5-Matematicas-i

Vista previa del material en texto

MMMMATEMÁTICAS IIII 
 
PROGRAMA ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL 
 
 
 
 
DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA 
 
 
 
 
 
 
 
ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA 
 
 
 
 
 
 
Director 
HONORIO MIGUEL HENRIQUEZ PINEDO 
 
 
 
Subdirector académico 
CARLOS ROBERTO CUBIDES OLARTE 
 
 
 
Decano de pregrado 
JAIME ANTONIO QUICENO GUERRERO 
 
 
 
Coordinador Nacional de A.P.T 
JOSE PLACIDO SILVA RUIZ 
 
 
 
 
 
 
ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA 
DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ 
Bogotá D.C., Noviembre de 2008 
 
 
 
 
TABLA DE CONTENIDO 
 
DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
CAPITULO 1. ECUACIONES 
 
1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable 
1.2 Aplicaciones 
1.3 Ecuaciones lineales en dos variables 
1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable 
1.5 Aplicaciones 
1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables 
1.7 Sistemas de ecuaciones lineales 
1.8 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones 
 Ejercicios de repaso de la unidad 
 
CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS 
 
2.1 Definición de función 
2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares 
2.3 Funciones especiales 
 Ejercicios de repaso de la unidad 
 
CAPITULO 3. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 
 
3.1 Funciones exponenciales 
3.2 Funciones logarítmicas 
3.3 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 
3.4 Aplicaciones 
 Ejercicios de repaso de la unidad 
 
CAPITULO 4. LÍMITES Y CONTINUIDAD 
 
4.1 Noción de límite 
4.2 Álgebra de límites 
4.3 Límites infinitos 
4.4 Límites al infinito 
4.5 Continuidad 
4.6 Aplicaciones 
 Ejercicios de repaso de la unidad 
 
CAPITULO 5. DIFERENCIACIÓN 
 
5.1 La derivada 
5.2 Reglas de diferenciación 
5.3 Aplicaciones 
 Ejercicios de repaso de la unidad 
 
DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS 
 
El plan de estudios del Programa de Administración Pública Territorial, modalidad 
a distancia, se encuentra estructurado en siete núcleos temáticos. Éstos, a su vez, 
se constituyen en los contenidos nucleares del plan de formación que, en la 
exposición didáctica del conocimiento, se acompañan de contenidos 
complementarios específicos. 
 
Cada uno de los siete núcleos temáticos que componen el programa tiene una 
valoración relativa en número de créditos y, en consecuencia, varía también en el 
número de asignaturas que lo conjugan. El primer momento en cualquier proceso 
de formación ha de establecer las particularidades del programa, de ahí que sea 
necesario dar a conocer los núcleos temáticos con su respectiva valoración en 
número de créditos: Problemática pública, once (11) créditos; Problemática del 
estado y del poder, 23 créditos; Organizaciones públicas, 24 créditos; Espacio–
tiempo y territorio, 22 créditos; Gestión del desarrollo, 16 créditos; Economía de lo 
público, 18 créditos; y Formación general, 21 créditos. 
 
De igual manera, se debe reconocer que el plan de estudios se cimienta en el 
principio de la problematización. En otras palabras, la formación en Administración 
Pública Territorial parte del hecho de que la disciplina se encuentra en constante 
cambio teórico y práctico; lo cual genera, a su vez, problemas multifacéticos que 
implican la formación de profesionales con capacidad de comprender, explicar y 
resolver los distintos textos y contextos que conforman la administración pública. 
 
EL TRABAJO DEL TUTOR 
 
El tutor tendrá libertad de cátedra en cuanto a su posición teórica o ideológica 
frente a los contenidos del módulo, pero el desarrollo de los contenidos de los 
módulos son de obligatorio cumplimiento por parte de los tutores. Los Tutores 
podrán complementar los módulos con lecturas adicionales, pero lo obligatorio 
para el estudiante frente a la evaluación del aprendizaje son los contenidos de los 
módulos; es decir, la evaluación del aprendizaje deberá contemplar únicamente 
los contenidos de los módulos. Así mismo, la evaluación del Tutor deberá 
diseñarse para dar cuenta del cubrimiento de los contenidos del módulo. 
 
El Tutor debe diseñar, planear y programar con suficiente anticipación las 
actividades de aprendizaje y los contenidos a desarrollar en cada sesión de tutoría 
(incluyendo la primera), y diseñar las actividades para todas las sesiones (una 
sesión es de cuatro horas tutoriales). También debe diseñar las estrategias de 
evaluación del trabajo estudiante que le permita hacer seguimiento del proceso de 
autoaprendizaje del estudiante. Los módulos (asignaturas) de APT son de dos 
créditos (16 horas de tutoría grupal presencial por crédito para un total de 32 
horas), tres créditos (48 horas de tutoría grupal presencial) y de 4 créditos (64 
horas de tutoría grupal presencial, distribuidas así: 
 
MÓDULO DE MATEMÁTICAS I (3 créditos) 
No. 
Créditos 
Horas por 
crédito 
Total 
horas 
Tutoría 
Grupal 
 
No. de 
sesiones 
 
Horas por 
sesión 
No. mínimo 
de 
encuentros 
tutoriales* 
No. max. 
sesiones 
por 
encuentro 
2 16 32 8 4 2 8 
3 16 48 12 4 3 12 
4 16 64 16 4 4 16 
* El número de encuentros se programara de acuerdo con las distancias y costos de transporte de la Sede Territorial al 
CETAP, por ejemplo para los casos de los CETAP de Leticia, San Andrés, Mitú, Puerto Inírida y Puerto Carreño, se 
podrán programar un mínimo de dos encuentros para un módulo de 2 Créditos (16 horas por encuentro), tres encuentros 
para un módulo de 3 créditos y cuatro encuentros para un módulo de 4 créditos. 
Encuentro: número de veces que se desplaza un Tutor a un CETAP para desarrollar un módulo. 
Sesión: número de horas por cada actividad tutorial, por ejemplo: 8-12 a.m., 2-6 p.m., 6-10 p.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICAS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTENIDO SINTÉTICO 
 
 
Este módulo brinda a los estudiantes las bases 
matemáticas necesarias en cuanto a ecuaciones, 
funciones, límites y derivadas, que contribuyen tanto a 
nivel teórico como práctico a su desarrollo en materias 
específicas de Administración y economía. 
 
 
 
 
OBJETIVOS GENERALES 
 
 
� Comprender, interpretar y solucionar problemas 
específicos en administración pública. 
 
� Definir los objetos que se estudian con ayuda de 
las nociones introducidas precedentemente y así, 
 
organizar la adquisición de nuevos conocimiento 
 
� Utilizar ejemplos y problemas cuya solución exija 
poner en acción los conocimientos de cada tema. 
 
� Buscar la correcta representación de los 
conocimientos y tomar conciencia de los 
resultados. 
 
� Encontrar buenas preguntas y hallar posibles 
soluciones. 
 
� Actuar, formular, probar, construir modelos, 
lenguajes, conceptos y teorías que pueda 
intercambiar con otros. 
 
� Adaptar los conocimientos a situaciones 
específicas, planteando modelos para resolverlos, 
pues las posibilidades se crean en un contexto y 
en unas relaciones con el medio. Así, los 
conocimientos aparecen como solución óptima. 
 
� Valorar la importancia que tienen los procesos 
constructivos y de interacción social en la 
enseñanza y en el aprendizaje de las 
matemáticas, utilizándolos en situaciones 
problemáticas que pueden provenir de la vida 
cotidiana, generando preguntas y situaciones 
interesantes. 
 
� Reconocer que existe un núcleo de conocimientos 
matemáticos básicos que debe dominar todo 
ciudadano. 
 
� Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías 
como herramientas computacionales para resolver 
problemas y tomar decisiones. 
 
� Reflexionar sobre el propio proceso de 
pensamiento con el fin de mejorarlo 
conscientemente. 
 
� Adquirir confianza en sí mismo. 
 
� Divertirse con su propia actividad mental, creando 
estrategias informales y de sentido común. 
� Tener en cuenta en el desarrollo del programa la 
historia, la génesis y la práctica de las 
matemáticas, como aspectos internos del ser y del 
conocer.� Desarrollar las competencias lógico matemáticas 
del futuro administrador público territorial, base 
fundamental para la toma de decisiones, la 
comunicación y planificación. 
 
� Adquirir herramientas de análisis que permitan 
apoyar la comprensión de algunas de las 
temáticas estudiadas en la carrera. 
 
� Estudiar algunas aplicaciones de la matemática en 
la administración y la economía, especialmente las 
que se refieren a la maximización de los 
beneficios, la eficiencia de los procesos, lo mismo 
que a la minimización de los costos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
Este documento forma parte del conjunto de módulos preparados por la Escuela Superior 
de Administración pública ESAP, con el fin de desarrollar el programa de Administración 
Púbica Territorial. 
 
El modelo pedagógico aplicado para la enseñanza de matemática en este caso, recurre a 
prácticas didácticas tradicionales y a métodos activos contando con la utilización de las 
nuevas tecnologías. 
 
� Clase participativa: En el desarrollo de las sesiones los alumnos construyen los 
conceptos a través de la guía del tutor. 
� Talleres de aplicación: Se adelantan trabajos de aplicación con información 
pertinente al campo de la administración pública. 
� Tutorías de asistencia grupal, con énfasis en el desarrollo de la habilidad del 
manejo de un software. 
� Investigación formativa: Durante el semestre se desarrollarán investigaciones 
sobre temas propuestos en el plan o por los estudiantes, inscritos en el dominio de 
la administración pública. 
 
El enfoque metodológico aplicado en la enseñanza de la matemática genera una relación 
entre el tutor y el estudiante que se caracteriza por la iniciativa, experimentación, práctica 
y construcción del conocimiento de acuerdo con el ritmo y con los descubrimientos 
progresivos que va logrando el dicente; el tutor es un orientador y un asesor para las 
inquietudes y logros. 
 
Atendiendo a que nuestro quehacer diario debe dirigirse hacia las metas anteriores, serán 
tenidos en cuenta todos los aspectos que constituyen el ser integral del alumno, por lo 
cual tomamos como referencia las preguntas: 
 
1. ¿Qué queremos que el estudiante aprenda? 
 
2. ¿Cómo puede lograrse ese aprendizaje? 
 
3. ¿Cómo sabemos cuándo hay aprendizaje? 
 
4. ¿Qué tiempo se necesita? 
 
