
suman los valores absolutos y al resultado se le 
coloca el signo común. 
• 3 + 5 = 8 
• (−3) + (−5) = − 8 
2. Si números enteros son de distinto signo, se restan 
los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) 
y al resultado se le coloca el signo del número de 
mayor valor absoluto. 
• -3 + 5 = 2 
• 3 + (−5) = − 2 
 
 
Resta de números enteros 
La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto 
del sustraendo. 
• a - b = a + (-b) 
• 7 − 5 = 12 
• 7 − (−5) = 7 + 5 = 12 
 
Actividad #6 
Resuelve las siguientes operaciones: 
• 1 + 5 + (-2) + (-3) = [1] 
• 2 + (-2) + 1 + (-6) = [-5] 
• 5 + 8 + (-2) + (-1) = [10] 
• 8 + (-1) + 9 + (-5) = [11] 
• 7 + 6 + (-8) + 9 = [14] 
• 9 + (-8) + 9 + (-8) = [2] 
• 6 + 9 + (-4) + (-1) = [10] 
• 5 + 3 + (-7) + (-6) = [-5] 
• 4 + (-1) + 4 + (-2) = [5] 
• 2 + (-9) + (-2) + 8 = [-1] 
 Actividad #7 
Arrastra la respuesta que corresponde al cuadro 
4007 666 682 390 
-713 -479 -218 -120 
12194 248 -812 152 
 
713 12194 248 -812 
(-312)-401= 12305+(-111) = 478-230= (-740) +180+ (-252)= 
666 4007 682 -479 
428-(-238) = (-343) +4350= 165-(-517) = (-164) +(-315)= 
 
152 390 -120 -218 
175+(-75) +52= 513-123= (-256) -(-136) = (-139)-79= 
 
Actividad #8 
Analiza la siguiente situación y da la respuesta correcta 
1. María está sobre un trampolín que está 10 metros por encima del nivel del agua de la 
piscina. María salta y llega a descender 4 metros por debajo del nivel del agua. ¿Qué 
distancia recorre María en dirección vertical desde el trampolín hasta el punto más 
bajo que alcanza? 
Si designamos como positiva la altura más alta (sobre el nivel del agua), y como 
negativa por debajo del nivel del agua, María pasa de estar a +10 metros a estar a −4 
metros, por lo tanto, recorre: 
(+10)–(−4) =10+4=14 metros 
 
2. Tras su cumpleaños, Víctor tiene 350 B/. en su Monedero. ¿Cuánto dinero quedaría en 
el monedero si se gastara 200 B/. en una consola de videojuegos? 
En ese caso, en la cartera habría: 
350–200=150 B/. 
Tiene 150 B/. En la cartera 
 
 
Actividad #9 
Resolver los siguientes ejercicios de suma y resta, une la operación con la respuesta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15+(26-12)-8 = 
30 
(22+4)-17+5= 24 
(9+8) +(16-9) = 
49 
25+1+(8-5) +2= 
21 
32-(12-6) +8-4= 31 
75-42+(12+6) +(3-10)-2= 
-50 
(50-20) -(30+20) +8-38= 14 
10-(5+5)-3+(15+18)-6 = 
60 
45+(42-18+6)-18+9-6= 42 
17+26-(15-8) +(8-4) +9= 24 
 
Multiplicación de números enteros 
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor 
absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la 
aplicación de la reglade los signos. 
Regla de los signos 
 
 
 
Actividad #10 
Resuelve las siguientes operaciones de multiplicación: 
(+5) · (-3) -15 (+13) · (-2) -26 
(+7) · (-6) -42 (-16) · (-3) 48 
(-9) · (-5) 45 (-14) · (-5) 70 
(-8) · (-7) 56 (-17) · (+8) -136 
(+5) · (-10) -50 (+19) · (-7) -133 
(-7) · (-12) 84 (-20) · (-8) 160 
(+6) · (-4) -24 [(-5) · (+4)] · (-2) 40 
[(-2) · (-8)] · (+5) 80 (-5) · [(-7) · (-12)] -420 
(+3) · [(-6) · (+4)] -72 
 
Halla el número que falta para obtener el resultado que se muestra en cada muestra 
a. 7 · 5 = 35 
b. (-3) · 6 = -24 
c. 9 · -60 = -540 
d. 0 · (-15) = 0 
e. -4 · -25 = -100 
f. -2 · 200 = -400 
g. 12 · 1 =12 
h. (-17) · 3 = -51 
i. 9 · -8 = -72 
j. -4 · (-35) = 140 
 
Ejemplos: 
2 · 5 = 10 (−2) · (−5) = 10 
2 · (−5) = − 10 (−2) · 5 = − 10 
Actividad #11 
Resuelve las siguientes situaciones: 
• Leydi utiliza su bicicleta para hacer deporte. Cada día recorre 12 km en las mañanas 
y 5 km en la tarde. ¿Cuántos kilómetros recorre en total al cabo de 4 días? 
12km + 5km = 17Km 
17 · 4 = 68 Km 
En 4 días recorre 68 km 
 
• Un buzo en un lago descendió 8 metros en una hora. Sí cada hora bajo la misma 
cantidad de metros ¿cuántos metros bajo en 4 horas? 
1 h = 8 m 
8 m * 4 h =32 metros en cuatro horas 
 
• Francisca tiene un saldo negativo de $1200 en su línea de crédito. Sí cada día que 
pasa le cobran $450 de interés por mora ¿cuánto dinero deberá pagar en la línea 
de crédito al cabo de 6 días para dejar la deuda en $0? 
6 días * $-450= $-2700 
-12000 + ($-2700) = $-14700 
 
Resuelve las siguientes situaciones de multiplicación con números enteros 
A. Adriana está haciendo una colección de 5 libros. Cada libro cuesta $25. ¿cuánto 
cuesta la colección completa? 
colección = 5 libros 
precio = $25 
5 * $25= $125 
B. El peso del líquido que contiene una botella es igual a 5 veces el peso de la botella: 
Si la botella pesa 600 gramos ¿cuánto pesa la botella con el líquido junto? 
Respuesta: 
Peso del líquido = 600 gr * 5 = 3000 gramos 
Peso de la botella 600 gr 
600gr + 3000 gr = 3600 gr peso del líquido más la botella 3600 
 
 
 
C. Si por una docena de manzanas pagas $6. ¿cuánto debo pagar por 6 decena? 
1 docena de manzanas 
Costo: $ 6.00 
6 docenas * 6.00 = $36.00 
Deberá pagar $36.00 por 6 docenas de manzanas 
D. Un auto recorre 60km / hora ¿Cuánto recorre en 6 horas? 
recorrido 60km / hora 
6 h * 60 km = 360 
Recorre360 km en 6 horas 
División de números enteros 
La división de dos números enteros es otro número entero, que 
tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, 
como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los 
signos. 
Ejemplos: 
• 10: 5 = 2 
• (−10): (−5) = 2 
• 10: (−5) = − 2 
• (−10): 5 = − 2 
 
Actividad #12 
Divide los siguientes números enteros y relaciona con la respuesta correcta 
 
(-27) : (-9) 20 
(42) : (-7) 26 
(-120) : (4) 3 
(-130) : (-5) -90 
(-81) : (-3) 13 
(72) : (-4) -6 
(-56) : (8) -30 
(-65) : (-5) 27 
(270) : (-3) -18 
(-180) : (-9) -7 
 
 
 
 
Resuelve 
• En un juego de cartas un jugador A obtiene 34 puntos a favor y 16 puntos en 
contra. Un jugador B obtiene 44 puntos a favor y 20 en contra. Para encontrar el 
ganador, a los puntos a favor se le restan los puntos en contra y quien tenga mayor 
puntaje es el ganador. ¿Cuál de los dos ganó el juego? 
Datos jugadores A jugador B Operación: 
Puntos a favor 34 44 34-16 = 18 puntos a favor 
Puntos en contra 16 20 44 -20= 24 puntos a favor 
El jugador con más puntos a favor es el Jugador B 
• Daniela ha hecho una mala inversión y diariamente pierde $3.000. Esta pérdida la 
podemos representar por un número negativo es decir como: -3.000. 
a) ¿Cuánto pierde en una semana? 
b) ¿Y en un mes de 30 días? 
Perdida: -3000 Operación: -3000.7 = -21000 B/. 
Perdida en 7 días -3000. 30 = -90000 B/. 
Perdida en 30 días 
En una semana la pérdida de su inversión es de -21000B/. 
En 30 días la pérdida de su inversión es -90000 B/. 
• El cociente de dos números es – 16 y el divisor es – 8, entonces. ¿Cuál es el 
dividendo? 
El dividendo es: 32 
• Un submarino descendió hasta una profundidad de 36 m en 3 etapa. Sí en cada 
etapa se sumergió la misma cantidad de metros ¿cuantos metros descendió el 
submarino en cada etapa? 
36m / 3= 12m descendió en cada etapa 
 
Actividad # 13 
Completa los recuadros de las dos primeras columnas con el 
resultado de la división 
En la última columna completa con el número adecuado para que 
se cumpla la igualdad 
(+50): (-2) = - 25 (-450): 10= - 45 (10) : (-2) = 20 
(-180) : (-20) = 9 (+80) : (-10) = -8 (+90) : ( 2) = +45 
(18) : (+9) = 2 (50): ( +2) = 25 (-30) : (3) = -10 
260 : 26 = 10 45 : (-9) = -5 (-100): (5)=+20 
0: (-2) = 0 (-7): ( +7) = -1 (2000) : 10 = 20 
(-70) : (-2) =35 (+31) : ( -31) = -1 (10) : (+2)=-5 
99 : (-9) = -11 (-40): (-40) = 1 ( -90) : (2) = -45 
 
Las Fracciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adición y Sustracción de fracciones 
 Actividad #14 
Encuentra en la caja de respuesta la solución de la suma y resta de las 
siguientes fracciones 
 
𝟑𝟖
𝟏𝟖
=
𝟏𝟗
𝟗
 
 
 
