Funciones Exponenciais e Logarítmicas

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624	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
Problemas de desafío
En	los	ejercicios	93-96,	cuando	despejes	para	la	variable,	dada,	escribe	la	respuesta	sin	utilizar	el	logaritmo	natural.
 93. Velocidad La distancia recorrida por un tren que original-
mente se mueve a una velocidad 0 después de que su motor
 se apaga se puede calcular por la fórmula x =
1
k
 ln (k0t 1 1).
 Despeja 0 de la ecuación.
 94. Intensidad de la luz La intensidad de la luz conforme pasa 
a través de ciertos medios puede determinarse mediante la 
fórmula x 5 k(ln I0 2 ln I). Despeja I0 de la ecuación.
 95. Circuito eléctrico Una ecuación relacionada con la corrien-
te y el tiempo en un circuito eléctrico es ln i - ln I =
- t
RC
. 
Despeja i de la ecuación.
 96. Molécula Una fórmula utilizada en el estudio de la acción 
de una molécula de proteína es ln M 5 ln Q 2 ln(1 2 Q). 
Despeja Q de la ecuación.
función y 5 15.29 1 5.93 ln x se puede usar para estimar la 
mediana de la estatura de niños con edades de 3 a 36 meses. 
Utiliza esta función para calcular la mediana de la estatura 
de niños con edades de a) 18 y b) 30 meses.
P
ul
ga
da
s
20
10
5
0
30
25
15
35
40
45
0 6 12 18 24 36
Meses
Niños
Fuente: Newsweek
95o
50o
5o
30
 84. Pesos de las niñas El área sombreada de la siguiente gráfica 
muestra el intervalo normal (del percentil 5 al 95) de peso 
para niñas de hasta 36 meses de edad. La mediana, o per-
centil 50, de pesos se indica con una línea azul. La función 
 y 5 3.17 1 7.32 ln x se puede utilizar para estimar la mediana 
del peso de niñas con edades de 3 a 36 meses. Usa esta fun-
ción para estimar la mediana del peso de niñas con edades de 
a) 18 y b) 30 meses.
L
ib
ra
s
10
0
20
30
40
0 6 12 18 24 36
Meses
Niñas
Fuente: Newsweek
95o
50o
5o
30
 85. Decaimiento radiactivo El uranio 234 (U-234) decae expo-
nencialmente a una tasa de 0.0003% por año. Así, la fórmula A 5 
A0e
20.000003t se puede usar para determinar la cantidad de U-234 
restante a partir de una cantidad inicial A0, después de t años.
 a) Si se tenían 1000 gramos de U-234 en el 2010, ¿cuántos 
gramos quedarán en el 2110, 100 años después?
 b) Determina la vida media del U-234.
 86. Decaimiento radiactivo El plutonio, el cual se usa común-
mente en los reactores nucleares, decae exponencialmente a 
una tasa de 0.003% por año. La fórmula A 5 A0e
kt se puede 
utilizar para determinar la cantidad de plutonio restante a 
partir de una cantidad inicial A0, después de t años. En la 
fórmula, la k se reemplaza por 20.00003.
 a) Si en el 2009 había 1000 gramos de plutonio, ¿cuántos 
gramos quedarán en el 2109, es decir, al cabo de 100 años?
 b) Determina la vida media del plutonio.
 87. Datación de carbono La datación de carbono se usa para es-
timar la edad de plantas y objetos antiguos. El carbono 14 es el 
elemento radiactivo que más comúnmente se utiliza para este 
propósito. El carbono 14 decae exponencialmente a una tasa de 
0.01205% por año. La cantidad de carbono 14 que queda en un 
objeto después de t años se puede determinar mediante la fun-
ción f(t) 5 0e
0.0001205t, donde 0 es la cantidad inicial presente.
 a) Si originalmente el hueso de un animal antiguo posee 20 
gramos de carbono 14, y cuando es encontrado solamente 
posee 9 gramos de carbono 14, ¿cuál es la edad del hueso?
 b) ¿Cuál es la edad de un objeto que conserva 50% del 