Así, la metodología, apuntará a desarrollar las siguientes ideas: 
 
o Formación en la solución de problemas como competencia básica no solo en 
matemáticas. Así, se experimenta la potencia y utilidad de las matemáticas en el 
mundo que nos rodea. 
o La capacidad para resolver problemas, que es la conducta más inteligente del 
hombre y la preocupación central de las matemáticas. 
o El manejo de códigos matemáticos como elemento esencial para comprender el 
nivel abstracto inmerso en varias situaciones de la vida real. 
o El desarrollo del pensamiento espacial y geométrico, que permite la ubicación de 
nuestro ser y nuestro entorno. 
o Búsqueda del desarrollo del pensamiento lógico en los estudiantes. 
o Manejo de material (representación espacio-temporal), representación gráfica 
(puramente espacial, no hay tiempo) y manejo de símbolos: formas y tamaños, 
proposiciones, ambiente de las figuras, palabras que aportan y dan información 
adicional al dibujo, todo lo cual evidencie una construcción de conocimiento. 
 
o Las matemáticas como verdades de razón (competencias básicas: interpretativa, 
argumentativa y propositiva). 
 
La dinámica de las sesiones presenciales consistirá en una explicación sobre el tema o 
temas a tratar, con suficientes ejemplos ilustrativos, ejercicios y problemas de aplicación a 
la administración y economía, a lo cual seguirá la realización de un taller en grupos. La 
investigación en matemáticas en los ámbitos numérico, lógico y geométrico es de especial 
importancia, ya que con ella el estudiante muestra su capacidad de análisis, interpretación 
y argumentación del tema y podrá solucionar problemas que requieran inferencias lógicas 
como estrategia didáctica fundamental. 
 
Se realizarán tutorías en las cuales se observará el desarrollo y la aplicación de algunos 
conceptos, reforzando el proceso operativo con el uso de programas como el 
MATHEMATICA y / o DERIVE. 
 
En todo momento se aceptará la contribución que el alumno pueda hacer para el 
desarrollo de la clase, tanto en el ámbito de plan de estudios como metodológico. 
 
El contenido básico del módulo abarca los elementos principales del cálculo infinitesimal o 
diferencial, sin embargo no se centra en el desarrollo de los conceptos meramente 
matemáticos, sino en las aplicaciones a las áreas pertenecientes al campo de la 
administración pública; por ello, se presentan las ideas y definiciones básicas sin ahondar 
en demostraciones, centrándose principalmente en los ejemplos de aplicación. 
 
La estructura de cada capítulo del módulo contiene los objetivos específicos, que 
debemos recordar nos servirán como referente del aprendizaje obtenido. Las lecciones 
están conformadas por un título, un desarrollo de los temas, algunos ejemplos, 
explicaciones, gráficos, notas y definiciones como apoyo. En cada capítulo se enuncian 
ejercicios y preguntas que sirven como estrategia de aprendizaje permitiendo reflexionar o 
clarificar aspectos básicos del tema que se estudia. Al final del capítulo se presenta una 
autoevaluación presentada como ejercicios de repaso del capítulo que le permite al 
estudiante asegurar que ha asimilado los contenidos y que está en capacidad de 
presentar sus evaluaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contenido sintético de este módulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Contenido sintético de los capítulos 1, 2 y 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 1. ECUACIONES 
 
Objetivos Generales: 
 
1. Solucionar ecuaciones cuadráticas y lineales. 
2. Plantear la ecuación correspondiente en problemas de aplicación 
 
Objetivos específicos: 
 
� Resolver ecuaciones con métodos algebraicos 
� Resolver problemas dando solución en forma de conjunto y/o 
intervalo. 
 
 
Subtemas: 
 
1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable 
1.2 Aplicaciones 
1.3 Ecuaciones lineales en dos variables 
1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable 
1.5 Aplicaciones 
1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables 
1.7 Sistemas de ecuaciones 
 1.8 Aplicaciones 
 Ejercicios de repaso del capítulo 
 
 
Palabras clave: 
 
Igualdad 
Despeje de una variable 
Plano cartesiano 
Coordenada 
Factorización 
Operaciones con reales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Repaso sobre los Números Reales (R) 
 
Los conjuntos vistos en matemáticas anteriores sugieren que los números 
naturales (N), los enteros (Z) y los racionales (Q) se relacionan de la siguiente 
manera: 
N Z Q 
 
Lo cual significa que todo número natural es también entero y todo número entero 
es también racional y por lo tanto todo número natural es racional. 
 
Si al conjunto de los números racionales (Q) se le une el conjunto de los números 
irracionales (I) disyuntos entre sí, se genera un conjunto conocido como el 
conjunto de los números reales, nominado con la letra R. 
 
Recordemos que: 
 
N: Números Naturales: {0, 1, 2, 3, ...} 
Z: Números Enteros {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
Q: Números Racionales {..., , -3/2, , -2/6, -1/3, , , 0, , 1/4, 2/9, , ...} 
R: Números Reales = Q U I 
C: Números Complejos, compuestos por una parte real y una imaginaria, cuya 
notación incluye la letra i. 
 
 
 
ECUACIONES 
 
Poco se conoce de la vida personal del matemático griego Diofante, que vivió en 
Alejandría, Egipto, en el siglo III de la era cristiana. Sin embargo, su trabajo 
influyó sobre los matemáticos europeos del siglo XVII. La leyenda asegura que 
sobre la tumba de este matemático ilustre se escribió el siguiente epitafio: 
 
Diofante pasó una sexta parte de su vidaen la niñez, una doceava parte en la 
juventud y una séptima parte soltero. Cinco años después de su matrimonio nació 
un niño que murió cuatro años antes de que su padre cumpliera la mitad de su 
edad (final). 
 
Si x representa la edad de Diofante al morir, entonces la información anterior 
puede representarse con la ecuación 
 
 
 
En este módulo obtendremos técnicas que nos permitirán resolver ésta y muchas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: La división entre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ecuaciones más que podremos aplicar a problemas prácticos. 
 
1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable 
 
Conceptos básicos: Operaciones con reales, factorizaciones y operaciones con 
fracciones algebraicas. 
 
Una ecuación es una proposición en la cual aparece la igualdad entre dos 
expresiones algebraicas. Por ejemplo: 
 
 ; 
 
En ella se relacionan partes literales (letras o variables) y partes numéricas. 
 
Solucionar, resolver o hallar la (s) raíz (ces) de una ecuación consiste en 
determinar el o los valores de la incógnita o variable, que al ser reemplazados en 
la ecuación dada la verifiquen, es decir, que conduzcan a una proposición 
verdadera (la expresión a la izquierda del signo igual sea equivalente a la de la 
derecha). Se dice que un número satisface la ecuación si es una solución. 
 
Ejemplo 1. Los números -5 y 5 son soluciones o raíces de la ecuación: 
 ya que . (Recordemos que ). 
 
Ejemplo 2. tiene como raíz a ya que si reemplazamos 
en la ecuación 3 (-2) – 1 = 2(-2)-3 obtenemos -7 = -7 que es una proposición 
verdadera. 
Ejemplo 3. Los valores que puede tomar la variable en 
son todos aquellos reales diferentes de 1 ya que con este 
último, el denominador nos daría cero y la división no se podría efectuar. Lo 
expresaremos así: S = R\ 
 
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. 
 
 3x+2 = 0 ; 3x = -2 ; x = 
 
Para obtener ecuaciones equivalentes o identidades podemos realizar las 
siguientes operaciones: 
 
• Sumar o restar la misma expresión (que represente un número real) a 
ambos lados de la ecuación. 
• Multiplicar o dividir cada lado de la ecuación por la misma expresión (que 
represente un número real diferente de cero). 
 
Ejemplo 4. 3 x + 2 = 0 
 3x + 2 - 2 = 0 - 2 
 3 x = - 2 
• Recuerda que: 
 25 -25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (3x) = (-2) 
 x = 
 
Por lo tanto la solución es única y se representa en un conjunto: S = . 
 
Para probar el valor hallado, se reemplazamos en la ecuación original y vemos 
que genera una proposición verdadera, así: 
 
3 x + 2 = 0 
 3 + 2 = 0 
 -2 + 2 = 0 
 0 = 0 
 
Ecuaciones Lineales 
 
Son una clase especial de ecuaciones polinómicas, es decir de la forma 
an x
n + an-1 x
n-1 + an-2 x
n-2 + an-3 x
n-3 + an-4 x
n-4 + …+ a1 x
1 + a0 x
0 , con ai R y n un 
entero no negativo. 
 
Aquellas que tienen la forma a1 x
1 + a2 x
0 = 0; con a1, a2 R; a1 ≠ 0 y n = 1 
son lineales. 
 
Ejemplo 5. 
 
Efectuamos las operaciones indicadas, antes enunciadas, teniendo en cuenta el 
orden presentado por los paréntesis: 
 
 
 
 
 
 
 
 o 
 
Por tanto, el conjunto solución es: S = 
 
Ejemplo 6. 
 
Al multiplicar por ( x- 5 ) a cada lado de la ecuación, se obtiene una ecuación 
lineal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pero, al multiplicar por una expresión que contiene una variable, debemos 
verificar que x = 5 sea efectivamente una solución: 
 
 
 
 
 
 
Y como no es posible dividir entre cero, llamamos a x = 5 una solución extraña y 
por lo tanto la ecuación no tiene solución, es decir, S = o S =Ø. 
 
Ejemplo 7. 
 
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador 
que en este caso es (diferencia de cuadrados), ya que la factorización es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al probar en la ecuación original se nota que dos de los denominadores se 
vuelven cero, por lo tanto es una solución extraña. S = . 
 
Ejemplo 8. 
 
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador 
que en este caso es , ya que la factorización es (Factor 
común) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sustituyendo por 3 en la ecuación original, hallamos que este valor satisface 
la ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución es S = . 
 
 
1.2 Aplicaciones de ecuaciones lineales 
 
Áreas. El área de una figura plana se puede cambiar a una forma más 
conveniente despejando o solucionando para una de las variables en términos de 
las variables restantes, encontrando ecuaciones equivalentes. 
 
Ejemplo 9. El área de un triángulo de base y altura se halla mediante la 
fórmula . 
 