𝟏𝟔
𝟑𝟗
 
 
𝟓
𝟏𝟔
 
−𝟓
𝟒
 
 
𝟑𝟑
𝟕𝟎
 
 
𝟓𝟒
𝟏𝟓
=
𝟏𝟖
𝟓
 
𝟏𝟎𝟕
𝟓𝟔
 
𝟔
𝟏𝟕
 
𝟓
𝟑
 
𝟏𝟓𝟕
𝟒𝟎
 
𝟏𝟑
𝟐
 
𝟓𝟑
𝟏𝟐
 
 
𝟒𝟒
𝟏𝟎
=
𝟐𝟐
𝟓
 
 
𝟏𝟏
𝟏𝟐
 
 
 
 
4
15
 +
10
3
 
54
15
=
18
5
 
5
6
+
1
2
+
4
12
 
 
5
3
 
 
2
5
+
8
2
 
44
10
=
22
5
 
7
4
+
8
3
 
 
53
12
 
2
4
+
5
6
+
7
9
 
38
18
=
19
9
 
14
5
+
9
8
 
 
157
40
 
2
32
+
1
4
 
5
16
 
1
14
+
2
5
 
 
33
70
 
2
3
+
1
4
 
11
12
 
12
17
−
6
17
 
 
6
17
 
29
39
−
13
39
 
16
39
 
16
7
−
3
8
 
 
107
56
 
9
1
−
5
2
 
 
13
2
 
3
4
 −
6
3
 −
5
4
 
Simplificación de Fracciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad # 15 
Resuelve el siguiente Pareo aplicando la simplificación 
A 6
8
 
 C 3
2
 
 
B 15
20
 
 E 2 
 
C 24
16
 
 G 9
25
 
 
D 32
28
 
 H 1
3
 
 
E 60
30
 
 B 3
4
 
 
F 50
40
 
 F 5
4
 
 
G 18
50
 
 D 8
7
 
 
H 12
36
 
 A 3
4
 
 
I 48
28
 
 I 12
7
 
 
J 30
26
 
 K 3
2
 
 
K 18
12
 
 J 15
13
 
 
 
Multiplicación y División de Fracciones 
 
Así Multiplicamos una fracción 
 
La división de fracciones así la hacemos: 
 
 
Recuerda 
aplicar la 
simplificación 
Actividad # 16 
Colocar una caja donde aparecen las respuestas y se arrastran a la operación 
que corresponde 
❖ 
4
3
 𝑥
7
5
 =
28
15
 
❖ 
1
5
 𝑥
3
8
 =
3
40
 
❖ 2 𝑥
9
2
𝑥
5
18
=
4
45
 
❖ 3 𝑥
8
7
 𝑥
2
9
 𝑥
14
32
 =
1
3
 
 
𝟐𝟖
𝟏𝟐
 
𝟏
𝟑
 
𝟒
𝟒𝟓
 
𝟑
𝟒𝟎
 
Los Números Decimales 
Hasta ahora hemos trabajado con números 
enteros, cuya cifra más pequeña es la unidad: 
Pero también hay números que tienen una parte 
inferior a la unidad, estos se llaman números 
decimales: 
la parte entera va a la izquierda de la coma y la parte decimal a la derecha. 
Vamos a ver cada una de estas cifras decimales. 
a) La décima 
La décima es un valor más pequeño que la unidad 
1 unidad = 10 décimas. 
Es decir, si dividimos una unidad en 10 partes iguales, cada una de ellas es una décima. 
Las décimas van a la derecha de la coma. 
b) La centésima 
Es un valor más pequeño que la unidad y también que la décima. 
1 unidad = 100 centésimas1 décima = 10 centésimas. 
Es decir, si dividimos una unidad en 100 partes iguales, cada una de ellas es una centésima. 
Y si dividimos una décima en 10 partes iguales, cada una de ellas es una centésima. 
 c) La milésima 
Es un valor más pequeño que la unidad, que la décima y también que la centésima: 
1 unidad = 1.000 milésimas 1 décima = 100 milésimas 1 centésima = 10 milésimas 
Es decir, si dividimos una unidad en 1.000 partes iguales, cada una de ellas es una centésima 
. 
Fracciones: conversión a 
décimas, centésimas y 
milésimas 
 
Como Transformar 
 
. Actividad #17 
Resuelve 
2
3
 
6
8
 5
4
3
 
 
 
Fracciones a Decimas 
 
A 51
8
 
 F 
12.5 
 
B 14
3
 
 A 
6.375 
 
C 37
6
 
 E 
2.2 
 
D 2
3
7
 
 C 
6.16 
 
E 7
9
5
 
 B 
4.6 
 
F 9
7
2
 
 D 
2.428 
 
G 3
12
 
 G 
0.25 
 
Fracciones a centésimas 
A) 1
100
 0.01 
 
B) 25
100
 0.25 
 
C) 6
100
 0.06 
 
D) 234
100
 2.34 
 
E) 95
100
 0.95 
 
Fracciones a milésimas 
A) 356
1000
 0.356 
 
B) 48
1000
 0.048 
 
C) 102
1000
 0.102 
 
D) 5
1000
 0.005 
 
E) 78
1000
 0.078 
 
 
Transforma de fracción a décima, centésima, a decimal y viceversa 
A) 1
100
 0.01 
 F) 
0.04 
4
100
 
 
B) 8
100
 0.08 
 G) 
0.09 
9
100
 
 
C) 2
100
 0.02 
 H) 
 0.03 
3
100
 
 
D) 7
100
 0.07 
 I) 
0.37 
37
100
 
 
E) 6
100
 0.06 
 J) 
0.44 
44
100
 
 
 
 
 
 
Regla del Redondeo 
Regla 1: si la última cifra del número que queremos redondear es menor que 5, dejaremos 
sin modificar el último dígito. Por ejemplo: 5,554 sería 5,55. 
Regla 2: cuando la última cifra sea un 5 o superior, se aumentará el valor al siguiente 
número más próximo. Por ejemplo: 5,556 se convertiría en 5,56. 
 
 
 
Actividad # 18 
Aplica el redondeo los números a la décima 
• 43.6 __44____ 
• 78.9 __79____ 
• 67 __ 67____ 
• 43.8 ___44____ 
• 8.71 _87____ 
• 6.64 ___66____ 
• 95.3 ____95___ 
• 29 ____29___ 
Aplica el redondeo a la centésima 
• 4.702 ____4.70____ 
• 2,325 ____2.33____ 
• 5,146 ____5.15____ 
• 18,103 ____18.10___ 
• 3,197 ____3.20____ 
• 11,275 ____11.28___ 
 
 
 
Regla de 3 simple e inversa 
Regla de 3 simple 
La regla de 3 simple es una operación que nos ayuda a resolver rápidamente problemas 
de proporcionalidad, tanto directa como inversa. 
Para hacer una regla de tres simple necesitamos 3 datos: dos magnitudes proporcionales 
entre sí, y una tercera magnitud. A partir de estos, averiguaremos el cuarto término de la 
proporcionalidad. 
Colocaremos en una tabla los 3 datos (a los que llamamos «a», «b» y «c») y la incógnita, es 
decir, el dato que queremos averiguar (que llamaremos “x”). Después, aplicaremos la 
siguiente fórmula: 
Formula: 
 
Ejemplos: 
 
 
Regla de tres directa e inversa 
Como aplicar la regla de 3 simple en casos de proporcionalidad inversa, es decir, cuando una 
magnitud aumenta y disminuye la otra. Para ello emplearemos la siguiente formula: 
 A b 
 X = a . b 
 c 
 C x 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad #19 
Resuelve aplicando la regla de 3 simple directa 
1. Con cuarenta y ocho horas semanales de trabajo, un trabajador gano $ 1300, ¿Cuánto 
ganará si la semana siguiente puede trabajar 62 horas? 
 
 
 
 
Respuesta: Si pudiera trabajar 62 horas ganaría $ 1,679.17 
2. Un auto recorre 350 km en 150 minutos ¿A cuántos kilómetros viajo por hora? 
 
 
 
 
Respuesta: Viajo a 140 km/h. 
3. En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal, ¿en cuánto litros estarán 
contenidos 11600 gramos? 
 
 
 
Respuesta: 11 600 gramos de sal estarán contenidos en 446.15 lt de agua 
4. Una máquina fabrica 1200 tornillos en seis horas, ¿Cuánto tiempo le llevara a la 
maquina fabricar 10000 tornillos? 
 
 
 
 
Respuesta: Le tomara 50 horas para producir 10000 tornillos 
Datos 
 48 horas $ 1300 
 62 horas X 
Operación: 
𝑥 =
1300 ∗ 62
48
= 1679.17 
 
 
 Operación: 
𝑥 =
350 ∗ 60
150
= 140 
 
 
Datos 
150 m 350 km 
 60 m x 
Operación 
𝑥 =
11600 ∗ 50
1300
= 446.15 
 
Datos 
 1300 gr 50 lt 
 11600 x 
Operación 
𝑥 =
10000 ∗ 6
1200
= 50 
 
6 * 10000 60000/1200 
1200 
X = 50 
 
Datos 
 6 horas 1200 tornillos 
 X 10000 tornillos 
5. Si una persona puede vivir en Los ángeles durante diez días con 650 dólares ¿cuántos 
días podrás costearse si solo tiene 500 dólares? 
 
 
 
 
 
Respuesta: Puede costearse 7 días 
Resuelve las siguientes situaciones de Regla de 3 directa inversa 
1. En una granja, 20 patos tardan 10 días en comer el alimento que hay guardado. 
¿Cuánto tiempo tardarán 40 patos en terminar el alimento? 
 
 
 
Respuesta: Los 40 patos tomaran 5 días para terminar el alimento. 
 
2. 3 pintores tardan 20 días en pintar una casa. ¿Cuánto tardarán 6 pintores en 
hacer el mismo trabajo? 
 
 
 
 
 
Respuesta: 6 pintores terminaran el trabajo en 10 días. 
3. Tres obreros realizan un trabajo en 5 horas ¿en cuánto tiempo harán el trabajo 2 
obreros? 
 
