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Universidad De los Andes
Facultad de ciencias
Simulación con dinámica
molecular de las propiedades
vibracionales de cintas de
grafeno
Tesis presentada por Laura Meléndez
para obtener el grado en F́ısica
Dirigida por Yenny Hernandez Ph.D
Codirigida por Nestor Sanchez MSc
2021
Departamento de f́ısica
Índice general
Agradecimientos 4
Resumen 5
Abstract 6
Introducción 7
0.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.1.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.1.2. Objetivos Espećıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Estado del arte 13
1. Marco Teórico 15
1.1. Dinámica Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1. Interacciones Moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.2. Potenciales Interatómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.3. Propiedades termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Fonones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1. Modos de vibración de una cadena monoatómica . . . . . . . . 20
1.2.2. Dos átomos en una celda unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3. Potencial AIREBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4. Termostato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.1. Nose-Hoover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5. Ensambles termodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
Índice general 3
1.5.1. Ensamble microcanonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.2. Ensamble canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6. LAMMPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7. Espectroscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.1. FTIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8. Función de Correlación de Velocidades: VDoS, Espectro Vibracional . 40
1.8.1. Densidad de estados (DOS) y la transformada de Fourier . . . 41
1.9. Grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2. Simulación cinta de grafeno 43
2.1. Configuración inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Validación del modelo: Cálculo espectro vibracional . . . . . . . . . . 47
3. Resultados y análisis 49
3.1. Modelo de Dinámica Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Pico caracteŕıstico del grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. Dependencia con la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. Conclusiones 58
Bibliograf́ıa 59
Agradecimientos
Agradezco a mis papás y a mi hermano, pues me apoyaron durante todo mi
trayecto escolar y académico.
A mi asesora Yenny, por creer en mı́ cuando estaba en mi punto más bajo y por
desarrollar esta idea al lado mı́o. A Nestor por creer en nosotras y en este proyecto.
De igual manera a Julián Rico por complementar y guiarme en la parte
computacional.
A mis compañeros de carrera y de universidad, que siempre me dieron ánimos
cuando más lo necesité.
Finalmente a Dios, por darme esta vida y oportunidad.
4
Resumen
La dinámica molecular es un modelo que se ha vuelto esencial en la actualidad
para el estudio de las propiedades f́ısico-qúımicas de diferentes materiales, desde
escalas nanométricas hasta microscópicas pues nos ofrece resultados precisos que
son necesarios a la hora de contrastar estudios experimentales sobre las caracteŕısti-
cas de estos materiales. Este modelo es simulado por distintos software, entre ellos
LAMMPS (Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator), el cual uti-
liza la dinámica molecular para configurar diferentes sistemas atómicos, lo que nos
permite utilizar el modelo de forma práctica y sencilla. El objetivo principal del
estudio que se hizo en esta monograf́ıa, es comprobar que el modelo de dinámica mo-
lecular simulado computacionalmente por LAMMPS funciona, utilizando resultados
teóricos sobre una cinta de grafeno y haciendo un análisis vibracional a través de
modelos de densidad de estados vibracionales para encontrar el pico caracteŕıstico
del enlace C=C en la cinta de grafeno. Se encontró el pico caracteŕıstico al rededor de
1560.8 a 1629.1 cm−1, lo que nos comprueba la precisión del mismo. Adicionalmente,
se encontraron resultados computacionales donde se puede visualizar una dependen-
cia de la temperatura sobre este pico caracteŕıstico, ofreciéndonos información para
futuras investigaciones.
5
Abstract
Molecular Dynamics is a model that has become essential nowadays for the study
of the physicochemical properties of different materials in nanometric and micros-
copic scales, it gives us accurate results that are necessary for comparison with the
experimental research. LAMMPS (Large-scale Atomic/Molecular Massively Para-
llelSimulator) is a software that use Molecular Dynamics to model different atomic
systems in a simple way. The main target of this research is to prove that the Mo-
lecular Dynamics model works, using theorical results of a nanoribbon and doing
a vibrational analysis through density models of the vibrational states to find the
characteristic peak of the C=C bond in the nanoribbon. It was found that this cha-
racteristic peak was about 1560.8 to 1629.1cm−1 which proves the accuracy of this
model. Furthermore, the dependence of the position of the characteristic peak with
the temperature was studied, with results that would be interesting to understand
in future studies.
6
Introducción
La dinámica Molecular es un modelo que busca encontrar las caracteŕısticas de un
sistema de part́ıculas a partir de las interacciones entre ellas. Este es un modelo muy
poderoso y fácil de utilizar ya que emplea las ecuaciones de movimiento de Newton
y un potencial de interacción para hallar los parámetros deseados. Por esta razón, es
de gran interés en las investigaciones de sistemas nanométricos y micrométricos. Por
lo anterior, es pertinente entender su funcionamiento, sus aplicaciones y sobre todo
poder comprobar de primera mano la precisión de los datos resultantes de su aplica-
ción, para aśı poder disponer de él para investigaciones más exhaustivas. LAMMPS
(Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator) es un software que tra-
baja en paralelo para simular sistemas atómicos utilizando el modelo de Dinámica
Molecular, por su libre acceso y por todos los paquetes que implementa, forma un
programa efectivo y de fácil uso para los estudios de Dinámica Molecular.
Una simulación Dinámica Molecular t́ıpica incluye una secuencia de pasos que en
resumen son:
1. Determinar todas las condiciones iniciales de las part́ıculas, las cuales podemos
encontrarlas experimentalmente a través de espectroscopia raman o cristalo-
graf́ıa; igualmente, podemos asignarlas teóricamente acorde a las temperaturas
iniciales establecidas..
2. Calcular la función y la posición de las fuerzas de cada átomo. En programación,
ésta es la dinámica más exigente en razón que las fuerzas deben expresarse
simplemente para no comprometer la descripción f́ısica, que para nuestro caso
serán interacciones térmicas.
7
Introducción 8
3. Actualizar la posición y velocidad de las part́ıculas utilizando un integrador
dependiente del tiempo, por ejemplo el método Runge-Kutta. Se debe tomar en
cuenta en este paso los cambios de temperatura o las temperaturas constantes.
4. Se repite el paso 2 y 3 hasta alcanzar el numero deseado de pasos.
5. Para mayor análisis estad́ıstico, se hacen cambios en la trayectoria de las
part́ıculas, por ejemplo, micro estados o configuraciones del estado, con el fin
de calcular propiedades del sistema[1].
Podemos visualizar estos pasos en el esquema mostrado en la figura 1.
En las últimas décadas, uno delos campos más prometedores es la ciencia de
materiales, de la mano con la manipulación de materiales a escala nanométrica ha
sido la espectroscopia infrarroja por transformada de fourier (FTIR). FTIR se usa
para la identificación de materiales en peĺıculas, provee información de la interacción
de la organización molecular de interés[2]. Esta, es una espectroscopia vibracional
que nos permite caracterizar diferentes tipos de materiales, identificando el grupo
funcional en el que las moléculas de tales grupos oscila cuando se le irradia una luz
con una longitud de onda espećıfica. Porciones de estos espéctros o picos son unicos
dependiendo del compuesto de la muestra, lo que trae ventajas no destructivas para
caracterización de materiales[3]. Las vibraciones en el sistema estan estrechamente
relacionadas con la transferencia de calor y la temperatura, por lo que el estudio de la
vibración de un material puede darnos información sobre la forma en que transfiere
calor este[4].
En nuestra sociedad, el manejo eficiente de la enerǵıa térmica y la disipación de
calor se ha convertido en un reto a resolver puesto existen en muchos sistemas con
grandes intercambios de enerǵıa y calor que generan altos costos de operación[5].
Al respecto, y a pesar del desarrollo de nuevos aparatos electrónicos de escala na-
nométrica y micrométrica, la necesidad de disipar rápidamente la enerǵıa térmica es
absolutamente cŕıtica para mantener el buen funcionamiento del aparato y garan-
tizar su longevidad. Industrias como la aéreo-espacial, por ejemplo, a través de sus
departamentos de Investigación y Desarrollo, desarrollan estrategias que permitan
superar los inconvenientes resultantes del exceso de calor generado por componentes
Introducción 9
Figura 1: Diagrama de flujo de una simulación de Dinámica Molecular estándar[1].
Introducción 10
electrónicos y mecánicos dentro de la estructura del avión. Estos y otros problemas
motivan a la comunidad cient́ıfica entender, mejorar y guiar el desarrollo continuo
de nuevos materiales que presenten óptimas caracteŕısticas de transporte térmico,
indispensable para una industria en constante evolución[6].
En general, y para ilustrar lo que se está exponiendo, en materiales solidos el
calor se transporta por fonones y electrones bajo K = KP + Ke, donde Kp y Ke
son las contribuciones de fonones y electrones respectivamente. En metales o semi-
conductores dopados, Ke es dominante por la gran densidad de portares libres. Los
fonones son usualmente los principales portadores de calor en materiales a base de
carbón. Incluso en el grafito, el cual tiene propiedades parecidas a las del metal, la
conducción de calor es dominada por fonones acústicos. En una nanoestrucutura, el
espectro de enerǵıa del fonón esta cuantizado por el confinamiento de espacio de los
fonones acústicos. La modificación de la enerǵıa del fonón, la velocidad de grupo y
la densidad de estados, juntos con la dispersión del fonón desde los bordes afecta la
conductividad térmica de las nanoestructuras[7].
El grafeno, es un material compuesto por carbono que se presenta como una es-
tructura hexagonal bidimensional formada por una única capa de átomos, el cual
fue descubierto el 2004[8], generando grandes expectativas en la comunidad cient́ıfi-
ca por sus singulares y prometedoras propiedades, que abarcan desde la rama de la
electrónica, hasta los comportamientos térmicos y reoloǵıcos de diversas estructuras.
