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Cálculo y Análisis Vectorial
Gloria Gutiérrez Barranco y Javier Mart́ınez del Castillo
Departamento de Matemática Aplicada
E.T.S. de Ingenieŕıa Telecomunicación
Universidad de Málaga
Campus de Teatinos, 29071
ggutierrez@uma.es; jmartinezd@uma.es
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Presentación Asignatura 1 / 10
1 Números complejos y función real de una variable real.
2 Campos escalares y vectoriales.
3 Cálculo de Primitivas. Aplicaciones.
4 Series.
5 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (EDO).
6 Integración de funciones de varias variables.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Presentación Asignatura 2 / 10
Tema 1: Números complejos y función real de una variable real
1 Los números complejos
Definición y propiedades
Exponencial compleja
Ráıces complejas
2 Ĺımite y continuidad de funciones reales
Sucesiones de números reales
Ĺımite de una función real de variable real
Ĺımites laterales y ĺımites en el infinito
Continuidad de una función real de variable real
3 Derivación de funciones reales. Aplicaciones
Derivada de una función en un punto. Regla de la cadena
Derivación impĺıcita. Función inversa
Aproximación lineal y notación diferencial
Teorema de Taylor. Formas indeterminadas
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Presentación Asignatura 3 / 10
Tema 2: Campos escalares y vectoriales
1 Ĺımite y continuidad
Ĺımite y continuidad de campos escalares
Ĺımite y continuidad de campos vectoriales
2 Diferenciabilidad
Derivadas parciales y derivadas direccionales
Diferencial y vector gradiente
Plano tangente. Aproximación lineal
Diferenciabilidad de campos vectoriales. Matriz jacobiana
Regla de la cadena
Derivación de funciones impĺıcitas
3 Aplicaciones
Extremos de campos escalares
Multiplicadores de Lagrange
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Presentación Asignatura 4 / 10
Tema 3: Cálculo de Primitivas. Aplicaciones de la Integral
1 Cálculo de primitivas
2 Aplicaciones de la Integral
Cálculo de áreas planas
Cálculo de volúmenes
Integrales impropias
Funciones Gamma y Beta
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Presentación Asignatura 5 / 10
Tema 4: Series
1 Series numéricas
Definición y propiedades
Series de términos no negativos
Series con términos tanto positivos como negativos
Series de Taylor
Suma de series
2 Series funcionales
Series de funciones
Series de Potencias
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Presentación Asignatura 6 / 10
Tema 5: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (EDO)
1 Definiciones generales
Ecuación diferencial ordinaria de primer orden
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
2 Problema de Cauchy
Teorema de existencia y unicidad de un problema de Cauchy
3 Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Presentación Asignatura 7 / 10
Tema 6: Integración de funciones de varias variables
1 Integral de ĺınea
Caminos
Integrales de ĺınea: definición
Propiedades de las integrales de ĺınea
Formas diferenciales
Construcción de la función potencial
2 Integrales múltiples.
Integrales dobles. Definición y propiedades
Cambio de variables en integrales dobles
Integrales triples. Definición y propiedades
Cambio de variables en integrales triples
3 Integrales de superficie.
Area de una superficie
Integral de superficie de campos escalares y vectoriales. Flujo
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Presentación Asignatura 8 / 10
Bibliograf́ıa
1 Cálculo para la Ingenieŕıa I. Manuel Ojeda Aciego. Ed: Ágora,
1993. ISBN: 84-85698-98-3.
2 Cálculo para la Ingenieŕıa I. Problemas resueltos. Agust́ın
Valverde Ramos. Ed: Ágora, 1994. ISBN: 84-8160-015-6.
3 Cálculo. Ron Larson y Bruce H. Edwards. Ed: McGraw-Hill, 2010.
ISBN: 978-607-15-0361-9.
4 Cálculo: Más de mil problemas resueltos. Frank Ayres Jr. y Elliot
Mendelson. Ed: McGraw Hill, 2010. ISBN: 9786071503572.
5 Cálculo I: Teoŕıa y problemas de Análisis Matemático en una
variable. Alfonsa Garćıa, Fernando Garćıa, Andrés Gutiérrez, Antonio
López, Gerardo Rodŕıguez y Agust́ın de la Villa. Ed: Clagsa, 2007.
ISBN: 9788492184729.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Presentación Asignatura 9 / 10
Bibliograf́ıa
6 Cálculo II: Teoŕıa y problemas de funciones de varias variables.
Alfonsa Garćıa, Fernando Garćıa, Andrés Gutiérrez, Antonio López,
Gerardo Rodŕıguez y Agust́ın de la Villa. Ed: Clagsa, 2007. ISBN:
9788492184750.
7 Análisis vectorial para la ingenieŕıa. Teoŕıa y problemas. José
Luis Galán Garćıa. Ed: Bellisco, 1998. ISBN: 84-930002-1-3.
8 Calculo vectorial. Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba. Ed:
Pearson Educación, 2010. ISBN: 9788478290697.
9 Calculus. Michael Spivak. Ed: Reverté, 2003. ISBN: 84-291-5136-2
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Presentación Asignatura 10 / 10
Números complejos y función real de una variable real
Gloria Gutiérrez Barranco y Javier Mart́ınez del Castillo
Departamento de Matemática Aplicada
E.T.S. de Ingenieŕıa Telecomunicación
Universidad de Málaga
Campus de Teatinos, 29071
ggutierrez@uma.es; jmartinezd@uma.es
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 1 / 98
Contenido
1 Los números complejos
Definición y propiedades
Exponencial compleja
Ráıces complejas
2 Ĺımite y continuidad de funciones reales
Sucesiones de números reales
Ĺımite de una función real de variable real
Ĺımites laterales y ĺımites en el infinito
Continuidad de una función real de variable real
3 Derivación de funciones reales. Aplicaciones
Derivada de una función en un punto. Regla de la cadena
Derivación impĺıcita. Función inversa
Aproximación lineal y notación diferencial
Teorema de Taylor. Formas indeterminadas
Aplicación al estudio de funciones. Optimización
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 2 / 98
Definición y propiedades
Definición
En el conjunto R× R = {(a, b) | a, b ∈ R} se definen las operaciones:
Suma: (a, b) + (c , d) = (a+ c , b + d)
Producto: (a, b) · (c , d) = (ac − bd , ad + bc)
Teorema
(R× R,+, ·) es un cuerpo al que se denota C y cuyos elementos se
denominan números complejos.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 3 / 98
Las operaciones anteriores cumplen las siguientes propiedades:
Asociatividad de la suma y el producto.
Existencia del elemento neutro (0, 0) y de la unidad (1, 0)
Existencia del elemento opuesto −(a, b) = (−a,−b)
Existencia del elemento simétrico, si (a, b) 6= (0, 0) entonces
(a, b)−1 =
(
a
a2 + b2
,− b
a2 + b2
)
Conmutatividad de la suma y el producto.
Distributividad del producto respecto a la suma.
Teorema
R× {0} es un subcuerpo de C isomorfo a R.
Como consecuencia, identificaremos el complejo (a, 0) con el real a.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 4 / 98
Definición
Dado el número complejo (a, b) llamamos forma binómica a la expresión
a+ b · i
Obsérvese que
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0)
︸ ︷︷ ︸
a
+(b, 0)
︸ ︷︷ ︸
b
·(0, 1)
y denotando i = (0, 1) se tiene la forma binómica.
Observación
i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = −1
La forma binómica facilita la comprensión de los complejos como extensión
de los reales y permite operar con éstos de forma análoga a como se hace
con los números reales.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 5 / 98
Ejercicio
Calcular
(a) (2 + i)(1− 2i) (b)
2 + i
1− 2i
Solución:
(a) (2 + i)(1− 2i) = 2− 4i+ i− 2i2 = 2− 4i+ i+ 2 = 4− 3i
(b)
2 + i
1− 2i
=
(2 + i)(1 + 2i)
(1− 2i)(1 + 2i)
=
5i
5
= i
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 6 / 98
DefinicionesDado z = x + y i, se define:
1 El conjugado de z como: z = x + y i = x − y i
2 La parte real de z como: Re(z) = Re(x + y i) = x
3 La parte imaginaria de z como: Im(z) = Im(x + y i) = y
4 El módulo de z como: |z | = |x + y i| =
√
x2 + y2
5 El argumento de z, siendo (x , y) 6= (0, 0), como:
Si x = 0 =⇒ Arg(z) =



π
2
si y > 0
3π
2
si y < 0
Si x 6= 0 =⇒ Arg(z) = θ = arc tg
y
x
siendo
{
θ ∈ [0, π] si y ≥ 0
θ ∈ (π, 2π) si y < 0
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 7 / 98
Propiedades
Es inmediato comprobar que:
1 z + w = z + w
2 z · w = z · w
3 Re(z) =
1
2
(z + z)
4 Im(z) =
1
2i
(z − z)
5 |z | =
√
zz
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 8 / 98
Podemos representar gráficamente los números complejos como:
Re
Im
y
x
r
z = x + y · i
θ
x = r cos θ y = r sen θ
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 9 / 98
Las funciones módulo y argumento también caracterizan a un número
complejo de la misma forma que la parte real y la parte imaginaria
Definición
Si r = |x + y i| y θ = Arg(x + y i) entonces:
x + y i = r(cos θ + i sen θ)
El par (r , θ) es la forma polar del número complejo
Por su definición, exigimos que el módulo de un número complejo sea
positivo y que su argumento sea un ángulo entre 0 y 2π, sin embargo, la
definición previa, permite utilizar cualquier par (r , θ) ∈ R
2 para representar
a un único número complejo, cuyo módulo es |r | y su argumento es
θ ± 2kπ para algún k ∈ Z.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 10 / 98
Teorema (Factorización de polinomios en R)
Todo polinomio P(x) puede factorizarse en R como:
P(x) = a(x − a1)
n1 . . . (x − ap)
np(x2 + b1x + c1)
m1 . . . (x2 + bqx + cq)
mq
siendo a1, . . . , ap las ráıces reales de P y x2 + bix + ci polinomios sin
ráıces reales.
Ejercicio
Factorizar:
(a) x4 − 1 (b) x3 + 2x2 + 2x + 1 (c) x2 + 1 (d) x4 + 1
Solución:
(a) x4 − 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) = (x2 + 1)(x + 1)(x − 1)
(b) x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x2 + x + 1)(x + 1)
(c) x2 + 1 es irreducible en R
(d) x4 + 1 = (x2 +
√
2x + 1)(x2 −
√
2x + 1)
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 11 / 98
Teorema (Factorización de polinomios en C)
Todo polinomio P(z) puede factorizarse en C como:
P(z) = a(z − z0)
m0(z − z1)
m1 . . . (z − zn)
mn
siendo zi las ráıces complejas de P y mi la correspondiente multiplicidad.
Ejercicio
Factorizar:
(a) x2 + 1 (b) x4 + 1
Solución:
(a) x2 + 1 = (x + i)(x − i)
(b) x4 + 1 = (x2 +
√
2x + 1)(x2 −
√
2x + 1)
=
(
x +
√
2
2 +
√
2
2 i
)
·
(
x +
√
2
2 −
√
2
2 i
)
·
·
(
x −
√
2
2 +
√
2
2 i
)
·
(
x −
√
2
2 −
√
2
2 i
)
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 12 / 98
Teorema (Teorema Fundamental del Álgebra)
Toda ecuación polinómica con coeficientes en C tiene solución.
