logica

Vista previa del material en texto

COMPETENCIAS 
Al terminar esta unidad, el estudiante estará en capacidad de: 
­  Comprender  y  aplicar  con  suficiencia,  las  nociones,  conceptos,  definiciones,  axiomas  y  leyes  que 
fundamentan la teoría de conjuntos, en el estudio y análisis de las fuentes documentales, referenciadas para 
dinamizar el proceso de aprendizaje y en situaciones específicas, donde es pertinente su aplicabilidad. 
TEORÍA DE CONJUNTOS. 
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas; se considera como padre de la teoría de conjuntos, 
al matemático George Ferdinand Cantor.  La teoría de conjuntos, dentro de la lógica, es fundamental, ya que 
permite  desarrollar  la  simbolización  y  representación  de  las  proposiciones  y  sus  respectivas  funciones  de 
manera grafica. 
1. CONCEPTO Y PROPÓSITO DE LOS CONJUNTOS. 
Un  conjunto  es  una  colección  de  objetos  que  tienen  algo en  común;  acada  objeto  de  un  conjunto,  se  le 
denomina elemento. La teoría de conjuntos, es uno de los fundamentos de la matemática y de los procesos 
del ser humano. 
Para  este  caso,  de  los    términos  y  principios  de  la  teoría  de  los  conjuntos,  se  utilizarán  para  construir 
proposiciones matemáticas, de manera más clara y precisa. En síntesis, un conjunto es una colección bien 
definida de objetos de cualquier clase. 
1.1. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO 
Los conjuntos se pueden determinar de dos formas: 
1.1.1  Por Extensión ó Forma Tabular: Un conjunto se determina por extensión, o sea por enumeración, 
cuando se listan los elementos del conjunto. 
1.1.2.  Por comprensión o Forma Constructiva 
Un conjunto se determina por comprensión, cuando se da  una propiedad, que la cumplan todos los 
elementos del conjunto. 
Ejemplo 1 
A = {a, e, i, o, u}                B = {0, 2, 4, 6, 8}                  C = {c, o, n, j, u, t, s} 
En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento. 
Ejemplo 2 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
A = {x/x es una vocal} 
B = {x/x es un número par menor que 10} 
C = {x/x es una letra de la palabra conjuntos}
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
Observe el siguiente cuadro comparativo de determinación de conjuntos: 
Por Extensión  Por comprensión 
A = { a, e, i, o, u }  A = { x/x es una vocal } 
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }  B = { x/x es un número par menor que 10 } 
C = { c, o, n, j, u, t, s }  C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos } 
D = { 1, 3, 5, 7, 9 }  D = { x/x es un número impar menor que 10 } 
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . }  E = { x/x es una consonante } 
2. TIPOS DE CONJUNTOS 
2.1. CLASES DE CONJUNTOS 
Conjunto Finito: Es  aquel conjunto que tiene un número de elementos distintos y determinado. Cuando no 
se puede llegar al final en el conteo de los elementos, el conjunto es infinito. 
Conjuntos  Iguales:  Dos  o más    conjuntos    son  iguales,  cuando  tienen  los mismos  elementos,  tanto  en 
número  como  en  tipo.  La  igualdad  se  denota A  = B.  En  la  igualdad,  el  orden  de  los  elementos  de  cada 
conjunto no importa. 
Conjunto Vacío: Conjunto  vacío o nulo, es aquel que no tiene?????. Se denota por el símbolo ø o {}. 
Ejemplo 3 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} Conjunto infinito 
P = {x / x es una ciudad de Colombia} Conjunto finito 
V = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito 
Ejemplo 4 
A = {3, 9,17, 22} y B = {22, 9, 3, 17}    A = B 
X = {Consonantes de la palabra MERCURIO} y  Y = {M, R, C}  X= Y 
Ejemplo 5 
A = { Los caimanes que vuelan }  A = { }  A = Ø 
B = { x / x es un mes que tiene 53 días}  B = { }  B = Ø 
C = { x / x 3 = 8 y x es impar }  C = { }  C = Ø 
D = { x / x es un día de 90 horas }  D = { }  D = Ø
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un  elemento. 
Conjunto Universal: Es el conjunto que contiene a todos los elementos del espacio muestral existente. Se 
denota por la letra U. 
Conjunto  Potencia:  Todos  los  subconjuntos  de  un  conjunto  M,  se  llaman  conjunto  potencia  de  M,  y  se 
denota como 2 M . 
Conjuntos Disyuntos: Cuando  dos  o más  conjuntos  no  tienen  ningún elemento  en  común,  entonces  son 
disyuntos. 