Este material por ejemplo, presenta algunos de los más altos valores de conductividad
térmica a temperatura ambiente (3000-5000 W/mK) entre los materiales conocidos
[9]. Recientemente, diferentes grupos de investigación reportaron que la conductivi-
dad térmica de la monocapa de grafeno exfoliado sobre un soporte de dióxido de
silicio llega a 6000 W/mK, cerca a temperatura ambiente, superando de tal manera
metales de alta conductividad como el cobre. Por otro lado, hay medidas obtenidas
a temperatura ambiente que indican que la conductividad térmica de un nanotubo
de carbón con pared individual de 2.6 µm de largo (SWCNT Single Wall Carbón
NanoTube) es de aproximadamente 3400 W/mK los resultados expuestos indican
que la conductividad térmica de una sola capa de grafeno es más alta que la de un
Introducción 11
CNTs, haciéndolo un candidato prometedor en muchas aplicaciones [10].
Muchos modelos teóricos han sido propuestos y aplicados para explicar y prede-
cir las propiedades térmicas únicas del grafeno. Uno de ellos, la Dinámica Molecular
Clásica (MD), se utiliza ampliamente para calcular la conductividad térmica de las
nanofibras de grafeno[9]. Este tipo de simulaciones pueden proveernos grandes canti-
dades de información con respecto al movimiento de part́ıculas individuales en fun-
ción del tiempo permitiendo simular millones de sistemas activos de átomos. Además,
pueden utilizarse para abordar preguntas espećıficas sobre las propiedades de un sis-
tema modelo, que es más sencillo de abordar que un sistema real. Por supuesto, los
experimentos juegan un papel vital validando la metodoloǵıa de las simulaciones[11].
En nanof́ısica se investiga sobre las propiedades térmicas del grafeno utilizando la
técnica Dinámica Molecular[12].
Introducción 12
0.1. Objetivos
0.1.1. Objetivo General
Entender y obtener un modelo de Dinámica Molecular computacional de cin-
tas de grafeno perfectas a diferentes configuraciones, que permita comparar
datos computacionales y teóricos de espectros vibracionales que caractericen el
material.
0.1.2. Objetivos Espećıficos
Entender el modelo de Dinámica Molecular implementando por primera vez en
el Laboratorio de Nanomateriales de la Universidad de los Andes el software
LAMMPS.
Utilizar la información obtenida en el espectro de velocidades calculado por
LAMMPS, para calcular el espectro vibracional de cintas de grafeno para di-
ferentes geometŕıas.
Visualizar la dependencia de los picos caracteŕısticos con la temperatura.
Estado del arte
Realizamos simulaciones como dinámica importante para entender las propieda-
des de las moléculas en términos de su estructura y de sus interacciones microscópi-
cas. Esto da el complemento perfecto para la información dada por los experimentos,
ofreciéndonos información nueva que no podŕıamos encontrar de otra forma. Las dos
familias principales en simulación son Monte Carlo y Dinámica Molecular[13]. La
primera simulación de Dinámica Molecular fue hecha por Alder y Wainright [14] en
el año de 1957 para estudiar, en una esfera dura, transiciones de fase, más tarde
en 1960 Vineyard[15] estudió el daño de la radiación en el cobre. Ya en 1964 se dio
el primer intento exitoso usando el potencial de Lennard-Jones con Dinámica Mo-
lecular en un sistema de moléculas[16], de aqúı en adelante se han hecho estudios
rigurosos utilizando este potencial para estudiar el comportamiento de las part́ıculas.
Después de esto se estudiaron moléculas diatómicas utilizando Dinámica Molecular
por Harp y Berne[17]. Ya en los últimos años el modelo se ha estudiado en áreas
como la biof́ısica, poĺımeros, cristales ĺıquidos, en nanociencia y otros sistemas de
materia condensada[18].
Antes de la primera simulación de DM en 1946 se hicieron los primeros estudios de
mecánica molecular utilizando las ecuaciones de Newton y los campos de fuerza para
caracterizar sistemas moleculares. Este fue el primer paso antes de entrar a la parte
computacional[19]. Definimos la Dinámica Molecular como un método que utiliza las
ecuaciones de movimiento de Newton para simular computacionalmente la evolución
temporal de un sistema de átomos que interactúan entre ellos. Este depende del
potencial con el que interactúan entre ellos. Actualmente la Dinámica Molecular es
muy popular sobre todo en el area de la bioloǵıa, demostrando su efectividad para
13
Estadodel arte 14
calcular parámetros cinéticos y termodinámicos detrás de todos los procesos qúımi-
cos que involucran moléculas invitadas formando enlaces con moléculas anfitrionas.
Esto para el estudio de medicinas a escala nanométrica y su transporte en el cuerpo
humano. La DM se ha reconocido como vital en el descubrimiento de interacciones
entre protéınas[20].
Las simulaciones en DM no tienen un costo computacionalmente alto, son re-
presentativas a nivel del numero de átomos y el número de pasos. La simulación es
esencialmente en paralelo y la meta de LAMMPS es diseñar un código clásico de
DM a gran escala en paralelo. Este comenzó a mediados de 1990 entre los labora-
torios DOE(Sandia y LLNL) y 3 compañ́ıas(Cray,BristolMyers Squibb y Duppont).
El LAMMPS actual esta escrito en C++ y se publicó como fuente de libre acceso
en 2004. A lo largo de los años desde que este fue creado se fueron añadiendo cada
vez caracteŕısticas más exactas, por ejemplo diferentes paquetes de potenciales, de
moléculas y de configuraciones de estas, por los mismos laboratorios o por creadores
externos interesados en que fueran utilizados en el futuro para investigaciones. Por
ejemplo, la última actualización del Software se dio en 2016 según la página oficial
de LAMMPS[21], fueron los potenciales de Tersoff para interacción de part́ıculas por
Ganga P Purja Pun de la Universidad George Mason y diferentes caracteŕısticas
como, cada cuanto se equilibra el sistema, entre otras modificaciones[21].
Actualmente para estudios sobre estructuras de carbono, se utiliza LAMMPS pa-
ra simulacion de Dinámica Molecular, como herramienta para probar propiedades en
estos sistemas interactuando con otros como por ejemplo con agua [22] donde se pue-
den observar comportamientos inusuales en el grafeno. Por otro lado como LAMMPS
tiene paquetes para resolver integrales numéricas de las ecuaciones de movimiento
especiales para interacciones carbón-carbón y como experimentalmente se pueden
encontrar fenómenos interesantes, se puede hacer investigaciones en Dinámica Mo-
lecular para observar la estabilidad térmica interactuando con un substrato como se
puede observar en Fonseca[23]. En general para cualquier sistema nanoescala o micro-
escala, la simulacion de DM calcula propiedades térmicas, mecánicas y estructurales,
dándole precisión al estudio o investigación.
Caṕıtulo 1
Marco Teórico
1.1. Dinámica Molecular
Dinámica Molecular es la ciencia de simular comportamientos dependientes del
tiempo en un sistema de part́ıculas. Genera información de posiciones atómicas y ve-
locidades a niveles microscópicos[24], entendiendo las propiedades de un ensamble de
moléculas en térmicos de su estructura y como esto se ve reflejado en las interacciones
entre ellos. Una de las ventajas más importantes de este método es que nos provee
una ruta para encontrar propiedades dinámicas del sistema, tales como: coeficientes
de transporte, perturbaciones dependientes del tiempo y espectros vibracionales[13].
Este tipo de simulaciones computacionales sirven como puente entre escalas ma-
croscópicas de tiempo, tamaño y el mundo macroscópico del laboratorio como se
puede ver en la figura 1.1. Se provee un aproximado de las interacciones entre las
part́ıculas y obtenemos una predicción ”exacta” de las propiedades de esta. Al usar
el término ”exacta”, nos referimos a que puede ser tan apegada a la realidad como
se desee y esté dentro del presupuesto computacional. Por ejemplo, podemos hallar
relaciones entre el coeficiente de difusión y la función de auto correlación de velocida-
des. Otra ventaja es poder someter el experimento computacional bajo parámetros
que normalmente seŕıan muy dif́ıciles en condiciones normales en un laboratorio,
como exceso de temperatura o presión[13].
15
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 16
Figura 1.1: Teoŕıa y experimento, en este caso la muestra es un fluido complejo[13].
Igualmente son muy potentes para atacar problemas de f́ısica estad́ıstica, f́ısico-
qúımica y biof́ısica. Aunque las descripciones teóricas en las f́ısica estad́ıstica com-
pleja están más que bien desarrolladas y las técnicas experimentales tienen detalles
microscopios y sofisticados, hay aspectos espećıficos que solo pueden detallarse en
simulaciones. Por ejemplo solución para el modelo de Ising en 2D[25].
1.1.1. Interacciones Moleculares
Las simulaciones de Dinámica Molecular dan soluciones numéricas, paso a paso a
ecuaciones clásicas de movimiento, que para un sistema atómico simple la podŕıamos
escribir como:
miai = fi, (1.1)
fi = − ∂
∂ri
U, (1.2)
Debemos hallar las fuerzas fi actuando en los átomos. Estas usualmente se de-
rivan del potencial de enerǵıa U(rN), donde rN = (r1, r2....rN representan las 3N
coordenadas completas [13].
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 17
Para cada átomo i en un sistema constituido por N átomos, tenemos mi como
la masa de cada átomo, ai su aceleración y fi la fuerza que actúa a través de las
interacciones con los otros átomos. Equivalentemente podemos resolver la ecuación
Hamiltoniana clásica de movimiento:
ḟi = −∂H
∂ri
, ṙi =
∂H
∂pi
, (1.3)
Donde pi y ri son el momento y las coordenadas de posición para el átomo i. El
Hamiltoniano se define como:
H(pi, ri) =
p2
i
2mi
+ V (ri), (1.4)
La fuerza de cada átomo puede ser calculada como la derivada de la enerǵıa con
respecto al cambio en la posición de los átomos:
fi = −∇iV = −dE
dri
, (1.5)
El conocimiento de las fuerzas atómicas y las masas se puede usar para resolver
las posiciones de cada átomo a través de una serie de pequeños pasos en el tiempo
(en el orden de femtosegundos). Las velocidades se calculan de las aceleraciones:
ai =
dvi
dt
(1.6)
Para resumir el proceso, en cada paso, las fuerzas entre los átomos se computan y
se combinan con las posiciones y velocidades actuales para generar nuevas posiciones
y velocidades en corto tiempo. Se asume que la fuerza es constante a menos que se
especifique lo contrario. Cada posición y velocidad se actualiza y un ciclo dinámico
empieza[24].
