Mecânica do Meio Contínuo

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Mecanica Racional Moderna
Book · January 1996
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Fernando Concha
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CAPÍTULO 1 
 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO 
CONTINUO. 
 
 
1.1 TEORÍA FENOMENOLÓGICA Y CONCEPTO DE MEDIO 
CONTINUO 
 Los fenómenos físicos de la naturaleza no pueden ser descritos 
directamente y todo intento de hacerlo engendra un modelo. Existen dos de 
estos modelos de gran utilidad, el modelo corpuscular y el modelo 
fenomenológico. 
 Actualmente todos sabemos que la materia está compuesta por 
moléculas y que, a pesar de que ellas no alcanzan a ser captadas por nuestros 
sentidos, puede definírselas como las proporciones más pequeñas de un 
material que exhiben propiedades características. Las moléculas están 
formadas por átomos y estos por el núcleo y los electrones. El núcleo a su 
vez, se compone de otras partículas elementales, el comportamiento de las 
cuales sólo se ha dilucidado en parte. La ciencia que estudia y relaciona 
estas partículas se denomina mecánica cuántica. 
 Podría parecer que, al estudiar el comportamiento de la materia 
macroscópica, se debería comenzar con las leyes que rigen las partículas 
elementales y derivar de ellas las leyes para los cuerpos macroscópicos, 
como lo intenta el modelo corpuscular. Sin embargo, esta empresa es 
impráctica ya que las leyes que rigen las partículas elementales no son bien 
conocidas. Por otra parte, las dificultades matemáticas encontradas son tan 
grandes, que ha sido necesario efectuar drásticas simplificaciones que 
restringen la validez del modelo, no justificando el esfuerzo realizado. 
Además, conviene darse cuenta que aunque un programa como el intentado 
tuviera éxito, no sería definitivo, ya que el futuro descubrimiento de otras 
entidades fundamentales anularía la pretención de que los resultados se han 
obtenido de las leyes básicas de la física. 
2 
 El hecho de que muchos fenómenos físicos sean independientes del 
detalle en el comportamiento de las partículas elementales, lo que se 
evidencia por la actitud muy similar de materiales de estructura corpuscular 
muy distinta, ha inducido a la formulación de una teoría del medio continuo. 
Éste es un medio que no pierde sus propiedades al ser indefinidamente 
dividido. El medio continuo, o campo, puede ser asiento de materia, 
movimiento, fuerza y energía. Aquellas teorías que se expresan en función 
de campos se denominan teorías fenomenológicas porque representan los 
fenómenos de la realidad física sin intentar una descripción en términos 
corpusculares o de otras magnitudes elementales. 
 El concepto de medio continuo puede ser ilustrado mediante un 
esquema como el de la Figura 1.1-1. 
 
V*
G
 
Fig. 1.1-1 Concepto de medio continuo. Propiedad cualquiera 
G versus volumen. 
 La abscisa representa el volumen del medio y la ordenada una 
propiedad cualquiera en ese volumen; por ejemplo la densidad. En la región 
a la izquierda de V* es muy probable encontrar lugares del espacio sin 
contener materia. Esto se debe a la naturaleza del movimiento de las 
moléculas en esta región que, por ello, recibe el nombre de dominio de los 
efectos moleculares. A la derecha de V*, la propiedad G puede ser 
considerada continua en el espacio. Si la escala de los fenómenos de nuestro 
interés cae a la derecha de V*, punto denominado límite del continuo, la 
CAPÍTULO 1 - Introducción a la Mecánica del Medio Continuo
 3 
mecánica del medio continuo da resultados que pueden ser usados con 
seguridad. 
 Muchos científicos consideran que la mecánica del medio continuo 
es una teoría aproximada y secundaria en la mecánica clásica. Esta 
concepción proviene del hecho que ellos consideran la masa puntual como 
la entidad fundamental de la mecánica. Ellos razonan que, siendo las leyes 
de la mecánica clásica aplicables a cada una de las muchas partículas de las 
cuales está constituida la materia, el comportamiento de la materia 
macroscópica debería poder ser deducida, con toda la precisión necesaria, 
del conocimiento de las fuerzas interpartículas. Sin embargo, es un hecho 
que la mecánica newtoniana da resultados satisfactorios para cuerpos 
macroscópicos y es inapropiada para los corpúsculos que forman la materia. 
Por lo tanto, es inadecuado establecer las leyes de la mecánica clásica para 
cuerpos minúsculos, para los cuales no es apropiada, y luego extender estos 
resultados o derivar de ellos las leyes para cuerpos macroscópicos. 
 A pesar de que las teorías corpuscular y fenomenológica son 
mutuamente contradictorias como modelo de fenómenos físicos, ellas 
pueden ser puestas en concordancia mediante la mecánica estadística. Desde 
el punto de vista de ésta, es posible tratar sistemas de partículas de cualquier 
tipo, incluyendo aquellas de masa puntual, y obtener promedios estadísticos 
los que, se ha demostrado, satisfacen exactamente las mismas ecuaciones 
que un medio continuo. Como estos resultados son exactos y no 
aproximaciones, se puede considerar que las predicciones de la teoría 
general del medio continuo son exactas desde el punto de vista de 
promedios estadísticos. Los resultados serán exactos solamente si se 
considera la teoría general, ya que cualquier restricción producirá 
necesariamente una aproximación. 
 Es importante no olvidar, cuando se habla de resultados exactos, que 
cualquier teoría no constituye otra cosa que un modelo del fenómeno físico 
y que, por lo tanto, una teoría es esencialmente una aproximación y sólo 
podrá haber teorías buenas y teorías mejores, pero no teorías exactas. 
 La mecánica del medio continuo se basa, al igual que la mecánica 
clásica de la cual forma parte, en los conceptos de cuerpo, espacio-tiempo 
euclideano y sistema de fuerzas Estos tres elementos están ligados a través 
de lo quese denomina un proceso dinámico, esto es, un movimiento ligado 
a un sistema de fuerzas que debe cumplir dos axiomas, denominados leyes 
4 
de la mecánica. Estos axiomas son la ley de conservación del momentum 
lineal y la ley de conservación del momentum angular. Ellas son válidas 
para toda clase de movimientos de todo tipo de cuerpos. A las leyes 
anteriores debemos agregar el principio de indiferencia material o principio 
de objetividad material, que implica que las propiedades de un material son 
las mismas para todos los observadores, esto es, son independientes de los 
métodos que se usen para medirlas. Esta propiedad debe ser reconocida 
especialmente porque las leyes de la mecánica cambian al cambiar el marco 
de referencia. 
 El objetivo de formular una teoría de campo es unificar el estudio de 
los procesos dinámicos estableciendo leyes de conservación o balances, que 
relacionan las variables involucradas. Se puede transformar los principios 
básicos, que aparecen en forma integral, en un equivalente diferencial para 
regiones del espacio en que las variables cambian en forma continua. Estas 
relaciones se denominan ecuaciones diferenciales de campo. En regiones 
donde existen discontinuidades, ellas dan origen a condiciones de 
discontinuidad. Para completar la descripción de un medio continuo se debe 
agregar axiomas que definen materiales ideales. Estas relaciones se 
denominan suposiciones constitutivas y restringen el tipo de proceso 
dinámico que un cuerpo puede sufrir. Las suposiciones constitutivas 
expresadas en forma de una relación funcional entre las variables 
cinemáticas y las variables dinámicas se denominan ecuaciones 
constitutivas. Las ecuaciones de campo junto a las ecuaciones constitutivas, 
a las condiciones de discontinuidad y a las condiciones iniciales y de 
contorno, constituyen una teoría que predice el comportamiento de un 
material particular en problemas específicos. 
 
