Dinâmica de Trens e Vagões

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Capitulo 3 
 
Dinámica de trenes 
 
 
 En este capítulo se presentan los aspectos físicos relevantes del análisis dinámico 
de vehículos ferroviarios. Se comenta la teoría lineal de Kalker [2] para el cálculo de las 
fuerzas de contacto, aspecto que también es utilizado en el trabajo. El capítulo termina 
presentando el modelo reducido de J.J. McPhee y R.J Anderson [1] que se ha tomado 
como base para modelar el vehículo 
 
 
3.1 Vehículos ferroviarios 
 
3.1.1 Clasificación y principales diseños 
 Los vehículos guiados por rail pueden ser divididos en diferentes tipos, 
dependiendo del campo de aplicación. Los más comunes atendiendo a diferentes 
sistemas de vías de circulación son: 
• Trenes: Con diferentes tipos de usos como pasajeros, cargas, principal línea de 
tráfico,… 
• Metros: Las vías se encuentran completamente bajo tierra o en su mayor parte, 
separadas de otras vías de tráfico y de la circulación de carreteras. 
• Tranvías: El sistema de vías se encuentra completamente o en parte, en 
combinación con el tráfico rodado. 
• Otros: En aplicaciones como montañas rusas u otros sistemas con vías mediante 
rodillos. 
 Los vehículos ferroviarios son también divididos en dos categorías, dependiendo 
de si son propulsados o no: 
 10 
• Vehículo tractor: Los vehículos de este tipo son propulsados eléctricamente o 
por diesel. Las locomotoras no toman pasajeros en la zona del motor. 
• Vehículo rodado: Estos vehículos son no propulsados y pueden dividirse en 
coches si viajan pasajeros, o en vagones si no lo hacen. 
Los vehículos guiados por rail están compuestos por dos partes principales: 
• Bogie: Formado por ruedas, ejes y suspensión, incluye también los componentes 
que conectan estas partes. Un wheelset o eje ferroviario consiste normalmente de 
dos ruedas y un eje conectándolas. El bogie debe soportar el carbody o coche, 
guiar, frenar y conducir el vehículo. 
• Carbody: Esta parte del vehículo es la que lleva la carga de pago, es decir, 
pasajeros, cosas, y/o equipamientos de tracción. 
Dependiendo de las características del bogie hay dos tipos de vehículos: 
• Vehículos de estructura rígida: El bogie sólo está formado de wheelsets y 
componentes de suspensión, tal y como aparece en la Figura 3.1 
• Vehículos bogies: Están formado de wheelsets, un chasis y elementos de 
suspensión, como el mostrado en la Figura 3.2. 
• Vehículos articulados: Se componen de wheelsets, un chasis y elementos de 
suspensión con la diferencia de que los bogies se encuentran en la unión entre 
vagones como aparece en la Figura 3.3. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1- Vehículo de estructura rígida con carbody suspendido en dos wheelsets 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2- Vehículo bogie con bogie de dos ejes 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3- Vehículos articulados, bogies compartidos entre dos carbodies. 
 
 Los vehículos de estructura rígida son los más simples y también los más baratos 
y ligeros. Como sólo tienen dos wheelsets, estos vehículos tienen limitada su capacidad 
de carga de pago. La longitud del vehículo está también restringida por la necesidad de 
obtener un comportamiento aceptable en curvas. Desde el punto de vista de la dinámica 
producen un comportamiento tembloroso e inconfortable, ya que sólo tienen un nivel de 
suspensión. La rigidez horizontal en la conexión entre wheelset-carbody incrementa la 
llamada velocidad crítica pero da un peor comportamiento en curvas. En definitiva, los 
vehículos de estructura rígida son más apropiados para transporte de mercancías y 
velocidades de hasta 100-120 Km/h. 
 Los vehículos bogies tienen dos niveles de suspensión, la suspensión primaria, 
entre los wheelsets y el cuerpo o estructura del bogie, y la suspensión secundaria, entre 
el cuerpo del bogie y el carbody. Hay que señalar que la suspensión acarrea en general 
una disposición mecánica compleja que incluye muelles, amortiguadores y otros 
elementos de conexión. Aunque los bogies incrementan el peso y los costes del 
vehículo, ellos proporcionan el aislamiento necesario para el contenido de alta 
frecuencia que produce el movimiento. Este montaje tiene también ventajas geométricas 
ya que permite reducir alrededor de la mitad la longitud de la estructura del bogie, 
disminuyendo la transmisión al carbody. Los vehículos montados con bogies tienen 
mejor comportamiento en curvas y el riesgo de descarrilamiento es menor que en 
vehículos de estructura rígida. Las vibraciones en el carbody y las fuerzas de contacto 
entre las ruedas y la vía son también reducidas como un resultado de los dos niveles de 
suspensión. 
 