Proposición
Si P(x) es un polinomio con coeficientes en R y z ∈ C es una ráız de P
entonces z también es ráız de P.
Ejercicio
Calcular las ráıces complejas de x4 + 1
Solución:
x1 =
√
2
2
+
√
2
2
i x2 =
√
2
2
−
√
2
2
i
x3 = −
√
2
2
+
√
2
2
i x4 = −
√
2
2
−
√
2
2
i
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 13 / 98
Exponencial compleja
Definición
Se define la función exponencial en el cuerpo de los números complejos
como:
ex+iy = ex(cos y + i sen y)
Esta definición es una extensión de la exponencial para números reales.
ex+i0 = ex(cos 0 + i sen 0) = ex
Proposición
ez ew = ez+w , para todo z ,w ∈ C.
(ez)n = enz , para todo z ∈ C y todo n ∈ N.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 14 / 98
A partir de la exponencial compleja se introduce una representación
alternativa de los números complejos, la forma exponencial.
Definición
Si z es un número complejo con módulo r y argumento θ, entonces
z = r(cos θ + i sen θ) = reiθ = rei(θ+2kπ)
es la forma exponencial del número complejo.
La igualdad eiθ = cos θ + i sen θ se conoce como igualdad de Euler y
aplicada a θ = π nos conduce a la siguiente igualdad que relaciona las
constantes matemáticas más importantes:
eiπ + 1 = 0
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 15 / 98
Ráıces complejas
Teorema
Para cada número complejo z = reiθ existen n números complejos
distintos ω0, . . . , ωn−1 que verifican ωn
k = z (ráıces n-simas de z). Estos
números son:
ωk = n
√
r ei(
θ+2kπ
n ) con k = 0, 1, . . . , n − 1
Ejercicio
Calcular las ráıces cuartas de z = −1
Solución: Las ráıces cuartas de z = −1 = eπi son:
ω0 = e
πi
4 =
√
2
2 + i
√
2
2 ω1 = e
3πi
4 = −
√
2
2 + i
√
2
2
ω2 = e
5πi
4 = −
√
2
2 − i
√
2
2 ω3 = e
7πi
4 =
√
2
2 − i
√
2
2
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 16 / 98
Contenido
1 Los números complejos
Definición y propiedades
Exponencial compleja
Ráıces complejas
2 Ĺımite y continuidad de funciones reales
Sucesiones de números reales
Ĺımite de una función real de variable real
Ĺımites laterales y ĺımites en el infinito
Continuidad de una función real de variable real
3 Derivación de funciones reales. Aplicaciones
Derivada de una función en un punto. Regla de la cadena
Derivación impĺıcita. Función inversa
Aproximación lineal y notación diferencial
Teorema de Taylor. Formas indeterminadas
Aplicación al estudio de funciones. Optimización
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 17 / 98
Definición
Llamamos sucesión de números reales, a una función:
ψ : N
∗ −→ R
n −→ ψ(n) = an
representada por {an}.
Observación
Intuitivamente, decimos que una sucesión {an} tiene ĺımite ℓ si los
términos de la sucesión se aproximan a ℓ tomando n suficientemente
grande.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 18 / 98
Definición
Sea { an} una sucesión de números reales. Decimos que { an} converge a
un número real ℓ o que tiene por ĺımite a ℓ, y lo denotamos por
ĺım
n→∞
{ an} = ℓ, si ∀ε > 0 ∃N tal que n ≥ N ⇒ |an − ℓ| < ε
Teorema
Si una sucesión {an} es convergente (tiene ĺımite), converge a un único
número.
Teorema
Sean {an} y {bn} dos sucesiones que convergen respectivamente a ℓ1 y ℓ2.
Entonces:
(a) ĺım
n→∞
{an + bn} = ℓ1 + ℓ2 (b) ĺım
n→∞
{an − bn} = ℓ1 − ℓ2
(c) ĺım
n→∞
{an · bn} = ℓ1 · ℓ2 (d) ĺım
n→∞
{
an
bn
}
=
ℓ1
ℓ2
(ℓ2 6= 0)
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 19 / 98
Ejercicio
Calcular el ĺımite ĺım
n→∞
2n3 − 5n + 4
3n − 5n2 + 4n3
Solución: Atendiendo a los grados se tiene que el ĺımite es
1
2
◦
Teorema (de Compresión)
Sean {an} , {bn} y {cn} sucesiones tales que an ≤ bn ≤ cn para todo n.
Entonces:
ĺım
n→∞
{an} = ĺım
n→∞
{cn} = ℓ ⇒ ĺım
n→∞
{bn} = ℓ
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 20 / 98
Ejercicio
Calcular el ĺımite ĺım
n→∞
√
(n − 1)!
(1 +
√
1)(1 +
√
2) · · · (1 +√
n)
Solución: Se tiene que:
0 <
√
(n − 1)!
(1 +
√
1)(1 +
√
2) · · · (1 +√
n)
<
√
(n − 1)!√
1
√
2 · · ·
√
n − 1
√
n
=
1√
n
y como ĺım
n→∞
1√
n
= 0, entonces el ĺımite original también vale cero.
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 21 / 98
Definición
Sea {an} una sucesión de números reales. Entonces, decimos que el ĺımite:
vale ∞, y lo denotamos por ĺım
n→∞
{an} = ∞, si ∀k > 0 ∃N > 0 : si
n > N ⇒ an > k.
vale −∞, y lo denotamos por ĺım
n→∞
{an} = −∞ si ∀k < 0 ∃N > 0 :
si n > N ⇒ an < k.
Definición
Sea {an} una sucesión de números reales. Entonces:
1 Decimos que {an} es creciente si an ≤ an+1 ∀n.
2 Decimos que {an} es estrictamente creciente si an < an+1 ∀n.
3 Decimos que {an} es decreciente si an ≥ an+1 ∀n.
4 Decimos que {an} es estrictamente decreciente si an > an+1 ∀n.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 22 / 98
Teorema
Sea {an} una sucesión de números reales. Entonces:
1 Si {an} es creciente y acotada superiormente ⇒es convergente.
2 Si {an} es decreciente y acotada inferiormente ⇒ es convergente.
Teorema
Sea {an} una sucesión de números reales no nulos tal que ĺım
n→∞
{an} = ∞.
Entonces:
ĺım
n→∞
(
1 +
1
an
)an
= e
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 23 / 98
Ejercicio
Calcular ĺım
n→∞
(
1− 1
3n
)2n
Solución:
ĺım
n→∞
(
1− 1
3n
)2n
= ĺım
n→∞
(
3n − 1
3n
)2n
= ĺım
n→∞
1
(
3n
3n − 1
)2n
=
1
ĺım
n→∞
(
3n − 1 + 1
3n − 1
)2n
=
1
ĺım
n→∞
(
1 +
1
3n − 1
)(3n−1) 2n
3n−1
=
1
e2/3
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 24 / 98
Definición
Decimos que dos sucesiones (o funciones) son equivalentes en un punto,
si el ĺımite de su cociente en dicho punto vale 1.
La siguiente tabla, que nos muestra las equivalencias más usuales, se
utiliza para calcular tanto ĺımites de sucesiones como de funciones.
En x → 0 En x → 1
sen x ≡ x 1− cos x ≡ x2
2
ln(x) ≡ x − 1
tg x ≡ x ex − 1 ≡ x tg(x2 − 1) ≡ x2 − 1
arcsenx ≡ x ax − 1 ≡ x · ln a sen(x − 1) ≡ x − 1
arctgx ≡ x ln(1 + x) ≡ x
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 25 / 98
Ĺımite de una función real de variable real
Al igual que ocurŕıa con las sucesiones, muchas veces queremos estudiar el
comportamiento de una función en un punto x0, aunque dicha función no
esté definida en dicho punto.
Ejercicio
Calcular el ĺımite de la función f (x) =
x2 + x − 6
x2 − 4
en el punto x = 2.
Solución: La función no está definida en x = 2. No obstante, tenemos que:
ĺım
x→2
x2 + x − 6
x2 − 4
=
0
0
= ĺım
x→2
(x + 3)(x − 2)
(x − 2)(x + 2)
= ĺım
x→2
x + 3
x + 2
=
5
4
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 26 / 98
Por tanto, el concepto de ĺımite no depende del valor de la función en
dicho punto, ya que incluso puede que no está definida. Sin embargo, es
necesario que la función esté definida en puntos cercanos a dicho punto.
Definición
Sea D un conjunto de números reales y a ∈ R (no necesariamente a ∈ D).
Decimos que a es un punto de acumulación de D, si cualquier intervalo
abierto que contenga al punto a, contiene también a elementos de D.
Definición
Sea f una función y a un punto de acumulación de Df . Entonces:
ĺım
x→a
f (x) = ℓ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)− ℓ| < ε
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 27 / 98
Definición
Sea f una función y a un punto de acumulación de Df . Entonces:
ĺım
x→a
f (x) = ℓ ⇔ para toda sucesión {xn} → a se tiene que {f (xn)} → ℓ
Observación
1 Las dos definiciones anteriores son equivalentes.
2 Si existen dos sucesiones {an} y {bn} que tienden al punto a y tales
que {f (an)} y {f (bn)} tienen ĺımites distintos, entonces no existe
ĺım
x→a
f (x).
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 28 / 98
Teorema
Sea f una función y a un punto de acumulación de Df . Entonces:
1 Si f (x) = c ⇒ ĺım
x→a
f (x) = c
2 Si f (x) = x ⇒ ĺım
x→a
f (x) = a
3 Si ĺım
x→a
f (x) = ℓ⇒ ĺım
x→a
(c · f (x)) = c · ℓ
4 Si ∃ ĺım
x→a
f (x) ⇒ es único.
Teorema
Supongamos que ĺım
x→a
f (x) = ℓ1 y que ĺım
x→a
g(x) = ℓ2. Entonces:
(a) ĺım
x→a
[f (x) + g(x)] = ℓ1 + ℓ2 (b) ĺım
x→a
[f (x)− g(x)] = ℓ1 − ℓ2
(c) ĺım
x→a
[f (x) · g(x)] = ℓ1 · ℓ2 (d) ĺım
x→a
[
f (x)
g(x)
]
=
ℓ1
ℓ2
(ℓ2 6= 0).
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 29 / 98
Corolario
Sean f y g dos funciones polinómicas y a ∈ Df , a ∈ Dg . Entonces:
1 ĺım
x→a
f (x) = f (a). (ĺımite de función polinómica)
2 ĺım
x→a
Q(x) = ĺım
x→a
f (x)
g(x)
=
f (a)
g(a)
= Q(a). (ĺımite de función racional)
Ejercicio
Calcular el ĺımite de la función f (x) =
x2 + 2x − 3
x2 + 6x − 7
en el punto x = 1.
Solución: Se tiene que:
ĺım
x→1
x2 + 2x − 3
x2 + 6x − 7
=
0
0
= ĺım
x→1
(x + 3)(x − 1)
(x + 7)(x − 1)
= ĺım
x→1
x + 3
x + 7
=
4
8
=
1
2
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 30 / 98
Teorema
Si f es una función acotada en un intervalo abierto que contiene al punto
a, y g es una función tal que ĺım
x→a
g(x) = 0, entonces:
ĺım
x→a
((f · g)(x)) = 0
Ejercicio
Calcular el ĺımite de la función h(x) =
(
x2 − 1
x + 1
)
sen
1
x − 1
en x = 1.
