logica_unidad1

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Vicente Villegas Chavez

Cristina Gamez
29/3/2024
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UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LÓGICA. 
MAPA CONCEPTUAL 
LÓGICA 
MATEMÁTICA 
Ciencia de la 
razón 
Acción 
Pedagógica 
Habilidades de 
Pensamiento  Aprendizaje 
Autónomo. 
Autogestión 
Formativa 
Nuevos 
Saberse 
Estrategias 
Pedagógica 
s 
Análisis 
Lógica 
Inducción 
Deducción 
Razonami 
ento 
Inferencia 
Teoría de 
Conjuntos 
Síntesis 
Abstracción 
Inducción y 
deducción 
Comparación 
Como 
Aporta Es 
Desarrolla 
Genera 
Que 
desarrollan 
Como 
Como 
Para 
Comprender
UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LÓGICA. 
Competencias: 
•  Relacionar e interpretar expresiones del lenguaje simbólico y natural, en la formulación y representación de estructuras lógicas, en términos de 
variables y conectores lógicos, siendo estos los elementos estructurales de la lógica proposicional;  y de esta manera,  articular  las diferentes 
formas de comunicación en diversos contextos. 
•  Interpretar e identificar, en forma clara, la estructura y fundamento conceptual de los métodos de inferencia lógica por inducción y deducción, en 
formulaciones y demostraciones de razonamientos válidos, en situaciones específicas, derivadas del estudio de contextos, donde es pertinente 
su aplicabilidad. 
PRINCIPIOS DE LÓGICA. 
1.1  CONCEPTO Y PROPÓSITO DE LA DE LÓGICA. 
La lógica es la ciencia que expone las leyes, modos, formas y estructuras del conocimiento inferido. 1 
Permite obtener conclusiones, a partir de proposiciones admitidas como verdaderas,  llamadas premisas 2 . En cuanto al  tema de interés,  la  lógica 
Matemática es  aquella que opera el conocimiento, utilizando un lenguaje simbólico artificial 3 y haciendo abstracción de los contenidos 4 . 
Las formas del pensamiento  son: 
1.1.1  La Inferencia lógica 
Es el estudio de la validez de los razonamientos. Se dice que es lógica formal porque se ocupa de las formas o estructuras que adopta el raciocinio; 
ésta se clasifica en: 
• Inferencia deductiva 
• Inferencia inductiva 
El principal objetivo de  la  lógica  formal  es evaluar  la  fiabilidad de  las  inferencias,  investigar    esquemas de razonamiento que  llevan, desde las 
premisas a la conclusión, en un argumento lógico; para ello, se deben, de manera imprescindible, distinguir dos tipos de inferencia, cada uno de los 
cuales tiene unas características especiales y unos criterios de corrección; se distuinguen las inferencias deductivas y las inferencias inductivas. 
1 Diccionario Real Academia Española 
2 Cada una de las dos primeras proposiciones del silogismo, de donde se infiere y saca la conclusión. 
3 Simbología utilizada para representar de manera artificial la lógica en términos matemáticos para su análisis 
4 Separar por medio de una operación intelectual las cualidades de un conocimiento para considerarlas aisladamente o para considerar el mismo objeto en su pura esencia o noción. 
• Conceptos: Pensamientos expresados con palabras 
• Juicios: Operación del entendimiento, que consiste en comparar 
dos ideas para conocer y determinar sus relaciones. 
• Raciocinios: Usar la razón para conocer y juzgar.
1.1.1.1  Inferencia deductiva 
Es en la que, un argumento asegura que la verdad de sus premisas, garantiza la verdad de su conclusión. El razonamiento deductivo  proporciona 
criterios de corrección muy altos. 
La inferencia deductiva logra su objetivo cuando sus premisas proporcionan un apoyo completo e indudable para la conclusión a la que se llega, o 
sea que es inconsistente o absurdo, suponer  que de manera simultanea, la verdad de unas premisas y la falsedad de la conclusión. 
Cualquier argumento que se analice o cumple con este criterio, o no lo cumple; la validez de la inferencias deductivas es un asunto de todo o nada; 
no pude ser a medias. La inferencia deductiva, permite determinar conclusiones seguras, yendo  de lo general a lo particular. 
1.1.1.2  Inferencia inductiva 
Se  dice  que  hay  inferencia  inductiva  cuando  un  argumento  únicamente  asegura  que  la  verdad  de  sus  premisas  hace  más  probable  que  la 
conclusión  sea  verdadera.  Un  argumento  inductivo  tiene  éxito  cuando  las  premisas  proporcionan  alguna  evidencia  que  apoye  la  verdad  de  su 
conclusión. La inferencia inductiva va de lo part icular hacia lo general. 
“Para saber si está  ante un argumento deductivo o inductivo, existe una clave; si el argumento posee un tipo de inferencia en la que se garantiza 
la verdad de la conclusión, a partir de la verdad de las premisas, o no se garantiza, éste será deductivo; de lo contrario, es inductivo. 
Un argumento es inductivo cuando posee un tipo de inferencia, la cual sólo asegura la verdad de la conclusión, a partir de la verdad de las 
premisas.
1.2. HISTORIA Y CLASIFICACIÓN. 
1.2.1. Historia 
Historia y 
Clasificación 
de la 
Lógica 
1.2.2. Clasificación de la lógica 
Periodo 1 (Lógica Clásica, tradicional o 
Aristotélica) Siglo IV a.C.  Hasta mediados 
Siglo XIX. Sistematizada por Aristóteles. Se 
plantearon las tres leyes del pensamiento: 
 Principio de la identidad 
 La no contradicción 
 La exclusión 
Periodo 2 (Lógica simbólica, matemática o 
moderna) Siglo XIX, 1850  hasta  nuestros 
días. Siendo sus representantes más 
sobresalientes George Boole, August Morgan, 
G. Frege, Bertrand Russell, A. Whithehead y 
Kart Godel. Y sus principales aportes son: 
 Algebra de Boole 
 Leyes de Morgan 
  Representación lógica del 
Conocimiento en estructuras 
Simples 

Representación del Conocimiento 
REPRESENTACIÓN DE LA LÓGICA 
2.1 LENGUAJES LÓGICOS. 
Un lenguaje es un conjunto de símbolos, denominados alfabetos, que sirven para representar y expresar una idea (latin, mandarin, árabe) y reglas 
con las que se administra y se ordena para que tengan sentido. 
