Diseño óptimo de circuitos de flotación

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Diseño óptimo de circuitos de flotación 
Mauricio Bustamante Escobedo 
 
Resumen 
La concentración de minerales, mediante el proceso de flotación, permite la 
separación del material valioso del estéril, desde sus pulpas acuosas por medio de 
burbujas de gas, aprovechando sus propiedades hidrofílicas e hidrofóbicas. Si bien 
existen antecedentes históricos sobre el uso de técnicas de flotación hace más de 
2.500 años, los fundamentos teóricos y tecnológicos fueron desarrollados sólo en el 
siglo XX, donde en 1906 se registra la primera patente. (Sutulov 1963; Wills and 
Napier-Munn 2005) 
El objetivo del proceso de flotación es la obtención de la máxima 
recuperación de las especies de interés, además, de maximizar la ley de 
concentrado final. Debido a la complejidad del proceso, la separación raramente es 
completa, por lo que el proceso se debe realizar en múltiples etapas interconectadas 
formando un circuito de flotación. La eficiencia de la separación depende de la 
configuración del circuito, así como de las propiedades físicas y químicas de la 
pulpa. 
La complejidad asociada al proceso de flotación, producto por el gran número 
de variables involucradas (las que son de naturaleza diversa), no permite la 
realización de un modelo confiable, que pueda ser utilizando en la simulación y 
control del proceso de flotación. (Tatjewski 2008) 
El proceso de flotación de minerales posee etapas y equipos definidos, cuyo 
uso e interconexión puede variar desde un diseño a otro, es decir, dos procesos de 
flotación pueden poseer distinto diagrama de flujo o flowsheet. Por otro lado, el 
dimensionamiento de las etapas seleccionadas es otro parámetro para considerar, 
ya sea por el tamaño de los equipos a utilizar, como por la cantidad de unidades 
dispuestas en la configuración de cada planta. 
Si consideramos, además, aspectos económicos al proceso, como son los 
costos de producción y las tasas de retorno, el problema se hace cada vez más 
complejo, siendo necesario la utilización de estrategias que permitan la optimización 
simultanea de cada una de las partes antes mencionadas. 
La estrategia descrita, requiere la utilización de una superestructura que 
incluya los distintos equipos, que pueden ser seleccionados o descartados para la 
 
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generación del diagrama de flujo del proceso, considerando además de los equipos 
las interconexiones entre ellos. Las ecuaciones propias de cada unidad del proceso 
deben ser descritas por sus ecuaciones de balance, así como expresiones propias 
del fenómeno descrito (consideraciones cinéticas, fisicoquímicas, etc.). Estas 
consideraciones junto con las restricciones del proceso son incorporadas en un 
problema de optimización para el cual se especifica una función objetivo, que 
considere, por ejemplo, la minimización de costos o la maximización del rendimiento 
(Grossmann 2002). 
La principal ventaja de esta estrategia es que permite optimizar de manera 
simultánea la configuración del proceso y sus condiciones de operación. Su 
desventaja, por otro lado, radica en que no garantiza la condición de optimalidad 
global para modelos no lineales, a menos que se usen métodos específicos para 
optimización global. (Grossmann, Caballero, and Yeomans 2000) 
En la determinación del circuito de flotación se analizan distintas funciones 
objetivos de tipo económica, todas ellas dependen de variables que depende de las 
condiciones del mercado y de la eficiencia del proceso, por ejemplo, el precio de 
venta del mineral depende de la ley de cobre que este posee, así como de las 
impurezas y/o materiales valiosos que contenga, los que generan castigos o 
beneficios al precio final de venta, respectivamente, de acuerdo a la concentración 
presente en el concentrado. Por otro lado, los precios de tratamiento y refinación 
TC/TR dependen de las condiciones del mercado internacional, cuya variabilidad 
depende de distintos actores. 
 
Introducción 
La flotación es un proceso heterogéneo, en el que se presentan tres fases, a 
saber: sólida (materiales que se desean separar), líquida (agua) y gaseosa (aire). 
Esta separación se logra aprovechando las propiedades fisicoquímicas superficiales 
de los materiales presentes en un mineral, que determinan su afinidad con el agua, 
las que se dividen en hidrofílicas (con afinidad) e hidrofóbicas (sin afinidad), esta 
propiedad determina su flotabilidad natural, ya que un material que no posee 
afinidad con el agua, si la tiene con el aire y viceversa. 
Los sólidos junto con el agua se preparan en forma de pulpa, antes de ingresar 
al proceso de flotación, en el cual se adiciona aire para formar las burbujas sobre 
las cuales se adhieren las partículas sólidas. 
 
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Para favorecer la interacción entre el mineral y el aire, la fase sólida debe ser 
previamente tratada, en etapas de chancado y molienda, de manera de reducir el 
tamaño de partículas a valores cercanos a los 100 micrones (0,1mm), este tamaño 
asegura un adecuado grado de separación o liberación de éste. Tamaños mayores 
de partícula pueden provocar una mala adherencia a las burbujas, mientras que 
partículas muy finas, no tienen el suficiente impulso para producir un encuentro 
efectivo partícula-burbuja. (Sutulov 1963) 
Los minerales con enlaces moleculares débiles no reaccionan con el agua, 
estos se conocen como de tipo apolar y, en consecuencia, son hidrofóbicos. Dentro 
de este grupo se encuentra el grafito, el azufre, el carbón y el talco, entre otros. 
La afinidad de un material con el agua está directamente relacionada con su 
polaridad, un material hidrofóbico no reacciona con los dipolos del agua, por lo que 
no se disocia y, en general, son químicamente inertes. Dentro de este grupo se 
encuentran los metales nativos y sulfuros metálicos. Por otro lado, los materiales 
hidrofílicos, poseen una gran actividad química, a este grupo pertenecen los óxidos, 
sulfatos y la mayoría del mineral estéril o ganga. 
Los minerales con enlaces covalentes o iónicos se conocen como de tipo 
polar. La magnitud de la polaridad de los minerales varía dependiendo de la 
composición de éstos. 
Para incrementar estas propiedades hidrofóbicas del mineral y, en 
consecuencia, su flotabilidad, se adicionan reactivos llamados colectores, 
generalmente corresponden a compuestos orgánicos que poseen una parte polar y 
otra no polar. El mineral queda cubierto por el colector, el que se adhiere a su 
superficie por medio de su parte polar, quedando su parte no polar en contacto con 
el agua, lo que le proporciona propiedades hidrofóbicas. 
Para facilitar el arrastre del mineral por las burbujas de aire, se adicionan 
agentes espumantes, que permiten formar burbujas de tamaño y calidad adecuadas 
a las condiciones de proceso, en donde las partículas sólidas se encuentran en 
constante agitación. 
En el proceso de flotación intervienen múltiples variables, las que pueden ser 
agrupadas en tres grandes grupos: (Jovanović and Miljanović 2015, (Villeneuve, 
Guillaneau, and Durance 1995) 
1) Características de la alimentación: flujo másico, composición de la 
pulpa de entrada, distribución del tamaño de partículas del sólido, grado 
de liberación, gravedad específica, etc. 
 