Se puede considerar una simulación de Dinámica Molecular como un experimen-
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 18
Figura 1.2: Diagrama de flujo de una simulación ordinaria de Dinamica Molecular[26].
to. Podemos ver un diagrama de flujo de una simulación de DM ordinaria:
En el cual ajustamos el sistema hasta que alcanza la condición deseada (en este
caso la temperatura T y la presión P) y realizará promedios tales como la función de
distribución radial g(r) o la conductividad térmica. También podemos calcular DM
para sistemas que no están en equilibrio. Durante este proceso el sistema esta sujeto
a perturbaciones grandes externas y analizamos la respuesta en no equilibrio[26].
1.1.2. Potenciales Interatómicos
En la ausencia de fuerzas externas, el potencial puede ser representado en el caso
más simple como una suma de interacciones de pares:
U =
N∑
i=1
N∑
j>i
u(rij), (1.7)
Donde rij = ri − rj, rij ≡ | rij |. La condición j > i previene el doble conteo de
part́ıculas pares. Las fuerzas que actúan sobre estas part́ıculas van a estar definidas
como las interacciones individuales con el resto de ellas:
F̃i =
N∑
j 6=i
fij, fij = −du(rij)
drij
· rij
rij
, (1.8)
De acuerdo a la tercera ley de Newton fij = −fij. Estas fuerzas serán expresadas
anaĺıticamente para reducir el esfuerzo computacional[27].
Para ejecutar una simulación de Dinámica Molecular, usualmente describimos las
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 19
fuerzas de las part́ıculas a partir del gradiente del potencial, que conocemos como
enerǵıa potencial de la superficie. Ya que el origen de este es de la mecánica cuántica,
sus métodos para solucionarlo son muy demandantes computacionalmente. Una ma-
nera natural de representar este potencial es expandiendo en términos de un cuerpo,
dos cuerpos, tres cuerpos y términos deorden más altos[28].
V (r1, ...., rN) =
∑
i
v1(ri +
∑
i
∑
j>i
v2(ri, rj) +
∑
i
∑
j>i
∑
j>i
v3(ri, rj, rk) + ... (1.9)
El primer término representa el efecto de un campo externo y los términos si-
guientes las interacciones interatómicas. Regularmente mantenemos los primeros dos
términos y decimos que v1 igual a cero. Esta aproximación se utiliza para sistemas
iónicos o enlaces de van der Walls. Para sistemas con enlaces covalentes es necesario
incluir la dirección del enlace a través de términos de orden mayor en la expansión[28].
La enerǵıa potencial de la superficie la definimos como:
∂V
∂xk
= ĺım
h→0
[V (x0, y0, z0, ..., xk + h, yk, zk, ...xN−1, yN−1, zN−1)− V (x0, y0, z0, ...,
xk, yk, zk, ...xN−1, yN−1, zN−1)]/h,
(1.10)
Que es la tasa de cambio en V cuando cambiamos una coordenada ligeramente
mientras mantenemos las otras fijas[29].
1.1.3. Propiedades termodinámicas
Si consideramos la temperatura T y la densidad ρ como variables independientes,
las enerǵıa E y la presión P pueden ser expresadas rápidamente. Esto nos crea un
puente entre el nivel microscópico y macroscópico y sus medidas en una simulación
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 20
de Dinámica Molecular directamente, pero utilizamos el 〈T 〉 en vez de T . La presión
es dada por la fórmula:
PV = NkBT +
1
3
〈
N∑
i=1
ri · Fi〉, (1.11)
Para el caso de un par potencial:
PV = NkBT +
1
3
〈
N∑
i=1
rij · Fij〉, (1.12)
Teniendo la relación entre temperatura y enerǵıa cinética de los átomos:
T =
2kbEkin
3N
, (1.13)
Podemos expresar la presión como:
P =
ρ
3N
〈2Ekin +
N∑
i<j
rij · fij〉, (1.14)
Donde aparecen cantidades espećıficas que provee la simulación[13].
1.2. Fonones
1.2.1. Modos de vibración de una cadena monoatómica
Consideremos una dimensión de vibración de un cristal de un átomo en una celda
unitaria como se muestra en la figura 1.3. Queremos hallar la frecuencia ω de una
frecuencia elástica en términos del vector de onda k. La ecuación que describe como
cada átomo esta conectado con sus vecinos por resortes de constante C:
fn = C(xn+1 − xn) + C(xn−1 − xn) (1.15)
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 21
Figura 1.3: Red mono atómica 1- dimensional. a es la distancia entre los átomos. Los
átomos se desplazan como una onda longitudinal[30].
Usando la segunda ley de Newton de movimiento con un átomo de masa m:
fn = m
d2xn
dt2
(1.16)
Combinando estas dos tenemos:
m
d2xn
dt2
= C(xn+1 + xn−1 − 2xn) (1.17)
Donde la solución general es:
xn = Aei(kna−wt) (1.18)
Donde ω es la frecuencia angular ω = 2πf , donde f es la frecuencia. Nosotros
consideramos la onda estacionaria de un cristal el cual tiene un numero finito N de
átomos[30].
eikna = 1 (1.19)
Como eikna =coskna+ isenkna, tenemos:
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 22
cos kna = 1 (1.20)
Lo que nos lleva:
k =
2π
a
n
N
, n = 1, 2, ...N (1.21)
Notemos que k lo cambiamos por 2π/a. Considerando la primera zona de Bi-
llouin, usando la periodicidad que tenemos:
−π
a
< k < +
π
a
, (1.22)
El desplazamiento de los fonones puede ser descrito como un vector de onda den-
tro de la zona de Brillouin. Tomando la segunda derivada:
d2xn
dt2
= −ω2Aei(kna−ωt) (1.23)
Lo meteremos en nuestra función de fuerza:
-ω2Aei(kna−ωt) = C(Aei(k(n+1)a−ωt) + Aei(k(n−1)a−ωt)− 2Aei(k(n)a−ωt) (1.24)
= CA(eika + e−ika − 2)ei(kna−ωt) (1.25)
Lo cual lleva a:
−ω2 =
2C
m
(1− eika + e−ika
2
) (1.26)
resolviendo para ω, tenemos:
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 23
Figura 1.4: Relación de dispersión de una red mono-atómica unidimensional en la
primera zona de Brillouin[30].
ω =
√
4C
m
sen
ka
2
(1.27)
La solución que describe la propagación de la onda con velocidad de fase vs, y
velocidad de grupo vg[31].
vg =
∂ω
∂k
(1.28)
Cuando k es pequeño comparado con π/k, ω es lineal en k. La velocidad de fase
es igual a la velocidad del sonido vs como:
vs =
ω
k
(1.29)
Podemos ver en la figura que la Relación de dispersión en la zona de Brilluoin
difiere en gran manera con la curva continua, que en comparación se ha asumido que
tiene el mismo comportamiento que una cadena discreta de longitud de onda en el
ĺımite (k pequeño).
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 24
Figura 1.5: Cadena lineal diatómica de diferentes átomos, conectados con un resorte
de constante C[31].
1.2.2. Dos átomos en una celda unitaria
Considerando la oscilación elástica unidimensional de un cristal con dos diferen-
tes masas en una celda unitaria, el cual esta conectado con resortes de constante C
como se muestra en la siguiente figura1.5[31].
Para masas M muy grandes:
Fn = C(Xn − xn) + C(Xn−1 − xn) (1.30)
Usando la segunda ecuación de movimiento de Newton:
m
d2Xn
dt2
= C(Xn + xn + 1− 2Xn) (1.31)
El determinante debeŕıa ser cero, entonces:
ω4Mm− 2C(M +m)ω2 + 4C2 − (2− eika + e−ika) = 0 (1.32)
Resolviendo para ω1 y ω2,
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 25
(ω1)
2 =
1
2mM
(2c(m+M)−
√
(2C(m+M))2 − 8mMC2(1− cos ka (1.33)
y
(ω2)
2 =
1
2mM
(2c(m+M)−
√
(2C(m+M))2 − 8mMC2(1− cos ka)) (1.34)
Cuando k es pequeño, cos ka > 1 lo cual nos da ω1 > 0 y
ω2 =
√
2C(m+M)
mM
(1.35)
Cuando k es π/a en el borde la zona de Brillouin, cos ka > −1, lo cual nos da:
ω1 =
√
2C
M
(1.36)
ω2 =
√
2C
m
(1.37)
En la siguiente figura, la rama más baja tiene la misma estructura que la única
rama que encontramos en la cadena mono-atómica: ω1 se desvanece linealmente en k
para k pequeños y la curva se vuelve plana en los bordes de la zona de Brillouin. Esta
rama se conoce como la rama acústica porque la relación de dispersión es de la forma
w = vk es caracteŕıstica de las ondas de sonido a pequeños k. La segunda rama a ω2
=
√
2C(M +m)/mM a k = 0 e incrementa con k. Esta rama es conocida como la
rama óptica porque a grandes longitudes de onda, el modo óptico en cristales iónicos
puede interactuar con radiación electromagnética y son responsables de muchas de
las caracteŕısticas en el comportamiento óptico de tales cristales[32].
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 26
Figura 1.6: Curva de dispersión para una red unidimensional di-atómica en la primera
zona de Brillouin[32].
Si hay p-átomos en una red de 3 dimensión, tenemos 3p ramas dadas por la re-
lación de dispersión: 3 acústicas y (3p − 3) ramas ópticas. Por ejemplo un átomo
en una red tiene 3 ramas acústica y tiene cero ramas ópticas. Si tenemos 2 átomos
en una red, tendremos 6 ramas: 3 acústica y 3 ramas ópticas como se mostró en la
figura. Tenemos modos acústicos longitudinales y transversales, LA y TA respecti-
vamente, también tenemos modos ópticos longitudinales y transversales, LO y TO.