. 
Existen dos clases de lenguajes, los lenguajes naturales (el francés, inglés, el castellano y otros) y los lenguajes formales  (el de las matemáticas, la 
lógica, la programación) 
Lenguajes 
Son 
Símbolos  Reglas 
Ordenados 
Que 
Representan  Expresan 
Idea 
y 
y 
una 
Lógica 
Clasificación  Características 
Tradicional  Formal o Simbólica  Claridad  Generalidad Precisión 
Uso de 
signos 
Mediante 
Familiarización 
de elementos 
Lenguaje 
simbólico 
Us Fácil 
la 
Interpretar y 
distinguir el 
razonamiento 
Permite 
Investiga, 
desarrolla y 
establece reglas 
Permite 
en
. 
2.1.1  LENGUAJE NATURAL 
Un lenguaje es natural cuando no es  un lenguaje construido o artificial; es un lenguaje creado por la necesidad humana de comunicarse. 
Un ejemplo es el lenguaje ingles o el español, los cuales son un conjunto de todas las oraciones en ingles o en español; dichas oraciones se crean 
de forma natural, a partir de la experiencia y práctica del hombre y tienen consistencia  y coexistencia con él; son organizadas automáticamente, 
conforme a la necesidad de comunicarse de éste. 
2.2.1 Propiedades 
Las principales propiedades de los lenguajes naturales son: 
1.  Enriquecer progresivamente al ser humano, con el objeto de que éste se comunique y exprese sus ideas y raciocinios. 
2.  Son de carácter expresivo, debido a la riqueza del componente semántico que tienen. Una evidencia de esto,  son los muchos lenguajes 
existentes (español, ingles, francés, alemán, etc.) 
3.  No pueden ser formalizados completamente. 
2.1.2 Lenguaje Formal 
Un lenguaje es formal cuando tiene reglas y axiomas de formación, y dan lugar al lenguaje artificial. Un lenguaje formal es un conjunto de oraciones, 
llamadas fórmulas o expresiones bien formadas (fbfs), las cuales se pueden obtener de la aplicación de leyes. 
Una de sus características es el poder ser definido completamente, sin que haya necesidad de darle interpretación alguna. Son exactos en lo que 
quieren representar; un ejemplo de ésto es el lenguaje para representar la matemática, la lógica o la programación de computadores. 
Para definir un lenguaje formal se requiere: 
•  Establecer el conjunto de símbolos del lenguaje. 
•  Establecer las reglas de formación que determinan quésecuencias de símbolos lenguaje serán fórmulas bien formadas (fbfs). 
Clasificación Lenguajes 
Natur ales  Formales 
No construidos 
Son 
No Artificiales  Son artificiales 
Utilizados para comunicación, 
No se pueden formalizar 
Son construidos 
Se definen totalmente 
No definidos por su complejidad  Son precisos 
Pueden formalizarse 
Son
•  Denominar los conjuntos de símbolos y de reglas, sin recurrir a interpretaciones de cualquier tipo. 
Luego de definirlo se debe: 
•  Establecer la noción de interpretación del lenguaje. 
•  Especificar para el lenguaje, un mecanismo de deducción o demostración del mismo. 
Propiedades 
Una palabra en un lenguaje formal mantiene en todo momento el mismo significado, sin importar el contexto o su uso; el cual es determinado por la 
sintaxis.   Las relaciones   =,  ,  ,  ,  ,>, <; los conectivos lógicos  ,  ,  , ↔ y los operadores algebraicos  ,  ,  mantienen un significado 
especial y permiten escribir fórmulas. Las propiedades de los lenguajes formales son: 
1.  Desarrollan una teoría preestablecida 
2.  Poseen un componente semántico mínimo. 
3.  Se puede aumentar el componente semántico,  de acuerdo con la teoría a formalizar. 
4.  La sintaxis produce oraciones no ambiguas. 
5.  En los lenguajes formales  es  importante el rol de los números. 
6.  Están  completamente formalizados, y ésto ayuda a la construcción computacional. 
Ejemplo 1: 
El lenguaje A se define de la siguiente forma: 
Alfabeto:  ab 
Fbf: toda cadena de símbolos del alfabeto A que comience 
con 'a' es una fbfs. A es un lenguaje formal. 
Cuáles de las siguientes fórmulas son fbfs: 
a) aaaa  b)  abbb  c)  baaa  d) f  e) abacd 
Respuesta:  a) Si, Porque cumple con la regla para la fbfs ya que sus 
elementos son de A 
b) Si, cumple con la regla para la fbfs sus elementos hacen parte de A 
c) No, No cumple con la regla para que sea una fbfs del alfabeto A,  se 
aclara que sus elementos pertenecen a A. 
d) No, los elementos de la fórmula no pertenecen a A. 
e) No, Aunque cumple con la regla para ser un fbfs, algunos elementos no 
pertenecen a A.
2.1.3  Teoría de Modelos 
Para interpretar un lenguaje formal, se asignan significados a sus símbolos o a sus fórmulas; y se recurre a la teoría de modelos, la cual  permite 
interpretar  un  lenguaje formal, veamos: 
2.1.4. Demostración de un Lenguaje Formal 
La demostración es la forma por medio de la cual el autor de un lenguaje formal  muestra la validez de su lenguaje y su coherencia. Un mecanismo 
de deducción esta compuesto por: 
•  Axiomas y reglas de inferencia 
• Por sólo de axiomas 
• Por sólo de reglas de inferencia. 