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2) Características fisicoquímicas: calidad de agua, temperatura, tipo y 
concentración de reactivos, interacciones entre las partículas y los 
reactivos, etc. 
3) Características hidrodinámicas: diseño de la columna de flotación, flujo 
de aire, distribución de las burbujas de aire y las partículas sólidas al 
interior de la columna, etc. 
 
Principios del proceso de flotación 
El procesamiento de minerales, mediante el métodode flotación con 
espumas, es una técnica que permite separar la parte valiosa de la no valiosa, 
mediante interacciones superficiales entre las distintas fases involucradas. Está 
controlado por la termodinámica, la cinética y la hidrodinámica del sistema. Los 
aspectos fundamentales del proceso incluyen: 
 En la especie mineral de interés, se debe generar una superficie hidrofóbica 
la que se favorece con la adición de un agente colector (condición 
termodinámica). 
 El proceso debe entregar el tiempo de contacto suficiente. para la correcta 
adhesión del mineral, de superficie hidrofóbica, con la burbuja de aire 
(condición cinética). 
 Los flujos de entrada de la pulpa y el aire deben permitir la estabilidad del 
proceso, de manera que ocurran las interacciones esperadas (condición 
hidrodinámica). 
 
Los parámetros del proceso de flotación pueden ser clasificados en cuatro 
tipos de componentes, las que se muestran en la Figura 1. (Sepúlveda et al. 2014) 
 
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Figura 1: Factores que afectan la flotación 
En estas etapas, el material es expuesto a distintas condiciones físicas y 
químicas que pueden alterar su composición, produciendo variaciones en las 
condiciones de entrada de la pulpa, dificultando su operación y control. Algunas de 
las variables de mayor importancia para el proceso de flotación son: (Tuteja, 
Spottiswood, and Misra 1995) 
 
 Mineral: Los antecedentes geológicos del yacimiento y método de 
explotación entregan información sobre las posibles alteraciones que puede 
tener en las distintas etapas. Por ejemplo, sulfuros y metales nativos no 
presentaran mayores alteraciones durante el proceso, a diferencia de los 
carbonatos y sulfatos que pueden sufrir disociación. 
 Granulometría: Adquiere gran importancia, dado que la flotación requiere 
que la reducción de tamaño de las especies minerales útiles permita obtener 
un grado de liberación adecuado para su concentración, es decir, permita la 
separación de las especies minerales de la ganga. 
 Densidad de Pulpa: Existe un porcentaje de sólidos óptimo para el proceso, 
que tiene influencia en el tiempo de residencia del mineral en los circuitos, en 
la recuperación del material valioso y en la calidad del concentrado obtenido. 
 Tiempo de Residencia: El tiempo en que la solución se encuentra en el 
circuito de flotación, debe ser tal que asegure que la reacciones se realicen, 
lo que está determinado por cinética del proceso. 
 Calidad del Agua: El proceso de flotación posee un gran consumo de agua, 
por lo que su disponibilidad es un problema latente. La recirculación de agua, 
 
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generalmente desde los espesadores, debe ser analizada por la posible 
acumulación de compuestos no deseados en el proceso y las posibles 
consecuencias que éstos podrían generar. Por ejemplo, la cal es utilizada 
para impedir la flotación de la pirita, pero a medida su concentración aumenta 
comienza a deprimir al resto de los sulfuros, incluyendo los materiales que 
se desean recuperar. 
 Otras Variables: La cantidad y calidad de los reactivos empleados, el pH de 
la pulpa y el sistema de aireación de la celda, son algunas de las variables 
que deben ser monitoreadas durante el proceso. 
 
Cinética del proceso de flotación 
La velocidad con que el material sólido es removido desde el proceso de 
flotación, considerando las variables involucradas en el proceso, puede describirse, 
en términos simples, mediante la siguiente ecuación general: (Tuteja, Spottiswood, 
and Misra 1994) 
dC
dt
 = - k Cn 
Dónde C es la concentración de las especies flotables, k corresponde a la 
constante cinética de flotación y n es el orden de la reacción. Consideran que C0 es 
la concentración inicial de las especies flotables y que la reacción es de primer 
orden, la variación de la concentración en función del tiempo queda: 
C(t) = C0 e-kt 
La flotación de las especies nunca es completa, considerando como C la 
concentración del material que no ha flotado, la expresión para la cinética de la 
flotación queda de la forma: 
dC
dt
 = - k (C0 - C∞) ⇒ C(t) = C∞ + (C0 - C∞) e-kt 
La ecuación anterior, puede ser expresada en términos de la recuperación 
del proceso: 
R = 
Co - C
C0
 
Donde la recuperación máxima, R, se obtiene cuando C = C. La expresión 
para la cinética de flotación queda de la forma: 
 
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dR
dt
 = k (R∞ - R) ⇒ R(t) = R∞ �1 - e-kt� 
La ecuación anterior representa la ecuación cinética para el proceso batch 
de flotación. 
Existe una gran variedad de modelos empíricos para determinar la cinética 
de la flotación, considerándola como una reacción de primer orden: modelo Clásico 
y modelo de Klimpel, los que están asociados a la función de distribución de la 
constante cinética, que es una función del tamaño de las partículas y la 
hidrofobicidad. (Bu et al. 2017) 
La expresión general para la cinética de la reacción se puede expresar de la 
forma: 
dR
dt
 = f(k) (R∞ - R)n 
Donde f(k) representa la función de distribución para la constante cinética. 
 R, la recuperación máxima. 
 n, representa el orden de la reacción 
La función de distribución cumple con la siguiente propiedad: 
� f(k)dk
∞
0
=1 
a) Modelo Clásico 
Función de distribución de la constante cinética es la función delta de Dirac 
(��), o función impulso. 
f(k)=δk(k) 
R(t) = R∞ �1 - e-kt� 
b) Modelo de Klimpel 
La función de distribución corresponde a la función escalón o función de 
Heaviside (��). 
f(k)=
1
kmax
�μo(k)-μkmax
(k)� 
R(t)=R∞ �1-
1-e-kmax∙t
kmax∙t
� 
 
