Prática básica de álgebra 1 - aux

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AUXILIAR: UNIV. FLORES BLANCO RUBEN JHONNY GRUPO: 6 
DOCENTE: ING. RUBEN TARQUINO 
 
PRACTICA PRIMER PARCIAL 
 
• TEORÍA DE EXPONENTES 
1. Simplificar: 𝑅 = √
√2
√3
√3
√2
+√2
√12
√6
√2
+√2
√3+√2
√3−√2
 
Rpta. - 𝑅 = √2 
2. Simplificar: 𝑅 = √ √𝑎𝑎
4𝑎𝑎
𝑎+𝑏
∙ √ √𝑎𝑏𝑎
4𝑎𝑎
𝑎+𝑏𝑎
𝑎𝑎
2𝑎
 
Rpta. - 𝑅 = 𝑎𝑎
𝑎
 
 
3. Simplificar: 𝑅 = √
𝑎𝑛𝑏𝑛+𝑎𝑛𝑐𝑛+𝑏𝑛𝑐𝑛
𝑎−𝑛+𝑏−𝑛+𝑐−𝑛
𝑛
 
 
Rpta. - 𝑅 = 𝑎𝑏𝑐 
4. Simplificar: 𝑅 = √𝑏 −
𝑏−𝑏−2
√𝑏−
√𝑏
𝑏
+
1−𝑏−2
√𝑏+
√𝑏
𝑏
+
2
√𝑏3
 
Rpta. - 𝑅 = 0 
5. Simplificar: 𝑅 = 𝑥√16𝑥 + 1 − 
16𝑥2+17𝑥
√16𝑥+1
+
√256𝑥2−1
√16𝑥−1
 
Rpta. - 𝑅 =
1
3
 
6. Siendo 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 Calcular: 
𝐸 = √(𝑥−𝑦)−𝑥
−𝑦(𝑦−𝑥)−𝑦
−𝑥
2𝑥𝑦−𝑥
 
Rpta. - 𝐸 = 𝑦 
 
 
 2 
7. Si 𝑎𝑏 = √2 y 𝑏𝑎 =
1
√2
 Calcular: 
𝑅 = [
𝑎𝑏
𝑎+1+𝑎𝑏
1−𝑎
𝑏𝑎
1+𝑏
+ 𝑏𝑎
1−𝑏
]
2√2
 
 Rpta. - 𝑅 = 8 
8. Si √𝑥
√𝑥
= 3 Calcular: 
𝑅 = √( 𝑥√𝑥)
3
2
√ 𝑥√𝑥
 
Rpta. - 𝑅 = 3 
9. Si 𝑎(𝑎2 + 3𝑏2) = 𝑏(𝑏2 + 3𝑎2) que valor tiene 𝑎 − 𝑏 =? 
Rpta.- 𝑎 − 𝑏 = 0 
10. Calcular: 𝑅 =
3+( √4+ √4+ √4+⋯………………………∞
33
3
)
2
1+( √4+ √4+ √4+⋯………………………∞
33
3
)
−1 
Rpta.- 𝑅 = 4 
11. Simplificar: 𝑅 = (𝑚 +
2
𝑛+
2
𝑚+
2
𝑛+
2
𝑚+⋯……………….
) ÷ (𝑛 +
2
𝑚+
2
𝑛+
2
𝑚+
2
𝑛+⋯……………….
) 
Rpta.- 𝑅 =
𝑚
𝑛
 
12. Si: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏𝑐 calcular 
𝑅 = 𝑥 (
√𝑥𝑏+𝑐
𝑎
+ √𝑥𝑎+𝑐
𝑏
+ √𝑥𝑎+𝑏
𝑐
𝑥𝑎𝑏 + 𝑥𝑏𝑐 + 𝑥𝑎𝑐
) 
Rpta.- 𝑅 = 1 
13. Simplificar: 𝐸 = √𝑥{𝑥𝑥[𝑥(𝑥𝑥)𝑥
𝑥]𝑥}𝑥𝑥
(1+𝑥𝑥+1)
2
 
 Rpta.- 𝐸 = 𝑥 
14. Simplificar: 𝑀 = (
𝑥𝑥
−𝑥
+𝑥−𝑥
𝑥
𝑥−𝑥
−𝑥
+𝑥𝑥
𝑥)
𝑥𝑥
1−𝑥2
 
Rpta.- 𝑀 = 𝑥 
15. Simplificar: 𝑅 =
[
 
 
 