2.1.5. La Semiótica  y su Importancia dentro de la Lógica 
Recuerde que los lenguajes están constituidos por un conjunto de símbolos y otro de reglas; su estudio lo hace la ciencia de la semiótica, la cual se 
divide en tres ramas: 
“ La Sintaxis: estudia las relaciones de los símbolos entre sí, independientemente de los objetos que ellos puedan designar; es, en consecuencia, 
la teoría de la construcción del lenguaje”. 5 
En el contexto del trabajo sintáctico, está asociado con lenguajes formales o con sistemas formales, sin una referencia esencial a su interpretación. 
“ La Semántica: estudia las relaciones entre los signos y los objetos que ellos designan.” 6 Para efectos de este objetivo, se asocia semántica con 
la interpretación de los lenguajes formales, o sea con la teoría de modelos. 
“ La Pragmática: estudia las relaciones entre los símbolos y los sujetos que los utilizan”. 7 
5 Diccionario Real Academia Española 
7   7 Diccionario Real Academia Española 
Ejemplo 2 
Al interpretar el lenguaje formal X  de la siguiente forma: ‘&' significa el dígito decimal ‘1' y ‘$' significa el 
dígito decimal ‘0'. Cada fórmula corresponderá a una cifra decimal compuesta por unos y ceros, 
comenzando siempre en uno. 
Si  se tiene  &&&&  interpretado según la teoría de modelos:  1111,  ó si se tiene  &$$;  ésto, 
interpretado será 100
A continuación aparece un ejemplo de cómo funciona la semiótica: 
2.1.6  Metateoría de la Lógica 
En  síntesis,  es  la  teoría  que  estudia  los  lenguajes  o  sistemas  formales  y  sus  interpretaciones.  Su  objetivo  es  estudiar  los  problemas  de 
consistencia 8 ,  completitud 9 ,  decidibilidad 10  e  independencia  de  conjuntos  de  fórmulas.  La  teoría  de  modelos  y  la  teoría  de  la  demostración 
pertenecen a la metateoría. 
2.1.7  Uso y Mención  dentro del Lenguaje 
Antes de empezar seriamente el estudio de la lógica, se debe tener claro la diferencia entre las palabras ‘uso' y ‘mención' , ejemplo: 
Se hace mención de un objeto enunciando, algo acerca de él. Hay varias formas para indicar que se menciona un objeto: encerrando el objeto 
entre comillas o subrayándolo. Se usa un objeto o  palabra,  cuando éste se  incorpora a una  oración, dando su significado  o  representando una 
situación sobre el objeto. 
Al lenguaje utilizado para describir los lenguajes objeto, se le designa metalenguaje 11 
8 Solidez y coherencia entre los elementos de un lenguaje, visto este como un conjunto. 
9 Se refiera a lo completo que es un lenguaje, en términos de su estructura 
10 Característica de un lenguaje de permitir formar juicios definitivos sobre algo dudoso o contestable 
11 Lenguaje utilizado para describir un sistema de lenguaje de programación. || Lenguaje que se usa para hablar del lenguaje. 
Diccionario Real Academia Española 
Ejemplo 4 
1.  ¨Bogotá¨  es una palabra aguda. 
2.  Bogotá es una ciudad. 
En el ejercicio 1, se dice que la palabra ‘Bogotá' ha sido mencionada. Y en el ejercicio 2, 
se dice que la palabra ‘Bogotá' ha sido usada. 
Ejemplo 3 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
1.  En  el  lenguaje  ordinario,  una  regla  de  la  sintáctica  del  lenguaje  castellano,  prohíbe  que 
cualquier palabra comience con rr. 
2.  El enunciado  (a+b) / c indica que luego de sumar a y b se debe dividir este resultado por b. 
Rta. Este caso corresponde a la pragmática. 
3.  Que una  fórmula denote números. Rta. Es una propiedad Semántica:  La  expresión  ‘que  una 
fórmula  denote  números'  puede  sustituirse mediante  la  expresión  que pueda  interpretarse que una 
fórmula denota un número. 
4.  Que una  fórmula  sea verdadera. Rta. Es una propiedad semántica  ya que puede  sustituirse 
mediante la expresión que puede interpretarse que una fórmula exprese algo verdadero
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
2.1.8  Demostración de Lenguajes Formales 
A una cadena de fórmulas de un lenguaje formal que satisfacen ciertos  requisitos sintácticos y que no posee significado alguno, se le denomina 
demostración. Esta es una parte o fragmento de símbolos, que representan y significan algo, y que se expresan en metalenguaje, con el fin de 
justificar un enunciado y darle validez. 
Un  teorema de un  lenguaje  formal es una  fórmula que satisface ciertos  requisitos sintácticos y  que no  tiene significado alguno, mientras que un 
teorema acerca de un lenguaje formal (metateorema), es un enunciado verdadero, acerca del sistema. expresado en el metalenguaje. 
2.2  SIMBOLIZACIÓN: PROPOSICIONES. 
El área que estudia las proposiciones y sus operaciones se denomina Cálculo Proposicional. 
La  simbolización  o  representación  de  la  lógica,  requiere  de  un  lenguaje    preciso,  que  estructura,  de manera  dinámica,  rigurosa  y  a  prueba  de 
inconsistencias, los procesos y operaciones de la lógica matemática. 
2.2.1  El lenguaje 
Es un conjunto de  elementos de esencial importancia para el ser humano, el lenguaje es el medio para  enunciar hechos o describir situaciones; 
ésto lo hace complejo. 
Las proposiciones son frases que son verdaderas o falsas; razón por la cual, las preguntas no tienen sentido si son verdaderas o falsas. Veamos 
unos ejemplos: 
El Lenguaje 
Hacer preguntas 
Sirve para 
Expresar ideas  Dar órdenes 
Hacer solicitudesHacer afirmaciones
Las proposiciones surgen de las afirmaciones que se hacen y del interrogante de si son o no verdaderas. Recuerde que la lógica se ocupa de los 
procesos que buscan la verdad o falsedad de las afirmaciones que se hacen; razón por la cual, la lógica estudia enunciados, a fin de determinar su 
validez y crear, a partir de estos nuevos enunciados, para construir el conocimiento. 