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Sistemas continuos 
Para los sistemas continuos, los modelos cinéticos de las celdas de flotación 
pueden ser modelados como reactores de mezcla completa o flujo pistón (sistema 
de n reactores conectados en serie). Los modelos cinéticos continuos quedan de la 
forma: 
 
a) Modelo Clásico 
R = R∞ �
k∙τ
1 + k∙τ
� (mezcla completa) 
R = R∞ {1 - [1 + k∙τ]-n} (flujo pistón) 
 
b) Modelo de Klimpel 
R = R∞ �1-
ln(1+k∙τ)
k∙τ
� (mezcla completa) 
R = R∞ �1- �
ln(1+k∙τ)
k∙τ
�
n
� (flujo pistón) 
Donde k corresponde a la constante cinética del proceso, n representa el 
número de etapas de un reactor mezcla completa equivalentes para el flujo pistón y 
 es el tiempo de residencia en la celda. 
La constante cinética del proceso de flotación puede ser afectada por 
cambios en el tamaño de burbuja. burbujas pequeñas, generan valores altos de la 
constante cinética. (Diaz-Penafiel and Dobby 1994) 
 
Modelación del proceso de flotación 
Modelos de micro y macro escala son comúnmente utilizados para describir 
la cinética de la flotación. Relaciones causa-efecto entre las variables se tratan de 
determinar mediante los modelos a microescala, la interacción entre parámetros 
físicos y químicos hace muy complejo analizar todas estas relaciones. Por otro lado, 
los modelos de macro escala analizan el proceso global de la flotación, relacionada 
a varios parámetros operacionales, a través de expresiones matemáticas. (Polat 
and Chander 2000) 
 
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Los modelos de macro escala se pueden dividir en modelos empíricos y 
modelos fenomenológicos. Los métodos empíricos relacionan las variables de 
entrada y salida con la recuperación de mineral, mediante expresiones matemáticas 
y modelos estadísticos, que determinan la dependencia e independencia de los 
parámetros analizados. Por otro lado, los métodos fenomenológicos, consideran 
parámetros cinéticos o los mecanismos de transformación que ocurren al interior 
del proceso (colisiones, adhesión partícula-burbuja, entre otros),lo que puede 
integrar modelos de micro y macro escala. Además, los modelos pueden incluir las 
siguientes consideraciones: (Hodouin 2011) 
 Modelos en estado estacionario o modelos dinámicos. 
 Modelos determinísticos o estocásticos. 
 Modelos causales (modelos de entrada y salida) o modelos no causales 
(asociadas a relaciones entre las variables de proceso, como pueden ser 
las restricciones). 
 Modelos lineales o no lineales. 
 Modelos basados en ecuaciones matemáticas o en reglas difusas. 
Algunos de los modelos desarrollados, emplean ecuaciones teóricas o 
fenomenológicas, que permiten conocer la eficiencia del proceso de flotación y 
mejorar la compresión de los fenómenos involucrados, por ejemplo, los modelos 
cinéticos de flotación están directamente relacionados con las ecuaciones cinéticas 
de las reacciones químicas. Por otro lado, están los modelos empíricos, 
desarrolladas mediante la observación y el análisis estadístico de los datos 
obtenidos en ensayos experimentales. 
El uso de modelos matemáticos para describir el proceso, su optimización y 
la simulación del control del proceso, entrega una serie de beneficios, entre los que 
se encuentran (Jovanović and Miljanović 2015): 
a) Reducción de costos de operación. 
b) Mayor entendimiento del proceso. 
c) Mejorar la toma de decisiones en todos los aspectos del proceso. 
Dentro de los modelos utilizados para describir el proceso de flotación, se 
encentran los modelos cinéticos. La expresión general para los modelos continuos, 
considerando la función de distribución de la constante cinética, manteniendo la 
nomenclatura anterior, pueden ser descritos de la forma: 
 
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R
R∞
= ��1-e-k∙τ �∙f(k)
∞
0
dk 
Si consideramos como una variación el tiempo de residencia, por diferentes 
condiciones de mezclado, la recuperación de mineral puede ser expresada 
utilizando una función de distribución para el tiempo de residencia: 
R
R∞
= � ��1-e-k∙τ �∙f(k)∙E(τ)
∞
0
∞
0
dk∙ dτ 
 
Diseño y optimización de procesos 
La programación matemática orientada al diseño, integración y operación de 
procesos, o más genéricamente, a los problemas de síntesis, consiste en tres pasos 
principales. (Grossmann and Biegler 2004) 
 Desarrollo de una representación de las alternativas, de entre las 
cuales se elige la solución óptima. 
 Formulación del programa matemático que generalmente involucra 
variables discretas y continuas para la selección de la configuración 
del sistema y las variables de operación, respectivamente. 
 Resolución del modelo de optimización del cual se determina la 
solución óptima. 
 
La superestructura que se utiliza en la determinación del diagrama de flujo 
del proceso de flotación es una estructura flexible que permite el análisis de 
múltiples alternativas que se definen a partir de las variables que desean ser 
optimizadas. Está descrita como una serie de etapas conectadas entre sí, cada una 
de las cuales posee una entrada o flujo de alimentación y dos corrientes de salidas, 
que consideran los flujos de concentrado y colas de cada de las 5 etapa del modelo 
de flotación: 
 Flotación Rougher (R) 
 Flotación de Limpieza (C) 
 Flotación de re-limpieza (CC) 
 Flotación de limpieza en celdas Scavenger (CS) 
 
