Cinemática de Cuerpo Rígido

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Cinemática CR 
Cuerpo Rígido: caso particular de un sistema de partículas unidas rígidamente 
entre sí 
Movimiento general de un cuerpo rígido 
Figura reproducida de http://www.princeton.edu/~stengel/MAE345.html! 
Cinemática CR 
Sólido en el espacio → 6 grados de libertad 
Posición de un punto O en el cuerpo: especificada por sus tres coordenadas en 
un sistema fijo 
Orientación del cuerpo en el espacio: especificada por tres coordenadas 
angulares adicionales 
Cinemática CR - Movimiento Angular - Rotación en torno a un punto fijo 
Teorema de Euler establece que todo movimiento de un CR con un punto fijo 
puede ser representado por una rotación única en torno a un eje 
 
→ Dos rotaciones cualquiera en torno a diferentes ejes pueden ser combinadas 
en una rotación única en torno a un eje 
Sin embargo, rotaciones finitas no pueden ser 
tratadas como vectores ya que no siguen las 
más simples operaciones vectoriales 
xyyx θ+θ≠θ+θ
Figura reproducida de J. Peraire, S. Widnall ,16.07 Dynamics Fall 2008, Version 2.0, 
MIT OpenCourseWare 
→ Orden de las rotaciones importa 
Cinemática CR - Movimiento Angular - Velocidad Angular 
Rotaciones infinitesimales si se comportan como vectores 
Ejemplo: punto A sometido a rotaciones infinitesimales dθ1 y dθ2 
( ) AA21
A2A1
2,A1,AA
A22,A2
A11,A1
rdrdd
rdrd
rdrdrd
rdrdd
rdrdd
×θ=×θ+θ=
=×θ+×θ=
=+=
×θ=⇒θ
×θ=⇒θ
Figura reproducida de J.L. Meriam and K.L. Kraige, Dynamics, 5th 
edition, Wiley 
→ Velocidades angulares son aditivas vectorialmente 
Cinemática CR - Movimiento Angular - Velocidad Angular 
( ) e sin e cos e z31y1x2 ω+ϕω+ϕω+ω=ω
ϕ 
Figura reproducida de http://www.princeton.edu/~stengel/MAE345.html! 
Ejemplo: velocidad angular ω del disco D 
Un disco sólido, de masa M y radio a, 
rueda libremente sin deslizar sobre 
una superficie rugosa, horizontal, fija, 
de forma tal que su centro describe 
una trayectoria circular de radio R 
con rapidez constante vo y el plano 
del disco mantiene una inclinación α 
constante hacia el centro de la 
circunferencia 
Cinemática CR - Ejemplo 
M 
a 
α 
x
y
zC 
z 
x 
y 
O 
S(x-y-z): sistema de referencia inercial tal 
que el plano x-y coincide con la superficie 
horizontal, y el origen en el punto en que el 
eje de rotación z intersecta el plano 
( )z,y,xS
y
z
x
 : sistema de ejes principales para el disco 
 en el plano del disco 
 normal al disco pasando por C (eje del disco) 
 normal a los anteriores, en el plano del disco 
 
 
 
Cinemática CR - Ejemplo 
M 
x 
y 
z 
φ 
a 
α 
x
y
zC 
θ 
O 
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
El movimiento traslacional del centro del disco queda definido por el 
ángulo φ entre el eje x y la proyección del vector posición de C 
sobre el plano 
0
R
vo =φ⇒=φ !!!
Centro C se mueve con rapidez constante vo → 
Velocidad V de C: 
( )yxoo esinecosvevV θ−θ== φ
Cinemática CR - Ejemplo 
M 
x 
y 
z 
φ 
a 
α 
x
y
zC 
θ 
O 
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
r
2
o
e
R
v
A −=
Aceleración A de C 
 
