Operações com Radicais

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TEMA: SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIONES CON RADICALES 
 GRADO SÉPTIMO 5 
JORNADA DE LA MAÑANA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DOCENTE: ILIA MARÍA GARCIA PEÑARANDA 
Esp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ EUSEBIO CARO 
OCAÑA 
2020 
 
 
 
 
 
INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ EUSEBIO CARO 
TEMA: SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIONES CON RADICALES. 
GRADO 7: 5 J.M. 
 
DOCENTE: ILIA MARÍA GARCÍA PEÑARANDA 
 
SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIONES CON RADICALES 
Para cumplir con las condiciones que 
las propiedades de los radicales les 
imponen a estos cuando participan en alguna 
operación, uno de los métodos es 
la simplificación de radicales . 
 
EJEMPLOS: 
1. Simplificar 
Un radical se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario . 
En nuestro ejemplo, se puede expresar como . Por tanto, se puede simplificar igual 
que una fracción; o sea, se divide el índice (12, que se coloca como denominador) y el 
exponente (9, que se coloca como numerador) por un mismo número. (9 y 12 son 
divisibles por 3, y quedan como 3 y 4) 
 
Ahora podemos hacer el camino inverso y una potencia con exponente fraccionario 
como donde el numerador 3 es el exponente de x y el denominador 4 es el índice 
del radical. Así podemos expresar como un radical 
2. Simplificar 
Simplificamos directamente dividiendo, en este caso, índice y exponente entre 4. 
 
 
3. Simplificar 
 
Expresamos el radical como una potencia con exponente fraccionario y simplificamos la 
fracción. 
https://www.profesorenlinea.cl/matematica/Raices_Propiedades.html
4. Simplificar 
 
Factorizamos la base (64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 6 ), luego dividimos el índice (9) y el 
exponente (6) por 3 y desarrollamos el cuadrado de la base (4). Luego: 
 
 
5. Simplificar 
Factorizamos la base (81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 3 4 ), luego dividimos el índice (8) y el 
exponente (4) por 2, quedando como índice 2 (que no se escribe) y la base como 3l cuyo 
exponente (1) tampoco se escribe. 
 
 
OPERACIONES CON RADICALES 
Las raíces pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse si cumplen con 
determinadas condiciones o reglas. 
 
1. SUMA Y RESTA DE RADICALES 
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes; es 
decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando (o base subradical). 
Ejemplo: 
Sumar y simplificar 
Los radicales del ejemplo tienen el mismo índice (2) pero distinto radicando. Vamos a 
factorizar los radicandos (o bases) para extraer de cada sumando todos los factores 
posibles: 
 
 
Ahora sumamos los coeficientes de cada raíz; o sea, los números que van delante de cada 
uno de ellos multiplicando: 
 
 
 
2. PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN DE RADICALES. 
 
MULTIPLICAR RADICALES DEL MISMO ÍNDICE 
Se multiplican los radicando (las bases) y se conserva el índice 
 
Según una propiedad de los radicales: 
 
Esto significa que si dos números están multiplicándose dentro de una raíz, se puede 
extraer la raíz de cada uno de ellos en forma separada y luego multiplicarlos; o también 
que si hay dos raíces de igual grado multiplicándose se pueden multiplicar los números y 
obtener la raíz después. 
Ejemplo 1: 
Dentro de la raíz cuadrada tenemos una multiplicación (9x4), sacamos la raíz cuadrada a 
cada uno de los números para finalmente multiplicarlos. 
 
 
Ejemplo 2: 
En este ejemplo, igual anotamos el radical en forma separada, pero como no es posible 
extraer la raíz exacta a ninguno de los nuevos radicales, lo más conveniente es multiplicar 
las bases (12 x 3) primero y luego sacar la raíz cuadrada al resultado. 
 
