Introdução à Teoria de Conjuntos

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LÓGICA MATEMÁTICA 
 
 
 
Favián Arenas A. y Amaury Camargo 
 
 
 
 
 
Universidad de Córdoba 
Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías 
Departamento de Matemáticas 
 
 
 
 
Lógica Matemática
UNIDAD DE APRENDIZAJE II
2. Introducción a los Conjuntos
Las ideas esenciales de la teoría de conjuntos fue introducida por George.
Cantor, en la parte �nal del siglo XIX. Desde entonces la teoría dos con-
juntos no ha dejado de desarrollarse intensamente, de tal forma que ahora
puede decirse que todas las ramas de la Matemática fueron profundamente
in�uenciados y enriquecidos por esa teoría. Procuraremos en esta unidad de
aprendizaje introducir algunas de las ideas básicas de teoría de conjuntos,
evitando un tanto una formulación demasiado abstracta, o rigurosa.
La noción de conjunto es una de las que tiene la Matemática Moderna
(¿recuerda que es un punto en geometría? eso también es una noción) , en
donde los conceptos y no las de�niciones son adoptados como punto de par-
tida y sirven base para la de�nición de otros conceptos introducidos en el
desarrollo de la teoría. Intuitivamente, un conjunto es entendido como una
colección de objetos de cualquier natureza , los cuales se dicen elementos del
conjunto.
Favián Arenas. 33 Camargo Benítez.
2.1 Objetivos Lógica Matemática
2.1. Objetivos
El alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicos
para la solución de un problema:
Generalidades sobre que es un conjunto y sus Clases.
Generalidades sobre el álgebra de conjuntos y problemas.
Razonamiento sobre cardinalidad de conjuntos..
2.2. Competencias
Determina conjuntos por extensión y comprensión.
Mani�esta habilidad en la representación grá�ca de conjuntos y sus
operaciones.
Muestra interés participando en la construcción de proposiciones com-
puestas y nuevos conjuntos.
Reconoce a partir de una proposición el conjunto equivalente.
Comprende y demuestra las leyes logicas y de conjuntos.
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2.3 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizajeLógica Matemática
2.3. Estrategias pedagógicas o actividades de apren-
dizaje
Mesa redonda.
Presentación de trabajos.
Sesión de Chat.
Sesión Foro.
Talleres
Encuentro presencial
2.4. Recursos de aprendizaje
Aula de clases,
Laboratorios
Auditorios.
Videobeam
Retroproyector.
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2.5 Teoría de conjuntos Lógica Matemática
2.5. Teoría de conjuntos
Elementos: la mínima parte de un objeto se denomina elementos, son
elementos los integrantes de una familia, son elementos los días de la semana,
son elementos los números de teléfonos de montería, son elementos las hojas
de un árbol, claro está esta es una noción que has escuchado antes y está
muy relacionado con otro objeto matemático llamado CONJUNTO.
Conjunto: se suele decir que una agrupación de elementos es un conjun-
to, pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque no
tenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el direc-
torio telefónico, un árbol, el grupo de presidentes de Colombia, el grupo de
mamíferos que ponen huevos.
Símbolos: Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A;B;C;...
Los elementos con letras minúsculas: a; b; c; :::
Al representarlos , para agrupar los elementos utilizamos llaves f g, tam-
bién podemos usar un diagrama de Venn, a veces es más fácil , por eso debes
utilizar las dos formas.
Ejemplo:
Representa el conjunto de los números dígitos
D = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g
o también
Relación de pertenencia. Si se tiene un conjunto A y un elemento a
y ocurre que a es un miembro de A, se dice, entonces, a pertenece a A y se
escribe a 2 A (a es un elemento de A).
Pero si se tiene un elemento c que no pertenece al conjunto A ,se escribe
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2.6 Clases de conjuntos Lógica Matemática
c =2 A (c no es un elemento de A).