Solución: Claramente se observa que la función de partida es el producto
de una función
(
f (x) = sen
1
x − 1
)
que está acotada, y de otra,
(
g(x) =
x2 − 1
x + 1
)
, cuyo ĺımite en el punto x = 1 es cero. Por tanto, se
tiene que:
ĺım
x→1
h(x) = 0
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 31 / 98
Al igual que en el caso de sucesiones, se tiene el siguiente resultado:
Teorema (Compresión)
Sean f , g , y h funciones tales que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x.
Entonces:
ĺım
x→a
f (x) = ĺım
x→a
h(x) = ℓ ⇒ ĺım
x→a
g(x) = ℓ
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 32 / 98
Ĺımites laterales y ĺımites en el infinito
Puede que algunas veces estemos interesados en calcular ĺım
x→a+
f (x) y
ĺım
x→a−
f (x) en vez de ĺım
x→a
f (x).
Ejercicio
Dada f (x) =
{ √
x − 3 x > 3
x2 + 1 x ≤ 3
, calcular ĺım
x→3
f (x)
Solución: Claramente se tiene que no existe el ĺımite ya que:
ĺım
x→3+
f (x) = ĺım
x→3+
√
x − 3 = 0 y ĺım
x→3−
f (x) = ĺım
x→3−
x2 + 1 = 10
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 33 / 98
Definición
Sea f una función y a un punto de acumulación de Df . Entonces:
ĺım
x→a+
f (x) = ℓ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 | 0 < (x − a) < δ ⇒ |f (x)− ℓ| < ε
ĺım
x→a−
f (x) = ℓ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 | −δ < (x − a) < 0 ⇒ |f (x)− ℓ| < ε
Teorema
∃ ĺım
x→a
f (x) ⇔



∃ ĺım
x→a+
f (x)
∃ ĺım
x→a−
f (x)



y coinciden.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 34 / 98
Ejercicio
Dada f (x) =
|x |
x2 + x
, calcular ĺım
x→0
f (x)
Solución: Claramente se tiene que no existe el ĺımite ya que:
ĺım
x→0+
f (x) = ĺım
x→0+
x
x2 + x
= ĺım
x→0+
1
x + 1
= 1
ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0−
−x
x2 + x
= ĺım
x→0−
−1
x + 1
= −1
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 35 / 98
Definición
Sea f una función y sea a un punto de acumulación de Df . Entonces:
ĺım
x→a
f (x) = +∞ ⇔ ∀N > 0 ∃ δ > 0 | 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > N
ĺım
x→a
f (x) = −∞ ⇔ ∀N < 0 ∃ δ > 0 | 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < N
Además, x = a seŕıa una aśıntota vertical.
Ejercicio
Dada f (x) =
x2 − 2x
x2 − 4x + 4
, calcular ĺım
x→2+
f (x)
Solución: Claramente se tiene que:
ĺım
x→2+
f (x) =
0
0
= ĺım
x→2+
x(x − 2)
(x − 2)(x − 2)
= ĺım
x→2+
x
x − 2
=
2
0+
= ∞
y por tanto la función tiene una aśıntota vertical de ecuación x = 2.
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 36 / 98
Definición
Sea f una función. Entonces:
ĺım
x→+∞
f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0 ∃ N > 0 | x > N ⇒ |f (x)− ℓ| < ε
ĺım
x→−∞
f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0 ∃ N < 0 | x < N ⇒ |f (x)− ℓ| < ε
Además, y = ℓ seŕıa una aśıntota horizontal.
Ejercicio
Dada f (x) =
3x2 − 2x
2x2 − 4x + 4
, calcular ĺım
x→∞
f (x)
Solución: Claramente se tiene que:
ĺım
x→∞
f (x) = ĺım
x→∞
3x2 − 2x
2x2 − 4x + 4
=
3
2
Además, la función tiene una aśıntota horizontal de ecuación y =
3
2
.
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 37 / 98
Continuidad de una función real de variable real
Definición
Decimos que una función es continua en un punto x0 si se verifica :
1 ∃ f (x0)
2 ∃ ĺım
x→x0
f (x)
3 ĺım
x→x0
f (x) = f (x0)
Ejercicio
Estudiar la continuidad de f (x) =
{ √
x − 3 x > 3
x2 + 1 x ≤ 3
Solución: Es evidente que esta función no es continua en el punto x = 3
al no cumplirse la segunda condición ya que:
ĺım
x→3+
f (x) = ĺım
x→3+
√
x − 3 = 0 y ĺım
x→3−
f (x) = ĺım
x→3−
x2 + 1 = 10
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 38 / 98
Definición
Una función es continua, si lo es en cada punto de su dominio.Teorema
1 Las sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones continuas,
son funciones continuas.
2 Las funciones polinómicas, las funciones racionales, las funciones
trigonométricas elementales, la función exponencial y la logaŕıtmica
son continuas en cada punto de su dominio.
3 Si f es una función continua, entonces:
ĺım
x→x0
(f ◦ g)(x) = f
(
ĺım
x→x0
g(x)
)
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 39 / 98
Definición
Sea f : D −→ R, S ⊂ D y x1 ∈ S. Entonces:
1 Si f (x1) ≥ f (x) ∀x ∈ S ⇒ M = f (x1) se llama valor máximo de
f en S, y x1 se llama punto máximo de f en S.
2 Si f (x1) ≤ f (x) ∀x ∈ S ⇒ m = f (x1) se llama valor ḿınimo de f
en S, y x1 se llama punto ḿınimo de f en S.
Teorema
Una función continua alcanza un valor máximo y un valor ḿınimo en cada
intervalo cerrado y acotado contenido en el dominio.
Corolario
Si f es una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado [a, b],
entonces Imf también es un intervalo cerrado y acotado.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 40 / 98
Contenido
1 Los números complejos
Definición y propiedades
Exponencial compleja
Ráıces complejas
2 Ĺımite y continuidad de funciones reales
Sucesiones de números reales
Ĺımite de una función real de variable real
Ĺımites laterales y ĺımites en el infinito
Continuidad de una función real de variable real
3 Derivación de funciones reales. Aplicaciones
Derivada de una función en un punto. Regla de la cadena
Derivación impĺıcita. Función inversa
Aproximación lineal y notación diferencial
Teorema de Taylor. Formas indeterminadas
Aplicación al estudio de funciones. Optimización
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 41 / 98
Derivada de una función en un punto. Regla de la cadena
Definición
Sea f : D → R una función y sea a ∈ D. Llamamos derivada de la función
y = f (x) en el punto x = a, y lo representamos por f ′(a), al valor del
siguiente ĺımite (si existe):
f ′(a) = ĺım
h→0
∆y
∆x
= ĺım
h→0
f (a+ h)− f (a)
(a+ h)− a
= ĺım
h→0
f (a+ h)− f (a)
h
Observación
1 La derivada de una función en un punto es un número.
2 La siguiente definición es equivalente a la dada:
f ′(a) = ĺım
x→a
f (x)− f (a)
x − a
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 42 / 98
Consideremos la función y = f (x), tomemos dos puntos A (a, f (a)) y
B (a+ h, f (a+ h)) de dicha función y tracemos la recta s ≡ y = msx + b
que pasa por dichos dos puntos. Mirando el dibujo se observa que:
1 La recta s es secante a la función y = f (x).
2 La pendiente de la recta s es:
ms = tg α =
f (a+ h)− f (a)
(a+ h)− a
=
f (a+ h)− f (a)
h
=
∆y
∆x
Entonces, cuando ∆x = h → 0, tenemos que el punto B tiende a
convertirse en el punto A, y por tanto, la recta secante s tiende a
convertirse en la recta tangente a la función y = f (x) en el punto A. Es
decir:
ĺım
h→0
ms = ĺım
h→0
tgα = ĺım
h→0
f (a+ h)− f (a)
h
= f ′(a) = tg β = mr
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 43 / 98
Entonces: ĺım
h→0
ms = mr ⇒ ĺım
h→0
tgα = tg β. Con lo que tenemos que la
interpretación geométrica es la siguiente:
La derivada de una función y = f (x) en un punto x = a, f ′(a), coincide
con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto, es decir:
f ′(a) = tg β = mr
Por lo tanto, como sabemos que la ecuación punto-pendiente en un punto
(x0, y0) es: y − y0 = m(x − x0), podemos expresar la ecuación de la recta
tangente a la función en el punto x = a como:
f (x)− f (a) = f ′(a) · (x − a)
Es decir: “La ecuación de la recta tangente a la función y = f (x) en un
punto x = a, es la recta que pasa por el punto (a, f (a)) y que tiene por
pendiente la derivada de la función en el punto x = a”.
Además, f ′(a) mide la “rapidez” de variación de la función, es decir, la
proporción entre lo que varia la variable dependiente y y la independiente
x , cerca del punto x = a.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 44 / 98
Ejercicio
Dada f (x) = x2 + x, calcular la pendiente de la recta tangente en el punto
x = 3.
Solución: Como la pendiente de la recta tangente en el punto x = 3, es la
derivada, entonces:
f ′(3) = ĺım
h→0
f (3 + h)− f (3)
(3 + h)− 3
= ĺım
h→0
(3 + h)2 + (3 + h)− 32 − 3
h
= ĺım
h→0
9 + 6h + h2 + 3 + h − 9− 3
h
= ĺım
h→0
h(7 + h)
h
= ĺım
h→0
(7 + h) = 7
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 45 / 98
Observación
1 La aplicación del concepto de derivada es muy importante, ya que por
ejemplo v =
ds
dt
ó a =
dv
dt
.
2 Si f ′(a) existe, entonces diremos que f es derivable en x = a.
3 Atendiendo a la definición, es evidente que una función es derivable
en un punto si y sólo si existen las dos derivadas laterales y coinciden.
Definición
Decimos que una función es derivable, si lo es en cada punto de su
dominio. Entonces podemos definir la función:
f ′ : Df → R
Esta función recibe el nombre de función derivada y asocia a cada punto
su derivada (un número).
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 46 / 98
Teorema
Consideremos una función f y sea a ∈ Df . Entonces:
f es derivable en a ⇒ f es continua en a
Observación
El rećıproco no es cierto. Es decir, el hecho de que una función sea
continua en un punto no implica que tenga que ser derivable en dicho
punto.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 47 / 98
Ejercicio
Sea f (x) = |x | =
{
x si x ≥ 0
−x si x < 0
}
. Comprobar que es continua y no
es derivable en 0.
Solución: Claramente se tiene que la función es continua en x = 0, ya que
está definida en dicho punto, pues f (0) = 0, y se tiene que:
ĺım
x→0+
f (x) = ĺım
x→0+
x = 0 y ĺım
x→0−
f (x) = ĺım
x→0−
−x = 0
Sin embargo, para estudiar la derivabilidad de la función en el punto
x = 0, consideremos las derivadas laterales, con lo que:
f ′+(0) = ĺım
h→0+
f (0 + h)− f (0)
h
= ĺım
h→0+
h − 0
h
= 1
f ′−(0) = ĺım
h→0−
f (0 + h)− f (0)
h
= ĺım
h→0−
−h − 0
h
= −1
y por tanto, la función no es derivable en x = 0, ya que las derivadas
laterales son distintas.