 
 
 
Respuesta: El mismo trabajo lo realizaran 2 obreros en 7 horas y media 
Datos 
20 patos 10 días 
40 patos X 
 
𝑥 =
20 ∗ 10
40
= 5 
Datos 
3 pintores 20 días 
 6 pintores x 
𝑥 =
3 ∗ 20
6
= 10 
 
Datos 
3 obreros 5 horas 
 2 obreros x 
Operación 
𝑥 =
3 ∗ 5
2
= 7.5 
 
 
Operación 
𝑥 =
500 ∗ 10
650
= 7.69 
 
6 * 10000 60000/1200 
1200 
X = 50 
 
Datos 
 650 dólares 10 días 
 500 dólares x 
 
4. Tres mecánicos arman un motor en 6 horas. Si se cuenta con 6 mecánicos ¿en 
cuánto tiempo armaran un motor? 
 
 
 
 
 
Respuesta: 6 mecánicas se tomarán 3 horas para armar un motor. 
Porcentaje o Tanto Por ciento 
Se llama porcentaje de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede 
dividir dicho número; es decir, una o varias centésimas de un número. El signo para designar 
el porcentaje o tanto por ciento es % y se empezó a usar desde el año 1685. 
 
Ejemplo para obtener el porcentaje de un número aplicando regla de 3 
𝑥 =
300 ∗ 15
100
= 45 
Ejemplo para obtener el porcentaje Multiplicando y dividiendo 
1. Multiplicar el número total por el porcentaje 
2. Dividir el resultado obtenido por 100. 
 
Queremos calcular el 13% de 78. Primero vamos a determinar el total, en este caso es 78 y 
quiero calcular el 13% de ese total. Entonces voy a multiplicar 78 por 13 y luego dividirlo 
por 100. Veamos el resultado. 
𝑥 =
78 ∗ 13
100
= 10.14 
Datos 
3 mecánicos 6 horas 
6 mecánicos X 
Operación 
𝑥 =
3 ∗ 6
6
= 3 
 
Respuesta: Entonces el 13% de 78 es 10,14 
 Actividad # 20 
Relaciona con una línea de color azul el porcentaje de los siguientes números 
 
12% de 200 490 
7% de 65 2100 
10% de 1000 24 
6 % de 35000 100 
15% de 275 4.55 
7% de 7000 41.25 
 
Resuelve las siguientes situaciones para encontrar el porcentaje 
a. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos 
ha ido de viaje? 
 
𝑥 =
600
800
∗ 100 = 75% 
Han ido de viaje el 75% de los alumnos 
 
b. Al adquirir un vehículo cuyo precioes de 8800 $, nos hacen un descuento del 7.5% 
¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 
 
𝑥 =
8800 ∗ 7.5
100
= 660 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
8800 − 660 = 8140 
Se deberá pagar $8140 por el vehículo 
 
c. Al comprar un monitor que cuesta 450 $nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto 
tenemos que pagar? 
𝑥 =
450 ∗ 8
100
= 36 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
450 − 36 = 414 
Deberán pagarse $414 
 
 
d. ¿Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha sido de 
180$ para ganar al venderlo el 10%.? 
𝑥 =
180 ∗ 10
100
= 18 
180 + 18 = $198 
El precio por marcar será de $198 
e. Queremos vender unos zapatos por una aplicación de ropa de segunda mano. Los 
zapatos los compramos por 280 $ y ahora queremos venderlos un 12% más baratos. 
¿Qué precio deberemos marcar en la aplicación? 
𝑥 =
280 ∗ 12
100
= 33.60 
280 − 33.60 = 246.40 
El precio por marcar será de $246.40 
 
 
 
 
 
Álgebra 
 
Expresiones aritméticas con signos de agrupación 
 
Los signos de agrupación son símbolos utilizados para definir el orden en que se debe 
realizar una operación. Por lo general, los principales signos de agrupación utilizados son los 
siguientes 
() Paréntesis 
[] Corchetes 
{} Llaves 
Un ejemplo del uso de estos signos es el siguiente: 
{8 + 5 ∗ [8 ÷ (2 + 2)]} 
Aquí se puede apreciar que los paréntesis encierran una operación dentro de la operación 
principal, así mismo los corchetes encierran la operación con la respuesta del paréntesis, y 
por último, las llaves encierran la operación completa. 
La jerarquía de las operaciones sigue la clave llamada PEMDAS, el cual indica que: 
• Se realizan primero los paréntesis o algún otro signo de agrupación 
• Luego se resuelven los exponentes 
• Seguidamente, las multiplicaciones y divisiones 
• Y finalmente se realizan las sumas y restas 
Existen casos en los que las operaciones tienen la misma prioridad, como en las 
multiplicaciones y divisiones, en este caso, se deben hacer de izquierda a derecha, en el 
orden como aparecen. Este también aplica para las sumas y restas. 
Utilizando el siguiente ejemplo, se puede visualizar el desarrollo paso a paso. 
{2 ∗ 4 + 5 ∗ [12 − 6 ÷ (6 ÷ 2)] − 25} 
{2 ∗ 4 + 5 ∗ [12 − 6 ÷ (3)] − 25} 
{2 ∗ 4 + 5 ∗ [12 − 2] − 25} 
{2 ∗ 4 + 5 ∗ [10] − 25} 
{8 + 50 − 25} 
33 
Actividad #21 
Pareo. Relaciona el enunciado de la columna A con su respuesta en la columna B. Resuelve 
las siguientes operaciones con signos de agrupación. 
A B 
[300 + (25 × 2) + (30 ÷ 4) − 275] 
1000 
{12 × 20 + 11 × [27 − 12 + 15 × (85 − 65)]} 
1755 
[78 − 56 × 7 + 255 ÷ (10 + 15 ÷ 3)] 
118 
{[(20 ∗ 5 + 1) − 49 ÷ 7] − 12 × (−2)} 3705 
[6080.5 − 126 × (2258 ÷ 8) ÷ 7] 82.5 
{[10 ∗ 150 + (5 + 25 ∗ 25)] − [75 ÷ 3 × 15]} -297 
Los signos de fracción también son signos de agrupación 
Así como dice el título, la línea fraccionaria también puede ser utilizada como signo de 
agrupación. Este indica una división y es el último que se realiza en la jerarquía de 
operaciones. 
Así tenemos el siguiente ejemplo: 
(75 + 25 × 3)
[50 + 125 ÷ (17 − 12)]
=
150
[50 + 125 ÷ (5)]
=
150
50 + 25
=
150
75
= 2 
Actividad #22 
Desarrollo. Dado los siguientes enunciados, escribe en la casilla de la derecha el resultado 
correspondiente. Utiliza hasta dos decimales para expresar la respuesta. 
Enunciado Respuesta 
112 + 243 × 6
[(225 ÷ 5) + (7 × 7 − 4)] ÷ 18
 ____314____ 
[82 × 12 + 78 − (121 ÷ 11 × 3)] + 4
12 + (5 × 6 ÷ 2)
 ___38.26__ 
−5 × 7 + 6 × 3
7 × (8 + 7 × 2) ÷ 15 × (−2)
 ___0.83___ 
100 + 100 − 10 × 10
200 + 2000 ÷ 10
 ____0.25____ 
[55 × 8 + (6 × 4 + 26)] × 2
[25 + (60 ÷ 3 + 5)] × 4
 ____4.9___ 
9 + {6 × 5 + 20 ÷ [(36 − 18) ÷ 9]}
(35 ÷ 7) + (144 ÷ 72)
 ____7____ 
 
Expresiones aritméticas y algebraicas 
 
La aritmética y el álgebra son conceptos relacionados, pero que poseen definiciones muy 
distintas. La aritmética es aquella parte de las matemáticas que solo trabaja con los 
números, es decir, sus operaciones se basan en números conocidos para realizar los cálculos. 
10 + 15 − 5 × 2 ÷ 5 = 23 
Por otra parte, el álgebra incorpora letras en la escritura de las expresiones, donde estas 
letras representan valores desconocidos, a los que se les llama variables. 
2𝑥 + 3𝑦 = 12 
Esta última expresión algebraica se puede escribir como el siguiente enunciado: 
 
Uno de los ejemplos más sencillos del álgebra podría ser la fórmula para el área de un 
cuadrado, en el cual no se sabe el valor de sus lados. 
Tenemos así: 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐿 × 𝐿 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐿2 
En este caso, la letra L representa el valor de la incógnita, en este caso, los lados cuya 
longitud se desconoce. Se puede leer como: “el área del cuadrado es igual al cuadrado de 
su lado” o “El valor del área es el valor del lado al cuadrado”. Si el lado del cuadrado fuese 
de 4 cm, se sustituye la letra L por este número y se resuelve la ecuación. 
𝐿 = 4 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐿2 
Á𝑟𝑒𝑎 = (4 𝑐𝑚)2 
Á𝑟𝑒𝑎 = 16 𝑐𝑚2 
“La suma del doble de un número y el triple de otro es igual a 
doce”. 
 
Actividad #23 
Dado los siguientes enunciados, escribe en el cuadro de la derecha la expresión aritmética 
correspondiente. 
 
Siete más ocho es quince 𝟕 + 𝟖 = 𝟏𝟓 
El cuadrado de cinco es veinticinco 52 = 25 
El doble de la suma de cuatro y diez 
es veintiocho 
2 × (4 + 10) = 28 
La raíz cuadrada de la diferencia de 
cuarenta menos cuatro es seis √40 − 4 = 6 
Menos nueve más tres es seis −9 + 3 = 6 
El cuadrado de la suma de siete y 
cuatro es ciento veintiuno 
(7 + 4)2 = 121 
Dos tercios menos dos cuartos es un 
sexto 
2
3
−
2
4
=
1
6
 
Cinco por tres es quince 5 × 3 = 15 
La mitad de la suma de diez y 
ochenta es cuarenta y cinco 
10 + 80
2
= 45 
 
Actividad #24 
Dado los siguientes enunciados, arrastra la respuesta correcta en la casilla correspondiente. 
Transforma los siguientes enunciados en expresiones algebraicas. 
 