Ejemplo 6(Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
A = {5} 
B = {números pares entre 16 y 20} = {1 8 } 
C = {la capital del Perú} = {Lima} 
Ejemplo 7 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
Sean los conjuntos: 
A = {Aves], P = {Peces}, M = {Mamíferos}, D= [Reptiles]. Existe un conjunto que incluye a los conjuntos A, P, M y D. Y 
este es el conjunto  U = {animales}, o conjunto universal. 
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación 
Ejemplo 8 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
a)  M = { 1, 2 } 
2 M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} 
El conjunto M tiene 2 elementos entonces 2 2 = 4 elementos 
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2 M  tendrá 2 n elementos. 
Ejemplo 9 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
Conjuntos disyuntos  Conjuntos no disyuntos 
A = { 2, 4, 6 }  M = { o, p, q, r, s } 
B = { 1, 3, 5 }  N = { s, t, v, u } 
A y B son disyuntos.  M y N no son disyuntos. 
U A  P  M  D
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
2.2. DIAGRAMAS DE VENN 
Son la forma diseñada para representar gráficamente las proposiciones; su autor fue el matemático Leonhard 
Euler,  pero  quien  los  utilizo  y  dio  a  conocer  fue  Jhon  Venn.  Los  diagramas  de  Veen  se  emplean  para 
representar  las  proposiciones  y  sus  operaciones  en  forma de  conjuntos;  éstos    constituyen  una  poderosa 
herramienta geométrica. 
A  continuación  se  analiza  la  representación  grafica  de  las  relaciones  entre  proposiciones,  veamos  los 
siguientes ejemplos que servirán para ilustrar dichas relaciones: 
P: Estudiantes que aprueban el curso de lógica matemática 
Q: Estudiantes que aprueban el primer semestre académico 
U: El conjunto universal que representa a los estudiantes de primer semestre de la Universidad. 
Las posibles relaciones entre estas proposiciones son de cuatro formas: 
Forma 1: Ningún estudiante que apruebe el curso de lógica matemática, aprueba el semestre: 
Forma 2: Algunos estudiantes que aprueben el curso de lógica matemática, aprueban el semestre: 
Forma  3:  Todos  los  estudiantes  que  aprueben  el  curso  de  lógica  matemática,  aprueban  el  semestre: 
Forma 4: Todos los estudiantes que aprueben el semestre, aprueban el curso de lógica matemática, siendo 
esté el reciproco de la forma 3: 
U 
P 
Q 
U 
P  Q 
U 
P  Q
2.3. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN 
1. Negación: P = ¬ P 
2. Disyunción (y): P v Q 
3. Conjunción (o): P ^ Q 
4. Condicional (Si… entonces): P → Q 
5. Bicondicional (Si y solo si): P ↔ Q 
U 
P  P 
U 
P  ¬ P 
U 
P
Con Exclusión                         Con Intersección  Con Inclusión 
Q 
P 
Q 
U 
P 
Q 
U 
U 
P
Con Exclusión                         Con Intersección  Con Inclusión 
Q  P  Q 
U 
Q 
P 
U 
U 
P
Con Exclusión                         Con Intersección  Con Inclusión 
Q  P  Q 
U 
P 
Q 
U 
U 
Q 
P
3. OPERACIONES Y FUNCIONES. 
3.1. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. 