 
 
16𝑛−3∙(
32𝑛∙8𝑛+1
16𝑛+2
32
)
1
𝑛
42−6𝑛164𝑛−3
]
 
 
 
 
 
1
𝑛
 
Rpta. - 𝑅 = 1 
 
 
 3 
• GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
16. Si el grado del siguiente monomio es 8. Calcular el valor de m: 
𝑅(𝑥) = 3𝑥
6 √𝑥4 √𝑥𝑚√2𝑥𝑚
5
 
Rpta. - 𝑚 = 8 
17. Calcular (a-b) en el polinomio 𝑃(𝑥,𝑦) , sabiendo que el grado absoluto de 𝑃(𝑥,𝑦), es 10 
y grado relativo respecto a y es 4: 
𝑃(𝑥,𝑦) =
𝑥1+𝑎𝑦2−𝑏
𝑥1−𝑏𝑦2−𝑎
 
Rpta. - 𝑎 − 𝑏 = 4 
18. Después de simplificar el polinomio 𝑃(𝑥,𝑦). Calcular el grado absoluto: 
𝑃(𝑥,𝑦) =
√𝑥17𝑦22
9
√𝑥2𝑦√𝑥2𝑦
33
 
Rpta. - 𝐺. 𝐴.= 3 
19. Hallar el coeficiente del monomio si su G.A. es 10 y el G.R.(x) es 7: 
𝑃(𝑥,𝑦) = 4𝑛
𝑚𝑥3𝑚+5𝑛𝑦5𝑚−𝑛 
 Rpta. - 𝑐𝑜𝑒𝑓.= 4 (
13
14
)
11
14
 
20. Dado los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) ¿Qué valor debe tomar la constante a para que el 
polinomio 𝑅(𝑥) = 2𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) sea mónico y de grado par? (n>1 y n € N) 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥
2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛+1 + 𝑐𝑥𝑛 − 𝑑 
𝑄(𝑥) = 3𝑎𝑥
𝑛+1 + 3(𝑥𝑛)2 + 7𝑎𝑥 − 8 
Rpta. - 𝑎 = −1 
21. Si 𝑃(𝑥,𝑦) = 3𝑥
𝑛+3𝑦𝑚−2 + 𝑥𝑛+2𝑦𝑚−3, es un polinomio que tiene G.A. igual a 11 y se 
cumple que el G.R.(x) menos el G.R.(y) es igual a 5. Hallar el valor de F = m + n 
Rpta. - 𝐹 = 10 
22. Si el polinomio 𝑃(𝑥) = 18𝑥
𝑚−18 + 32𝑥𝑚−𝑛 + 18𝑥𝑝−𝑛+16, es completo y ordenado de 
forma ascendente. Calcular: E =m + n + p 
Rpta. - 𝐸 = 38 
23. Dado el 𝑃(𝑥,𝑦) donde a y b son números naturales. Si la suma de los grados absolutos 
de los términos del polinomio es: (𝑎2 + 2)2. Hallar el valor de b. 
𝑃(𝑥,𝑦) = 2𝑥
𝑎(𝑏−4) + 3(𝑦𝑎
(𝑏−4)
)
𝑎(𝑏−4)
− (𝑥𝑦)𝑎
(𝑏−4)
+ 4𝑥4𝑦𝑎
(𝑏−4)
 
Rpta. - 𝑏 = 6 
24. Hallar el valor de n, si el grado del producto de los tres polinomios es 289. 
 
 4 
𝑃(𝑥) = (2𝑥
𝑛𝑛
𝑛
+ 3𝑥𝑛
𝑛𝑛
+ 1)
𝑛𝑛
𝑛
 
𝑄(𝑥) = (3𝑥
𝑛𝑛
𝑛
+ 4𝑥𝑛
𝑛𝑛
+ 2)
2
 
𝑅(𝑥) = 5𝑥 + 3 
Rpta.- 𝑛 = 2 
25. En le siguiente polinomio homogéneo, hallar la suma de los coeficientes: 
𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) = 𝑎𝑥
𝑎𝑎 − 5𝑎𝑐𝑦𝑏
2𝑏
2−1
+ 4𝑏𝑐𝑧𝑐
𝑏√𝑎
+ 3𝑐2𝑤256 
Rpta.- 𝑐𝑜𝑒𝑓.= 4 
 