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 Flotación Scavenger (S) 
Además, de considerar parámetros de entrada y salida globales: 
 Alimentación al circuito de flotación (F) 
 Flujo de Concentrado final (P) 
 Flujo de cola final (W) 
La interacción entre cada una de las componentes dentro de la 
superestructura está regida por flujos aceptables de concentrado y colas entre las 
distintas etapas, los que se rigen por la función que cada etapa posee dentro del 
sistema. La flotación Rougher (R) recibe la alimentación del proceso global y 
maximiza la recuperación; las etapas de flotación de limpieza (C, CC y CS) 
maximizan la ley de concentrado, generando el concentrado final, mientras que la 
flotación Scavenger (S) maximiza la recuperación y genera las colas finales (W). 
Estas interacciones son descritas mediante la matriz de origen-destino, tanto para 
los flujos de concentrado como de colas en cada etapa. 
La Tabla 1, muestra el proceso de origen (filas) y los procesos de destino 
(columnas) permitidos, donde O representa el flujo de concentrado y X, el de colas. 
La alimentación al proceso global es considerada como un concentrado. Por lo 
tanto, las celdas vacías corresponden a corrientes de flujo no permitidas. 
Tabla 1: Matriz de origen – destino 
 R C CC CS S P W 
F O 
R O X O X 
C X O X X O 
CC X X X X O 
CS O O O X O 
S O O O O X 
La descripción de la matriz de origen-destino impide que las corrientes de 
concentrado y colas de una etapa sean enviadas al mismo destino, además de 
impedir otras configuraciones ilógicas del sistema. Una corriente de salida, si bien 
posee distintas alternativas de destino, sólo una de ellas será posible, impidiéndose 
de esa forma la división de los flujos de las corrientes. 
 
Modelo matemática de optimización 
El modelo de optimización utilizado corresponde al diseño de una 
superestructura, cuya resolución se realiza mediante una programación no lineal 
 
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entera mixta (MINLP). Como se indicó anteriormente, el modelo matemático es de 
la forma: 
min(�,�) ���(�,�) � = �(�, �)
�. � ℎ(�) = 0
�(�, �) ≤ 0
� � �, � � {0,1}
 
Las ecuaciones representadas por h(x) corresponde a los balances de masa 
y modelos del proceso de flotación. Por otro lado, g(x,y) representa expresiones 
lógicas, condiciones de operación o disyunciones, es decir, la elección de flujos 
excluyentes de destino de las corrientes, no existiendo divisiones de flujos, sino que 
se debe definir hacia qué equipo, dentro de las alternativas posibles, va una 
determinada corriente. 
El modelo considera las etapas de flotación Rougher (R), Cleaner (C), re-
cleaner (CC), Cleaner-Scavenger (CS), Scavenger (S), además, de la alimentación, 
recolección de concentrado final y recolección de cola final. Se considera especies 
mineralizas, que poseen materiales de interés, así como material inerte, esta 
definición es variable dependiendo de la composición de mineral que se desee 
estudiar. 
Las variables consideradas para la modelación del proceso son: 
a) Etapas del proceso: II, JJ = {F, R, C, CC, CS, S, P, W} 
b) Etapas de flotación: I = {R, C, CC, CS, S} 
c) Especies incluidas: k 
d) Flujo de alimentación de la especie k a la etapa I: FS(I,k) 
e) Flujo de concentrado de la especie k en la etapa I: CT(I,k) 
f) Flujo de cola de la especie k en la etapa I: WS(I,k) 
g) Flujo de concentrado final especie k: CF(k) 
h) Flujo de cola final especie k: WF(k) 
i) Flujo de alimentación a la superestructura de la especie k: FI(k) 
j) Flujo de concentrado de la especie k entre las etapas II y JJ: FC(II,JJ,k) 
k) Flujo de cola de la especie k entre las etapas II y JJ: FW(II,JJ,k) 
l) Recuperación de la especie k en la etapa I: T(I,k) 
Adicionalmente, están las siguientes variables binarias: 
 
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 Existencia de cada una de las etapas: YI(I) 
 Existencia de corriente concentrado entre etapa II y etapa JJ: YC(II,JJ) 
 Existencia de corriente cola entre la etapa II y la etapa JJ: YW(II,JJ) 
Con estas definiciones los flujos asociados a cada etapa se muestran en la 
Error! Reference source not found.. (Cisternas, Lucay, and Gálvez 2014) 
 
Figura 2: Identificación de los flujos de la etapa de flotación 
 
Definición de la función objetivo 
La función objetivo es la ecuación que será optimizada dadas las limitaciones 
o restricciones determinadas y con variables que necesitan ser minimizadas o 
maximizadas usando técnicasde programación lineal o no lineal. Si existen más de 
una función objetivo, una alternativa es incluir una de ellas dentro de las 
restricciones del proceso. En este caso se analizan distintas funciones objetivo 
mediante el análisis de las siguientes variables económicas: 
a) Maximizar Valor actual neto VAN 
b) Maximizar Utilidades antes de impuestos PB 
c) Minimizar Costos anuales equivalentes CAE 
d) Minimizar Tiempo de recuperación de la inversión anual TPB 
e) Maximizar Retorno de la inversión ROI 
f) Minimizar Costo anual total COA 
 
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Para cada una de las funciones objetivos, se determina el valor de la Tasa 
interna de retorno TIR. 
 
Los parámetros económicos salen del análisis de los ingresos por ventas, 
costos operacionales, depreciaciones y los impuestos. Estos datos, junto con los 
costos de inversión, permiten obtener los indicadores económicos que se utilizarán 
como función objetivo. La Tabla 2, muestra el esquema de cálculo de los distintos 
componentes del flujo de caja operacional. (Peters, Timmerhaus, and West 1991) 
Tabla 2: Flujo de caja operacional 
Símbolo Ítem 
NSR (+) Ingresos por ventas 
COT (-) Costos Operacionales 
D (-) Depreciaciones legales 
PB (=) Utilidades antes de Impuestos 
RT (-) Impuestos legales 
PA (=) Utilidades después de impuestos 
D (+) Depreciaciones legales 
FN (=) Flujo de caja operacional 
 
Dentro de los parámetros relevantes se encuentra la inversión Inicial (IT), 
considerando costos fijos y costos de capital y la tasa de interés anual (rd). Los 
funciones objetivo a considerar en el estudio y sus ecuaciones generales, a partir 
de las siglas descritas en la tabla anterior, para un proyecto de N años de vida útil, 
son: (Pintarič and Kravanja 2006) 
Las ecuaciones que permiten calcular cada uno de estos parámetros son: 
 
a) Valor actual neto VAN 
El VAN mide el aporte económico de un proyecto, refleja el aumento o 
disminución de la riqueza con la ejecución de éste. 
VAN = −IT + �
FN�
(1 + r�)�
�
���
 
La expresión anterior, representa la ecuación general del VAN, si 
consideramos que los flujos de caja operacionales son iguales en los N períodos de 
tiempo, es decir, FN� = FN, se obtiene la siguiente expresión: 
 