 
 12 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4- Movimientos relativos de un cuerpo rígido de un carbody 
 
 Los movimientos correspondientes a los seis grados de libertad de un sólido 
como el carbody están representados en la Figura 3.4 y sus definiciones en la Tabla 3.1. 
 
Tabla 3.1- Definiciones de grados de libertad 
Grado de 
libertad 
Definición 
Χ Traslación longitudinal en la dirección del viaje. 
Υ Traslación lateral en dirección perpendicular a la vía. 
Ζ Traslación vertical perpendicular al plano de la vía. 
Ψ Rotación alrededor del eje longitudinal. 
χ Rotación alrededor de un eje transversal, paralelo al plano de la vía. 
ϕ Rotación alrededor de un eje perpendicular al plano de la vía. 
 
 En la dinámica de vehículos guiados por rail, el movimiento del vehículo, así 
como el movimiento de cada una de las partes que lo forman son datos importantes a 
cuantificar. Para cualquier instante del movimiento del vehículo son de gran interés, las 
velocidades y aceleraciones, las traslaciones y rotaciones de los diferentes componentes 
del mismo. 
 
3.1.2 Descripción de un vehículo ferroviario convencional 
 
3.1.1.1 Overview 
 Un tren está formado de N vehículos, el primero de los cuales debería ser 
normalmente una locomotora. Las fuerzas de tracción entre los vehículos son 
 13 
transmitidas por los acoplamientos de unión entre ellos. Un vehículo de los que forman 
el tren está compuesto normalmente por un carbody, donde viajan los pasajeros y 
mercancías, que a su vez está soportado por dos bogies y un conjunto de elementos 
mecánicos que constituye la suspensión secundaria. La principal función de estos 
elementos es minimizar las vibraciones inducidas por la vía sobre el compartimento de 
los pasajeros, mejorando el confort y reduciendo los problemas asociados a la fatiga 
estructural. Los bogies son los subsistemas, que soportados por los wheelsets, están en 
contacto con la vía e incluye otro conjunto de elementos mecánicos que constituye la 
suspensión primaria. Estos elementos son los principales responsables de dirigir las 
capacidades y el comportamiento estable del grupo en conjunto, siendo en última 
estancia, decisivos para definir la velocidad crítica del vehículo, es decir, la velocidad a 
la cual el vehículo se hace inestable. 
 
3.1.1.2 Wheelsets o ejes ferroviarios. 
 El componente fundamental de todo vehículo ferroviario convencional es el 
wheelset. Normalmente, consiste de dos ruedas rígidamente fijadas a un eje común, 
como se muestra en la Figura 3.5. Debido a que las ruedas no son libres para rodar de 
forma independiente, éstas tienen la misma velocidad angular y mantienen una distancia 
constante entre ellas. Los perfiles de rodadura de las ruedas son cónicos, para conseguir 
tomar las curvas sin patinar y autocentrar el eje en la vía, en entre otras cosas Las ruedas 
tienen capacidad de dirigir y son uno de los componentes más importantes que afecta a 
la estabilidad y comportamiento en curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.5- Wheelset convencional 
 
 El perfil de la rueda está compuesto de dos partes, la pista de rodadura de la 
rueda y el flanco. La banda de la rueda se encuentra en contacto con la cabeza de la vía. 
El flanco de la rueda está provisto de un borde en el lado interior, que en un 
 14desplazamiento lateral del wheelset, puede llegar al contacto del borde del flanco con la 
vía, limitando el movimiento lateral del wheelset y reduciendo las posibilidades de 
descarrilamiento. 
 El peso del resto del vehículo es soportado por los rodamientos y por los 
elementos de suspensión primaria. 
 