La suma del quíntuplo de un 
número por el cuádruple de otro es 
cinco. 
5𝑥 + 4𝑦 = 5 
El triple del cuadrado de un número 
es doce 
3𝑦2 = 12 
La mitad de un número es dieciocho 𝑦
2
= 18 
La raíz cuadrada del doble de un 
número es cuatro 
√2𝑧 = 4 
La diferencia de dos números es tres 𝑝 − 𝑞 = 3 
El doble del producto de dos 
números es cuarenta y ocho 
2𝑥𝑦 = 48 
La raíz cúbica de un número es ocho √𝑚
3
= 8 
La diferencia del tercio de un 
número y la mitad de otro es uno 
𝑎
3
−
𝑏
2
= 1 
 
√2𝑧 = 4 
𝑦
2
= 18 
3𝑦2 = 12 
𝑎
3
−
𝑏
2
= 1 
5𝑥 + 4𝑦
= 5 
𝑝 − 𝑞 = 3 √𝑚
3
= 8 
2𝑥𝑦 = 48 
Actividad #25 
Pareo. Escribe en la casilla de la izquierda, la letra correspondiente. Relaciona la expresión 
algebraica con su enunciado. 
A. 3𝑥 + 4 _E_ El cociente de dos números más cinco 
B. 𝑥3 − 𝑦 _H_ El cuadrado de la suma de dos números 
C. 7𝑎 + 𝑏 _B_ 
La diferencia del cubo de un número y 
otro número 
D. 𝑥2 + 𝑦2 _A_ El triple de un número más cuatro 
E. 
𝑚
𝑛
+ 5 _C_ Siete veces un número más otro número 
F. 3a + 3b + 3c _J_ 
El doble del cuadrado de un número 
más uno 
G. 3(x + y + z) _I_ El tercio de la suma de dos números 
H. (𝑖 + 𝑗)2 _D_ La suma del cuadrado de dos números 
I. 
𝑥+𝑦
3
 _G_ El triple de la suma de tres números 
J. 2𝑥2 + 1 _F_ La suma del triple de tres números 
 
Expresiones algebraicas sencillas 
Las igualdades son la combinación de uno o más términos separados por el símbolo de 
igualdad “=”. 
2𝑥 + 5 = 15 
Identidad 
Dentro de las igualdades se encuentra la función identidad. En esta, la igualdad puede ser 
satisfecha con cualquier valor que adopte las letras, por ejemplo: 
2𝑥 + 3𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦 
2(5) + 3(3) = 2(5) + 3(3) 
19 = 19 
2(3) + 3(2) = 2(3) + 3(2) 
12 = 12 
Como se observa, no importa qué número puedan adoptar, la igualdad siempre se cumplirá. 
Ecuaciones algebraicas 
Ahora, dentro de las igualdades también existen las ecuaciones algebraicas, cuya igualdad 
solo se cumplirá para un solo valor. 
2𝑥 + 5 = 15 
2(5) + 5 = 15 
15 = 15 
Para trabajar en lasecuaciones algebraicas, es necesario conocer ciertos términos: 
• Incógnita: Son las letras de la ecuación 
• Raíz o solución: Valor de la incógnita que resuelve o satisface la ecuación. 
¿Cómo resolver una ecuación? 
Es importante saber que para resolver una ecuación y encontrar el valor de la incógnita, se 
debe “despejar” la misma. Esto quiere decir que queremos que la incógnita quede sola y 
con signo positivo en un lado de la igualdad. 
Para despejar la incógnita de una ecuación, se pueden realizar las cuatro operaciones 
básicas en ambos lados de la igualdad. Es decir, podemos sumar, restar, dividir y multiplicar 
una misma cantidad en ambos lados de la igualdad. 
Así tenemos entonces los siguientes ejemplos: 
Ejemplo 1. Suma. Se requiere despejar la 
X de la expresión. Se procede a sumar el 
valor necesario para que la x quede sola. 
En este caso, para quitar el -4, se suma +4 
𝑥 − 4 = 8 
𝑥 − 4 + 4 = 8 + 4 
𝑥 = 12 
 
Ejemplo 2. Resta. Se requiere despejar la 
X de la expresión. Se procede a restar el 
valor necesario para que la x quede sola. 
En este caso, para quitar el +8, se resta-8 
𝑥 + 8 = 20 
𝑥 + 8 − 8 = 20 − 8 
𝑥 = 12 
Ejemplo 3. Multiplicación. Se requiere 
despejar la X de la expresión. Se procede 
a multiplicar el valor necesario para que la 
x quede sola. En este caso, para quitar el 
denominador 7, se multiplica por 7. 
𝑥
7
= 6 
𝑥
7
× 7 = 6 × 7 
𝑥 = 42 
Ejemplo 4. División. Se requiere despejar 
la X de la expresión. Se procede a dividir el 
valor necesario para que la x quede sola. 
En este caso, para quitar el 5, se divide 
entre 5. 
5𝑥 = 35 
5
5
𝑥 =
35
5
 
𝑥 = 7
Ejemplo 5. Combinación. A continuación, se presentará un ejemplo que combina los 4 casos 
anteriores, de manera que se aprecie como se debe desarrollar el problema. 
(5𝑥 + 4)
2
− 7 = 10 
(5𝑥 + 4)
2
− 7 + 7 = 10 + 7 
(5𝑥 + 4)
2
= 17 
(5𝑥 + 4)
2
× 2 = 17 × 2 
5𝑥 + 4 = 34 
5𝑥 + 4 − 4 = 34 − 4 
5𝑥 = 30 
5
5
𝑥 =
30
5
 
𝑥 = 6
Además, se puede verificar si nuestro procedimiento estuvo bien reemplazando la x en la 
ecuación original, por ejemplo.
5(6) + 4
2
− 7 = 10 
30 + 4
2
− 7 = 10 
34
2
− 7 = 10 
17 − 7 = 10 
10 = 10 
 
Actividad #26 
Dado las siguientes ecuaciones algebraicas, encuentra el valor de la incógnita que satisface 
la expresión. Coloca su valor en la casilla de la derecha 
 
Ecuación algebraica Raíz 
𝟐𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟏𝟑𝟏 11 
𝟕𝒙 = 𝟒𝟓 + 𝟒 7 
𝟐𝒂 − 𝟑 = 𝟗 3 
𝟓
𝟐
𝒚 = 𝟏𝟓 
6 
𝟏𝟐𝟎𝒎 + 𝟐𝟒𝟎 = 𝟎 -2 
𝟔𝟓 − 𝟐𝟎𝒙 = −𝟑𝟓 5 
𝟐𝒙 + 𝟐
𝟑
= 𝟏𝟐 
17 
𝟕 +
𝒙
𝟔
= 𝟏𝟓 48 
𝟔𝒙 − 𝟏𝟒 = 𝟏𝟎 4 
 
 
Actividad #27 
Escoge la mejor respuesta. Selecciona la respuesta que satisfaga la ecuación. 
1. 12x + 4 = 40 
 
o 2 o 6 o 3 
 
2. 
𝑥
3
+ 5 = 14 
 
o 32 o 27 o 21 
 
3. 
6
5
x + 8 = 7 
 
o 
5
6
 o −
6
5
 o −
5
6
 
 
4. 15x − 5 = 20 
 
o −
5
3
 o −
3
5
 o 5 
 
5. x − 320 = 150 
 
o -170 o 470 o 740 
 
6. 6 +
2+𝑥
5
= 12 
 
o 28 o 30 o 58 
 
 
Actividad #28 
Cierto y falso. Analiza los enunciados y responde con C si el enunciado es cierto, y F si el 
enunciado es falso. Desarrolla los problemas 
__C__ X=5 satisface la expresión 10𝑥 − 4 = 11. 
__F__ La siguiente expresión es una identidad 2𝑥 + 5 = 2𝑥 + 2 + 3. 
__C__ La ecuación 𝑥 + 7 − 36 = 25 tiene como raíz 54. 
__F__ La expresión 
12+15
3
= 9 es una ecuación algebraica. 
__F__ 
Para despejar la x en la ecuación 2𝑥 + 8 = 3 primero debemos 
multiplicar por dos. 
__F__ 
Para poder despejar una incógnita, solo se tiene que usar las 
operaciones en un solo lado de la ecuación. 
__C__ El valor de la incógnita de 5(𝑎 + 17) = 45 es -8. 
__F__ 𝑥 + 7 = 12 es una identidad. 
__C__ La raíz de 𝑥 +
1
5
=
9
45
 es 0. 
__C__ Una incógnita despejada se puede ver así 𝑥 =
7+15
9
 
__C__ La expresión 𝐴 = 𝜋𝑟2 es una expresión algebraica. 
 
 
 
 
 