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VAN = −IT + FN ∗ FA 
El término FA es el factor de anualidad asociado a la tasa de interés anual. 
FA = �
1
(1 + r�)�
�
���
=
(1 + r�)� − 1
r�(1 + r�)�
 
b) Utilidades antes de impuestos PB 
Las utilidades antes de impuesto se desprenden directamente de la Tabla 2. 
PB = NSR − COT − D 
c) Costos anuales equivalentes CAE 
El Costo Anual Equivalente de un proyecto de inversión es una expresión de 
sus costos e ingresos, si los hay, presentes y futuros, medidos en términos del costo 
anual uniforme al cual equivalen. Está dado por la expresión: 
CAE =
VAN
FA
= FN −
IT
FA
 
d) Tiempo de recuperación de la inversión anual TPB 
La recuperación de la inversión relaciona el costo fijo de inversión (INTC) y 
el flujo de caja operacional, mediante esta relación: 
TPB =
INTC
FN
 
e) Retorno de la inversión ROI 
El ROI es un indicador de la rentabilidad del proyecto y relaciona los 
beneficios antes de impuestos y la inversión total del proyecto. 
ROI =
PB
IT
 
f) Costo anual total COA 
Está formado por el costo operacional anual y las depreciaciones legales 
anuales. 
COA = COT + D 
g) Tasa interna de retorno TIR 
La TIR mide la rentabilidad de un proyecto, se define como el valor que hace 
que el VAN sea cero. 
 
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VAN = −IT +
(1 + r���)� − 1
r�(1 + r���)�
∗ FN 
 
Ecuaciones de balance y diseño de equipos 
Las ecuaciones de balance consideran las relaciones metalúrgicas asociadas 
a la recuperación de las especies de interés en las distintas etapas del proceso, 
considera los parámetros cinéticos y tiempo de residencia. Las relaciones generales 
se pueden expresar de la siguiente manera: 
 El flujo de alimentación al proceso global (F), debe ser igual a la suma 
del concentrado final (P) y las colas finales (W) del sistema. 
 El flujo de salida de una etapa debe ir a una sola etapa posterior, sea 
esta la alimentación de una etapa, o ser incorporado a los flujos de 
concentrado o colas finales. Esta condición se ajusta con una variable 
binaria, que indica la existencia de la corriente entre una etapa y otra. 
 El flujo de alimentación de cada etapa debe ser igual a la suma de los 
flujos que cada etapa indica son enviados, no permitiéndose la 
recirculación. 
 El concentrado de cada etapa será el producto entre los flujos de 
entrada y la recuperación, para cada una de las especies 
involucradas. 
 En cada etapa se debe cumplir que el flujo de alimentación es igual a 
la suma de los flujos de concentrado y cola generados en la etapa. 
 Los flujos finales de concentrado y cola deben ser igual a la suma de 
todas las corrientes que poseen ese destino. 
El diseño de equipos considera la determinación del volumen de las celdas 
de flotación mediante la siguiente expresión: 
V =
Q ∙τ
EG
 
Donde Q es el flujo volumétrico de pulpa expresado en ��
�
,  es el tiempo de 
residencia expresado en horas y EG es el factor de aireación. 
 
En base a la identificación de los flujos provenientes de cada etapa se 
describen las siguientes ecuaciones de balance: 
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 40 of 53. ISSN 0719 7578 
 
 Flujo de alimentación de la especie k hacia la etapa I 
FS(I,K) = � FC(JJ,I,k)
JJ
+ � FW(JJ,I,k)
JJ
 
Para los casos que la matriz de origen-destino indique que no hay flujos 
permitidos entre las etapas II y JJ, estos valores serán cero, es decir: 
FC(II,JJ,k) = 0 y FW(II,JJ,k) = 0 
Producto que la alimentación global del sistema (F), sólo alimenta a la etapa 
Rougher (R), para cada especie k se cumple: 
FC(F,R,k) = FI(k) 
La superestructura debe decidir qué etapas se deben realizar, esta condición 
se logra mediante la siguiente restricción: 
� FF(I,k)
k
 - YI(I)*MxF ≤ 0 
 Flujo de concentrado de la especie k desde la etapa I 
CT(I,k) = � FC(I,II,k)
II
 
La superestructura no tendrá divisiones de flujo, por lo tanto, sólo una de las 
posibles corrientes de concentrado desde la etapa I posee un flujo distinto a cero, 
esto se modela introduciendo la siguiente restricción: 
� FC(II,JJ,k)
k
 - YC(II,JJ)*MxF ≤ 0 
Donde MxF es el flujo máximo permitido para cada corriente, la que está 
definida por la expresión: 
MxF = 3* � FI(k)
k
 
Además, la variable binaria debe cumplir la siguiente restricción: 
� YC(I,II) ≤ 1
II
 
 Flujo de colas de la especie k desde la etapa I 
WS(I,k) = � FW(I,II,k)
II
 
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 41 of 53. ISSN 0719 7578 
 
De la misma forma, sólo existe una de las posibles corrientes de colas desde 
la etapa I, las restricciones en este caso son: 
� FW(II,JJ,k)
k
 - YW(II,JJ)*MxF ≤ 0 
� YW(I,II) ≤ 1
II
 
 Flujo de concentrado final (P) 
CF(I,k) = � FC(I,P,k)
I
 
 Flujo de cola final (W) 
WF(I,k) = � FW(I,W,k)
I
 
 Balance de masa global en la superestructura 
FI(k) = CF(k) + WF(k) 
 Balance de masa en la etapa I 
FS(I,K) = CT(I,k) + WS(I,k) 
Además, los flujos de concentrado y colas de cada etapa se relacionan por 
la expresión: 
CT(I,k) = T(I,k)*FS(I,k) 
Donde T(I,k) corresponde a la recuperación de la especie k, en la etapa I. 
 Recuperación en la etapa I 
El modelo cinético para las celdas de flotación corresponde a reacciones de 
primer orden, con una función de distribución rectangular de la constante cinética, 
cada etapa de flotación corresponde a un banco de celdas conectadas en serie 
manteniendo un tiempo de residencia constante para cada una de ellas. 
Bajo estas condiciones la recuperación de cada etapa del proceso, está dada 
porla siguiente expresión (Yianatos and Henríquez 2006): 
T(I,k) = Ri(I,k) �1 - 
1 - [1 + Ks(I,k)∙τ(I)]1-N(I)
(N(I) - 1)∙Ks(I,k)∙τ(I)
� 
 Leyes de concentrado y colas 
La ley de concentrado se obtiene de acuerdo con la expresión: 
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 42 of 53. ISSN 0719 7578 
 
LC=
∑ CF(k)*Gd(k,Cu)k
∑ CF(k)k
 
 
Restricciones del proceso 
Dentro de las restricciones se deben considerar lo siguiente: 
 La suma de las variables binarias debe ser siempre menor o igual a 1, 
para asegurar que exista un solo destino desde cualquier etapa de 
origen. 
 La ley de concentrado de cobre final debe ser superior al 20%, 
mientras que la ley de cola debe ser inferior al 0,2%. 
 Para los diseños de equipos se deben considerar los rangos en los 
que la ecuación de costos es aplicable. 
 