• PRODUCTOS NOTABLES 
26. Calcular el valor de E: 𝑅 =
1
1+
𝑎
1+𝑎+
2𝑎2
1−𝑎
∙
1
(𝑎2+
1
𝑎2
+2)
(𝑎+
1
𝑎
)
∙ (1 + 𝑎) 
Rpta. - 𝐸 = 𝑎 
27. Calcular el valor de R: 𝑅 =
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
+
𝑏−𝑐
𝑏+𝑐
−
𝑎−𝑐
𝑎+𝑐
−
(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑎−𝑐)
(𝑎+𝑏)(𝑏+𝑐)(𝑎+𝑐)
 
Rpta. - 𝑅 = 0 
 
28. Si: 𝑤−1 =
1+[𝑏+(𝑏−1)−1](𝑏2−𝑏+1)−1
1−[𝑏+(𝑏+1)−1](𝑏2+𝑏+1)−1
 calcular el valor de “x” donde 
 𝑥 = (𝑏 − 𝑤)(1 + 𝑏𝑤)−1 
 
Rpta. - x= 1 
29. Si: 
𝑥
𝑎
=
𝑦
𝑏
=
𝑧
𝑐
 simplificar la expresión: 
𝐸 =
𝑥3 + 𝑎3
𝑥2 + 𝑎2
+
𝑦3 + 𝑏3
𝑦2 + 𝑏2
−
𝑧3 + 𝑐3
𝑧2 + 𝑐2
+
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
 
 
Rpta. - 𝐸 = 0 
30. Si: 
𝑥
𝑥,
+
𝑦
𝑦,
=
𝑦,
𝑦
+
𝑧 ,
𝑧
= 1 Hallar el valor numérico de: 
 𝐸 = [
1
2
+
𝑥𝑦𝑧
𝑥,𝑦,𝑧 ,
]
𝑥,𝑦,𝑧,
𝑥𝑦𝑧 
Rpta. - 𝐸 = −2 
31. Si: √𝑎
3
+ √𝑏
3
+ √𝑐
3
= 0 Hallar el valor de: 
𝐸 =
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 − 27𝑎𝑏𝑐
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑐)
 
Rpta. - 𝐸 = −3 
 
 
 5 
• DIVISIÓN ALGEBRAICA 
32. Si: 
𝑥4+𝑥3−5𝑥2+𝑚𝑥+𝑛
𝑥2−2𝑥+2
 tiene como resto 4. Encontrar el valor de: 𝐸 = √𝑛 + √𝑚
3
 
Rpta. - 𝐸 = 2 
33. Calcular p y q si la división es exacta 
𝑥4+𝑝𝑥2+𝑞
𝑥2−6𝑥+5
 
Rpta. – 𝑝 = −26 𝑦 𝑞 = 25 
34. Determinar m y n si la división 
𝑥4−3𝑥3𝑎+𝑥2𝑎2+𝑚𝑥𝑎3+𝑛𝑎4
𝑥2−𝑎𝑥+𝑎2
 deja como resto 7𝑥𝑎3 + 3𝑎4 
Rpta. - 𝑚 = 7 𝑦 𝑛 = 1 
35. Si la división 
20𝑥4+6𝑎𝑥3−3𝑏𝑥2−17𝑐𝑥+9𝑑
5𝑥2−7𝑥+2
 da un cociente cuyos coeficientes van aumentando de 
4 en 4 y deja un resto igual a 34x+3, hallar el valor de 𝐸 = (𝑎 + 𝑏) − (𝑐 + 𝑑) 
Rpta. – E=-7 
36. Si al dividir 𝑃(𝑥) entre (𝑥 − 1)(𝑥 − 3), se tiene como resto igual a 3𝑥 − 2. Hallar el resto de dividir 
𝑃(𝑥) entre 𝑥 − 3: 
Rpta. - 𝑟 = −7 
37. Hallar el valor de m para que el resto de la división 
6𝑥36+17(𝑥3)9+𝑚𝑥18+𝑥9+8(2𝑥9+1)
3𝑥9+1
sea igual a 
2: 
Rpta. - 𝑚 = 2 
38. Hallar el valor de m para que el polinomio 𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 − 6 sea divisible por 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
Rpta. - 𝑚 = −6 𝑦 𝑛 = 11 
39. Hallar el resto de dividir 
[(𝑥+3)(𝑥+5)(𝑥+4)(𝑥+2)−78]2+15
𝑥2+7𝑥+2
 
Rpta. - 𝑅 = 19 
40. Hallar el residuo de dividir 
(𝑥−5)2015+(𝑥−4)2014+11
(𝑥−5)(𝑥−4)
 
