Aplicação do Álgebra Linear na Engenharia Civil

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UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC. 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
ALGEBRA LINEAL APLICADA EN LA INGENIERÍA CIVIL. 
Víctor Serpa, Pablo Fontalvo, Ángel Ospino. 
Universidad de la Costa, CUC 
 
RESUMEN 
En el presente trabajo demostraremos la 
utilización del algebra lineal en la 
ingeniería civil, la importancia que este 
tiene. Esta área es viable para la solución 
de diversos problemas que cualquier 
ingeniero pueda afrontar, y como una de su 
cualidad es ingeniárselas para buscarle la 
solución, como la matriz y el método de 
Gauss-Jordan, el problema consiste en 
calcular las medidas de unos pilotes que se 
necesitan para producción de un cimiento 
de una edificación. 
Palabras claves: Ingeniería Civil, 
Cimiento, Pilotes, Gauss-Jordan, 
Edificación. 
Abstract 
In the present work we will demonstrate 
the use of linear algebra in civil 
engineering, the importance that this has. 
This area is viable for the solution of 
various problems that any engineer can 
face, and as one of its quality is to manage 
them to find the solution, such as the 
matrix and the Gauss-Jordan method, the 
problem is to calculate the measurements 
of some piles that are needed for the 
production of a foundation of a building. 
. 
 
 
 
Key words: Civil Engineering, 
Foundation, Piles, Gauss-Jordan, 
Edification. 
 
 
I-INTRODUCCION 
Las matrices tienen diversas aplicaciones 
en la ingeniería civil en cada uno de los 
campo de esta carrera como en el cálculo 
estructural para analizar la capacidad de 
carga y el diseño de elementos; en tránsito 
para generar matrices de información en la 
planificación de transporte y aforos y 
conteo vehiculares; en topografía para 
realizar resúmenes de datos y cuadricular 
terrenos para curvas de nivel; en dibujo 
asistido por computadora en el software 
AutoCAD; en estática para resolver 
problemas de equilibrio en el espacio en 
3D con operaciones vectoriales; en 
hidráulica para hacer referencias del 
estudio de la pérdida de energía por 
accesorios (circuito cerrado) y en el 
análisis, diseño y distribución de caudales 
para la población; en análisis numérico 
para resolver sistemas de ecuaciones 
lineales; en costo y presupuesto en una 
construcción y en los materiales. En este 
proyecto queremos probar la aplicación de 
algebra lineal en el tema de matrices para 
la carrera y la importancia que este tiene. 
 
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FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
 
II-MARCO TEORICO 
-Algebra Lineal 
Se conoce como álgebra lineal a la 
especialización del álgebra que trabaja con 
matrices, vectores, espacios vectoriales y 
ecuaciones de tipo lineal. Es correcto decir 
que el álgebra lineal es un área activa que 
se conecta con otras tantas, algunas de la 
cuales no pertenecen a las matemáticas, 
como ser las ecuaciones diferenciales, el 
análisis funcional, la ingeniería, la 
investigación de operaciones y las gráficas 
por ordenador. Asimismo, áreas de las 
matemáticas como ser la teoría de los 
módulos o el álgebra multilineal han sido 
desarrolladas a partir del álgebra lineal. 
-Ingeniería civil. 
La ingeniería civil es la disciplina de la 
ingeniería profesional que emplea 
conocimientos de cálculo, mecánica 
hidráulica y física para encargarse del 
diseño, construcción y mantenimiento de 
las infraestructuras emplazadas en el 
entorno, incluyendo carreteras, 
ferrocarriles, puentes, canales, presas, 
puertos, aeropuertos, diques y otras 
construcciones relacionadas. 
-Matriz 
Una matriz es un arreglo bidimensional de 
números, ubicados en filas y columnas. 
 