total de carbono 14 que poseía originalmente?
 88. Interés compuesto ¿A qué tasa de interés compuesto de 
forma continua debe invertirse una suma de dinero para que 
se tenga el doble de la cantidad en 13 años?
 89. Interés compuesto ¿Cuánto dinero debe depositarse hoy 
para obtener $20,000 en 18 años a una tasa de 6% de interés 
compuesto de forma continua?
 90. Radioisótopo La fuente de energía de un satélite es un ra-
dioisótopo. La potencia P, en watts, que le resta a la fuente 
de energía es una función del tiempo que el satélite ha es-
tado en el espacio.
 a) Si en un inicio había 50 gramos del radioisótopo, la po-
tencia restante después de t días es P 5 50e20.002t. Deter-
mina la potencia restante después de 50 días.
 b) ¿Cuándo la potencia restante en la fuente caerá a 10 watts?
 91. Decaimiento radiactivo Durante el accidente nuclear en 
Cher no byl, Ucrania, en 1986, dos de los materiales radiacti-
vos que escaparon a la atmósfera fueron cesio 137, con tasa 
de decaimiento de 2.3%, y estroncio 90, con tasa de decai-
miento de 2.8%.
 a) ¿Qué material se descompone más rápido? Explica.
 b) ¿Cuál es el porcentaje de cesio que quedará en 2036, es 
decir, a 50 años del accidente?
 92. Datación radiométrica En un estudio de datación radio-
métrica (que utiliza isótopos radiactivos para determinar la 
edad de los objetos), con frecuencia se utiliza la fórmula
t =
th
0.693
 ln ¢N0
N
≤
 En la fórmula, t es la edad del objeto, th es la vida media 
del isótopo radiactivo usado N0 es el número original de los 
átomos radiactivos presentes y N es el número de átomos 
restantes después de transcurrido un tiempo t. Supón que 
una roca originalmente contenía 5 3 1012 átomos de uranio 
238. Uranio 238 tiene una vida media de 4.5 3 109 años. Si 
en la época actual la roca solo tiene 4 3 1012 átomos, ¿cuál 
es la edad de la roca?
	 Resumen	 625
Ejercicios de repaso acumulados
[3.3	]	 97.	 Sea	h1x2 =
x2 + 4x
x + 6
. 	Determina	a)	h(24)	y	b)	ha2
5
b .
[4.3]	 98.	 	Boletos	 El	 boleto	 de	 admisión	 para	 un	 juego	 de	
hockey	sobre	hielo	cuesta	$15	para	adultos	y	$11	para	
niños.	Si	se	vendieron	un	total	de	550	boletos,	deter-
mina	cuántos	boletos	para	niño	y	cuántos	para	adulto	
se	vendieron,	si	la	recaudación	total	fue	de	$7290.	
[5.2]	 		99.	 	Multiplica	(3xy2	1	y)(4x	2	3xy).
[5.6]	 100.	 	Determina	dos	valores	de	b	para	que	4x2	1	bx	1	25	
sea	un	trinomio	cuadrado	perfecto.
[7.4]	 101.	Multiplica	13 x A23 x2 + 23 x5 B . 	 	
Resumen del capítulo 9
HecHos y conceptos importantes eJempLos
sección 9.1 
La	función	compuesta	(f		°		g)(x),	está	definida	como
(f		°		g)(x)	5	f [g(x)]
Dada	f(x)	5	x2	1	3x	2	1	y	g(x)	5 x	2	4,	entonces
 = x2 + 3x - 5
 1g f21x2 = g[f1x2] = 1x2 + 3x - 12 - 4
 = x2 - 5x + 3
 = x2 - 8x + 16 + 3x - 12 - 1 
 1f g21x2 = f[g1x2] = 1x - 422 + 31x - 42 - 1
Una	función	es	una	función	uno	a	uno,	si	cada	elemento	en	el	
rango	 corresponde	 con	 exactamente	 un	 elemento	 en	 el	 do-
minio.
El	conjunto	{(1,	3),	(22,	5),	(6,	2),	(4,	21)}	es	una	función	uno	
a	 uno,	 ya	 que	 cada	 elemento	 en	 el	 rango	 corresponde	 con	 	
exactamente	un	elemento	en	el	dominio.	
Para	que	una	función	sea	uno	a	uno,	su	gráfica	debe	cumplir	el	
criterio	 de	 la	 recta	 vertical	 (para	 asegurar	 que	 sea	 una	 fun-
ción)	y	el	criterio	de	 la	 recta	horizontal	 (para	comprobar	el	
criterio	de	uno	a	uno).	
y
x
No es una función
uno a uno
y
x
Función uno a uno
	
