Simulações Numéricas em Economia

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Simulaciones Numéricas de Modelos Dinámicos: 
Aplicaciones a la Economía y los Negocios 
 
Dr. Ciro Eduardo Bazán Navarro1 
https://sites.google.com/view/ciroeduardobazannavarro/matarial-de-consulta 
Julio de 2020 
 
 
 
1 Material preparado para el First Business Winter Program de la Facultad de Ciencias Empresariales de la Universidad 
San Ignacio de Loyola (USIL) y basado en Shone (2003). 
Introducción 
 
• Objetivo: Analizar algunos aspectos dinámicos de la teoría de la 
empresa aplicando un modelo de simulación numérica en la que se 
consideran dos escenarios clave en las ventas de una empresa 
monopolística. 
• Escenario 01: En primer lugar, realizaremos un análisis dinámico, en 
tiempo discreto, de las ventas de una empresa monopolística 
uniproducto en la que no se invierte en publicidad. Complementaremos 
dicho análisis con simulaciones numéricas desarrolladas en Microsoft 
Excel. 
• Escenario 02: A continuación, realizaremos un análisis dinámico del 
impacto de la publicidad en las ventas de la empresa monopolística, 
complementando el análisis con diversas simulaciones numéricas 
desarrolladas en hojas de cálculo en Microsoft Excel. 
 
 
Monopolio y Publicidad 
 
Escenario 01: Sin inversión en Publicidad 
 
I) Supuestos: 
 
• Empresa monopolista produce y vende un único producto 
(uniproducto) a un precio “p”. 
• El bien que produce es duradero (no perecible). 
• La empresa no invierte en publicidad. 
• Las ventas “s(t)” de la empresa son una función del tiempo. 
• Análisis en tiempo discreto. 
• Las ventas “s(t)” decrecen a una tasa constante “r”. 
 
II) Modelamiento Matemático: 
 
Cambio o Variación de las ventas: Sea “s” las ventas del monopolista que 
dependen del tiempo. Esto es: 
 s = s(t) (I) 
 
La variación de las ventas entre el periodo “t” y el periodo “t+1” es: 
 ∆s(t + 1) = s(t + 1) − s(t) (II) 
 
Tasa de decrecimiento de las ventas: La tasa de “r” de decrecimiento de las 
ventas entre el periodo “t” y el periodo “t+1” es: 
 r = −∆s(t + 1) ∆t⁄s(t) = −∆s(t + 1)s(t) ∙ ∆t = − s(t + 1) − s(t)s(t) ∙ ∆t (III) 
 
Dado que la tasa de decrecimiento “r” de las ventas se mide entre dos 
periodos consecutivos, ∆t = 1, entonces: 
 
r = −∆s(t + 1)s(t) = − s(t + 1) − s(t)s(t) (IV) 
De (IV) tenemos que: 
 −r ∙ s(t) = s(t + 1) − s(t) 
 1. s(t)− r ∙ s(t) = s(t + 1) 
 (1− r) ∙ s(t) = s(t + 1) 
 s(t + 1) = (1− r) ∙ s(t) (V) 
 
Trayectoria de las Ventas en el Tiempo sin inversión en publicidad: Ahora, 
vamos a hallar una función que dependa del tiempo que satisfaga (V). Es 
decir, vamos a hallar la solución de la ecuación (V) que nos permita saber 
cómo evolucionarán las ventas de la empresa a lo largo del tiempo si ésta no 
invierte en publicidad. Para ello, vamos a evaluar (V) para distintos periodos 
de tiempo, suponiendo que en t = 0, s(0) = s0. 
 
t 𝐬(𝐭 + 𝟏) = (𝟏 − 𝐫) ∙ 𝐬(𝐭) 
0 s(1) = (1 − r)s(0) = (1 − r)𝑠0 = (1 − r)1s0 
1 s(2) = (1 − r)s(1) = (1 − r) (1 − r)s0⏞ s(1) = (1 − r)2s0 
2 s(3) = (1 − r)s(2) = (1 − r) (1 − r)2s0⏞ s(2) = (1 − r)3s0 
3 s(4) = (1 − r)s(3) = (1 − r) (1 − r)3s0⏞ s(3) = (1 − r)4s0 
 
En general, en un periodo cualquiera “t ≥ 0”, la solución de (V) viene dada 
por: 
 𝐬(𝐭) = (𝟏 − 𝐫)𝐭𝐬𝟎 (VI) 
III) Simulaciones Numéricas: 
 
 
 
 
 
 
III.1) Ventas sin publicidad para distintos “S0”: 
 
 
Variables/Parámetros Valores 
r 0.18 
s0 100 
s* 0 
Podemos observar que conforme transcurre el tiempo, las 
ventas del monopolista, sin gasto en publicidad, 
convergen a cero. 
Independientemente de cuál sea el valor inicial de las ventas, 
estas declinarán a cero conforme transcurra el tiempo. 
III.2) Ventas sin publicidad para distintas tasas “r”: 
 
 
 
 
 
 
Para el mismo valor inicial de ventas, a mayor tasa “r” de 
decrecimiento de las ventas, las ventas declinan más 
rápidamente hacia cero conforme transcurre el tiempo. 
Escenario 02: Con inversión en Publicidad 
 
IV) Supuestos: 
 
• La publicidad conduce a un aumento en las ventas directamente 
proporcional a la tasa de publicidad “a”. 
• El aumento de las ventas afectadas por la publicidad surge de la 
proporción del mercado que aún no ha comprado el producto. 
• El mercado tiene una absorción máxima “m” por periodo antes de que 
la empresa deba bajar su precio. 
 