Una proposición o enunciado  lógico, es una  frase u oración hecha en modo  indicativo y que puede ser verdadera o  falsa. A  los valores que 
puede tomar, se les llama valores de verdad (verdadero (V) o el boléanos  (1) y falso (F) o (0)) 
El objetivo del razonamiento es generar una conclusión a partir de unas premisas (proposiciones), utilizando reglas de inferencia; y la lógica se 
ocupa  de  la  validez  de  los  razonamientos,  no  de  la  verdad  o  falsedad  de  éstos.  Todo  razonamiento  tiene  un  contenido,  y  éste  tiene  forma, 
veamos: 
Ejemplo 6 
•  La frase "5=5" es un enunciado,  ya que, o es falso o es verdadero. Al ser un enunciado verdadero,  su valor de 
verdad es V. 
•  "Lloverá mañana", es una proposición. Es falsa o verdadera, dependiendo de lo que pase mañana. 
•  "Si soy Simón Bolívar, entonces no soy Simón Bolívar". Este enunciado, como se verá más adelante, equivale al 
enunciado "No soy Simón Bolívar". Como el hablante no es Simón Bolívar, es un enunciado verdadero. 
•  "Haz  los ejercicios de  lógica",  no  es  un  enunciado,  puesto  que no  se  le puede asignar ningún valor  de  verdad 
(Está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa) 
•  "Haz el amor y no la guerra" tampoco es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningún valor de verdad 
(También está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa) 
•  El perro" no es una proposición, puesto que no es ni siquiera una frase completa (al menos en este contexto)., 
Ejemplo 5 
Alguien desea  apoyar la causa que busca paz entre los colombianos? 
El color rojo  es mejor que el color azul? 
Cuando será la tutoría de lógica? 
Las preguntas antes planteadas no son ni verdaderas ni falsas.  Veamos otros ejemplos: 
¡Quédese ahí quieto! 
¡No lo quiero ver ahi!
Si se diligencian los espacios vacíos con letras mayúsculas en el ejemplo anterior, dichas letras  representarán el contenido de las proposiciones y 
la expresión quedará: 
Si P entonces no Q 
La  lógica  sólo  analiza  la  forma  de  los  razonamientos  y  se  le  denomina  lógica  formal  o  ciencia  de  las  formas  válidas  del  razonamiento;  para 
representarla y trabajar con ella, se utiliza el  cálculo proposicional. 
2.2.2. Calculo Proposicional 
Sirve para representar la lógica formal y realizar las operaciones de las proposiciones, a fin devalidarlas. No olvide que cada proposición tiene una 
forma lógica a la cual se le da un nombre. 
Las proposiciones se clasifican en: 
Los términos de enlace 12 son: 
Veamos el siguiente ejemplo: 
12 Son aquellas letras o símbolos que permiten unir dos o más proposiciones sin perder el sentido lógico. 
Ejemplo 7 
Si  la mañana es muy fría, entonces no entrenaré. 
Si estudio la lógica, entonces no tendré problemas para desarrollar mis ideas. 
Estas son 2 proposiciones de contenidos diferentes. Pero forma es la misma. Y su estructura se representa: 
Si ______, entonces no _____ 
Simples:  cuando  en  ellas  no  interviene  ninguna 
conectiva  lógica  o  término  de  enlace  (y,  o,  no,  si... 
entonces..., si y sólo si) 
Compuesta:  Si  se  juntan  una  o  varias  proposiciones 
simples con un término de enlace 
"y" 
"o" 
"si...entonces" 
"si y sólo si" 
Y se usan para ligar dos 
proposiciones, en cambio el 
término de enlace "no" se agrega a 
una sola proposición. 
Ejemplo 8 
Estamos en el mes de diciembre 
Se va a celebrar la navidad 
Ambas proposiciones son simples. Y con estas proposiciones se pueden construir proposiciones compuestas: 
Estamos en el mes de diciembre y se va a celebrar la navidad. 
Estamos en el mes de diciembre o se va a celebrar la navidad. 
Si estamos en el mes de diciembre, entonces se va a celebrar la navidad. 
No estamos en el mes de diciembre.
La  forma  de  una  proposición  compuesta  se  determina  según  el  término  de  enlace  utilizado.  En  una  proposición  compuesta  las  proposiciones 
simples se pueden sustituir por otras proposiciones simples y si se conserva. 
Para representar una proposición, se utilizan letras mayúsculas ( P, Q, R, etc). Veamos el ejemplo 10: 
También se usan símbolos para representar los términos de enlace: 
Conectivo o término de Enlace  Símbolo que lo 
representa 
Para la "y"  ^  
Para la "o"  v 
Para el "no"  ~ ó ¬ 
Para el "si ... entonces ..."  → 
Para el "si y sólo si" 
Se utiliza el 
símbolo 
↔ 
Las proposiciones compuestas básicas son: 
• La conjunción, la cual se da cuando el término de enlace es “y”. 
• La disyunción dada cuando el término de enlace es “o”. 
• La implicación o condicional  dada cuando el término de enlace es “si… entonces”. 
• La equivalencia  ó bicondicional dada cuando el termino de enlace es “si y solo si”. 
• La disyunción exclusiva dada cuando el conectivo es “o pero no ambas”. 
Conectivo o término de Enlace  Símbolo que lo 
representa 
Lectura Proposición 
Compuesta 
"y"  Conjunción 
"o"  Disyunción 
"no"  ~ ó ¬  Negación 
"si ... entonces ..."  →  Condicional 
"si y sólo si"  ↔  Bicondicional 
" o pero no ambas"  ⊕  Disyunción exclusiva 
Cuando las proposiciones tienen más de un término de enlace, hay que indicar la manera de agruparlas, ya que cada forma de agrupación, tiene su 
propio significado. En lógica, la agrupación se hace con paréntesis o corchetes. Veamos: 
Ejemplo 9 
P: Estamos en el mes de diciembre. 
Q: Se va a celebrar la navidad. 
La proposición: Estamos en el mes de diciembre y se va a celebrar la navidad 
Se simboliza así:  P y Q
La dominancia  u orden de los diversos conectivos es la siguiente; la condicional y el bicondicional (↔ y  →) dominan a la conjunción disyunción, 
disyunción exclusiva (^,  v, ⊕  );  lo cual  indica que primero se  resuelve ya sea a  la derecha o  izquierda de    los conectivos (↔ y →) y  luego se 
resuelven estos conectivos como tal. 