Rapidez constante → solo aceleración centrípeta 
( )zyx
2
o esinecoscosesincos
R
v
A α−θα+θα=
Cinemática CR - Ejemplo 
M 
x 
y 
z 
φ 
a 
α 
x
y
zC 
θ 
O 
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
Por la condición de rodadura sin 
deslizamiento sobre el plano → 
0
a
vo =θ⇒−=θ !!!
La rotación del disco en torno a su eje queda 
definida por el ángulo θ medido entre el eje 
fijo al disco y el diámetro horizontal 
z
x
→ Ambos movimientos están 
relacionados: 
φ−=θ !!
a
R
Cinemática CR - Ejemplo 
M 
x 
y 
z 
φ 
a 
α 
x
y
zC 
θ 
O 
( )
z
o
y
o
x
o
z
o
yx
o
z
o
1
o
z1
e
a
v
ecos
R
v
esin
R
v
e
a
v
ecosesin
R
v
e
a
v
e
R
v
ee
−θ+θ=Ω⇒
−θ+θ=−=θ+φ=Ω !!
Velocidad angular del disco 
: rotación del plano del disco en torno al eje e1 
: rotación en torno al eje del disco θ!
φ!
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
e1 
Cinemática CR - Ejemplo 
M 
x 
y 
z 
φ 
a 
α 
x
y
zC 
θ 
O 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
La aceleración angular se obtiene directamente 
derivando en la expresión anterior: 
y
2
o
x
2
o
y
o
x
o
esin
Ra
v
ecos
Ra
v
esin
R
v
ecos
R
v
θ+θ−=Ω⇒
θθ−θθ=Ω
!
!!!
S
z
o
y
o
x
o e
a
v
ecos
R
v
esin
R
v
−θ+θ=Ω
Cinemática CR - Angulos de Euler 
O 
  
  
2 
  
1 
  
3   
3   
  
2 
1 
O : punto fijo al cuerpo 
 
S : sistemas de coordenadas con origen en O, 
mantiene siempre sus ejes paralelos al sistema 
absoluto 
Se requiere entonces encontrar un sistema de tres coordenadas 
capaz de describir la orientación de con respecto a S → 
 
Se definen los ángulos de rotación φ , θ , y ψ conocidos como 
Angulos de Euler 
 : tiene el mismo origen que el anterior, pero 
rota con sus ejes solidarios al cuerpo 
S
S
Cinemática CR - Angulos de Euler 
 
φ 
φ 
ψ 
ψ 
θ 
θ 
1 
2 
1 
^ 
^ 2 
^ 3-3 
2 ̂ 
3 ̂ 
~ 
3 
~ 
2 
^ ~ 
1-1 
~ 
1 
~ 
2 
− 
1 
− 
2 
~ − 
3-3 
Inicialmente S y coinciden → rotaciones sucesivas llevan a la configuración final de S S
Rota En torno a Angulo de 
rotación 
 
Velocidad de 
rotación 
Nuevo 
sistema 
 
1 φ 
2 θ 
3 ψ 
Ŝ3eφ!
Ŝ
3e
1̂e 1̂eθ! S
~
S
~
3
~e 3
~eψ! S
S
Cinemática CR - Angulos de Euler - Definición 
φ: El ángulo que forma el eje 1̂ (o 1
~
) con el eje 1, siendo positivo el sentido de rotación en la 
dirección del eje 3 (o 3̂ ), con un rango entre 0 y 2π. 
 
θ: El ángulo que forma el eje 3
~
(o 3 ) con el eje 3, siendo positivo el sentido de rotación en la 
dirección del eje 1̂ (o 1
~
), con un rango entre 0 y π. 
 
ψ: El ángulo que forma el eje 1 con el eje 1
~
(o 1̂ ), siendo positivo el sentido de rotación en la 
dirección del eje 3
~
(o 3 ), con un rango entre 0 y 2π. 
 
^ 3-3 
1 
2 
φ 
φ 
. 
φ 
θ 
θ 
. 
θ 
^ ~ 
1-1 
− 
1 
− 
2 
~ − 
3-3 
. 
ψ 
ψ 
ψ 
O 
Cinemática CR - Angulos de Euler – Ecs. de Transformación 
 
^ 3-3 
1 
2 
φ 
φ 
. 
φ 
θ 
θ 
. 
θ 
^ ~ 
1-1 
− 
1 
− 
2 
~ − 
3-3 
. 
ψ 
ψ 
ψ 
O 
V̂
100
0cossin
0sincos
VV
100
0cossin
0sincos
V̂