La ley de concentrado final posee un valor mínimo de 20%, definido por la 
siguiente restricción: 
� CF(k)*Gd(K, Cu)
k
≥0,2* � CF(k)
k
 
De igual forma, la ley de cola debe ser inferior al 0,2%, definido mediante la 
siguiente restricción: 
� WF(k)*Gd(K, Cu)
k
≥0,002* � WF(k)
k
 
 Diseño de celdas de flotación 
El número de celdas de flotación se puede considerar como un dato del 
problema o un parámetro a determinar. El número de celdas por banco se encuentra 
entre 1 y 14, de acuerdo con la relación: 
1,0*YI(I)≤N(I)≤14*YI(I) 
El volumen de las celdas es homogéneo y depende del efecto de los gases 
presentes (EG), en tiempo de residencia en la celda Tau(I) y la densidad de la pulpa 
DEN, de acuerdo con la expresión: 
V(I)= � FS(I,K)
k
*TAU(I)*
EG
DEN
 
El volumen del reactor está limitado entre 5 y 200 m3. 
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 43 of 53. ISSN 0719 7578 
 
5,0*YI(I)≤V(I)≤200*YI(I) 
 
Evaluación económica 
El objetivo de la evaluación económica de un proyecto, en una etapa 
preliminar, es la determinación de las mejores alternativas para la realización de 
estudios posteriores, en base a parámetros económicamente aceptables. Esta 
evaluación considera tres aspectos principales: 
a) Estimación de los costos de capital 
b) Estimación de ingresos y gastos 
c) Evaluación de criterios de rentabilidad 
Las variables económicas por considerar corresponden al análisis incluyen el 
análisis de costos, ingresos y parámetros operacionales. 
 
i. Ingresos por ventas 
Los ingresos netos por venta de concentrado están representados por la 
siguiente expresión (net-smelter-return, NSR): 
NSR= � CF(k)[p(LC - mu)(q - Rfc) - Trc]H
k
 
Donde CF(k) es el flujo de la especie k en el concentrado final. 
LC: es la ley de concentrado 
p: la fracción pagable del metal 
mu: es el descuento aplicado por ley de mineral 
q: es el valor de compra del metal. 
Rfc: es el costo de refinación 
Trc: es el costo de tratamiento de concentrado de cobre 
H: es el tiempo de operación 
La expresión anterior, muestra que los ingresos por venta de minerales 
dependen de muchos factores, entre los que destaca la ley de mineral, pero además 
interviene la eficiencia del proceso de extracción y los valores de mercado. Por otro 
lado, las distintas etapas del proceso del cobre desde la extracción hasta la venta 
en los mercados internacionales poseen una limitante en sus beneficios, cuya 
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 44 of 53. ISSN 0719 7578 
 
variación también depende del grado de refinación del producto final, es decir, si el 
producto final corresponde a concentrado de cobre o a cátodos, por ejemplo. La 
existencia de otros materiales valiosos puede aumentar los ingresos, como es el 
caso del oro y la plata, por otro lado, la presencia de impurezas, como es el caso 
del arsénico, sobre los límites permitidos puede disminuir estas ganancias. 
 
La fracción de metal pagado, para leyes mayores al 20% es de p=0,965, 
además de una deducción de pago de mu=0,01. El valor del metal, de acuerdo con 
las listas que mantienen ENAMI para marzo de 2020, ajustada a US$ por tonelada 
de metal, corresponde a la expresión: 
q = 
958,7766 + 5.268,88*(LC - 0,20)
LC
 
El costo de tratamiento Trc, representa el costo de procesamiento del 
concentrado final, mientras que el costo de refinación Rfc, se considera el costo que 
posee el tratamiento del metal presente en el concentrado mediante el proceso de 
refinación, estos valores están sujetos a las variaciones del mercado. El valor a fines 
de febrero de 2020 es de US$65.80 por tonelada de mineral procesado para Trc y 
¢US$6.58 por libra de metal refinado para Rfc. (MetalBulletin, 2020) 
El modelo considera 7.200 horas anuales de operación. 
 
ii. Costos operacionales 
Los costos operacionales consideran la energía utilizada en la operación de 
las celdas, la etapa de conminución previo al proceso de flotación. La expresión que 
describe los costos operacionales es: 
COT= �[H ∗ N(I) ∗ V(I) ∗ PK ∗ EN]
��������������������
����� �������ó� �� ��� ������
+ H ∗ CMM ∗ � FI(k)
��������������
����� ���������ó�
 
Donde PK es el costo de la energía eléctrica; EN es el consumo eléctrico por 
volumen de celda; CMM es el costo asociado al tratamiento de mina y conminución; 
N(I) es el número de celdas de la etapa I, cada una con un volumen V(I). 
 
iii. Costo de inversión 
Uno de los mayores costos involucrados en un proceso químico es por los 
equipos. Por este motivo una aproximación del orden de magnitud de la inversión 
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 45 of 53. ISSN 0719 7578 
 
puede obtener se mediante el empleo de los factores de Lang, asociado al costo de 
los equipos principales y al tipo de proceso involucrado. Este factor puede utilizarse 
para determinar el costo fijo de inversión o el costo total de la inversión. Para plantas 
de procesamiento de sólidos los valores son 3,9 (costos fijos) y 4,6 (inversión total). 
(Peters, Timmerhaus, and West 1991) 
Por lo anterior, el costo de inversión puede ser dividido en la adquisición de 
equipos como el capital de trabajo, de acuerdo con la expresión: 
IT=(FL+FLw)* � IN(I)*N(I)
I
 