La  otra  proposición  especial  es  la  negación  dada  por  el  “no”    y  representada  por  ¬P;  ésta  se  utiliza  para  negar  proposiciones  simples  y 
compuestas, y cambia el valor de verdad de la proposición. P ^  Q  su negación es  ¬ (P ^ Q) 
2.2.3. Signos definidos 
Cuando ya se han establecido las reglas de formación de las fórmulas se pueden agregar abreviaciones para simplificar su escritura. Unas de las 
abreviaciones existentes son los signos definidos, los cuales por demostración, son equivalentes con la fórmula que abrevian: 
•  La conjunción lógica: la fórmula ¬ ( ¬ R v ¬ S) se denota abreviadamente como R ^ S y se llama conjunción lógica de R y S y  se lee "R y S". 
• El condicional: la fórmula ¬ R v S se denota como R→ S y se llama condicional de R y S. La figura lógica del condicional, responde a conectar 
dos proposiciones mediante el esquema "si ... entonces ".  Para leer una 
Términos de Enlace o Conectivos Lógicos 
Sirven para 
Unir  Relacionar  Operacionalizar 
Proposiciones 
Y  Si y Solo Si  Si … Entonces  O 
las 
Y son 
Ejemplo 10 
Si el equipo de football tiene delanteros regulares, o si el rival tiene buena defensa, entonces el equipo no marcara un gol. 
Este texto se simboliza de la siguiente forma:  P: el equipo de football tiene delanteros regulares 
Q: el rival tiene buena defensa. 
R: el equipo no marcara un gol. 
La proposición compuesta es:  P v (Q → R) ‐  La cual tiene un sentido distinto de la proposición  (P v Q) → R) 
Ingrese a la página Web http://www.cibernous.com/logica/  Allí encontrara un simulador que le permitirá  ingresar y ver el  resultado de esta proposición 
(Su tabla de verdad y el tipo de función que es)
http://www.cibernous.com/logica/
proposición de la forma R → S, se dice:  SiR entonces S. La fórmula R se denomina antecedente, y la S, consecuente. Cuando el condicional es 
lógicamente verdadero, existe implicación y se lee R implica S, la cual se denota  R → S 
•  El bicondicional: la fórmula (R→S) ^ (S→R) se denota por R ↔ S y se llama bicondicional de R y S. Esta expresión se lee R si y sólo si S 
Cuando el bicondicional es verdadero, hay equivalencia. Se lee: R equivale a S. Denota  R ↔ S 
TABLA DE SIMPLIFICACIÓN, UTILIZANDO SIGNOS DEFINIDOS 
Nombre  Estructura definida  Simplificación 
Conjunción lógica  ¬ ( ¬ R v ¬ S)  R  ^  S 
Condicional  ¬ R  v S  R → S 
Bicondicional  (R → S ) ^  (S → R)  R ↔ S 
Nota: Se debe tener presente que el nombre de signos definidos, se les ha dado porque a toda fórmula que tenga dicha estructura, se le podrá de 
inmediato, aplicar la simplificación correspondiente. Veamos un par de ejemplos: 
Ejemplo 11 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
Analizar la siguiente fórmulafórmula y por medio de signos definidos, simplificarla: 
(((XЄA) v –(XЄB))) v (X Є A∩B) 
Para resolver este ejercicio, Identifique si la estructura corresponde a alguno de los signos definidos: 
Si analiza la parte a la izquierda del “o”,  tiene la forma de la conjunción lógica ¬ ( ¬ R v ¬ S) y se puede simplificar, 
quedando de la siguiente manera: (XЄA) ^  (XЄB).  De manera completa quedaría: 
((XЄA) ^ (XЄB)) v (XЄA∩B) 
Y si analiza esta fórmulafórmula, tiene la forma de la condicional: ¬ R v S. Aplicando esta simplificación se tendría: 
((XЄA) ^  (XЄB)) →(XЄA∩B) 
Ingrese a la página Web http://www.cibernous.com/logica/  Allí encontrará un simulador que le permitirá ingresar y ver el resultado de esta proposición 
(Su tabla de verdad y el tipo de función que es)
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
http://www.cibernous.com/logica/
2.3 TABLAS DE VERDAD. 
Son la forma de representar y de validar la veracidad de una o más proposiciones, según los valores  de verdad posibles. Los valores de verdad son 
binarios, ya que sólo pueden ser de tipo positivo o negativo, Verdadero o falso, Si o No, 1 o 0. 
2.3.1  Interpretación en el lenguaje ordinario de las tablas de Verdad 
Para construir e interpretar las tablas de verdad, se analizan los conectivos o términos de enlace o  signos lógicos  (Negación, Y, O, Si… 
Entonces y  Si y Sólo Si (¬, v, ^,→,↔). 