3.1.1.3 Bogies 
 La Figura 3.6 muestra un ejemplo de un bogie de dos ejes. La suspensión 
primaria de este bogie está formada por muelles de espiral y goma, también lleva cañas 
de tracción con casquillos de goma al final. La suspensión secundaria está compuesta de 
muelles de aire que soportan el peso del carbody. Los amortiguadores hidráulicos son 
usados tanto en la suspensión primaria como en la secundaria. El bogie también tiene 
una barra antigiro que reduce el ángulo de giro del carbody, especialmente en curvas. 
Los frenos de disco están montados en el bogie no propulsado, en este ejemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.6- Ejemplo de bogie tipo CP2000 fabricado por Bombardier Transportation 
 
 Hay dos tipos principales de wheelset de conducir: 
• Stiff wheelset steering: Las ruedas tienen muy limitadas las posibilidades de giro 
relativo al cuerpo del bogie, en cuanto al ángulo de lazo. 
• Soft wheelset steering: Las ruedas tienen posibilidades significativas de giro 
relativo al cuerpo del bogie y conseguir casi una posición radial en curvas. 
 Los bogies correspondientes a estos dos grupos principales son llamados stiff y 
soft bogies. Un stiff bogie tiene una suspensión primaria predominante, en 
 15 
consecuencia, los movimientos horizontales del wheelset relativo al cuerpo del bogie, 
son muy restringidos. 
 Un soft bogie tiene una rigidez longitudinal y transversal baja. Este diseño 
principal, facilita un movimiento de giro significativo entre el wheelset y el cuerpo del 
bogie, y se logra así un buen comportamiento en curvas. 
 En la práctica un bogie intermedio entre ambos descritos, es lo preferido en las 
aplicaciones normales. 
 
3.1.1.4 Carbodies 
 El principal papel de un carbody es transportar la carga de pago, es decir, los 
pasajeros o mercancías, y/o la mayoría del equipamiento del vagón motor o locomotora. 
El carbody debe también proteger la carga de pago y proporcionar un buen viaje. En la 
Figura 3.7 se puede apreciar un carbody típico de pasajeros. 
 La estructura flexible de un carbody puede ser también un aspecto de 
importancia en la dinámica de vehículos ferroviarios. Un carbody demasiado flexible 
lleva a movimientos y vibraciones estructurales significativas, debido a irregularidades 
de la vía y a la velocidad del vehículo. Una consecuencia de un carbody de rigidez finita 
es que el confort de viaje se reduce. Por esto, la longitud del carbody puede ser 
restringida para cumplir sus límites de flexibilidad. 
 Las posibles acciones para mitigar el efecto de confort debido a la flexibilidad 
estructural del carbody debe estar basada, no sólo en el entendimiento de las 
características dinámicas del vehículo, sino también en la caracterización de la 
interacción entre vehículo y vía. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.7- Carbody convencional de pasajeros 
 16 
 