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 48 / 98
Lema
Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo. Entonces también son
derivables su suma, y el producto de una constante por una de las
funciones. Además:
(f + g)′ = f ′ + g ′ (k · f )′ = k · f ′
Teorema
1 Si f (x) = k ⇒ f ′(x) = 0 ∀x ∈ R
2 Si f (x) = x ⇒ f ′(x) = 1 ∀x ∈ R
3 Si f (x) = xn ⇒ f ′(x) = nxn−1 ∀x ∈ R
4 Si f (x) = an · xn + an−1 · xn−1 + . . .+ a1 · x + a0 es una función
polinómica. Entonces:
f ′(x) = n · an · xn−1 + (n − 1) · an−1 · xn−2 + . . .+ a1
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 49 / 98
Teorema
Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo. Entonces:
(a) (f · g)′ = f ′ · g + f · g ′ (b)
(
1
f
)′
= − f ′
f 2
(c)
(
f
g
)′
=
f ′ · g − f · g ′
g2
Ejercicio
Dada f (x) =
x3 + 2x − 21
x2 + 7x − 2
, calcular f ′(x).
Solución: Se tiene que:
f ′(x) =
(3x2 + 2)(x2 + 7x − 2)− (x3 + 2x − 21)(2x + 7)
(x2 + 7x − 2)2
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 50 / 98
Teorema
(a) (sen x)′ = cos x (b) (cosec x)′ = − cosec x · cotg x
(c) (cos x)′ = − sen x (d) (sec x)′ = sec x · tg x
(e) (tg x)′ = 1 + tg2 x (f) (cotg x)′ = −1− cotg2 x
Teorema
Sean f y g dos funciones tales g es derivable en x = a, y f es derivable en
g(a). Entonces la función f ◦ g es derivable en a, y además se verifica que:
(f ◦ g)′(a) = f ′(g(a)) · g ′(a)
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 51 / 98
Ejercicio
Sean f (x) = 4x − 3 y g(x) = x2. Calcular (f ◦ g)′(1).
Solución: Como f ′(x) = 4 y g ′(x) = 2x , entonces aplicando la regla de la
cadena tenemos que:
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x) = 4 · 2x = 8x
y por tanto, (f ◦ g)′(1) = 8.
Obsérvese que otra formade resolverlo podŕıa haber sido la siguiente, ya
que como:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = 4x2 − 3
entonces se tiene que (f ◦ g)′(x) = 8x , con lo que (f ◦ g)′(1) = 8.
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 52 / 98
Observación
Generalizando, al usar el método de la regla de la cadena, tenemos que si
y = [f (x)]n, y f (x) es derivable, entonces y también es derivable y además
su derivada es:
y ′ = n · [f (x)]n−1 · f ′(x)
Teorema
1 Sea f (x) = ax con a > 0. Entonces: f ′(x) = ax · ln a.
2 Sea f (x) = ex . Entonces: f ′(x) = ex .
Teorema
Sea g una función derivable y sea h(x) = ag(x). Entonces, h es derivable y
además:
h′(x) = ag(x) · g ′(x) · ln a
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 53 / 98
Derivación impĺıcita. Función inversa
Definición
Llamamos función impĺıcita a aquella en la que la variable dependiente
“y” no aparece despejada en función de la variable independiente “x”. En
caso contrario hablaremos de función expĺıcita.
Por tanto, tenemos que 3x − 2y + 5 = 0 está dada en forma impĺıcita,
mientras que y =
3x + 5
2
está en forma expĺıcita.
Luego si queremos derivar una función en forma impĺıcita, lo que hacemos
es derivar la ecuación de partida miembro a miembro, y posteriormente
despejar y ′ (teniendo en cuenta que x ′ = 1.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 54 / 98
Ejercicio
Derivar de forma impĺıcita y expĺıcita 5x2 + 4y − 13 = 0.
Solución:
De forma expĺıcita:
5x2+4y −13 = 0 ⇒ y =
13− 5x2
4
⇒ y ′ = −10x
4
⇒ y ′ = −5x
2
De forma impĺıcita:
5x2+4y−13 = 0 ⇒ 10x+4y ′ = 0 ⇒ y ′ = −10x
4
⇒ y ′ = −5x
2
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 55 / 98
Para calcular la derivada de una función logaŕıtmica, se utiliza la
derivación impĺıcita. Aśı tenemos que:
Teorema
(a) (ln x)′ =
1
x
(b) (ln f (x))′ =
f ′(x)
f (x)
(c) (loga x)
′ =
1
x
· loga e (d) (loga f (x))
′ =
f ′(x)
f (x)
· loga e
Ejercicio
Derivar y = ln
(
x2 + 4x
x3
)
Solución:
y ′ =
(2x + 4)x3 − (x2 + 4x)3x2
x6
x2 + 4x
x3
=
(2x + 4)x3 − (x2 + 4x)3x2
(x2 + 4x)x3
◦Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 56 / 98
Teorema
Sea y = f (x)g(x) donde f y g son dos funciones derivables, entonces:
y ′ = f (x)g(x) ·
[
g ′(x) · ln f (x) + g(x) · f
′(x)
f (x)
]
Ejercicio
Derivar y = x sen x .
Solución: Utilizando logaritmos, ln y = ln x sen x = sen x ln x , y por tanto:
y ′
y
= cos x ln x +
1
x
sen x
de donde despejando tenemos que:
y ′ = y
(
cos x ln x +
1
x
sen x
)
= x sen x
(
cos x ln x +
1
x
sen x
)
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 57 / 98
Dada una función f (x), si es derivable, calculamos su derivada. Ahora,
f ′(x) es otra función que también puede ser derivable, y calculamos su
derivada, es decir, (f ′(x))′ = f ′′(x), y aśı sucesivamente. Aśı, tenemos que:
f n(x) = (f n−1(x))′ o
dn(y)
dxn
=
d
(
dn−1(y)
dxn−1
)
dx
Ejercicio
Dada f (x) = x2 sen x, calcular f ii (x).
Solución: Tenemos que:
f i (x) = 2x sen x + x2 cos x
f ii (x) = 2 sen x + 2x cos x + 2x cos x − x2 sen x
= 2 sen x + 4x cos x − x2 sen x
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 58 / 98
Aproximación lineal y notación diferencial
Es frecuente encontrase con funciones que presentan fórmulas
complicadas, con las que es muy dif́ıcil trabajar. Es por esto, por lo que
seŕıa importante intentar aproximar linealmente la función en un punto, y
esto lo podŕıamos hacer con la recta tangente a la gráfica en dicho punto.
Es posible demostrar, que si existe f ′(a), entonces la función f puede ser
aproximada para puntos cercanos al punto a, por una función lineal, que es
la recta tangente a la función en dicho punto:
r ≡ f (x)− f (a) = f ′(a) · (x − a)
Estamos interesados en saber lo cerca que está la recta tangente a la
gráfica de la función, cuando a cambia al punto a+ h.
Si realizamos la gráfica correspondiente, se observa que se produce un
error al aproximar el valor de f (a+ h) al tomar la recta tangente, ya que,
usando la recta tangente, tenemos que:
f (a+ h) = f (a) + f ′(a) · (a+ h − a) ⇒ f (a+ h) = f (a) + f ′(a) · h
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 59 / 98
Dicho error, lo representamos mediante la función de error:
E (h) = f (a+ h)− (f (a) + f ′(a) · h).
Además, se cumple que:
ĺım
h→0
E (h)
h
= ĺım
h→0
[
f (a+ h)− f (a)
h
− f ′(a) · h
h
]
= f ′(a)− f ′(a) = 0
Lo cual, nos indica que E (h) (el numerador) tiende a 0 más rápidamente
que h (el denominador).
Además, si escribimos E (h) = ε(h) · h, tenemos el siguiente resultado:
Teorema (Aproximación lineal)
Sea y = f (x) una función derivable en x = a. Entonces existe una función
ε, que depende de h, tal que:
f (a+ h) = f (a) + f ′(a) · h + h · ε(h)
con ĺım
h→0
ε(h) = 0
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 60 / 98
Observación
Como consecuencia, para aproximar la función f en un punto cerca de
x = a, siendo f derivable en x = a, podemos hacerlo como:
f (a+ h) ≈ f (a) + f ′(a) · h
Ejercicio
Aproximar
√
101
Solución: Sea f (x) =
√
x , entonces tenemos que f i (x) =
1
2
√
x
, de donde
utilizando la recta tangente a la función en el punto x = a tenemos que:
f (x) = f (a) + f i (a)(x − a) ⇒ f (a+ h) ≈ f (a) + f i (a) · h
En nuestro caso, tomando a = 100 y h = 1, tenemos que:
f (101) ≈ f (100) + f i (100) · 1 =
√
100 +
1
2
√
100
· 1 =
201
20
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 61 / 98
Por lo visto anteriormente, tenemos que
f ′(x) = ĺım
∆x→0
∆y
∆x
=
dy
dx
⇒ dy = f ′(x) · dx
Si en la ecuación dy = f ′(a) · dx , tomamos dy como variable dependiente
y dx la variable independiente, y si se centran unos ejes en (a, f (a)), lo
que se observa es que la ecuación anterior nos da la ecuación de la recta
tangente a la función en el punto (a, f (a)).
Definición
Sea y = f (x) una función derivable en a. Llamamos diferencial de f en a,
a la siguiente aplicación lineal:
dy = f ′(a) · dx
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 62 / 98
Observación
Del teorema anterior se observa que la diferencial de f en a, es la
aproximación lineal que mejor se aproxima a la función cerca de a.
Ejercicio
Sea f (x) = 2x3 − 5x2. Calcular la diferencial en x = 1.
Solución: Como f i (x) = 6x2 − 10x , y f i (1) = −4, entonces tenemos que
dy = −4 dx
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 63 / 98
Sabemos que una función es una regla que asocia a cada elemento del
conjunto inicial un único elemento del conjunto final. Sin embargo, las
funciones que nos interesan son aquellas en las que distintos valores del
conjunto inicial tienen distintas imágenes.
Definición
Decimos que una función f es inversible, si existe otra función que
denotamos por f −1 (y se lee inversa de f ) tal que se cumple:
(f ◦ f −1)(x) = (f −1 ◦ f )(x) = x
Observación
Dominio f = Rango f −1 y Rango f = Dominio f −1
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 64 / 98
Ejercicio
Comprobar que la función y = f (x) = 5x + 4 es inversible.
Solución: Es evidente que si consideramos la función f
−1
(x) =
x − 4
5
,
tenemos que:
(f ◦ f −1)(x) = (f −1 ◦ f )(x) = x
y por tanto la función de partida es inversible.
◦
Definición
Decimos que una función f es inyectiva si:
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 65 / 98
Teorema
f es inversible ⇔ f es inyectiva.
Observación
Gráficamente, una función y su inversa son simétricos respecto a la
bisectriz del primer cuadrante.