2.6. Clases de conjuntos
Los conjuntos se clasi�can según el número de elementos que posean,
veamos:
Conjunto vacío:
Es aquel conjunto que no tiene elementos, como una bolsa vacía, se sim-
boliza con �
El conjunto de los números pares que terminan en 3
Representémoslo así:
P = flos números pares que terminan en 3 g = �
Conjunto unitario: es el que tiene un solo elemento.
B = { la capital de Colombia}
M = {Lucy}
C = f0g
Conjunto �nito: es aquel que tiene un número �nito de elementos .
También es �nito el conjunto unitario.
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2.7 Determinación de un conjunto
Lógica Matemática
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
N = f3; 13; 23; 33; 34; 35g
T = {Miguel, José}
A = fa; b; c; d; :::; x; y; zg
Conjunto in�nito: si tiene tantos elementos que es imposible contarlos
se le llama conjunto in�nito.
N = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; :::g
¿Conoces otro conjunto que sea in�nito? ¿Cuantos?
¿Que signi�ca los puntos suspensivos?
2.7. Determinación de un conjunto
Para determinar o identi�car un conjunto existen dos maneras:
Por extensión, que consiste en escribir todos y cada uno de los elementos
que lo conforman, así conociendo todos sus elementos conocemos el conjunto.
Por comprensión, esta consiste en indicar una característica especial y
común que tienen los elementos de un conjunto.
Ejemplo 9.
por extensión:
V = fa; e; i; o; ug
F = f1; 11; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81; 91; 101; 111; ::::g
Y = �
Por comprensión:
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2.7 Determinación de un conjunto
Lógica Matemática
V={las vocales}
F={los números naturales que terminan en 1}
Y={los números impares que terminan en 0}
Subconjunto:
Si un conjunto B está contenido en un conjunto A, es porque todos los
elementos de B están en A; pero es posible que existan elementos en A, que
no estén en B.
Entonces B es un Subconjunto de A, o también se puede decir � B está
contenido en A�. Se representa con los símbolos: B � A
Así que:
(B � A)() (x 2 B =) x 2 A)
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2.8 Algebra de conjuntos Lógica Matemática
2.8. Algebra de conjuntos
Unión de Conjuntos Los conjuntos A = fa; b; c; d; eg y B = fa; e; i; o; ug
se combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puede
estar repetido fa; b; c; d; e; i; o; ug, a este conjunto lo llamaremos unión de A
y B.
M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces
M [ J = f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g
En forma grá�ca la unión es la región resaltada
Simbólicamente la unión de A y B es:
AUB = fx : x 2 A _ x 2 Bg
Intersección de Conjuntos En esta operación de conjuntos se trata de
encontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos,
veamos:
M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces
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2.8 Algebra de conjuntos Lógica Matemática
La intersección la representamos por:
M \ J = f1; 3; 5g pues son los que se repiten. En forma grá�ca la inter-
sección es la región resaltada
Simbólicamente la intercepción de A y B es:
A \B = fx : x 2 A ^ x 2 Bg
Diferencia de Conjuntos En los conjuntos V = fa; e; i; o; ug y A =
fa; e; og
La diferencia de V � A es el conjunto formado por los elementos de V
que no están en A así:
V � A = fi; og
M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces
La diferencia la representamos por:
M � J = f2; 4g pues son los que están en M y no en J .
También se puede calcular J �M
J �M = f7; 9g pues son los que están en J y no en M .
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2.8 Algebra de conjuntos Lógica Matemática
En forma grá�ca la diferencia es la región sombreada
Simbólicamente es:
M � J = fx : x 2M ^ x =2 Jg
J �M = fx : x 2 J ^ x =2Mg
Complemento Para esta operación debemos de�nir primero un conjunto
que nos sirva como base o referencia, lo simbolizarán con la letra U, se llamará
universal o referencial.