FL y FLw, corresponde al efecto Lang para la adquisición de equipos (3,9) y 
para el capital de trabajo (0,9), respectivamente. (Ruhmer 1991) 
IN(I) es el costo de inversión por celda de flotación se determinan por la 
expresión: (Ruhmer 1991) 
IN(I)=150,7+10,72 *V(I)-0,01491* V(I)2 
 
iv. Flujo de Caja Operacional (Flujo Neto Efectivo) FN 
El valor actual neto, considera el costo total de inversión 
VAN = −IT + FN ∗ FA 
Donde el flujo neto efectivo FN, a partir de la Tabla 2, está dado por la 
expresión: 
FN = (1 − RT)[NSR − COT] + RT ∗ D 
 
Casos de estudio 
Para la obtención del circuito óptimo de flotación se consideran 3 especies: 
calcopirita, pirita y sílice. Para las calcopirita y pirita se distinguen dos fracciones, 
que representan una liberación total y parcial del mineral, danto un total de 5 
especies para el diseño de la superestructura. La ley de cobre, para cada una de 
las especies consideradas, se describen en la Tabla 3. 
Tabla 3: Ley de cobre para cada especie 
Especie K Ley de cobre 
Calcopirita completamente liberada 1 0,346 
Calcopirita parcialmente liberada 2 0,250 
 
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Pirita completamente liberada 3 0,0 
Pirita parcialmente liberada 4 0,0 
Sílice 5 0,0 
 
La recuperación de la especie k en la etapa I T(I,k) se describe en la Tabla 4. 
 
 
 
 
Tabla 4: Constante cinética para cada especie en la etapa I h-1 
Etapa 
Especie 
1 2 3 4 5 
R 150 125 35 30 10 
C 120 100 25 20 10 
CC 100 80 15 10 10 
CS 120 100 25 20 10 
S 150 125 35 30 10 
 
La recuperación máxima Ri(I,k) de la especie k en la etapa I, expresada en 
fracción, se muestra en la Tabla 5. 
Tabla 5: Recuperación máxima de cobre en la etapa I 
Etapa 
Especie 
1 2 3 4 5 
R 0,90 0,75 0,50 0,35 0,15 
C 0,75 0,60 0,30 0,20 0,15 
CC 0,65 0,50 0,20 0,10 0,15 
CS 0,80 0,65 0,40 0,30 0,15 
S 0,90 0,75 0,500,35 0,15 
 
El tiempo de residencia para cada una de las celdas presentes en las distintas 
etapas se ha fijado en 0.066 horas. Finalmente, el número de equipos en cada etapa 
se ha definido de la forma descrita en la Tabla 6. 
Tabla 6: Número de celdas por etapa 
 R C CC CS S 
N° celdas 7 5 5 7 7 
 
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Para el flujo de entrada se considera una ley de cobre del 1%. La composición 
de cada especie se presenta en la Tabla 7. 
Tabla 7: Flujo de alimentación 
 1 2 3 4 5 
Ton/h 9,5 1,5 26 8 340 
 
Con la configuración anterior, para la maximización del VAN y PB, se 
obtienen diagramas de flujo equivalentes, el que se presenta en la Figura 3, donde 
los flujos se encuentran ton/h. 
 
 
Figura 3: Diagrama de flujo datos en ton/h 
 
La ley de concentrado final es de 27,3% de cobre. El modelo entrega el 
volumen de cada celda, para cada una de las distintas etapas, presentados en la 
Tabla 8. 
 
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Tabla 8: Volumen de equipos por etapa en m3 
R C CC CS S 
111,2 30,1 8,2 16,5 102,8 
 
Debido a los bajos costos operacionales de este tipo de proyecto, se obtiene 
una alta rentabilidad. Los distintos indicadores económicos asociados al diagrama 
de flujo se muestran la Tabla 9. 
 
 
 
 
Tabla 9: Variación de indicadores para VAN y PB 
Ingresos, MUS$ 164.763 
COT, MUS$ 21.657 
CAT, MUS$ 2.350 
INTC, MUS$ 10.184 
IT, MUS$ 12.534 
D, MUS$ 1.018 
PB, MUS$ 142.088 
PA, MUS$ 92.357 
FN, MUS$ 93.376 
COA, MUS$ 22.675 
TPB, años 0,11 
ROI 11,34 
VAN, MUS$ 561.218 
CAE, MUS$ 91.336 
CEQ, MUS$ 2.611 
TIR 7,45 
 
Análisis de sensibilidad 
Si analizamos el efecto en la cantidad de mineral parcialmente liberado (k=2) 
en el circuito optimo de flotación, sin alterar la ley del mineral y manteniendo todas 
las condiciones operacionales descritas anteriormente, los circuitos óptimos 
encontrados para las funciones objetivo se muestran en las siguientes figuras: 
Error! Reference source not found.Figura 4(VAN y PB), Figura 5(CAE) y Figura 
6Error! Reference source not found. (TPB, COA y ROI). 
 
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 49 of 53. ISSN 0719 7578 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Circuitos resultaste para VAN y PB 
R
C
CC
CS
S
 
 
Figura 5: Circuitos resultantes para CAE 
R
C
CC
CS
S
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 50 of 53. ISSN 0719 7578 
 
R
C
CC
S
 
Figura 6: Circuitos resultantes para TPB, ROI y COA 
 
Las líneas negras corresponden a las corrientes de concentrado 
provenientes de cada da equipo mientras que las azules, a las colas. Se aprecia, 
además, que los circuitos pueden tener variación los que se muestran como líneas 
discontinuas. 
Con estas modificaciones lo parámetros económicos identificados para los 
indicadores VAN y PB se presenta en la Tabla 10. 
 