Para despejar , multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2, así: 
 
 
 
 
Ahora, multiplicamos por : 
 
 
 
 
Ejemplo 10. Así mismo, el área de un trapecio con bases y y altura 
está dada por 
 
 
Al despejar tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O, al expresar con común denominador: 
 
 h 
 b 
B 
 h 
b 
 
 
En álgebra es útil traducir las palabras en las que viene enunciado un problema 
en una ecuación algebraica apropiada. Debemos leer el problema atentamente, 
identificar la cantidad desconocida, si es posible hacer un diagrama, asignar una 
variable a la cantidad desconocida, representar cualquier otra cantidad en 
términos de la variable escogida, escribir una ecuación que exprese con precisión 
la relación descrita en el problema, solucionar la ecuación y verificar que la 
respuesta concuerde con las condiciones planteadas. 
Ejemplo 11. En 5 años Bryan tendrá tres veces la edad que tenía hace 7 años. 
¿Cuántos años tiene? 
 
Asignamos x = edad actual de Bryan 
 
 x + 5 será entonces la edad en cinco años 
 
 x – 7 la edad que tenía hace 7 años 
 
 3 ( x – 7 ) tres veces la edad que tenía hace 7 años 
 
La ecuación que expresa la relación del problema será: 
 
x + 5 = 3 ( x – 7 ) 
 
despejando x para hallar la solución: 
 
x + 5 = 3 x - 21 
 
x – 3x = - 21 - 5 
 
-2 x = - 26 
 
x = 
 
x = 13 años 
 
Puesto que 13 + 5 = 3 (13 - 7), la edad actual de Bryan es 13 años. 
 
 
 
Muchos problemas de inversión utilizan la fórmula de interés simple: 
 
I = C r t 
 
Donde I es la cantidad de interés ganada sobre un capital C invertida a una tasa 
de interés simple r de porcentaje por t años. 
 
 
Ejemplo 12. La señora Beecham invirtió parte de US$10.000 en un certificado de 
• Recuerda que: al 
tener un número 
negativo 
multiplicando en un 
lado de la 
ecuación, lo 
pasamos con el 
mismo signo, para 
despejar la 
variable. 
ahorros a 7% de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%. 
Si recibió un total de US$900 de interés por el primer año, ¿Cuánto invirtió en el 
título? 
 
 
Notemos con la letra x la cantidad de dinero invertida en el título, entonces 
10.000 – x será el dinero puesto para el certificado de ahorros. 
 
 
Podemos organizar la información dada en un cuadro así: 
 Capital C Tasa de 
interés r 
Tiempo 
t 
Interés ganado 
I = C r t 
Certificado de 
ahorros 
 
10.000 -x 
 
0,07 
 
1 
 
(10.000-x)(0,07)(1)= 
700- 0,07 x 
 
Título 
 
x 
 
0,12 
 
1 
 
x (0,12) (1) = 0,12 x 
 
Como el total de interés recibido es de US$ 900 se tiene: 
700- 0,07x + 0,12 x = 900 de donde, 
- 0,07 x + 0,12 x = 900 – 700 
0,05 x = 200 
x = 4.000 
Por lo tanto se invirtieron US$ 4.000 en el título. 
Razón de cambio. Si un objeto se mueve a una velocidad constante v, entonces 
la distancia d que recorre en t unidades de tiempo está dada por 
d = v t , o , t = d / v , o , v = d / t 
 
Ejemplo 13. Un hombre recorrió 289 Km. en auto y luego montó en bicicleta 50 
Km. más. Si el tiempo total del viaje fue de 12 horas y la velocidad en la bicicleta 
fue ¼ de la velocidad en el auto, encuentre cada velocidad. 
 
 
 Distancia Velocidad Tiempo 
En auto 289 
 
 
En bicicleta 
 
50 
 
 
 
Como el tiempo total fue de 12 horas, tenemos: 
 
 
 
 
 (velocidad del auto) 
¼ = ¼ (40,75) = 10,1875 Km / h ( velocidad de la bicicleta) 
 
Problemas de mezclas. Se dan principalmente en química, farmacología, 
manufactura. Al resolver este tipo de problemas nos centramos en la cantidad 
que tiene un elemento en cada una de las diferentes combinaciones. Es útil, igual 
que en los casos anteriores organizar la información en forma de matriz (filas y 
columnas). 
Ejemplo 14. Halle cuántos litros de alcohol puro pueden añadirse a 15 lt. de 
solución que contiene 20% de alcohol para que la mezcla resultante sea de 30% 
de alcohol. 
Si x son los litros de alcohol añadidos, entonces, 
15 + x representa la cantidad en litros en la nueva solución. 
 
 
 
Litros de solución Concentración de alcohol Litros de alcohol 
Solución 
original 
 
15 
 
0,20 
 
0,20 (15) 
Alcohol 
puro 
 
x 
 
1,00 
 
1,00 x 
Mezcla 
resultante 
 
15 + x 
 
0,30 
 
0,30 ( 15 + x) 
Si la cantidad de alcohol en la solución original más la cantidad de alcohol puro 
añadida balancean la cantidad de alcohol en la mezcla resultante, se tiene: 
0,20 (15) + 1,00 x = 0,30 ( 15 + x) 
3 + x = 4,5 + 0,3 x 
0,7 x = 1,5 
x = 
Por lo tanto la cantidad de alcohol añadida es lt. 
Recordemos que podemos probar la respuesta reemplazando en a ecuación 
original el valor encontrado. 
Problemas de trabajo. Si un individuo puede hacer un trabajo en T unidades de 
tiempo, se concluye que en x unidades de tiempo, x/T del trabajo se completa. 
Por ejemplo, si una persona hace un trabajo en 7 horas, entonces en 3 horas 
podrá hacer 3/7 de trabajo. 
Ejemplo 15. Trabajando sola una bomba A puede llenar un tanque en 2 horas y 
una bomba B lo puede llenar en 3 horas. ¿Qué tan rápido las bombas pueden 
llenar el tanque trabajando juntas? 
Siendo el número de horas que se gastan las dos bombas en llenar el tanque, 
entonces, 
será la fracción de trabajo de la bomba A en x horas 
 la fracción de trabajo culminado en x horas por la bomba B. 
Así, 
 Tiempo para completar 
todo el trabajo 
Fracción del trabajo 
completado en x horas 
Bomba A 2 
Bomba B 3 
Ambas bombas 1 
La suma de lo que aporta cada bomba en fracción de trabajo en x horas debe ser 
la unidad, que en este caso representa el trabajo completo, por lo tanto: 
 
 
 
 = horas 
Trabajando ambas bombas se demoran horas (1 horas 12 minutos) para 
llenar el tanque. 
 
1.3 Ecuaciones lineales en dos variables. 
 
El descubrimiento del sistema de coordenadas cartesianas representó un avance 
muy importante en matemáticas. Gracias a él, René Descartes, filósofo y 
matemático francés, logró transformar los problemas geométricos, que exigían 
largos y tediosos razonamientos en problemas algebraicos que se podían 
resolver más fácilmente. Esta relación entre la geometría y el álgebra dio como 
resultado la geometría analítica, que en un principio resolvió los siguientes 
planteamientos: 
 
- Dada una ecuación, hallar la gráfica correspondiente 
- Dada una figura geométrica, encontrar la respectiva ecuación. 
 
Cualquier ecuación que se pueda escribir como , con R; y 
 variables, se llama ecuación lineal en dos variables. 
 
Una solución de una ecuación de este tipo es un par ordenado de números 
reales, que satisfacen la expresión, es decir que la ecuación es cierta cuando las 
coordenadas obtenidas se sustituyen por y . 
 
Ejemplo 16. ¿Cuál de los pares ordenados (2,-3) y (-2,-2) es una solución de la 
ecuación lineal y = 4x -11? 
 
Al sustituir el valor de la abscisa por x y el valor de la ordenada por y para el 
punto (2,-3), obtenemos: 
 
y = 4x -11 
-3 = 4 ( 2 ) – 11 
-3 = 8 – 11 
-3 = -3 
 
Como la expresión obtenida es verdadera, concluimos que la pareja ordenada 
(2,-3) sí es solución a la ecuación. 
 
Efectuando el mismo procedimiento con ( -2,-2) tenemos: 
 
y = 4x -11 
-2 = 4 ( -2 ) – 11 
-2 = -8 – 11 
-3 = -19 
 
Proposición falsa, por lo cual la pareja ordenada escogida no es solución. 
 
Una ecuación lineal tiene un número infinito de soluciones. Para encontrar todas 
las soluciones, sustituimos x por un valor real y resolvemos para y (o despejamos 
y). 
 
Ejemplo 17. Formemos una tabla de datos con algunas soluciones y 
representemos en el plano cartesiano, para la ecuación y = 2 x – 4: 
 
• Recuerda que: el 
hecho de que los 
exponentes de las 
dos variables (x, y) 
sean uno, hace que 
la ecuación sea 
lineal. 
 
 
 
Valor para x Valor para y Par ordenado (x , y) 
-4 2 (-4) – 4 = -12 (-4,-12) 
-2 2 (-2) – 4 = -8 (-2,-8) 
0 2 (0) – 4 = -4 (0,-4) 
2 2 (2) – 4 = 0 (2,0) 
4 2 (4) – 4 = 4 (4,4) 
6 2 (6) – 4 = 8 (6,8) 
8 2 (8) – 4 = 12 (8,12) 
 
 
 
 
Cuando se representan gráficamente los pares ordenados los puntos caen en 
una línea recta. Así, hemos representado gráficamente la solución de la ecuación 
lineal ya que la recta representa todas las soluciones de la ecuación. 
 
 
Ejemplo 18. Teniendo en cuenta uno de los teoremas de la Geometría 
Euclidiana, en el cual enuncia que para trazar una recta es suficiente tener dos 
puntos, ahora realizamos la gráfica con las coordenadas al origen, es decir las 
parejas ordenadas en las cuales la gráfica corta a los ejes coordenados, para la 
ecuación: x + 3y = 6 
 
 
x 0 6 
y 2 0 
 
 
Si tomamos x = 0 y reemplazamos en la ecuación, obtenemos que y = 2. Con 
esto tenemos el corte de la recta con el eje y o la ordenada al origen, (0, 2) 
 
Si tomamos y = 0, al reemplazar en la ecuación, obtenemos que x = 6. Con esto 
tenemos el corte de la recta con el eje x o la abscisa al origen, (6,0) 
 
 
 
1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable. 
 
Son ecuaciones polinómicas de la forma a x2 + bx + c = 0 ; con a, b, c R y 
a ≠ 0. 
 
Para resolver o hallar los valores de la variable en una ecuación cuadrática 
contamos con tres métodos: factorización, raíz o la fórmula cuadrática. 
 
Método de factorización. Este método se basa en la propiedad de la 
multiplicación por cero: si a y b representan números reales y a.b = 0 entonces, 
a = 0, o, b = 0. 
 
