Tema_1-x1

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Universidad Nacional de Tucumán
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS 
Y TECNOLOGIA 
1
MAGISTER EN 
METODOS 
NUMERICOS Y 
COMPUTACIONALES 
EN INGENIERIA
MATEMATICA 
NUMERICA
http://www.unt.edu.ar/
http://www.unt.edu.ar/
Tema 1
Modelos Matemáticos y Cálculo 
Numérico
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OBJETIVOS
Comprender el significado y alcance de los 
modelos matemáticos en ciencia e ingeniería 
Comprender los errores que se cometen en el 
cómputo con ordenadores digitales
Adquirir destreza para identificar la técnica 
numérica que se debe aplicar en la resolución 
de modelos matemáticos
Tema 1
Modelos Matemáticos y Cálculo 
Numérico
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TEMAS
Sistemas reales y modelos matemáticos. Análisis
numérico y matemática formal. Fuentes de error.
Cifras significativas, exactitud de los cálculos,
aritmética de punto flotante, error de redondeo.
Error de truncación, serie de Taylor. Propagación.
Análisis de los errores numéricos totales. Condición
y estabilidad. Algoritmos numéricos, criterios de
exactitud de cálculo. Recursos disponibles en
Internet.
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A
Etimológimente el 
término modelo
proviene del latín 
‘modulus’, que 
significa molde.
¿QUÉ ES 
UN 
MODELO?
El diccionario 
de la Real 
Academia 
Española propone 
once acepciones 
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En Ciencias e Ingeniería interesa dos acepciones:
¿QUÉ ES UN MODELO?
MODELO MENTAL O CONCEPTUAL
Es una representación de una realidad en la
que los elementos que la componen deben ser
aquellos considerados los más relevantes para
la estructura del modelo, este modelo
representa solamente una parte de la
realidad.
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A Un ejemplo simple de un modelo conceptual
es la relación causal simple aplicada a la
demografía (como la pensaba Malthus)
+ +
+
+
Nacimientos
Población en el
mundo
¿QUÉ ES UN MODELO?
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¿PARA QUÉ SIRVE UN MODELO?
EXPLICAR FENÓMENOS. La mayoría de las teorías
desarrolladas en física pertenecen a esta categoría:
la mecánica de Newton, la termodinámica, la teoría
de la relatividad de Einstein, etc. Pero se usa en
diversos campos como la economía (i.e. modelo de
ajuste de demanda-inflación agregada)
HACER PREDICCIONES. Una vez que se construyen
los modelos que explican los fenómenos, estos
modelos pueden usarse como un paso más para hacer
predicciones sobre el desarrollo futuro de un
fenómeno del mundo real. Por ejemplo, los modelos
aerodinámicos hacen, predicciones sobre la
maniobrabilidad de un avión.
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¿PARA QUÉ SIRVE UN MODELO?
COMUNICAR. Otro aspecto importante de los modelos es
que se pueden utilizar para comunicar el conocimiento. Si
una persona A quiere visitar a la persona B, podría pedirle
la forma de conducir. B dibujará la ruta correcta en una
hoja de papel con algunas líneas y algunas marcas y texto
adicionales, como "aquí en la esquina hay una casa amarilla
con un pequeño jardín". Esta hoja de papel es un modelo
visual para el entorno de la casa de B; su propósito es
comunicar un subconjunto del conocimiento de B sobre su
ciudad a A.
TOMAR DECISIONES. Un ejemplo es el problema de
diseño para una planta química con cientos de variables
de decisión y miles de variables y restricciones
adicionales, escritas como ecuaciones matemáticas y
desigualdades. Representan espacio, capacidad,
limitaciones de costos y principios físicos y químicos.
Y HAY MÁS …
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¿QUÉ ES UN MODELO MATEMÁTICO?
Es un modelo formal, descripto con
códigos matemáticos, que nace a
partir de un modelo conceptual.
Conjunto autónomo de fórmulas
y/o ecuaciones basadas en una
descripción cuantitativa aproxi-
mada de los fenómenos reales y
creada con la esperanza de que el
comportamiento que predice será
consistente con el comportamiento
real en el que se basa.
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¿QUÉ ES UN MODELO MATEMÁTICO?
Retomando el ejemplo de la relación causal
simple aplicada a la demografía (Malthus):
∆𝒑 𝒕 = 𝒑 𝒕 + ∆𝒕 − 𝒑 𝒕 = 𝜷 𝒑 𝒕 ∆𝒕 − 𝜹 𝒑 𝒕 ∆𝒕
nacimientos defunciones
∆𝒑 𝒕
∆𝒕
= (𝜷 − 𝜹) 𝒑 𝒕
𝒅𝒑 𝒕
𝒅𝒕
= (𝜷 − 𝜹) 𝒑 𝒕
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¿Y cómo se pasa 
del fenómeno del 
mundo real al 
modelo matemático?
MODELO 
MATEMÁTICO
Mundo 
Real
Modelo 
conceptual
Conceptualización
Modelo 
Matemático
Formulación
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CONCEPTUALIZACIÓN
• ¿Qué estamos buscando?
Identificar la necesidad
del modelo.
• ¿Qué queremos saber?
Listar los datos que
estamos buscando.
• ¿Qué sabemos? Identificar
los datos relevantes que
están disponibles.
• ¿Qué podemos asumir? Identifique las circuns-
tancias que apliquen.
• ¿Cómo deberíamos mirar este modelo?
Identificar los principios físicos rectores.
