Relaciones-Métricas-en-la-Circunferencia-para-Cuarto-de-Secundaria

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R. MÉTRICAS EN LA 
CIRCUNFERENCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R. MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 
 
 
 TEOREMA DE LAS CUERDAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TEOREMA DE LAS SECANTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “T”  Es punto de tangencia 
 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
 ............................................................................................ 
 ............................................................................................ 
 ............................................................................................ 
 ............................................................................................ 
 
 TRIÁNGULO EQUILÁTERO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CUADRADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
c 
d 
(a)(b) = (c)(d) 
a 
b 
m 
k 
A 
C 
D 
B 
P 
(a)(b) = (k)(m) 
a 
b 
t T 
B 
A 
P 
t2 = (a)(b) 
R 
120º O 
A C 
3ap
 
R 
L3 
B 
120º R 
L3 
Ángulo Central : 3 = 120º 
Lado (L3) : L3 = R 3 
Apotema (ap3) : ap3 = 
2
R
 
L4 
L4 C B 
D A 
L4 
ap4 
O 
R 
R 
90º 
Ángulo Central : 4 = 90º 
Lado (L4) : L4 = R 2 
Apotema (ap4) : ap4 = 
2
2R
 
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 HEXÁGONO REGULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 IMPORTANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
NIVEL I 
 
1. Si: AB = L6 y CD = L3, calcular “x + y” 
 
a) 120º 
b) 90º 
c) 60º 
d) 135º 
e) 180º 
 
2. Si: AB = L4. Calcular “” 
 
a) 30º 
b) 45º 
c) 60º 
d) 15º 
e) 35º 
 
 
 
 
3. Calcular “x” 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 6 
e) 5 
 
4. Calcular “x” 
 
a) 90º 
b) 105º 
c) 120º 
d) 135º 
e) 150º 
 
5. Si: mAPB = 270º. Calcular AB 
 
a) 2 2 
b) 2 2 
c) 3 2 
d) 4 2 
e) 6 2 
 
NIVEL II 
 
6. Calcular “x” si “T” es punto de tangencia. 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 8 
e) 9 
 
7. Calcular “x” 
 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 12 
 
8. Siendo AM = MB. Calcular AB 
 
a) 4 
b) 4 6 
c) 2 6 
d) 12 2 
e) 4 3 
A D 
F E 
B C 
R R 
L6 
L6 
ap6 
60º 
o 
Ángulo Central : 6 = 60º 
Lado (L4) : L6 = R 
Apotema (ap6) : ap6 = 
2
3R
 
Para resolver deberás 
recordar las propiedades de 
ángulos en la circunferencia. 
R 
D 
B 
C A 
x 
y 

B 
A 
2x 
6 
 3 
 x 
L3 
L4 
x 
A 
B 
O 
2 
P 
5 
4 
T x 
5 
4 
x 
3 
B 
D 
C A 
6 
4 
M 
 L6 L6 
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9. Siendo T punto de tangencia, AB = 4, TC = 6 y 
mBT = 2; calcular BC 
 
a) 6 
b) 7 
c) 5 
d) 8 
e) 4 
 
10. Si AB = R 2 y  = 15º, entonces CD es 
equivalente al lado de un: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Triángulo Equilátero d) Dodecágono Regular 
b) Cuadrado e) Hexágono Regular 
c) Octógono Regular 
 
