Hoja3_sucesiones_series

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Ejercicios de Cálculo
Sucesiones y series numéricas
Hoja de Ejercicios - Sucesiones y series numéricas
Ejercicio 1. Determinar el carácter de la sucesión an en función del valor del parámetro a:
an =
(
n + a
n + 1
)2n+2
a ∈ R
Ejercicio 2. Calcular el siguiente límite:
lı́m
n→∞
1
n
(
1 + 16 + 81 + 256 + · · ·+ n4
n4
)
Ejercicio 3. Comprobar razonadamente si las sucesiones {an} y {bn}, indicadas a continuación, son equivalentes.
an = 1 +
1
2
+
1
3
+ · · · 1
n
bn = log(n + 1)
Ejercicio 4. Determinar el valor del parámetro k ∈ R+, para que las sucesiones {an} y {bn} sean equivalentes:
{an} = 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 {bn} = kn3
Ejercicio 5. Estudiar el carácter de la serie:
∞
∑
n=1
n2
(n + 1)!
Ejercicio 6. Estudiar el carácter de la serie en función del valor del parámetro a:
∞
∑
n=1
n2 + 1
n · an
Ejercicio 7. Estudiar el carácter de la serie:
∞
∑
n=1
(−1)n · 2n
3n−2
Ejercicio 8. Demostrar que si |a| < 1, la serie es absolutamente convergente:
∞
∑
n=1
an log n
n
Ejercicio 9. Dada la serie de términos positivos, enunciar y comprobar la condición necesaria de convergencia y
estudiar su carácter
∑
n≥1
nn
3n · n!
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
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Ejercicios de Cálculo
Sucesiones y series numéricas
Ejercicio 10. Estudiar el carácter de la serie aplicando el criterio de comparación por paso al límite:
∞
∑
n=1
log
(
2n
2n + 1
)
Ejercicio 11. Estudiar razonadamente la convergencia de las series:
a.)
∞
∑
n=1
(−1)n−1 n
n2 + 1
b.)
∞
∑
n=1
(n!)2
(2n)!
x2n, x ∈ R
Ejercicio 12. Dada la serie:
∞
∑
n=1
n3
4n xn
a. Determinar el radio de convergencia
b. Hallar el intervalo de convergencia
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Ejercicios de Cálculo
Sucesiones y series numéricas
Sol. Ejercicio. 1.
Se procede al cálculo del límite en el infinito:
lı́m
n→∞
an = lı́m
n→∞
(
n + a
n + 1
)2n+2
= {1∞} (indeterminación)
, que da lugar a una indeterminación del tipo 1∞. Por lo tanto, se
toman logaritmos para su resolución:
log L = lı́m
n→∞
log
(
n + a
n + 1
)2n+2
= lı́m
n→∞
(2n+ 2) log
(
n + a
n + 1
)
︸ ︷︷ ︸
Infinitésimo
∼ lı́m
n→∞
(2n+ 2)
(
n + a
n + 1
− 1
)
︸ ︷︷ ︸
Infinitésimo equiv.
=
= lı́m
n→∞
(2n+ 2) · n + a− (n + 1)
n + 1
= lı́m
n→∞
(2n + 2)(a− 1)
n + 1
= (a− 1) lı́m
n→∞
2n + 2
n + 1
= 2(a− 1)
Deshaciendo el logaritmo se obtiene el valor del límite:
log L = 2(a− 1)⇒ L = e2(a−1)
Se deduce por lo tanto que la sucesión será convergente para cual-
quier valor de a real finito, o bien cuando a = −∞. La serie será
divergente con a = +∞.
Sol. Ejercicio. 2.