Se puede establecer correspondencia entre los resultados de las tablas de verdad y los procesos de la deducción en lógica matemática,.  haciendo 
que las tablas de verdad sean un método de decisión que permite validar si una proposición es o no un teorema.  Veamos las  equivalencias de 
los dos valores posibles: 
Valor de Verdad  Equivalencia Binaria  Equivalencia lenguaje natural 
Verdadero (V)  1  Si 
Falso         (F)  0  No 
2.3.2. Funciones lógicas y su representación en  tablas de verdad 
La Negación (No): cuyo valor corresponden al valor contrario de la proposición negada. Se  escribe  ¬P ó ~P  y se lee: Negación de P,  veamos su 
tabla de verdad: 
P  ¬ Q 
1  0 
0  1 
Signos Definidos 
Usados para 
Abreviar  Simplificar 
Fórmulas de la Lógica Formal 
Sus formas son 
La Conjunción Lógica,  que simplifica la forma ¬ ( ¬ R v ¬ S) en R  ^ S 
El Condicional, que simplifica la forma ¬ R  v S en R → S 
El bicondicional, que simplifica la forma (R → S) ^ (S → R) en R↔ S
Disyunción (o   v): Denominada OR, su valor es negativo o  falso sólo cuando el  valor de las proposiciones o  fórmulas valoradas es Falso. Se 
escribe: P v Q y se lee como: P o Q, su tabla de verdad queda de la siguiente manera: 
P  Q  P v Q 
1  1  1 
1  0  1 
0  1  1 
0  0  0 
Disyunción Exclusiva (⊕): Denominada XOR, su valor es negativo o falso, sólo  si las proposiciones o fórmulas valoradas tienen el mismo valor de 
verdad, o bien, ambas falsas o ambas verdaderas. Su tabla de verdad queda: 
P  Q  P ⊕Q 
1  1  0 
1  0  1 
0  1  1 
0  0  0 
Conjunción (y  ^ ) : Denominada AND, su valor es positivo o verdadero solamente cuando el valor de las proposiciones o fórmulas valoradas es 
Verdadero. Se  escribe: P ^ Q  y se lee: P y Q.  La tabla de verdad queda así: 
P  Q  P ^ Q 
1  1  1 
1  0  0 
0  1  0 
0  0  0 
Implicación o Condicional (Si… Entonces  →): Su valor solamente es falso cuando la primera proposición o fórmula, denominada antecedente o 
hipótesis es verdadera y la segunda proposición o fórmula denominada,  consecuente o tesis es falsa. Se  escribe: P→Q y la leemos: P implica Q ó 
Si P, entonces Q. Su tabla de verdad es la siguiente: 
P  Q  P → Q 
1  1  1 
1  0  0 
0  1  1 
0  0  1 
Equivalencia o Bicondicional (Si y solo si  ↔): Su valor es verdadero cuando ambas proposiciones o fórmulas valoradas tienen el mismo valor 
de verdad o bien, ambas falsas o ambas verdaderas. Se  escribe: P ↔ Q y se lee: P si y sólo si Q ó P es necesario y suficiente para Q. Su tabla 
de verdad queda: 
P  Q  P↔Q 
1  1  1 
1  0  0 
0  1  0 
0  0  1 
Antecedente o Hipótesis 
Consecuente o tesis
2.3.3. Funciones o proposiciones compuestas 
Tautologías: Si son proposiciones cuyo valor siempre es verdadero para cualquier valor de verdad de las proposiciones simples o fórmulas. Por 
tanto, la última columna de la tabla de verdad estará formada únicamente por unos. Una tautológica es una identidad lógica,  o sea que siempre es 
verdadera. 
Contradicciones: si son la negación de las tautologías, luego son proposiciones falsas, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones 
simples o fórmulas. Concluyendo la última columna de la tabla de verdad de una contradicción, estará formada únicamente por ceros. 
Contingencias: si son proposiciones  cuyo valor final  está compuesto por valores de verdad falsos y verdaderos, la última columna de su tabla de 
verdad estará formada por ceros y unos. 
Una Contingencia es  una ecuación  lógica; éstas adquieren su  valor de verdad para determinadas combinaciones de valores de verdad  de  las 
proposiciones simples o fórmulas. 
Tablas de Verdad 
Formas de representar 
Proposiciones 
Y  validar la veracidad 
Son 
Las 
Operaciones 
con 
Proposiciones 
Disyunción 
Disyunción Exclusiva 
Conjunción 
Implicación 
Negación 
Equivalencia 
Simples 
Compuesta 
Clases 
Proposiciones Compuestas 
Tautológicas  Contradicciones  Contingencias 
Valor siempre Verdadero  Valor siempre Falso  Valor Verdadero y  Falso
2.4  RAZONAMIENTOS. 
Uno de los propósitos más importantes del desarrollo de este curso es aprender y practicar el proceso de razonamiento deductivo en el desarrollo 
del pensamiento lógico matemático de los participantes, debido a que  la vida de hoy exige ser analíticos, investigativos y por ende, constructores de 
nuevo conocimiento. A continuación aparecen algunos conceptos que permiten comprender este tema. 
2.4.1. Teoría deductiva 
La teoría deductiva es la que se fundamenta en los principios de las definiciones 13 y las demostraciones 14 . 
Para desarrollarla se deben cumplir las siguientes condiciones: 
1.  Aprender a enunciar con claridad los términos iniciales, con los cuales se pretende definir los términos de la teoría. 
2.  Aprender a enunciar claramente las relaciones iniciales, con las que se busca definir las demás relaciones; por lo general, son relaciones 
en  las que los seres humanos fundamentamos nuestro conocimiento. 
3.  Aprender a detallar con claridad las proposiciones iniciales (simples), con las que nos proponemos demostrar las demás proposiciones de 
la teoría. Comúnmente sw denominan Axiomas y su objetivo es relacionar los términos iniciales y las relaciones iniciales. 
4.  Todas las relaciones enunciadas entre los términos deben ser relaciones lógicas, y deben permanecer independientes del sentido concreto 
o la interpretación que se le de a los términos. 
5.  En las demostraciones sólo deben intervenir relaciones enunciadas. 
Cuando se dan estas condiciones, la teoría deductiva se da gracias a que presenta contenidos que conservan su sentido y su verdadderivados de 
la experiencia. 
2.4.2. Axiomas o postulados 
Son proposiciones primitivas o iniciales, las cuales se admiten como ciertas desde el comienzo. 
Al construcción una teoría  de axiomas debemos partir de un conjunto de axiomas, que sean compatibles, suficientes,  e independientes.  Veamos 
que significa cada una de estas características: 
“ Compatibilidad: Dos axiomas no pueden fórmular en ellos, ni producir en sus resultados derivados, relaciones contradictorias 15 . 
Suficiencia: Toda proposición verdadera ha de ser deducible dentro del sistema 16 . 
Independencia: Ningún axioma ha de poderse deducir de otros”  17 . 
