Repaso de Teoría de Circuitos

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Tema 1. 
Repaso de Teoría de Circuitos
Joaquín Vaquero López
Joaquín Vaquero López 1Electrónica, 2007
1.1) Conceptos preliminares. Concepto de circuito, elementos de un circuito
1.2) Leyes fundamentales de los circuitos eléctricos: Leyes de Kirchhoff
1.3) Principio de Superposición
1.4) Teoremas de reducción de circuitos: Equivalente de Thévenin y Norton
1.5) Divisores de voltaje y corriente
1.6) Característica I-V, función de transferencia, recta de carga
1.7) Método gráfico de resolución de circuitos
1.8) Circuitos RC (1er orden). Función de transferencia compleja
Electrónica, 2007
Repaso de Teoría de Circuitos: índice
Joaquín Vaquero López 2
Conceptos preliminares
CIRCUITO: Asociación de elementos activos o pasivos conectados en serie/paralelo por donde puede
circular corriente. Modelo matemático simplificado de una instalación real.
Se utiliza para estudiar (análisis y síntesis) la respuesta de un sistema eléctrico ante un estímulo.
Señales de entrada, salida y función de transferencia.
Aplicable a circuitos lineales y cuasilineales.
VARIABLES FUNDAMENTALES: I, V y P
Convenios de signos. Múltiplos y submúltiplos. Notación (v, V, u, U)
ELEMENTOS DE UN CIRCUITO:
Son los modelos matemáticos de los dispositivos físicos reales de un circuito. Modelos de parámetros 
concentrados.
Activos: fuente de tensión/corriente - continua/alterna – dependientes/independientes.
Pasivos: R,L,C.
Relación entre voltaje y corriente en cada uno de estos elementos. Potencia y energía.
ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS SERIE/PARALELO
Concepto de impedancia-admitancia-immitancia.
Electrónica, 2007 Joaquín Vaquero López 3
Electrónica, 2007
Característica I-V de un elemento de un circuito:
Describe la relación entre la corriente que circula por el elemento y el voltaje a
través de sus terminales.
Recta de carga:
Gráfica I-V determina todos los puntos de operación permitidos de dicho
dispositivo en el circuito en que se halla.
Fundamental: entender qué nos dice una gráfica.
Característica I-V. Recta de carga
Joaquín Vaquero López 4
Electrónica, 2007
Ejemplos:
Característica I-V. Recta de carga
Joaquín Vaquero López 5
Electrónica, 2007
Ejemplos:
Recta de carga
Característica I-V de entrada de un transistor
Punto de operación Q
IBQ
VBEQ
Característica I-V. Recta de carga
Joaquín Vaquero López 6
Electrónica, 2007
Ejemplos:
Joaquín Vaquero López 7
Ley de conservación de la carga y la energía para describir relación voltaje-
corriente en cualquier red, lineal o no:
1ª.- La suma de caídas de voltaje alrededor de cualquier lazo cerrado es cero.
2ª.- La suma de todas las corrientes que entren en cualquier nodo de un circuito
es igual a cero.
Nodo: Punto donde se conectan tres o más conductores.
Rama: Elemento o grupo de elementos con 2 terminales. Tramo entre dos
nudos
Malla/lazo: cualquier camino cerrado que pueda se definido en el circuito.
Resolver un circuito: calcular todas las intensidades que circulan por cada
elemento del circuito y las tensiones que caen en cada uno de ellos. NO
hay una única forma de resolverlo.
Electrónica, 2007
Leyes fundamentales: Leyes de Kirchoff
Joaquín Vaquero López 8
21 ·· ibiav 
Electrónica, 2007
ELEMENTO LINEAL: aquel cuya característica v-i es de la forma: 
ó
con a, b, c, d constantes.
En general a, b, c, d pueden ser operadores lineales (derivada o integral) 
la característica v-i es de la forma:
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: en todo sistema lineal, la respuesta del 
circuito debida a una suma de entradas, será igual a la suma de las 
respuestas de cada una de las entradas aplicadas individualmente.
Notar que podemos aplicar superposición aunque no todas las fuentes se 
apliquen en la misma localización.
 dtibdt
di
av 2
1
21 ·· vdvci 
Principio de superposición
Joaquín Vaquero López 9
Electrónica, 2007
Equivalente de Thévenin:
Cualquier circuito resistivo (contiene únicamente resistencias y fuentes)
puede ser representado por un circuito más sencillo, formado sólo por una
sola fuente de voltaje y una resistencia en serie. Este circuito se denomina
“Equivalente de Thévenin” del circuito original.
Vth representa todas las fuentes.
Rth representa todas las resistencias.
Equivalente de Norton:
Aquí la fuente independiente es una fuente de corriente, Ith, y la resistencia
equivalente está conectada en paralelo.
Teoremas de reducción de circuitos
Joaquín Vaquero López 10
Divisor de tensión:
Las impedancias son atravesadas por la misma corriente
Divisor de corriente:
Las impedancias está sometidas a la misma tensión
21
2
2
21
1
1
222111
21
21
·
;
·
·;·
RR
VR
V
RR
VR
V
RIVRIV
RR
V
II
ii
i