φφ
φ−φ
=










φφ−
φφ
=
V
100
0cossin
0sincos
V
~
V
~
100
0cossin
0sincos
V










ψψ
ψ−ψ
=










ψψ−
ψψ
=
V
~
cossin0
sincos0
001
V̂V̂
cossin0
sincos0
001
V
~










θθ
θ−θ=










θθ−
θθ=
Cinemática CR - Angulos de Euler – Ecs. de Transformación 
 
^ 3-3 
1 
2 
φ 
φ 
. 
φ 
θ 
θ 
. 
θ 
^ ~ 
1-1 
− 
1 
− 
2 
~ − 
3-3 
. 
ψ 
ψ 
ψ 
O 
V
cossincossinsin
cossincoscoscossinsincoscossinsincos
sinsinsincoscoscossinsincossincoscos
V










θθ⋅φ−θ⋅φ
ψ⋅θψ⋅θ⋅φ+ψ⋅φ−ψ⋅θ⋅φ−ψ⋅φ−
ψ⋅θψ⋅θ⋅φ+ψ⋅φψ⋅θ⋅φ−ψ⋅φ
=
V
coscossinsinsin
sincoscoscoscossinsinsincoscoscossin
sinsincoscossinsincossincossincoscos
V










θψ⋅θψ⋅θ
θ⋅φ−ψ⋅θ⋅φ+ψ⋅φ−ψ⋅θ⋅φ+ψ⋅φ
θ⋅φψ⋅θ⋅φ−ψ⋅φ−ψ⋅θ⋅φ−ψ⋅φ
=
La velocidad angular del sólido, es decir del sistema 
con respecto al sistema S, es: 
Cinemática CR - Angulos de Euler – Velocidad Angular 
 
^ 3-3 
1 
2 
φ 
φ 
. 
φ 
θ 
θ 
. 
θ 
^ ~ 
1-1 
− 
1 
− 
2 
~ − 
3-3 
. 
ψ 
ψ 
ψ 
O 
3S/Ŝ eφ=Ω !
Velocidades de rotación entre los sistemas: 
S
313
S
~
/SŜ/S
~
S/ŜS/S
eêe ψ+θ+φ=
Ω+Ω+Ω=Ω
!!!
3S
~
/S eψ=Ω !
1Ŝ/S
~ êθ=Ω !
Cinemática CR - Angulos de Euler – Velocidad Angular 
 
^ 3-3 
1 
2 
φ 
φ 
. 
φ 
θ 
θ 
. 
θ 
^ ~ 
1-1 
− 
1 
− 
2 
~ − 
3-3 
. 
ψ 
ψ 
ψ 
O 
En componentes del sistema S
( ) ( ) ( ) 321S/S ecosesincossinesinsincos θψ+φ+θφψ−φθ+θφψ+φθ=Ω !!!!!!( ) ( ) ( ) 321S/S ecosesincossinecossinsin ψ+θφ+ψθ−ψθφ+ψθ+ψθφ=Ω !!!!!!
En componentes del sistema S : 
En componentes del sistema 
Cinemática CR - Angulos de Euler – Aceleración Angular 
 
^ 3-3 
1 
2 
φ 
φ 
. 
φ 
θ 
θ 
. 
θ 
^ ~ 
1-1 
− 
1 
− 
2 
~ − 
3-3 
. 
ψ 
ψ 
ψ 
O 
S: 
( )
( )
θ⋅θ⋅φ−ψ+θ⋅φ=Ω
ψ⋅ψ⋅θ−ψ⋅θ⋅ψ−ψ⋅θ⋅θ⋅φ+ψ⋅θ−ψ⋅θ⋅φ=Ω
ψ⋅ψ⋅θ−ψ⋅θ⋅ψ+ψ⋅θ⋅θ⋅φ+ψ⋅θ+ψ⋅θ⋅φ=Ω
sc
cssccscs
scssccss
3
2
1
!!!!!!!
!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
Conocidas las componentes de la velocidad angular Ω en , se puede despejar las 
derivadas temporales de los ángulos de Euler: 
Cinemática CR - Angulos de Euler – Aceleración Angular 
S
θ
ψθΩ−ψθΩ−θΩ
=ψ
ψΩ−ψΩ=θ
θ
ψΩ+ψΩ
=φ
sin
coscossincossin
sincos
sin
cossin
213
21
21
!
!
!
El uso de los ángulos de Euler presenta sin embargo algunos problemas. En general, la 
integración de las ecuaciones para obtener los ángulos sólo se puede hacer en forma 
numérica 
 
