14. La dinámica de una población de peces sometidos a una pesca severa sigue el siguiente modelo discreto xn+1 = xn + 2xn (1− xn/4) − 1, donde xn es el número de peces (medido en miles) en el año n. a) Si x0 = 2, ¿cuál es el valor de x2? b) Calcula sus puntos de equilibrio y estudia su estabilidad. c) Interpreta biológicamente los resultados. 1. x1 = x0 + 2x0 (1− x0/4) − 1 = 2 + 4 (1− 2/4) − 1 = 3 x2 = x1 + 2x1 (1− x1/4) − 1 = 3 + 6 (1− 3/4) − 1 = 3.5 2. Tenemos que resolver la ecuación x = f(x) con f(x) = x+ 2x (1− x/4) − 1: x = x+ 2x (1− x/4) − 1 ⇐⇒ 2x (1− x/4) − 1 = 0 ⇐⇒ x2 − 4x + 2 = 0 ⇐⇒ {x = 2− √2 ≈ 0.58 o bien x = 2 + √2 ≈ 3.41 Los puntos de equilibrio son x?1 = 0.58 y x?2 = 3.41 (valores aproximados) . Para estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio necesitamos calcular la derivada de f : f ′(x) = 3− x. Se tiene: {f ′(x?1) = 3− 0.58 = 2.48 > 1 =⇒ x?1 = 0.58 es localmente inestable f ′(x?2) = 3− 3.41 = −0.41; |f ′(x?2)| < 1 =⇒ x?2 = 3.41 es localmente estable 3. Desde el punto de vista biológico, que x?1 = 0.58 y x?2 = 3.41 sean puntos de equilibrio significa que si el sistema se inicia con estos valores, permanece constante, es decir el número de individuos de la población no cambiará en el tiempo. En efecto, si se comienza con x0 = 0.58 (miles de peces), x0 = 0.58, x1 = x0 + 2x0 (1− x0/4) − 1 = 0.58 + 2× 0.58 (1− 0.58/4) − 1 = 0.58, etc. Análogamente, si se comienza con x0 = 3.41 (miles de peces), x0 = 3.41, x1 = x0 + 2x0 (1− x0/4) − 1 = 3.41 + 2× 3.41 (1− 3.41/4) − 1 = 3.41, etc. Que el punto de equilibrio x?2 = 3.41 sea localmente estable quiere decir que, si iniciamos el sistema con un valor x0 ≠ 3.41, pero próximo, el sistema evolucionará acercándose a este valor. Por el contrario, que el punto de equilibrio x?2 = 0.58 sea localmente inestable significa que, si comenzamos con un valor x0 ≠ 0.58, por muy próximo que sea, el sistema evolucionará alejándose del valor 0.58.