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CONCEPTUALIZACIÓN
• ¿Qué predecirá nuestro modelo?
Identifique las ecuaciones que
se utilizarán, los cálculos que se
realizarán y las respuestas que
se obtendrán.
• ¿Son válidas las predicciones?
Identifique las pruebas que se
pueden realizar para validar el
modelo, es decir, verificar la
coherencia con sus principios y
suposiciones.
• ¿Son buenas las predicciones? Identifique las
pruebas que se pueden realizar para verificar el
modelo, es decir, ¿es útil en términos de la
razón inicial por la que se realizó?
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FORMULACIÓN DEL 
MODELO MATEMÁTICO
Implica fundamentalmente dos aspectos que
deben desarrollarse en el marco dado por la
conceptualización.
Estimación y selección variables 
y parámetros del modelo
Determinación de las ecuaciones 
matemáticas del modelo
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FORMULACIÓN 
DEL
MODELO 
MATEMÁTICO
OBJETO O
SISTEMA 
ESTUDIADO
MODELO
VARIABLES PARÁMETROS
¿Qué estamos buscando? 
¿Qué queremos saber? 
¿Son buenas las 
predicciones? 
¿Qué sabemos? 
¿Qué podemos asumir?
¿Cómo deberíamos 
mirar este modelo? 
¿Qué predecirá 
nuestro modelo?
TEST
¿Son válidas las 
predicciones?
PREDICCIONES 
DEL MODELO
PREDICCIONES ACEPTADAS 
MODELO CONVALIDADO
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MODELO MATEMÁTICO EN CIENCIAS
Mundo 
Real
Mundo 
Conceptual
Fenómeno
natural o 
social
Observación
Modelo
Predicciones
Evidencia empírica, 
datos producto de la 
observación directao de la medición
Análisis de las 
observaciones para:
• Describir el 
comportamiento o 
las observaciones
• Explicar el 
comportamiento
Implica:
• Predecir
comportamientos 
aún no vistos
• Convalidar la 
calidad del 
modelo
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MODELO MATEMATICO 
EN CIENCIAS
El interés de la Ciencia es el
conocimiento, la explicación de la
realidad.
El éxito de la ciencia proviene de la
interacción entre teoría y observación.
La teoría se utiliza para explicar y
unificar observaciones y para predecir
resultados de futuros experimentos.
Las observaciones se utilizan para
motivar y validar la teoría.
La conexión entre la teoría y la observación es el ámbito del
modelado matemático. Las matemáticas son un lenguaje que
puede salvar el abismo entre los dos. Hablando
metafóricamente, el modelado matemático es el tendón que
conecta el músculo de las matemáticas con el esqueleto de la
ciencia.
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MODELO MATEMÁTICO EN INGENIERÍA
Los ingenieros están interesados
en diseñar dispositivos, procesos
y sistemas.
Es decir, más allá de observar
cómo funciona el mundo, los
ingenieros están interesados en
crear artefactos que aún no han
cobrado vida.
"El diseño es la actividad distintiva de 
la ingeniería". (Herbert Simon, The 
Sciences of the Artificial)
Los modelos, a menudo, se aplican para predecir lo que
sucederá en una situación futura.
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MODELO MATEMÁTICO EN INGENIERÍA
En el diseño de ingeniería, las
predicciones se utilizan de manera
que tienen consecuencias muy
diferentes a la simple anticipación
del resultado de un experimento.
Cada nuevo edificio o avión, por
ejemplo, representa una predicción
basada en un modelo de que el
edificio se mantendrá en pie o el
avión volará sin consecuencias
terribles e imprevistas.
Más allá de la simple validación de un modelo, la predicción
en el diseño de ingeniería supone que los recursos de tiempo,
imaginación y dinero se pueden invertir con confianza porque
el resultado previsto será bueno.
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USO DEL 
MODELO 
MATEMÁTICO
Mundo 
Real
Modelo 
mental
Conceptualización
Modelo 
Matemático
Formulación
Conclusiones 
“Reales”
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PARA EL 
MODELO, LA 
REALIDAD 
MODELADA 
TIENE TRES 
PARTES
COSAS CUYO EFECTOS DE 
DESPRECIA
Estas cosas el modelo las ignora
COSAS AFECTAN SISTEMA, 
PERO CUYO COMPORTAMIENTO 
NO ES EXPLICADO POR EL 
MODELO
Variables de entrada y parámetros 
(variables independientes)
COSAS PARA LAS QUE EL 
MODELO HA SIDO CONCEBIDO.
Variables de salida
(variables dependientes)
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VARIABLES Y PARÁMETROS DE 
LOS MODELOS MATEMÁTICOS 
Variables de 
entrada o 
Independientes
Variables de 
salida o 
dependientes
ESTRUCTURA
MATEMÁTICA
Parámetros 
El modelo matemático servirá para determinar cómo las
variables dependientes dependen de las variables
independientes.
Los parámetros, son los coeficientes de la estructura
matemática del modelo y que cambian cuando el mismo modelo
se usa en condiciones distintas.
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VARIABLES Y PARÁMETROS DE 
LOS MODELOS MATEMÁTICOS 
La estructura matemática del modelo está constituida por un
conjunto de ecuaciones. Eventualmente también aparecerán
inecuaciones y cotas de las variables surgidas de las
restricciones de las realidad modelada.
Una característica importante de un modelo matemático es la
consistencia que se define como:
Un modelo matemático es consistente si el número
de variables pendientes desconocidas es igual al
número de ecuaciones independientes.