21
1
2
21
2
1
2
1
121
212211
·
;
·
;··
RR
IR
I
RR
IR
I
R
R
IIIII
IIIRIRI
ii
ii
i






R1
R2
Vi
V1
V2
R1 R2Vi I1 I2
Electrónica, 2007
Divisores de tensión y corriente
Joaquín Vaquero López 11
Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una ecuación
diferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjunto
cualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elemento
almacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.
Régimen transitorio: Solución a la ec.dif. homogénea, que es la respuesta 
natural del sistema.
Régimen permanente: Solución a la ec.dif. completa, que es la respuesta del 
sistema forzada por una excitación exterior.
Ejemplo 1: Circuito RC
Vin
R
C
i
Electrónica, 2007
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

t
Cin dtti
C
utiRtv
0
)(
1
)0()(·)(
0)(
1
)0()(·
0
 
t
C dtti
C
utiR
Homogénea:
Completa:
Joaquín Vaquero López 12
fRC ·2
1
; 

 
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución homogénea:
Condiciones iniciales:
Solución tipo:
Tensión en el condensador:
Constante de tiempo:
;0)(
1
)0()(·
0
 
t
C dtti
C
utiR
teKti ·)( 
R
V
itvVu inC
0
0 )0(0)(;)0( 
RC
t
e
R
V
ti

 ·)( 0
000 ·)( VeVVtu
RC
t
C 

0)0( VuC 

t
CC dtti
C
utu
0
)(
1
)0()(
RC
t
C eVtu

 ·)( 0
%95
·3
%63
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 13
  )(·)0()0()( tfefftf
t


 

Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):
Condiciones iniciales:
Solución tipo:
Tensión en el condensador:
Solución genérica a los sistemas de 1er orden:

t
Cin dtti
C
utiRtv
0
)(
1
)0()(·)(
)0()·()(
0
0 C
t
RC
t
inC ueVVtu 




in
RC
t
inC VeVVtu 

)·()( 0
t
CC dtti
C
utu
0
)(
1
)0()(
teKti ·)( 
R
VV
iVtvVu inininC
0
0 )0(;)(;)0(


RC
t
in e
R
VV
ti

 ·)( 0
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 14
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC
Solución completa. Excitación senoidal. Características de las funciones 
senoidales:
1.- La respuesta en régimen permanente de un circuito lineal con 
excitación senoidal es una función senoidal de igual frecuencia. La 
amplitud y la fase puede variar.
2.- La suma de funciones senoidales de igual frecuencia es una función 
senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar. 
3.- La derivada de una senoide es de forma senoidal, y su integral.
4.- Mediante la descomposición en serie de Fourier cualquier función 
periódica puede representarse como una combinación lineal de un 
número finito de funciones senoidales.
5.- Los alternadores generan tensión con forma senoidales. Es una 
forma de onda fácil de obtener. 
6.- La respuesta de un sistema ante funciones senoidales de distinta 
frecuencia nos da información del sistema.
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 15
iinI ,
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:
Solución tipo:
Particularizando para:
(Ec.trascendentes mediante métodos 
numéricos, vectorialmente 
ó mediante complejos)

tCin dtti
C
utiRtv
0
)(
1
)0()(·)(
)·cos()( iin tIti  
2
;0

  tt
)·cos()( vinin tVtv  siendo
)·cos()sin(
1
)0()cos(· viniinCiin tVtI
C
utIR 

 
)·cos()sin(
1
)0()cos(· viniinCiin VI
C
uIR 

 
)·sin()cos(
1
)0()sin(· viniinCiin VI
C
uIR 

 
comodidad porpara izandoparticular 0)0( Cu
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 16
C
Iin

inI
R 
in
V
i
v
2
2
22
)(
·
C
I
IRV in
inin 

Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC
Resolución vectorialmente (trigonometría).
Módulo:
Argumento:
Solución:
Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados
RC
arctgvi


1
; 
2
2
)(
1
C
R
V
I inin



)cos(
)(
1
)(
2
2
v
in t
C
R
V
ti 



 )(
1
)(
1
)(
2
2
v
in
C tsen
C
C
R
V
tu 





Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 17
   tjjintjiniin eeIeItIti ii    ReRe)·cos()( )(
j
t
t
j
e

)cos( t
)( tsen 
tjj
in
tjj
in
tjj
in eeVeeI
jC
eeIR Vii 


·
11
· 
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC
Resolución mediante complejos
Euler:
Solución tipo:
Solución para régimen senoidal permanente
)()cos(
)()cos(
tsenjte
tsenjte
tj
tj







 
 tj
tj
etsen
et




Im)(
Re)cos(


)
2
(
2
2
·
)(
1
;·
1










V
iVi
j
inj
in
jinj
in e
C
R
V
eIe
Cj
R
V
eI   







 )
2
(
2
2
·Re
)(
1
Re





V
i
j
inj
in e
C
R
V
eI
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 18
tjj
in
tjj
in eeItieeVtu
iV  ·)(;·)( 
Electrónica, 2007
Respuesta de los elementos pasivos básicos al régimen senoidal permanente:
Resistencia Bobina Condensador
)()( tiRtu 
tjj
in
tjj
in eeIReeV
iV  ·· 
in
in
I
V
R 
2  iV
Corriente y la tensión en fase
dt
di
Ltu )(
tjj
in
tjj
in eeILjeeV
iV   ·· 
2
··
   iV jin
j
in eILeV
inin ILV 
LjZL 
La corriente retrasa 90º a la tensión
iV  
2  Vi
dt
du
Cti )(
tjj
in
tjij
in eeVCjeeI
V   ·· 
2
··
   Vi jin
j
in eVCeI
inin VCI 
Cj
ZC