V) Modelamiento Matemático: 
 
Si “m” es la absorción máxima por periodo, entonces, en cualquier periodo t, 
“m - s (t)” denota la parte del mercado que aún no ha comprado el producto, 
y entonces la proporción del mercado que aún no está comprando el 
producto es: 
 m− s(t)m (VII) 
 
Luego, sea “a” la tasa constante de publicidad en miles de Soles, y “γ” la 
proporción de ventas incrementada por dicha publicidad. Si, entonces, las 
ventas aumentan directamente en proporción a la tasa de publicidad, y este 
aumento a su vez puede surgir solo de la proporción del mercado que aún no 
ha comprado el producto, entonces este aumento viene dado por: 
 
γa [m − s(t)m ] (VIII) 
 
Agregando (VIII) a (V) tenemos que: 
 s(t + 1) = (1 − r) ∙ s(t) + γa [m − s(t)m ] 
 
s(t + 1) = (1 − r − γam)⏞ A s(t) + γa⏞B 
 s(t + 1) = As(t) + B (IX) 
 
Trayectoria de las Ventas en el Tiempo con inversión en publicidad: Ahora, 
vamos a hallar una función que dependa del tiempo que satisfaga (IX). Es 
decir, vamos a hallar la solución de la ecuación (IX) que nos permita saber 
cómo evolucionarán las ventas de la empresa a lo largo del tiempo si ésta 
ahora invierte en publicidad. Para ello, vamos a evaluar (IX) para distintos 
periodos de tiempo, suponiendo que en t = 0, s(0) = s0. 
 
 
 
En general, en un periodo cualquiera “t ≥ 0”, la solución de (IX) viene dada 
por: 𝐬(𝐭) = 𝐬𝟎𝐀𝐭 + 𝐁∑ 𝐀𝐢𝐭−𝟏𝐢=𝟎 = 𝐬𝟎𝐀𝐭 + 𝐁(𝟏−𝐀𝐭𝟏−𝐀) (X) 
 
VI) Simulaciones Numéricas: 
 
 
Variables/Parámetros Valores
r 0.18
s0 100
γ 0.6
a 2
m 20
A 0.76
B 1.2
s* 5.00
t 𝐬(𝐭 + 𝟏) = 𝐀𝐬(𝐭) + 𝐁 
0 s(1) = As(0) + B = As0 + B 
1 s(2) = As(1) + B = A(As0 + B) + B = A2s0 + B(1 + A) 
2 s(3) = As(2) + B = A[A2s0 + B(1 + A)] + B = A3s0 + B(1 + A + A2) 
3 s(4) = As(3) + B = A[A3s0 + B(1 + A + A2)] + B = A4s0 + B(1 + A + A2 + A3) 
 
 
 
 
VI.1) Ventas con Publicidad para distintas “a = ctes” 
 
 
 
Para el mismo valor inicial de ventas, a mayor tasa “r” 
de decrecimiento de las ventas, las ventas declinan más 
rápidamente hacia cero conforme transcurre el tiempo. 
Para el mismo valor inicial de ventas, a mayor tasa de 
publicidad “a”, las ventas convergen a un valor “s*” mayor 
conforme transcurre el tiempo. 
VI.2) Ventas con Publicidad y con a = a(t): 
 
Ahora permitiremos que la publicidad sea diferente en los distintos periodos 
de tiempo, y denotaremos la tasa de publicidad como a(t). Aquí asumimos 
que dicha publicidad tiene lugar desde el periodo 1 en adelante. Entonces 
podemos resolver la trayectoria de las ventas utilizando la siguiente fórmula: 
 s(t + 1) = [1 − r − γa(t+1)m ] s(t) + γa(t + 1) (XI) 
 
 
 
 
 
Variables/Parámetros Valores
r 0.05
s0 100
γ 0.6
m 300
t s(t) a(t)
0 100.00 0
1 105.00 25
2 109.50 25
3 113.55 25
4 117.20 25
5 120.48 25
6 123.43 25
7 126.09 25
8 128.48 25
9 130.63 25
10 132.57 25
11 125.94 0
12 119.64 0
13 113.66 0
14 107.98 0
15 102.58 0
16 97.45 0
17 92.58 0
18 87.95 0
19 83.55 0
20 79.37 0
 
 
 
 
VII) Resumen de Ideas 
 
• En este documento, basados en Shone (2003), hemos realizado un 
análisis dinámico de una empresa monopolística que produce y vende 
un único bien/servicio tanto sin como con inversión en publicidad. 
 
• Asimismo, se han efectuado diversas simulaciones numéricas en 
Microsoft Excel de la trayectoria de las ventas de la empresa 
monopolística, ya sea que esta no invierta o si lo haga en publicidad de 
su producto. 
 
• El análisis de estos dos casos nos ha permitido comprender la utilidad 
de las simulaciones numéricasen el modelamiento dinámico en las 
Ciencias Económicas y Empresariales. 
 
Durante los primeros 10 años, la publicidad lleva a un 
aumento de las ventas que compensa el declive natural. 
Sin embargo, una vez que la publicidad se detiene, el 
declive natural comienza a tomar efecto. 
VIII) Bibliografía: 
 
• Bazán, C. (2014). Sistemas Dinámicos en Economía. Ediciones USAT. 
Chiclayo. 
 
• Shone, R. (2003). An Introduction to Economic Dynamics. Cambridge 
University Press. 
 
• Tu, P. (1994). Dynamical Systems: An Introduction with Applications in 
Economics and Biology. 2nd Edition. Springer-Verlag.