NIVEL III 
 
11. Calcular el apotema de un triángulo equilátero 
inscrito en una circunferencia de radio 1m. 
 
a) 2m b) 3 c) 0,5 
d) 10 e) 50 
 
12. Si el apotema de un hexágono regular mide 3 , 
calcular su perímetro. 
 
a) 4 b) 6 c) 12 
d) 2 3 e) 6 3 
 
13. Calcular CL, si “O” es centro 
 
a) 3R 
b) 2R 
c) 
5
5R3
 
d) 5R 
e) 
2
2R
 
 
14. Si: AB = 8, BC = 10 y CT = TE = 6. Hallar : TD 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 2,5 
e) 3,5 
 
15. En la figura ABC es un triángulo equilátero 
AM=MC , mAN = mNB. Calcular MN si el radio de 
la circunferencia es 10. 
 
a) 5 7 
b) 8 7 
c) 6 7 
d) 7 7 
e) 9 7 
 
 
TAREA DOMICILIARIA 
 
 
1. Calcular “x” 
 
a) 45º 
b) 53º 
c) 60º 
d) 75º 
e) 90º 
 
2. Calcular la apotema de un cuadrado si su lado 
mide 2 cm 
 
a) 
2
2
m b) 
2
3
 c) 2 
d) 3 e) 1 
 
3. Calcular AB, si : AP = 3 , PC = 2 y PD = 6 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
4. Siendo “O” centro. Calcular “R”, si: PC = 5, 
PA = 4 y CD = 3 
 
a) 2,5 
b) 3 
c) 3,5 
d) 2 
e) 5 
 
 
 
 
C 
B 
A 
T 
B 
A 
D 
C 


R 
O 
R B R C 
L 
A 
B 
A 
T 
E 
D 
C 
L3 
L6 
x 
O 
M C A 
N 
B 
D 
A 
C 
B 
P 
R 
B 
R 
O A 
D 
C 
P 
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5. Calcular “x” 
 
a) 30º 
b) 60º 
c) 53º 
d) 90º 
e) 45º 
 
6. Hallar la relación entre el inradio y circunradio 
de un triángulo equilátero. 
 
a) 1 : 4 b) 2 : 3 c) 1 : 3 
d) 1 : 2 e) 3 : 4 
 
7. Si : AB // CD , AB = L5 Y CD = L3 
Calcular “x” 
 
a) 36º 
b) 30º 
c) 24º 
d) 18º 
e) 16º 
 
8. En el gráfico “M” es punto medio de AC y 
además punto de tangencia. Hallar AF. Si 
AB = 18, BE = 7 y EC = 9 
 
a) 6 
b) 7 
c) 5 
d) 8 
e) 9 
 
9. En un triángulo ABC, m∢B = 65º, m∢C = 55º y BC = 
9. Hallar el circunradio del triángulo ABC. 
 
a) 2 3 b) 3 c) 3 3 
d) 2 2 e) 3 2 
 
10. Dado el triángulo PQR: m∢Q = 75º, m∢R= 60º y el 
circunradio del triángulo mide 2 2 . Calcular QR 
 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 3 e) 4 2 
 
11. Calcular “x”, si : AB = r y BC = r 2 
(O es centro) 
 
a) 20º 
b) 18º 
c) 15º 
d) 22,5º 
e) 26,5 
 
12. El lado de un cuadrado inscrito en una 
circunferencia es 2 . Calcular el lado del 
cuadrado circunscrito a la misma 
circunferencia. 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 2 2 e) 3 2 
 
13. En la figura BC = 2, EM = 6 y DE = 4 
Calcular AB (A y M son puntos de tangencia) 
 
a) 7 
b) 10 
c) 11 
d) 13 
e) 14 
 
14. En una circunferencia de radio igual a 10, se 
traza una cuerda AB sobre lo cual se ubica un 
punto “M” tal que AM = 5 y MB = 12. Calcular 
OM siendo “O” centro de la circunferencia. 
 
a) 10 b) 2 10 c) 3 10 
d) 4 10 e) 5 10 
 
15. Sobre los lados de un cuadrado cuyo lado mide 
“a” se construyen rectángulos congruentes. 
Hallar la longitud de la altura que han de tener 
todos los rectángulos tal que al juntar los 
vértices resuelve un octógono regular. 
 
a) a 3 b) a 2 c) 
2
2a
 
d) 
2
3a
 e) 
3
3a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
L6 L3 
x 
D 
A 
 
B 
 C 
 
F 
B 
E 
M A C 
A O D 
B 
x 
A 
B C 
D E 
 M 
C