 
Ejemplo 3: Calcular el producto de 
En este caso vemos que aparecen números fuera del signo radical (fuera de la raíz), 
entonces, lo primero que hacemos es multiplicar las cantidades que están fuera de las 
raíces (5 x 3) ya que todas tienen el mismo índice. Luego multiplicamos las cantidades 
bases (subradicales o radicandos, como quieran llamarlas) (18 x 8 = 144), y si se puede 
extraemos el valor de la raíz para colocarlo, multiplicando (15 x 
12), fuera del signo radical 
 
 
. 
MULTIPLICAR RADICALES DE DISTINTO ÍNDICE: 
 
Para realizar una multiplicación de radicales que tengan distinto índice es 
obligatorio reducir esos índices distintos a un índice común (igual para todos los 
radicales). 
 
PASOS PARA LA REDUCCIÓN DE RADICALES A ÍNDICE COMÚN 
El primer paso es hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices , que será el 
índice común. 
Luego, dividimos ese índice común por cada uno de los índices y cada resultado 
obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes. 
Veamos un ejemplo: 
Si tuviésemos que multiplicar entre sí las cantidades siguientes: 
 
La primera raíz tiene índice 2; la segunda, 3, y la tercera, 4. Entonces tenemos que 
encontrar el m.c.m. entre 2, 3 y 4, que resulta ser 12. Dividimos 12 por cada índice y el 
resultado de cada división lo multiplicamos por cada uno de los exponentes de las 
cantidades bases o radicandos; de la siguiente manera: 
12 ÷ 2 (2 es el índice de la primera raíz) = 6, este 6 lo multiplicamos por 1 (1 es el 
exponente) y nos queda 
 
Después, 12 ÷ 3 (3 es el índice de la segunda raíz) = 4, este 4 lo multiplicamos por 2 en 
cada uno de los multiplicandos que hay dentro del raíz (ambos tiene exponente 2) y nos 
queda 
 
En seguida, hacemos 12 ÷ 4 (4 es el índice de la tercera raíz) = 3, este 3 lo multiplicamos 
por 2 (exponente del primer multiplicando dentro de la raíz) y por 3 (exponente del 
segundo multiplicando dentro de la raíz) y nos queda 
 
Ahora podemos hacer la operación, teniendo tres raíces con igual índice (12): 
 
Veamos otro ejemplo: 
Si tenemos el m.c.m. entre 2, 3 y 4 es 12 
Entonces: 
 
 
Otro ejemplo: 
 m.c.m. de 2 y 3 es = 6, que se convierte en el índice común. 
Hacemos 6 ÷ 2 = 3 x 1 = 3, para que tengamos 
Y hacemos 6 ÷ 3 = 2 x 1 = 2, para que tengamos 
Y ahora tenemos: 
 
Nótese que después de llevar las raíces a un índice común (6), factorizamos las bases o 
radicandos (12 = 2 2 x 3) y (36 = 2 2 x 3 2 ) y para llegar al resultado final sacamos afuera 
del signo radical un 2 (obtenido de 2 10 y dejando 2 4 dentro del signo radical), y un 3 
(obtenido de 3 7 y dejando 3 dentro del signo radical). 
 
3. COCIENTE O DIVISIÓN DE RADICALES 
 
DIVIDIR RADICALES DEL MISMO ÍNDICE 
 
Se dividen los radicando (las bases) y se conserva el índice 
 
 
 
 
Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, podremos resolverlas 
por separado y después las dividimos, o también podríamos hacer primero la división y 
luego extraer la raíz. 
Ejemplo 1: 
 
 
 
En el ejemplo mostramos la división de raíces en distintas formas (todas válidas), pero 
luego hemos extraído las dos raíces cúbicas y hemos dividido los resultados (los 
cocientes o cocientes). 
 
Ejemplo 2: 
 
En este ejemplo, resolvimos primero la división de las cantidades subradicales y del 
resultado extraemos la raíz cúbica. 
 
