13. La dinámica de una determinada población de mamíferos (medida en miles) que habita un parque natural viene dada por el modelo de Ricker : xn = xn−1e r(1− xn−1/K ), n ≥ 1 con parámetro de crecimiento r = 0.4 y capacidad de alojamiento K = 5 (miles). Se pide: a) Si la población inicial de mamíferos es x0 = 3.5, ¿cuál es la población tras dos periodos de reproducción? b) Calcula los puntos de equilibrio del modelo y estudia su estabilidad. c) Interpreta biológicamente los resultados. 1. Calculamos x1 y x2, a partir de x0 = 3.5: x1 = x0e r(1− x0/K ) = 3.5e0.4(1− 3.5/5 ) ≈ 3.946 x2 = x1e r(1− x1/K ) = 3.946e0.4(1− 3.946/5 ) ≈ 4.293 Esto es, tras un periodo reproductivo habrá 3946 ejemplares y después de dos habrá 4293. 2. Los puntos de equilibrio son las soluciones de la ecuación x = f(x) con f(x) = xer(1−x/K) x = xer(1−x/K) ⇐⇒ x (1− er(1−x/K) ) = 0 ⇐⇒ {x = 0 o bien er(1−x/K) = 1 ⇐⇒ 1− x/K = 0 ⇐⇒ x = K Los puntos de equilibrio son x?1 = 0 y x?2 = K = 5 Para estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio calculamos en primer lugar la derivada de f f ′(x) = er(1−x/K) + x (−r/K) er(1−x/K) = (1− rx/K) er(1−x/K) ... f ′(x?1) = f ′(0) = (1−0)er = er > 1 (porque r > 0), luego el punto de equilibrio x?1 = 0 es inestable ... f ′(x?2) = f ′(5) = (1− 2/5)er(1−5/5) = 3/5, luego el punto de equilibrio x?2 = 5 es estable 3. ... x?1 = 0 es un punto de equilibrio inestable: Esto significa que si inicialmente hay 0 individuos, seguirá habiendo 0 individuos para todo tiempo posterior. El hecho de que sea inestable indica que, si se inicia el modelo con un número x0 ≠ 0, aunque sea próximo, el sistema evolucionará alejándose de 0.