Si	f(x)	es	una	función	uno	a	uno	con	pares	ordenados	de	la	forma	
(x,	y),	su	función	inversa,	f21(x),	es	una	función	uno	a	uno	con	
pares	ordenados	de	la	forma	(y,	x).	Solo	las	funciones	uno	a	
uno	tienen	funciones	inversas.
para determinar la función inversa de una función uno 
a uno
	 1.	 Reemplaza	 f (x)	por	y.
	 2.	 Intercambia	las	dos	variables	x	y	y.
	 3.	 Despeja	y	de	la	ecuación.
	 4.	 	Reemplaza	y	por	f 21(x)	(esto	proporciona	la	función	inversa	
mediante	la	notación	de	función	inversa).	
Determina	la	función	inversa	para	f (x)	5	2x	1	5.	Grafica	f (x)	y	
f 21(x)	en	el	mismo	conjunto	de	ejes.
Solución:
o f-11x2 =
1
2
 x -
5
2
 
1
2
 x -
5
2
= y
 x - 5 = 2y
 x = 2y + 5
 y = 2x + 5
 f1x2 = 2x + 5
4
3
6
5
2
1
4
3
6
5
8
7
2
1
432 765 9814 36 5 2 1
y
x
f(x)
y � x
f �1(x)
		
626	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
HECHOS y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 9.1 (cont.)
Si dos funciones f (x) y f 21(x) son inversas una de la otra, 
( f ° f 21)(x) 5 x y ( f 21 ° f	)(x) 5 x. 
Dado el ejemplo anterior con f	(x) 5 2x 1 5 y 
f-11x2 =
1
2
 x -
5
2
, entonces
y
 = x +
5
2
-
5
2
= x
 1f-1f21x2 = f-1[f1x2] =
1
2
 12x + 52 -
5
2
 = x - 5 + 5 = x
 1f f-121x2 = f[f-11x2] = 2a1
2
 x -
5
2
b + 5
Sección 9.2 
Para cualquier número real a . 0 y a  1,
f	(x) 5 ax o y 5 ax
 es una función exponencial.
Para todas las funciones exponenciales de la forma y 5 ax o 
f	(x) 5 ax, donde a . 0 y a  1,
 1. El dominio de la función es (2q, q).
 2. El rango de la función es (0, q).
 3. La gráfica de la función pasa por los puntos a -1, 
1
a
b , (0, 1) 
y (1, a). 
Gráfica y 5 3x. 
Sección 9.3 
Logaritmos
Para x . 0 y a . 0, a  1 
y 5 loga x significa x 5 ay
número exponente
base
significa
basenúmero
x = ayy = loga x
logaritmo
1exponente2
 
Funciones logarítmicas
Para todas las funciones logarítmicas de la forma y 5 loga	x o 
f	(x) 5 loga	x, donde a . 0 y a  1 y x . 0,
 1. El dominio de la función es (0, q).
 2. El rango de la función es (2q, q).
 3. La gráfica de la función pasa por los puntos a 1
a
, -1b , (1, 0), 
y (a, 1). 
Gráfica y 5 log4 x.
1
1
2
4
y
x
3
2
4
54
3
6 7 82 311
y � log4x
 
x	 y	
22 1/9 
21 1/3
 0 1 
 1 3 
 2 9 
1
2
3
4
8
7
6
y
x1
2
1
5
2 3 42 14 3
Forma	exponencial	 Forma	logarítmica	
92 5 81 log9 81 5 2
a1
4
b
3
=
1
64
 log1>4 
1
64
= 3
	 Resumen	 627
HECHOS y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 9.3 (cont.)
Características de las funciones exponenciales 
y logarítmicas
y 5 ax y y 5 loga	x son funciones inversas. 
Gráfica y 5 3x y y 5 log3 x en el mismo conjunto de ejes.
 