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A En un caso particular de un modelo matemático, se tiene una o más
variables dependientes y una o más variables independientes, y se
asigna un conjunto de valores dados a los parámetros. El objetivo
de una simulación en este caso es determinar cómo las variables
dependientes se relacionan con las variables independientes. Esta
es la visión específica de los modelos matemáticos.
Por el contrario, existe una visión amplia o global, de los modelos
matemáticos, en la que el objetivo es comprender el efecto de los
valores de los parámetros en el comportamiento del modelo.
VARIABLES Y PARÁMETROS DE 
LOS MODELOS MATEMÁTICOS 
Variables 
Independientes
Variables 
dependientes
ESTRUCTURA
MATEMÁTICA
(ecuaciones)
VISIÓN ESPECÍFICA
VISIÓN GLOBAL
PARÁMETROS COMPORTAMIENTO
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GENERACIÓN
DEL
MODELO
MATEMÁTICO
Análisis de un caso
Se quiere analizar como 
evoluciona la velocidad 
de descenso de un 
paracaidista
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GENERACIÓN DEL
MODELO MATEMÁTICO
CONCEPTUALIZACIÓN
• ¿Qué estamos buscando? 
• ¿Qué sabemos? 
• ¿Qué queremos saber? 
• ¿Qué podemos asumir? 
• ¿Cómo deberíamos mirar este 
modelo? 
• ¿Qué predecirá nuestro 
modelo? 
• ¿Son válidas las predicciones? 
• ¿Son buenas las predicciones? 
Análisis de un 
caso: Descenso de 
un paracaidista
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FORMULACIÓN
Análisis de un caso:
Descenso de un paracaidista
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m mg cAu
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 
GENERACIÓN DEL 
MODELO MATEMÁTICO
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FORMULACIÓN
Análisis de un caso: 
Descenso de un 
paracaidista
GENERACIÓN DEL 
MODELO MATEMÁTICO
21
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du
m mg cAu
dt
 
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MODELO 
MATEMÁTICO
Y CÁLULO 
NUMÉRICO
Objetivo 
del curso
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ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE 
LOS MODELOS MATEMATICOS
El objeto de un modelo 
matemático es aplicarlo para 
obtener alguna información 
del fenómeno que se estudia
El modelo es a menudo modificado, 
frecuentemente es descartado, y a 
veces se usa porque es mejor que nada
“Arte es la mentira que nos ayuda a 
ver la verdad” (Picasso).
Un modelo matemático es algo similar
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ALGUNAS REFLEXIONES SOBRE 
LOS MODELOS MATEMATICOS
Un modelo es una representación 
simplificada de realidad, y aunque 
contenga errores, puede poner en 
evidencia algunos componentes 
esenciales de una realidad compleja
El modelo ayuda a separar lo 
esencial de lo superfluo
Sin detalles secundarios, un buen modelo 
permite un análisis profundo de ciertos 
aspectos de la realidad que la observación 
(medición) la presenta oscura
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A
CLASIFICACION DE LOS MODELOS
Tipo
Empírico
Basado en el análisis de 
datos
Mecanístico
Descripcion matemática 
basada en la teoría 
Tipo
Empírico
Basado en el análisis de 
datos
Mecanístico
Descripcion matemática 
basada en la teoría 
Factor tiempo
Estático o de Estado
Estacionario
Independiente del tiempo
Dinámico
Describe el comportamiento
en el tiempo
Tipo
Empírico
Basado en el análisis de 
datos
Mecanístico
Descripción matemática
basada en la teoría
Factor tiempo
Estático o de Estado
Estacionario
Independiente del tiempo
Dinámico
Describe el comportamiento 
en el tiempo
Tratamiento de la incertidumbre
Determinístico
No considera la variabilidad
de los datos
Estocástico
Considera
variabilidad/incertidumbre
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A EMPÍRICO MECANICISTA
DETERMINÍSTICO
Predecir la resistencia 
eléctrica de un metal 
de una relación de 
regresión con la 
temperatura.
Movimiento 
planetario, Basado en 
la mecánica 
newtoniana. 
(ecuaciones 
diferenciales)
ESTOCÁSTICO
Análisis de varianza 
de rendimientos de 
variedad en sitios y 
años de un cultivo
determinado
Genética de 
poblaciones pequeñas 
basadas en herencia 
mendeliana.
(ecuaciones 
probabalísticas)
CLASIFICACION DE LOS MODELOS
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PRINCIPIOS TEÓRICOS EMPLEADOS EN EL MODELADO 
DE INGENIERÍA
MODELOS MECANÍSTICOS
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PRINCIPIOS TEÓRICOS EMPLEADOS EN EL MODELADO 
DE INGENIERÍA
MODELOS MECANÍSTICOS
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A
PARA TENER PRESENTE EN 
EL MODELADO
No construya un modelo complicado
cuando uno simple basta.
1
La fase de deducción del modelo debe ser
cuidadosa. Si las hipótesis no son realistas,
el modelo conducirá a conclusiones inexactas
2
Lo modelos deben ser validados. Se
pueden usar datos “experimentales”
previos o hacer experiencias posteriores.
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A
PARA TENER PRESENTE EN 
EL MODELADO
El crecimiento de un modelo no
necesariamente implica un
aumento de su precisión.
4
Los modelos no deberían ni ser presionados
para hacer algo para lo que no fueron
concebidos, ni criticados por fallar en hacer
aquello para lo que no se los desarrolló.