Unión  de Conjuntos:  La  unión  entre  conjuntos    da  como  resultado  otro  conjunto,  formado  por  todos  los 
elementos que pertenecen  a cada conjunto que participa en la unión. Se denota  A U B. Se define como: 
A UB = {x / x ∈ A o x ∈ B} 
Y se grafica de la siguiente manera: 
U 
A 
Sin elementos comunes  Con elementos comunes  Todos elementos de A ∈ B 
B  A  B 
U 
B 
A 
U 
U 
P 
Con Exclusión                         Con Intersección  Con Inclusión 
Q 
P  Q 
U 
P 
Q 
U 
Ejemplo 10 
Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4} y  C = {5, 6, 8}, efectuar y construir los diagramas 
respectivos: 
1. AUB  2. B U C  3.  A U C 
Resolviendo tendríamos: 
1.  A = {0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }  A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } 
2. B = {0, 2, 4} y C = {5, 6, 8}  B U C = {0, 2, 4, 5, 6, 8} 
A  C 
0  1 
2  3
4 
6 
8 5 
U 
U 
C B 
5 
6 
8 
0 
2 
4
Intersección de Conjuntos: 
La  intersección  entre  conjuntos  da  como  resultado  otro  conjunto  de  elementos  que  son  comunes  a  los 
conjuntos intersectados. Se denota: A ∩ B, se define: 
A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B} 
Y su representación gráfica, mediante diagrama de Venn, es: 
U 
A 
Con elementos comunes  Sin elementos comunes  Todos elementos de A ∈ B 
B  A  B 
U 
B 
A 
U 
3.  A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {0, 2, 4}  A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
U 
B 
A 
0 
2 
4 
1 
3 
5 
Ejemplo 11 
Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}, efectuar y construir los diagramas respectivos: 
1.  A ∩ C  2. B ∩ C  3.  A ∩ B 
1.  A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {2, 4}  A ∩ C = {2,4} 
2.  B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}  B ∩ C = { } 
U 
2 
4 
0          1 
3 
5 
A 
C 
3 
5 
7 
2 
4 
U 
B  C
Diferencia de conjuntos: 
La diferencia entre conjuntos, da como resultado otro, formado por todos los elementos del conjunto A,  que 
no pertenecen al conjunto  B. Se denota: A ­ B y se lee: A diferencia B o A menos B. Se define como: 
A ­ B = {x / x ∈A y x ∉B} 
La representación gráfica, mediante diagramas de Venn, queda: 
U 
A 
Sin elementos comunes  Con elementos comunes  Todos elementos de A ∈ B 
B  A  B 
U 
B 
A 
U 
3.  A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 5, 7}  A∩B = {3,5} 
U 
0 
1    2
4 
7 
3 
5 
A  B 
Ejemplo 12 
Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g}, efectuar y construir los diagramas respectivos: 
1.  A – C  2. B – C  3.  A – B 
1.  A = {a, b, c, d, e} y C = {d, f, g}  A ­ C = {a, b, c, e} 
2. B = {a, e} y C = {d, f, g}  B ­ C = {a, e} 
3.  A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e}  A ­ B = {b, c, d} 
a 
b    c
e  U 
A  C 
f 
g 
d 
a 
e 
d 
f 
g  U 
C B 
a 
e 
B 
A  b 
c 
d 
U
Complemento de un Conjunto: 
Cuando un conjunto determinado, es subconjunto de otro conjunto, el cual corresponde al conjunto Universal 
U. El conjunto conformado por todos los elementos que están en el conjunto universal, pero que no están en 
el conjunto determinado, se denomina complemento. Se denota como  A'. Y se define como: 
A' = {x/x  ∈ U y x  ∉ A} 
3. 2. FUNCIONES DE CONJUNTOS. 
3.2.1. Propiedades de las operaciones entre conjuntos 
3.2.1.1.  Propiedades relacionadas con la Intersección y Unión. 
1.1.  Leyes de Idempotencia 
a.  A U A = A 
b.  A ∩ A = A 
1.2. Leyes Asociativas 
a.  (A U B) U C = A U (B U C) 
b.  (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 
1.3. Leyes Conmutativas 
a.  A U B = B U A 
b.  A ∩ B = B ∩ A 
1.4. Leyes Distributivas 
a.  A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) 
b.  A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C) 
2.1.2. Propiedades relacionadas con conjuntos universal y vacío: 
2.1. Leyes de identidad 
a. A U Un = Un  A ∩ Un = A 
b. A U Ф = A  A  ∩ Ф = Ф 
2.1.3. Propiedades relacionas con el complemento 
3.1. Leyes del complemento 
a. A U A´ = Un A ∩ A´ = Ф 
b. (A´)´= A Un´ = Ф  Ф´= Un 
3.2 . Leyes  de D´Morgan 
a.  ( A U B) ´ = A´ ∩ B´ 
Ejemplo 13 
Dados los conjuntos: 
1.  U = {m, a, r, t, e} y  A = {t, e}  A' = {m, a, r} 
2.  U = {a, r, i, t, m, e, c} y B = {i, a}  B' = {r, t, m, e, c} 
U 
A 
t        e 
m 
a 
r 
i        a  m 
r  e 
t 
c 
A 
U
b.  (A ∩ B) ´ = A´ U B´ 
3.2.2. Algebra de Conjuntos 
El  algebra  de  conjuntos  es  la  forma  o  el  lenguaje,  con  el que  se  puede  traducir  e  interpretar  la  teoría  de 
conjuntos,  al  lenguaje  de  la  lógica  matemática.  Para  hacer  dicha  interpretación,  se  debe  tomar  de  la 
siguiente manera, la teoría de conjuntos. 