Ejemplo 19. Resuelva 
 
Factorizando el polinomio tenemos: 
 
 
 
Sacando factor común en el primer paréntesis y cancelando con el 2 del 
denominador: 
 
 
Así, 
 
de donde 
 
Por lo tanto el conjunto solución es: S = 
 
Al igual que con las ecuaciones anteriores, podemos probar nuestras respuestas 
sustituyendo los valores encontrados en la ecuación original. 
 
Ejemplo 20. Resuelva 
Escribiendo nuestra ecuación de la forma : 
 
 
 
Sacando factor común 3 : 
 
 
Y pasando el 3 a dividir: 
 
 
Factorizando: 
 
 
 
 
Así, 
 
de donde 
 
Luego el conjunto colusión es: S = 
 
Método de la raíz cuadrada. Utilizado cuando la ecuación cuadrática tiene la 
forma . 
 
Aquí, sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación y obtenemos: 
 
 
Ejemplo 21. Resuelva 
 
 
 
 
 
Luego el conjunto solución es: S = 
 
Podemos probar nuestras respuestas sustituyendo los valores encontrados en la 
ecuación original. 
 
Ejemplo 22. Resuelva 
• Recuerda que: 
para resolver una 
ecuación 
cuadrática por 
factorización es 
necesarioigualar 
a cero para poder 
aplicar la 
propiedad. 
 
 
 
Sacando raíz cuadrada en ambos lados obtenemos: 
 
 
 
Despejando : 
 
Y por lo tanto el conjunto solución es: S = 
 
 
La fórmula cuadrática. El más potente de los métodos de solución, que se basa 
en la fórmula cuadrática, , cuya deducción presentamos a 
continuación: 
 
Partimos de nuestra forma original: 
 
 
 
Dividiendo los dos términos de la igualdad entre a se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
Agrupando los términos que tienen y haciendo completación de cuadrados, es 
decir sumando a ambos lados de la ecuación el término necesario para 
formar, al lado izquierdo, un trinomio al cuadrado perfecto: 
 
 
 
Y factorizando el trinomio, 
 
 
 
 
 
Sacando raíz cuadrada en ambos lados: 
 
 
 
Sacando denominador común: 
 
 
Extrayendo la raíz del denominador: 
 
 
Despejando : 
 
 , o , 
 
 
 
La naturaleza de las raíces está dada por el radicando, llamado discriminante, 
así: 
 
 Si la ecuación tiene dos raíces reales iguales 
Si la ecuación tiene dos raíces reales distintas 
 Si la ecuación tiene dos raíces complejas 
 
Ejemplo 23. Resuelva 
 
Identificando = 3 , = -7 ,y, = 2, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con lo que obtenemos dos respuestas: 
 
• Recuerda que: 
la fórmula 
cuadrática solo 
utiliza los 
coeficientes de 
la ecuación 
cuadrática. 
 
 
 
Luego el conjunto solución es: S = 
 
Ejemplo 24. Resuelva 
 
Identificando = 9 , = 30 ,y, = 25, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con lo que obtenemos dos respuestas iguales: 
 
 
 
Tenemos una solución doble: S = 
 
Ejemplo 25. Resuelva 
 
Organizando la ecuación: 
 
 
 
Identificando = -2 , = 3 ,y, = -3/2, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con lo que obtenemos dos respuestas pertenecientes al conjunto numérico de 
los complejos: 
 
 
Así, la solución viene dada por: S = 
 
 
1.5 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas 
 
Ejemplo 26. El área de un rectángulo es 138 m2. , si la longitud es 5m. más que 
tres veces el ancho, halle las dimensiones del rectángulo. 
 
Designamos como el ancho, por lo que el largo será 3 + 5. 
 
 
 
 
 
 
Como se tiene el valor del área tenemos: 
 
 
 
Aplicando la propiedad distributiva, 
 
 
 
 Y resolviendo por la fórmula cuadrática se encuentra que 1 = -23/3 y 2 = 6. 
 
Como el ancho de un rectángulo no puede ser negativo, descartamos la primera 
respuesta y tomamos el ancho igual a 6, de donde, reemplazando en 3 + 5 
obtenemos que el largo es de 3(6) + 5 = 23 m. 
 
 
 
El Teorema de Pitágoras es uno de los más utilizados y muchas de sus 
aplicaciones incluyen ecuaciones cuadráticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 + 5 
• Recuerda que: El 
Teorema de 
Pitágoras dice 
que en un 
triángulo 
rectángulo el 
cuadrado de la 
longitud de la 
hipotenusa es 
igual a la suma 
de los cuadrados 
de los catetos. 
 
hipotenusa 
 
 
 
 
 
Ejemplo 27. En un parque dos aceras forman un ángulo recto con el patio P, el 
puesto de refrigerio R y el estacionamiento E, como muestra la figura. La 
longitud total de las aceras es de 700 m. Al caminar a través del pasto 
directamente del estacionamiento al patio, los niños pueden acortar la distancia 
en 200 m. ¿Cuáles son las longitudes de las aceras? 
 
 
Designamos = longitud de la acera del punto P al R. 
 700 – = longitud de la acera de R a E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Puesto que la distancia de P a E es 200 m. menor que la longitud total de las dos 
aceras, se tiene, 
 
700 – 200 = 500 distancia de P a E 
 
Así, obtenemos la siguiente relación por el Teorema de Pitágoras: 
 
 
 
Reescribiendo la ecuación y solucionando por factorización: 
 
 
 
 
 
 
 
De donde, 
 o 
 
 
 
P 
 R E 
 
700 - 
 500 
Al reemplazar por = 400, la longitud de la acera desde el patio hasta el puesto 
de refrigerio R es de 400 m. y la longitud de la acera desde el punto R hasta el 
estacionamiento es 700 – 400 = 300. 
 
Si hacemos los mismo con = 300 obtenemos los valores invertidos, con lo cual 
hay dos posibles soluciones al problema (300,400) o (400,300). 
 
Ejemplo 28. Un comisionista de vinos gastó US$800 en algunas botellas de vino 
añejo Cabernet Sauvignon de California. Si cada botella hubiera costado US$4 
más, el comisionista habría obtenido 10 botellas menos por el dinero que dio. 
¿Cuántas botellas se compraron? 
 
Si designamos = número de botellas compradas, entonces representa el 
costo por botella. 
 
Así, al precio más alto, – 10 es el número de botellas compradas, y 
 
, sería el costo por botella. 
 
Se establece la relación: 
 
(Costo por botella) ( número de botellas) = 800 
 
 
 
De donde aplicando la propiedad distributiva, y resolviendo la ecuación 
 
, 
 
obtenemos que el número de botellas de vino compradas es 50. 
 
 
1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables. 
 
Al igual que con las ecuaciones lineales en dos variables, la solución de este tipo 
de ecuaciones es una gráfica, que en este caso se denomina parábola. 
 
Una ecuación cuadrática, es aquella de la forma , con , 
donde , y c son constantes. 
 
En general, la gráfica de la parábola depende de las siguientes características de 
la ecuación: 
 
 
Gráfica Ecuación 
 
 
 
 
, 
 
La variable que está al cuadrado es . 
 
Si > 0 , la parábola abre hacia 
arriba, por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
La variable que está al cuadrado es . 
 
Si < 0 , la parábola abre hacia 
abajo, por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
La variable que está al cuadrado es 
. 
 
Si > 0 , la parábola abre hacia la 
derecha, por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
La variable que está al cuadrado es 
. 
 
Si < 0 , la parábola abre hacia la 
izquierda, por ejemplo: 
 
 
 
 
 
Para hallar los puntos pertenecientes a una parábola, que abre hacia arriba o 
hacia abajo, comenzaremos con el vértice o la punta de la parábola, que se 
encuentra en y luego tabularemos dos valores a la izquierda y 
dos a la derecha de esta coordenada, con el fin de ver la simetría de la curva. 
 
 
Ejemplo 29. Hallar la solución de la ecuación 
 
Para hallar el vértice: tenemos: = -8 ; = 2 
 
Abscisa del vértice: = = 2 
 
Y luego encontramos el valor de la ordenada correspondiente, sustituyendo en la 
ecuación: 
 
 
 
 
 
 
Valor para Valor para Par ordenado 
2 (2,3) 
1 (1,-1) 
0 (0,5) 
3 (3,-1) 
4 (4,5) 
 
 
 
 
 
Ejemplo 30. Hallar la solución de la ecuación 
 
Organizando la ecuación: 
 
Para hallar el vértice: tenemos: = 12 ; = -2 
 
Abscisa del vértice: = = 3 
 
Y luego encontramos el valor de la ordenada correspondiente, sustituyendo en la 
ecuación: 
 
 
 
 
 
 
Relacionaremos ahora con ecuaciones cuadráticas en una sola variable, ya que 
si resolvemos la ecuación: 
 
 
Obtendremos los cortes de la parábola con el eje : 
 
Factorizando: 
 
 
Y aplicando nuestra propiedad: 
 
 ,o, 
 
De donde ,o, 
 
 
Por lo tanto las intersecciones están en (0,0) y (6,0) 
 
 
Valor para Valor para Par ordenado 
3 (3,18) 
2 (2,16) 
1 (1,10) 
0 (0,0) 
4 (4,16) 
5 (5,10) 
6 (6,0) 
 
 
 
 
 
Ejemplo 31. Hallar la solución de la ecuación 
 
Utilizando la propiedad distributiva: 
 
Para hallar el vértice, debemos tener en cuenta que la variable que está al 
cuadrado es y, por lo cual con la fórmula obtendremos no la abscisa sino la 
ordenada del vértice, así: 
 = -8 ; = 2 
 
Ordenada del vértice: = = 2 
 
Y luego encontramos el valor de la abscisa correspondiente, sustituyendo en la 
ecuación: 
 
 
 
 
 
 
Así, el vértice está en (-8,2) 
 
Para hallar los intersectos con el eje , hacemos = 0: 
 
, con lo cual el único corte está en (0,0). 
 