5
Cuidado con el “marketing”. El modelo
seguramente no resuelve todos los problemas
del mundo. Ser honestos con sus posibilidades.
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A
PARA TENER PRESENTE EN 
EL MODELADO
Algunas ventajas primarias de
modelado están asociadas con el
proceso de desarrollar el modelo.
7
Un modelo no puede ser mejor que la
información que se le suministra. Los
modelos no crean la información, pero
la condensan o la convierten.
8
El símbolo NO es lo que simboliza; la
palabra NO es la cosa; el mapa NO
es el territorio que representa.
(S. I. Hayakawa)
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A
PARA TENER PRESENTE EN 
EL MODELADO
(Y SIEMPRE)
Es la marca de una mente instruida
descansar satisfecho con la precisión
que permite la naturaleza del sujeto y
no buscar una exactitud donde sólo es
posible una aproximación a la verdad.
Aristóteles
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A
CÁLCULO NUMÉRICO
También se conoce como Análisis Numérico,
Matemática Numérica. En los últimos tiempos
se habla de Computación Científica
Es el grupo de conocimientos
matemáticos relacionados con el
diseño y análisis de algoritmos para
resolver problemas matemáticos
que surgen en ciencia e ingeniería,
cuando éstos deben ser resueltos
en computadoras digitales.
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A
Hay dos características relevantes:
CÁLCULO NUMÉRICO
Los cálculos están relacionados 
con cantidades discretas más que 
continuas.
Trata de las aproximaciones que 
se deben hacer y sus limitaciones 
Las aproximaciones no son una
opción: son más bien inevitables
en la mayoría de los casos.
El Cálculo Numérico ayuda a identificar,
cuantificar y minimizar los errores.
http://gif.recursosgratis.com/gif-animados/showphoto.php?photo=3768&password=&sort=1&cat=530&page=1
http://gif.recursosgratis.com/gif-animados/showphoto.php?photo=3768&password=&sort=1&cat=530&page=1
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A MODELO 
MATEMATICO: 
ecuación diferencial 
ordinaria
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 
RESOLUCIÓN 
FORMAL Y 
NUMÉRICA
Análisis de un 
caso:
Descenso de un 
paracaidista
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Cálculo 
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Cálculo 
Formal Exacto
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CÁLCULO NUMÉRICO
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CÁLCULO 
NUMÉRICO
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Cálculo 
Numérico
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Cálculo Numérico vs.
Cálculo Formal Exacto
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¿POR QUÉ LAS 
SOLUCIONES SON 
APROXIMADAS?
La precisión final del resultado
refleja la combinación de las
incertidumbres (errores).
Según el particular procedi-
miento de cálculo, las aproxi-
maciones y perturbaciones
pueden amplificarse.
Incertidumbre 
en los datos
Incertidumbre 
en el modelo
Incertidumbre en 
la resolución 
numérica
Uno de los objetivos principales del análisis 
numérico es la obtención de precisión en los 
resultados de los cálculos
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APROXIMACIONES
Un ejemplo
Calcular la superficie de la
tierra a partir de la medición
de su radio usando la
expresión: 2
r π4 A 
Incertidumbre en 
los datos
El valor del radio 
terrestre está basado en 
datos empíricos
Incertidumbre en 
la resolución 
numérica
El valor de π requiere 
truncación.
Hay error al hacer las 
operaciones en una 
computadora (redondeo)
Incertidumbre en 
el modelo
La tierra es modelada 
como una esfera, una 
idealización
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ERRORES EN 
CÁLCULO 
NUMÉRICO Incertidumbre 
en la 
resolución 
numérica
ERROR DE 
REDONDEO
ERROR DE 
TRUNCACION
ERROR = (VALOR REAL) – (VALOR CALCULADO NUMERICAMENTE)
El valor real, en general, no será conocido, por lo 
tanto, tampoco el error se podrá conocer. 
En análisis Numérico, hay interés en conocer más 
bien, la COTA del error.
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ERROR DE REDONDEO
La mayoría de los computadores representan los
números en forma de enteros o de punto flotante.
La representación de punto flotante de un número
viene dada por:
Ejemplo:  = 0.31415926 10-1
Dígitos Significativos
número de dígitos de la 
mantisa
Esta forma de representar 
los números causa el 
ERROR DE REDONDEO
x =  0.a1a2a3……..an 10b
mantisasigno
Con a1>0
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ERROR DE REDONDEO
Si la computadora admite solo n cifras
significativas, el redondeo se hace al
número más próximo, según:
fl(x) =  0.a1a2a3 … an 10b si an+1<5
Si x =  0.a1a2a3 … an.an+1 .an+2 ...10b
fl(x) =  0.a1a2a3 … (an+1) 10b si an+1≥5
Definición de Redondeo de un 
número x a n cifras significativas
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ERROR DE REDONDEO
Las cotas 
del error de 
redondeo 
serán:
b: exponente
n: número de cifras 
significativas (de 
la mantisa)
Error Absoluto
Error Relativo
𝜹 = 𝒇𝒍 𝒙 − 𝒙
𝜹 ≤ 𝟎. 𝟓 𝟏𝟎𝒃−𝒏
𝝐 =
𝒇𝒍 𝒙 − 𝒙
𝒙
=
𝜹
𝒙
𝝐 ≤ 𝟓 𝟏𝟎−𝒏
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ERROR DE REDONDEO
PRECISIÓN eps
La precisión eps de una computadora es el mayor valor positivo
tal que 1+x = 1 para todo x perteneciente a (0,eps).