Más aún, los ángulos de Euler no permiten describir el movimiento cuando θ es 0 o π, ya 
que las ecuaciones presentan una singularidad en estos puntos 
Cinemática CR - Angulos de Euler – Eje Instantáneo de Rotación 
Considérese un CR que describe un movimiento de rotación en torno a un punto fijo O 
→ En cada instante existe una recta L en el cuerpo, o en una extensión imaginaria de él, 
que pasa por el punto O, es paralela a la velocidad Ω de rotación del sólido y que en el 
instante dado está en reposo 
→ Se puede considerar entonces que en cada instante el cuerpo describe un movimiento 
de rotación en torno a la recta L que es el eje instantáneo de rotación 
Cinemática CR - Angulos de Euler – Eje Instantáneo de Rotación – Ej. 
Disco vertical rueda sin deslizar sobre superficie horizontal, conectado por pivote de 
longitud b a punto fijo en eje vertical 
Dato: ω = Velocidad angular del disco en torno a su eje 
Caso 2D: O es el CIR del movimiento 
 → Velocidad del centro del disco: RVG ω−=
Velocidad angular en torno al eje 
vertical 
b
R
b
VG ω
==Ω
Velocidad angular total del disco 
Ω+ω=ωT
Figura reproducida de J. Peraire, S. Widnall ,16.07 
Dynamics Fall 2008, Version 2.0, MIT OpenCourseWare 
Cinemática CR - Angulos de Euler – Eje Instantáneo de Rotación – Ej. 
Velocidad angular total del disco vhT e
b
R
e
ω
−ω=Ω+ω=ω
Inclinación de ωT c/r a horizontal 
b
Rb
R
tan =
ω
ω
=α
→ Dirección de ωT coincide con recta pivote-O → EIR 
Cinemática CR - Angulos de Euler – Eje Instantáneo de Rotación 
Supóngase ahora el caso de un cuerpo rígido que se mueve libre en el espacio 
En general, en este caso, no existe una recta que en un instante dado esté en reposo 
Sin embargo, en dicho instante existe una línea de puntos que se mueven a lo largo de 
una recta L, que es paralela a la velocidad Ω de rotación del sólido 
Se puede considerar entonces que en cada instante el cuerpo describe un movimiento de 
rotación en torno a la recta L y una traslación paralela L, que es el eje instantáneo de 
rotación 
Ecuaciones de Movimiento - Propiedades del Cuerpo Rígido 
Masa total de un sistema de partículas 
Masa de un cuerpo rígido 
∑
=
=
n
1i
imM
∫ρ=
V
dVM
Posición del Centro de Masa de un cuerpo rígido 
M
dVr
rR
a
a/ca
∫ρ
==
Ecuaciones de Movimiento - Propiedades del Cuerpo Rígido 
Tensor de inercia del cuerpo rígido 
[ ]
( )
( )
( )
[ ]










=












+ρρ−ρ−
ρ−+ρρ−
ρ−ρ−+ρ
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
332313
232212
131211
2
2
2
13231
32
2
3
2
121
3121
2
3
2
2
III
III
III
I
dVrrdVrrdVrr
dVrrdVrrdVrr
dVrrdVrrdVrr
I
Movimiento traslacional: corresponde al movimiento del centro de masa 
Ecuaciones de Movimiento - Movimiento Traslacional 
El movimiento de un cuerpo rígido en el espacio sigue las leyes generales enunciadas 
para sistemas de partículas 
AMF =
M : masa total del sólido 
F : fuerza externa neta 
A : aceleración del CM medida con respecto al origen de un sistema inercial 
Figura reproducida de http://www.princeton.edu/~stengel/MAE345.html! 
Movimiento rotacional: corresponde al movimiento con respecto al centro de masa 
cc H!=τ
τc : torque externo neto ejercido sobre el sistema, medido con respecto al centro 
de masa 
Hc : momento angular del sistema con respecto al centro de masa. 
Ecuaciones de Movimiento - Movimiento Rotacional 
El movimiento de un cuerpo rígido en el espacio sigue las leyes generales enunciadas 
para sistemas de partículas 
Ecuaciones de Movimiento - Mov. Rotacional – Momento Angular 
C : centro de masa (fijo en el cuerpo rígido) 
 : sistema de referencia fijo al cuerpo con origen en C 
S: sistema inercial de referencia 
Momento angular del cuerpo rígido con respecto al centro de masa C: 
 