2.4.3. La demostración 
Consiste  en  probar  algo,  a  partir  de  verdades  universales  y  evidentes,  las  cuales  no  son  más  que  proposiciones;  se  denominan  premisas  y 
permiten llegar a otra proposición denominada  conclusión. Para probarlas, se aplican las  reglas  lógicas 18 . Ver capitulo 2 Lección 3. Los pasos 
para demostrar o probar  una proposición en la teoría deductiva  son: 
1.  Enunciar con claridad los axiomas de la teoría. 
13  Proposición que expone con claridad y exactitud los caracteres genéricos y diferenciales de algo. Real Academia Española 
14 Prueba de algo, partiendo de verdades universales y evidentes. Comprobación, por hechos ciertos o experimentos repetidos, de un principio o de una teoría. Fin y término del 
procedimiento deductivo.  Real Academia Española 
15  17  18  . Definición tomada del Libro Matemática Digital. Edit. Mc Graw Hill. 1999. Pág. 53. Carlos Barco Gómez y otros. 
18  Conjunto de operaciones que deben llevarse a cabo para realizar una inferencia o deducción correcta. Real Academia Española
2.  Establecer las reglas para validar el proceso de demostración; a estas reglas se les denomina reglas de val idez; básicamente son tres: 
1: Todo axioma puede ser utilizado en cualquier paso del proceso de demostración. 
2: Si  P → Q  aparecen en una demostración y P también aparece en la misma demostración, se puede concluir Q en la demostración. 
Esta es una regla universal y se conoce como Modus Ponendo Ponens o Modus Ponens. Ir al capitulo 2 lección 3 para profundizar. 
3:  Cuando  dos  proposiciones  son  equivalentes,  es  posible  sustituir  una  por  la  otra,  en  cualquier  parte  de  la  demostración.  Regla 
denominada  sustitución por equivalencia. 
3. Realizar la demostración de una proposición específica, es obtener la proposición final en el proceso demostrativo por aplicación reiterada de 
las reglas de validez 1, 2 y 3. 
En nuestro lenguaje tendemos a confundir cierto con verdadero. En lógica, la certeza es subjetiva, y dice que la correspondencia de un enunciado 
con lo que sucede en la realidad, debe resultar igual para todos los sujetos que investiguen la verdad de dicho enunciado. De igual forma, a diario 
se confunde verdadero con correcto o válido. En  lógica se debe distinguir entre conclusiones verdaderas y argumentaciones correctas o válidas. 
Cuando un razonamiento es correcto o válido se le llama validez del razonamiento. Cuando la argumentación se apoya en argumentos válidos en 
todos sus pasos, toma el nombre de deducción. 
2.4.4. Reglas de inferencia básicas 
Para garantizar que una conclusión es válida en el diseño de pruebas, se deben  emplear  las leyes de la lógica; a estas leyes se les conoce como 
reglas de inferencia. Estas sirven para probar que, a partir de premisas, es posible demostrar la validez de una conclusión. Su principal  objetivo es 
abreviar las demostraciones, utilizando las leyes de algebra de proposiciones y sus equivalencias. 
2.4.5. Leyes de Algebra de proposiciones y Equivalencias Fundamentales 
En el siguiente cuadro se observan las leyes  de inferencia básicas; su objetivo es facilitar la identificación de las equivalencias básicas en el cálculo 
proposicional y se deben utilizarlas cuando se hacen  demostraciones; se recomienda tener muy presente este cuadro.
2.4.6. Métodos de demostración 
2.5.6.1. Método directo o Método de la hipótesis auxiliar 
Si  se  tiene un conjunto de premisas en una teoría,  partiendo del supuesto que una proposición P es verdadera y haciendo uso de  las premisas 
disponibles, es posible demostrar que una proposición Q es verdadera, dando como conclusión que P → Q es verdadero”. 
Proceso de demostración: 
Para demostrar que la proposición P → Q es teorema se debe: 
1.  Suponer que antecedente P es verdadero. Esta es la hipótesis auxiliar. 
2.  Luego, con esta  hipótesis, se diseña  la argumentación lógica, haciendo uso de  axiomas y  teoremas demostrados, a fin de  obtener, por 
medio de las reglas de validez y de inferencia de la validez de Q. 
3.  Finalmente, se concluye la prueba y se establece la validez de P → Q. 
Sintetizando la demostración de la proposición P → Q,  utilizando el método directo, se desarrollaría de la siguiente forma: 
Suponer  que  P  es verdadera (A ésto se le llama hipótesis auxiliar) 
Q  Aplicar argumentación lógica (Demostración subordinada) 
P → Q  Conclusión 
2.4.6.2. Método del contrarrecíproco 
Este parte del teorema con su mismo nombre, el cual dice que la proposición de la forma (P → Q) ↔ (¬ Q  → ¬ P), da lugar a una variante del 
método directo. 
Para su desarrollo se parte del supuesto que se quiere demostrar  la proposición  P → Q,  la cual es un teorema y que no es posible obtener  la 
conclusión deseada por medio del método directo. Debido a ésto, demostrar, con el método directo, la contrarrecíproca de  P → Q,  (¬ Q  → ¬ P); 
al lograr este objetivo, se establece la validez de si se consigue este objetivo, entonces queda establecida la validez de P → Q,  haciendo usos de 
la sustitución por equivalencia. 
Leyes de Ídempotencia 
1.  P v P ↔ P 
2.  P ^ P ↔ P 
Leyes Asociativas 
1.  (P v Q) v R↔ P v (Q v R) 
2.  (P ^ Q) ^ R↔ P ^ (Q ^ R) 
Leyes Conmutativas 
1.  P v Q↔ Q v P 
2.  P ^ Q↔ Q ^ R 
Leyes Distributivas 
1.  P v (Q ^ R) ↔ (P v Q) ^ (P v R) 
2.  P ^ (Q v R) ↔ (P ^ Q) v (P ^ R) 
Leyes de Identidad 
1.  P v 0↔P P ^ 1 ↔ P 
2.  P ^ 1 ↔ P  P ^ 0 ↔0 
Leyes  del complemento 
1.  P v ¬ P ↔ 1 , P ^ ¬ P ↔ 0 
2.  ¬ (¬ P)↔  P i  ¬1 ↔ 0 1, ¬ 0 ↔1 
Leyes D´Morgan 
1.  ¬(P v Q) ↔  ¬ P ^ ¬ Q 
2.  ~(P ^ Q) ↔ ¬ P v ¬ Q
Proceso de demostración 
Para hacer la demostración que la proposición P → Q  es un teorema se debe: 