Teorema
Sea f una función inversible y derivable, y sea f (a) = b. Entonces si
f ′(a) 6= 0, se tiene que f −1 es derivable en b, y además:
(f −1)′(b) =
1
f ′(a)
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 66 / 98
Ejercicio
Dada y= f (x) = cos x con x ∈ (0, π), comprobar que f es inversible y
calcular (f −1)′
Solución: En (0, π) f es inyectiva, y por tanto es inversible. Además, como
f ′(x) = − sen x 6= 0 en (0, π), entonces f −1 es derivable y su derivada es:
(f −1)′(y) =
1
f ′(x)
=
1
− sen x
=
−1
sen x
=
−1√
1− cos2 x
=
−1
√
1− y2
y como y = f (x) = cos x ⇔ x = f −1(y) = arccos y , entonces tenemos
que:
(arc cos x)′ =
−1√
1− x2
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 67 / 98
Teorema
(a) (arc sen f (x))′ =
f ′(x)
√
1− f 2(x)
(b) (arcsec f (x))′ =
−f ′(x)
f (x)
√
f 2(x)− 1
(c) (arccos f (x))′ =
−f ′(x)
√
1− f 2(x)
(d) (arccosec f (x))′ =
f ′(x)
f (x)
√
f 2(x)− 1
(e) (arc tg f (x))′ =
f ′(x)
1 + f 2(x)
(f) (arcctg f (x))′ =
f ′(x)
1 + f 2(x)
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 68 / 98
Definición
Definimos las funciones hiperbólicas como:
senh x =
ex − e−x
2
cosh x =
ex + e−x
2
tgh x =
ex − e−x
ex + e−x
Observación
cosh2 x − senh2 x = 1
Teorema
(a) (senh x)′ = cosh x (b) (csch x)′ = − csch x · ctgh x
(c) (cosh x)′ = senh x (d) (sech x)′ = − sech x · tgh x
(e) (tgh x)′ = sech2 x (f) (ctgh x)′ = − csch2 x
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 69 / 98
Teorema de Taylor. Formas indeterminadas
Muchas veces nos podemos encontrar con funciones con las cuales es muy
dif́ıcil trabajar, y lo ideal seŕıa poder aproximarlas con funciones cuyo
manejo fuese más cómodo. A partir de ahora, lo que queremos es estudiar
una función f (x) para x muy próximo a un punto a. Una forma, como ya
vimos, era mediante la aproximación lineal. En esencia, lo que se hace es
sustituir la función por la recta tangente en ese punto. Para valores
pequeños del incremento la aproximación es buena y puede acotarse el
error cometido. Ahora nos proponemos aproximar una función por medio
de otra función polinómica de grado n, y determinar la magnitud del error
que se comete. Esta expresión se conoce como el Teorema de Taylor.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 70 / 98
Nuestro propósito es encontrar una buena aproximación polinómica para
una función f cerca de un punto de su dominio. Es decir, estamos
buscando una función polinómica g cuya gráfica se “parezca” a la gráfica
de f cerca de un punto designado x0.
Además, es más fácil hallar las derivadas en el punto x = x0 para un
polinomio escrito en potencias de (x − x0) que para un polinomio escrito
en potencias de x , ya que c · (x − x0)
n vale cero cuando x = x0.
Por ejemplo, si f (x) = 4− x +2x2 + x3, entonces f (0) = 4 es el valor más
fácil de determinar, además, para f ′(x) = −1 + 4x + 3x2, entonces
f ′(0) = −1 es el valor más fácil de hallar. Entonces, diremos que f (x) es
un polinomio centrado en 0.
Análogamente, si consideramos
g(x) = 7− 5(x +5)+ 7(x +5)2 − 14(x +5)3, en este caso los valores más
fáciles de hallar para la función g , y sus derivadas sucesivas son g(−5),
g ′(−5), g ′′(−5), · · · . En este caso diremos que g es un polinomio
centrado en -5.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 71 / 98
Además, toda función polinómica puede ser expresada como un polinomio
centrado en x0 para cualquier número real x0.
Ejercicio
Expresar f (x) = x2 − 5x + 3 como un polinomio centrado en x0 = 2.
Solución: Es evidente que
f (x) = x2 − 5x + 3 =
(
(x − 2) + 2
)2
− 5
(
(x − 2) + 2
)
+ 3
= (x − 2)2 + 4(x − 2) + 4− 5(x − 2)− 10 + 3
= (x − 2)2 − (x − 2)− 3
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 72 / 98
Tras el ejemplo, nos proponemos encontrar una buena aproximación
polinómica de una función arbitraria f (x) cerca de un punto x0. Los
cálculos anteriores nos sugieren que es más natural (y cómodo) trabajar
con polinomios centrados en x0.
Por el tema anterior, sabemos que si f es derivable en x0, una posible
aproximación es la recta tangente a la función en dicho punto, es decir:
f (x) ≈ g(x) = f (x0) + f i (x0) · (x − x0)
Además, obsérvese que f i (x0) = g i (x0).
Si queremos obtener una aproximación por medio de un polinomio de
grado mayor que uno, de forma natural y si f es derivable suficientes
veces, podemos pensar en una aproximación polinómica g(x) de grado n
en x0 como un polinomio de la forma:
g(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)
2 + · · ·+ an(x − x0)
n con ai ∈ R
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 73 / 98
y que satisfaga que f (x0) = g(x0), f
′(x0) = g ′(x0), · · · , f n(x0) = gn(x0),
ya que en este caso, las gráficas de f y g serán bastante parecidas cerca de
x0. Lo único que nos queda será calcular los coeficientes ai ∈ R, que los
podemos calcular usando la relación que existe entre las derivadas de f y g :
g(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)
2 + · · ·+ an(x − x0)
n
g i (x) = a1 + 2a2(x − x0) + 3a3(x − x0)
2 + · · ·+ nan(x − x0)
n−1
g ii (x) = 2a2 + 2 · 3a3(x − x0) + · · ·+ n · (n − 1)an(x − x0)
n−2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
gn(x) = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1 · an = n! · an
Del cálculo anterior se obtiene:
g(x0) = a0, g
i (x0) = a1, g
ii (x0) = 2a2, g
iii (x0) = 3!·a3, . . . , gn(x0) = n!·an
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 74 / 98
E igualando estas derivadas a las de f en el punto x0, obtenemos los
coeficientes:
a0 = f (x0), a1 = f i (x0), a2 =
f ii (x0)
2!
, . . . . . . , an =
f n(x0)
n!
Definición
Llamamos n-ésimo polinomio de Taylor de la función f en el punto x0, y
lo representamos por Pn,f ,x0(x) a:
Pn,f ,x0(x) = f (x0) + f
i (x0) · (x − x0) +
f
ii (x0)
2!
· (x − x0)
2 + . . . . . .+
f
n(x0)
n!
· (x − x0)
n
=
n∑
i=0
f
i (x0)
i !
· (x − x0)
i
Observación
Véase que no lo llamamos polinomio de grado n, sino el n-ésimo polinomio
de Taylor, ya que puede ocurrir que f n(x0) = 0, y por lo tanto el polinomio
tuviera grado menor que n.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 75 / 98
Ejercicio
Calcular el segundo polinomio de Taylor de la función f (x) = x2 − 5x + 3
en x0 = 2.
Solución: Si calculamos las derivadas, tenemos que:
f (x) = x2 − 5x + 3, f i (x) = 2x − 5, f ii (x) = 2
y al evaluarlas en el punto x0 = 2 tenemos:
f (2) = −3, f i (2) = −1, f ii (2) = 2
con lo que sustituyendo tenemos que:
P2,f ,2(x) = f (2) + f i (2) · (x − 2) +
f ii (2)
2!
· (x − 2)2
= −3− (x − 2) +
2
2
· (x − 2)2 = (x − 2)2 − (x − 2)− 3
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 76 / 98
Teorema
Sean f y g dos funciones cualesquiera. Entonces, el n-ésimo polinomio de
Taylor, centrado en x0, de:
1 f ± g, es la suma o diferencia de los n-ésimos polinomios de Taylor de
f y g.
2 f · g es el producto de los n-ésimos polinomios de Taylor de f y g,
desechando los sumandos de grado mayor que n.
3 f /g es el cociente, obtenido por división larga hasta el grado n, de los
n-ésimos polinomios de Taylor de f y g, siempre que g(x0) 6= 0.
4 f ◦ g, es la composición de los n-ésimos polinomios de Taylor de f y
g, desechando los sumandos de grado mayor a n.
El no aplicar estos teoremas, puede complicarnos mucho los cálculos.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 77 / 98
Ejercicio
Calcular el n-ésimo polinomio de Taylor en x0 = 0, de f (x) = cosh x.
Solución: Si recordamos la definición de la función coseno hiperbólico,
tenemos que:
cosh x =
ex + e−x
2
y como el n-ésimo polinomio de Taylor de la función ex es:
Pn,ex ,0(x) = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ xn
n!
aplicando el Teorema anterior, tenemos que:
Pn,e−x ,0(x) = 1 + (−x) +
(−x)2
2!
+
(−x)3
3!
+ · · ·+ (−x)n
n!
= 1− x +
x2
2!
− x3
3!
+ · · ·+ (−1)n
xn
n!
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 78 / 98
y si aplicamos otra vez el teorema tenemos que:
P2n,cosh x ,0(x) =
2 + 2
x2
2!
+ 2
x4
4!
+ · · ·+ 2
x2n
(2n)!
2
= 1 +
x2
2!
+
x4
4!
+ · · ·+ x2n
(2n)!
◦
Gutiérrez; Mart́ınez(UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 79 / 98
Acabamos de ver, que podemos aproximar una función cerca de un punto
utilizando los polinomios de Taylor, cometiéndose un error, que seŕıa
importante poder cuantificar. Veremos ahora la exactitud de la
aproximación por polinomios de Taylor, y cómo podemos encontrar una
cota superior del error cometido al usar Pn,f ,x0(x) en vez de f (x).
Si f (x) tiene derivadas de orden menor o igual que n en x0, podemos
considerar el n-ésimo polinomio de Taylor para f (x) en x0, y esperamos
que para x próximos a x0 se verifique que Pn,f ,x0(x) ≈ f (x), y por tanto,
que el error En,f ,x0(x) sea pequeño cerca de x0.
En,f ,x0(x) = f (x)− Pn,f ,x0(x)
El siguiente teorema nos da información acerca del tamaño del error que se
comete.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 80 / 98
Teorema (de Taylor)
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga a x0 y
supongamos que f es (n+1) veces derivable en ese intervalo, y sea
En,f ,x0(x) = f (x)− Pn,f ,x0(x). Entonces para cada x del intervalo existe un
número c (que depende de x) y que está comprendido estrictamente entre
x y x0 (para x 6= x0) tal que
En,f ,x0(x) =
f n+1(c)
(n + 1)!
· (x − x0)
n+1
Observación
En,f ,x0(x) es precisamente el término siguiente al n-ésimo polinomio de
Taylor en el que la (n+1)-ésima derivada se evalúa en algún punto c entre
x y x0.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 81 / 98
Ejercicio
Aproximar e con un error menor que 0.0001.
Solución: El n-ésimo polinomio de Taylor de la función ex en el punto
x0 = 0 es:
Pn,ex ,0(x) = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ xn
n!
y por tanto,
ex ≈ 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ xn
n!
Además tenemos que el error viene dado por la expresión:
|Error| =
∣
∣
∣
∣
f n+1(c)
(n + 1)!