Ahora, obtendremos los cortes de la parábola con el eje , haciendo = 0: 
 
Factorizando: 
 
 
 
Y aplicando nuestra propiedad:,o, 
 
De donde ,o, 
 
Por lo tanto las intersecciones están en (0,0) y (0,4) 
 
 
Valor para Valor para Par ordenado 
2 (-8,2) 
3 (-6,3) 
4 (0,4) 
1 (-6,1) 
0 (0,0) 
-1 (10,-1) 
 
 
 
 
Ejemplo 32. Hallar la solución de la ecuación 
 
Ordenando la ecuación: 
 
Obtenemos la ordenada del vértice, 
 
 = -5 ; = -1 
 
Ordenada del vértice: = = -5/2 
 
Y luego encontramos el valor de la abscisa correspondiente, sustituyendo en la 
ecuación: 
 
 
 
 
 
Así, el vértice está en 
 
Para hallar los intersectos con el eje , hacemos = 0: 
 
, con lo cual el único corte está en (2,0). 
 
Ahora, obtendremos los cortes de la parábola con el eje , haciendo = 0: 
 
 
 
 
 
Resolviendo por la fórmula cuadrática u otro método se obtiene: 
 
 
 
Por lo tanto los puntos hallados son: y , o 
 
 y 
 
 
 
Valor para Par ordenado 
 
-5/2 
 
(33/4,-5/2) 
 
0 
 
(2,0) 
 
 
 
(0, ) 
 
 
 
(0, ) 
 
 
-1 
 
(6,-1) 
 
-3 
 
(8,-3) 
 
 
 
1.7 Sistemas de ecuaciones 
 
 
Sistemas de ecuaciones lineales. 
 
Muchos problemas se pueden resolver adecuadamente planteando un sistema 
con dos ecuaciones y dos incógnitas. Por ejemplo, si una tabla de 12 pies se 
corta en dos partes, de tal manera que una de ellas mida 4 pies más de largo que 
la otra, ¿Cuál será la longitud de cada parte? 
 
Si asignamos = la longitud de la parte mayor 
 = la longitud de la parte menor 
 
entonces: 
 
Resolver este sistema significa encontrar todos los pares ordenados de números 
reales que satisfagan ambas ecuaciones al mismo tiempo. En general nos 
interesa resolver sistemas del siguiente tipo: 
 
 
 
donde , , , , , son constantes reales. 
 
Dos rectas en el mismo sistema de coordenadas rectangulares, en un plano, se 
deben relacionar de una de estas tres maneras: 
 
1) Se intersecan en un solo punto, es decir tienen una única solución, 
situación ilustrada en el siguiente gráfico: 
 
 
 
2) No se intersecan en ningún punto, es decir son paralelas y la solución es 
vacía, cuya posible representación es: 
 
 
 
3) Todos los puntos son comunes, es decir las rectas coinciden. El sistema 
tiene infinitas soluciones., como se puede observar en la gráfica siguiente: 
 
 
Aunque la gráfica brinda una información útil, puede resultar difícil obtener 
soluciones racionales y/o decimales, por lo cual veremos tres métodos de 
solución que nos darán las aproximaciones deseadas. Estos implican la 
sustitución de un sistema de ecuaciones por un sistema equivalente más simple, 
para ello se aplican las transformaciones apropiadas y se continúa el proceso 
hasta obtener un sistema cuya solución sea obvia. 
Solución por sustitución. 
 
Ejemplo 1. Para resolver nuestro problema inicial, 
 
Primero despejamos de una de las dos ecuaciones una de las dos incógnitas: 
 
 
 
Luego reemplazamos en la ecuación que no hemos utilizado la expresión 
encontrada para : 
 
 
Al quedar una sola ecuación lineal con una incógnita, podemos resolver 
despejando : 
 
 
 
 
Con el valor hallado, sustituimos en cualquiera de las ecuaciones, 
convenientemente en: 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto el punto de corte y la solución del sistema es el punto (8,4) 
 
Procedemos ahora a elaborar la gráfica de ambas ecuaciones en el mismo 
sistema de coordenadas, ya que el punto que tienen en común debe ser la 
solución, ya que satisface ambas ecuaciones: 
 
 
Solución por igualación. 
 
Ejemplo 2. Resuelva el sistema 
 
 
 
Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones: 
 
 
 
 = = 1 – 2x 
 
Por la propiedad transitiva, tenemos que la primera expresión debe ser igual a la 
tercera, atendiendo a que el valor de que buscamos debe ser el mismo para 
las dos ecuaciones. 
 
Así nos queda una sola ecuación en la que podemos despejar : 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
Sustituyendo para hallar el valor de tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto la solución es el conjunto unitario: S = (2,-3) 
 
 
Solución por eliminación. 
 
Ejemplo 3. Resuelva el sistema 
 
Escogemos una variable para ser eliminada mediante suma de ecuaciones. 
Recordemos que se necesita que los coeficientes sean opuestos para que nos de 
cero la suma. Así, si elegimos , debemos convertir cada uno de los coeficientes 
de esta variable que intervienen en el mínimo común múltiplo de los dos, en este 
caso m.c.m. (3,5) =15, por lo cual debemos multiplicar la ecuación primera por (5) 
y la segunda por (3) así: 
 
 
Obteniendo: 
 
 
 
 
 
Sumando las dos ecuaciones término a término : 
 
 de donde 
 
 
Y reemplazando en cualquiera para hallar : 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Recuerda que: Al 
multiplicar una 
ecuación por un 
número debemos 
multiplicar todos 
los términos de la 
ecuación. 
Por lo tanto la solución es S = (-2,3) 
 
Ejemplo 4. Resuelva el sistema 
 
Por igualación tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Lo cual constituye una proposición verdadera. Pero como no nos generó valor 
para la variable, concluimos que son la misma recta, es decir que el sistema tiene 
un número infinito de soluciones. Cuando una ecuación es múltiplo de otra, se 
dice que el sistema es dependiente. 
 
 
 
 
 
Ejemplo 5. Resuelva el sistema 
 
 
Por eliminación, multiplicando la primera ecuación por (-2) para convertir el 
coeficiente de en el m.c.m. (3,6) = 6. 
 
 
 
Y sumando las ecuaciones. 
 
 
 
Por lo cual, al ser una proposición falsa, debe ser falsa nuestra suposición de que 
hay valores para y para que satisfacen simultáneamente las dos 
ecuaciones. Si verificamos la pendiente de cada recta encontraremos que son 
iguales (pero las ordenadas al origen son diferentes); por tanto, las rectas son 
paralelas y el sistema no tiene solución. Los sistemas de este tipo se llaman 
incompatibles. 
 
 
 
 
1.8 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones. 
 
 
Ejemplo 6. Una máquina de cambiar monedas cambia los billetes de un dólar en 
monedas de 25 y de 5 centavos de dólar. Si usted recibe 12 monedas, después 
de introducir un billete de 1 dólar, ¿cuántas monedas de cada tipo recibe? 
 
Sean = número de monedas de 25 centavos 
 = número de monedas de 5 centavos 
 
 
 
Resolviendo el sistema, obtenemos que = 2 ,y, = 10 
 
Ejemplo 7. Un joyero tiene dos barras de aleación de oro: una es de 12 quilates y 
la otra de 18 (el oro de 24 quilates es oro puro; el de 12 quilates corresponde a 
 de pureza: el de 18, a de pureza y así sucesivamente). ¿Cuántos gramos 
de cada aleación se deben mezclar para obtener 10 gr. de oro de 14 quilates? 
Sean = número de gramos utilizados de oro de 12 quilates. 
 = número de gramos utilizados de oro de 18 quilates. 
 
 
 
Resolviendo el sistema tenemos que se necesitan x = , y, = gramos de 
oro de 12 y 18 quilates respectivamente. 
 
 
 
Resumen: 
 
 
Cuando resolvemos una ecuación podemos aplicar ciertas reglas para obtener 
ecuaciones equivalentes, esto es, ecuaciones que tienen exactamente las 
mismas soluciones que la ecuación dada originalmente. Estas reglas incluyen la 
suma (o resta) del mismo polinomio a ambos miembros, así como la 
multiplicación o división) de ambos miembros por (entre) la misma constante, 
excepto por (entre) cero. 
 
Una ecuación lineal en es de primer grado y tiene la forma 
donde 
 0. Toda ecuación lineal tiene exactamente una raíz. Para resolverla le 
aplicamos ciertas operaciones matemáticas hasta obtener una ecuación 
equivalente en la que la incógnita queda aislada en un lado de la ecuación. 
 
Una ecuación cuadrática en es de segundo grado y tiene la 
forma , donde . Tiene dos raíces reales y diferentes, 
exactamente una raíz real o no tiene raíces reales. Una ecuación de este tipo 
puede ser resuelta ya sea factorizando o por medio de la fórmula cuadrática 
. 
 
Cuando se resuelve una ecuación fraccionariao radical, con frecuencia se 
aplican operaciones que no garantizan que la ecuación resultante sea 
equivalente a la original. Estas operaciones incluyen la multiplicación de ambos 
miembros por una expresión que contenga a la variable, y elevar ambos 
miembros a la misma potencia; todas las soluciones obtenidas al final de dichos 
procedimientos deben verificarse en la ecuación dada. De esta manera se 
pueden encontrar las llamadas soluciones extrañas. 
 
Un problema expresado en palabras se debe plantear transformando los 
enunciados en una ecuación. Esto es modelación matemática. Es importante que 
primero lea el problema más de una vez de modo que entienda con claridad qué 
se le pide encontrar. Después debe seleccionar una letra para representar la 
cantidad desconocida que quiere determinar. Utilice las relaciones y hechos 
dados en el problema y forme una ecuación que implique a dicha letra. Por último 
resuelva la ecuación y mire si su solución responde a lo preguntado. Algunas 
veces la solución de la ecuación no es la respuesta al problema, pero puede ser 
útil para obtenerla. Algunas relaciones básicas que son utilizadas en problemas 
de administración son: 
Costo total = costo variable + costo fijo 
Ingreso total = (precio por unidad)(número de unidades vendidas) 
Utilidad = ingreso total – costo total 
 
 
 
GLOSARIO 
 
 
Ecuación: expresión algebraica que contiene dos miembros uno a cada lado de 
un signo igual. 
 
Variable: letra del alfabeto, usualmente x o y que representa cualquier valor o 
uno específico, dependiendo si hace parte de la solución de una ecuación. 
 
Raíz de una ecuación: o solución, es el valor (o valores ) que la variable puede 
tomar para que el miembro izquierdo de la ecuación sea igual al derecho. 
 
Conjunto solución: es la expresión en simbología de conjunto de la solución o 
soluciones de una ecuación. 
 
Ecuación equivalente: es aquella que con base en operaciones algebraicas o 
entre reales, produce una expresión que tiene las mismas soluciones que la 
ecuación original. 
 
Solución extraña: es aquella que, siendo solución de una ecuación, al probarla 
es decir al reemplazarla en la ecuación no genera una proposición verdadera. 
 