 
DIVISIÓN DE RAÍCES CON DISTINTO ÍNDICE 
Para dividir (o multiplicar) dos radicales ambos tienen que tener el mismo índice. En este 
ejemplo no es así, por lo tanto debemos reducir a un índice común, y lo hacemos igual 
como cuando reducimos fracciones a común denominador. 
Sabemos que no podemos dividir raíces que tengan distinto índice, para también sabemos 
cómo igualar esos índices o se reducirlos a un índice común y parahacerlo utilizamos la 
propiedad de amplificación: 
 
Ejemplo 1: 
 
El numerador tiene índice 2 (que no se escribe), el denominador tiene índice 3, buscamos 
entonces el m.c.m. entre 2 y 3, que seis, entonces amplificamos por 6 ambos términos de 
la división para igualar los índices a seis: 
 
 
Ejemplo 2. 
Simplificar 
 
En este caso, el número o índice común es el 15, el cual dividimos primero por el índice 
del numerador del radical (15 ÷ 5 = 3) y elevamos la base a ese exponente (3), y luego el 
15 lo dividimos por el índice del radical que está como denominador (15 ÷ 3 = 5) y 
elevamos la base a ese exponente (5) para que la división quede 
 , con los dos radicales con el mismo índice (15) y se puede realizar la operación. 
Luego: 
 
 
Simplificar 
 
 
El radical del numerador tiene índice 2 y el radical de denominador tiene índice 3. Para 
hacer la división debemos igualar los índices. Entre 3 y 2 el índice común es 6, lo 
aplicamos y operamos igual que el ejemplo anterior. 
 
Hagamos ahora los siguientes ejemplos directamente aplicando la propiedad. 
Simplificar 
 
Simplificar 
 
Efectuar 
4. POTENCIA DE RADICALES 
 
Ya sabemos, que todas las raíces pueden convertirse a potencias de exponente 
fraccionario. Hacer la conversión es muy sencillo: lo único que debemos hacer es pasar 
el grado (índice) del radical como denominador de una fracción cuyo numerador será el 
exponente que tenga la base (el radicando). 
 
EJEMPLOS 
Ejemplo 1: 
En este caso, el grado del radical es 3, el cual pasó a dividir al exponente 6, convirtiendo 
a este en una fracción. El resultado de esta división (la fracción es una división: 6÷3 = 2) 
será el nuevo exponente para la cantidad subradical. 
 
De esta manera se ha realizado la potenciación. 
 
Ejemplo 2: 
Acá hicimos lo mismo que en el caso anterior (recordemos que cuando no se escribe el 
índice o grado de un radical se entiende, por convención, que es 2, raíz cuadrada). 
 
 
5. RAÍZ DE UN RADICAL 
 
Por definición, la raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es 
el producto de los dos índices . Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices 
de las raíces y se conserva la cantidad subradical. 
La raíz ene ( n ) de la raíz eme ( m ) de a es igual a raíz ene por eme ( n • m ) de a . 
 
EJEMPLOS: 
 
 
Ejemplo 1: Simplificar 
 
Ejemplo 2: Simplificar 
 
 
Ejemplo 3: Si se tiene ahora Simplificar 
 
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la 
cantidad subradical o base. Los tres radicales tienen índice 2, lo cual haciendo 2 x 2 x 2 
nos da 8. La cantidad subradical o base está elevada a 8, entonces tanto el índice (8) como 
el exponente (8) los dividimos por 8 y queda solo la cantidad subradical o base k. 
 
 
 
Ejemplo 4: Simplificar 
Multiplicamos los índices (5 x 3 = 15) de las raíces y conservamos el exponente (10) de 
la base (x), luego simplificamos ambos números por 5, que divide tanto a 15 como a 10. 
 
 
Ejemplo 5: Simplificar 
Expresamos el radical como una potencia con exponente fraccionario , luego 
simplificamos la fracción del exponente y nos queda , lo cual es lo mismo 
que donde el exponente 2 de la base se anula con el índice 2 (que no escribe) del 
radical, para quedar solo x como resultado. 
 
 
 
SACAR UN FACTOR FUERA DEL RADICAL 
 
Uno de los problemas que encontramos en las operaciones con raíces está en su 
presentación, 
ya que muchas veces es imposible realizarlas tal como se nos muestran. 
Por ello, resulta imprescindible transformarlas un poco para hacerlas más amigables y 
manejables, de tal modo que podamos trabajar con ellas. 
Se dice que hay que llevarlas a una forma típica , la cual se ha logrado cuando el índice y 
el radicando son lo más pequeños posibles. 
Para conseguirlo, normalmente debemos realizar lo siguiente: 
 
1.- LOS RADICANDOS DEBEMOS DESCOMPONERLOS EN FACTORES 
Ejemplo: 
 