Geometría 
 
El sistema internacional de medidas y las medidas 
de superficie 
¿Qué es una superficie? 
La superficie es la porción del plano que ocupa una 
figura. Estas figuras poseen dos dimensiones: largo y 
ancho. 
La medida de superficie es llamada área, y se mide en 
unidades cuadradas. Estas unidades dependerán del 
sistema de medida que se va a estar usando. 
Conversiones en el Sistema Internacional de Medidas 
El sistema de medida ampliamente 
utilizado es el Sistema Internacional de 
Medidas (SI), en donde la medida de 
superficie utilizada es el metro cuadrado 
(𝑚2), siendo esta la medida de un 
cuadrado, cuyos lados miden 1 metro. 
El metro cuadrado posee múltiplos y 
submúltiplos, los cuales se presentan en el 
cuadro a continuación. El valor de cada 
unidad es 100 veces mayor a la unidad 
que se encuentre a la derecha. Por 
ejemplo, para poder convertir de metro 
cuadrado a decámetro cuadrado, se debe 
dividir entre 100, y en caso contrario, para 
convertir de metro a decímetro, se debe 
multiplicar por 100. 
× 𝟏𝟎𝟎 → 
Kilómetro 
Cuadrado 
Hectómetro 
cuadrado 
Decámetro 
Cuadrado 
Metro 
Cuadrado 
Decímetro 
cuadrado 
Centímetro 
cuadrado 
Milímetro 
cuadrado 
𝒌𝒎𝟐 𝒉𝒎𝟐 𝒅𝒂𝒎𝟐 𝒎𝟐 𝒅𝒎𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒎𝒎𝟐 
Múltiplos 
Unidad 
principal 
Submúltiplos 
←÷ 100 
Actividad # 29 
Completa la siguiente tabla con los valores de superficie correspondiente. 
𝒌𝒎𝟐 𝒉𝒎𝟐 𝒅𝒂𝒎𝟐 𝒎𝟐 𝒅𝒎𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒎𝒎𝟐 
0.000055 0.0055 0.55 55 5500 550000 55000000 
0.0058 0.58 58 5800 580000 58000000 580000000 
0.000000849 0.0000849 0.00849 0.849 84.9 8490 849000 
0.000000759 0.0000759 0.00759 0.759 75.9 7590 759000 
0.0000000472 0.00000472 0.000472 0.0472 4.72 472 47200 
0.000006697 0.0006697 0.06697 6.697 669.7 66970 6697000 
Actividad #30 
Resuelve las siguientes situaciones, expresa todas las respuestas en metros cuadrados (𝑚2). 
1. Un topógrafo mide el terreno para la construcción de un centro comercial. El terreno 
está conformado por dos rectángulos cuyas áreas son de 1.25 ℎ𝑚2 y de 
5240708 𝑑𝑚2. ¿Cuánto es el área total del terreno? 
1.25ℎ𝑚2 × 100 = 125 𝑑𝑎𝑚2 
125 𝑑𝑎𝑚2 × 100 = 12500 𝑚2 
5240708 𝑑𝑚2 ÷ 100 = 52407.08 𝑚2 
 
Respuesta: 12500𝑚2 + 52407.08 𝑚2 = 64907.08 𝑚2 
2. Juan necesita un azulejo cuya área es de 225𝑐𝑚2, sin embargo, en la tienda solo la 
venden en metros cuadrados. Transforma el área del azulejo para que Juan lo pueda 
pedir con el tamaño correcto. 
225𝑐𝑚2 ÷ 100 = 2.25 𝑑𝑚2 
2.25 𝑑𝑚2 ÷ 100 = 0.0225 𝑚2 
Respuesta: 0.0225 𝑚2 
 
3. Un estadio de fútbol es utilizado para realizar un concierto. El área donde se van a 
acomodar las personas mide 21 𝑑𝑎𝑚2. Si cada persona ocupa 15000 𝑐𝑚2 para que 
estén cómodas, ¿cuántas personas caben en el área destinada para ellas? 
21 𝑑𝑎𝑚2 × 100 = 2100 𝑚2 
15000𝑐𝑚2 ÷ 100 = 150 𝑑𝑚2 
150 𝑑𝑚2 ÷ 100 = 1.5𝑚2 
Respuesta: 2100𝑚2 ÷ 1.5𝑚2 = 1400 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 
 
4. El terreno de una casa incluyendo el patio en promedio es de 400 𝑚2, si el área de 
construcción de la casa es de 0.00011426 𝑘𝑚2, ¿cuánto es el área de patio que le 
queda? 
 
0.00011426 𝑘𝑚2 × 100 × 100 × 100 = 114.26 𝑚2 
Respuesta: 400 𝑚2 − 114.26 𝑚2 = 285.74 𝑚2 
 
 
 
 
 
 
Conversión del SI al sistema inglés 
El sistema inglés, es un sistema de medida utilizado principalmente en las naciones de habla 
inglesa. 
Estos tienen valores muy distintos a los del sistema internacional. A continuación, se 
presentan las principales unidades de longitud y área utilizadas en el sistema inglés, así 
como sus equivalencias al sistema internacional y viceversa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Ingles Sistema Internacional 
1 pulgada (in) 
1 pie (ft) 
1 yarda (yd) 
1 milla (mi) 
0.914 m 
30.48 cm 
2.54 cm 
1.609 km 
Longitud 
0.394 in 
0.0328 ft 
 
1.094 yd 
 
0.6214 mi 
1 m 
1 cm 
1 cm 
1 km 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad #31 
Arrastra la respuesta correcta a la casilla que corresponda. Realiza lassiguientes 
conversiones de unidades de longitud. 
1.3675 2296.16 0.833952 2.788 
21.749 48.09636 33.94 6.56 
19.308 29.2608 78.8 7.0231 
1. 85 cm a pulgadas y pies. ____33.94____in. ____2.788____ft. 
 
2. 2.765 pulgadas a centímetros. ___7.0231__cm. 
 
3. 12 millas a kilómetros. __19.308__ km. 
Sistema Ingles Sistema Internacional 
1 𝑖𝑛2 
1 𝑓𝑡2 
1 𝑦𝑑2 
1 𝑚𝑖2 
0.8361 𝑚2 
929.03 𝑐𝑚2 
6.452 𝑐𝑚2 
2.59 𝑘𝑚2 
Área 
0.155 𝑖𝑛2 
0.0011 𝑓𝑡2 
1.196 𝑦𝑑2 
0,3861 𝑚𝑖2 
1 𝑚2 
1 𝑐𝑚2 
1 𝑐𝑚2 
1 𝑘𝑚2 
 
4. 0.438 metros a yardas. __0.833952__ yd. 
 
5. 35 kilómetros a millas. __21.749__mi. 
 
6. 904 pulgadas a centímetros. __2296.16__ cm. 
 
7. 0.96 pies a centímetros. __29.2608__cm. 
 
8. 125 centímetros a yardas. __1.3675__ yd. 
 
9. 774 hectómetros a millas __48.09636__ mi. 
 
10. 2 metros a pulgadas y pies. __78.8__ in. __6.56__ft. 
Actividad #32 
Elija la mejor respuesta. Realice las siguientes conversiones de unidades de área. 
1. 457 𝑐𝑚2 a 𝑖𝑛2 
o 708.35 o 70.835 o 70.635 
 
2. 9858 𝑚2 a 𝑦𝑑2 
o 11790.17 o 1790.17 o 1177.90 
 
3. 226 𝑖𝑛2 a 𝑐𝑚2 
o 1478.49 o 1458.152 o 145.815 
 
4. 65 𝑦𝑑2 a 𝑚2 
o 54.3465 o 34.5465 o 65.3454 
 
5. 15 𝑚𝑖2 a 𝑘𝑚2 
o 5.7915 o 38.35 o 38.85 
 
6. 7564 𝑐𝑚2 a 𝑓𝑡2 
o 83204 o 8.3204 o 82.34 
 
7. 874597 𝑚𝑚2 a 𝑓𝑡2 
o 9.620567 o 962.0567 o 0.9620567 
 
8. 577.52 𝑘𝑚2 a 𝑚𝑖2 
o 222.980472 o 1495.77 o 2222.980472 
 
Área de figuras planas: Cuadrilátero y triángulo 
 
Área del cuadrado 
Un cuadrado es un cuadrilátero cuyos lados son iguales. La fórmula de área para el cuadrado 
es: 
 
𝐴 = 𝑙 × 𝑙 
𝐴 = 𝑙2 
 
Área del Rectángulo 
Un rectángulo es un cuadrilátero en donde los lados opuestos son iguales. En este caso, para 
identificar estos lados, se hablará de base y altura. La fórmula de área para esta figura es la 
siguiente: 
 
 
𝐴 = 𝑏 × ℎ 
 
Área del Rombo 
Un rombo es un paralelogramo que tiene sus lados iguales. Para poder realizar el cálculo de 
su área, es necesario saber los valores de sus diagonales. La fórmula del área de un rombo 
es la siguiente: 
 
 
 
𝐴 =
(𝐷 × 𝑑)
2
 
 
 
 
Área del Paralelogramo. 
Un paralelogramo es una figura cuyos lados opuestos son iguales y paralelos de dos en dos. 
El área de un paralelogramo está dada por la siguiente fórmula. 
 
 
𝐴 = 𝑏 × ℎ 
 
 
Área del Trapecio 
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, es decir, que no se cruzan; 
mientras que los otros dos, sí se cruzan. La fórmula para el área de un trapecio es la 
siguiente. 
 
 
𝐴 =
(𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟) × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 
 
Área del Triángulo 
Los triángulos son figuras planas, que posee tres lados que se intersecan en tres puntos 
distinto, llamados vértices. Para calcular el área de un triángulo, se utiliza la siguiente 
fórmula: 
 
 
𝐴 =
𝑏 × ℎ
2
 
 
 
 
 
Actividad #33 
Relaciona las figuras de la columna de la izquierda con las respuestas en la columna de la 
derecha. Calcula el área de las siguientes figuras 
A B 
 
144 𝑐𝑚2 
 
74 𝑖𝑛2 
 
75 𝑖𝑛2 
 
24 𝑚2 
 
128 𝑚2 
 
111 𝑐𝑚2 
 
450 𝑐𝑚2 
Actividad #34 
Dado las siguientes figuras, anota en el recuadro el área correspondiente a cada sección. 
Calcula el área total de la figura. 
 