1

La corriente adelanta 90º a la tensión
2  Vi
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 19
RCjV
V
jH
RCj
V
Cj
R
V
Cj
V
in
outin
in
out











1
1
)(
11
·
1
Vin
R
Cj
1
Vout
 tjininin eVtVtv  Re)·cos()( Siendo
Electrónica, 2007
    )·cos(
)(1
Re)(·Re
2


  

 t
RC
V
ejHeVV injtjinout
Ejemplo 1: Circuito RC. Función de transferencia.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos. 
Función de transferencia.
Módulo Fase o argumento
2)(1
1
)(
RCV
V
jH
in
out



 )()0()( RCarctgarctg
V
V
jH
in
out  
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 20
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC. 
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos. 
Función de transferencia. Representación gráfica.
Módulo Fase o argumento
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 21
Ejemplo 1: Circuito RC. 
Resolución a la completa.
La particular es el régimen permanente, resuelta mediante complejos. 
La homogénea es la respuesta transitoria:
Solución tipo
La solución completa resulta
Con la condición inicial
RC
t
in
C eKt
RC
V
tu



 ·)·cos(
)(1
)(
2


Electrónica, 2007
t
C eKtu
·)( 
0)0( VuC 
RC
t
C eKtu

 ·)(
)·cos(
)(1 2
0 
RC
V
VK in


RC
t
inin
C e
RC
V
Vt
RC
V
tu












 ·)·cos(
)(1
)·cos(
)(1
)(
2
0
2




Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 22














RC
t
inRC
t
inin
out et
RC
V
e
RC
V
t
RC
V
V )·cos()cos(·
)(1
)··cos(
)(1
)·cos(
)(1 222






Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC. Tensión (rojo) y corriente (azul) en C. F= 60Hz; R=10K; C= 1,5uF
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 23
Vin
R
L
Electrónica, 2007
Solución a la homogénea (transitorio):
Ejemplo 2: Circuito RL
Condiciones iniciales:
Solución tipo:
Tensión en la resistencia:
Constante de tiempo:
dt
di
LtiRtvin  )(·)(
0)(· 
dt
di
LtiR
Homogénea:
Completa:
teKti ·)( 
RIutvIi Lin ·)0(;0)(;)0( 00  t
L
R
eIti
·
0·)(


t
L
R
L eRI
dt
di
Ltu
·
0 ··)(


f
R
L
·2
1
; 

  %95
·3
%63
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 24
dt
di
LtiRtvin  )(·)(
Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL
Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):
Condiciones iniciales y finales:
Solución genérica a los sistemas de 1er orden:
Tensión en la bobina:
t
L
R
ininL eIRVtu
·
)··()(


dt
di
LtuL )(
R
V
iVtvIi ininin  )(;)(;)0( 0
  )(·)0()0()( tfefftf
t


 

R
V
e
R
V
Iti in
t
L
R
in 






 ·
0 ·)(
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 25
Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL
Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:
Solución tipo:
Particularizando para:
dt
di
LtiRtvin  )(·)(
)·cos()( iin tIti  
2
;0

  tt
)·cos()( vinin tVtv  siendo
)·cos()sin(·)cos(· viniiniin tVtILtIR  
)·cos()sin(·)cos(· viniiniin VILIR  
)·sin()cos(·)sin(· viniiniin VILIR  
iinI ,
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 26
LI
in
i

V
in
RI in
v
Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL
Resolución vectorialmente.
Módulo:
Argumento:
Solución:
R
L
arctgvi

  ;
2222 ·)(·
inin
ILIRVin  22 )( LR
V
I inin


)cos(
)(
)(
22




 v
in t
LR
V
ti )(
)(
)(
22




 v
in
L tsenL
LR
V
tu
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 27
Vin
R
VoutLj
Electrónica, 2007
  )(·
1
)
2
·cos(
1
Re)(·Re
22
2 








 
































tsen
L
R
V
t
L
R
V
ejHeVV inin
j
tj
inout
Ejemplo 2: Circuito RL. Función de transferencia.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos. 
Función de transferencia.
Módulo Fase o argumento
LjR
Lj
V
V
jH
LjR
VLj
V
in
outin
out








 )(
·
2
1
1
)(








L
RV
V
jH
in
out

 

 






2
)()(
R
L
arctgarctg
V
V
jH
in
out
  






R
L
arctgeVtVtv tjininin

  ySiendo Re)·cos()(
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 28
Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL. Tensión (rojo) y corriente (azul) en L. F= 60 Hz; R=10K; L= 1,5mH
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 29