Multiplicações e Fórmulas Algébricas

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BINOMIO AL CUADRADO
Son resultados de ciertas multiplicaciones algebraicas que se obtienen de forma directa, sin la necesidad de 
aplicar los axiomas de la distribución.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
Ejemplos:
• (x+5)2 = x2 + 52 + 2(x)(5) = x2 + 25 + 10x
• (m – 7)2 = m2 + 72 – 2(m)(7) = m2 + 49 – 14m
• (2x2 + 3)2 = (2x2)2 + 32 + 2(2x2)(3) = 4x4 + 9 + 12x2
• 7 2 7 2 2 7 2 9 2 142 2 2- = + - = -_ i
Nota:
1 .x x x
x
x x x
x
1 2 1 1 2
2 2
2
2
2
+ = + + = + +b l
2 . 2x x x
x
x x x
x
1 1 1 12 2
2
2
2
- = + - = + -b l
IDENTIDAD DE LEGENDRE
(a + b)2 + (a – b)3 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Ejemplos:
• (x + 3)2 + (x – 3)2 = 2(x2 + 32)
• (m + 3n)2 – (m – 3n)2 = 4(m)(3n)
Nota:
x x x x x
x
1 1 2 12 2 2
2
+ + - = +b b dl l n
4. . 4x x x x x x
1 1 12 2
+ - - = =b bl l
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Ejemplos:
• (x + 6)(x - 6) = x2 – 62 = x2 – 36
• 5 2 5 2 5 2 5 2 32 2+ - = - = - =_ _i i
• (n2 + 1)(n2 – 1) = (n2)2 – 12 = n4 – 1
• (n4 + 1)(n4 – 1) = (n4)2 – 12 = n8 – 1
BINOMIO AL CUBO
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Forma reducida: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Forma reducida: (a + b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Ejemplos:
• (x + 1)3 = x3 + 13 + 3(x)(1)(x + 1) • (x – 1)3 = x3 – 13 – 3(x)(1)(x – 1)
• (3m – 2)3 = (3m)3 – (2)3 – 3(3m)(2)(3m – 2)
Nota:
3 . 3x x x
x
x x x x x
x
x x
1 1 1 1 1 13 3
3
3
3
+ = + + + = + + +b b bl l l
3 . 3x x x
x
x x x x x
x
x x
1 1 1 1 1 13 3
3
3
3
- = - - - = - - -b b bl l l
PRODUCTOS NOTABLES
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Ejemplos:
• (x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8
• (x – 3) (x2 + 3x + 9) = x3 – 33 = x3 – 27
• (3m + 1) (9m2 – 3m + 1) = (3m)3 + 13 = 27m3 + 1
• 7 2 49 14 4 7 2 7 2 53 3 3 3 3 3 3- + + = - = - =_ _i i
IDENTIDADES DE STEVIN
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejemplo:
• (x + 6) (x – 9) = x2 + (6 – 9)x + (6) (-9) = x2 – 3x – 54
• (x – 3) ( x – 1) = x2 + (- 3 – 1)x + (-3) (-1) = x2 – 4x + 3
IDENTIDADES ADICIONALES
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b + c)(a + c)
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
Ejemplo:
A = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4) + 64
A = (x2 – 4)(x4 + 4x2 + 16) + 64
A = (x2)3 – 43 + 64 = x6
IDENTIDADES CONDICIONALES
Si a + b + c = 0
• a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac)
• a3 + b3 + c3 = 3abc
Ejemplo:
Si a + b + c = 0, calcula el valor de:
3 2 1M abc
a b c
ab bc ac
a b c3 3 3 2 2 2
= + + + + +
+ + = - =
Trabajando en clase
Integral
1. Si x + y = 10; xy = 5, calcula x2 + y2
2. Si x – y = 4; xy = 1, calcula x3 + y3
3. Si x + y = 6; x2 + y2 = 15
 Calcula x – y, si x > y
PUCP
4. Si x x
1 4+ = , calcula x2 + 
x
1
2
 + x3 + 
x
1
3
Resolución:
Sabemos que:
 .x x x
x
x x
1 1 2 12 2
2
+ = + +b l
 → 42 = x2 + 
x
1
2
 + 2
 → x2 + 
x
1
2
 = 14
 También:
 3 .x x x
x
x x x x
1 1 1 13 3
3
+ = + + +b bl l
 → 43 = x3 + 
x
1
3
 + 3(4)
 → x3 + 
x
1
3
 = 52
 ∴ x2 + 
x
1
2
 + x3 + 
x
1
3
 = 14 + 52 = 66
5. Si x – x
1 = 3, calcula x2 + 
x
1
2
 +x3 – 
x
1
3
6. Si a = 3 1- , calcula:
E = a a
2 2
1
2 2
12 2
+ + -d dn n
(CEPREPUC)
7. Si:
 M = (3b – 2a)(9b2 + 6ab + 4a2)
 N = (2a a2 – 3b)(2a a2 + 3b)
 Calcula: 
b b
M N
9 33 2-
+
(CEPREPUC)
UNMSM
8. Si: a b a b
2 1
2
8+ = +
, a y b números no núlos.
 Calcula E
a b
a b
52
17
6 6
6 6
=
-
+
(UNMSM 2002)
Resolución:
Por dato:
 .a b a b a b
a b
a b
2 1
2
8 2
2
8
"+ = +
+ = +
 → (a + 2b)2 = 8ab → a2 + 4ab + 4b2 = 8ab
 → a2 – 4ab + 4b2 = 0
 → (a – 2b)2 = 0 → a – 2b = 0 → a = 2b
Entonces: a6 = (2b)6 = 64b6
Reemplazando:
 E
a b
a b
b b
b b
b
b
52
17
64 52
64 17
12
81
6 6
6 6
6 6
6 6
6
6
=
-
+ =
-
+ =
 = 4
27
9. Si a b a b
1
3
1
3
4+ = +
, a y b números no nulos. 
 (a ≠ b)
 Calcula E
a b
a ab b
2 2
2 2
=
-
+ +
10. Si x2 + 5x – 3 = 0, calcula el valor de:
 U = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)
11. Suponiendo que a + b + c = 0 y a, b y c no nulo, 
calcula:
 E bc
a
ac
b
ab
c2 2 2
= + +
(UNMSM 2004 – II)
UNI
12. Si se sabe que: 
x
a
a
x 7
9
9
+ = , ¿cuál es el valor de 
 la expresión 
x
a
a
x
9
4
9
4+ ?
(UNI 1981)
Resolución:
Sea: M
x
a
a
x
9
4
9
4= +
 2M
x
a
x
a
a
x
a
x4 2
9
9
2
9
4
4 94
2
= + +
 M
x
a
a
x22
9
9
= + +
 M
x
a
a
x22 2
9
9 2
- = +_ fi p
 M
x
a
a
x2 22 2
9
9
- = + +_ i
 
 (M2 – 2)2 = 7 + 2
 M2 –2 = 3 → M = 5
13. Si se sabe que: 
x
y
y
x 14
3
3
+ = , ¿cuál es el valor 
 de la expresión 
x
y
y
x
3
4
3
4+
14. Halle el valor numérico de
 
.
P
m n
n m
3 3
3 3 1
= +
- -
- - -
f p si ; m n 123+ = ; 
 mn 2 183=
(UNI 2008 – I)