3.2 Fuerzas de contacto. Teoría lineal de Kalker 
 
 Antes de plantear el fenómeno de creep asociado al problema de contacto entre 
rueda y vía, se van a introducir algunas definiciones. Rodadura o rolling se define como 
un movimiento angular relativo entre dos cuerpos en contacto alrededor de un eje 
paralelo a su plano tangente común. El sistema de referencia se mueve con el punto de 
contacto, las superficies de dos cuerpos i y j fluyen por la zona de contacto con 
velocidades tangenciales iv y jv . Los cuerpos pueden tener también velocidades 
angulares niw y njw alrededor de su normal común. Si iv y jv son distintas, el 
movimiento de rodadura va acompañado por deslizamiento o sliding. Si niw y njw son 
diferentes se acompaña el movimiento por pivotamiento o spin. Cuando la rodadura se 
encuentra sin deslizamiento o pivotamiento, el movimiento se denomina como rodadura 
sin deslizamiento. Por otro lado, los términos free rolling y tractive rolling se usan para 
describir movimientos en los cuales las fuerzas tangenciales son cero o no, 
respectivamente. 
 Generalmente el fenómeno de creep, existe cuando dos cuerpos elásticos son 
presionados uno contra otro con una fuerza normal y se permite rodar. La diferencia 
entre las fuerzas tangenciales en la zona de contacto da lugar a un aparente 
deslizamiento pequeño, llamado creep. Por consiguiente, el creep se puede describir 
como un comportamiento en parte elástico y en parte de fricción en el cual un cuerpo 
elástico, rueda sobre otro cuerpo elástico y comparten un área de contacto donde tiene 
lugar deslizamiento en algunos puntos y adhesión en otros simultáneamente. Por lo 
tanto, una región de contacto se puede tratar como un estado de transición entre 
rodadura y deslizamiento puros. Los creepages son cruciales para la determinación de 
las fuerzas tangenciales, también llamadas creep forces, que se desarrollan en la región 
de contacto. 
 El componente básico que conduce y soporta el vehículo ferroviario a lo largo de 
la vía es la rueda. El estudio de las fuerzas y momentos que se crean en la región de 
contacto entre rueda y vía es fundamental para que se entienda el comportamiento 
dinámico del vehículo. Por este motivo, la descripción certera del fenómeno de creep 
asociado a la interacción rueda-rail es esencial. En la dinámica de vehículos 
ferroviarios, cuando un wheelset rueda sobre la vía, las ruedas y la vía se deforman 
 17 
elásticamente en el área de contacto y se desvían del movimiento de rodadura sin 
deslizamiento. El creep se utiliza para caracterizar la diferencia relativa en velocidad 
entre un movimiento de rodadura ideal de la rueda, sin deslizamiento en la región de 
contacto, y uno real. Hay creep longitudinal, creep lateral y una velocidad de 
deslizamiento angular, alrededor de un eje normal a la superficie de contacto, llamada 
spin o spin creep. Estos tres creepages son cruciales para la determinación de las 
fuerzas de creep tangenciales que se crean en la región de contacto. 
 
3.2.1 Formulación del problema de creep 
 
 Se define un sistema de ejes locales con origen en el centro de la región de 
contacto como se muestra en la Figura 3.8, donde el eje OZ es normal al área de 
contacto y fijado en la superficie de contacto. El sistema se mueve con una velocidad de 
traslación v
r
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.8- Creepage y fuerzas de creep en la zona de contacto 
 
 Si las tensiones tangenciales son aplicadas por la rueda al rail en la superficie de 
contacto, las tensiones elásticas como consecuencia de ello provocan un abandono del 
movimiento puro de rolling, ésto se calcula en términos del creepage longitudinal 
 
Vvv r
x
w
x /)(1 −=γ (3.1) 
el creepage lateral 
 18 
Vvv r
y
w
y /)(2 −=γ (3.2) 
y el spin 
Vr
z
w
z /)(3 Ω−Ω=ω (3.3) 
 