P: Ser un elemento de un conjunto A 
Q: Ser un elemento de un conjunto B 
TABLA DE EQUIVALENCIA DE LAS OPERACIONES DE TEORIA DE CONJUNTOS CON LA LOGICA 
Conjuntos  Lógica  Lectura 
La Unión A U B  quedaría P v Q  Y se lee: Ser de A o de B 
La Intersección A ∩ B  quedaría P ^ Q  Y se lee: Ser de A y de B 
El complemento de A´  quedaría  ¬ P  Y se lee: No ser de A 
El contenido A   B  quedaría P → Q  Y se lee: Si es de A entonces es de B 
La diferencia A – B  quedaría P ^ (¬ Q)  Y se lee: Ser de A y no ser de B 
Teniendo  la  interpretación  de  la  teoría  de  conjuntos  podemos  también  hacer  la  traducción  de  las  leyes. 
Veamos las leyes de D´Morgan traducidas: 
Operación  Símbolo  Definición Simbólica 
Unión  U  A U B = { x/x ∈ A v x Є B} 
Intersección  ∩  A ∩ B = { x/x ∈ A ^ x ∉ B} 
Diferencia  ­  A – B = {x/s ∈ A ^ x ∉ B} 
Diferencia Simetrica  ⊕  A ⊕  B = {x/x ∈ A ⊕ x ∈ B} 
4. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS. 
Son relaciones binarias especiales que formalizan el concepto de ordenar. Cuando se tiene el conjunto A y 
una  relación binaria ≤ en A, entonces,  la  relación binaria ≤ en A es un orden parcial,  si    cumple con las 
condiciones de ser reflexiva, antisimétrica, y transitiva. O sea que para todo a, b y c en A, se tiene que: 
a ≤ a (reflexibidad) 
si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad) 
si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, (antisimetría). 
Al comprobar esta propiedad, se puede ver que, las conocidos órdenes de los números naturales, enteros, 
racionales y reales, son todas órdenes parciales.
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenado
http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_reflexiva
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
http://es.wikipedia.org/wiki/Entero
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
Debido  al  amplio  uso  y  aplicación  de  las  órdenes,  existen  varias  clases  de  conjuntos  ordenados;  veamos 
algunos ejemplos: 
4.1. ELEMENTOS ESPECIALES DENTRO DE UN ORDEN 
Uno  de  los  elementos  especiales  de  los  conjuntos  parcialmente  ordenados,  es  el  elemento mínimo.  Un 
ejemplo es el 0 en los números naturales y el conjunto vacío en los subconjuntos de un conjunto, y se denota 
como: 
0 ≤ a, para todo elemento a del conjunto ordenado. 
Otro ejemplo del elemento mínimo es el 1, para el conjunto formado por la divisibilidad de a/b, ya que éste es 
el elemento que puede dividir a todos los demás. 
Todos los subconjuntos de un conjunto, parcialmente ordenado, heredan el orden. Hay también elementos de 
un orden que son especiales, con respecto a cierto subconjunto del orden. 
4.2. RELACIÓN ENTRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y LA LÓGICA PROPOSICIONAL 
Como en párrafos anteriores se dijo, existe una relación muy estrecha entre la teoría de conjuntos y la lógica 
matemática. 
Pero a su vez, existe diferencia, y esta radica en que, mientras en la teoría de conjuntos las letras, identifican 
Ejemplo 14 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
Cuando se habla de matemáticas, el orden es un concepto que parece casi en todo momento, y de esta manera, 
es que se relaciona con la lógica. Veamos: 
a. El conjunto de  los números naturales son un orden ≤.  También, los conjuntos de los números enteros y los 
reales, son de orden ≤;   la razón es que cada elemento de estos conjuntos, puede ser mayor o menor que otro 
elemento, dentro del conjunto. 
b. Otro ejemplo popular de un orden, es el orden lexicográfico del conjunto de las palabras en un diccionario. O 
sea, el orden alfabético. 
Estos conjuntos,  tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento; 
esdecir, es o mayor, o menor, o igual; es de anotar que, a veces,é no es requisito deseable. 
Ejemplo 15 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/  Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) 
a. ­5 es un elemento mínimo de los números naturales como subconjunto de los enteros. 
b. Si se tiene un conjunto de conjuntos, su elemento máximo se da por la Unión de estos conjuntos 
c. Si se considera la relación de divisibilidad en los números naturales, el elemento mínimo de dos números es 
el menor número, que es divisible por ambos;  o sea, el mínimo común múltiplo; y el elemento máximo  es el 
máximo común divisor.