La velocidad de grupo es los modos ópticos superiores es pequeña, por esto no son
tan efectivos transportando enerǵıa, pero esto puede afectar el flujo de calor inter-
actuando con los modos acústicos, los cuales son los principales responsables por la
conductividad térmica[32].
Aunque en un cristal se diga que tiene 3 ramas acústicas, esto no necesariamente
significa que debe haber diferentes frecuencias. En una estructura cúbica de PbTe,
las dos ramas transversales son degeneradas, lo cual se muestra en la f́ıgura siguiente.
Debeŕıa notarse que el término ”óptico” es un término utilizado para describir todas
las frecuencias que tiene una frecuencia diferente a cero en k = 0[32].
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 27
Figura 1.7: Relación de dispersión de una red en tres dimensiona en la primera zona
de brillouin[32].
1.3. Potencial AIREBO
El potencial con el que usamos nuestro sistema se basa en el potencial reactivo
de orden de enlace emṕırico de Brenner. Este calcula el potencial de enerǵıa para
enlaces covalente y de fuerza interatómica. Este tiene en cuenta reacciones qúımica
para sistemas de hidrocarburos en cualquier estado. El primer método que se utilizó
para interacciones en enlaces covalentes para simulaciones computacionales fue el
potencial de Tersoff. Este permit́ıa la formación y disociación de enlacesqúımicos
covalentes durante una simulación, para esto el potencial describe la creación y se-
paración de enlaces covalentes, sin limitarlos a la unión individual entre átomos con
sus respectivos vecinos. Un ejemplo de este potencial es el reactivo orden de enlace
emṕırico (REBO por sus siglas en inglés Reactive Empirical Bond Order) que usa
el estilo de Tersoff para describir interacciones covalentes en sistemas de carbono e
hidrocarburos[33].
El potencial reactivo adaptivo intermolecular de orden de enlace (AIREBO por
sus siglas en inglés Adaptive Intermolecular Reactive Empirical Bond Orde) es una
mejora a (REBO) generado para incrementar los procesos f́ısicos por lo que pasa la
muestra y no solo las reacciones qúımicas. Este también utiliza los principios fun-
damentales para enlaces covalentes, espećıficamente para carbon e hidrocarbono[34].
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 28
Figura 1.8: a. Calculo de la dispersión de PbTe por Zhang et al (2009), b.La zona de
brillouing para el PbTe. Los puntos de simetŕıa estan denotados[32].
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 29
Para alcanzar esta meta, el potencial añade interacciones de no-enlace a las reaccio-
nes covalentes que maneja el potencial (REBO). Este potencial va a componerse por
la sumatoria de los términos de los potenciales que se utilizaron para desarrollar esta
última versión; el potencial (REBO) que computa la enerǵıa potencial total del siste-
ma sumando la distancia de interacción de los átomos vecinos, también el potencial
de Lennar-Jones que permite modelar las interacciones Van der Waals de los átomos
de carbon, que solo (REBO) no podŕıa computar. Se ha demostrado en diferentes
investigaciones que este potencial es preciso a la hora de simular grandes sistemas[35].
Este potencial esta determinado dentro del paquete de LAMMPS y a través de
los resultados se puede validar su funcionalidad.
1.4. Termostato
Cuando hablamos de dinámica molecular nesecitamos definir un ensamble, en
nuestro caso es el ensamble canónico y un termostato que module la temperatu-
ra del sistema de alguna forma. LAMMPS posee una alta variedad de termostatos
que están disponibles dentro del paquete del sistema. Con estos podemos añadir
o remover enerǵıa de las fronteras de un sistema en dinámica molecular de forma
realista, aproximándonos al ensamble canónico[36]. El algoritmo para generar un en-
samble termodinámico con temperatura constante esta motivado para que coincidan
con las condiciones experimentales, ya que normalmente estos sistemas están a una
temperatura determinada y no son aislados. También queremos conocer procesos de-
pendientes de la temperatura, como por ejemplo determinar coeficientes térmico u
investigar dependencias con la temperatura. Por otro lado para analizar sistemas en
equilibrio y no-equilibrio como simular transporte de calor[37].
Idealmente lo que se desea con el termostato es asegurarnos que la tempera-
tura promedio del sistema es la deseada. Para esto necesitamos una temperatura
instantánea, que va a ser comparada con la temperatura de referencia To del baño
térmico que vamos a acoplar al sistema. Siguiendo el teorema de equipartición, la
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 30
enerǵıa interna cinética promedio K esta relacionada con su temperatura macrosco-
pica de la forma:
K = 〈K〉 =
1
2
KBNdfT (1.38)
Donde kB es la constante de Boltzmann, Ndf es numero de grados de libertad
internos del sistema y K es es la enerǵıa cinética interna instantánea. De acá pode-
mos despejar la temperatura promedio 〈T 〉[38].
1.4.1. Nose-Hoover
El termostato Nosé-Hoover se propuso principalmente para el control isotérmico,
como podemos ver en la figura 1.9, donde la muestra esta inmersa en un reservorio
de calor a temperatura constante T exp, antes de que la muestra adquiera la tempe-
ratura esperada, la enerǵıa de esta fluctúa por lo tanto hay intercambio de enerǵıa
entre la muestra y el reservorio. Esto obliga al sistema a mantener una temperatura
uniforme al paso del tiempo[39].
El algoritmo Nose-Hoover introduce grados adicionales de libertad a un Hamilto-
niano del sistema, del que podemos derivar la ecuación de movimiento. Las ecuaciones
para lo grados de libertad adicionales se integran con las ecuaciones ”generales”para
las coordenadas de espacio y momento. Lo que se queŕıa era que el baño térmico o
reservorio controlara la temperatura dada al sistema.
La interacción térmica entre el reservorio y el sistema resulta en un intercambio
de enerǵıa cinética entre ellos. Para explicar esto lo que hace Nose es introducir dos
tipos de variables, reales y virtuales pi, qi y πi, ρi respectivamente. Vamos a introdu-
cir s como el grado de libertad adicional que actúa como un sistema externo. Vamos
a relacionar las variables reales con las virtuales de forma[38]:
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 31
Figura 1.9: Muestra gráfica de un termostato Nose-Hoover.
pi = πi/s, qi = ρi, t =
∫ τ
0
dτ
s
(1.39)
Donde τ es el tiempo virtual y t el tiempo real. Por otro lado introducimos Ms
como la masa efectiva que conecta el momento del grado de libertad adicional πs. El
Hamiltoniano podemos expresarlo en termino de las coordenadas virtuales:
H∗ =
N∑
i=1
π2
i
2ms
+ U(ρ1, ø2, ...., ρN) +
π2
s
2Ms
+ gKbT ln(s) (1.40)
Con g igual a los grados de libertad con el sistema externo g = 3N +1. Se ha
demostrado que este Hamiltoniano corresponde al ensamble canónico. Ahora necesi-
tamos las ecuaciones de movimiento:
d~ρi
dτ
=
∂H∗
∂ ~πi
=
~πi
ms2
(1.41)
d~πi
dτ
= −∂H∗
∂~ρi
= −∂U
∂~ρi
(1.42)
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 32
ds
dτ
=
∂H∗
∂πs
=
πs
Ms
(1.43)
dπs
dτ
=
∂H∗
∂s
=
gKbT
s
+
N∑
i=1
(π2)i
2ms
(1.44)
Si hacemos el reemplazo para que podamos describirlas con las variables reales,
e introducimos una nueva variable η :
η = s
ds
dt
= s
ds
dτ
dτ
dt
= s
∂H∗
dπs
dτ
dt
= s2
πs
Ms
(1.45)
Según [40] podremos:
d~qi
dt
=
~pi
mi
(1.46)
d~pi
dτ
= − U
∂~qi
− η~pi (1.47)
∂ln(s)
∂t
= η (1.48)
∂η
dt
=
1
Ms
(
N∑
2mi
(pi)
2
2mi
− gkbT ), pi ≡ |~pi| (1.49)
Con estas ecuaciones describimos el termostato de Noose-Hoover, logrando una
condición realista de temperatura constante[41].
1.5. Ensambles termodinámicos
Un ensamble, para nosotros es un conjunto de sistemas que será apropiado de-
pendiendo las circunstancias f́ısicas. Nos concentraremos en sistemas en equilibrio
y como podemos prepararlos, tomaremos el equilibrio como algo que se da ya por
sentado y no por qué pasa. La probabilidad de densidad de estados no se puede
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 33
computar considerando un sistema a un tiempo predeterminado, ya que seŕıa un
microestado al azar. Lo que necesitamos es una estad́ıstica de estos microestados.
Este problema fue resuelto por Gibbs, que consideró diferentes tipos de ensambles
para grandes sistemas idénticos con diferentes microestados posibles[42].
1.5.1. Ensamble microcanonico
Un sistema en cualquier estado, que este completamente aislado de sus alrede-
dores tiene una enerǵıa U y numero de part́ıculas N constante a volumen constante
(volumen total). La enerǵıa debe estar en el intervalo [E,E + ∆]. El numero de mi-
croestados es proporcional al espacio de fase en el volumen que habitan. Vamos a
denotar la entroṕıa como S(N, V,E). Para el caso microcanonico Ω incrementa ex-
ponencialmente con el tamaño del sistema. Es conveniente trabajar con una medida
extensiva del espacio de fase del volumen, una que se añada con dos sistemas que se
acaban de juntar para un mutuo equilibrio. Podemos describir Ω como[43]:
S(E, V, V ) = klnΩ(E, V,N) (1.50)
La entroṕıa es la medida extensiva con la que podemos trabajar, es la medida
logaŕıtmica de la degeneración microscópica asociada con un estado macroscópico
del sistema.
En equilibrio la entroṕıa es aditiva:
S(N1, V1, E1) + S(N2, V2, E2) = S(N1 +N2, V1 + V2, E1 + E2) (1.51)
Cuando la enerǵıa total E tiene una densidadde probabilidad uniforme ρmc en
el espacio de fase, el ensamble es microcanónico[44].