 
 
Donde 
rC : posición de cada punto del CR con respecto al CM 
vC : velocidad de cada punto del CR con respecto al CM 
S
( ) ( ) ∫∫∑ ρ×=×=×= dVvrvdmrvmrH CCCC
j
C/jjC/jC
Velocidad de cada punto con respecto al CM: 
 
 
 
 
La velocidad absoluta (en S) se obtiene en términos de la velocidad relativa (en ) y la 
velocidad de rotación Ω de con respecto a S 
 
 
 
 
 
 =0 ya que rC está fijo al cuerpo 
 
 
Ecuaciones de Movimiento - Mov. Rotacional – Momento Angular 
S
C
C
dt
rd
v 





=
C
S
C
C r
dt
rd
v ×Ω+





=→
S
S
Reemplazando en la expresión para el momento angular: 
 
 
 
 
Utilizando la igualdad A × [B × C] = [A • C] B - [A • B] C se obtiene: 
 
 
 
 
Desarrollando para la primera componente de HC : 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones de Movimiento - Mov. Rotacional – Momento Angular 
∫∫ ρ×Ω×=ρ×= dVrrdVvrH CCCCC
( ) ( )[ ]∫ ρΩ•−Ω•= dVrrrrH CCCCC
[ ] [ ] [ ] dVxxdVxxdVxxH
dVxxxH
C/3C/13C/2C/12
2
C/3
2
C/21C/1
3
1j
C/jjC/1
3
1j
2
C/j1C/1
ρΩ−ρΩ−ρ+Ω=→
ρ








Ω−Ω=
∫∫∫
∫ ∑∑
==
( )CI11
( )CI12− ( )CI13−
La primera componente del momento angular queda: 
Ecuaciones de Movimiento - Mov. Rotacional – Momento Angular 
( ) ( ) ( )CICICIH 133122111C/1 Ω+Ω+Ω=→
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )CICICIH
CICICIH
333322311C/3
233222211C/2
Ω+Ω+Ω=
Ω+Ω+Ω=
De la misma forma se obtiene: 
( )[ ]Ω= CIHC
Estas expresiones se pueden escribir como: 
Expresión para el momento angular evaluado con respecto a un sistema fijo al cuerpo que 
se mueve junto con él 
La derivada del Momento Angular en el sistema inercial S es: 
Ecuaciones de Movimiento - Mov. Rotacional 
La derivada del Momento Angular en el sistema relativo es: 
( )[ ] CC HCIH ×Ω+Ω=→ !!
Ecuación de Movimiento Rotacional en torno al centro de masa 
C
S
C
S
C
H
dt
Hd
dt
Hd
×Ω+



=



[ ]( ) [ ] [ ] [ ]Ω=




 Ω
=




 Ω
=Ω=



!)C(I
dt
d
)C(I
dt
d
)C(I)C(I
dt
d
dt
Hd
SS
S
S
C
( )[ ] ( )[ ]Ω×Ω+Ω=τ→ CICIC
!
Sistema orientado según las direcciones principales de inercia del cuerpo → 
desaparecen los productos de inercia 
 