A. ____50 𝑐𝑚2____ 
B. ___25.5 𝑐𝑚2 ____ 
C. ____24.5𝑐𝑚2___ 
D. ____100 𝑐𝑚2____ 
E. ___43.5 𝑐𝑚2 ___ 
Área total: ___243.5 𝑐𝑚2___ 
 
A = B =___48 𝑚𝑚2 _ 
C. ____48 𝑚𝑚2___ 
D. ____96 𝑚𝑚2____ 
E. ___15 𝑚𝑚2 ___ 
Área total: ___255 𝑚𝑚2___ 
Perímetro del círculo 
El perímetro es la medida de longitud de la línea que conforma el círculo. 
Se calcula multiplicando el valor del radio 
por 2 y por el valor de pi (𝜋). 
𝑃 = 2 × 𝑅 × 𝜋 
Otra forma de calcularlo es utilizando el 
valor del diámetro. Recordemos que el 
radio es la mitad del diámetro. 
𝑃 = 𝜋 × 𝐷 
El número pi es una constante, es decir, nunca cambia. Su valor aproximado es: 𝜋 = 3.14, 
la cual se utilizará para la resolución de las practicas. 
Actividad #35 
A continuación, calcula el perímetro de los siguientes círculos dado su radio. Escribe en la 
casilla tu respuesta. Utiliza dos decimales para expresar tus respuestas, de ser necesario. 
a) P = ____31.40 cm____ 
 
b) P = ____75.36 cm____ 
 
c) P = ____169.56 cm____ 
 
d) P = ____94.95 cm____ 
 
e) P = ____1099 mm___ 
 
f) P = ___3008.12 mm___ 
 
 
Actividad #36 
Pareo. A continuación, calcula el perímetro de los siguientes círculos dado su diámetro D. 
Relaciona el círculo de la columna A con su respuesta en la columna B. 
A B 
 
314 
 
56.52 
 
84.78 
 
113.04 
 
31.4 
 
Área del círculo 
El área del círculo es la medida de superficie delimitada por una circunferencia. 
Este se calcula multiplicando el valor de pi (3.14) por el radio del círculo elevado al cuadrado. 
𝐴 = 𝜋𝑟2 
Actividad #37 
Dado la siguiente caja de respuestas, arrastra la respuesta correcta a la casilla de la figura 
que corresponde. Encuentra el área de los siguientes círculos. 
 
 
 
 
Respuesta: __A=254.34__ 
 
Respuesta: ____A=706.5___ 
 
Respuesta: __A=1962.5__ 
 
Respuesta: ___A=9498.5__
 
 
A=1962.5 A=706.5 A=254.34 A=9498.5 
Área de un sector circular. 
Un sector circular es una porción del círculo, la cual se encuentra delimitada por dos radios 
R y un arco L. Este posee un ángulo, representado por el símbolo alfa (α). 
 
Para calcular el área de un sector circular, necesitamos saber el radio y el ángulo del sector. 
La fórmula del área de un sector circular es la siguiente. 
𝐴 =
𝜋 × 𝑅2 × 𝛼°
360°
 
Tengamos presente que un círculo completo tiene un ángulo de 𝛼° = 360°. 
Actividad #38 
Dado los siguientes datos, calcula el área del sector circular. Coloca en la casilla de la 
derecha, la respuesta. Utiliza dos decimales de ser necesario. Ten en cuenta que el valor de 
𝜋 = 3.14 
Radio R Ángulo α Área 
8 cm 25° 13.95 𝑐𝑚2 
23 m 19° 87.67 𝑚2 
5 cm 75° 16.35 𝑐𝑚2 
19 cm 45° 141.69 𝑐𝑚2 
145 mm 89° 16321.24 𝑚𝑚2 
Teorema de Pitágoras 
Un triángulo rectángulo es un triángulo cuyos lados forman un ángulo recto (igual a 90°) y 
dos ángulos agudos (menores de 90°). 
El teorema de Pitágoras está basado en la relación existente entre los lados de un triángulo 
rectángulo. Este teorema dicta lo siguiente: 
 
 
Esto se puede expresar en la siguiente fórmula. 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
Donde: 
“a” es el lado opuesto al ángulo A (cateto). 
“b” es el lado opuesto al ángulo B (cateto). 
“c” es el lado opuesto al ángulo recto C 
(hipotenusa). 
De la fórmula original, se derivan tres fórmulas que sirven para calcular el valor de cada lado 
del triángulo rectángulo. Estas fórmulas son: 
𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2 
𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2 
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 
Actividad #39 
Completa la siguiente tabla. Dado los siguientes datos, calcula el valor que hace falta. Utiliza 
dos decimales de ser necesario. 
Cateto a Cateto b Hipotenusa c 
15 cm 12 cm 19.21 cm 
3 m 6.87 m 7.5 m 
15.87 cm 6.75 cm 17.25 cm 
254 mm 1201.44 mm 1228 mm 
12 ft 6 ft 13.42 ft 
25 cm 122.47 cm 125 cm 
74 yd 64 yd 97.84 yd 
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la 
suma de los cuadrados de los catetos. 
90° 
A 
C 
c 
B 
b 
a cateto 
cateto 
Actividad #40 
Pareo. Relaciona los triángulos de la columna A con las respuestas de la columna B. Calcula 
el valor de la hipotenusa o el cateto, según corresponda. 
A B 
 
120.66 cm 
 
72.92 cm 
 
255.98 cm 
 
877.5 cm 
 
143.50 cm 
 
25 cm 
 
23.34 cm 
b = 55 cm 
 
 
 
 
Estadística y 
probabilidad 
 
La investigación estadística 
La estadística es una ciencia que se ocupa de obtener, ordenar y analizar un conjunto de 
datos con el fin de obtener explicaciones y predicciones sobre los fenómenos y situaciones 
que se observan. 
El proceso de obtención de datos se conoce como estudio estadístico, y esta se basa enherramientas de recolección de datos como es la encuesta y el cuestionario. Para esto, la 
persona debe establecer la población a estudiar, la muestra y la(s) variable(s) de estudio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Población 
La población es el conjunto 
completo de los elementos que 
posee una característica en común 
entre sí. Por ejemplo: 
• La población de una escuela 
está formada por todos los 
estudiantes de todos los 
grados. 
 
Muestra 
Es una parte pequeña del total de 
elementos, es decir, es un 
subconjunto de la población. 
Continuando el ejemplo anterior: 
• Una muestra sería el salón 
de sexto grado solamente. 
Variable 
 La variable es una característica de la muestra o de la población, la cual puede adoptar 
diferentes valores. Por lo general, los estudios estadísticos se centran en una o más variables. 
Las variables pueden clasificarse como cuantitativas y cualitativas. 
 
Variable Cualitativa 
Estas variables son aquellas que 
denotan una cualidad o 
característica notable de la muestra. 
Estas no pueden ser medidas con 
números. Por ejemplo: 
• los colores de ojos 
• la comida favorita 
• el género. 
Variable Cuantitativa 
Son aquellas características de la 
muestra, objeto o individuo que se 
puede representar con números. 
Por ejemplo: 
• la edad 
• peso 
• tamaño 
• cantidad de juguetes. 
 Actividad #41 
Arrastra la respuesta a la casilla correspondiente. A continuación, se presentan algunas 
alternativas de variables. Clasifícalas en cuantitativas y cualitativas. 
 
Ejemplo Tipo de variable 
La cantidad de personas en un avión 
 
La temperatura del agua de distintos vasos 
 
El color de los automóviles de un estacionamiento 
 
El tipo de mascota que tienen los estudiantes 
 
Pasatiempo favorito de los estudiantes 
 
El tamaño de los niños en un salón de clase 
 
Las estaciones del año 
 
La nota final de los estudiantes de la escuela 
 
Actividad #42 
Escribe en la casilla la respuesta correcta. Dado las siguientes situaciones, clasifícalos en 
población y muestra. 
Enunciado Clasificación 
Los autos marca Toyota en un estacionamiento. Muestra 
Los habitantes la República de Panamá. Población 
La cantidad de tiburones en el acuario. Muestra 
Los celulares marca Samsung en una tienda de electrónicos. Muestra 
Todos los juguetes de una juguetería Población 
Los estudiantes que aprobaron el examen Muestra 
Las fotos de un álbum. Población 
Las habitaciones de un hotel. Población 
 
Cuantitativa 
Cuantitativa 
Cualitativa 
Cualitativa 
Cualitativa 
Cuantitativa 
Cualitativa 
Cuantitativa 
Cuantitativa Cualitativa 
Técnicas de recolección de datos 
Uno de los procesos más importante de la estadística es la recolección de los datos que se 
van a estudiar. Estos datos vendrán de la muestra, ya que estudiar una población entera es 
un trabajo muy tedioso. 
Se utilizan diferentes herramientas y técnicas de recolección de datos, lo que no es más que 
la manera en que el investigador puede obtener esta información. Aplicar estas técnicas 
hace que sea más sencillo establecer las variables que se van a estudiar, como clasificarlas y 
analizarlas después de su recolección. Dentro de las principales técnicas de recolección de 
datos tenemos: 
Técnica Descripción Ejemplo 
Observación Es una técnica en la que se visualiza 
directamente el fenómeno o 
comportamiento de estudio, 
anotando cualquier cambio o evento 
que suceda. Por lo general se utiliza 
en el área científica. 
• Medir el crecimiento de 
una planta cada día 
• Ver qué comidas prefiere 
un bebé 
• Anotar los cambios en la 
metamorfosis de una 
mariposa. 
Encuesta La encuesta es una investigación 
cuantitativa realizada sobre una 
muestra representativa de una 
población mayor, en la que se 
recopilan los datos de un 
cuestionario previamente diseñado. 
Aquí no es necesario la interacción 
directa, por lo general, se 
proporciona una hoja o un enlace 
con la encuesta para que los sujetos 
la completen. 
• Los censos de población 
• La satisfacción de los 
clientes respecto a un 
producto 
• Las preferencias de 
deportes de los jóvenes. 
Entrevista La entrevista es una técnica directa, 
es decir, requiere interactuar 
directamente con la persona a la que 
vamos a entrevistar. Es un diálogo 
entre dos o más personas en la que 
el entrevistador realiza una serie de 
preguntas y el entrevistado 
responde a estas. 
• Las entrevistas realizadas 
por los reporteros a los 
transeúntes. 
• Las invitaciones de 
expertos a los programas 
de TV. 
• Los comentarios de los 
actores en la alfombra 
roja. 
 