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 34
Figura 1.10: Sistema aislado, ensamble microcanonico.
1.5.2. Ensamble canonico
Vamos a considerar dos sistemas, uno pequeño y uno grande, en equilibrio térmi-
co con cada uno. Queremos entender las propiedades estad́ısticas del sistema más
pequeño para derivar las caracteŕısticas de este ensamble. En este caso el sistema
también esta aislado y el sistema grande se comporta como un reservorio para man-
tener la temperatura constante. Los dos sistemas los podemos describir con dos
Hamiltonianos con N1 Y N2 part́ıculas de tal forma que N1 << N2. El número de
part́ıculas, el volumen y la temperatura son constantes en este sistema. E no es
constante y la enerǵıa fluctúa en un promedio para cada sistema en el ensamble[45].
Donde la probabilidad la podemos escribir como:
Ps = eβEi (1.52)
En el caso del ensamble canónico, la conexión entre la estad́ıstica y la termo-
dinámica se da a través de la ecuación de partición:
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 35
Figura 1.11: Representación ensamble canónico.
ZN(T, V ) = exp[−(E − TS
KT
)] = exp[−F (T, V,N)
kT
] (1.53)
Donde:
F (T, V,N) = −kT lnZN(T, V ) (1.54)
S(T, V,N) = −(
∂F
∂V
)T,N (1.55)
1.6. LAMMPS
LAMMPS[21] o sus siglas en inglés (Large-scale Atomic/Molecular Massively
Parallel Simulator) es un simulador de dinámica molecular clásica enfocado en el
modelamiento de materiales. Este tiene un gran potencial para materiales de estado
solido y puede ser utilizado para modelar sistemas a escala nanométrica. Es un códi-
go de uso libre para modelar en cualquier estado que se desee, puede modelar a nivel
atómico, polimeros, metales y granos en una gran variedad de campos de fuerza y
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 36
condiciones de frontera[46].
LAMMPS integra las ecuaciones de Newton de movimiento para grupos de molécu-
las, átomos y part́ıculas macroscópicas que interactúan con fuerzas de rangos cortos
o largos a diferentes condiciones de frontera.
El archivo que entra debe tener 4 partes:
1. Inicialización
2. Definición de los átomos
3. Configuración inicial (Posición de cada átomo)
4. Permiso de correr la simulación
LAMMPS ejecuta los comandos en el archivo de texto de entrada, leyendo linea
por linea cerrando el archivo cuando llega a la última. Cada uno de estos comman-
dos, nos da una acción especifica como leer un archivo, cambiar una variable interna
o finalmente correr la simulación. El orden de los comandos es importante a la hora
de leer el archivo. Es importante tener en cuenta[47]:
1. LAMMPS lee el archivo linea por linea y cada comando tiene un efecto en el
resultado en el momento que se lee, no cuando todo el archivo se termina de
leer.
2. Algunos comandos son validos después de otros. Por ejemplo hay comandos
que solo funcionan después de definir los átomos.
3. A veces un comando X puede usar valores dados por Y, esto implica que X
debe seguir después del comando Y en el archivo de entrada para que tenga el
resultado esperado.
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 37
¿Por qué es conveniente a utilizar LAMMPS? Primero es importante enfatizar
que es capaz de ejecutar una o vaŕıas simulaciones simultaneas (en paralelo), además
es bastante versátil a la hora de utilizarlo, como sistemas de estado solido, biof́ısica,
qúımica y ciencia de los materiales[48]. Por otro lado tiene diferentes tipos de átomos,
gran variedad de fuerzas dependiendo del sistema deseado y ya están dentro de los
paquetes de LAMMPS, lo que significa que no se debe computar cada potencial, si
no que hay para una gran variedad de sistemas y átomos diferentes. Adicionalmente
LAMMPS vaŕıa desde temperaturas muy bajas a temperaturas muy altas, dándonos
resultados como: presiones, enerǵıa por átomos, función de par de correlación, el des-
plazamiento medio de las part́ıculas y tiempos promedios. Todas estas caracteŕısticas
aplican para todos los tipos de átomos y potenciales que tiene LAMMPS definido en
sus paquetes[46].
También es muy sencillo añadir diferentes tipos de átomos, potenciales, regiones
geométricas y finalmente esta enlazado con C++. Como esta bajo los términos de la
licencia pública GNU(GNU public license), es fácil de modificar y ampliar[46].
1.7. Espectroscopia
Nos enfocaremos ahora en la interacción infrarroja con la materia. Porque es-
tas técnicas que usan materiales ópticos para dispersar y enfocar la radiación, son
usualmente identificados como espectrómetros ópticos. A pesar de todas las dife-
rentes formas de espectroscopia, todas comparten ciertas caracteŕısticas. En general
estudian las propiedades de la materia a través de la interacción de espectros elec-
tromagnéticos a diferentes frecuencias. Esta es una metodoloǵıa general que puede
ser adaptada de diferentes formas para extraer información. En la mayoŕıa de los
espectrómetros caracterizamos como una muestra se modifica con luz interactuando
con ella. La idea básica la podemos definir utilizando la figura 1.12 [49]:
Podemos caracterizar estas muestras midiendo 1) la absorción, cual fue el cambio
de la intensidad después de la interacción 1.13, 2)La emisión, la excitación induce
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 38
Figura 1.12: Formas en que una onda electromagnética puede influenciar una
muestra[49].
una emisión de luz que sale de la muestra (incluye: fluorescencia, Efecto Raman) 3)
la rotación óptica o cambio de fase de la luz que incide sobre la muestra, rotación de
su polarización[50].
1.7.1. FTIR
La parte de luz que ven nuestros ojos es una parte muy pequeña del gran espectro
electromagnético. Por ejemplo, tenemos el ultravioleta en la parte alta del espectro
visible y en la de baja enerǵıa la infrarroja. La porción que corresponde al espectro
del infrarrojo que es útil para el análisis de compuestos orgánicos no es inmediata-
mente visible pero su longitud de onda corresponde al rango entre 2,500 a 16,00 nm,
con su correspondiente rango de frecuencua desde 1,9*1013 a 1,2*1014Hz[51].
La radiación infrarroja a fin de cuenta es enerǵıa térmica, que induce fuertes
vibraciones moleculares enlaces covalentes, que pueden ser vistos como resortes que
entrelazan dichas moléculas. Enlaces espećıficos responden a frecuencias espećıficas
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 39
Figura 1.13: Absorción de la muestra[50].
Figura 1.14: Modos de vibración de enlaces covalentes[53].
(las absorbe). Los enlaces covalentes pueden vibrar en modos diferentes como pode-
mos ver en 1.14, estirandose y en forma de tijera. Los espectros más importantes del
infrarrojo corresponden al movimiento en el que se estiran[52].
Cuando una muestra qúımica es expuesta a la luz infrarroja puede absorber al-
gunas frecuencias y transmitir el resto. Puede que alguna parte también se refleje
a la fuente. Entonces un espectro de infrarrojo va a corresponder básicamente a las
frecuencias que se absorbieron o se transmitieron vs la intensidad de dicha transmi-
sión o absorbsión. La gráfica 1.15 muestra un espectro de transmisión y es el usado
comúnmente en qúımica y espectroscopia. No todos los enlaces covalentes son activos
en Infrarrojo, solo los enlaces polares[54]:
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 40
Figura 1.15: T́ıpico espectro FTIR de nanopart́ıculas sintetizadas de oxido de hierro
[53].
Enlaces fuertes polares tales como los del grupo Carbonyl (C=0), producen
picos fuertes.
Enlaces medios polares y asimétricos producen picos medios.
Enlaces débiles polares y simétricos producen picos débiles o incluso inexisten-
tes.
1.8. Función de Correlación de Velocidades: VDoS,
Espectro Vibracional
Las funciones de correlación de tiempo son muy útiles en el estudio teórico y
experimental de propiedades dinámicas y de transporte. Por ejemplo para procesos
de difusión o la dinámica atómica de metales. La funciónde correlación de velocidad
(VACF en sus siglas en inglés) es una función simple de correlación de tiempo para
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 41
describir la dinámica de un sistema. Para un sistema de N átomos, la función de
autocorrelación de velocidad la definimos como[55]:
Z(t) =
〈~vi(t+ to) · ~Vi(to)〉
〈~vi(to) · ~vi(to)
=
∑
to
∑N−1
i=0 ~vi(t+ to) · ~vi(to)∑
to
∑N−1
i=0 ~vi(to) · ~vi(to)
(1.56)
Donde ~vi(t) en la velocidad del átomo-i a tiempo t. El bracket denota el promedio
de los átomos,i y el tiempo de origen to. Por definición a t = 0 Z(t) es igual a 1.
Para un tiempo lo suficientemente grande, no habrá correlación entre las velocidades
y entonces tenderá a cero[56].
En fase solida, los átomos están vibrando alrededor de la posición de equilibrio y
estas vibraciones se pueden describir con una matriz dinámica, la cual es la segunda
derivada del potencial de enerǵıa con respecto a la posición de los átomos. En teoŕıa,
la trayectoria de los átomos puede ser representada como la superposición de los
modos normales de la matriz dinámica[57].
1.8.1. Densidad de estados (DOS) y la transformada de Fou-
rier
La densidad de estados describe en numero de modos vibracionales. Esta se dis-
persa desde cero hasta la frecuencia máxima que exista en el cristal. Podemos hallar
las frecuencias de los fonones que constituyen la correlación de velocidades haciendo
una transformada de fourier[58].
Z(ω) =
∫ ∞
−∞
dtZ(t)eiwt
(1.57)
En la práctica, solo tenemos Z(t) por un tiempo finito, [o, tmax] en una simulación
de dinámica molecular.
Convencionalmente esta función de densidad de estados se define como la suma de
contribuciones de todos los átomos en el sistema. Este representa la densidad de
Caṕıtulo 1. Marco Teórico 42
modos normales a una frecuencia determinada y esta es determinada desde la suma
de las densidades espectrales atómicas[59].