Rpta. - 𝑅 = 2𝑥 + 2 
41. Si: 
3𝑎𝑥5+(𝑎+3)𝑥4+(4𝑎−2)𝑥3−4𝑎𝑥2−9𝑎𝑥−2𝑎
3𝑥−2
 la suma de los coeficientes del dividendo es igual a 
2 veces el resto. Calcular el valor de “a” 
Rpta. – 𝑎 =
1
7
 
 
• COCIENTES NOTABLES 
42. Siendo A el décimo sexto término del C.N. de 
𝑎100−1
𝑎8−1
 proporcione el termino central de 
𝐴11−𝑏44
𝐴−𝑏4
 
Rpta. - 𝑡6 = 𝑎
100𝑏20 
43. Hallar m y n, sabiendo que el cuarto término del desarrollo de C.N. 
𝑎4𝑛+3−𝑏2(3𝑚−1)
𝑎𝑚−𝑏𝑛
 es igual a 
𝑎7𝑏24 
Rpta. - 𝑚 + 𝑛 = 15 
 
 6 
44. Si 𝑚(4𝑥2 − 1)𝑛 es un termino de C.N. calcular m+n: 
(2𝑥 − 1)25 + (2𝑥 + 1)25
𝑥
 
Rpta. - 𝑚 + 𝑛 = 16 
45. En el C.N. 
𝑥2𝑛−𝑦2𝑛
𝑥3
𝑚−1
−𝑦3
𝑚−1 tiene como segundo termino 𝑥
16𝑦8: calcular el número de términos 
Rpta. – N=4 
46. Si la expresión es un C.N. 
𝑥2(4𝑚+1)−𝑦5𝑚
𝑥𝑚−1+𝑦𝑚−3
 hallar el valor de m: 
Rpta. – m=6 
47. Encontrar el número de términos del desarrollode 
𝑥𝑎−𝑦𝑎
√𝑥
𝑏
− √𝑦
𝑏 , donde a y b son números enteros 
Rpta. – N=ab 
48. Hallar el coeficiente de 𝑥2𝑦2 en el C.N. 
(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2)3+(𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2)3
2(𝑥2+𝑦2)
 
Rpta. – coef=5 
49. Calcular 𝑡21 del cociente notable 
2𝑎−𝑎2
1− √𝑎−1
20 
Rpta. - 𝑡21 = 𝑎 − 1 
50. Siendo n un numero natural en el C.N. 
𝑥2𝑛
2−3+𝑦2𝑛
2+22
𝑥𝑛−3+𝑦𝑛−2
 
a) Hallar el valor de n 
b) Hallar el número de términos 
c) Hallar el o los términos centrales 
Rpta. - 𝑛 = 8 ; 𝑁 = 25 ; 𝑡𝑐 = 𝑥
60𝑦72 
 
• RACIONALIZACIÓN 
51. Racionalizar 
𝑅 =
1
√1 − √𝑦
3
− √√𝑦 − 1
3
 
Rpta. - 𝑅 =
( √1−√𝑦
3
)
2
(1+√𝑦)
2(1−𝑦)
 
52. Racionalizar: 𝑅 =
𝑎(
√𝑎+√𝑏
2𝑏√𝑎
)
−1
+𝑏 (
√𝑎+√𝑏
2𝑎√𝑏
)
−1
(
𝑎+√𝑎𝑏
2𝑎𝑏
)
−1
+(
𝑏+√𝑎𝑏
2𝑎𝑏
)
−1 
Rpta. - 𝑅 = √𝑏𝑎 
53. Racionalizar y calcular el valor de P 𝑃 =
√√2−1∗ √3+2√2
4
+ √(𝑥+12)√𝑥−6𝑥−8
2
𝑥−√𝑥
√𝑥−1
−√√2+1∗ √3−2√2
4 
Rtpa. - 𝑃 = 1 
 
 7 
54. Simplificar y racionalizar la siguiente expresión: 𝐸 = 𝑥2 + 2 
𝑥 = √√5 + 2 −
1
√√5 + 2
 
Rpta. - 𝐸 = 2√5 
55. Racionalizar y simplificar al máximo sabiendo que x>0 𝐸 =
𝑥2−9𝑥+8 
√𝑥5
6
−2√𝑥− √𝑥
3
+2
 