 
 
 
1. Se planea invertir un total de $2’400.000. Parte se pondrá en un certificado de 
ahorros que paga el 9% de interés simple y el resto en un fondo de inversiones 
que produce 12% de interés simple. ¿Cuánto se debe invertir en cada uno para 
obtener una ganancia de 10% sobre el dinero, después de un año? 
Rta. 1’600.000 , $800.000 
 
2. Una pareja tiene US$ 40.000. Si invierte US$ 16.000 al 12% y US$ 14.000 al 
8% ¿a qué porcentaje debe invertir el resto para tener un ingreso de US$ 4.000 
proveniente de sus inversiones? Rta. 9,6% 
 
3. El señor Monson tiene tres inversiones de las que recibe un ingreso anual de 
US$ 2.780. Una inversión de US$ 7.000 está a una tasa de interés anual del 8%. 
Otra inversión de US$ 10.000 está a una tasa anual de 9%. ¿Cuál es la tasa de 
interés anual que recibe sobre la tercera inversión de US$ 12.000? Rta. 11% 
 
4. La señora Sanz invirtió parte de US$ 10.000 en un certificado de ahorros al 7% 
EJERCICIOS 
DE REPASO 
DEL 
CAPÍTULO 
de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%. Si recibió un 
total de US$ 900 de interés por el año, ¿cuánto dinero invirtió en el título? Rta. 
US$ 4.000 
 
5. Los Wilson tienen invertidos US$ 30.000 al 12% y otra suma invertida al 8,5%. 
Si el ingreso anual sobre la cantidad total invertida es equivalente a un porcentaje 
de 10% sobre el total, ¿cuánto han invertido al 8,5%? Rta. US$ 40.000 
 
6. Kolman tiene 4 monedas más de 10 centavos (dimes) que de 5 centavos 
(nickels). Si el valor total de esas monedas es de US$ 2,35, encuentre cuántas 
monedas de cada denominación tiene. Rta. 13 nickels y 17 dimes. 
 
7. Una malla de alambre será colocada alrededor de un terreno rectangular de 
modo que el área cercada sea de 800 pies2 y el largo del terreno sea el doble del 
ancho. ¿Cuántos pies de malla serán utilizados? Rta. 120 pies 
 
8. La compañía Geometric Products fabrica un producto con un costo variable de 
$2,20 por unidad. Si los costos fijos son de $95.000 y cada unidad se vende a $3, 
¿cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad 
de 50.000? Rta. 181.250 
 
9. Una persona desea invertir US$ 20.000 en dos empresas, de modo que el 
ingreso total por año sea de US$ 1.440. Una empresa paga al 6% anual, la otra 
tiene mayor riesgo y paga a un 7,5% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada una? 
Rta. US$ 4.000 y US$ 16.000 
 
10. El costo de un producto al menudeo es de $ 3,40. Si desea obtener una 
ganancia del 20% sobre el precio de venta, ¿a qué precio debe venderse el 
producto? Rta. $ 4,25 
 
11. Suponga que los clientes comprarán q unidades de un producto cuando el 
precio sea de (80-q) /4 dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben ser vendidas 
a fin de que el ingreso por ventas sea de 400 dólares? Rta. 40 unidades 
 
12. El ingreso mensual R de cierta compañía está dado por R = 800 p – 7 p2, 
donde p es el precio en dólares del producto que fabrica. ¿A qué precio el ingreso 
será de US$ 10.000 si el precio debe ser mayor de US$ 50? Rta. US$ 100. 
 
13. Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un 
fabricante suministra 2p – 8 unidades al mercado y que los consumidores 
demandan 300 – 2p unidades. En el valor de p para el cual la oferta es igual a la 
demanda, se dice que el mercado está en equilibrio. Determine ese valor de p. 
Rta. 77 
 
14. Una compañía fraccionadora compra una parcela en $7.200. Después de 
vender todo excepto 20 acres con una ganancia de $30 por acre sobre su costo 
original; el costo total de la parcela se recuperó. ¿Cuántos acres fueron 
vendidos? Rta. 60 
 
15. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad 
de A es $2 más que el de B. Los costos de producción de A y B son 
respectivamente $1.500 y $1.000 y se hacen 25 unidades más de A que de B. 
¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican? Rta. 150 de A y 125 de B o 
125 de A y 100 de B. 
 
16. Una compañía fabrica un dulce en forma de arandela. A causa del incremento 
en los costos, la compañía cortará el volumen del dulce en un 20%. Para hacerlo 
conservarán el mismo grosor y radio exterior, pero harán mayor el radio interno. 
El grosor y radio interno actuales son de 2 mm. y el radio exterior de 7 mm. 
Determine el radio interno del dulce con el nuevo estilo. (Sugerencia: El volumen 
V de un disco sólido es de 
π r2 h, donde r es el radio y h el grosor). Rta. 13± 
 
17. Una fábrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de máquinas 
herramienta donde se fabrican las partes de los muebles y una división de 
ensamble y terminado en la que se unen las partes para obtener el producto 
terminado. Suponga que se tienen 12 empleados en el taller y 20 en la división y 
que cada empleado trabaja 8 horas. Suponga que se producen sólo dos artículos: 
sillas y mesas. Una silla requiere 
17
384 horas de maquinado y 
17
480 horas de 
ensamble y terminado. Una mesa requiere 
17
240 horas de maquinado y 
17
640 horas 
de ensamble y terminado. Suponiendo que se tiene una demanda ilimitada de 
estos productos y que el fabricante quiere mantener ocupados a todos sus 
empleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas al día puede producir esta fábrica? 
 
18. La alacena de ingredientes mágicos de una bruja contiene 10 onzas de 
tréboles de cuatro hojas molidos y 14 onzas de raíz de mandrágora en polvo. La 
alacena se resurte automáticamente siempre que ella use justo todo lo que tiene. 
Una porción de amor requiere 
13
1
3 onzas de tréboles y 
13
2
2 onzas de mandrágora. 
Una receta de una conocida cura para el resfriado común requiere 
13
5
5 onzas de 
tréboles y 
13
10
10 onzas de mandrágora. ¿Qué cantidad de la poción de amor y del 
remedio para el resfriado debe hacer la bruja para usar toda la reserva de sualacena? 
 
19. Un granjero da de comer a su ganado una mezcla de dos tipos de alimento. 
Una unidad estándar del alimento A proporciona a un novillo 10% del 
requerimiento diario de proteína y 15 % del de carbohidratos. Una unidad 
estándar del B proporciona 12% del requerimiento diario de proteína y 8 % del de 
carbohidratos. Si el granjero quiere alimentar a su ganado con el 100% de los 
requerimientos mínimos diarios de proteínas y carbohidratos, ¿cuántas unidades 
de cada tipo de alimento debe dar a un novillo al día? 
 
20. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda para un producto, si p representa 
el precio por unidad en dólares y q el número de unidades por unidad de tiempo, 
encuentre el punto de equilibrio para: 
 
a) Oferta: 2
100
1
+= qp ; Demanda: 12
100
7
+
−
= qp 
b) Oferta: 025023 =+− pq ; Demanda: 05,57365 =−+ pq 
c) Oferta: 2)10( += qp ; Demanda: 216388 qqp −−= 
d) Oferta: 10+= qp ; Demanda: qp −= 20 
21. Las ecuaciones de Ingreso total en dólares y costo total en dólares para un 
fabricante son 
10
1000
100
+
−=
q
y ; 40+= qy , respectivamente. En ellas q 
representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades 
vendidas, encuentre la cantidad de equilibrio. Bosqueje un diagrama. 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
� Larson, R.E., Hostetler, R.P, Edwards B.H. Cálculo. Vol. 1 y 2 . 
Ed. Mc. Graw- Hill. Bogotá, 1.996. 
 
� Bartle R.G. y Sherbert, D.R. Introducción al análisis matemático de una 
variable. Editorial Limusa. Bogotá, 1.995. 
 
� Haeussler, Ernest F. Jr.; Paul, Richard S. Matemáticas para 
Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida. 
Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México. 2.002 
 
 
 
WEB- GRAFIA 
 
 
www. Matematicastyt.cl/calculo-diferencial/ 
 
es.goecities.com/físicas/formularios/matematicas/calculo/ 
 
www.emagister.com/calculo-diferencial 
 
matematicas.uniandesx.edu.co/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS 
 
Objetivos Generales: 
 
1. Realizar la gráfica de una función a partir de sus elementos para describirla 
 y explicar su comportamiento 
2. Analizar las propiedades numéricas, geométricas y analíticas de la funciones 
3. Analizar y explicar distintas representaciones de una función 
4 .Identificar y analizar diferentes tipos de funciones como: lineal, cuadrática, 
 racional y polinómica. 
5. Resolver situaciones a partir de los diferentes tipos de funciones estudiados. 
6. Solucionar sistemas de ecuaciones (funciones) y aplicarlos a problemas de la 
 vida cotidiana 
 
Objetivos específicos: 
 
� Utilizar distintas herramientas matemáticas (sistemas numéricos, 
geometría, aproximación) para trazar la gráfica de una función o para 
hallar elementos relevantes de la misma. 
� Expresar verbal o simbólicamente características de funciones y de 
expresiones matemáticas. 
� Comprender y resolver problemas referentes a funciones 
 
 
Subtemas: 
 
2.1 Definición 
2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares 
2.3 Funciones especiales 
 Ejercicios de repaso del capítulo 
 
 
Palabras Clave: 
 
Operaciones con reales 
Ecuación 
Polinomio 
Propiedades de exponentes 
Propiedades de radicales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muchas relaciones usuales involucran a dos variables de modo tal que el valor de 
una ellas depende del valor de la otra. Así, las ventas de un producto dependen 
de su precio. La distancia recorrida por un móvil depende de su velocidad. 
Consideremos la relación entre el área de un círculo y su radio. Puede ser 
expresada por la ecuación , donde el valor de depende del 
elegido. Hablamos de como variable dependiente y de como variable 
independiente. 
 
 
2.1 Definición de función 
 
Una relación es un proceso que indica una correspondencia entre un primer 
conjunto de elementos denominado dominio y un segundo conjunto denominado 
rango, tal que a cada elemento del primero le corresponde uno o más elementos 
del segundo. 
 
Una relación se puede expresar como una regla que puede estar dada por una 
ecuación o un sistema de ecuaciones. 
 