 Grafica 1. Matriz 
Los elementos individuales de una matriz 
𝑀 ×𝑁 a menudo denotados por ai y aj. 
Pueden sumarse, multiplicarse y 
descomponerse de varias formas, lo que 
también las hace un concepto clave en el 
campo del álgebra lineal. 
-Matrices en la vida diaria 
Las matrices son utilizadas principalmente 
en problemas matemáticos, física, cálculos 
lineales, etc., además actualmente es un 
componente esencial en el lenguaje de 
programación ya que la mayoría de 
ordenadores como tablas organizadas en 
filas y columnas: hojas de cálculo, bases 
de datos y en el estudio de las canónicas. 
En la vida diaria el concepto de matrices 
es de gran relevancia, ya que las matrices 
se usan como contenedores para 
almacenar datos relacionados. 
Principalmente las matrices en la 
ingeniería son utilizadas como: 
 
• Análisis de estructuras. 
• Manejo de informaciones fundamentales 
• Llevar a cabo proyectos de desarrollo 
sistematizados. 
• Un mejor control de perfil técnico. 
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• Formula una partida teórica. 
• Almacenamiento de información óptica 
en sistemas de diseños. 
-Método de Gauss 
 
El método de Gauss consiste en 
transformar un sistema de 
ecuaciones en otro equivalente de 
forma que este sea escalonado. 
Para facilitar el cálculo vamos a 
transformar el sistema en una 
matriz, en la que pondremos los 
coeficientes de las variables y los 
términos, independientes 
(separados por una recta). 
 
 Grafica 3. 
Método Gauss. 
 
-Método de Gauss-Jordan 
 
El método de Gauss-Jordan utiliza 
operaciones con matrices para resolver 
sistemas de ecuaciones de n número de 
variables. Para aplicar este método solo 
hay que recordar que cada operación que 
se realice se aplicara a toda la fila o a toda 
la columna en su caso. El objetivo de este 
método es tratar de convertir la parte de la 
matriz donde están los coeficientes de las 
variables en una matriz identidad. Esto se 
logra mediante simples operaciones de 
suma, resta y multiplicación. 
 
 
 
III- PROBLEMA. 
Un ingeniero necesita realizar una 
cimentación para poder transmitir las 
carga de la edificación del proyecto, Se 
conoce que utilizaron pilares, que se 
operaran en las capas más profundas del 
suelo. Se desea diseñar los pilares con unas 
medidas que contiene un volumen de 
30m3. Si las tres medidas de A, B y C 
entonces la medias A es el doble de B, y 
que las tres medidas llenan sus capacidad 
y que las dos primeras llenan hasta la 
mitad ¿Qué medida tiene cada pilar? 
Imagen 1. 
 
IV-CALCULO Y ANALISIS DE 
DATOS 
X= medida del pilote A 
Y= medida del pilote B 
Z= medida del pilote C 
Teniendo en cuenta las condiciones dadas 
por el problema, estas son las ecuaciones 
planteadas: 
𝑥 = 2𝑦
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 30
𝑥 + 𝑦 = 15
 
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Transformamos el sistema de ecuaciones 
en una matriz: 
 
 
𝐹2−𝐹1
𝐹3−𝐹1
 
 
(−1) ∗ 𝐹2 
 
 
 
𝐹1−2𝐹2
𝐹3+𝐹2
 
 
(−1) ∗ 𝐹3 
 
 
𝐹1 − 2𝐹3
𝐹2 − 𝐹3
 
 
𝑥 = 30
𝑦 = −15
𝑧 = 15
 
Entonces tenemos que el pilote A=30m3, el 
pilote B= -15m3, el pilote C= 15m3. 
 
V-CONCLUSIÓN 
Ya habiendo visto lo anterior sabemos que 
las matrices pueden ser empleadas de 
muchas maneras en la ingeniería civil, ya 
sea desde calcular la capacidad de carga, 
hasta la distribución de caudales para una 
población, pues las matrices nos permiten 
hacer estos diversos cálculos para lo que 
necesitemos, también debido a sus 
estructuras y que al ser únicamente 
formadas por números reales, pueden 
facilitarse las cosas de una u otra manera, 
y para nuestro proyecto esta fue una 
conclusión en lo que para nuestra carrera 
las matrices nos pueden ayudar. 
 
VI-REFERENCIAS 
 https://es.wikipedia.org/wiki/Inge
nier%C3%ADa_civil 
 https://definicion.de/algebra-
lineal/ 
 https://es.wikipedia.org/wiki/Inge
nier%3%ADa_civil 
 https://es.wikipedia.org/wiki/Matr
iz_(matem%C3%A1ticas) https://www.vitutor.com/algebra/s
istemas%20I/gauss.html 
 http://juliotovar.wixsite.com 
matrices 
 https://www.youtube.com/watch?
v=FaszUWime_Y 
 https://es.wikipedia.org/wiki/%C3
%81lgebra_lineal algebra lineal 
 https://matematica.laguia2000.co
m/general/metodo-de-gauss-
jordan Gauss Jordan