 
 
Actividad #43 
Observación. Pregúntales a tus familiares y amigos cuál es su deporte preferido de los que 
se muestra a continuación. Marca la casilla con la respuesta que seleccionaron. (NOTA AL 
PROGRAMADOR: Respuesta libre) 
Persona 
 
1 X 
2 X 
3 X 
4 X 
5 X 
6 X 
7 X 
8 X 
9 X 
10 X 
Actividad #44 
Encuesta. Dado la siguiente estructura de encuesta, dile a un compañero o familiar que la 
llenen. Es una encuesta sobre sus animales favoritos. Escoge la respuesta de entre las 
sugerencias. (NOTA AL PROGRAMADOR: Respuesta libre) 
Animales favoritos 
A. ¿Cuál es el animal terrestre qué más le gusta? 
• León 
• Lobo 
• Elefante 
• Jirafa 
B. ¿Cuál es el animar acuático que más le gusta? 
• Ballena 
• Tiburón 
• Pez tropical 
• Pulpo 
C. ¿Tiene usted una mascota? 
• Si 
• No 
D. ¿Cuál de estos animales domésticos preferiría como mascota? 
• Gato 
• Perro 
• Hámster 
• Pez dorado 
• Loro 
E. ¿Cuál de estos animales les causa mayor miedo? 
• Cucarachas 
• Ratones 
• Serpientes 
• Arañas 
• Ninguno de los anteriores 
F. De los siguientes invertebrados. ¿cuál le parece más interesante? 
• Escarabajo rinoceronte 
• Mariposas 
• Mantis Religiosa 
• Cangrejo ermitaño 
• Escorpión 
• No me gustan los invertebrados. 
Actividad #45 
Entrevista. Realiza la siguiente entrevista a un compañero o familiar. La entrevista se trata 
de las actividades que realizan día a día. (NOTA AL PROGRAMADOR: Respuesta libre) 
 
Pregunta Respuesta 
Nombre del entrevistador 
Nombre del entrevistado 
¿A qué hora te levantas a 
prepararte para el día? 
 
¿Prefieres cocinar o comprar 
comida? 
 
¿Cuál es tu comida favorita? 
¿Dónde estudias/trabajas? 
¿Qué te gusta hacer en tus horas 
libres? 
 
¿A qué hora te preparas para 
dormir? 
 
¿Te gusta escuchar música antes 
de dormir? 
 
 
Análisis y organización de datos 
Todos los datos que recopilan en las encuestas, entrevistas y observaciones, deben ser 
organizadas para poder ser analizados de manera correcta. El método más común para 
organizar estos datos es la tabulación de datos. 
La tabulación de datos es la organización de los datos en tablas, de manera que se visualizar 
y clasificar la información de manera sencilla y directa. 
Por ejemplo, tomemos la actividad de observación anterior, solo que, con un grupo más 
grande de personas. Para tabular los datos, necesitamos contar la frecuencia de las 
elecciones. Esto no es más que la cantidad de veces que se repite una observación cuando 
se recopilan los datos. Tenemos así: 
Deporte Registro de observaciones 
Béisbol |||||||||||||| 
Futbol |||||||||| 
Natación |||| 
Ciclismo ||||||| 
En la tabla anterior, se muestran las observaciones de la preferencia de los deportes. 
Deporte Frecuencia 
Béisbol 14 
Futbol 10 
Natación 4 
Ciclismo 7 
 En esta tabla, ya se muestra la frecuencia de dichas observaciones. Se puede decir que la 
tabla se ve más “ordenada”. 
Las tablas se pueden elaborar de diferentes formas, velando siempre que la información sea 
fácil de comprender y analizar. Otra forma de elaborar la tabla anterior es de manera 
horizontal. 
Deporte Béisbol Fútbol Natación Ciclismo 
Frecuencia 14 10 4 7 
 
 
 
Actividad #46 
Dado la siguiente tabla de observaciones, escribea la derecha la frecuencia 
correspondiente. Se presentan los colores de automóviles que pasaron por carretera 
durante los siguientes 30 minutos. 
Color Observaciones Frecuencia 
Azul | | | | | | | | | | | | | 13 
Blanco | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 21 
Negro | | | | | | 6 
Rojo | | | | | | | | 8 
Marrón | | | 3 
Plateado | | | | | | | | | | | 11 
Amarillo | | | | | | | | | 9 
 
Actividad #47 
Observa la siguiente nube de conceptos, tabula los conceptos en la siguiente tabla e indica 
su frecuencia de observación. Se realiza una encuesta a 50 personas en una plaza sobre su 
género musical favorito, estas fueron sus respuestas 
 
Género musical Salsa Rock Electrónica Típico urbano 
Frecuencia 13 15 3 7 12 
 
 
Salsa, rock, salsa, salsa, rock, electrónica, electrónica, 
urbano, rock, salsa, típico, típico, salsa, rock, rock, 
rock, rock, salsa, típico, urbano, urbano, rock, típico, 
urbano, urbano, salsa, urbano, rock, urbano, típico, 
urbano, rock, salsa, rock, típico, salsa, rock, típico, 
salsa, salsa, urbano, urbano, electrónica, urbano, 
rock, rock, urbano, salsa, rock, salsa. 
Gráficas: Pictogramas, líneas, barras, histogramas 
y circulares. 
Una gráfica es una herramienta utilizada para representar los datos de manera visual. Por lo 
general, para poder realizar una gráfica, se deben tabular los datos primero. 
Las gráficas permiten que las personas que no están allegadas al estudio puedan visualizar, 
de manera sencilla, los resultados de este. También, sirven al investigador para identificar 
patrones, tendencias y relaciones en los datos, lo que facilita elaborar las conclusiones de la 
investigación. 
 
Elementos de las gráficas 
Para que una gráfica pueda entenderse, es importante que cuente con las siguientes partes 
en su estructura. 
A. Título del gráfico 
B. Título de eje vertical 
C. Título de eje Horizontal 
D. Leyenda 
E. Series de datos 
F. Líneas guía o de división 
 
 
 
 
A F 
E 
D 
B C 
Típos de gráficas 
Pictogramas 
Un pictograma es un gráfico muy parecido al gráfico de barras, sin embargo, sustituye las 
barras por imágenes o íconos que son proporcionales a la frecuencia. Se utiliza para 
representar los datos de manera más amigable al lector, por lo tanto, sus fines 
principalmente son publicitarios. 
Por ejemplo: Una agencia de venta de vehículos usados quiere hacerle saber a su público 
que las personas prefieren este lugar, por lo tanto, deciden mostrar al público la cantidad de 
autos vendidos en su mejor semana. 
 
Día Personas 
Lunes 8 
Martes 10 
Miércoles 15 
Jueves 8 
Viernes 23 
Sábado 17 
Domingo 18 
 
Gráficas de barras 
Es la forma clásica de representar los datos. Se trata la representación visual de los datos 
mediante barras rectangulares cuya longitud es proporcional a los valores que representa. 
Esta gráfica puede realizarse de manera horizontal o vertical. 
En el siguiente ejemplo, se observan los salarios que ganan 5 doctores que atienden en un 
hospital de la localidad. 
 
Doctor Salario 
Dr. Saldaña B/. 2,500.00 
Dra. Pérez B/. 1,550.00 
Dr. Martínez B/. 2,200.00 
Dr. Miller B/. 2,155.00 
Dra. Zapata B/. 1,945.00 
 
 
Gráficas de líneas 
Los gráficos de líneas consisten en una línea que indica la evolución de datos a lo largo del 
tiempo. Esta línea está formada por varias líneas rectas, las cuales unen todos los datos para 
formar la línea principal. Estas gráficas son utilizadas en las empresas, para ver su evolución 
económica a lo largo del año. 
Por ejemplo: Mateo tiene una cuenta en el banco en la cual está ahorrando un poco de 
dinero todos los meses. Al correo le llega el estado de cuenta de cada mes. Él quiere saber 
cuánto ha ahorrado desde enero hasta septiembre, y quiere visualizar todos sus 
movimientos de su cuenta bancaria. 
Mes Estado de 
cuenta 
Enero B/. 150.00 
Febrero B/. 250.00 
Marzo B/. 220.00 
Abril B/. 265.00 
Mayo B/. 300.00 
Junio B/. 365.00 
Julio B/. 350.00 
Agosto B/. 420.00 
Septiembre B/. 500.00 
 
 
Histogramas 
Un histograma es una representación de la distribución de un conjunto de datos. En este 
caso, para poder graficar un histograma, los datos recopilados deben ser clasificados en 
conjuntos más pequeños, es decir, en “rangos”. La grafica consiste en la cantidad de datos 
que pertenecen dentro de dicho rango. Estos gráficos son utilizados para saber cuántos 
individuos cumplen cierta característica. 
Esta gráfica es muy parecida a la gráfica de barras, sin embargo, no funcionan igual. En el 
histograma, no hay espacios entre las barras, mientras que en el gráfico de barras si las hay. 
 
Ejemplo: Se reúne a unas personas al azar para realizar un experimento social. Primero que 
nada, se clasifican a las personas por rango de edad y se realiza un histograma. 
 
 B/.-
 B/.100.00
 B/.200.00
 B/.300.00
 B/.400.00
 B/.500.00
 B/.600.00
Enero Febrero Marzo Abri l Mayo Junio Jul io Agosto Septiembre
Es
ta
do
 d
e 
cu
en
ta
Mes
 
Estado de cuenta
 
Rango de edad Cantidad 
7 a 15 5 
15 a 23 7 
23 a 31 8 
31 a 39 6 
39 a 47 3 
47 a 55 1 
 
Gráfica circular o de pastel 
La gráfica circular es un disco o círculo el cual se encuentra dividido en sectores, en donde 
el área de cada sector es proporcional a los porcentajes de los componentes de la población 
o la muestra. 
Estos son la forma ideal para mostrar gráficamente una distribución de frecuencias basadas 
en porcentajes. Estas dan al lector una idea rápida de la relación de las partes y el todo de 
los datos recopilados. 
Por ejemplo: A los estudiantes de sexto grado de toda la escuela se les realizó una encuesta 
sobré cuál universo de películas es su favorito. A continuación, se muestra una gráfica de 
pastel con los resultados. 
 