Definición (formal):
Se dice que el número x*=fl(x) aproxima al número x con n
cifras significativas, si n es el mayor entero no
negativo que satisface:
En consecuencia, eps viene
dado por el número de dígitos
que soporta en la mantisa
(capacidad para distinguir en-
tre dos números consecutivos.
𝒙 − 𝒇𝒍 𝒙
𝒙
≤
𝟏
𝟐
𝒆𝒑𝒔 =
𝟏
𝟐
𝟏𝟎−𝒏
𝒙 − 𝒙∗
𝒙
=
𝒙 − 𝒇𝒍 𝒙
𝒙
≤ 𝟓 𝟏𝟎−𝒏
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ERROR DE REDONDEO
Cifras significativas
500 con 
distinto 
número de 
cifras 
significativas
Pérdida 
de cifras 
significativas
Pérdida de un 
dígito signifi-
cativo respecto 
del anterior
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ERROR DE REDONDEO
El estándar más difundido para el
almacenamiento de números en los equipos
informáticos es IEEE 754
Single Precision
Double Precision
El exponente se almacena como binario con
complemento a 2, así considera también su signo.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/IEEE_754_Single_Floating_Point_Format.svg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/IEEE_754_Single_Floating_Point_Format.svg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a9/IEEE_754_Double_Floating_Point_Format.svg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a9/IEEE_754_Double_Floating_Point_Format.svg
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ERROR DE REDONDEO
Se designa con el nombre de Aritmética de 
punto flotante a aquella que maneja números 
con una cantidad fija de cifras significativas. 
A cada valor x real se le asocia un número de
máquina mediante una función fl(x).
𝒇𝒍 𝒙 = 𝒙 + 𝜹 𝒄𝒐𝒏 𝜹 ≤ 𝒆𝒑𝒔
𝒇𝒍 𝒙 = 𝒙 𝟏 +
𝜹
𝒙
= 𝒙 𝟏 + 𝜺 𝒄𝒐𝒏 𝜺 ≤ 𝑼
𝒇𝒍 𝒙 ⊗ 𝒚 = (𝒙 ⊗ 𝒚) + 𝜹 𝒄𝒐𝒏 𝜹 ≤ 𝒆𝒑𝒔
𝒇𝒍 𝒙 ⊗ 𝒚 = 𝒙 ⊗ 𝒚 𝟏 +
𝜹
𝒙
= (𝒙 ⊗ 𝒚) 𝟏 + 𝜺 𝒄𝒐𝒏 𝜺 ≤ 𝑼
Aritmética 
de punto 
flotante
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ERROR DE REDONDEO
Los errores en las operaciones son producidos
por la acumulación de errores de redondeo y
la anulación de dígitos de precisión.
EJEMPLO. Suponga que está trabajando con una
computadora que maneja una aritmética de punto
flotante decimal de 4 cifras significativas. Calcule
el error de redondeo al realizar las siguientes
operaciones:
(A) 4,238 + 0,34578 (B) 4,238 + 0,00025
(C) 4,238 – 0,00025 (D) 4,238 + 4,233
Debe quedar claro que se comete error al
almacenar y también en cada operación aritmética
que se hace.
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ERROR DE REDONDEO
Secuencia en las operaciones:
 Se realiza en un registro de longitud
mayor al de memoria
 Se normaliza el resultado
 Se redondea el resultado
 Se almacena el resultado en memoria
El error se propaga en operaciones sucesivas.
Algunas leyes familiares de aritmética real
no son necesariamente válidasen el
sistema de punto flotante. Por ejemplo, la
suma y el producto de punto flotante son
conmutativos, pero la propiedad asociativa
no se cumple.
Para tener 
en cuenta
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Siguiendo la secuencia mencionada con la operación
de suma, se puede evaluar el error total que resulta
de almacenar los sumandos y luego almacenar el
resultado.
ERROR DE REDONDEO
Y el error relativo total será:
   
 
 ; 
  
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 0
1 2 1 1 2 2 0
fl(x ) = x (1 + ε ) fl(x ) = x (1+ ε )
fl fl(x ) + fl(x ) = fl(x ) + fl(x ) (1 + ε )
= x + x x ε x ε (1+ ε )
   
   
1 2 1 2 1 1 2 2
0 0
1 2 1 2
fl fl(x ) + fl(x ) - x + x x ε + x ε
= ε + (1+ ε )
x + x x + x
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Los errores totales para las cuatro operaciones
elementales resulta:
ERROR DE REDONDEO
 
1 1 2 2
R 0 0
1 2
x ε + x ε
E = ε + (1+ ε )
x + x
SUMA
RESTA
 
1 1 2 2
R 0 0
1 2
x ε - x ε
E = ε + (1+ ε )
x - x
PRODUCTO    R 1 2 1 2 0 1 2
E = ε + ε + ε ε 1+ ε ε + ε
COCIENTE 1
R 0 1 2
2
1 + ε
E = (1 + ε ) -1 ε - ε
1 + ε
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A
Un error de redondeo muy común es el ERROR DE
CANCELACION que surge cuando se restan dos
números que tienen el mismo signo y similares
magnitudes. Resulta así una gran pérdida de
información.
ERROR DE REDONDEO
(cancelación)
Debido a esto, es generalmente una mala idea
computar alguna cantidad pequeña como la diferencia
de cantidades grandes, ya que el error de redondeo
dominará el resultado. Para las otras operaciones
elementales el problema del error no es tan
significativo.
