Propiedades-Fundamentales-de-la-Circunferencia-Para-Primer-Grado-de-Secundaria

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Es la figura geométrica formada por los puntos de un 
plano que equidistan de otro punto fijo coplanar a ellos, 
este último es denominado «centro», y la distancia 
del centro hacia los puntos de la circunferencia se le 
conoce con el nombre de «radio».
Elementos
 Z AB : diámetro
 Z PQ : flecha o sagita
 Z MN : cuerda
 Z R : radio
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
1. En toda circunferencia que es tangente a una rec-
ta, se cumple que el radio dirigido al punto de 
tangencia es perpendicular a la recta tangente. En 
la figura, es tangente a la circunferencia en 
A, entonces, tenemos:
 ⊥OA
 También es tangente a la circunferencia en B, 
⇒ ⊥OB , es decir: x = 90°
2. Los segmentos tangentes a una circunferencia 
trazados desde un mismo punto exterior son de 
igual longitud.
 En la figura, A y B son puntos de tangencia, luego 
tenemos: PA = PB = a 
3. En la misma circunferencia, dos cuerdas de igual 
longitud subtienden arcos de igual medida.
 En la figura, si AB = CD
 ⇒ m
�AB = b = m �CD
4. En toda circunferencia, el radio trazado perpen-
dicularmente a una cuerda biseca a esta y al arco 
que la subtiende.
 En la figura, AB es una cuerda y se ha trazado 
⊥OP AB .
 Luego, AQ = QB ˄ m �AP = m �PB
TEOREMA DE PONCELET
En todo triangulo rectángulo, la suma de las longitudes 
de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la 
hipotenusa con el doble del radio de la circunferencia 
inscrita.
L1
L2
R
xB
O
A
C
C
C
A
B
P
a
a
C
a a b
b
D
B
A
P
O
Qa a
aa
R
BA
LS
R
T
M
Q
N
P
BOA
Arco
Punto de tangencia
Recta tangente
Recta
Secante
L1
L1
L2
L2
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA CIRCUNFERENCIA
Que en todo triángulo rectángulo
Trabajando en clase
 Z a y b: catetos
 Z c: hipotenusa
 Z r: inradio
a + b = c + 2r
CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO A UNA CIR-
CUNFERENCIA 
 ABCD: circunscrito a la circunferencia, , P, Q, T 
y R son puntos de tangencia.
TEOREMA DE PITOT
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, 
la suma de longitudes de dos lados opuestos es igual a 
la suma de las longitudes de los otros dos lados.
a + b = c + d
B
O r
a b
c
C
A
C
C
A DR
B
C
T
Q
P
A D
B
C
c
a
d
b
Integral
1. Calcula β, si T es punto de tangencia y O es centro 
de la circunferencia.
2. Calcula «x» si A, B, C son puntos de tangencia.
3. Calcula «x» si AB // CD
Católica
4. Calcula «x» sí O es el centro y T punto de tangen-
cia.
O
T
5b
L
O
A
N
M
C
B
x
4u
7u
A
C D
4x 80°
B
AC
x 18°
B
T
O
Recuerda
B
h
c
C
H A
ch
2
∠
Resolución:
 Nos piden «x».
 Del gráfico, tenemos que m∠ OTA = 90°
 En el OTA
 Sabemos por ángulo exterior que 
 x = 18° + 90°
 x = 108°
5. Calcula «x» si O es el centro y T es el punto de 
tangencia de la circunferencia.
6. Calcula BC si AB = 12u y r = 8u. Además T es 
punto de tangencia y O es centro de la circunfe-
rencia.
7. Calcula «x» si A y B son puntos de tangencia.
UNMSM
8. Calcula «x».
Resolución:
 Nos piden «x»
 Por teorema de Pitot
 x + 4u + 2x = 8u + 14u
 3x + 4 = 22u
 3x = 18u
 x = 6u
9. Calcula «x» en la figura.
10. Calcula la longitud del perímetro del triángulo 
ABC; además M, N y P son puntos de tangencia.
11. Calcula «x». Además, P y Q son puntos de tan-
gencia.
AC
x 18°
B
T
O
A
C
x 116°
B
T
O
O
A B C
T
r
A
Cx 40°
B
O
A
C
D
8u
2x
14u
x+4u
B
O
A
C
D
x+10u
16u 14u
x
B
O
A C
M
N
P
4m
6m
5m
B
O
P
R
3x+2cm
x+18cm
Q
O
UNI
12. Calcula «r» si AB = 5u, BC = 12u y AC = 13u.
Resolución:
 Nos piden «r»
 Por teorema de poncelet.
 5u + 12u = 13u + 2r
 17u = 13 + 2r
 4u = 2r
 2u = r
13. Calcula la longitud del inradio del triángulo ABC.
14. Calcula «x» si O es centro de la circunferencia.
A
CB
O r A C
6u 8u
B
O r
A
x 140° B
O