2.- LOS ÍNDICES DISTINTOS DEBEMOS REDUCIRLOS A UN ÍNDICE 
COMÚN 
Ejemplo: 
 
 
3.- DEBEMOS SACAR FACTORES FUERA DEL RADICAL 
Para hacer esta operación el exponente del radicando debe ser igual o mayor que el índice 
de la raíz. 
Si cumple esta condición, hacemos (exponente dividido por índice). 
El resultado (o cociente) lo colocamos fuera del radical como exponente del factor que 
estamos sacando fuera (corresponde al radicando). Si de la división anterior queda 
un resto, éste será el exponente del número (el mismo radicando) dentro de la raíz. 
Ejemplo: 
Sacar fuera de la raíz lo que se pueda: 
Como el exponente de 5 (el 15) es mayor que el índice que es 2, dividimos: 15 ÷ 2 = 7 y 
sobra el resto 1. 
El cociente 7 lo hacemos el exponente de 5 fuera de la raíz y el resto (1) será el exponente 
de 5 dentro de la raíz: . 
Recuerda que cuando no escribimos el exponente, se entiende que es 1. 
Se recomienda hacer siempre esta división, por muy sencilla que parezca. 
Ejemplo: 
Sacar fuera de la raíz lo más que se pueda: 
Hacemos la división 14 ÷ 3 = 4 y sobra un resto de 2 
El cociente, 4 , será el exponente de la base 2 (2 4 ) fuera de la raíz cúbica y el resto 2 será 
el exponente del radicando (la misma base 2), para quedar: 
 
Ejemplo: 
Calcular o expresar de forma típica 
Primero, hacemos la división: 25 ÷ 5 = 5 y el resto es cero (0). 
Nuestro resultado será 
Aquí debemos notar que cuando el resto es 0, ese es el exponente del radicando y por 
tanto 7 0 = 1. 
También debemos recordar que 
 
Introducir un factor dentro de un radical 
Esta es la operación inversa de lo anterior. Si allí aprendimos a sacar un factor fuera del 
radical, aquí veremos como introducir dentro de un radical un factor que está fuera de él. 
Aquí, el asunto es más simple: Para introducir un factor dentro de un radical, se coloca el 
factor dentro del radical con un exponente que se obtiene al multiplicar el exponente del 
factor fuera de la raíz por el índice del radical, la potencia obtenida se multiplica por la 
potencia que hay dentro del radical. 
 
Ejemplos: 
 
 
EJERCICIOS 
 
Introduce dentro del radical Respuesta : 
 
Introduce dentro del radical Respuesta : 
 
OPERACIONES COMBINADAS CON RADICALES 
En muchos casos cuando se nos presentan operaciones combinadas de suma y resta con 
raíces la primera impresión es que no se pueden ejecutar. 
Pero en casi todos los casos es posible darle a esas operaciones una presentación distinta 
que sí se puede manejar, pero depende de nosotros que sepamos hacerlo, para darle la 
forma correcta al ejercicio. 
Tomemos un ejemplo: 
 
Tal como está, no podemos resolverla, ya que todos los radicales son diferentes, tienen 
distinto índice y distinta base, pero si utilizamos las propiedades de la multiplicación 
podríamos darle una configuración que nos permita hacerlo. 
Así, podemos expresarla como porque 5 2 = 25 y 25 x 2 = 50 
La secuencia completa es: 
 
¿Qué hicimos? Resolvimos la parte que tiene raíz cuadrada exacta: 
Aquella parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual: 
Lo mismo hacemos para 
 
Ahora, reemplazamos los valores obtenidos y ejecutamos la operación combinada: 
 
INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ EUSEBIO CARO 
TALLER: SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIONES CON RADICALES. 
GRADO 7: 5 J.M. 
 
DOCENTE: ILIA MARÍA GARCÍA PEÑARANDANOMBRE:___________________________________________________________ 
 
 
La calidad nunca es un accidente, siempre es 
resultado de un esfuerzo de la inteligencia 
 (John Ruskiin) 
 
 
ESTOS EJERCICIOS SON DE LA ARITMÉTICA BALDOR. DEBEN 
JUSTIFICAR LA RESPUESTA