1.9. Grafeno
El grafeno esta formado por átomos de carbono, uno de los elementos más co-
nocidos y abundantes de la tabla periódica. Los átomos de carbono tienen enlaces
fuertes por la hibridación sp2 y se forman hexagonalmente. Este ha despertado mu-
cha curiosidad desde el 2004 cuando fue descubierto. A finales de 2006 dos grupos
hab́ıan reportado espectro Raman de grafeno y de cristales de grafeno en substrato
SiO2. Sus resultados experimentales mostraron picos de Raman que eran sensibles al
número de capas, lo que funcionaba como identificación para este material. Por eso
este tipo de técnica es utilizada ampliamente para caracterizar el material[60].
El grafeno es también un cristal perfecto dos-dimensional con propiedades únicas.
Tiene una conductividad térmica de 500W/(mk) y una resistividad eléctrica de 31
Ωm. De su estructura destacamos:
1s22s22p2
4 electrones de valencia
2s y 2p se hibridizan para formar orbitales sp2
Las propiedades de materiales dos dimensionales han abierto una ventana a nue-
vos horizontes para ciencias aplicadas[61].
Caṕıtulo 2
Simulación cinta de grafeno
Para simular una cinta de grafeno perfecta a diferentes temperaturas utilizamos
el Software LAMMPS(Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator)
en Windows. Simulamos la cinta de Grafeno a diferentes longitudes, bajo diferentes
temperaturas. Para esto se definió la interacción de las particulas de carbono con
el potencial AIREBO, paquete que el Software ya teńıa incluido y con el termosta-
to Noose-Hover que también veńıa predeterminado en el sistema. Establecimos las
diferentes temperaturas en el termostato desde 100K hasta 500K, observando la in-
teracción de las moléculas y si estas se comportaban como teóricamente se predicen
para dinámica clásica. El termostato de Noose-Hoover simula la cinta de grafeno
en un reservorio a la temperatura determinada para que el sistema se mantenga en
equilibrio y que cada paso de tiempo tienda a la temperatura deseada. La posición
de los átomos para el tiempo 0 fue dada por VMD (Visual Molecular Dynamics), la
cual es una interfaz que computa y visualiza diferentes configuraciones moleculares,
dentro de las cuales está la cinta y el tubo de grafeno. Este tiene una configuración
para cambiar la longitud de la cinta, de ancho o de largo. Obtuvimos diferentes con-
figuraciones iniciales como se puede ver en la tabla 2.1. Las temperaturas se fijan
en el código de LAMMPS en el cual se establecen la temperatura, el potencial, las
condiciones de frontera que en este caso son periódicas, las unidades con las que
vamos a obtener nuestros resultados 2.2 y el tipo de átomo que estamos utilizando
en nuestro caso el carbono.
43
Caṕıtulo 2. Simulación cinta de grafeno 44
Ancho(nm) Largo(nm) Temperatura(K)
2
10-20-30
40-50
100-200
300-400
500
5
10-25-50
75-100
100-200
300-400
500
Cuadro 2.1: Configuraciones que se simularon de la cinta de grafeno.
mass = grams/mole
distance = Angstroms
time = picoseconds
energy = eV
velocity = Angstroms/picosecond
force = eV/Angstrom
torque = eV
temperature = Kelvin
pressure = bars
dynamic viscosity = Poise
charge = multiple of electron charge (+1.0 is a proton)
dipole = charge*Angstroms
electric field = volts/Angstrom
density = gram/cmdim
Cuadro 2.2: Unidades metálicas según LAMMPS.
Caṕıtulo 2. Simulación cinta de grafeno 45
Figura 2.1: Configuración inicial para cinta de grafeno de 2nm de ancho y 10 nm de
largo.
2.1. Configuración inicial
Partiendo de los datos iniciales que nos provee VMD configurando el sistema con
las longitudes deseadas . Todas las cintas se configuraron con el borde tipo Armchair
(montura de caballo). Solo se utilizaron cintas de grafeno, pero este programa tiene
configuración para nanotubos de grafeno y para varias capas tanto para las cintas
como para los nanotubos. De la cinta de grafeno correspondiente a 2.1 obtuvimos
la configuración inicial correspondiente a 2.2. VMD posee la opción de importar la
posición de dicha cinta para LAMMPS directamente, por lo que se hace fácil utilizarla
como archivo de entrada en nuestro código.
Ya con los datos iniciales dados, se estudia la evolución temporal del sistema. Los
pasos de simulación dados fueron con un tiempo de 1ps en las unidades reales y se
registro la posición y velocidad cada 10000 pasos (10fs).
Caṕıtulo 2. Simulación cinta de grafeno 46
Figura 2.2: Visualización de cinta de grafeno correspondiente a 2nm de ancho y 10nm
de largo.
Caṕıtulo 2. Simulación cinta de grafeno 47
En la tabla podemos ver la tarjeta de entrada en LAMMPS. Se fijan las tempe-
raturas iniciales y finales del sistema como la misma y la configuración establecida
del sistema es dada por Noose-hoover por lo que no se nombra en la tarjeta, más se
puede observar el potencial de entrada AIREBO. Para esta tarjeta cambiamos so-
lo el archivo de entrada y las temperaturas, los demás parámetros fueron los mismos.
2.2. Validación del modelo: Cálculo espectro vi-
bracional
Ya teniendo los datos finales, empezamos el estudio de la dinámica vibracional de
las cintas de grafeno. Para esto utilizamos el código de FORTRAN[62] que a partir
de la función de correlación de velocidades y con Python hicimos la transformada de
Fourier, calculamos las propiedades vibracionales. Para utilizar FORTRAN, en una
maquina virtual de LINUX/UBUNTU corrimos un paquete de Python que permite
utilizar códigos de fortran. El número de modos vibracionales del sistema a una de-
terminada frecuencia de oscilación se calcula como la suma de las contribuciones de
todas las part́ıculas que componen el sistema.
Partimos de una configuración de posiciones iniciales dadas por VMD y a cada
átomo se le asigna una velocidad inicial dada por el ensamble canónico, o sea da-
da por la temperatura inicial del sistema. Esta se va regulando por el termostato
Nose-Hoover el cual esta diseñado para generar posiciones y velocidades desde el
ensamble canónico. Las interacciones interatómicasestán dadas por el potencial AI-
REBO hasta completar los 10000 pasos. Los datos de velocidades de las part́ıculas
se tomaron cada 10 pasos de dinámica y a partir de este hicimos el análisis con la
función de distribución de velocidades. LAMMPS nos da las velocidades en x, y, z y
la magnitud de la velocidad, que es la que utilizamos en el código de FORTRAN. Se
tomaron los datos de la tabla y después los resultados de la función de distribución
de velocidades le hacemos la transformada de fourier con python. Esto nos da un
tiempo τ y una intensidad dada, por la densidad de estados de modos normales. Con
Caṕıtulo 2. Simulación cinta de grafeno 48
# AIREBO potential for CARBON system
# .....
units metal
boundary p p p
atom style atomic
read data 2nm20nm.airebo
velocity all create 200,0
pair style airebo 3,011
pair coeff * * CH.airebo C H
neighbor 0,5 bin
neigh modify every 1 delay 5
fix 1 all nve
fix 2 all qeq/reax 1 0,0 20,0 1e− 6 param.qeq
timestep 1
compute peratom all pe/atom
compute pe all reduce sum c peratom
dump dump 4 all custom 20 velocall2nm20nm100.dat vx vy vz
dump 3 all xyz 10 2nm20nm100.xyz
thermo 10
run 5000000
Cuadro 2.3: Tarjeta de entrada simulación dinámica de crecimiento para el programa
LAMMPS.
estos datos se hace el análisis.
Caṕıtulo 3
Resultados y análisis
En este caṕıtulo vamos a presentar los resultados más importantes del traba-
jo. Primero utilizamos el software LAMMPS para entender el modelo de Dinámica
Molecular, entendiéndolo teóricamente para futuros estudios en el tema que se de-
sarrollen en la universidad. Luego mostraremos a través de espectros vibracionales
que el pico que caracteriza en este caso el Grafeno, se puede visualizar utilizando
el modelo, lo que comprobaŕıa la coherencia del potencial y validaŕıa el modelo de
Dinámica Molecular. Finalmente se observará a través de diferentes configuraciones
de cintas de Grafeno la dependencia de la temperatura con el pico caracteŕıstico del
Grafeno.
3.1. Modelo de Dinámica Molecular
Se realizó el estudio correspondiente al modelo de Dinámica Molecular con el
software LAMMPS partiendo de una configuración inicial dada por el sistema de
visualización molecular VMD, donde obtuvimos la longitud y ancho de nuestra cinta
de grafeno. La configuración inicial consiste de las posiciones de los átomos en x, y,
y z, además del tipo de átomo que en este caso es el carbono. Se imponen las condi-
ciones de frontera para que sea periódico. Como este modelo es clásico, las part́ıculas
se describen como puntos que interactúan a través del potencial y de esta forma
la mayoŕıa de los elementos que necesitamos para validar el modelo se dan por la
49
Caṕıtulo 3. Resultados y análisis 50
posición de las part́ıculas.
Como el modelo consiste en resolver numéricamente las ecuaciones clásicas de
movimiento para una colección de átomos, el potencial que describe las interacciones
entre átomos es esencial y el software integra numéricamente las ecuaciones de movi-
miento para los átomos del sistema. Eso se explica más detalladamente en el marco
teórico en el caṕıtulo de Dinámica Molecular. Como se muestra en la metodoloǵıa,
podemos ver la tarjeta de entrada, donde se especifica la temperatura y cada cuanto
saldrán datos. Salen datos cada 20 pasos de velocidad en x,y y z y cada 10 pasos las
posiciones en x,y y z.
Podemos visualizar como se ve la cinta de grafeno a través del tiempo con
LAMMPS:
Se observa la cinta bajo movimientos vibracionales comprobando que el modelo
para las moléculas se mueven con respecto a las ecuaciones de movimiento clásicas
con el potencial dado por el Software.