(x − x0)
n+1
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
ec
(n + 1)!
· xn+1
∣
∣
∣
∣
con c comprendido entre x y x0.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 82 / 98
Además como queremos estimar el valor de e con un error menor que
0.0001, tenemos que en nuestro caso x0 = 0 y x = 1, y por tanto:
e ≈ 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
n!
y |Error| =
∣
∣
∣
∣
ec
(n + 1)!
∣
∣
∣
∣
con c ∈ (0, 1), con lo que en este caso tenemos que el error viene dado por
la expresión:
|Error| =
∣
∣
∣
∣
ec
(n + 1)!
∣
∣
∣
∣
<
e
(n + 1)!
<
3
(n + 1)!
con lo que tenemos que
3
(n + 1)!
≤ 1
10000
⇔ 30000 ≤ (n + 1)!
que es cierto a partir de n = 7, con lo que podemos utilizar el polinomio
de Taylor de séptimo orden para aproximar el valor de e con un error
menor que 0.0001, es decir:
e ≈ 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
+
1
7!
=
685
252
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 83 / 98
Anteriormente, hemos visto que algunas veces cuando queŕıamos calcular
el ĺımite de un cociente de dos funciones obteńıamos que dicho ĺımite nos
proporcionaba una indeterminación. En este apartado vamos a ver una
herramienta muy potente que nos va a permitir calcular dichos ĺımites.
Teorema (Regla de L’Hôpital)
Supongamos que ĺım
x→a
f (x) = ĺım
x→a
g(x) = 0 y que ĺım
x→a
f ′(x)
g ′(x)
es un número
finito, o ±∞. Entonces se verifica que:
ĺım
x→a
f (x)
g(x)
= ĺım
x→a
f ′(x)
g ′(x)
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 84 / 98
Observación
1 Además, aqúı “a” puede tomar cualquier valor (a+, a−,+∞,−∞).
2 Por otra parte, esta regla solo es válida y por tanto aplicable si nos
encontramos en las condiciones iniciales.
Ejercicio
Calcular ĺım
x→1
x2 − 6x + 5
x2 − 4x + 3
Solución:
ĺım
x→1
x2 − 6x + 5
x2 − 4x + 3
=
(
0
0
)
(∗)
= ĺım
x→1
2x − 6
2x − 4
=
−4
−2
= 2
donde en (∗) hemos aplicado la regla de L’Hópital.
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 85 / 98
Observación
La regla de l’Hôpital se puede aplicar en otros casos:
1 Indeterminación del tipo
±∞
±∞
Si ĺım
x→a
f (x)
g(x)
=
±∞
±∞ ⇒ ĺım
x→a
1/g(x)
1/f (x)
=
0
0
2 Indeterminación del tipo 0 · (±∞)
Si ĺım
x→a
[f (x) · g(x)] = 0 · (±∞) ⇒ ĺım
x→a
f (x)
1/g(x)
=
0
0
3 Indeterminaciones del tipo −∞+∞ ó ∞−∞.
Se resuelven realizando manipulaciones algebraicas que me la
transformen en una indeterminación del tipo cociente.
4 Indeterminaciones del tipo 00, 1∞, 1−∞, ∞0.
La forma de resolverlas es aplicar logaritmos, ya que:
Si A = ĺım
x→a
f (x)g(x) ⇒ lnA = ĺım
x→a
[g(x) · ln f (x)]
con lo que tenemos que: ĺım
x→a
f (x)g(x) = elnA
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 86 / 98
Ejercicio
Calcular ĺım
x→0+
(
1
x2
)tg x
Solución: Es evidente que nos encontramos ante una indeterminación del
tipo ∞0. Por tanto, tomando logaritmo en el ĺımite original tenemos:
ĺım
x→0+
ln
(
1
x2
)tg x
= ĺım
x→0+
tg x · −2 ln x = −2 ĺım
x→0+
ln x
ctg x
=
(∞
∞
)
(∗)
=
− 2 ĺım
x→0+
1
x
−1
sen2 x
= 2 ĺım
x→0+
sen2 x
x
=
(
0
0
)
(∗)
= 2 ĺım
x→0+
2 sen x cos x
1
= 0
donde en (∗) hemos aplicado la regla de L’Hópital. Luego el ĺımite original
es:
ĺım
x→0+
(
1
x2
)tg x
= e0 = 1
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 87 / 98
Observación
También es posible resolver muchos ĺımites aplicando la tabla de los
infinitésimos equivalentes que también se verifica para funciones.
Además, el teorema de Taylor es de bastante utilidad en el cálculo de
ĺımites de forma indeterminadas del tipo 0/0, y es especialmente útil como
alternativa a la aplicación reiterada de la regla de L’Hópital. Veámoslo:
Supongamos que f (x) y g(x) satisfacen las hipótesis del teorema de
Taylor y tienen polinomios de Taylor no nulos en x = a. Sean n y m los
primeros naturales tales que f n(a) 6= 0 y gm(a) 6= 0, entonces tenemos:
f (x) =
f n(a)
n!
· (x − a)n +
f n+1(c1)
(n + 1)!
· (x − a)n+1
g(x) =
gm(a)
m!
· (x − a)m +
f m+1(c2)
(m + 1)!
· (x − a)m+1
para x cercanos al punto a, y con ci entre a y x . Entonces:
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 88 / 98
f (x) =
f n(a)
n!
· (x − a)n
[
1 +
1
n + 1
· f
n+1(c1)
f n(a)
· (x − a)
]
g(x) =
gm(a)
m!
· (x − a)m
[
1 +
1
m + 1
· g
m+1(c2)
gm(a)
· (x − a)
]
Si las derivadas de orden f n+1(x) y gm+1(x) están acotadas cerca de a,
entonces lo que aparece entre corchetes tiende a 1 cuando x tiende al
punto a, y por lo tanto tenemos:
ĺım
x→a
f (x)
g(x)
= ĺım
x→a
f n(a)
n!
(x − a)n
gm(a)
m!
(x − a)m
= ĺım
x→a
m! · f n(a)
n! · gm(a)
(x − a)n−m
de donde en una indeterminación del tipo 0/0, cuando el teorema de Taylor
es aplicable a f y g , y las derivadas están acotadas cerca de a, entonces
ĺım
x→a
f (x)
g(x)
es igual al ĺımite cuando x → a del cociente de los términos de
menor grado de los polinomios de Taylor de f y g en el punto x = a.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 89 / 98
Ejercicio
Hallar, sin utilizar la regla de l’Hópital, ĺım
x→0
sen x − x
x3
Solución: Tenemos una indeterminación del tipo 0/0. Si observamos el
denominador, al ser un polinomio, tenemos que P3,x3,0(x) = x3. Por otra
parte, al observar el numerador, como sen x = x − x3
3!
+
x5
5!
− · · · ,
entonces tenemos que P3,sen x−x ,0(x) = −x3
3!
, con lo que:
ĺım
x→0
sen x − x
x3
= ĺım
x→0
−x3/3!
x3
= −1
6
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 90 / 98
Aplicación al estudio de funciones. Optimización
Una función continua en un intervalo cerrado y acotado, alcanza su valor
máximo y ḿınimo (absolutos). Además, puede ocurrir que la función tenta
otros “máximos” y “ḿınimos” que llamaremos locales o relativos.
Definición
Si f (x1) es un valor máximo de f (x) para x1 − h < x < x1 + h para algún
h > 0, entonces f (x1) será un valor máximo local de la función.
Si f (x2) es un valor ḿınimo de f (x) para x2 − h < x < x2 + h para algún
h > 0, entonces f (x2) será un valor ḿınimo local de la función.
Llamaremospunto extremo local a los puntos en los que se alcanzan los
valores máximos o ḿınimos locales de una función.
Teorema
Sea f una función y sea x1 un punto extremo local de dicha función. Si
f es derivable en x1, entonces se verifica que f ′ (x1) = 0.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 91 / 98
Definición
Llamamos punto cŕıtico de una función f , a un punto x0 ∈ Df donde f
no sea derivable o donde f ′(x0) = 0.
Proposición
Sea f una función continua definida sobre un intervalo [a, b]. Entonces, el
procedimiento para calcular los valores máximos y ḿınimos absolutos es:
Paso1: Hallar los puntos cŕıticos de f sobre (a, b).
Paso2: Evaluar en f los puntos cŕıticos y también los extremos del
intervalo. El máximo valor obtenido es el valor máximo, y el
ḿınimo obtenido es el valor ḿınimo.
Ejercicio
Hallar los extremos absolutos de la función f (x) = 3x3 − x en [2, 4]
Solución: f i (x) = 9x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1
3 , y como ±1
3 6∈ [2, 4], el
ḿınimo absoluto es f (2) = 22 y el máximo absoluto es f (4) = 188.
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 92 / 98
Un buen método para deducir los puntos cŕıticos que son extremos
relativos es el estudio del crecimiento de la función en un entorno de cada
punto cŕıtico, ya que si a la izquierda de un punto cŕıtico x0 la función f es
creciente y a la derecha de x0 es decreciente, entonces podemos asegurar
que la función f tiene un máximo local en x0.
Por tanto, seŕıa interesante tener una herramienta que me permita saber
cuando una función es creciente o decreciente en un intervalo.
Teorema
Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces:
f i (x) > 0 ∀x ∈ I ⇒ f es creciente en I .
f i (x) 6 0 ∀x ∈ I ⇒ f es decreciente en I .
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 93 / 98
Ejercicio
Estudiar la existencia de extremos absolutos de la función f (x) =
x
1 + x2
.
Solución: El dominio de la función es R. Como:
f i (x) =
1 + x2 − 2x2
(1 + x2)2
= 0 ⇔ 1− x2 = 0 ⇔ x = ±1
Si consideramos los intervalos (−∞,−1), (−1, 1) y (1,∞), tenemos que el
signo de la derivada primera de la función es negativo en los intervalos
(−∞,−1) y (1,∞), y positivo en el intervalo (−1, 1). Por tanto la función
presenta un ḿınimo relativo en x = −1 y un máximo relativo en x = 1.
Además, como se verifica que:
ĺım
x→−∞
f (x) = 0 = ĺım
x→∞
f (x)
estos extremos son absolutos.
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 94 / 98
Observación
Existen funciones para las que un punto cŕıtico c, no es extremo relativo.
En este caso se dice que la función tiene un punto de inflexión en dicho
punto.
Teorema (Criterio de extremo relativo)
Sea f una función definida sobre un intervalo I , y sea a un punto del
interior de dicho intervalo. Si existen las derivadas sucesivas
f i , f ii , f iii , . . . , f n, son continuas en un entorno de a, y todas se anulan
en a salvo f n(a).
Si n es par y f n(a) > 0 entonces a es un ḿınimo relativo de f .
Si n es par y f n(a) < 0 entonces a es un máximo relativo de f .
Si n es impar entonces a es un punto de inflexión de f .
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 95 / 98
Ejercicio
Estudiar los puntos cŕıticos de la función: f (x) = x3 − 3x2 + 2.
Solución: El dominio de la función es R. Entonces:
f i (x) = 3x2 − 6x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 o x = 2
Además, como f ii (x) = 6x − 6, y se verifica que f ii (0) = −6 < 0 y
f ii (2) = 6 > 0, entonces tenemos que x = 0 es un máximo local y x = 2
es un ḿınimo local.
