Ejercicios-Resueltos-de-Poligonos-Regulares-Pagina-Educativa

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01. Calcular el lado y la apotema de un cuadrado, si el 
radio de la circunferencia circunscrita mide 3 2 . 
a) 
3 2
3 y 
2
 b) 4 y 2 2 c) 9 y 3 2 
d) 6 y 3 e) 8 y 4 
 
Resolución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4L ?= , donde: 4L R 2= 
4a ?= , donde: 4a
R
2
2
= 
Reemplazando el circunradio R 3 2= 
4L 3 2 2= 4a
3 2
=
2
2
 
4L 6= 4a = 3 
 6 y 3 Rpta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. En un cuadrilátero inscriptible ABCD, los ángulos BDA 
y ACD miden 17º y 19º respectivamente. Si la longitud de 
la diagonal BD es 10 2 5+ . Hallar la longitud del 
radio de la circunferencia circunscrita al cuadrilatero. 
a) 3 1+ b) 2 1+ c) 5 1+ 
d) 2 1− e) 5 1− 
 
Resolución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por dato: BD 10 2 5= − …. ( I ) 
En la figura, BD = 5l 
Entonces: 
R
BD 10 2 5
2
= − … ( II ) 
De ( I ) y ( II ): 
R
10 2 5 10 2 5
2
− = + 
De donde: R = 5 1 + Rpta. 
 
 
03. Determinar el apotema de un dodecágono regular si su 
circunradio mide 2 2 3− . 
a) 1.5 b) 2 c) 2.5 
d) 1 e) 0.5 
 
Solución 
Conocemos que: 
12a
R
2 3 ?
2
= + = ; R 2 2 3= − 
Reemplazando: 
12a
2
=
2 3
2
−
2 3+ 
12a = 1 Rpta. 
 
 
 
 
 
 
3 2
3 2
45º
3 ap=
3 3
A
B
R
O
R
17º
36º
36º
1
7
º
1
9
º
72º
D
P
C
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04. La longitud del lado de un dodecágono regular 
ABCDEF…… es 6 3 3− . Hallar: AE. 
a) 2 b) 3 c) 5 
d) 7 e) 8 
 
Resolución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el AOE:  x R 3= 
Pero por dato: 12l 6 3 3= − 
Además: 12l R 2 3= − 
R 2 3 3 2 3− = − 
De donde: R 3= 
Reemplazando: x 3 3.= 
x = 3 Rpta. 
 
 
05. Hallar el lado de un pentágono regular si su circunradio 
mide 10 2 5+ . 
a) 4 5 b) 2 5 c) 5 
d) 3 5 e) 8 5 
 
Resolución 
5L ?= 
R 10 2 5= + 
5
R
L 10 2 5
2
= − 
5
10 2 5 10 2 5
L
2
+ −
= 
5L = 2 5 Rpta. 
 
 
06. Si un cuadrado y un hexágono regular se inscriben en 
una circunferencia, la razón de sus apotemas es: 
a) 
2
3
 b) 
6
3
 c) 
6
2
 
d)
2
3
 e) 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 4
6
a
a
?= 
4
6
R
a 2
a
=
2
R
2
2 2 3
3 3
3
= = = 
4
6
a
a
=
6
 
3
 Rpta. 
 
 
 
07. Calcular el perímetro de un cuadrado inscrito en la 
misma circunferencia que un octógono regular cuya 
apotema mide 2 2 2+ . 
a) 4 b) 16 c) 4 2 
d)16 2 e) 4 2 
 
Resolución 
4Perim ?= 
8a 2 2 2= + 
R
2 2
2
+ 2 2 2= + 
R 4= 
4 4P 4L= ( ) ( )4 4 4 2R 2= = 
4P = 16 2 Rpta. 
 
 
08. Cuál es el perímetro de un hexágono regular 
circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide 3m . 
a) 9 3 b) 6 c) 3 
d) 12 e) 9 3 
 
Resolución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* Se observa que el radio viene a ser la apotema del 
hexágono circunscrito a la circunferencia 
* En el triángulo notable sombreado 
OH 3 OB=2=  
* El ABO es equilátero 
OB OA AB 2= = = 
* Piden el perímetro: 
( )Peri 2 6= = 12 Rpta. 
 