donde w
xv y w
yv son las velocidades de sólido rígido del punto nominal de contacto de la 
rueda en las direcciones Ox y Oy respectivamente, r
xv , r
yv son las velocidades de 
sólido rígido del punto nominal de contacto del rail. La velocidad significativa de la 
rueda a lo largo de la vía es 2/)( r
x
w
x vvV += , y w
zΩ y r
zΩ son las velocidades angulares 
de las rueda y la vía alrededor del eje Oz . 
En el plano del área de contacto, las velocidades relativas varían y son: 
r
x
w
xx vvv −= (3.4) 
r
y
w
yy vvv −= (3.5) 
De forma similar, los desplazamientos relativos en el plano del área de contacto se 
denotan por xu y yu : 
r
x
w
xx uuu −= (3.6) 
r
y
w
yy uuu −= (3.7) 
Una partícula experimentará un cambio en velocidad por moverse a una posición donde 
el desplazamiento tiene un valor diferente, así que en el instante tt δ+ la partículaque 
estaba en la posición originaria x pasa a tVx δ+ . Sin embargo el cambio en 
desplazamiento en el paso de tiempo tδ es ),(),( txutttVxu xx −++ δδ y el ratio de 
cambio del desplazamiento relativo es tuxuV xx ∂∂−∂∂ // . Si se introduce esto en las 
ecuaciones del creepage (3.1)-(3.3) se llega a: 
+−= )( 31 yVvx ωγ tuxuV xx ∂∂−∂∂ // (3.8) 
++= )( 32 xVv y ωγ tuxuV yy ∂∂−∂∂ // (3.9) 
La presión normal que actúa en un punto del área de contacto se llama zσ , dado por la 
teoría de Hertz, y hay tensiones tangenciales xσ y yσ , con resultante tσ , aplicadas por 
la rueda a la vía: 
2/122 )( yxt σσσ += (3.10) 
 19 
El área de contacto consiste de una región en la cual hay adhesión y otra región en la 
que hay deslizamiento, Figura 3.9. En la forma en la que 0== yx vv y si µ es el 
coeficiente límite de fricción se tiene: 
zt µσσ ≤ (3.11) 
en la región en la cual hay deslizamiento 
zt µσσ = (3.12) 
y la dirección de la tensión resultante se opone a la velocidad de deslizamiento 
2/122 )/(// yxtyyxx vvvv +−== σσσ (3.13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.9- Distribución de la tensión normal y tangencial en las áreas de adhesión y deslizamiento de contacto 
 
Una partícula entrando en el área de contacto está inicialmente parada, así que en el 
borde de entrada las tensiones tangenciales deben ser cero. 
0),( =yxlxσ (3.14) 
0),( =yxlyσ (3.15) 
donde 
[ ] 2/12)/(1 byaxl −= (3.16) 
define el borde de entrada. 
 20 
 
3.2.2 Teoría lineal de Kalker 
 
 En esta formulación se asume que la diferencia de desplazamiento elástico 
tangencial u definido por las ecuaciones (3.6) y (3.7), es proporcional a la tensión 
tangencial tσ , definida por las ecuaciones (3.10)-(3.12). 
 Las relaciones básicas que soportan esta teoría vienen dadas por las ecuaciones 
(3.6)-(3.12). Se considera que 0/ =∂∂ tu por contacto de rodadura estacionario o, 
alternativamente que ),,( tyxtσ y 00 ),( =tt yxσ vienen dados por contacto de rodadura no 
estacionario con condiciones iniciales. Se hace notar que el coeficiente de fricción µ , la 
presión normal zσ y los creepages longitudinal 1γ , transversal 2γ y el spin 3ω son 
también conocidos. 
Kalker [2] trató el problema considerando que, para pequeños creepages, el área de 
deslizamiento es también pequeña, por lo que su influencia se puede desechar. Se asume 
que el área de adhesión comprende la totalidad de la zona de contacto y que la presión 
elástica de los cuerpos en la zona de contacto como poco compensa sus desplazamientos 
relativos. Bajo estas condiciones, el verdadero deslizamiento v desaparece en todos los 
lugares de la superficie de contacto. Físicamente esto corresponde al caso límite que el 
deslizamiento rígido tiende a cero, o que el coeficiente de fricción ∞→µ . 
 Esta teoría lineal es aproximada porque para grandes creepages, la tensión 
tangencial se incrementa y la condición de la ley de Coulomb que define el límite de las 
tensiones tangenciales puede ser violada. El valor de las fuerzas dadas por la teoría 
lineal tiende asintóticamente al valor de la teoría no lineal con deslizamiento rígido 
cero. 
 Por tanto, considerando lo expuesto para valores pequeños de creepages y spin 
existe una relación lineal entre las fuerzas de creep y los creepages que se desarrollaron 
por Kalker [2] llegando a: 
111γfFx −= (3.17) 
323222 ωγ ffFy −−= (3.18) 
3332233 ωγω ffM −= (3.19) 
 21 
El momento 3M puede ser normalmente despreciado. El caso lineal general de una 
rueda tridimensional sobre una vía tridimensional ha sido analizado por Kalker [2]. En 
este caso los ijf vienen dados por: 
 11
2
11 CGcf = 22
2
22 CGcf = 23
3
23 CGcf = (3.20) 
donde abc =2 , G es el módulo elástico de rigidez y ijC son coeficientes que se 
encuentran tabulados [6]. 
 Con este bloque que se ha desarrollado sobre fuerzas de contacto y su 
simplificación por Kalker [2] queda recogido la simplificación considerada en el 
modelo simplificado de J.J. Mcphee y R.J Anderson [1] para modelar las fuerzas de 
contacto. 
 