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 96 / 98
El cálculo de máximos y ḿınimos por derivadas permite resolver de una
manera sencilla y rápida muchos problemas que aparecen tanto en
matemáticas como en otras disciplinas cient́ıficas. Recordemos que este
tipo de problemas estuvo presente en el origen del cálculo diferencial. Son
problemas en los que se trata de optimizar una función; como por
ejemplo, minimizar los costes de una producción, buscar la forma adecuada
para comercializar un producto, etc.
Para resolverlos seguiremos el esquema general que a continuación
proponemos:
1 Mediante los datos del problema se construye la función que hay que
maximizar o minimizar; la mayoŕıa de las veces en función de dos o
más variables.
2 Expresar la función anterior en una única variable .
3 Se hallan los máximos y ḿınimos de esta función.
4 Se interpretan los resultados, rechazando aquellos que no sean
posibles.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 97 / 98
Ejercicio
Hallar dos números cuya suma sea 20, y su producto el mayor posible.
Solución: Si llamamos x e y a los dos números, el sistema que queremos
resolver es:
x + y = 20
P(x , y) = x · y
}
⇒ P(x) = x · (20− x) = 20x − x2
P i (x) = 20− 2x = 0 ⇔ x = 10. Además, como P ii (x) = −2, entonces
se tiene que P ii (10) = −2 < 0, con lo que tenemos que x = 10 es
máximo, y por tanto los números son x = y = 10 .
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 1 98 / 98
Campos escalares y vectoriales
Gloria Gutiérrez Barranco y Javier Mart́ınez del Castillo
Departamento de Matemática Aplicada
E.T.S. de Ingenieŕıa Telecomunicación
Universidad de Málaga
Campus de Teatinos, 29071
ggutierrez@uma.es; jmartinezd@uma.es
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 1 / 96
Contenido
1 Ĺımite y continuidad
Ĺımite y continuidad de campos escalares
Ĺımite y continuidad de campos vectoriales
2 Diferenciabilidad
Derivadas parciales y derivadas direccionales
Diferencial y vector gradiente
Plano tangente. Aproximación lineal
Diferenciabilidad de campos vectoriales. Matriz jacobiana
Regla de la cadena
Derivación de funciones impĺıcitas
3 Aplicaciones
Extremos de campos escalares
Multiplicadores de Lagrange
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 2 / 96
Ĺımite y continuidad de campos escalares
Hasta ahora, solamente hemos trabajado con funciones de una única
variable independiente (funciones reales de una variable real). Sin
embargo, en la realidad las cosas suelen depender de más de una variable,
pues muchas magnitudes que nos son familiares son funciones de dos o
más variables independientes.
Aśı, por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza (W = FD), y el
volumen V de un cilindro circular recto (V = πr2h) son ambas funciones
de dos variables; y el volumen de un sólido rectangular (V = xyz) es una
función de tres variables. Denotamos una función de dos o más variables
por una notación similar a la de las funciones de una sola variable. Aśı,
z = f (x , y)
︸ ︷︷ ︸
2 variables
= x2 + xy y w = f (x , y , z)
︸ ︷︷ ︸
3 variables
= x + 2y − 3z
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 3 / 96
En el estudio de la continuidad de funciones de varias variables, la noción
de ĺımite aparecerá de modo natural, al igual que en el caso de una
variable. Sin embargo, cuando se intenta generalizar los métodos y
conceptos del cálculo de funciones de una variable real a funciones de
varias variables, surgen ciertos fenómenos que necesitan consideraciones
especialmente cuidadosas; es por esto por lo que la teoŕıa de funciones de
varias variables es más complicada y más delicada de manejar.
Definición
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par
ordenado (x , y) ∈ D le corresponde un número real f (x , y), entonces se
dice que f es función de x e y . El conjunto D es el dominio de f , y el
correspondiente conjunto de valores de f (x , y) es el recorrido de f .
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 4 / 96
Observación
Se pueden dar definiciones similares para funciones de tres, cuatro o n
variables, donde los dominios consisten en tŕıos (x1 , x2 , x3) , tétradas
(x1 , x2 , x3 , x4) y n-uplas ordenadas respectivamente. En todoslos casos el
recorrido es un conjunto de números reales.
Definición
Llamaremos función real de n variables reales, a una regla que asigna a
cada n-upla de números reales (x1 , x2 , . . . , xn), un único número real,
z = f (x1 , x2 , . . . , xn). Esto es:
f : D ⊂ R
n −→ R
(x1 , x2 , . . . , xn) −→ z = f (x1 , x2 , . . . , xn)
A este tipo de funciones, se les suele llamar campos escalares.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 5 / 96
Definición
Llamamos gráfica de una función z = f (x1 , x2 , . . . , xn), a los puntos de la
forma (x1 , x2 , . . . , xn , f (x1 , x2 , . . . , xn)) que están en un espacio de
dimensión n + 1.
Observación
Las representaciones gráficas serán muy útiles, especialmente las de
campos de dos variables; lamentablemente, no es posible dar una visión
clara de la gráfica de un campo escalar a menos que sea de dos variables,
ya que en caso contrario la gráfica se encuentra en un espacio de más de
tres dimensiones y, por tanto no dibujable. Es por esta razón por la que
trabajaremos con campos escalares de dos variables.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 6 / 96
Ejercicio
Calcular el dominio de las siguientes funciones:
(a) f (x , y) =
√
x2 + y2 − 9
x
(b) g(x , y , z) =
x
√
9− x2 − y2 − z2
Solución:
(a) x 6= 0 y además, x2 + y2 − 9 ≥ 0 ⇒ x2 + y2 ≥ 9. Luego
Df =
{
(x , y) ∈ R
2 | x2 + y2 ≥ 9, x 6= 0
}
(b) 9− x2 − y2 − z2 > 0 ⇒ x2 + y2 + z2 < 9. Luego
Dg =
{
(x , y , z) ∈ R
3 | x2 + y2 + z2 < 9
}
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 7 / 96
Empezaremos el estudio del ĺımite de un campo escalar bidimensional
(sabiendo que se pueden extender de forma análoga para campos de más
de dos variables), definiendo el análogo bidimensional de un intervalo en la
recta real.
Definición
Usando la fórmula de la distancia δ > 0 entre dos puntos (x , y) y (x0, y0)
del plano, definimos el δ-entorno alrededor de (x0, y0), como el disco
centrado en (x0, y0) con radio δ:
{
(x , y) :
√
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ
}
Observación
Cuando la fórmula contiene la desigualdad “menor que”, <, se dice que el
disco es abierto, y cuando contiene la desigualdad “menor o igual que”,
6, se dice que el disco es cerrado. Esto corresponde al uso de < y 6 para
definir intervalos abiertos y cerrados.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 8 / 96
Definiciones
1 Un punto (x0, y0) de la región plana R es un punto interior de R si
existe un δ-entorno alrededor de (x0, y0) que pertenezca totalmente a
R . Si todos los puntos de R son interiores, entonces decimos que R
es una región abierta.
2 Un punto (x0, y0) es un punto frontera de R si cada disco abierto
centrado en (x0, y0) contiene puntos del interior y del exterior de R.
Si una región contiene todos sus puntos fronteras, entonces decimos
que R es una región cerrada.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 9 / 96
Definición
Sea z = f (x , y) una función de dos variables cuyo dominio incluya puntos
arbitrariamente cercanos a (a, b) pero diferentes de él, y sea ℓ ∈ R. Se
dice que ℓ es el ĺımite de f (x , y) cuando (x , y) tiende al punto (a, b), y lo
denotamos por ĺım
(x ,y)→(a,b)
f (x , y) = ℓ si
∀ε > 0 ∃ δ > 0 | 0 <
√
(x − a)2 + (y − b)2 < δentonces |f (x , y)− ℓ| < ε
Observación
1 Gráficamente, esta definición de ĺımite significa que para un punto
cualquiera (x , y) en el disco de radio δ, el valor f (x , y) está entre
ℓ+ ε y ℓ− ε.
2 La definición es equivalente a decir que para todo ε > 0 existe δ > 0
tal que si 0 < ‖(x , y)− (a, b)‖ < δ entonces |f (x , y)− ℓ| < ε.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 10 / 96
Las sumas, productos y cocientes de campos escalares con el mismo
número de variables se definen del mismo modo que en el caso de una
variable. Si los ĺımites de f y g existen en un punto, entonces también
existen los de f ± g , f · g , f /g (siempre que el denominador no se anule),
y su valor es el evidente.
Ejercicio
Calcular los siguientes ĺımites:
(a) ĺım
(x ,y)→(1,2)
5x2y
x2 + y2
(b) ĺım
(x ,y)→(2,−3)
xy
x2 + y2
Solución:
(a) ĺım
(x ,y)→(1,2)
5x2y
x2 + y2
=
10
5
= 2
(b) ĺım
(x ,y)→(2,−3)
xy
x2 + y2
= − 6
13
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 11 / 96
Si bien la definición de ĺımite de una función de dos variables va en total
paralelismo con la definición de ĺımite de una función de una sola variable,
existe una diferencia cŕıtica. Para determinar si una función de una variable
tiene ĺımite, solamente necesitamos comprobar qué ocurre al aproximarnos
por dos direcciones (por la izquierda y por la derecha). Si la función tiende
al mismo ĺımite por la derecha y por la izquierda, podemos concluir que el
ĺımite existe. Sin embargo, para una función de dos variables, al escribir
(x , y) → (a, b)
entendemos que el punto (x , y) se aproxima al punto (a, b) en cualquier
“dirección del plano”. Si el valor de
ĺım
(x ,y)→(a,b)
f (x , y)
no es el mismo para todas las posibles formas de aproximarse (o
trayectorias) a (a, b), entonces el ĺımite no existe.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 12 / 96
Ejercicio
Calcular los siguientes ĺımites:
(a) ĺım
(x ,y)→(0,0)
(
x2 − y2
x2 + y2
)2
(b) ĺım
(x ,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
Solución: No existe ninguno de los dos ĺımites, ya que:
(a) ĺım
(x ,y)→(0,0)
f (x , y) =
(
0
0
)
= ĺım
(x ,y)→(0,0)
y=mx
(
x2 − y2
x2 + y2
)2
= ĺım
x→0
(1−m2)2x4
(1 +m2)2x4
=
(1−m2)2
(1 +m2)2
(b) ĺım
(x ,y)→(0,0)
f (x , y) =
(
0
0
)
= ĺım
(x ,y)→(0,0)
y=mx
xy
x2 + y2
= ĺım
x→0
mx2
(1 +m2)x2
=
m
1 +m2
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 13 / 96
Obsérvese que en los ejemplos anteriores hemos podido concluir que no
existe ĺımite, porque hemos dado con dos caminos que nos llevan a ĺımites
distintos (depende de un parámetro, esto es de una trayectoria).
Sin embargo hay que hacer constar que si esos dos ĺımites coincidiesen, eso
no seŕıa suficiente para concluir que el ĺımite existe, pues para llegar a esa
conclusión seŕıa necesario probar que el ĺımite es el mismo sea cual sea el
camino por el que nos acercamos al punto. En otras palabras, el método
anterior sirve para asegurar la no existencia, y no sirve para asegurar la
existencia del ĺımite. Esto es lo que se llama método refutativo.