𝑬𝑹 = 𝜺𝟎 +
𝒙𝟏𝜺𝟏 − 𝒙𝟐𝜺𝟐
𝒙𝟏 − 𝒙𝟐
𝟏 + 𝜺𝟎
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Las soluciones de la
ecuación cuadrática
ERROR DE REDONDEO
El uso desprevenido de la expresión anterior puede conducir a
serios errores de cancelación. Los problemas de cancelación
entre –b y la raíz cuadrada pueden ser evitados, usando para
computar una de las raíces la fórmula alternativa:
La cancelación dentro de la raíz no puede ser evitada
fácilmente, a menos que se empleen muchas cifras
significativas.
Vienen dadas por
(cancelación)
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A
ERROR DE REDONDEO
(cancelación)
El cómputo de la exponencial de e en ordenadores
se hace a partir de series:
El ERROR DE CANCELACION puede dar en el
cómputo de algunos valores de x próximos a 1, ya
que se va sumando y restando. ¿Cómo se evita este
problema? Usando una expresión equivalente que no
presente ese problema. En este caso, puede ser:
𝒆−𝒙 = 𝟏 − 𝒙 +
𝒙𝟐
𝟐!
−
𝒙𝟑
𝟑!
+ ⋯
𝒆−𝒙 =
𝟏
𝒆𝒙
=
𝟏
𝟏 + 𝒙 +
𝒙𝟐
𝟐!
+
𝒙𝟑
𝟑!
+ ⋯
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A
PROPAGACIÓN DEL ERROR
Al almacenar un número, surge un error de redondeo y al
hacer operaciones con los números, surgen errores asociados a
estas operaciones. Cuantas más operaciones se hagan en
cadena, mayor es la acumulación de los errores. A este
fenómeno se lo denomina, propagación del error. Como no se
pueden eliminar estos errores, hay que tratar de minimizarlos.
EJEMPLO Cómputo de polinomios
𝑷𝟏 𝒙 = 𝒂𝟑𝒙
𝟑 + 𝒂𝟐𝒙
𝟐 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎
𝑷2 𝒙 = ((𝒂
3
𝒙 + 𝒂2)𝒙 + 𝒂1)𝒙 + 𝒂0
Forma tradicional
Forma anidada 
de Horner
Las dos expresiones son equivalentes, pero la segunda involucra
menos operaciones elementales y por lo tanto acumulará menos
errores de redondeo.
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PROPAGACIÓN 
DEL ERROR
El error es superior
cuando se deben hacer
más operaciones
Considerar el polinomio
𝑷 𝒙 = (𝒙 − 𝟏)𝟔
computado de las dos
formas en la proxi-
midad de x = 1.
0.996 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003 1.004 1.005
-1
0
1
2
x 10
-14
 
 
Real
P2(x)
0.996 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003 1.004 1.005
-1
0
1
2
x 10
-14
 
 
Real
P1(x)
P1(x) Forma tradicional
P2(x) Forma anidada 
de Horner
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A
ERROR DE TRUNCACIÓN
El error de truncación surge como consecuencia del
empleo de expresiones matemáticas aproximadas.
Por ejemplo, si la función f y sus primeras n+1
derivadas son continuas, el valor de la función en
xi+1 puede ser evaluado (aproximado) con
información de xi
Residuo
𝒇 𝒙𝒊+𝟏 = 𝒇 𝒙𝒊 + 𝒇 𝟏 𝒙𝒊 𝒉 +
𝟏
𝟐!
𝒇 𝟐 𝒙𝒊 𝒉𝟐 + ⋯
+⋯+
𝟏
𝒏!
𝒇 𝒏 𝒙𝒊 𝒉𝒏 + 𝑹𝒏+𝟏
𝒉 = 𝒙𝒊+1 − 𝒙𝒊
𝑹𝒏+𝟏 =
𝟏
(𝒏 + 𝟏)!
𝒇 𝒏+𝟏 𝜽 𝒉𝒏+𝟏
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ERROR DE TRUNCACIÓN
Error de Truncación de 
la aproximación lineal
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ERRORES EN 
CÁLCULO NUMÉRICO
Comparación
Error que es el resultado de no poder 
representar el verdadero valor adecuada-
mente. Es el resultado de usar un número 
aproximado para representar el número exacto.
SE ORIGINA EN LA COMPUTADORA 
ERROR DE 
REDONDEO
Errores que son el resultado de usar 
una aproximación en lugar de un 
procedimiento matemático exacto.
SE ORIGINA EL MÉTODO NUMÉRICO
ERROR DE 
TRUNCACION
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ERRORES EN 
CÁLCULO NUMÉRICO
El Error Total de computación es la suma del Error de Redondeo 
y el de truncación.
El Error de Redondeo se puede disminuir trabajando con precisión 
numérica más alta.
El Error de Trunca-
ción se disminuye
empleando fórmulas
más precisas.
Normalmente, uno de
los dos es el que
domina el cálculo y el
otro es despreciable.
En general son con-
trapuestos.
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A
ERRORES EN 
CÁLCULO NUMÉRICO
FALLO DEL MISIL PATRIOT
En 1991, durante la guerra del Golfo, misiles Patriot
americanos en Arabia Saudí no lograron interceptar un
misil Scud iraquí. Murieron 28 soldados americanos. La
causa: los errores numéricos por utilizar truncado en
lugar de redondeo en el sistema que calcula el momento
exacto en que debe ser lanzado el misil.