Universo de 
película 
Personas 
Marvel 20 
DC Cómics 13 
Disney 8 
Pixar 9 
DreamWorks 7 
 
 
 
Actividad #48 
Dada la siguiente gráfica, completa la tabla con los valores que correspondan. Responde las 
preguntas. 
El profesor de educación física realiza un estudio para averiguar cuál estudiante hizo menor 
tiempo en la carrera de obstáculos. La grafica que obtuvo es la siguiente 
 
Estudiante Tiempo (min) 
Juan 3.25 
José 3.50 
Mario 2.75 
Pilar 3.00 
Margarita 3.25 
Joel 3.75 
Víctor 2.75 
Natasha 3.50 
• ¿Qué tipo de gráfico se utilizó? _____Barras_____. 
• ¿Quién fue el(la) más rápido(a)? ____Pilar____. 
• ¿Quién fue el(la) más lento(a)? ___Joel____. 
• ¿Cuál es el promedio de tiempo que demoraron los estudiantes? ___3.16__ 
 
 
Actividad #49 
Un estudio reciente descubrió que gran parte de la selva del Darién está siendo talada 
indiscriminadamente. Como referencia, utilizan datos de otras selvas para comparar que 
tanto ha sido afectada dicha selva. Esto se representa en metros hectáreas en la siguiente 
tabla. (Datos ficticios) 
Selva 
Área talada 
(hectáreas) 
Darién 500 
Amazonas 1500 
Congo 700 
Monteverde 200 
Harapan 100 
Construye un pictograma arrastrando la siguiente imagen a la gráfica, donde corresponda. 
Ten en cuenta que cada imagen equivale a 100 hectáreas. 
 
 
 
 
Actividad #50 
Los padres de Tomás realizan las compras de supermercado cada mes. En la siguiente tabla 
se muestran los datos del costo de las compras realizadas cada mes. Ellos quieren visualizar, 
en un gráfico de líneas, estos datos, para comprender mejor sus gastos. 
Mes Costo (B./) 
Enero 275 
Febrero 250 
Marzo 225 
Abril 200 
Mayo 225 
Junio 250 
Julio 225 
Agosto 225 
Septiembre 200 
Octubre 250 
Noviembre 250 
Diciembre 275 
 
En el siguiente esquema, dibuja el gráfico de líneas, utilizando la herramienta de trazo. 
 
 
 
Respuesta: 
 
Actividad #51 
Dado el siguiente histograma, responde las preguntas planteadas. 
Se realizó un estudio para determinar cuál es el consumo de combustible promediode una 
muestra representativa de vehículos. El consumo es bastante variado, por lo tanto, se realiza 
un histograma para visualizar de mejor forma estos datos. 
 
Observa la gráfica y escoge la mejor respuesta. 
• ¿Cuál es el promedio de consumo de gasolina? 
o (12.72, 14.18) o (11.26, 12.72) o (14.18, 15.64) 
 
• ¿Qué consumo es menos frecuente? 
o (9.8, 11.26) o (15.64, 17.1) o (12.72, 14.18) 
 
• ¿Cuántos autos poseen un consumo promedio? 
o 12 o 9 o 10 
 
• ¿Cuántos autos poseen el menor consumo de gasolina? 
o 5 o 7 o 4 
 
• ¿Qué otro gráfico se puede utilizar para representar estos datos? 
o Pastel o Línea o Barras o Ninguno de los anteriores 
 
Razón: son muchos datos y en los otros tipos de gráficos es más difícil visualizarlos. 
Recuerda que los rangos agrupan muchos datos. 
• Si se realizara el estudio a una mayor cantidad de autos, ¿el gráfico mantendría su 
forma? 
o Si o No 
Razón: El enunciado dice que la muestra es representativa, por lo tanto, de haber 
cambios, no serían grandes. 
Actividad #52 
Dada la siguiente tabla de datos, colorea del color indicado el sector correspondiente. 
Los estudiantes de sexto grado realizaron una encuesta rápida para descubrir cuál es la 
comida que se comprará para la convivencia en el salón la próxima semana. Estos son los 
resultados 
Comida a 
pedir 
Cantidad 
de votos 
Color 
Pizza 12 
Hot Dog 3 
Arroz con 
pollo 
2 
Emparedados 4 
Hamburguesas 7 
 
Respuesta: 
 
 
 
Probabilidad. Noción y probabilidad de un evento 
La probabilidad hace referencia a que tan posible es que ocurra un evento específico. Un 
evento o suceso es cada uno de los resultados posibles en un experimento, y al conjunto de 
estos resultados se le conoce como espacio muestral. 
La probabilidad se calcula más que nada en eventos donde el azar es un factor 
predominante. Este se calcula mediante la siguiente fórmula: 
𝑃(𝐴) =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
 
Dónde: 
• A es el evento deseado al que queremos calcular su probabilidad 
• P(A) es la probabilidad de ocurrencia de dicho evento, el cual puede adoptar valores 
entre 1 (100% o que siempre ocurre) a 0 (0% o que nunca ocurre). 
• El numerador es la cantidad de veces en que se ha dado dicho evento. 
• El denominador es el recuento de todos los eventos posibles. 
Para calcular la probabilidad opuesta, se resta 1 menos la probabilidad de que suceda el 
evento. 
𝑃(𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎) = 1 − 𝑃(𝐴) 
Por ejemplo: Rosa tiene la oportunidad de girar la ruleta para 
ganarse un premio en efectivo. Ella quiere saber cuál es la 
probabilidad de que gane el premio mayor de $10,000, y cuál es 
la probabilidad de que gane el premio menor de $100. 
 
Primero hacemos una tabla para visualizarla cantidad de veces 
que se repite cada premio, y luego, aplicamos la fórmula para los 
escenarios de los cuales se desea saber la probabilidad. 
Premio Frecuencia 
$100 4 
$200 2 
$300 4 
$500 4 
$700 2 
$1000 1 
$10000 1 
Total 18 
La probabilidad de que gane el premio mayor es de 
0.056 (o 5.6%) y de que gane el premio menor es de 0.222 (o 22.2%). 
𝑃($10,000) =
1
18
 
𝑃($10,000) = 0.056 
 
𝑃($100) =
4
18
 
𝑃($100) = 0.222 
 
Actividad #53 
A continuación, resuelve la siguiente dinámica de dados. Se requiere que calcules la 
probabilidad de cada uno de los siguientes eventos. Coloca tu respuesta en la casilla 
correspondiente. Exprésalo en noción decimal y utiliza 2 decimales. 
1. Que la suma de ambos dados sea 5 
Respuesta: 0.11 
P(A)=Posibles combinaciones cuya suma sea 5 
(1,4) (4,1) (2,3) (3,2) 
Cantidad total de combinaciones: 
6 lados cada dado, 6 posibles números para combinar. 
6X6=36 posibles combinaciones 
𝑃(𝐴) =
4
36
=
1
9
= 0.11 
2. Los números que salgan en los dados sean pares. 
Respuesta: 0.25 
P(B)=Posibles combinaciones cuyos dados ambos sean pares 
(2,2) (2,4) (2,6) (4,2) (4,4) (4,6) (6,2) (6,4) (6,6) 
𝑃(𝐵) =
9
36
=
1
4
= 0.25 
3. Que la suma de ambos números que se obtengan sea par. 
Respuesta: 0.50 
P(C)=Posibles combinaciones cuya suma sea par 
(1,1) (1,3) (1,5) (2,2) (2,4) (2,6) (3,1) (3,3) (3,5) 
(4,2) (4,4) (4,6) (5,1) (5,3) (5,5) (6,2) (6,4) (6,6) 
𝑃(𝐶) =
18
36
=
1
2
= 0.50 
4. Que los números en ambos dados sean repetidos. 
Respuesta: 0.17 
P(D)=Posibles combinaciones cuyos números en ambos dados se repitan 
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) 
𝑃(𝐷) =
6
36
=
1
6
= 0.17 
5. Que la multiplicación de ambos sea menor o igual a 20 
Respuesta:0.83 
P(E)=Posibles combinaciones cuya multiplicación sea menor o igual a 20. 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 
(2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) 
(4,3) (4,4) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (6,1) (6,2) (6,3) 
𝑃(𝐸) =
30
36
=
10
12
= 0.83 
Actividad #54 
Al señor Alexander le gusta jugar bastante a la lotería. En donde vive, la lotería tiene tres 
cifras, es decir, juega desde el 000 hasta el 999, y el premio tiene un incentivo, el cual trata 
de acertar 2 juegos de letras desde la A hasta la D (A, B, C, D), tomando en cuenta su orden. 
El señor Alexander quiere saber las siguientes probabilidades. Coloca tu respuesta en la 
casilla correspondiente 
1. ¿Cuántas combinaciones posibles existe en las tres cifras? 
Respuesta: 1000 
2. ¿Cuántas combinaciones posibles existen en las dos letras del incentivo? 
Respuesta: 16 
Son 4 letras, y cada una tiene 4 combinaciones de dos letras, es decir 4X4= 16 
3. ¿Cuántas combinaciones posibles existen de las tres cifras y el incentivo? 
Respuesta:16000 
Si existen 16 combinaciones de incentivos, y 1000 combinaciones para el premio. Se 
debe multiplicar 16X1000=16000 
4. ¿Qué tan probable es ganar la lotería comprando solo un tiquete, sin tomar en 
cuenta el incentivo? 
Respuesta: 0.001 
𝑃(𝐴) =
1
1000
= 0.001 
 
5. ¿Cuál es la probabilidad de ganar la lotería si compra 5 tiquetes diferentes? 
Respuesta: 0.005 
𝑃(𝐵) =
5
1000
= 0.005 
6. ¿Qué tan probable es ganar la lotería y el incentivo con un solo tiquete? 
Respuesta: 0.0000625 
𝑃(𝐶) =
1
16000
= 0.0000625 
7. ¿Qué probabilidad tiene de perder la lotería y el incentivo? 
Respuesta = 0.9999375 
𝑃(𝐷) = 1 − 0.0000625 = 0.9999375