Tabla 10: Variación de indicadores para VAN y PB 
Indicador 
Concentración (k=2), ton/h 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 
Ingresos, MUS$ 175.928 172.081 168.418 164.763 161.188 155.359 150.096 
COT, MUS$ 21.570 21.579 21.649 21.657 21.664 21.643 21.897 
CAT, MUS$ 2.327 2.329 2.349 2.350 2.352 2.350 2.390 
INTC, MUS$ 10.085 10.093 10.177 10.184 10.191 10.183 10.357 
IT, MUS$ 12.413 12.422 12.526 12.534 12.543 12.533 12.748 
D, MUS$ 1.009 1.009 1.018 1.018 1.019 1.018 1.036 
PB, MUS$ 153.349 149.493 145.751 142.088 138.504 132.698 127.163 
PA, MUS$ 99.677 97.171 94.738 92.357 90.028 86.254 82.656 
FN, MUS$ 100.686 98.180 95.756 93.376 91.047 87.272 83.692 
COA, MUS$ 22.578 22.588 22.667 22.675 22.684 22.662 22.933 
TPB, años 0,1 0,1 0,11 0,11 0,11 0,12 0,12 
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 51 of 53. ISSN 0719 7578 
 
ROI 12,35 12,03 11,64 11,34 11,04 10,56 9,98 
VAN, MUS$ 606.257 590.850 575.854 561.218 546.900 523.715 501.503 
CAE, MUS$ 98.668 96.158 93.718 91.336 89.006 85.232 81.617 
CEQ, MUS$ 2.586 2.588 2.609 2.611 2.613 2.611 2.656 
TIR 8,11 7.90 7,65 7,45 7,26 6,96 6,57 
 
Conclusiones 
La determinación de la superestructura para el proceso de flotación de 
minerales de cobre, utilizando una matriz de origen-destino para los flujos de 
concentrado y colas, permite identificar la selección de la función objetivo influye en 
el diseño del circuito, así como en el diseño de equipos y las condiciones de 
operación. 
La maximización del VAN y el PB generan circuitos óptimos equivalentes, así 
como el costo anual equivalente. Además, la estructura tuvo un mayor efecto sobre 
los valores de las funciones objetivo que las condiciones de operación. Las 
funciones objetivas para la maximización del valor actual neto y la maximización de 
las utilidades antes de impuestos entregan los mismos circuitos óptimos, lo que 
poseen un mayor costo de capital, así como un alto flujo neto efectivo, pero con baja 
rentabilidad. Por el contrario, las funciones para la maximización del retorno de la 
inversión, además, de la minimización del tiempo de retorno de la inversión y la 
minimización de los costos anuales equivalentes, también generan un circuito 
óptimo equivalente. Estos circuitos resultan una alternativa menos costosa con 
menor flujo neto efectivo y una alta rentabilidad. 
Por otro lado, la composición de la alimentación también es un factor 
relevante en la obtención del circuito óptimo. 
 
Bibliografía 
 
Bu, Xiangning et al. 2017. “Kinetics of Flotation. Order of Process, Rate Constant 
Distribution and Ultimate Recovery.” Physicochemical Problems of Mineral 
Processing 53(1): 342–65. 
Cisternas, Luis A., Freddy Lucay, and Edelmira D. Gálvez. 2014. “Effect of the 
Objective Function in the Design of Concentration Plants.” Minerals Engineering 
63: 16–24. http://dx.doi.org/10.1016/j.mineng.2013.10.007. 
Diaz-Penafiel, P., and G. S. Dobby. 1994. “Kinetic Studies in Flotation Columns: 
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 52 of 53. ISSN 0719 7578 
 
Bubble Size Effect.” Minerals Engineering 7(4): 465–78. 
Grossmann, Ignacio E. 2002. “Review of Nonlinear Mixed-Integer and Disjunctive 
Programming Techniques.” Optimization and Engineering 3(3): 227–52. 
http://www.springerlink.com/index/H273130UW4277Q27.pdf%5Cnhttp://link.sp
ringer.com/10.1023/A:1021039126272. 
Grossmann, Ignacio E., and Lorenz T. Biegler. 2004. “Part II. Future Perspective on 
Optimization.” Computers and Chemical Engineering 28(8): 1193–1218. 
Grossmann, Ignacio E, Jose Antonio Caballero, and Hector Yeomans. 2000. 
“Advances in Mathematical Programming for the Synthesis of Process 
Systems.” Latin American Applied Research 30(4): 263–84. 
Hodouin, Daniel. 2011. “Methods for Automatic Control, Observation, and 
Optimization in Mineral Processing Plants.” Journal of Process Control 21(2): 
211–25. http://dx.doi.org/10.1016/j.jprocont.2010.10.016. 
Jovanović, Ivana, and Igor Miljanović. 2015. “Contemporary Advanced Control 
Techniques for Flotation Plants with Mechanical Flotation Cells - A Review.” 
Minerals Engineering 70: 228–49. 
Peters, M S, K D Timmerhaus, and R E West. 1991. Plant Design and Economics 
for Chemical Engineers Plan Design and Economics for Chemical Engineers. 
Pintarič, Z. Novak, and Z. Kravanja. 2006. “Selection of the Economic Objective 
Function for the Optimization of Process Flow Sheets.” Industrial & Engineering 
Chemistry Research 45(12): 4222–32. http://dx.doi.org/10.1021/ie050496z. 
Polat, M., and S. Chander. 2000. “First-Order Flotation Kinetics Models and Methods 
for Estimation of the True Distribution of Flotation Rate Constants.” International 
Journal of Mineral Processing 58(1–4): 145–66. 
Ruhmer, W. 1991. “Handbook on the Estimation of Metallurgical Process Costs 
(Mintek Special Publication)-Mintek.” 
Sepúlveda, Felipe D., Luis A. Cisternas, Maritza A. Elorza, and Edelmira D. Gálvez. 
2014. “A Methodology for the Conceptual Design of ConcentrationCircuits: 
Group Contribution Method.” Computers and Chemical Engineering 63: 173–
83. 
Sutulov, Alexander. 1963. “Flotacion de Minerales.” Instituto de Investigaciones 
Tecnológicas. 
Tatjewski, Piotr. 2008. “Advanced Control and On-Line Process Optimization in 
Multilayer Structures.” Annual Reviews in Control 32(1): 71–85. 
Tuteja, R. K., D. J. Spottiswood, and V. N. Misra. 1994. “Mathematical Models of the 
Column Flotation Process a Review.” Minerals Engineering 7(12): 1459–72. 
———. 1995. “Column Parameters: Their Effect on Entrainment in Froth.” Minerals 
Engineering 8(11): 1359–68. 
Villeneuve, J., J. C. Guillaneau, and M. V. Durance. 1995. “Flotation Modelling: A 
Wide Range of Solutions for Solving Industrial Problems.” Minerals Engineering 
 
INGLOMAYOR. Section A Volume 18 (2020) Page 53 of 53. ISSN 0719 7578 
 
8(4–5): 409–20. 
Wills, Barry, and Tim Napier-Munn. 2005. Wills’ Mineral Processing Technology 
(Seventh Edition) Preface to 7th Edition. 
Yianatos, J. B., and F. D. Henríquez. 2006. “Short-Cut Method for Flotation Rates 
Modelling of Industrial Flotation Banks.” Minerals Engineering 19(13): 1336–40.