Dominio y rango 
 
En una relación, al conjunto de todos los valores posibles del primer 
componente ( ), se le llama dominio y al conjunto de todos los valores del 
segundo componente ( ), que resulta del uso de los valores en el dominio, se 
le llama rango. 
 
Una función es una relación tal que a cada elemento del dominio le 
corresponde uno y sólo un elemento del rango. Toda función es una relación 
pero existen relaciones que no son funciones. 
 
En el conjunto de pares ordenados: {(1 , 3), (2 , 6), (5 , 9), (-2 , - 4)} 
El dominio corresponde a los primeros componentes {1 , 2 , 5 , -2} 
El rango corresponde a los segundos componentes {3 , 6 , 9 , -4} 
 
2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares 
 
Ejemplo 1. Supongamos que la relación entre y , en la que representa las 
unidades de servicio producidas y representa el costo total de producción, con 
unos costos fijos de $ 2, está dada por la siguiente ecuación: 
 
 
 
Si damos a un valor de 1, entonces = 3(1) + 2 = 5 
 
• Recuerda que: 
el costo de 
producir un bien 
o servicio 
depende de los 
costos fijos 
(servicios, 
gastos de 
personal, 
arrendamientos
, etc.), y de los 
costos variables 
(que dependen 
exclusivamente 
del nivel de 
producción o 
unidades 
producidas, 
como materia 
primas). 
Además, los 
costos totales 
son iguales a 
los fijos más los 
variables. 
 
Si damos a un valor de 4, entonces = 3(4) + 2 = 14 
 
Si damos a un valor de -3, entonces = 3(-3) + 2= -7. 
 
Sin embargo ¿tiene sentido el valor -3 dentro del ejemplo? 
 
Así, algunos pares ordenados que definen la relación entre y son: (1 , 5), 
(4, 14) y (-3, -7). Como se puede observar, los pares ordenados son de la forma 
 
 
En la función , a se le denomina variable independiente, ya que no 
depende de ninguna otra, y, a la variable dependiente porque su valor 
depende del valor elegido para . 
 
Para realizar la gráfica de una función, podemos elaborar una tabla en donde se 
muestren algunos valores de las respectivas variables. Asignamos valores del 
dominio a la variable independiente y encontramos el correspondiente valor para 
la variable dependiente. A continuación ubicamos en el plano cartesiano las 
parejas de la forma igual que con las ecuaciones ya vistas, y según el 
dominio de la función, dichos puntos se podrán unir mediante un trazo continuo. 
 
x 1 4 - 3 
y 5 14 -7 
 
 
 
 
Ejemplo 2. En la ecuación , el único valor que no puede asignarle a 
 es 2 porque en ese caso el denominador sería igual a cero y recuerde que la 
división entre cero no está definida. Teniendo en cuenta esto, el dominio de la 
función será el conjunto de todos los números reales excepto el 2. 
 
Dominio = { : R ; ≠ 2} o R 
 
Ahora bien como nunca es igual a cero porque para que una fracción sea igual 
a cero es necesario que el numerador sea igual a cero y en este caso el 
numerador siempre es 1, el rango son todos los números reales excepto el 0. 
 
Rango = { : R ; ≠ 0} 
 
La gráfica de esta función corresponde a: 
 
 
Gráficamente se puede decir que una relación es una función si una recta vertical 
trazada en el sistema de coordenadas no interseca a la gráfica en más de un 
punto. 
 
Como la recta azul, en nuestra gráfica, corta a la curva en un solo punto, decimos 
que la relación es función. 
 
Ejemplo 3. En la relación , debido a que sólo es posible extraer la 
raíz cuadrada de números reales no negativos, tenemos que - 9 debe ser 
mayor o igual a cero así que: 
 
 - 9 ≥ 0, transponiendo el 9 tenemos: 
 
x ≥ 9 
 
Por lo tanto, 
Dominio = { : ≥ 9} 
 
Esta ecuación podría ser escrita como . Elevando al cuadrado ambos 
lados y según lo visto anteriormente, su gráfica es una parábola abierta hacia la 
derecha, por lo cual a cada valor de le corresponde más de un valor en , 
razón por la que no es una función. 
 
 
 
 
Pero atendiendo aque una raíz cuadrada tiene doble signo, para que pueda ser 
tratada como función, solo tomaremos uno de los dos signos, en este caso el 
positivo, es decir la raíz principal. 
 
Rango = { : ≥ 0} 
 
Usualmente una función se define mediante una letra o grupo de letras como f, g, 
h, F, G, H, sen, cos, ln,... entre otros. Si es la variable independiente y es la 
variable dependiente, entonces el número que pertenece a se puede designar 
como ƒ( ), g( ), h( ), f( ), G( ), dependiendo de cómo se identifique la 
función. 
 
La notación ƒ(x) se lee "ƒ de x". En algunos casos se utiliza la notación f: A → B 
que significa que A es el dominio de la función y B es el conjunto en donde están 
contenidos los elementos del rango. 
 
Ejemplo 4. Sea la función: = 3 + 5 se puede escribir como ƒ( ) = 3 + 5. 
 
Esta notación es muy útil cuando deseamos conocer el valor de una función en 
un punto específico, así si se desea conocer el valor de cuando = -2, 
tenemos que: 
ƒ(-2) = 3 (-2) + 5 
 = - 6 + 5 
= - 1 
 
El valor de (-2) es -1. Así obtenemos el par ordenado (-2, -1). 
 
 
 
Existen funciones en donde se utilizan variables diferentes de y . Como por 
ejemplo , que sería una función en . 
 
Ejemplo 5. Si , calcular f (-4) ; f (-5/2) 
 
) 
+ 7 
 
 
 
 
) + 7 
 
 
 
 35,75 
 
 
 
 
 
Ejemplo 6. Si , calcular (3 + t ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 7. Si : R→ R, tal que =ƒ( ) = 5, obtenemos una recta, ya que es 
una ecuación lineal con pendiente cero. 
 
 
 
Ejemplo 8. Para = , haremos la tabla de datos y la gráfica. 
 
 
x -2 1 0 -3 -4 
y -1 -3/2 3 3/2 
 
 
Podemos utilizar el símbolo en lugar de las palabras “No existe”. 
 
 
Al valor de en donde el denominador se vuelve cero, es decir aquel que 
sacamos del dominio, se le llama Asíntota vertical y es aquella recta imaginaria, 
paralela al eje , en donde la gráfica no existe y que divide la curva en dos. En 
este caso, la asíntota es = -2. Como se puede observar, las dos ramas de la 
hipérbola se acercan a esta recta pero nunca la cruzan. 
 
 
2.3 Funciones especiales. 
 
 
Función lineal. Es aquella cuya gráfica es una recta, y con ecuación de la forma 
y=ƒ(x) = m x + b, en donde m representa el grado de inclinación o pendiente de la 
recta y b representa el punto de corte con el eje vertical, conceptos ya estudiados 
en las ecuaciones lineales en dos variables. 
 
Ejemplo 9. Si 
ƒ(x) = = 3x - 4; 
 
g(x) = = -2x - 4; 
 
 h(x) = = 2/3 x - 4; 
 
 p(x) = = -3/5 x – 4 
 
Se espera que todas corten al eje en el valor - 4. 
 
 
 
• Señale sobre la figura la ecuación que corresponde a cada recta. 
 
• Recuerda que: 
para hallar la 
pendiente de una 
recta teniendo 
dos puntos 
utilizamos la 
fórmula 
 
, 
para los puntos 
 y 
( 
 
 
 
• Escriba la ecuación de tres rectas que corten al eje en el valor 3 y haga 
las gráficas en un mismo plano, para observar que el punto de 
intersección es efectivamente (0,3). 
 
 
Ejemplo 10. Las rectas ƒ(x) = y = 3x - 3; g(x) = y = 3x - 1; h(x) = y =3 x + 2; 
p(x) = y =3 x + 4 ; son todas paralelas y tienen la pendiente positiva 3. 
 
 
 
Funciones Lineales de Costo. 
 
A las empresas industriales y comerciales del Estado les interesan los costos 
porque reflejan el dinero que gastan. Estos flujos de dinero suelen destinarse al 
pago de sueldos, materias primas, suministros, alquiler, calefacción, servicios 
públicos y otros gastos. Según se señaló con anterioridad, los contadores, 
economistas y administradores públicos definen el costo total en términos de dos 
componentes: costo total variable y costo total fijo. Ambos componentes deben 
sumarse para determinar el costo total. 
 
Ejemplo 11. Si para un puesto de salud local se pretende comprar una 
ambulancia, y se ha estimado que el costo del carro totalmente equipado es de 
US$18.000 y el costo promedio de operación es de US$0.40 dólares. La función 
de costo de compra y operación del carro de ambulancia es un ejemplo de 
función lineal de costo. La función de costo: p = C(q) = 0.40q + 18.000 tiene 
costos variables que cambian con el número de millas recorridas (q) y costos fijos 
de US$18.000. 
 
 
Los costos totales variables cambian con el nivel de producción y se calculan 
como el producto del costo variable por unidad y nivel de producción. En un 
ambiente de producción, el costo variable por unidad suele estar constituido por 
los costos de materias primas y mano de obra. En el ejemplo de la ambulancia, el 
costo variable por milla se compone de los costos de operación por milla, como 
gasolina, aceite, gastos de mantenimiento y depreciación. 
 
Ejemplo 12. Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la 
función que expresa el costo total anual C(q) en función de la cantidad de 
unidades producidas q. En contabilidad indican que los gastos fijos cada año son 
de 50.000 dólares. También han estimado que las materias primas por cada 
unidad producida ascienden a $5,50 y que los gastos de mano de obra son de 
$1,50 en el departamento de montaje, $0,75 en el cuarto de acabado y $1,25 en 
el departamento de empaque y embarque. 
 
Costo Total Costo total variable Costo total fijo 
 
C(q)= 
 
De materias 
primas (5,50) 
 De mano de obra 
 
- Dpto. de montaje (5,50) 
-Sala de acabado (0,75) 
 
Costo total fijo 
 (50.000) 
-Dpto. de embarque (1,25) 
C(q) = 5,50 q + (1,50 q + 0,75 q + 1,25 q) + 50.000 
 
C(q) = 9 q + 50.000 
 
En la ecuación anterior, el 9 representa el costo variable combinado (US$9.00) 
por unidad producida. 
 
Si graficamos en un plano cartesiano, tomando a q como y a C(q) como 
tenemos: 
 
 
 
Depreciación Lineal. 
 