Existen muchos métodos refutativos para los ĺımites de varias variables, el
método de los ĺımites iterados se basa en el siguiente teorema:
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 14 / 96
Teorema (ĺımites iterados)
Sea f : R2 → R y (a, b) ∈ R
2 . Para cada x , y ∈ R se definen los
siguientes ĺımites (en el caso de que existan)
f1(x) = ĺım
y→b
f (x , y) y f2(y) = ĺım
x→a
f (x , y)
Si ĺım
(x ,y)→(a,b)
f (x , y) = ℓ, entonces también existen los ĺımites
ĺım
x→a
f1(x) y ĺım
y→b
f2(y)
y además se verifica que:
ĺım
(x ,y)→(a,b)
f (x , y) = ĺım
x→a
f1(x) = ĺım
y→b
f2(y)
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 15 / 96
Ejercicio
Calcular los siguientes ĺımites:
(a) ĺım
(x ,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
(b) ĺım
(x ,y)→(0,0)
3x2 − 2y2
2x − 3y2
Solución: No existe ninguno de los dos ĺımites, ya que:
(a)
ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
x2 − y2
x2 + y2
)
= ĺım
x→0
x2
x2
= 1
ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
x2 − y2
x2 + y2
)
= ĺım
y→0
−y2
y2
= −1



⇒6 ∃ ĺım
(x ,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
(b)
ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
3x2 − 2y2
2x − 3y2
)
= ĺım
x→0
3x2
2x
= 0
ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
3x2 − 2y2
2x − 3y2
)
= ĺım
y→0
2y2
3y2
=
2
3



⇒6 ∃ ĺım
(x ,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 16 / 96
Observación
Si existe el ĺımite doble y existen los ĺımites iterados, entonces los iterados
son iguales; pero puede ocurrir que existael ĺımite doble sin que exista
alguno de los iterados.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 17 / 96
A veces es posible calcular un ĺımite usando argumentos sencillos.
Ejercicio
Calcular los siguientes ĺımites:
(a) ĺım
(x ,y)→(0,0)
5x2y
x2 + y2
(b) ĺım
(x ,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
Solución:
(a) ĺım
(x ,y)→(0,0)
5x2y
x2 + y2
= ĺım
(x ,y)→(0,0)
5y
x2
x2 + y2
︸ ︷︷ ︸
Acotado<1
= 0 · Acotado = 0
(b) ĺım
(x ,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
= ĺım
(x ,y)→(0,0)
x
x2
x2 + y2
︸ ︷︷ ︸
Acotado<1
= 0 · Acotado = 0
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 18 / 96
Otra forma de calcular ĺımites es utilizar una acertada manipulación
algebraica
Ejercicio
Calcular el siguiente ĺımite:
ĺım
(x ,y)→(1,1)
x2 − y
x −√
y
Solución:
ĺım
(x ,y)→(1,1)
x2 − y
x −√
y
=
(
0
0
)
= ĺım
(x ,y)→(1,1)
(x −√
y)(x +
√
y)
x −√
y
= ĺım
(x ,y)→(1,1)
(x +
√
y) = 2
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 19 / 96
Otro método que nos permite calcular ĺımites de funciones, es utilizar las
equivalencias que vimos para funciones de variable real.
Ejercicio
Calcular los siguientes ĺımites:
(a) ĺım
(x ,y)→(0,−2)
x3 sen(y2 − 4)
(y + 2) sen x
(b) ĺım
(x ,y)→(0,0)
ln(1 + x2y2)
x2 + y2
Solución:
(a) ĺım
(x ,y)→(0,−2)
x3 sen(y2 − 4)
(y + 2) sen x
=
(
0
0
)
= ĺım
(x ,y)→(0,−2)
x3(y2 − 4)
(y + 2)x
=
(
0
0
)
= ĺım
(x ,y)→(0,−2)
x3(y − 2)(y + 2)
(y + 2)x
= ĺım
(x ,y)→(0,−2)
x2(y − 2) = 0
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 20 / 96
(b) ĺım
(x ,y)→(0,0)
ln(1 + x2y2)
x2 + y2
=
(
0
0
)
= ĺım
(x ,y)→(0,0)
x2y2
x2 + y2
=
(
0
0
)
= ĺım
(x ,y)→(0,0)
x2
y2
x2 + y2
︸ ︷︷ ︸
Acotado<1
= 0 · Acotado = 0
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 21 / 96
Una vez visto el concepto de ĺımite de campos escalares, veamos ahora el
concepto de continuidad, que como veremos es análogo al de funciones de
una sola variable.
Definición
Sea f : D ⊂ R
2 → R un campo escalar bidimensional. Se dice que
z = f (x , y)es continua en un punto (a, b) si:
1 Existe f (a, b)
2 Existe ĺım
(x ,y)→(a,b)
f (x , y)
3 ĺım
(x ,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a, b)
Además, una función es continua, si lo es en cada punto de su dominio.
Para campos escalares n-dimensionales, la definición es equivalente.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 22 / 96
Teorema
Si k ∈ R, y f , g : R2 → R son continuas en (a, b), entonces las siguientes
funciones también son continuas en (a, b):
(a) k · f (b) f ± g (c) f · g (d) f /g si g(a, b) 6= 0
Teorema
Si f : R2 → R es continua en (a, b) y g : R → R es continua en f (a, b),
entonces la función compuesta dada por (g ◦ f )(x , y) = g(f (x , y)) es
continua en (a, b). Es decir:
ĺım
(x ,y)→(a,b)
g(f (x , y)) = g(f (a, b))
Observación
Obsérvese que f es una función de dos variables, mientras que g es una
función de una variable.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 23 / 96
Ejercicio
Discutir la continuidad de las siguientes funciones:
(a) f (x , y) =
x − 2y
x2 + y2
(b) f (x , y) =
2
y − x2
Solución:
(a) La función es continua en todo su dominio, es decir en R
2 − {(0, 0)}.
(b) La función es continua en todo su dominio, es decir, es continua en
R
2 excepto en los puntos de la parábola y = x2.
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 24 / 96
Ĺımite y continuidad de campos vectoriales
En este apartado, vamos a ver la generalización completa del concepto de
función real de variable real; hasta ahora se han estudiado las funciones
f : R → R, posteriormente, los campos escalares reales f :⊂ R
n → R; el
caso más general de funciones que se considerará ahora serán las funciones
vectoriales de variables reales o campos vectoriales:
Definición
Llamamos funciones vectoriales de variables reales o campos
vectoriales, a funciones del tipo
f : D ⊂ R
n → R
m
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 25 / 96
Observación
Obsérvese que cada campo vectorial f : Rn → R
m, tiene asociado m
campos escalares f1, f2, . . . , fm : Rn → R, que son sus campos
componentes determinados como sigue: ya que f (x1, . . . , xn) es un vector
de R
m, entonces f (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym), con lo cual se puede definir
fi (x1, . . . , xn) = yi .
Por ejemplo, el campo vectorial f : R3 → R
2 definido como
f (x , y , z) = (xyz , x + y + z)
tiene asociados dos campos escalares f1, f2 : R
3 → R definidos por
f1(x , y , z) = xyz y f2(x , y , z) = x + y + z
Después del trabajo realizado con los campos escalares, y teniendo en
cuenta la observación anterior, la extensión del estudio a campos
vectoriales es directa.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 26 / 96
Definición
Sea f = (f1, . . . , fm) : R
n → R
m un campo vectorial, y sea a ∈ R
n.
Entonces:
ĺım
x→a
f (x) = ℓ ⇔ ĺım
x→a
fi (x) = ℓi ∀i = 1, . . . ,m
donde ℓ = (ℓ1, . . . , ℓm).
Como consecuencia, la continuidad de un campo vectorial surge de forma
natural, y depende directamente de la continuidad de sus campos
componentes escalares:
Teorema
Sea f = (f1, . . . , fm) : R
n → R
m un campo vectorial, y sea a ∈ R
n.
Entonces:
f es continua en a ⇔ cada fi es continua en a
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 27 / 96
Contenido
1 Ĺımite y continuidad
Ĺımite y continuidad de campos escalares
Ĺımite y continuidad de campos vectoriales
2 Diferenciabilidad
Derivadas parciales y derivadas direccionales
Diferencial y vector gradiente
Plano tangente. Aproximación lineal
Diferenciabilidad de campos vectoriales. Matriz jacobiana
Regla de la cadena
Derivación de funciones impĺıcitas
3 Aplicaciones
Extremos de campos escalares
Multiplicadores de Lagrange
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 28 / 96
Derivadas parciales y derivadas direccionales
Definición
Si z = f (x , y), las derivadas parciales de f con respecto a “x” y a “y” ,
son las funciones fx y fy definidas como:
fx(x , y) = D1f (x , y) = ĺım
∆x→0
f (x +∆x , y)− f (x , y)
∆x
= ĺım
h→0
f (x + h, y)− f (x , y)
h
fy (x , y) = D2f (x , y) = ĺım
∆y→0
f (x , y +∆y)− f (x , y)
∆y
= ĺım
h→0
f (x , y + h)− f (x , y)
h
si estos ĺımites existen.
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 29 / 96
Observación
Para calcular fx , consideramos que y es constante y derivamos respecto a
x. Análogamente obtenemos fy .
Ejercicio
Calcular fx(x , y) y fy (x , y) (o D1f (x , y) y D2f (x , y))
(a) f (x , y) = 3x − x2y2 + 2x3y (b) f (x , y) = xex
2y
Solución:
(a) fx(x , y) = 3− 2xy2 + 6x2y
fy (x , y) = −2x2y + 2x3
(b) fx(x , y) = ex
2y + 2x2yex
2y = (1 + 2x2y)ex
2y
fy (x , y) = x3ex
2y
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 30 / 96
Notación
Si z = f (x , y), las derivadas parciales se denotan por:
D1f = fx =
∂f
∂x
=
∂z
∂x
= zx
D2f = fy =
∂f
∂y
=
∂z
∂y
= zy
Las derivadas parciales evaluadas en el punto (a, b) se denotan por
D1f (a, b) y D2f (a, b)
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 31 / 96
Ejercicio
Evaluar las derivadas parciales del ejercicio anterior en los puntos (0, 1) y
(1, ln 2).
Solución:
(a) f (x , y) = 3x − x2y2 + 2x3y
fx(x , y) = 3− 2xy2 + 6x2y =⇒ fx(0, 1) = 3
fy (x , y) = −2x2y + 2x3 =⇒ fy (0, 1) = 0
(b) f (x , y) = xex
2y
fx(x , y) = (1 + 2x2y)ex
2y =⇒ fx(1, ln 2) = 2(1 + 2 ln 2)
fy (x , y) = x3ex
2y =⇒ fy (1, ln 2) = 2
◦
Gutiérrez; Mart́ınez (UMA) Cálculo y Análisis Vectorial Tema 2 32 / 96
Observación
Si una función f tiene derivadas parciales en todos los puntos de su
dominio, es posible definir las funciones derivada parcial D1f y D2f que
asocian a cada punto (a, b) del dominio de f los números D1f (a, b) y
D2f (a, b), respectivamente.
Recuérdese que la derivada de una función en un punto se interpreta