Escribiendo por componentes la ecuación de movimiento rotacional en el sistema de ejes 
principales se tiene (por simplicidad se omite el índice “C”): 
Ecuaciones de Movimiento - Mov. Rotacional - Ecs. de Euler 
Estas son las Ecuaciones de Euler que rigen el movimiento rotacional de un cuerpo rígido 
en torno a su centro de masa 
S
( )
( )
( ) ΩΩΩτ
ΩΩΩτ
ΩΩΩ=τ
2121333
1313222
3232111
 I -I - I= 
 I -I - I= 
 I -I - I 
!
!
!
Ecuaciones de Movimiento - Mov. Rotacional - Energía Cinética 
[ ]ΩΩ+= • )c(IVVMT
T
2
1
2
1
Energía cinética del 
movimiento lineal del 
CM 
Energía cinética de 
rotación en torno al CM 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo 
M 
x 
y 
z 
φ 
a 
α 
x
y
zC 
θ 
O 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
( )yxoo esinecosvevV θ−θ== φ
 Cinemática fue estudiada anteriormente: 
z
o
y
o
x
o e
a
v
ecos
R
v
esin
R
v
−θ+θ=Ω
y
2
o
x
2
o esin
Rav
ecos
Ra
v
θ+θ−=Ω!
( )zyx
2
o
r
2
o
esinecoscosesincos
R
v
e
R
v
A
α−θα+θα=
=−=
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
Hφ 
Mg 
N N 
Hr 
Mg 
DCL del CR - Se supondrá que, aparte del peso, no existen otras fuerzas externas activas 
sobre el disco 
N : reacción vertical 
Hr - Hφ : reacciones horizontales debidas al roce 
( ) zrr eMgNeHeHF −++= φφ
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo 
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
Hφ 
Mg 
N N 
Hr 
Mg 
( ) zrr eMgNeHeHF −++= φφ
r
2
o
e
R
v
A −=
( )
MgN
R
v
MH
0H
e
R
v
MeMgNeHeH
AMF
2
o
r
r
2
o
zrr
=
−=
=⇒








−=−++→
=
φ
φφ
Valores de las reacciones asociadas a las condiciones 
cinemáticas definidas como datos 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Lineal 
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
Hφ 
Mg 
N N 
Hr 
Mg 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
 
( )
( )
( ) ΩΩΩτ
ΩΩΩτ
ΩΩΩ=τ
yxyxzzz
xzxzyyy
zyzyxxx
 I -I - (c) I= 
 I -I - (c) I= 
 I -I - (c) I 
!
!
!
Ecs. de Euler 
[ ]










=
200
010
001
4
Ma
I
2
SEl tensor de inercia para los ejes principales es: 
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
Hφ 
Mg 
N N 
Hr 
Mg 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
Torque con respecto a C de las fuerzas de contacto : 
zr eaHecosaNesinaH φφφ +α−α−=τ
En componentes : S
( ) ( ) zyxr eaHesinecoscosNsinHa φ+θ−θα+α−=τ
( )yx
2
o esinecoscosgsin
R
v
Ma θ−θ







α−α=τ
Reemplazando por las expresiones obtenidas para las reacciones: 
 
 
 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
0 cosg
2
1
sin
R
v
 
a
v
 cos
R
v
 
2
Ma
 -
4
Ma
 cos
Ra
v
 
4
Ma
 coscosgsin
R
v
Ma
:x.dir
2
o
oo
222
o
22
o
=α−





+α⇒






−





θ







−







θ−=θ







α−α
Evaluando las ecuaciones de Euler por componentes : S
Se obtiene una expresión para la relación entre la rapidez vo, el radio R y la inclinación α 
para que se cumpla con las condiciones dadas para el movimiento 
 
 
 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
Evaluando las ecuaciones de Euler por componentes : 
( )
00 
 cos
R
v
sin
R
v
 
2
Ma
 -
2
Ma
 0 
2
Ma
 0
:z.dir
oo
222
=⇒






θ





θ







−=
S
0 cosg
2
1
sin
R
v
 
a
v
 sin
R
v
 
4
Ma
 -
2
Ma
 sin
Ra
v
 
4
Ma
 sincosgsin
R
v
Ma
:y.dir
2
o
oo
222
o
22
o
=α−





+α⇒






−





θ







−







θ=θ







α−α−
 
 
 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
gR
v
Mg
R
v
M
MgNF
R
v
MH
FH
2
o
2
o
màxroce
2
o
r
màxrocer
≥µ⇒
µ≤⇒
µ=µ=
=
≤
La segunda condición se obtiene de verificar que el roce disponible es suficiente para 
generar las reacciones calculadas. 
 