 
3.3 Modelo simplificado de J.J. McPhee y R.J Anderson 
 
 En la Figura 3.10 se muestra un wheelset de un vehículo ferroviario, compuesto 
de dos ruedas cónicas conectadas por un eje rígido y su sistema de referencia móvil que 
se desplaza con él. El wheelset tiene una longitud de 2a y se asume que viaja con una 
velocidad de avance constante v a lo largo de una vía recta. El sistema de referencia 
considerado es un sistema de referencia móvil. El eje x del sistema de referencia 
cartesiano está alineado paralelamente a la vía y la coordenada y se usa para calcular el 
desplazamiento lateral del centro de masa C del wheelset desde la línea central de la vía. 
El movimiento de giro, denominado yaw o ángulo de lazo, se mide por el ángulo ϕ , 
quién también define los vectores perpendicular y paralelo al eje del wheelset, 
denominados tu y au respectivamente. Para construir las ecuaciones de movimiento 
del wheelset, es necesario calcular las fuerzas de contacto entre cada rueda y la vía. 
Estas fuerzas son función del “creepage”, que depende de la velocidad del punto de 
contacto entre la rueda y la vía, de acuerdo a la teoría lineal del creep desarrollada por 
Kalker [2]. 
 
 
 
 
 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.10- Wheelset vehículo ferroviario 
 
 Si se considera que el desplazamiento lateral es pequeño, la velocidad del punto 
de contacto ( LP ) entre la rueda izquierda y la vía se puede escribir como: 
atLL vsenysenyrav uuv )cos()cos( ϕϕϕωϕϕ −++−−= &&& (3.21) 
en la cual ω es la velocidad angular del wheelset alrededor de su eje y Lr el radio 
efectivo de la rueda izquierda, denominando así al radio real de rodadura de la rueda en 
un momento determinado, puesto que al ser cónica se desplaza a lo largo del rail para 
permitir el autocentrado del eje ferroviario entre otras cosas: 
yrrL λ+= 0 (3.22) 
donde 0r es el radio nominal de la rueda correspondiente a un desplazamiento lateral de 
valor cero y λ es la conicidad de las dos ruedas. 
Usando la ecuación (3.22) y considerando que el ángulo de yaw ϕ es muy pequeño, la 
ecuación (3.21) linealizada se reduce a: 
atL vy
ro
yv
a uuv )( ϕ
λ
ϕ −+




 −−= && (3.23) 
en la cual se han despreciado los términos de segundo orden y la velocidad angular se 
ha aproximado por: 
 23 
0r
v
=ω (3.24) 
que se obtiene de la consideración de pequeños ángulos de yaw. Por otro lado, si se 
lleva a cabo un conjunto de cálculos similares para el punto de contacto ( RP ) entre la 
rueda derecha y la vía se llega a: 
atR vy
ro
yv
a uuv )( ϕ
λ
ϕ −+