�1
1
2
4
y
x
�3
�2
�4
54
3
2 31�1
y � log3x
y � 3x
Sección 9.4 
Regla del producto para logaritmos
Para números reales positivos x, y y a, a  1,
 loga xy = loga x + loga y Propiedad 1	
log7 mn = log7 m + log7 n
log5 19 # 132 = log5 9 + log5 13
Regla del cociente para logaritmos
Para números reales positivos x, y y a, a  1,
 loga 
x
y
= loga x - loga y Propiedad 2 
log8 
z + 1
z + 3
= log8 1z + 12 - log8 1z + 32
log3 
15
4
= log3 15 - log3 4
Regla de la potencia para logaritmos
Si x y a son números reales positivos, a  1, y n es cualquier 
número real, entonces
 loga x
n = n loga x Propiedad 3	 log613 x + 4 = log6 1x + 421>3 =
1
3
 log6 1x + 42
log9 235 = 5 log9 23
Propiedades adicionales de los logaritmos
Si a . 0 y a  1, entonces
 loga a
x = x Propiedad 4
 y aloga x = x 1x 7 02 Propiedad 5 7log7 3 = 3
log4 16 = log4 4
2 = 2
Sección 9.5 
Logaritmo común
Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos comunes.
log x significa log10 x.
El logaritmo común de un número real positivo es el exponente 
al cual la base 10 se eleva para obtener el número.
Si log N 5 L, entonces 10L 5 N.
Para determinar un logaritmo común, utiliza una calculadora 
científica o graficadora. Te sugerimos redondear la respuesta 
a cuatro decimales. 
log 17 significa log10 17
log (b 1 c) significa log10 (b 1 c)
Si log 14 L 1.1461, entonces 101.1461 L 14. 
Si log 0.6 L 20.2218, entonces 1020.2218 L 0.6. 
log 183 L 2.2625
log 0.42 L 20.3768 
Potencias de 10
Si log x 5 y entonces x 5 10y
Para determinar potencias de 10, utiliza una calculadora cientí-
fica o graficadora. 
Si log 1890.1662 L	3.2765, entonces 103.2765 L 1,890.1662.
Si log 0.0143 L 21.8447, entonces 1021.8447 L 0.0143. 
Función	exponencial	 Función	logarítmica	
y 5 ax (a . 0, a  1) y	5	loga	x	(a	.	0,	a		1)
Dominio: (2q, q) (0, q)
Rango: (0, q) (2q, q)
Puntos en la gráfica:
a -1, 
1
a
b
10, 12
11, a2
t
 
d
a 1
a
, -1b
11, 02
1a, 12
x se transforma 
en y
x se transforma 
en y
628	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
HECHOS y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 9.6 
Propiedades para resolver ecuaciones exponenciales 
y logarítmicas
 a) Si x 5 y, entonces ax 5 ay.
 b) Si ax 5 ay, entonces x 5 y.
 c) Si x 5 y, entonces logb	x 5 logb y (x . 0, y . 0).
 d) Si logb	x 5 logb y, entonces x 5 y (x . 0, y . 0).
Propiedades 6a - 6d 
 a) Si x 5 5, entonces 3x 5 35.
 b) Si 3x 5 35, entonces x 5 5.
 c) Si x 5 2, entonces log x 5 log 2.
 d) Si log x 5 log 2, entonces x 5 2. 
Sección 9.7 
La función exponente natural es
f	(x) 5 ex
donde e L 2.7183
Logaritmos naturales son los logaritmos con base e. Los logarit-
mos naturales se indican mediante la notación ln.
Loge	x 5 ln x
Para x . 0, si y 5 ln x, entonces ey 5 x.
La función logaritmo natural es
g(x) 5 ln x
donde la base e L 2.7183.
Para aproximar los valores de exponentes naturales y de logarit-
mos naturales, utiliza una calculadora científica o graficadora.
La función exponencial natural, f	(x) 5 ex, y la función logaritmo 
natural, f	(x) 5 ln x, son inversas una de la otra. 
Gráfica f	(x) 5 ex y g(x) 5 ln x en el mismo conjunto de ejes.
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
4321�4 �3 �2 �1
y � x
f (x) � ex
g(x) � ln x
x
y
ln 5.83 L 1.7630
Si ln x 5 22.09, entonces x 5 e22.09 5 0.1237. 
Fórmula de cambio de base
Para cualquier logaritmo con bases a y b y número positivo x,
loga x =
logb x
logb a
 log5 98 =
log 98
log 5
L 2.8488
Propiedades de los logaritmos naturales
ln xy 5 ln x 1 ln y (x . 0 y y . 0) Regla del producto.
ln 
x
y
 5 ln x 2 ln y (x . 0 y y . 0) Regla del cociente
ln xn 5 n	ln x (x . 0) Regla de la potencia 
 nl m5 = 5 ln m
 nl 
x + 1
x + 8
= ln 1x + 12 - ln 1x + 82
7 nl # 30 = ln 7 + ln 30
Propiedades adicionales para expresiones con logaritmos 
naturales y exponenciales naturales
ln ex 5 x Propiedad 7
eln x 5 x, x . 0 Propiedad 8 
ln e19 5 19
	eln 2 5 2 
 Ejercicios de repaso del capítulo 9
[9.1]	 	 Dadas	f(x)	5	x2	2	3x	1	4	y	g(x) 5	2x	2	5,	determina	lo	siguiente.
 1. 1f g21x2 2. 1f g2132 3. 1g f21x2 4. 1g f21-32
Dadas	f(x)	5	6x	1	7	y	g1x2 = 1x - 3, x Ú 3,	determina	lo	siguiente.
 5. 1f g21x2 6. 1g f21x2