Los misiles llevaban en
funcionamiento más de 100
horas, por lo que el tiempo
era un número muy grande
y el número real tenia un
error cercano a 0.34
segundos.
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A Overflow y 
Underflow
ERROR DE REDONDEO
Surgen cuando el resultado
de las operaciones no
pueden ser representados
por que el número de bits
disponibles para el expo-
nente supera la capacidad
del procesador
M
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ALGORITMO
Un algoritmo es un procedimiento de cálculo que consiste en un
conjunto de instrucciones precisas. Estas instrucciones
especifican una sucesiónfinita de operaciones que una vez
ejecutadas proporcionan la solución a un problema de entre los
de una clase especial de problemas.
Debe ser preciso e indicar un orden
de realización de cada paso.
Debe ser definido, es decir, si se
repite varias veces, debe de dar el
mismo resultado.
Debe ser finito, es decir, debe
terminar en algún momento.
Debe ser Independiente, de propósito
general
CARACTERÍSTICAS:
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ELEMENTOS DE UN ALGORITMO
Un algoritmo consta de
datos y de sentencias
DATOS
Se almacenan en variables y constantes y
se involucran en operaciones
SENTENCIAS
Describen las acciones que deben ser
ejecutadas (cálculos, entradas/salidas y
control de flujo del algoritmo)
DATOS DE 
ENTRADA PROCESO
DATOS DE 
SALIDA
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EJEMPLO DE ALGORITMO
Algoritmo para calcular el
promedio de 3 calificaciones
DATOS DE 
ENTRADA
PROCESO
DATOS DE 
SALIDA
N1, N2, N3
Leer N1, N2, N3
Prom = (N1+N2+N3)/3
Escribir Prom
Prom
Se puede verificar que cumple con todas las
condiciones
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ALGORITMO
Codificación
Creación del 
Algoritmo
Diseño
Respuesta = 
‘2’
Ejecución y obtención 
de resultados
Test
Problema a 
Resolver
Análisis
Ordenamiento 
de las Ideas
Compilación
Fin
Secuencia 
de 
resolución 
de un 
problema
Correcciones
Los algoritmos son la forma en la que se resuelven
problemas matemáticos a partir de datos y los datos
de entrada pueden tener errores.
INQUIETUDES:
¿Qué influencia tienen los errores de los datos en
la precisión de los resultados del algoritmo?
¿Cómo influye el particular algoritmo en la calidad
del resultado?M
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ERRORES EN LOS 
ALGORITMOS
Análisis de dos 
aspectos del 
problema
Condicionamiento
Estabilidad
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A Los términos “condicionamiento” y/o “problema bien
o mal condicionado” se utilizan de manera informal
para indicar la sensibilidad de la solución del
problema con respecto a pequeños errores relativos
en los datos de entrada.
Para hacer este tipo de apreciaciones es preciso
“cuantificar” a priori esta sensibilidad, utilizando
para ello un modelo apropiado del problema.
Una primera aproximación, podría ser definir
Número de Condición:
CONDICIONAMIENTO 
DE UN SISTEMA
𝑵𝑪 =
𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐
𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔
M
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A
Según el tipo de error que se considere, se pueden
definir dos tipos de Número de Condición:
CONDICIONAMIENTO 
DE UN SISTEMA
𝑵𝑪𝑹 =
𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑹𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐
𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑹𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔
𝑵𝑪𝑨 =
𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑨𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐
𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔
En algunos casos se podrá calcular en forma directa a partir
de ecuaciones matemáticas, pero en otros habrá que producir
pequeños cambios en los datos y evaluar el cambio en el
resultado.
𝑵𝑪𝑹 ≈ 𝟏 𝑵𝑪𝑹 ≫ 𝟏
Sistema bien
Condicionado
Sistema mal 
Condicionado
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A EJEMPLO. Sea evaluar f con el argumento
aproximado x+h en vez del real x considerando
errores relativos.
ERROR
ABSOLUTO
ERROR
RELATIVO
NÚMERO DE
CONDICIÓN 
RELATIVO
CONDICIONAMIENTO 
DE UN SISTEMA
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A
Qué sucede si la función f depende de varias
variables x1, x2, x3, …
En ese caso, habrá un Número de Condición para
cada variable definido como:
CONDICIONAMIENTO 
DE UN SISTEMA
El sistema estará bien condicionado, si todos los
números de condición son bajos.
𝑵𝑪𝒊 =
𝛛𝒇
𝛛𝒙𝒊
𝒙𝒊
)𝒇(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, …
M
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CONDICIONAMIENTO 
DE UN SISTEMA
Datos Resultados 
Datos Resultados 
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ESTABILIDAD DE 
LOS ALGORITMOS
Un aspecto importante en los algoritmos es la
Estabilidad, que tá vinculada con el error que se
comete en cada uno de los pasos del algoritmo.
Un método es estable, si los errores debidos a las
aproximaciones se atenúan a medida que la computación
avanza. El método es inestable si cualquier error en el
procesamiento se magnifica conforme se avanza.
𝑬𝒏 = 𝑪 𝒏 𝑬𝟎
𝑬𝒏 = 𝑪𝒏 𝑬𝟎
Error con cre-
cimiento lineal
Error con creci-
miento Exponencial
Estabilidad
Inestabilidad
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PRECISIÓN DE LOS RESULTADOS
La Precisión de los resultados en un proceso de
computación numérica es una medida de la
proximidad de los resultados obtenidos con el
valor real.