Rpta. - 𝐸 = (√𝑥 + 1) (√𝑥
3 2
+ 2√𝑥
3
+ 4) 
56. Simplificar la expresión al máximo 
𝐸 = (
√𝑥2
3
− 2√𝑥
3
+ 1
(𝑥√𝑥
3
+ 3√𝑥2
3
− 2√𝑥
3
− 2𝑥 + 1)(√𝑥
3
+ 1)
2 −
√𝑥2
3
− 2√𝑥
3
− 2𝑥 − 1
(𝑥 + 1)2
) (1 + 𝑥) 
Rpta. - 𝐸 = 2 
57. Simplificar al máximo a la siguiente expresión 
𝐸 = (
√𝑎𝑡
4
− √𝑎𝑡
1 − √𝑎𝑡
+
1 − √𝑎𝑡
4
√𝑎𝑡
4 )(
√𝑎𝑡
4
1 + √𝑎3𝑡3
4 )
−1
−
(1 − √𝑎𝑡
4
− √𝑎𝑡)
√𝑎𝑡
 
Rpta. - 𝐸 = 2 
58. Racionalizar y simplificar: 
𝑅 =
√𝑥2 − 1 + 𝑥
2𝑥2 − 1
√𝑥 − 1 − √𝑥 + 1
√𝑥 − 1 + √𝑥 + 1
+
2√𝑥4 − 𝑥2
2𝑥2 − 1
 
Rpta. – R=-1 
59. Simplificar: 
𝐸 = [
(√𝑥
3
− √𝑎
3
)
3
+ 2𝑥 + 𝑎
(√𝑥
3
− √𝑎
3
)
3
− 𝑥 − 2𝑎
]
3
+
√(𝑎3 + 3𝑎2𝑥 + 3𝑎𝑥 + 𝑥3)
2
3
𝑎
 
Rpta. – E=1 
60. Simplificar la siguiente expresión: 
𝑀 =
[
 
 
 
 (√𝑎 + 1)
2
−
𝑎 − √𝑎𝑥
√𝑎 − √𝑥
(√𝑎 + 1)
3
− 𝑎√𝑎 + 2
]
 
 
 
 
−3
 
Rpta. – M = 27 
 
• FACTORIZACIÓN 
61. Factorizar: 𝑥6 − 𝑥5 − 𝑥3 − 𝑥 − 1 
Rpta. - (𝑥2 − 𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1) 
62. Factorizar: 𝑥6 − 2𝑥5 − 2𝑥4 + 2𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 1 
Rpta. - (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)(𝑥2 − 3𝑥 + 1) 
63. Factorizar: (𝑥 − 5)(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)(𝑥 + 2) − 95 
 
 8 
Rpta. - (𝑥2 − 𝑥 − 1)(𝑥2 − 𝑥 − 25) 
64. Factorizar: 𝑎4 + 𝑏4 + 2𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏2) + 3𝑎2𝑏2 
Rpta. - (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
65. Factorizar: 𝑎2 − 8𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 + 16𝑏2 + 8𝑏𝑐 − 15𝑐2 
Rpta. - (𝑎 − 4𝑏 + 3𝑐)(𝑎 − 4𝑏 − 5𝑐) 
66. Factorizar: reducir la expresión P en función de a 
𝑃 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − (𝑥 − 𝑦 + 𝑧)3 − 6𝑦[(𝑥 + 𝑧)2 − 𝑦2] 
Si se sabe que se cumple la ecuación: 
𝑦3 − 6𝑎𝑦2 + 12𝑎2𝑦 − 8𝑎3 = 0 
Rpta. - 𝑃 = 64𝑎3 
67. Hallar la suma de los factores 
𝑃(𝑥) = 𝑥(1 + 𝑥(𝑥 − 2) + 4𝑥) − 2(√3 − 𝑥)(𝑥 + √3) 
Rpta. – 𝑆 = 3𝑥 + 4 
68. Factorizar 𝐴 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑎3 + 𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏 − 𝑏3: calcular la suma de factores: 
Rpta. – 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 + 2 
69. Factorizar: 𝑥4 − 10𝑥3 + 9𝑥2 − 18𝑥 + 9 
Rpta. - (𝑥2 − 9𝑥 + 9)(𝑥2 − 𝑥 + 1) 
70. Factorizar: 2𝑥8 + 𝑥6 − 15𝑥4 + 8𝑥2 − 1 
Rpta. -(2𝑥4 − 5𝑥2 + 1)(𝑥4 + 3𝑥2 − 1)