1.  Tomar como hipótesis auxiliar  ¬ Q. 
2.  Diseñar la argumentación lógica que permita concluir ¬ P 
3.  Concluir, utilizando el método directo que (¬ Q  → ¬ P) es un teorema. 
4.  Aplicar la regla de validez 3, para concluir que P → Q  es válida, mediante la equivalencia del contrarrecíproco. 
En síntesis, la demostración de la proposición P→ Q  por este método, se hace bajo la siguiente forma: 
Suponer  que  ¬ Q  es la hipótesis auxiliar. Aplicar argumentación lógica 
¬ P 
¬ Q → ¬ P  Método Directo 
P → Q  Por contrareciproco 
2.4.6.3. Método de demostración por contradicción 
Para entender este método, es necesario aclarar los conceptos de, Contradicción: es aquella proposición  que corresponde a la conjunción entre 
una proposición y su negación. 
Este método se fundamenta en la condición de no contradicción para una teoría, y supone, de manera explícita, la negación de la proposición a 
demostrar. De manera más simple, se dice que la teoría con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es falsa, o  lo que es 
equivalente: que su negación es verdadera, quedando validada la proposición inicial. Veamos el siguiente ejemplo para explicar mejor lo anterior: 
Ejemplo 12 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
Demostrar que si ¬ P → (Q  ^  ¬ Q) es verdadera, entonces P es verdadera. 
1.  ¬ P → (Q  ^ ¬ Q)  Premisa 
2.  ¬ (Q ^ ¬ Q) → P  Regla de validez 3 de paso 1 ( Contrareciproco) 
3.  ¬ (¬ Q v Q) → P  Regla de validez de paso 2) Ley D ´Morgan. Doble Negación 
4.  ¬ Q v Q  Teorema del medio excluido 
5.  P  Modus Ponens de paso 4) y 3). 
Ingresea la página Web http://www.cibernous.com/logica/  Allí encontrará un simulador que le permitirá ingresar y ver el resultado de esta proposición 
(Su tabal de vendad y el tipo de función que es)
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
http://www.cibernous.com/logica/
Las  que  tienen  sentido 
completo  y  su  valor  es 
falso o Verdadero 
Proposiciones 
Simples  Compuestas 
Expresiones 
lingüísticas 
Son 
Clasifican 
Se
en 
Son 
Unión  entre  dos  o  más 
proposiciones  simples  a 
través  de  términos  de 
enlace 
Son 
Términos de enlace 
Letras  o  símbolos  que 
permiten  unir 
proposiciones  sin  perder 
el sentido lógico 
Son 
Clasifican 
Se 
O=Disyunción 
Si … entonces= 
Condicional 
en 
Razonamiento 
Proceso que permite establecer conclusiones de 
acuerdo a proposiciones 
Un 
Se clasifica en 
Inductivo  Deductivo  Analógico 
Establece  un 
principio 
general 
basado  en 
experiencias 
Se  Es 
El  ideal  por 
excelencia  y 
parte  de  lo 
general 
hacia  lo 
particular 
Es 
El  que  traslada 
las  propiedades 
de  un  objeto  ya 
conocido  a  otro 
semejante 
Y=Conjunción 
No=Negación 
Si y solo Si= 
Bicondicional 
Lenguaje 
Sistema de signos que expresan ideas a fin de 
establecer comunicación 
Se clasifica en 
Natural  Artificial 
Un 
Capacidades 
lingüísticas  de  una 
comunidad 
Aquel  que  utiliza 
signos  para  obtener 
una  comunicación 
más precisa y clara 
Es Nace
Glosario de términos 
Para dar inicio a este curso debemos recordar los siguientes conceptos y familiarizarnos con ellos ya que estaremos utilizándolos muy a menudo: 
Axioma: Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración. 
Conocimiento: Averiguar por el ejercicio de las facultades intelectuales la naturaleza, cualidades y relaciones de las cosas 
Deducción: Sacar consecuencias de un principio, proposición o supuesto. 
Inferir: Sacar una consecuencia o deducir algo de otra cosa 
Pragmática: Rama de la semiótica que estudia las relaciones entre los símbolos y los sujetos que los utilizan. 
Proposición: Es un enunciado o frase a la cual puede asignársele uno de los dos valores de verdad. 
Razonar: Discurrir, ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión. 
Razonamiento: Serie de conceptos encaminados a demostrar algo o a persuadir o mover a oyentes o lectores 
Semiótica: Ciencia que se dedica al estudio del  lenguaje o sea el estudio de  los sistemas de signos, compuesta por 3  ramas: Sintaxis, 
Semántica y Pragmática. 
Sintaxis:  estudio  de  las  relaciones  entre  los  símbolos  entre  sí,  independientemente  de  los  objetos  que  ellos  puedan  designar;  es,  en 
consecuencia, la teoría de la construcción del lenguaje. 
Semántica: Rama de la semiótica que estudia las relaciones entre los signos y los objetos que ellos designan. 
Teoremas: Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas. 
Valor de verdad: Unidades para validación de los procesos de la lógica, puede ser Verdadero  y/o Falso ó en su defecto Si y/o No ó 1 y/o 
0. 
BIBLIOGRAFIA 
Nota: Los ejercicios desarrollados como ejemplos para ilustrar los conceptos, son tomados de las siguientes fuentes: 
Libro:  Matemática Digital, Gómez Carlos, Gómez German, Botero William.  Editorial Mc Graw Hill. Bogotá. 
1998 
Libro:  Lógica Matemática, Galindo Patiño Nubia Janeth. Lógica matemática. 
Editorial Universidad Abierta y A Distancia. Bogotá. 2001 
Paginas Web:  http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ 
Fundamentos de lógica y teoría de conjuntos. Universidad de Antioquia. 
Compendiados por el Lic. Alberto Jaramillo Atehortua. (Ejercicios 15, 16)