3.2. Pico caracteŕıstico del grafeno
Para validar que efectivamente podemos obtener el pico del grafeno para la cinta
a partir del modelo se compararon con datos teóricos el pico del enlace C=C que se
presenta en todas los sistemas de carbono cuando se hace un análisis espectral.
Según [63], podemos ver los picos ya interpretados para una estructura de oxido-
grafeno con espectroscopia Infrarroja. Este nos dice que para grupos funcionales de
enlace tipo C=C tenemos una absorción caracteŕıstica entre 1620 y 1680 (1/cm) con
intensidad variable.
En la figura 3.4 podemos ver el pico de C=C ubicado en 1626.10 cm−1.
Utilizando el software y utilizando la densidad de estados vibracional podemos
Caṕıtulo 3. Resultados y análisis 51
Figura 3.1: configuración inicial cinta
de grafeno 2nm de ancho, 2nm de lar-
go a 200K.
Figura 3.2: Evolución temporal de la
dinámica para la cinta a 70 pasos.
Figura 3.3: Evolución temporal de la dinámica para la cinta a 150 pasos.
Caṕıtulo 3. Resultados y análisis 52
Figura 3.4: Espectro para oxido-grafeno con espectroscoṕıa Infrarroja[63].
observar los modos activos de la cinta de grafeno para diferentes configuraciones.
Para ver espećıficamente en qué punto tenemos el pico máximo del C=C en nuestro
sistema utilizamos un fit lorentziano[64] que nos da parametros como el error en al
determinación de la posición del pico. Nos enfocaremos solo en el pico C=C ya que
los otros son otros modos vibracionales del sistema en los cuales no estamos intere-
sados.
Como podemos ver en la figura 3.5 el pico esta ubicado en 1636.4 cm−1 lo cual
coincide con los datos teóricos de [65]. Para los datos entre 2nm de ancho y 20
nm de largo a temperaturas desde los 100K a 500k los picos oscilan desde 1584.6 a
1636.4cm−1, para 5nm y 25nm desde los 100K a 500K los picos oscilan desde 1560.8
a 1629.1 cm−1. Con lo que se comprueba que el modelo predice el pico C=C ya que
los otros tipos corresponden a enlaces con oxigeno que no se presentan en nuestra
cinta perfecta de solo carbono.
Por otro lado también vemos una dependencia en el tamaño de la cinta con res-
pecto a la intensidad del pico en la figura .
Podemos visualizar un dependencia en la intensidad del pico C=C con la longitud
de la cinta de grafeno, entre más larga sea esta, el pico se hace menos intenso, lo que
nos da una relación inversamente proporcional entre estas.
Caṕıtulo 3. Resultados y análisis 53
Figura 3.5: Fit lorentziano para datos de 2nm de ancho, 20 nm de largo y 500K de
temperatura. Pico C=C al rededor de 1636.4 ±4,5cm−1
Caṕıtulo 3. Resultados y análisis 54
Figura 3.6: Espectro vibracional para cinta de grafeno 5nm de ancho y 200K a
diferentes longitudes.
Figura 3.7: Espectro vibracional para cinta de grafeno 2nm de ancho y 200K a
diferentes longitudes.
Caṕıtulo 3. Resultados y análisis 55
3.3. Dependencia con la temperatura
Por otro lado, a lo largo de las simulaciones y visualizando los datos no encon-
tramos con algo muy interesante y es el corrimiento del pico caracteŕıstica cuando la
temperatura aumentaba en la cinta de grafeno. Recordar que esto esta idealmente en
un reservorio a temperatura constante durante toda la simulación. Pasamos por el
mismo número de pasos a la misma cinta de grafeno a diferentes temperaturas. Como
la cinta de 2nm de ancho y 10 nm de longitud, 2nm de ancho y 20 nmde longitud y
5nm y 25 nm tuvieron los picos más intensos, se encontraron el valor del pico con el
fit Lorentziano y el pico de fit con su error lo relacionamos con la temperatura y le
hicimos una regresión lineal para hallar la dependencia:
Como se puede visualizar los valores de las pendientes o el coeficiente de corri-
miento del picos son muy similares y seŕıa muy interesante para proximos proyectos
investigar a fondo este corrimiento a qué se debe.
Caṕıtulo 3. Resultados y análisis 56
a)
b)
c)
Figura 3.8: Dependencia del espectro vibracional de cintas de grafeno con la tempe-
ratura para (a) cinta de 2nm de ancho y 10 nm de largo (b), cinta de 2nm de ancho
y 20 nm de largo y (c) cinta de 5nm de ancho y 25 de largo.
Caṕıtulo 3. Resultados y análisis 57
Figura 3.9: Regresión lineal de picos C=C con sus respectivas temperaturas, la pen-
diente 1 corresponde a 2nm de anchocon 20nm de largo, la pendiente 2 corresponde
a 2nm de ancho y 10nm de largo y finalmente la pendiente 3 corresponde a 5nm de
ancho y 15 de largo.
Caṕıtulo 4
Conclusiones
El modelo de dinámica molecular utilizado permitió reproducir las condiciones
para una tira de grafeno perfecta y se pueden visualizar mediante programas
de video.
El modelo de dinámica molecular permite encontrar los picos vibracionales del
grafeno y se comprobaron con la literatura pues los picos oscilaron entre los
valores esperados desde 1560.8 a 1629.1 cm−1, lo que comprueba que el modelo
de dinámica molecular con LAMMPS nos permitiŕıa hacer trabajos de modelos
a escala nanométrica precisos.
Gracias al modelo de dinámica molecular se encontraron comportamientos vi-
bracionales caracteŕısticos del grafeno para diferentes temperaturas, que se pue-
den visualizar y se puede dar una dependencia con coeficiente entre 0,12±17, 60cm−1K−1
y 0,17 ±3, 21cm−1K−1, que pueden ser interesantes para un proyecto futuro.
58
Bibliograf́ıa
[1] H. Ghorbanfekr-Kalashami, Graphene-based Membranes and Nanoconfined Wa-
ter: Molecular Dynamics Simulation Study: Proefschrift. Proefschriften UA-
WET, 2019.
[2] P. Alessio, P. Aoki, L. Furini, A. Aliaga, and C. Constantino, Spectroscopic Tech-
niques for Characterization of Nanomaterials, pp. 65–98. Nanocharacterization
Techniques, 12 2017.
[3] D. Peak, “Fourier transform infrared spectroscopy,” in Encyclopedia of Soils in
the Environment (D. Hillel, ed.), pp. 80 – 85, Oxford: Elsevier, 2005.
[4] S. Mishra, A. Arora, and H. Chandra, “Application of vibration on heat transfer-
a review,” i-manager’s Journal on Future Engineering and Technology, vol. 15,
10 2019.
[5] Y. Fu, J. Hansson, Y. Liu, S. Chen, A. Zehri, M. K. Samani, N. Wang, Y. Ni,
Y. Zhang, Z.-B. Zhang, Q. Wang, M. Li, H. Lu, M. Sledzinska, C. M. S. Torres,
S. Volz, A. A. Balandin, X. Xu, and J. Liu, “Graphene related materials for
thermal management,” 2D Materials, vol. 7, p. 012001, oct 2019.
[6] A. Cao, “Molecular dynamics simulation study on heat transport in monolayer
graphene sheet with various geometries,” Journal of Applied Physics, vol. 111,
04 2012.
[7] D. Nika and A. Balandin, “Phonon transport in graphene,” Journal of physics.
Condensed matter : an Institute of Physics journal, vol. 24, p. 233203, 05 2012.
59
Bibliograf́ıa 60
[8] A. K. Geim, “Graphene prehistory,” Physica Scripta, vol. T146, p. 014003, jan
2012.
[9] L. Jauregui, Y. Yue, A. Sidorov, J. Hu, Q. Yu, J. Lopez, R. Jalilian, K. Ben-
jaming, A. Delkd, and Wu, “Thermal transport in graphene nanostructures:
Experiments and simulations,” ECS Transactions, vol. 28, pp. 73–83, 01 2010.
[10] V. Varshney, S. Patnaik, A. Roy, G. Froudakis, and B. Farmer, “Modeling
of thermal transport in pillared-graphene architectures,” ACS nano, vol. 4,
pp. 1153–61, 02 2010.
[11] M. Karplus and J. A. McCammon, “Molecular dynamics simulations of biomo-
lecules,” Nature structural biology, vol. 9, no. 9, pp. 646–652, 2002.
[12] Y. Yang, D. Zhong, Y. Liu, D. Meng, L. Wang, N. Wei, G. Ren, R. Yan, and
Y. Kang, “Thermal transport in graphene oxide films: Theoretical analysis and
molecular dynamics simulation,” Nanomaterials, vol. 10, p. 285, 02 2020.
[13] M. P. Allen, “Introduction to molecular dynamics simulation,” 2004.
[14] B. J. Alder and T. E. Wainwright, “Phase transition for a hard sphere system,”
The Journal of Chemical Physics, vol. 27, no. 5, pp. 1208–1209, 1957.
[15] J. B. Gibson, A. N. Goland, M. Milgram, and G. H. Vineyard, “Dynamics of
radiation damage,” Phys. Rev., vol. 120, pp. 1229–1253, Nov 1960.
[16] A. Rahman, “Correlations in the motion of atoms in liquid argon,” Phys. Rev.,
vol. 136, pp. A405–A411, Oct 1964.
[17] G. D. Harp and B. J. Berne, “Time-correlation functions, memory functions,
and molecular dynamics,” Phys. Rev. A, vol. 2, pp. 975–996, Sep 1970.
[18] H. Kumar and P. Maiti, Introduction to Molecular Dynamics Simulation,
pp. 161–197. 01 2011.
[19] V. Poltev, Molecular Mechanics: Principles, History, and Current Status, pp. 1–
48. Dordrecht: Springer Netherlands, 2016.
Bibliograf́ıa 61
[20] U. Perricone, M. R. Gulotta, J. Lombino, B. Parrino, S. Cascioferro, P. Diana,
G. Cirrincione, and A. Padova, “An overview of recent molecular dynamics
applications as medicinal chemistry tools for the undruggable site challenge,”
Med. Chem. Commun., vol. 9, pp. 920–936, 2018.