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
http://es.wikipedia.org/wiki/Entero
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://es.wikipedia.org/wiki/Orden_lexicogr%C3%A1fico
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimo_com%C3%BAn_m%C3%BAltiplo
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisor
conjuntos  en  la  lógica  matemática,  las  letras  identifican  proposiciones,  las  cuales  se  traducen  en  las 
propiedades de los conjuntos. Veamos la siguiente tabla para que identificar las relaciones: 
Teoría de Conjuntos  A   B  A = B  A   B  A   B  A' 
Lógica Proposicional  P → Q  P ↔ Q  P v Q  P   Q  ¬ P 
Nombre  Condicional  Bicondicional  Disyunción  Conjunción  Negación 
El conjunto vacío corresponde a una contradicción;  el conjunto universal corresponde a una tautología. 
Con esta tabla podemos interpretar todos los resultados sobre conjuntos, en términos de lógica matemática y 
viceversa; veamos los siguientes ejemplos: 
4.3. LOS CUANTIFICADORES 
Existen  dos  clases  de  cuantificadores.  El  universal  que  se  representa     y  el  cuantificador  existencial 
representado por   (); éstos se utilizan en la lógica para enunciar proposiciones. 
Si se tiene  un conjunto A y una proposición  P(x), el cuantificador universal está dado por la expresión    x   A 
→ P(x), y se lee "Para todo x que pertenece a A se verifica P(x)"; y  representa la proposición {x   A: P(x)} = 
A 
Y el cuantificador existencial está dado por la expresión   x   A | P(x). Se lee  "existe x que pertenece a A tal 
que P(x)", y representa la proposición  {x   A : P(x) }     
Estas  dos  proporciones,  las  se  pueden  negar;  para  ello,  se  niega  la  proposición  P(x)  y  se  cambia  el 
cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa.  Veamos: 
1.   x   A  → P(x)  es    x   A | P(x)' 
2.   x   A | P(x)"  es    x   A → P(x)' 
4.4. CÍRCULOS DE EULER 
Anteriormente se vieron los denominados diagramas de Venn; pues éstos son los mismos círculos de Euler. 
Su utilidad es ilustrar o graficar las relaciones entre proposiciones, mediante círculos o regiones ovaladas; su 
creador  inicial  fue  Leonhard  Euler,  posteriormente  se  les  ajusto  denominándoseles  Diagramas  de  Venn, 
gracias a Jhon Venn. 
Recuerde brevemente, con un ejemplo, su aplicabilidad e importancia, dentro de la lógica matemática: 
Ejemplo 16 
TEORIA DE CONJUNTOS  LOGICA MATEMATICA 
A U  ( B∩ C ) = ( A U  B )∩ ( A U  C )  A v (B ^ C) ↔ (A v B) ^  (A v  C) 
A U (A∩ B) = A  A v (A ^ B) ↔ A
5. ORDENES LINEALES. 
Para comprender el concepto de orden lineal, es necesario que primero analice el  concepto de isomorfismo 
simple, entre conjuntos o biyección. La biyección en teoría de conjuntos, es una operación que permite hacer 
corresponder un elemento de un conjunto, con un sólo elemento de otro conjunto. 
Y se representa a través de un teorema, el concepto en si es que Para cada  n finito, hay esencialmente un 
sólo orden lineal con n elementos, veámosle teorema: 
“ Teorema:  Dos  órdenes  lineales  finitas  son  isomorfos,  si  y  sólo  si,  sus  conjuntos  base  tienen  el  mismo 
número de elementos. La prueba de necesidad, cuya dirección  es    se hace por inducción en n, el número 
de elementos de los conjuntos base” 1 . 
1  Definición tomada del Libro Lógica Matemática, Editorial Unad. 2001. Pág. 59. Nubia J. Galindo 
Ejemplo 17 
Si se tienen las siguientes proposiciones: 
P: Alumnos que aprueban lógica matemática 
Q: Alumnos que aprueban el semestre académico 
U: Conjunto universal Alumnos de 1er. Semestre Fesad 
Probabilidad 1. Ningún alumno que aprueba matemática, aprueba el semestre 
Probabilidad 2: Algunos alumnos que aprueban lógica, aprueban el semestre 
P  Q 
U 
P 
Q  U 
Probabilidad 3: Todos los alumnos que aprueban lógica, aprueban el semestre 
Probabilidad 4: Todos los alumnos que aprueban el semestre, aprueban Lógica 
P Q 
U 
P 
Q 
U
En  resumen,  dos  conjuntos  son  isomorfos  cuando  la  correspondencia  es  biunívoca 2  entre  dos  estructuras 
que conserva las operaciones; y esta característic,a es la que da lugar al orden lineal entre conjuntos. 
2 A cada elemento de un conjunto le corresponde uno de otro conjunto