Para la resolución de este ejercicio se aplicará el criterio de Stolz:
λ = lı́m
n→∞
an+1 − an
bn+1 − bn
llamando an = 1 + 16 + · · · + n4 y bn = n4, y considerando que
dicho criterio es de aplicación, ya que la sucesión bn es monótona
divergente. Por lo tanto, se tiene que:
• an+1 − an = (1 + 16 + 81 + · · ·+ n4 + (n + 1)4)− (1 + 16 + 81 + · · ·+ n4) = (n + 1)4
• bn+1 − bn = (n + 1)4 − n4
Entonces:
λ = lı́m
n→∞
1
n
· (n + 1)4
(n + 1)4 − n4 = lı́m
n→∞
1
n
· (n + 1)4
(n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1)− n4 =
lı́m
n→∞
1
n
· (n + 1)4
4n3 + 6n2 + 4n + 1
∼ lı́m
n→∞
n4
4n4 =
1
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Ejercicios de Cálculo
Sucesiones y series numéricas
Sol. Ejercicio. 3.
Para la resolución de este ejercicio se aplicará el criterio de Stolz:
λ = lı́m
n→∞
an − an−1
bn − bn−1
tomando an = 1 + 1
2 + 1
3 + · · · + 1
n y bn = log(n + 1), y consi-
derando que dicho criterio es de aplicación, ya que la sucesión bn es
monótona divergente. Por lo tanto, se tiene que:
• an− an−1 = (1+
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
n− 1
+
1
n
)− (1+
1
2
+
1
3
+ · · · 1
n− 1
) =
1
n
• bn− bn−1 = log(n+ 1)− log(n) = log
n + 1
n
Entonces:
λ = lı́m
n→∞
1
n
log
(
n+1
n
) = lı́m
n→∞
1
n
log
(
1 +
1
n
)
︸ ︷︷ ︸
Infinitésimo
∼ lı́m
n→∞
1
n
1 +
1
n
− 1︸ ︷︷ ︸
Infinitésimo equivalente
= lı́m
n→∞
n
n
= 1
Dado que el valor del límite es 1, se puede concluir por lo tanto
que {an} y {bn} son sucesiones equivalentes.
Sol. Ejercicio. 4.
Se dice que dos sucesiones{an} y {bn} son equivalentes si se verifi-
ca que
lı́m
n→∞
an
bn
= 1
En este caso, escribimos dicho límite:
L = lı́m
n→∞
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2
kn3
La expresión del numerador sugiere la conveniencia de aplicar
el criterio de Stolz. Para ello, se comprueban las hipótesis de aplica-
ción. En este caso, se verifica que bn = kn3 , k ∈ R+ es monótona
divergente, y por lo tanto puede aplicarse Stolz:
L = lı́m
n→∞
an+1 − an
bn+1 − bn
= lı́m
n→∞
(12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 + (n + 1)2)− (12 + 22 + 32 + · · ·+ n2)
k [(n + 1)3 − n3]
=
=
1
k
· lı́m
n→∞
(n + 1)2
3n2 + 3n + 1
=
1
3k
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Ejercicios de Cálculo
Sucesiones y series numéricas
Para que ambas sean equivalente, ha de cumplirse que L = 1:
L =
1
3k
= 1⇔ k =
1
3
Ambas sucesiones serán equivalentes cuando k = 1
3
Sol. Ejercicio. 5.
Como primer paso, se comprueba la condición necesaria de conver-
gencia, por la que una serie será convergente sólo cuando el límite
de la sucesión que la origina es cero (no siendo cierto en general el
recíproco). En este caso, resulta inmediato comprobar que
lı́m
n→∞
n2
(n + 1)!
= 0
, por comparación de órdenes de infinitud de la potencial y el
factorial.
Se cumple la condición necesaria de convergencia, aunque aún no
es posible afirmar que la serie sea convergente. En este caso, dado
que se trata de una serie de términos positivos (el numerador está
elevado al cuadrado, y el denominado es un factorial), se aplicará
alguno de los criterios para este tipo de series. Aplicando el criterio
del cociente:
λ = lı́m
n→∞
an+1
an
= lı́m
n→∞
(n+1)2
(n+2)!
n2
(n+1)!
= lı́m
n→∞
(n + 1)2(n + 1)!
n2(n + 2)!
=
= lı́m
n→∞
(n + 1)2
n2(n + 2)
∼ lı́m
n→∞
n2
n3 = lı́m
n→∞
1
n
= 0
Dado que λ = 0 < 1, se concluye que la serie es convergente.