 
A
B
C
D
E
F
GR
R
O
x
120º
3
0
º
3
0
º
3
1
2
1
22
22
2
A B
C
DE
F
O
H
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09. La diagonal de un pentágono regular mide 
( )5 1 m+ . Hallar su perímetro. 
a) 12 m b) 11 m c) 10 m 
d) 15 m e) 18 m 
 
Resolución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por dato: AC 5 1= + 
En la figura el cuadrilátero EPCD es un rombo: 
EP PC CD ED x= = = = 
En el EAP isósceles; como m AEP 36º= 
Entonces se tiene que: 
AP = 10l ( )x
5 1
2
= − 
Luego: ( )x
AC 5 1 5 1 x
2
= + = − + 
De donde: x 2= 
En consecuencia el perímetro del pentágono regular es: 
2p 5x= = 10 m Rpta. 
 
 
10. El ángulo formado por los lados iguales de un triángulo 
isósceles es de 36º, si el lado desigual mide 10 m, 
determinar uno de los lados iguales ( 5 2,23= ). 
a) 15 b) FD c) 8,96 
d) 16,26 e) 18,44 
 
Resolución 
Se observa que el triángulo isósceles es el triángulo 
elemental del decágono regular. 
 
 
 
 
 
( )10
R
L 5 1
2
= − ; 5 2.23= 
( )R
10 5 1
2
= − 
R x= = 16.26 Rpta. 
 
11. Hallar PQ , si el lado del cuadrado ABCD es 4, siendo 
A, B y D centro de los cuadrantes. 
a) 2 3− 
b) 2 2 3− 
c) 2 2 3+ 
d) 2 3+ 
e) 4 2 3− 
Resolución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* El triángulo isósceles PAQ es el triángulo elemental de 
un dodecágono. 
* Luego “x” es una de los lados del dodecágono regular: 
x R 2 3= − ; R 4= 
x = 4 2 3 − Rpta. 
 
 
12. La figura muestra a una semicircunferencia de 
diámetro AD y radio “R”. Si AB R 2= , BC R= , hallar 
. 
 
 
 
 
 
 
a) 15º b) 30º c) 37º 
d) 45º e) 18º 
 
Resolución 
 
 
 
 
 
 
 
Las cuerdas AB y BC son uno de los lados de un cuadrado 
y de un hexágono inscritos en dicha circunferencia, por 
ende determinan arcos de 90º y 60º , de donde: 
AB 90º= , BC 60º= y CD 60º= 
En el gráfico se observa que " " es un ángulo exterior 
90º 30º
2

−
= = 30º Rpta. 
 
 
13. En la figura: AC R 3= ; BD R 2= ; 
( )R
BC 5 1 .
2
= − Hallar la medida del menor ángulo 
formado por las cuerdas AC y BD. 
a) 69º 
b) 71º 
c) 83º 
d) 87º 
e) 76º 
 
 
 
 
A
B
C
DE x
x
xx
x
72º
36º
72º72º
( )−
x
5 1
2
x
xP
A
B C
D
P
Q
4
4
P
x
Q
80º
30º
30º
2
2
4
A
B C
D
A
C
D
E
O
R

B
A
C
D
E
O

B
90º
30º
R 2
R
R
36º
x
10
x
A
B
C
D
R
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Resolución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AC R 3 AC 120º= → = 
BD R 2 BD 90º= → = 
( )R
BC 5 1 BC 36º
2
= − → = 
“x” es un ángulo interior: 
AB DC 84º 54º
x
2 2
+ +
= = 
x = 69º Rpta. 
 
 
14. Dado un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una 
circunferencia, sobre el arco BC se considera un punto 
cualquiera “P”. Si: PC 1 m= y PE 4 2 m= . Hallar la 
longitud del radio de la circunferencia. 
a) 
3
3
4
 b) 
5
2
2
 c)
3
5
7
 
d)
7
2
3
 e)
1
7
5
 
 
Resolución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la figura: CE EG= = 4l R 2= 
En el triángulo rectángulo GPC, por el teorema de 
Pitágoras: 
2 24R 1 PG= + ; 
2
PG 4R 1= − 
Por el teorema de Ptolomeo en el cuadrilátero PCEG, se 
tiene que: 
2
2R 4 2 R 2 4R 1 1 R 2 . . .= − + 
2 2
8 4R 1 1 49=4R 1= − + → − 
2 25
4R 50 R
2
=  = 
R =
5
 2 
2
 Rpta. 
 