Del 
algoritmo
Del 
sistema
De los 
resultados
La imprecisión puede provenir de aplicar algoritmos estables
a problemas mal condicionados o de aplicar algoritmos
inestables a problemas bien condicionados.
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A
PRECISIÓN DE LOS 
RESULTADOS
Por lo tanto la Precisión se mide por el error total de los
resultados en un proceso de computación numérica
Si representa la “función real” y es el resultado del
algoritmo computacional, x el valor de la variable “real”
mientras que x* es el correspondiente valor computacional,
entonces el error total tiene tres componentes:
𝒇 𝒇
EstabilidadError Total
Con lo que: 
𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙∗ = 𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙∗ + 𝒇 𝒙∗ − 𝒇 𝒙∗
Condición
𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙∗ ≤ 𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙∗ + 𝒇 𝒙∗ − 𝒇 𝒙∗
M
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A
PROPAGACIÓN DEL ERROR
Algo que resulta de mucho interés conocer en
Cálculo numérico es la forma en la los errores
inherentes en los datos de entrada influyen en el
resultado final proporcionado por el algoritmo. Esto
se conocer como Propagación del Error.
Si en el algoritmo interviene varias variables de entrada x1,
x2, ..., xN y se genera una sola variable se salida y:
La fórmula fundamental del cálculo de errores, que resulta de
aplicar el Teorema de Taylor y tomar una aproximación de
primer orden resulta:
)𝒚 = 𝒇(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝑵
∆𝒚 ≤ 
𝒊=𝟏
𝑵
𝛛𝒇
𝛛𝒙𝒊
∆𝒙𝒊
Observar que aparece en NCA
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PROPAGACIÓN 
DEL ERROR
Si en el algoritmo intervienen
varias variables de entrada x1,
x2, ..., xN y se genera un
vector de salidas y1, y2, ..., yM :

































)x,...,x,(xf
 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . ..
)x,...,x,(xf
)x,...,x,(xf
 
y
.
.
y
y
N21M
N212
N211
M
2
1
La fórmula fundamental del cálculo de errores, resulta:
M1,2,..., j


 

 Δx 
x
fΔy
N
1i
i
i
j
j
    Δx)xJ(Δy O en forma matricial:
M
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COMPUTACIÓN CIENTÍFICA (Y TÉCNICA)
 Matemática
 Ciencia 
 de la 
 Computación
Ciencia e
Ingeniería
Lo que hoy se denomina COMPUTACION CIENTÍFICA busca
aumentar la comprensión de los fenómenos estudiados por las
ciencias y los problemas de las ingenierías a través del uso
intensivo de las computadoras. Redondeando, sería Modelación
Matemática más cálculo numérico.
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CÁLCULO NUMÉRICO Y MATEMÁTICA
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RECURSOS EN INTERNET
NUMERICAL ALGORITHMS GROUP - NAG (Numerical
Algorithms Group, Inc.). Es una bibioteca con una gran
variedad de subrutinas en FORTRAN y C, extendidas para
ambiente Matlab inclusive.
(http://www.nag.co.uk)
NETLIB de la University of Tennessee and Oak Ridge
National Laboratory (USA). Contiene una enorme cantidad
de recursos cuidadosamente clasificados.
(http://www.netlib.org)
NUMERICAL RECIPES por Press, Teukolsky, Vetterling, and
Flannery. Es un conjunto muy conocido de rutinas numéricas
para una variedad de lenguajes de programación. Sus
manuales poseen mucha información sobre los métodos
numéricos empleados.
(http://www.nr.com)
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RECURSOS EN INTERNET
El sitio correspondiente al libro
“Scientific Computing: An
Introductory Survey” de
Michael T. Heath pueden
encontrar abundante infor-
mación sobre bibliotecas de
software, ambientes de
computación científica y
simulación.
http://heath.cs.illinois.edu/scicomp/software/
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A
RECURSOS EN INTERNET
En Software libre, existen algunos recursos con
enormes posibilidades
OCTAVE es un lenguaje de alto
nivel diseñado para cálculo
numérico y prácticamente
compatible con Matlab.
Incorpora herramientas para
resolver problemas de álgebra
lineal, calcular raíces de
ecuaciones no lineales, integrar
funciones, mani-pular polinomios
e integrar ecuaciones diferen-
ciales.
OCTAVE
SCILAB es un paquete de cálculo
numérico, que incluye cientos de
funciones matemáticas (que se
pueden ampliar mediante
programas escritos en C, Fortran
y otros lenguajes), estructuras
de datos sofisticadas (listas,
polinomios, funciones racionales,
sistemas lineales, etc), un
intérprete y su propio lenguaje
de programación.
SCILAB
Tema 1
Modelos Matemáticos y Cálculo 
Numérico
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TEMAS
Sistemas reales y modelos matemáticos. Análisis
numérico y matemática formal. Fuentes de error.
Cifras significativas, exactitud de los cálculos,
aritmética de punto flotante, error de redondeo.
Error de truncación, serie de Taylor. Propagación.
Análisis de los errores numéricos totales. Condición
y estabilidad. Algoritmos numéricos, criterios de
exactitud de cálculo. Recursos disponibles en
Internet.
Universidad Nacional de Tucumán
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS 
Y TECNOLOGIA 
1
MAGISTER EN 
METODOS 
NUMERICOS Y 
COMPUTACIONALES 
EN INGENIERIA
MATEMATICA 
NUMERICA
http://www.unt.edu.ar/
http://www.unt.edu.ar/