Si U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g y el conjunto A = f0; 1; 2; 3g
Llamaremos complemento de A , al conjunto formado por todos los el-
ementos deU que no están en A, o sea f4; 5; 6; 7; 8; 9g, a este conjunto lo
denotaremos con A0
Notese que A0 = U � A
U = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g
Si B = f1; 11; 29g entonces B0 = f3; 5; 7; 13; 17; 19; 23g
Si C = f3; 5; 7; 17; 23g entonces C0 = f1; 11; 13; 19; 29g
Si D = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g entonces D0 = �
Simbólicamente es:
A0 = fx : x 2 U ^ x =2 Ag
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2.9 Propiedades de los Conjuntos
Lógica Matemática
2.9. Propiedades de los Conjuntos
Existen ciertas analogías entre los conectivos de las proposiciones y las
operaciones con conjuntos, una de ellas consiste en que todos los operadores
de conjuntos se pueden poderse reducir a combinaciones de intercepciones
y uniones, así como los conectivos de proposiciones se pueden reducir a los
conectivos 2"(^), .o"(_) y la negación (�).
La intersección de conjuntos es análoga a la conjunción de proposiciones \ � ^
La unión de conjuntos es análoga a la disyunción de proposiciones [ � _
El complemento de conjuntos es análogo a la negación de proposiciones A0 � � p
La contenencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposiciones A � B � p! q
La diferencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposicionesA�B = A \B0 �
p! q ,� p _ q
Por lo tanto gozan de propiedades semejantes a las proposiciones:
Leyes de Idempotencia
A \ A = A
A [ A = A
Leyes conmutativas
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2.9 Propiedades de los Conjuntos
Lógica Matemática
A \B = B \ A
A [B = B [ A
Leyes asociativas
p ^ (q ^ r), (p ^ q) ^ r
p _ (q _ r), (p _ q) _ r
p$ (q $ r), (p$ q)$ r
Leyes distributivas
A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C)
A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C)
Leyes de absorción
A \ (A [B) = A
A [ (A \B) = A
Leyes de Morgan
(A [B)0 = A0 \B0
(A \B)0 = A0 [B0
Leyes de Involución
(A0)0 = A
Favián Arenas. 44 Camargo Benítez.
2.10 Actividades Lógica Matemática
Veamos grá�camente la ley de Morgan (A [B)0 = A0 \B0
2.10. Actividades
1. Completa en el dibujo las cantidades correspondientes a cada sección
de la �gura y con esa información responde las preguntas a, b, c y d
36 personas fueron a Europa, visitaron España, Inglaterra o Francia, sin
embargo, no todas fueron a los tres lugares, para identi�car la cantidad exacta
Favián Arenas. 45 Camargo Benítez.
2.10 Actividades Lógica Matemática
de personas que fueron a cierto país, se especi�ca cada cantidad en el siguiente
diagrama de Venn.
21 personas fueron a Francia
17 personas fueron a España
16 personas fueron a Inglaterra
9 personas fueron a Francia y a España
8 personas fueron a España y a Inglaterra
6 personas fueron a Francia y a Inglaterra
1. a) El número de personas que fue a Francia y España pero no a
Inglaterra es:_______
b) El número de personas que fue a España o Inglaterra es:______
c) El número de persona que fue a Inglaterra, España y Francia
es:________
d) El número de personas que fue a España o Inglaterra pero no a
Francia es:______
2. Después de medir su peso en una balanza, se obtienen los siguientes
resultados:
Favián Arenas. 46 Camargo Benítez.
2.10 Actividades Lógica Matemática
Andrés es más liviano que Fernando, pero más pesado que Gabriela
Esteban es más liviano que Andrés, pero más pesado que Gabriela
Pedro es más liviano que Jorge, pero más pesado que Miguel
Jorge es más liviano que Gabriela
Ordena los jóvenes según su peso, comenzando con el más pesado.
(Paradoja de Russell) En un pueblo chico hay solo un barbero, y los
hombres del pueblo, por lo que se re�ere a la rasurada, se dividen en
dos grupos: los que se rasuran con el barbero, y los que se rasuran solos.
¿A cual de los dos grupos pertenece el barbero?
Explica.
Favián Arenas. 47 Camargo Benítez.
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