 
 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
Se tiene: 








α+α





−α=τ⇒
θ








α+α





−α−=τ
θ








α+α





−α=τ
φ cosgsin6cos
R
a
R4
v
Ma 
sincosgsin6cos
R
a
R4
v
Ma
coscosgsin6cos
R
a
R4
v
Ma 
2
o
2
o
e,y
2
o
e,x
 
 
 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
Hφ 
Mg 
N N 
Hr 
Mg 
DCL del CR 
N : reacción vertical 
Hr - Hφ : reacciones horizontales debidas al roce 
( ) ( ) ( ) zrrr eMgNeFHeFHF −++++= φφφ
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo 
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
Hφ 
Mg 
N N 
Hr 
Mg 
r
2
o
e
R
v
A −=
( ) ( ) ( )
MgN
R
v
MFH
0FH
e
R
v
MeMgNeFHeFH
AMF
2
o
rr
r
2
o
zrrr
=
−=+
=+⇒








−=−++++→
=
φφ
φφφ
Valores de las reacciones asociadas a las condiciones 
cinemáticas definidas como datos 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Lineal 
( ) ( ) ( ) zrrr eMgNeFHeFHF −++++= φφφ
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
Hφ 
Mg 
N N 
Hr 
Mg 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
 
( )
( )
( ) ΩΩΩτ
ΩΩΩτ
ΩΩΩ=τ
yxyxzzz
xzxzyyy
zyzyxxx
 I -I - (c) I= 
 I -I - (c) I= 
 I -I - (c) I 
!
!
!
Ecs. de Euler 
[ ]










=
200
010
001
4
Ma
I
2
SEl tensor de inercia para los ejes principales es: 
 
 
 
Vistas laterales 
z 
a 
| α
z
a 
R 
C 
z 
x
y
z
C 
θ
eφ er 
Hφ 
Mg 
N N 
Hr 
Mg 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
Torque con respecto a C de las fuerzas de contacto : 
zr eaHecosaNesinaH φφφ +α−α−=τ
En componentes : S
( ) ( ) zyxr eaHesinecoscosNsinHa φ+θ−θα+α−=τ
( )yx
2
o esinecoscosgsin
R
v
Ma θ−θ








α−α=τ
Reemplazando por las expresiones obtenidas para las reacciones: 
 
 
 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
Evaluando las ecuaciones de Euler por componentes : 
θ








α+α





−α=τ⇒
θ








α−α−












α−−





θα







+








θα−=τ⇒












α−−





θα







−








θα−=θ








α−α+τ
coscosgsin6cos
R
a
R4
v
Ma 
coscos
a
g
sin
Ra
v
Ma
cos
a
R
R
v
 cossin
R4
v
 
1
Ma
 cossin
Ra4
v
 
1
Ma
 
cos
a
R
R
v
 cossin
R
v
 
2
Ma
 -
4
Ma
 
 cossin
Ra
v
 
4
Ma
 coscosgsin
R
v
Ma
2
o
e,x
2
o2
oo
22
o
2
e,x
oo
22
2
o
22
o
e,x
S
 
 
 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
θ








α+α





−α−=τ














α−








θα+θα+θ








α−α=τ












α−−





θα







−−
θα=θ








α−α−τ
sincosgsin6cos
R
a
R4
v
Ma
cos
a
R
sinsin
R4
av
sinsin
R4
v
 sincosgsin
R
v
Ma
cos
a
R
R
v
sinsin
R
v
 
4
Ma
 
2
Ma
sinsin
Ra
v
4
Ma
 sincosgsin
R
v
Ma
2
o
e,y
2
2
o
2
o
2
o
e,y
oo
22
2
o
22
o
e,y
0
cossin
R
v
 sinsin
R
v
4
Ma
 
4
Ma
 )0( 
2
Ma
 
e,z
oo
222
e,z
=τ⇒






θα





θα







−−×=τ
 
 
 
Ecuaciones de Movimiento - Ejemplo - Ecs. Movimiento Rotacional 
Se tiene: 








α+α





−α=τ⇒
θ








α+α





−α−=τ
θ








α+α





−α=τ
φ cosgsin6cos
R
a
R4
v
Ma 
sincosgsin6cos
R
a
R4
v
Ma
coscosgsin6cos
R
a
R4
v
Ma 
2
o
2
o
e,y
2
o
e,x