Problemas de Matemáticas

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Olimpiadas de Matemáticas en Guanajuato
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Problema 1 
Fijémonos por un momento en la 
cantidad de signos - en la pizarra. Al 
principio del juego hay 9 de estos, que 
es un número impar. En un turno puede 
pasar una de estas tres cosas: 
• Se borran dos signos + y se escribe 
un signo +: En este caso la cantidad de 
signos - no cambia. 
• Se borran dos signos - y se escribe 
un signo +: En este caso la cantidad de 
signos - disminuye 2 unidades. 
• Se borran un signo +, un signo - y 
se escribe un signo -: En este caso la 
cantidad de signos - disminuye en 1 y 
luego incrementa inmediatamente en 
1, por lo que al final del turno no ha 
cambiado.
Cuando a un número impar se le res-
ta 2, el resultado sigue siendo impar. 
Como la cantidad de signos - empieza 
siendo impar, permanecerá impar des-
pués de cualquier turno. Como 0 es 
un número par, la cantidad de signos 
- nunca puede ser 0. Así que cuando en 
el pizarrón quede un único signo, este 
tiene que ser -. Rubén será el ganador 
del juego. 
Problema 2
Imagina que tienes enfrente de ti las 
9 monedas y la balanza, y sabes que 
una de las monedas es falsa. Quizás tu 
primer impulso sea comparar el peso 
de dos monedas, colocando cada una 
en un platillo y hacer esto para todas 
las posibles parejas de monedas. De 
esta forma seguramente encontrarías 
la moneda falsa, pero tardarías mucho, 
ya que la cantidad de parejas distintas 
que se pueden formar con 9 monedas 
es 36, por lo que tendrías que utilizar 
la balanza 36 veces. En lugar de esto 
consideremos primero casos más pe-
queños del problema. Imagina que, en 
lugar de tener 9 monedas, tienes 3, y 
sabes que una de esas tres monedas 
es falsa. Puedes encontrar la moneda 
falsa utilizando la balanza una única 
vez. Para esto elige dos monedas y 
compara su peso. Si una de ellas pesa 
menos que la otra, sabrás que ésta es 
la moneda falsa. Si las dos monedas 
pesan lo mismo, entonces las dos son 
las reales y la moneda que no pusiste 
en la balanza es la falsa. 
Puedes aplicar esta misma idea a tu 
grupo de 9 monedas. Primero separa 
las 9 monedas en tres grupos iguales, 
de tres monedas cada uno. Utilizarás 
la balanza para comparar dos de estos 
tres grupos. Si uno de los dos grupos 
que comparaste pesa menos que el 
otro, ya sabrás que es porque una de 
las tres monedas en este grupo es la 
falsa. Si pesan lo mismo, sabrás que 
la moneda falsa está en el grupo de 3 
monedas que no pusiste en la balanza. 
Una vez encontrado en qué grupo está 
la moneda falsa, sólo necesitas utilizar 
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