 += && (3.25) 
 El creepage se define como la velocidad relativa entre la rueda y la vía en el 
punto de contacto, dividido por la velocidad nominal v . Esencialmente el fenómeno de 
creep representa un estado de deslizamiento parcial entre la rueda y la vía. Como el rail 
se considera estacionario, el creepage de la rueda izquierda en la dirección longitudinal 
( tu ) se obtiene directamente de la ecuación (3.23): 
0
.
r
y
v
a
Lt
λϕ
ε −−= (3.26) 
De una forma similar, se obtiene para la dirección lateral ( au ) 
ϕε −=
v
y
La
.
 (3.27) 
De la ecuación (3.25) se desprende que el creepage longitudinal en la rueda derecha 
( Rtε ), tiene la misma magnitud y signo opuesto Ltε , mientras que el creepage lateral 
derecho Raε es idénticamente igual al Laε . 
 Siguiendo lo probado por Wickens [3] y otros, se considera que la contribución 
del creep debido al pivotamiento se puede despreciar en el cálculo de las fuerzas de 
creep. Estas fuerzas actúan en la dirección opuesta a la velocidad relativa y, para 
pequeños valores de creepage , Kalker [2] ha demostrado que las magnitudes de estas 
fuerzas son proporcionales a los correspondientes creepage: 
 tLtLt f uF )( 11ε−= ;aLaLa f uF )( 22ε−= (3.28) 
donde 11f y 22f son los coeficientes de creep longitudinal y transversal 
respectivamente. Para las fuerzas de creep actuando en la rueda derecha RtF y RaF 
existe una expresión similar. 
 Para obtener el conjunto final de ecuaciones del movimiento de un wheelset con 
dos grados de libertad, se utiliza la ecuación de Newton-Euler. Tomando momentos 
alrededor de un eje vertical por C se tiene: 
 24 
aI LtRt )( FF −=ϕ&& (3.29) 
donde I es el momento de inercia del wheelset alrededor del eje de yaw. Usando las 
ecuaciones (3.26) y (3.28) y las correspondientes relaciones para la rueda derecha, la 
ecuación (3.29) se convierte en: 






+−=
or
y
v
a
afI
λϕ
ϕ
&
&&
112 (3.30) 
Sumando fuerzas paralelas al eje y , y usando la consideración de pequeño ángulo de 
lazo ϕ se tiene: 
ϕ)( LtRtRaLa FFFFym +++=&& (3.31) 
 
donde m es la masa del wheelset. Sustituyendo las expresiones para las fuerzas de 
creep y despreciando términos de segundo orden, 





 −−= ϕ
v
y
fym
&
&&
222 (3.32) 
Reescribiendo las ecuaciones (3.30) y (3.32) en forma de matriz estándar se llega a: 
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0qKqCqM =++ &&& (3.33) 
donde se ha introducido una matriz columna de coordenadas generalizadas: 
{ }






=
ϕ
y
q (3.34) 
Las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la ecuación (3.33) son 
respectivamente: 
[ ] 





=
I
m
0
0
M (3.35) 
 
[ ] 





=
2
11
22
20
021
af
f
v
C (3.36) 
 
[ ] 




 −
=
02
201
11
022
0
λaf
rf
r
K (3.37) 
 
 Se ha representado por tanto, un modelo simplificado para un wheelset. Cada 
vehículo se constituye de dos bogies que a su vez están formados por dos wheelsets 
 25 
cada uno. Como se asumió en el wheelset simple, el sistema viaja a una velocidad 
constante v en la dirección positiva x y cada uno de los 7 cuerpos que forman el 
vehículo tienen desplazamientos lateral )(y y de yaw (ϕ ) pequeños. Con esto tenemos 
como resultado un modelo de 14 grados de libertad como el mostrado en la Figura 4.1.