[21] “LAMMPS website.” http://lammps.sandia.gov. [Accessed: 12-January-
2021].
[22] H. Ghorbanfekr-Kalashami, Graphene-based Membranes and Nanoconfined Wa-
ter: Molecular Dynamics Simulation Study: Proefschrift. Proefschriften UA-
WET, 2019.
[23] A. F. Fonseca, S. O. Dantas, D. S. Galvão, D. Zhang, and S. B. Sinnott, “The
structure of graphene on graphene/c60/cu interfaces: a molecular dynamics
study,” Nanotechnology, vol. 30, p. 505707, oct 2019.
[24] R. Schneider, A. R. Sharma, and A. Rai, Introduction to Molecular Dynamics,
pp. 3–40. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2008.
[25] H. Kumar and P. Maiti, Introduction to Molecular Dynamics Simulation,
pp. 161–197. 01 2011.
[26] S. Yip, Handbook of Materials Modeling. 01 2005.
[27] R. Podgornik, “Book review: The art of molecular dynamics simulation.d. c.
rapaport, cambridge university press, cambridge, 1995,” Journal of Statistical
Physics, vol. 90, pp. 1493–1495, 03 1998.
[28] D. Frenkel and B. Smit, Understanding Molecular Simulation: From Algorithms
to Applications. USA: Academic Press, Inc., 1st ed., 1996.
[29] M. P. Allen and D. J. Tildesley, Computer Simulation of Liquids. USA: Claren-
don Press, 1989.
[30] H. Lee, “A theoretical model of thermoelectric transport properties for electrons
and phonons,” Journal of Electronic Materials, vol. 45, 12 2015.
http://lammps.sandia.gov
Bibliograf́ıa 62
[31] A. H. Kahn, “Electrons and phonons. the theory of transport phenomena in
solids. j. m. ziman. oxford university press, new york, 1960. xiv + 554 pp. illus.,”
Science, vol. 133, no. 3447, pp. 187–188, 1961.
[32] B. C. Gerstein, F. J. Jelinek, M. Habenschuss, W. D. Shickell, J. R. Mullaly, and
P. L. Chung, “Thermal study of groups ii—iv semiconductors. lattice heat capa-
cities and free energies of formation. heat capacity of mg2si from 15°—300°k,”
The Journal of Chemical Physics, vol. 47, no. 6, pp. 2109–2115, 1967.
[33] T. O’Connor, J. Andzelm, and M. Robbins, “Airebo-m: A reactive model for
hydrocarbons at extreme pressures,” The Journal of chemical physics, vol. 142,
p. 024903, 01 2015.
[34] P. Ariza, C. Ventura, and M. Ortiz, “Force constants model for graphene from
airebo potential,” Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y
Diseño en Ingenieŕıa, vol. 27, pp. 105–116, 04 2011.
[35] S. J. Stuart, A. B. Tutein, and J. A. Harrison, “A reactive potential for hydro-
carbons with intermolecular interactions,” The Journal of Chemical Physics,
vol. 112, no. 14, pp. 6472–6486, 2000.
[36] H. C. Andersen, “Molecular dynamics simulations at constant pressure and/or
temperature,” The Journal of Chemical Physics, vol. 72, no. 4, pp. 2384–2393,
1980.
[37] P. H. Hünenberger, Thermostat Algorithms for Molecular Dynamics Simula-
tions, pp. 105–149. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2005.
[38] H. J. C. Berendsen, J. P. M. Postma, W. F. van Gunsteren, A. DiNola, and J. R.
Haak, “Molecular dynamics with coupling to an external bath,” The Journal of
Chemical Physics, vol. 81, no. 8, pp. 3684–3690, 1984.
[39] J. Li and J. Lee, “Reformulation of the nosé–hoover thermostat for heat con-
duction simulation at nanoscale,” Acta Mechanica, vol. 225, 02 2014.
[40] C. Braga and K. Travis, “A configurational temperature nose-hoover thermos-
tat,” The Journal of chemical physics, vol. 123, p. 134101, 11 2005.
Bibliograf́ıa 63
[41] H. A. Posch, W. G. Hoover, and F. J. Vesely, “Canonical dynamics of the nosé
oscillator: Stability, order, and chaos,” Phys. Rev. A, vol. 33, pp. 4253–4265,
Jun 1986.
[42]D. of Physics, “Notes on the microcanonical ensemb,” MASSACHUSETTS INS-
TITUTE OF TECHNOLOGY, vol. 8.044, 2013. Spring Term.
[43] H. Touchette, R. S. Ellis, and B. Turkington, “An introduction to the thermody-
namic and macrostate levels of nonequivalent ensembles,” Physica A: Statistical
Mechanics and its Applications, vol. 340, no. 1, pp. 138 – 146, 2004. News and
Expectations in Thermostatistics.
[44] A. Sergio, “Fundamentos de la mecánica estad́ıstica,” Grupo de Teoŕıa de la
Materia Condensada Condensed Matter Theory Group, Universidad Nacional
de Córdoba, vol. 4, 2010. Caṕıtulo 4.
[45] L. Landau and E. Lifshitz, Mechanics: Volume 1. No. v. 1, Elsevier Science,
1982.
[46] G. Frank and I. Sticco, “Lammps for dummies,” Departamento de F́ısica, Fa-
cultad de Ciencias Exactas y Naturales, vol. 1428, 2016. Universidad de Buenos
Aires.
[47] B. Sahu, “Effect of notch geometry on the mechanical properties of pure copper
using md simulation,” Department of metallurgical and Materials Engineering,
vol.-, 2014. National Institute of Technology,Rourkela.
[48] A. Thompson, “General lammps overview,” August 2015 LAMMPS
Users’Workshop and Symposium, vol. 1444, 2015. Sandia National Laboratories.
[49] M. Z. Bani-Fwaz, “Introduction to spectroscopy: Spectroscopic identification of
organic compounds,” 10 2016.
[50] D. Harvey, “10: Spectroscopic methods,” Jun 2020.
[51] T. Theophanides, “Introduction to infrared spectroscopy,” in Infrared Spectros-
copy (T. Theophanides, ed.), ch. 0, Rijeka: IntechOpen, 2012.
Bibliograf́ıa 64
[52] B. Stuart, Infrared Spectroscopy. American Cancer Society, 2005.
[53] S. Hwang, A. Umar, G. Dar, S. Kim, and R. Badran, “Synthesis and characte-
rization of iron oxide nanoparticles for phenyl hydrazine sensor applications,”
Sensor Letters, vol. 12, 01 2014.
[54] D. Pavia, G. Lampman, G. Kriz, and J. Vyvyan, Introduction to Spectroscopy.
Cengage Learning, 2008.
[55] M. Manley, J. Jeffries, A. Said, C. Marianetti, H. Cynn, B. Leu, and M. Wall,
“Measurement of the phonon density of states of puo2(+2Proceedings, vol. 1444,
01 2012.
[56] K. Parlinski, “Lattice dynamics: Vibrational modes,” in Encyclopedia of Con-
densed Matter Physics (F. Bassani, G. L. Liedl, and P. Wyder, eds.), pp. 98 –
102, Oxford: Elsevier, 2005.
[57] C. Poole, Encyclopedic Dictionary of Condensed Matter Physics. Elsevier Scien-
ce, 2004.
[58] M. Tanaka, “Molecular Dynamics Study of Velocity Autocorrelation Function
in a Model of Expanded Liquid Rubidium,” Progress of Theoretical Physics
Supplement, vol. 69, pp. 439–450, 03 1980.
[59] K. N. Lad and A. Pratap, “Velocity autocorrelation function for simple liquids
and its application to liquid metals and alloys,” Phys. Rev. E, vol. 70, p. 051201,
Nov 2004.
[60] E. P. Randviir, D. A. Brownson, and C. E. Banks, “A decade of graphene
research: production, applications and outlook,” Materials Today, vol. 17, no. 9,
pp. 426 – 432, 2014.
[61] W. Hui, Y. Wang, X. Cao, M. Feng, and G. Lan, “Vibrational properties of
graphene and graphene layers,” Journal of Raman Spectroscopy, vol. 40, pp. 1791
– 1796, 12 2009.
[62] N. E. Sánchez Ospina, “Simulación de crecimiento de nanopart́ıculas de zno con
aplicación en nanotecnoloǵıa,” 2017.
Bibliograf́ıa 65
[63] S. Bhalothia, N. Kumar, S. Das, C. Bernhard, and G. Varma, “Effect of graphe-
ne oxide doping on superconducting properties of bulk mgb2,” Superconductor
Science and Technology, vol. 26, p. 095008, 07 2013.
[64] J. Vanegas and Y. Hernandez, “Actuación térmica de materiales a base de gra-
feno y poliuretano termoplástico m.sc. thesis,,” 2020.
[65] K. Nakanishi, “Infrared absorption spectroscopy, practical,” Journal of Phar-
maceutical Sciences, vol. 52, no. 7, pp. 716–716, 1963.
	Agradecimientos
	Resumen
	Abstract
	Introducción
	Objetivos
	Objetivo General
	Objetivos Específicos
	Estado del arte
	Marco Teórico
	Dinámica Molecular
	Interacciones Moleculares
	Potenciales Interatómicos
	Propiedades termodinámicas
	Fonones
	Modos de vibración de una cadena monoatómica
	Dos átomos en una celda unitaria
	Potencial AIREBO
	Termostato
	Nose-Hoover
	Ensambles termodinámicos
	Ensamble microcanonico
	Ensamble canonico
	LAMMPS
	Espectroscopia
	FTIR
	Función de Correlación de Velocidades: VDoS, Espectro Vibracional
	Densidad de estados (DOS) y la transformada de Fourier
	Grafeno
	Simulación cinta de grafeno
	Configuración inicial
	Validación del modelo: Cálculo espectro vibracional
	Resultados y análisis
	Modelo de Dinámica Molecular
	Pico característico del grafeno
	Dependencia con la temperatura
	Conclusiones
	Bibliografía