Cuando las entidades compran equipo, vehículos, edificios y otros tipos de 
"bienes de capital", en contabilidad se le asigna el costo del bien a lo largo del 
periodo de uso. En el caso de un camión que cueste US$10.000 dólares y que 
tenga una vida útil de 5 años, se le asignará US$2.000 anuales por el costo de 
poseer el camión. El costo asignado a un periodo determinado de tiempo se 
llama depreciación. Por ejemplo, el valor del camión aparecerá en los estados 
contables como US$10.000 en el momento de su compra, 
 
US$10.000 - US$2.000 = US$8.000, 
 
un año después de su adquisición y así sucesivamente. 
 
La depreciación puede considerarse así mismo como el monto que ha disminuido 
el valor en libros de un activo. 
 
Ejemplo 13. Uno de los métodos más sencillos para calcular la depreciación es el 
de la línea recta, en el cual es constante la tasa de depreciación y corresponde a 
la pendiente de dicha recta. Si V es el valor en libros de un activo y t indica el 
tiempo medido a partir de la fecha de compra para el camión antes mencionado, 
 
 V = f(t) = costo de compra – depreciación 
V = 10.000 - 2.000 t . 
 
 
 
Depreciación lineal con valor de salvamento. 
 
Muchos activos tienen un valor de reventa o de salvamento, aún después de 
haber cumplido con el propósito para el cual fueron adquiridos inicialmente. En 
tales casos el costo asignado durante la vida del activo es la diferencia entre el 
costo de compra y el de reventa. El costo asignado en cada periodo es el que se 
obtiene al dividirlo entre la vida útil. 
 
Ejemplo 14. Suponga que el camión del caso anterior tiene una vida útil de 5 
años y que transcurrido ese lapso, puede venderse en US$1.000. El costo total 
que puede asignarse a lo largo de la vida del bien es de US$10.000 - US$1.000 = 
US$9.000. Si el camión debe depreciarse con este método, la depreciación anual 
será de 
 
 
 
La función que expresa el valor en libros V en función del tiempo es 
 
V =ƒ(t) = 10.000-1.800 t 
 
Oferta y Demanda Lineal. 
 
En la práctica, algunas ecuaciones de oferta y demanda son aproximadamente 
lineales en un intervalo particular, otras son no lineales. Aún en estos últimos 
casos, las ecuaciones lineales proporcionan representaciones razonablemente 
precisas de la oferta y la demanda en un intervalo limitado. 
 
 
 
Para elanálisis económico sólo es pertinente la parte de la gráfica que aparece 
en el primer cuadrante, porque la oferta, precio y cantidad son, en general cero o 
positivas. 
 
Por tal razón, se ha dejado sólo punteada la curva en los demás cuadrantes. 
 
Una oferta negativa, implica que los bienes no se pueden obtener en el mercado, 
sea porque no se producen o porque se retienen hasta que se ofrezca un precio 
satisfactorio. Un precio negativo, implica que se paga a los compradores para 
que se lleven los bienes del mercado. Una capacidad de demanda negativa, 
implica que los precios son tan altos como para impedir la actividad del mercado 
hasta que se ofrezcan cantidades a precio satisfactorio. 
 
La curva de demanda lineal, en el caso más común, tiene pendiente negativa, es 
decir, a medida que el precio aumenta, la cantidad demandada decrece y 
viceversa. 
 
En algunos casos la pendiente de una curva de demanda puede ser cero ( precio 
constante sin considerar la demanda). En otros casos la pendiente puede no 
estar definida (demanda constante sin importar el precio). 
 
En el caso más común, la pendiente de la curva de oferta es positiva, es decir, 
que al aumentar el precio aumenta el abastecimiento y decrece al disminuir el 
precio. En ciertos casos la pendiente de una curva de oferta puede ser cero lo 
que indica un precio constante e independiente de la oferta. En otros casos la 
pendiente de la curva de oferta puede no estar definida (oferta constante e 
independiente del precio). 
 
Ejemplo 15. Demanda con pendiente negativa. En una empresa de telefonía 
TPBC (Telefonía Pública Básica Conmutada) se determinó que cuando el precio 
del impulso (impulso: tres minutos o fracción de comunicación efectiva continua) 
era de $80, el consumo promedio diario por suscriptor era de 10 impulsos y se 
consumían 20 cuando el precio era de $60. ¿Cuál es la ecuación de demanda? 
 
 
 
 
 
 
 
 
p − 80 = −2q + 20 
 
o, en términos de y , siendo = q y = p : 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 16. Demanda con pendiente cero. Por ser la leche un artículo de primera 
necesidad y cuyo consumo produce un impacto en la calidad de vida de los 
grupos de población con menores recursos, el alcalde ordena a los productores 
que el precio de la leche durante un año será de $1.200 el litro, sin importar la 
cantidad demandada. ¿Cuál es la ecuación de la demanda? 
 
 
 
Ejemplo 17. Demanda con pendiente no definida. Por considerarse necesarios 
para la seguridad nacional, se compran anualmente 50 grandes generadores, sin 
importar el precio. ¿Cuál es la ecuación de la demanda? 
 
 
 
 
q = 50 
 
Ejemplo 18. Oferta dependiente del precio. Cuando el precio es US$ 50, hay 
disponibles 50 cámaras de un tipo dado para el mercado, cuando el precio es 
US$ 75 hay disponibles 100 cámaras. ¿Cuál es la ecuación de la oferta? 
 
 
 
 = 
 
p = 1200 
 
 
 
 
 
Ejemplo 19. Oferta lineal constante. De acuerdo con el contrato entre la 
compañía A y la de teléfonos, la compañía A pagará US$ 500 al mes por las 
llamadas de larga distancia sin límite de tiempo. ¿Cuál es la ecuación de la 
oferta? 
 
 
 
y = 500 
 
Equilibrio del Mercado. 
 
Se dice que existe equilibrio en el mercado en el punto (precio) en el que la 
cantidad de un artículo demandado es igual a la cantidad en oferta. Así pues, si 
se usan las mismas unidades para precio p y la cantidad, en ambas ecuaciones 
(de oferta y demanda), la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio 
corresponden a las coordenadas del punto de intersección de tales curvas. 
 
Algebraicamente la cantidad y el precio se hallan resolviendo simultáneamente 
las ecuaciones de oferta y demanda. 
 
Para que los puntos de equilibrio tengan sentido deben ser positivos o cero, es 
decir que las curvas de oferta y demanda se han de intersecar en el primer 
cuadrante. En otros casos el punto de equilibrio no tiene sentido para fines 
económicos. 
 
 
 
 
 
Ejemplo 20. Equilibrio del mercado – modelo lineal. Hallar el punto de equilibrio 
para las siguientes ecuaciones de oferta y demanda: 
 
Oferta ; Demanda . 
 
Resolviendo las ecuaciones simultáneamente por igualación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones se obtiene que le punto 
de equilibrio está en: 
 
S = 
 
 
 
 
Función cuadrática. Es aquella cuya gráfica es una parábola, y con ecuación de 
la forma y=ƒ(x) = a x2 + b x + c, en donde a, b, c son constantes reales, 
conceptos ya estudiados en las ecuaciones del mismo nombre. 
 
 
Función Cuadrática de Ingreso. 
 
 
La función del ingreso en economía nos muestra el comportamiento de las 
cantidades recibidas por vender en el mercado un producto, las cuales dependen 
de la cantidad demandada en el mercado. Esta función es fácilmente modelable 
con una función cuadrática. A menudo la demanda del producto de una empresa 
puede describirse en función del precio que se le fija. 
 
 
Ejemplo 21. Ingreso por ventas. Supóngase que la empresa ha descubierto que 
la cantidad de demanda de uno de sus productos depende del precio. La función 
que describe esta relación es: 
 
f ( p) = q = 1.500 − 50 p 
 
donde q es la cantidad demandada en miles de unidades y p indica el precio en 
dólares. 
 
 
 
 
El ingreso total logrado con la venta de q unidades se formula como el 
producto de p y q, es decir, = p q. Puesto que q se expresa en función de p, el 
ingreso total se formulará en función del precio, así: 
 
Y(q) = : estamos diciendo que es una función que depende de q. Así, 
reemplazando q = 1.500 − 50.p, tenemos: 
 
 = p.q = p (1.500 − 50.p) 
 
q = 1.500 p − 50 p2 
 
Ésta ecuación corresponde a una función cuadrática. La función del ingreso total 
está representada en la gráfica anterior. Observe que el dominio restringido de la 
función consta de los valores no negativos de p. 
 
• ¿tiene esto sentido? 
 
El ingreso total esperado al cobrar determinado precio se calculará sustituyendo 
el valor de p en la función del ingreso total. Por ejemplo, el ingreso total 
correspondiente al precio de $10 es: Y(10) = 1.500(10) − 50(10)2 = 15.000 − 
5.000 = 10.000 
 
• Dadas las intersecciones con el eje en la gráfica, ¿qué valor de p 
produce el valor máximo de ? ¿Cuál es el máximo ingreso total 
esperado? ¿Qué cantidad se demanda a ese precio? ¿Qué sucederá si 
p > 30? 
 
 
Curvas de Oferta y Demanda. 
 
Las porciones de gráfica que quedan en el primer cuadrante, de distintos tipos de 
parábolas, frecuentemente son adecuadas para representar funciones de oferta y 
demanda. La porción del primer cuadrante de una hipérbola equilátera con 
frecuencia se usa para representar una función de demanda. Estas ecuaciones 
se obtienen a partir de graficar observaciones recolectadas por medio de 
encuestas o de resultados de operaciones efectivas. Si se verifica que el 
comportamiento de la función se asemeja a una parábola, entonces se crea un 
sistema de ecuaciones simultáneas a partir del cual se genera la respectiva 
ecuación. Este procedimiento se estudiará en el próximo curso de matemática. 
Por ahora concentrémonos en las ecuaciones de oferta y demanda ya obtenidas. 
 
Ejemplo 22. Función cuadrática de oferta. La función que determina la oferta de 
un producto es: q = 0,5 p2 − 200 y pretendemos determinar la cantidad ofrecida 
cuando el precio del mercado para el artículo es de $50. 
 
q = 0,5p2 − 200= 0,5(2.500) − 200=1050 unidades en miles. 
 
 
 
 
• ¿Cuál es el dominio restringido de la función de oferta? En la gráfica, 
interprete el significado de las intersecciones con los ejes, recuerde que 
los valores para la variable p están en el eje y los de la variable q 
aparecen en el eje . 
 
Ejemplo 23. Función cuadrática de la demanda. En relación con el ejemplo 
anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de 
determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores 
preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos