Gráficas y Funciones

Vista previa del material en texto

180	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
h1x2 = -  
2
5
 x + 4h1x2 = -  
3
4
 x + 2g1x2 =
2
3
 x - 4f x1 2 = -2x + 1
m =
2
3
,
4
3
,
y = -  
3
2
 x
Usa la pendiente y el valor en donde se intersecta el eje y para graficar cada función.
 49. 50. 51. 52. 
Resolución de problemas
 53. Dada la ecuación y  mx  b, para los valores m y b, relaciona los incisos a)-d) con las gráficas apropiadas rotuladas del 1-4.
 a) m > 0, b < 0 b) m < 0, b < 0 c) m < 0, b > 0 d) m > 0, b > 0 
 1. 
x
y
 
 2. 
x
y
 
 3. 
x
y
 
 4. 
x
y
 
 54. Dada la ecuación y  mx  b, para los valores m y b, relaciona los incisos a)-d) con las gráficas apropiadas rotuladas del 1-4.
 a) m = 0, b > 0 b) m = 0, b < 0 c) m es indefinida, valor que intersecta el eje x < 0
 d) m es indefinida, valor que intersecta el eje x > 0
 1. 
x
y
 
 2. 
x
y
 
 3. 
x
y
 
 4. 
x
y
 
 55. Explica cómo puedes determinar (sin graficar) que las gráfi-
cas de dos ecuaciones son paralelas.
 56. ¿Cómo puedes determinar si dos rectas son paralelas?
 57. Si un punto en una gráfica es (6, 3) y la pendiente de la recta 
es determina el valor que intersecta al eje y en la gráfica.
 58. Si un punto en una gráfica es (9, 2) y la pendiente de la recta 
es determina el valor que intersecta al eje y en la 
gráfica.
 59. En la siguiente imagen, la recta en gris es el desplazamiento 
de la recta en azul.
�5
�6
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1 x
y
(0, �2)
 a) Determina la ecuación de la recta en azul.
 b) Usa la ecuación de la recta en azul para determinar la 
ecuación de la recta en gris.
 60. En la siguiente imagen, la recta en gris es el desplazamiento 
de la recta en azul.
�5
�4
�3
�2
�1
5
4
2
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1 x
y
(0, 3)
 a) Determina la ecuación de la recta en azul.
 b) Usa la ecuación de la recta en azul para determinar la 
ecuación de la recta en gris.
 61. La gráfica de y = x se desplaza hacia arriba 4 unidades. De-
termina
 a) la pendiente de la gráfica desplazada.
 b) el valor que intersecta al eje y en la gráfica desplazada.
 c) la ecuación de la gráfica desplazada.
 62. La gráfica de se desplaza hacia abajo 3 unidades. 
Determina
 a) la pendiente de la gráfica desplazada.
 b) el valor que intersecta el eje y en la gráfica desplazada.
 c) la ecuación de la gráfica desplazada.
	 Sección	3.4	La	forma	pendiente-intersección	de	una	ecuación	lineal	 181
 63. La gráfica de 3x  2y  6 es desplaza hacia abajo 4 unida-
des. Determina la ecuación de la gráfica desplazada.
 64. La gráfica de 3x  5y  15 se desplaza hacia arriba 3 uni-
dades. Determina la ecuación de la gráfica desplazada.
 65. Si la recta pasa por los puntos (6, 4) y (4, 2), determina el 
cambio de y con respecto al cambio de una unidad en x.
 66. Si la recta pasa por los puntos (3, 4) y (5, 2), determina 
el cambio de y con respecto al cambio de una unidad en x.
año Gastos	de	amtrak	(en	millones	de	dólares)
1995 $2257
2000 $2876
2004 $3133
2008 $3260
Fuente: Amtrak
Venta de televisores En los ejercicios 67 y 68, utiliza las gráficas 
siguientes. La gráfica a la izquierda muestra las ventas de televi-
sores digitales (en millones) y la gráfica a la derecha muestra las 
ventas de televisores análogos (en millones) del año 2004 al 2008.
 67. a) Para la gráfica de venta de televisores digitales, determina 
la pendiente del segmento de recta de 2005 a 2006.
 b) ¿Es positiva o negativa la pendiente del segmento de recta?
 c) Determina la razón de cambio promedio de 2004 a 2008.
 68. a) Para la gráfica de venta de televisores análogos, determina 
la pendiente del segmento de recta de 2005 a 2006.
 b) ¿Es positiva o negativa la pendiente del segmento de recta?
 c) Determina la razón de cambio promedio de 2004 a 2008.
 69. Gastos de Amtrak La siguiente tabla muestra los gastos, en 
millones de dólares, de Amtrak para determinados años.
 d) ¿Durante qué periodo tuvo lugar la mayor razón de cam-
bio? Explica.
 71. Ritmo cardiaco La siguiente gráfica de barras muestra el 
ritmo cardiaco máximo recomendado bajo estrés, en latidos 
por minuto, para hombres de diferentes edades. Las barras 
están conectadas por medio de una línea recta.
 a) Usa la línea recta para determinar una función que pueda 
ser usada para estimar el ritmo cardiaco máximo reco-
mendado, h, para 0  x  50, donde x es el número de 
años a partir de la edad de 20.
 b) Usando la función del inciso a), determina el ritmo car-
diaco máximo recomendado para un hombre de 34 años 
de edad.
Fuente: Sociedad Americana de Geriatría
Ritmo cardiaco vs. edad
R
it
m
o 
ca
rd
ia
co
 m
áx
im
o 
re
co
m
en
da
do
(l
at
id
os
 p
or
 m
in
ut
o)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20 30 40 50 60 70
Año
200
190
180
170
160
150
 72. Umbral de pobreza El umbral de pobreza es un estimado 
del ingreso familiar anual necesario para tener el estándar 
de vida mínimo aceptable. La siguiente gráfica de barras 
muestra el umbral de pobreza para una familia de cuatro 
integrantes para los años de 2003 a 2007.
$0
$18,000
$19,000
$20,000
$21,000
$22,000
In
gr
es
o 
fa
m
ili
ar
 a
nu
al
Umbral de pobreza en Estados Unidos para
una familia de cuatro integrantes
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos
2003 2004 2005 2006 2007
Año
$18,810
$21,203
 a) Determina una función lineal que pueda usarse para es-
timar el umbral de pobreza para una familia de cuatro 
integrantes, P, de 2003 a 2007. Sea t el número de años 
desde 2003.
 a) Traza estos puntos en una gráfica.
 b) Conecta estos puntos usando segmentos de recta.
 c) Determina las pendientes de cada uno de estos tres seg-
mentos de recta.
 d) ¿Durante qué periodo tuvo lugar la mayor razón de cam-
bio promedio? Explica.
 70. Demanda de acero La tabla de arriba a la derecha muestra 
la demanda mundial de acero, en millones de toneladas mé-
tricas, para los años de 2004 a 2007.
 a) Traza estos puntos en una gráfica.
 b) Determina la pendiente para cada segmento de recta.
 c) ¿Es esta gráfica un ejemplo de una función lineal? Explica.
año
Demanda	mundial	de	acero		
(en	millones	de	toneladas	métricas)
2004 950
2005 1029
2006 1121
2007 1179
Fuente: Instituto Internacional del Hierro y el Acero
10
20
30
40
V
en
ta
s 
(e
n 
m
ill
on
es
)
2004
7.3
19.7
31.0
1.3
3.04.7
10.1
23.5
31.5
35.6
2005 2006 2007 2008
00
Año
Venta de televisores digitales Venta de televisores análogos
Fuente: Asociación de consumidores de electrónicos
10
20
30
40
V
en
ta
s 
(e
n 
m
ill
on
es
)
2004 2005 2006 2007 2008
00
Año
182	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Supón que estás intentando graficar las siguientes ecuaciones y obtienes las imágenes que se muestran. Explica cómo sabes si has cometido 
un error al introducir cada ecuación. Se usó la configuración de la ventana estándar en cada gráfica.
 77. 
 
 78. 
 
 79. 
 
 80. 
 b) Usando la función del inciso a), determina el umbral de 
pobreza en 2004. Compara tu respuesta con la gráfica 
para ver si la gráfica apoya tu respuesta.
 c) Suponiendo que la tendencia continúe, determina el um-
bral de pobreza para una familia de cuatro integrantes en 
el año 2015.
 d) Suponiendo que la tendencia continúe, ¿en qué año el 
umbral de pobreza para una familia de cuatro integrantes 
alcanzará los $22,997.75?
 73. Salario de los profesores La siguiente gráfica muestra el sa-
lario de los profesores para el año escolar 2008-2009 en el 
sistema escolar del Condado Manatee, Florida, para profe- 
sores cuyo grado más alto es una licenciatura. Los pro- 
fesores con 0 años de experiencia ganan $37,550 al año y los 
profesores con 5 años de experiencia ganan $38,600. Sean S 
el salario anual de un profesor y t los años de experiencia.
$37,400
$38,800
Sa
la
ri
o 
an
ua
l
Escala salarial docente
10
Años de experiencia
$37,600
$37,800
$38,000
$38,200
$38,400
$38,600
2 3 4 5 6
Fuente: Junta escolar del condado de Manatee
 a) Determina una funciónlineal S(t) que coincida con estos 
datos.
 b) Usando la función del inciso a), estima el salario anual de un 
profesor con 3 años de experiencia. Compara tu respuesta 
con la gráfica para ver si la gráfica apoya tu respuesta.
 c) Suponiendo que esta tendencia continúe, ¿cuál será el 
salario anual de un profesor con 10 años de experiencia?
 d) Suponiendo que esta tendencia continúe, ¿cuántos años 
de experiencia debe tener un profesor para ganar $40,070 
al año?
 74. Salario de los bomberos En Lovonia, Michigan, los bom-
beros con 0 años de experiencia ganan un salario anual de 
$33,259 y los bomberos con 5 años de experiencia ganan un 
salario anual de $47,091. Sean S el salario anual de un bom-
bero y t los años de experiencia.
Fuente: www.firehouse.com
 a) Determina una función lineal S(t) que coincida con estos 
datos.
 b) Usa la función del inciso a) para estimar el salario anual 
de un bombero con 3 años de experiencia.
 c) Suponiendo que esta tendencia continúe, ¿cuál será el 
salario anual de un bombero con 10 años de experiencia?
 d) Suponiendo que esta tendencia continúe, ¿cuántos años 
de experiencia debe tener un bombero para ganar un sa-
lario anual de $52,623.80?
 75. Salario de un guardabosques En Maryland, los guardabos-
ques con 0 años de experiencia ganan un salario anual de 
$37,855 y los guardabosques con 5 años de experiencia ga-
nan un salario anual de $47,123. Sean S el salario anual de 
un guardabosques y t los años de experiencia.
Fuente: www.dbm.maryland.gov
 a) Determina una función lineal S(t) que coincida con estos 
datos.
 b) Usa la función del inciso a) para estimar el salario anual 
de un guardabosques con 3 años de experiencia.
 c) Suponiendo que esta tendencia continúe, ¿cuál será el sala-
rio anual de un guardabosques con 10 años de experiencia?
 d) Suponiendo que esta tendencia continúe, ¿cuántos años 
de experiencia debe tener un guardabosques para ganar 
un salario anual de $52,683.80?
 76. Seguro social El número de trabajadores beneficiarios del 
seguro social ha ido disminuyendo más o menos en forma 
lineal desde 1970. En 1970 había 3.7 trabajadores beneficia-
rios. En 2050 se proyecta que habrá 2.0 trabajadores bene-
ficiarios. Sean W los trabajadores beneficiarios del seguro 
social y t el número de años desde 1970.
 a) Determina una función W(t) que coincida con los datos.
 b) Estima el número de trabajadores beneficiarios en 2020.
©
 M
on
ke
y 
Bu
sin
es
s I
m
ag
es
\S
hu
tte
rs
to
ck
y = -4x - 1y =
1
2
x + 4y = -2x - 4y = 3x + 6
	 Sección	3.4	La	forma	pendiente-intersección	de	una	ecuación	lineal	 183
2.6x - 1-1.4x + 3.42 = 6.2
1
4
 1x + 32 +
1
5
 x =
2
3
 1x - 22 + 1
-62 - 32 , 2 , ƒ -8 ƒ
5 - 3 # 2 - 4 , 22 .
ƒ2x + 1 ƒ 6 5.ƒ2x + 1 ƒ 7 5.
Problemas de desafío
 81. El castillo La siguiente fotografía muestra El Castillo de 
Chichén Itzá, México. Cada lado del castillo tiene una es-
calinata que consta de 91 escalones, los cuales son difíciles 
de subir por ser muy estrechos y empinados. La distancia 
vertical total de los 91 escalones es de 1292.2 pulgadas. Si 
una línea recta se dibujara conectando los bordes de los es-
calones, el valor absoluto de la pendiente de esta recta sería 
de 2.21875. Determina la altura promedio y el ancho de un 
escalón.
 82. Una recta tangente es una línea recta que toca una curva en 
un solo punto (la recta tangente puede cruzar la curva en un 
punto diferente si se extrapola). La Figura 3.56 muestra tres 
rectas tangentes a la curva en los puntos a, b y c. Observa que 
la recta tangente en el punto a tiene una pendiente positi-
va, la recta tangente en el punto b tiene una pendiente de 0,
y la recta tangente en el punto c tiene una pendiente negati-
va. Ahora considera la curva de la Figura 3.57. Imagina que 
las rectas tangentes están dibujadas en todos los puntos de la 
curva excepto en los puntos finales a y e. ¿En qué lugar en 
la curva de la Figura 3.57 la recta tangente tendría una pen-
diente positiva, una pendiente de 0 y una pendiente negativa?
a b c d e
FiGura	 3.57
a b c
FiGura	 3.56
Actividad de grupo
 83. La siguiente gráfica de Reportes de consumidores muestra 
la depreciación de un típico automóvil. El precio de compra 
inicial se representa como 100%.
 a) Integrante 1 del grupo: determina el periodo de un año 
en que un automóvil se deprecia más. Con base en la grá-
fica, estima el porcentaje que un automóvil se deprecia 
durante ese periodo.
 b) Integrante 2 del grupo: determina entre qué años la de-
preciación parece lineal o casi lineal.
 c) Integrante 3 del grupo: determina los 2 años en los que la 
depreciación es la más baja.
 d) Como grupo, estimen la pendiente del segmento de recta 
del año 0 al año 1. Expliquen qué significa esto en térmi-
nos de razón de cambio.
Curva de depreciación típica
Po
rc
en
ta
je
 d
el
 p
re
ci
o 
de
 c
om
pr
a 
in
ic
ia
l
Años
0 1 2 3 4 5 6 7
Precio de compra
inicial
Cuando el típico
arrendamiento o
préstamo termina
Valor
100
50
75
25
Ejercicios de repaso acumulados
[1.4] 84. Evalúa 
Resuelve cada ecuación.
[2.1] 85. 
 86. 
[2.4] 87. Trenes Dos trenes salen de Chicago, Illinois, y viajan 
en la misma dirección en vías paralelas. El primer 
tren sale 3 horas antes que el segundo, y su velocidad 
es de 15 millas por hora más rápido que el segundo 
tren. Determina la velocidad de cada tren si se en-
cuentran 270 millas alejados, 3 horas después de que 
el segundo tren sale de Chicago.
[2.6] 88. Resuelve
 a) b) 
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el