Sol. Ejercicio. 6.
En este caso, dado que se trata de una serie de términos positivos,
se aplicará alguno de los criterios para este tipo de series. Aplicando
el criterio del cociente, se tiene que:
λ = lı́m
n→∞
an+1
an
= lı́m
n→∞
(n+1)2+1
(n+1)·an+1
n2+1
(n·an)
= lı́m
n→∞
(
(n + 1)2 + 1
)
· (n · an)
(n2 + 1) · (n + 1) · an+1 =
= lı́m
n→∞
1
a
· n3 + 2n + 2n2
n3 + n2 + n + 1
∼ lı́m
n→∞
1
a
· n3
n3 =
1
a
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Ejercicios de Cálculo
Sucesiones y series numéricas
A continuación, se estudia en carácter de la serie en función de los
posibles valores de a:
• Si a > 1, entonces λ < 1, y por lo tanto la serie será conver-
gente
• Si a < 1, entonces λ > 1, y por lo tanto la serie será divergente
• Si a = 1, entonces: lı́m
n→∞
n2+1
n·an = ∞, y por lo tanto no cumple
la condición necesaria de convergencia, es decir, la serie también será
divergente.
Sol. Ejercicio. 7.
Se trata de una serie alternada. Un criterio de utilidad en estos
casos puede ser el criterio de Leibniz, por el cual, dada una serie
alternada de la forma ∑∞
n=1(−1)nan, ésta será convergente si se dan
dos condiciones de manera simultánea: i) que lı́m
n→∞
an = 0 y ii), que an
sea monónotona decreciente. Comprobemos ambas condiciones:
lı́m
n→∞
2n
3n−2 = 0
El límite es inmediato por comparación de órdenes de infinitud de
las funciones exponenciales de numerador (base menor) y denomina-
dor (base mayor).
La segunda condición es que an sea monótona decreciente. Si es
así, debe verificarse lo siguiente:
an+1
an
≤ 1⇒
2n+1
3n−1
2n
3n−2
≤ 1⇔ 2n+1 · 3n−2
2n · 3n−1 ≤ 1⇔ 2
3
< 1
Lo cual se cumple para cualquier valor de n, siendo por lo tanto
monótona estrictamente decreciente.
Por lo tanto, se concluye que la serie es convergente de acuerdo con
el criterio de Leibniz.
Alternativamente,
podemos considerar el teorema del valor absoluto, por el cual si
la serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.Para
ello, basta considerar la serie en valor absoluto y analizarla recu-
rriendo a alguno de los criterios para series de términos positivos. A
modo de ejemplo, aplicamos aquí el criterio de Cauchy (o de la raiz)
considerando el valor de L = lı́m
n→∞
n
√
|an|
L = lı́m
n→∞
n
√
|an| = lı́m
n→∞
n
√
2n
3n−2 = lı́m
n→∞
2
31− 2
n
=
2
3
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Ejercicios de Cálculo
Sucesiones y series numéricas
Como L < 1, se concluye que la serie es absolutamente convergente,
y por lo tanto, convergente (Fig. 1).
Figura 1: Representación gráfica de
las sumas parciales n-ésimas, desde
n = 1 hasta n = 20. Se muestra la
convergencia de la serie al valor −18/5.
Sol. Ejercicio. 8.
Una serie de términos cualesquiera es absolutamente convergente
si la serie de sus valores absolutos es convergente. Por lo tanto, se
analiza el carácter de la serie:
∑
n≥1
∣∣∣∣ an log n
n
∣∣∣∣ considerando |a| < 1
Se aplica a continuación el criterio del cociente para determinar su
carácter:
λ = lı́m
n→∞
∣∣∣∣ sn+1
sn
∣∣∣∣ = lı́m
n→∞
∣∣∣∣ an+1 log(n + 1)
n + 1
· n
an log n
∣∣∣∣ = lı́m
n→∞
∣∣∣∣ a · n log(n + 1)
(n + 1) log n
∣∣∣∣ =
= |a| · lı́m
n→∞
∣∣∣∣ n
n + 1
∣∣∣∣ · lı́m
n→∞
∣∣∣∣ log(n + 1)
log n
∣∣∣∣ = |a| · 1 · 1 = |a|
Por lo tanto, queda demostrado mediante el criterio del cociente
que si |a| < 1, entonces λ < 1 y por lo tanto la serie converge.
Sol. Ejercicio. 9.
La condición necesaria de convergencia dice que, dada la serie
Sn = ∑∞
n=1 an, si ésta es convergente, entonces lı́m
n→∞
an = 0. Se trata
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Ejercicios de Cálculo
Sucesiones y series numéricas
de una condición necesaria pero no suficiente. En este caso, resulta
de utilidad la aplicación de la Fórmula de Stirling para trabajar con el
factorial:
L = lı́m
n→∞
nn
3n · n!
→
[
∞
∞
]
⇒ L ∼ lı́m
n→∞
nn
3n
√
2πn
( n
e
)n = lı́m
n→∞
��nnen
��nn3n
√
2πn
= 0
(por comparación del orden de los infinitos de numerador y deno-
minador, ya que e < 3). Por lo que cumple la condición necesaria de
convergencia. Aún no puede asegurarse que la función sea conver-
gente.
En este caso, para determinar el carácter de la serie aplicaremos el
criterio del cociente. Así:
λ = lı́m
n→∞
an+1
an
= lı́m
n→∞
(n+1)n+1
3n+1·(n+1)!
nn
3n ·n!
= lı́m
n→∞
(n + 1)n+1 · 3n · n!
3n+1 · nn · (n + 1)!
=
= lı́m
n→∞
(n + 1)n
3nn =
1
3
lı́m
n→∞
(
n + 1
n
)n
−→
[
1∞]
Se llega en este punto a una indeterminación del tipo 1∞, para la
cual tomaremos logaritmos. Se aplica después el infinitésimo equiva-
lente log(an) ∼ an − 1 cuando an → 1.
λ =
1
3
exp
{
lı́m
n→∞
log
(
n + 1
n
)n}
∼ 1
3
exp
{
lı́m
n→∞
n
(
n + 1
n
− 1
)}
=
=
1
3
exp
{
lı́m
n→∞
n
n
}
=
e
3
Siguiendo con el criterio del cociente, dado que λ < 1 podemos
concluir que la serie es convergente.
Sol. Ejercicio. 10. Como primer paso, analizamos la condición nece-
saria de convergencia:
lı́m
n→∞
log
(
2n
2n + 1
)
= log(1) = 0
No puede descartarse por lo tanto la convergencia de la serie.
Aplicamos por lo tanto el criterio de comparación por paso al lími-
te, tal y como se pide en el enunciado. En este caso, tomemos por
ejemplo la serie armónica, que como sabemos es divergente:
∞
∑
n=1
1
n
⇔ bn =
1
n
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Ejercicios de Cálculo
Sucesiones y series numéricas
En aplicación de la fórmula de paso al límite, desarrollamos la
expresión para determinar el valor de L:
L = lı́m
n→∞
an
bn
= lı́m
n→∞
log
( 2n
2n+1
)
1
n
= lı́m
n→∞
n
log
(
2n
2n + 1
)
︸ ︷︷ ︸
an→1
 ∼ lı́m
n→∞
n
(
2n
2n + 1
− 1
)
=
= lı́m
n→∞
−n
2n + 1
=
−1
2
Como L es un número real finito diferente de cero, podemos afir-
mar que el caracter de la serie an y bn es el mismo, y por lo tanto la
serie an es divergente.
Sol. Ejercicio. 11. a.) Dado que se trata de una serie de términos
positivos (la x se encuentra elevada al cuadrado), se aplica uno
de los criterios conocidos para este tipo de series. En este caso se
utiliza el criterio del cociente:
an+1
an
=
(n + 1)2 · (2n)! · x2
(2n + 2)!
=
(n + 1)2 · (2n)! · x2
(2n + 2) (2n + 1) (2n)!