 
 
15. Desde un punto P exterior a una circunferencia, se 
trazan dos secantes PBC y PDE. Cuánto mide el ángulo P 
si las cuerdas BD y CE miden R 2 y R 3 
respectivamente. (El radio de la circunferencia es R). 
a) 45º b) 30º c) 18º 
d) 15º e) 12º 
 
Resolución: 
 
 
 
 
 
 
 
CE R 3 CE 120º= → = 
BD R 2 BD 90º= → = 
Por ángulo exterior, se tiene que: 
120º 90 30º
x
2 2
−
= = = 15º Rpta. 
 
 
16. Se tiene un pentágono regular ABCDE inscrito en una 
circunferencia. Si AB 10 2 5= − . Calcular la longitud 
del segmento que une los puntos medios de los arcos AB y 
DE. 
a) 10 2 5+ b) 10 2 5− 
c) 5 2 5+ d) 3 2 5+ 
e) 2 10 2 5+ 
 
Resolución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el triángulo sombreado: 
 
 
 
 
 
Como: 
10 2 5
MP PN
2
+
= = 
Luego: MN MP PN= + 
 = 10 2 5 + Rpta. 
 
 
 
 
 
 
A
B
C
D
E
F
G
H
R
2
R
2
P
1
R
O
−
2
4
R
1
4
2
B
C
D
R
x
A
36º
54º
84º
P
E
D
B
C
x 90º
R
120º
E
A B
C
D
M
N
Q
2
10 2 5−
2
36º
36º
36º
O
P
M P
O
2 72º
18º
5 1
2
−
10 2 5
2
+
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60º
B
A
D
C
R 2
R
90º
75º105º
17. En un heptágono regular ABCDEFG. Si: 
1 1 1
AC AD 9
+ = . Hallar su perímetro 
a) 24 b) 63 c) 56 
d) 72 e) 48 
 
Resolución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dato: 
1 1 1
a b 9
+ = …. ( I ) 
En la figura: 
AC CE a= = ; AD AE b= = 
Por el teorema de Ptolomeo en el cuadrilátero ACDE: 
ab ax bx= + 
1 a b 1 1 1
 
x ab ab x a b
= + → = + ..… ( II ) 
De ( I ) y ( II ) se tiene que: 
1 1
 x=9
x 9
= → 
Luego su perímetro será: 
2p 7x= 
2p = 63 Rpta. 
 
18. En un triángulo ABC, obtuso en A, se sabe que 
m( C) 18=  , AB 2m.= y ( )BC 5 1cm.= + 
¿Cuál es la medida del ángulo B? 
a) 24º b) 12º c) 36º 
d) 15º e) 18º 
 
Resolución 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formado el triángulo isósceles BDC y comprobando de 
que sea el triángulo elemental de un decágono regular. 
( )10
R
L 5 1
2
= − 
( ) ( )
10
5 1 5 1
L 2
2
+ −
= = 
Por ángulo exterior en el triángulo sombreado 
x 18º 30º+ = 
 x = 12º Rpta. 
 
 
 
19. En una circunferencia se tienen las cuerdas AB R 2= 
y CD R= ; donde R es el radio de la circunferencia. Hallar 
el mayor ángulo determinado por las cuerdas BC y AD si 
las cuerdas AB y CD no se cortan. 
a) 105º b) 100º c) 120º 
d) 115º e) 130º 
 
Resolución: 
AB y CD son los lados de un cuadrado y de un hexágono 
regular, entonces: 
AB 90º= 
CD 60º= 
Por ángulo interior 
2
º90º60
DÊC
+
= 
º75DÊC = 
Mayor ángulo: 
180º 75º− = 105º Rpta. 
 
 
20. En qué relación se encuentran los radios de la 
circunferencia circunscrita e inscrita a un mismo exágono 
regular. 
a) 
2 3
3
 b) 
2 2
3
 c) 
4
3
 
d) 
1
2
 e) 
1
3
 
 
Resolución: 
En el triángulo rectángulo notable BMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si: OB R = 
R 3
OM r
2
= = 
3
3
.
3
2
r
R
= (Racionalizando) 
=
r
R
3
32
 Rpta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
B
C
D
EF
G
x
x x
x
x
x
x
a
b
b
A
B
D
C
1
1
x
60º
30º 18º
18º
5 1+
D
CB
A
EF
º
3
0
M
r
O
º
3
0
2
R
R
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