=
n2 + 2n + 1
4n2 + 6n + 2
· x2
Por lo tanto,
λ = lı́m
n→∞
an+1
an
= lı́m
n→∞
n2 + 2n + 1
4n2 + 6n + 2
· x2 =
x2
4
La serie sólo será convergente para valores de λ < 1, esto es:
x2
4
< 1⇒ x2 < 4⇒ |x| < 2
Así, la serie será divergente para ∀x 6∈ (−2, 2)
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Ejercicios de Cálculo
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Queda por dilucidar el comportamiento de la serie para x =
±2. En este caso λ = 1 y el criterio del cociente no decide. Sin
embargo, puede demostrarse que el término
an+1
an
es mayor que 1
para cualquier valor de n:
an+1
an
(con x = ±2) =
4n2 + 8n + 4
4n2 + 6n + 2
⇒
4n2 + 8n + 4 > 4n2 + 6n + 2
2n > −2
n > −1
lo cual se cumple ∀n ∈N y por lo tanto la serie diverge.
Alternativamente, se puede recurrir en estos casos al criterio de
Raabe:
L = lı́m
n−∞
n
(
1− an+1
an
)
= lı́m
n→∞
(
1−
(
n2 + 2n + 1
)
x2
4n2 + 6n + 2
)
= lı́m
n→∞
−2n2
4n2 =
−1
2
Al ser L < 1, se concluye que la serie es divergente para x = ±2.
b.) Se trata de una serie alternada. Por lo tanto, aplicaremos el cri-
terio de Leibniz. Comprobamos las condiciones del Teorema de
Leibniz:
Primero, el límite de la sucesión an (prescindiendo de la alternan-
cia de signo) ha de ser cero:
lı́m
n→∞
n
n2 + 1
= 0
por comparación de órdenes de infinitud del numerador (poten-
cial orden 1) y denominador (potencial de orden 2).
Segundo, la sucesión an ha de ser decreciente. En este caso, se
cumple esta segunda condición, por ser un cociente de dos po-
linomios positivos, siendo el del denominador de mayor grado
que el del numerador. Así, siendo decreciente, se considera la
siguiente desigualdad:
n
n2 + 1
>
n + 1
(n + 1)2 + 1
Que demostramos operando sobre la misma:
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Ejercicios de Cálculo
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n
[
(n + 1)2 + 1
]
> (n + 1)(n2 + 1)
n3 + 2n2 + n + 1 > n3 + n2 + n + 1
2n2 > n2
2 > 1
Dado que se cumplen ambas condiciones, se puede concluir por
el Teorema de Leibniz que la serie es convergente. Cabe recordar
que el criterio de Leibniz proporciona una condición suficiente
(pero no necesaria) de convergencia.
Sol. Ejercicio. 12. a. Se estudia la convergencia absoluta de la serie
empleando el criterio de d’Alembert:
L = lı́m
n→∞
|an+1|
|an|
= lı́m
n→∞
∣∣∣ (n+1)3·xn+1
4n+1
∣∣∣∣∣∣ n3·xn
4n
∣∣∣ = lı́m
n→∞
∣∣4n · (n + 1)3 · xn+1
∣∣
|4n+1 · n3 · xn|
=
= |x| lı́m
n→∞
(n + 1)3
4 · n3 =
|x|
4
Para que la serie sea convergente de acuerdo con el criterio del
cociente, el valor de L debe ser menor que uno:
|x|
4
< 1⇔ |x| < 4
Siendo por lo tanto el radio de convergencia R = 4
b. Para calcular el intervalo de convergencia habrá que estudiar
el carácter de la serie en los extremos del intervalo, x = −4 y
x = 4. En este caso, basta con analizar la condición necesaria de
convergencia:
Para x = −4:
lı́m
n→∞
n3 · (−4)n
4n = lı́m
n→∞
(−1)nn3 (no existe el límite, serie oscilante)
lı́m
n→∞
n3 · 4n
4n = lı́m
n→∞
n3 = ∞ (serie divergente)
Por lo tanto, la serie será convergente dentro del intervalo I =
(−4, 4).
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