1.2 ELEMENTOS PRIMITIVOS DE LA MECÁNICA 
 Mecánica es la ciencia que estudia el movimiento y la deformación 
de los cuerpos que existen en la naturaleza, sean estos naturales o 
artificiales. El análisis de estos fenómenos requiere la utilización de varios 
conceptos. En primer lugar, debemos explicar que entendemos por cuerpo, 
por deformación y por movimiento. El movimiento implica cambio de lugar 
en el tiempo y, por lo tanto, debemos especificar lo que entendemos por 
lugar y por tiempo. Finalmente debemos introducir el concepto de fuerza y 
su relación al movimiento de los cuerpos. 
CAPÍTULO 1 - Introducción a la Mecánica del Medio Continuo
 5 
 Para establecer una teoría axiomática de la mecánica, debemos 
aceptar la existencia a priori de ciertos conceptos fundamentales que, 
necesariamente deberán permanecer indefinidos, excepto por ciertas reglas 
que ellos deben seguir. Estos conceptos reciben el nombre de elementos 
primitivos. En esta sección estudiaremos los elementos primitivos de la 
mecánica y la forma matemática en que pueden ser descritos. 
Consideraremos como elementos primitivos los conceptos de espacio, 
tiempo, cuerpo y sistemas de fuerzas. Los primeros tres serán discutidos 
aquí y el último será considerado en una sección posterior. 
 
1.21 Espacio 
 En la vida diaria consideramos que todos los objetos ocupan lugares. 
La colección de todos esos lugares la denominamos espacio físico, el que no 
se altera por la presencia de los objetos. Un lugar del espacio físico es 
representado en matemática por un punto y se lo denota mediante una letra 
mayúscula tal como X o Y. La diferencia entre dos puntos define un vector 
espacial como un segmento de línea dirigido. Los conjuntos de todos los 
puntos y de todos los vectores espaciales constituyen espacios euclideanos 
tridimensionales conocidos como espacio euclideano de puntos y espacio 
euclideano de vectores espaciales E, respectivamente. 
 Es conveniente describir la posición de un punto X con respecto a 
otro punto O , denominado origen, mediante el vector espacial r E, 
definido por r X O , conocido como vector posición. Las componentes 
de r serán designadas por x de modo que: 
 r
TB x (1.1-1) 
donde B es la base cartesiana de vectores unitarios. 
 
1.2.2 Tiempo 
 Los cambios que percibimos en los objetos ocurren en instantes 
específicos, los que en matemática son considerados elementos de un 
espacio vectorial euclideano uni-dimensional T. Podemos asignar un 
sistema de coordenadas a T, tal que la coordenada t T de un instante se 
denomine tiempo. La distancia entre dos instantes recibe el nombre de 
6 
intervalo de tiempo I, por ejemplo, 2 1I t t . El intervalo de tiempo es 
orientado de tal manera que si 0I , 2t es posterior a 1t . Generalmente el 
espacio T es identificado con el espacio de los números reales R, en que se 
encuentran las coordenadas, de manera que decimos que t es un instante. 
 
 La asociación de un lugar r E y un instante t T se denomina un 
evento ,r t . El espacio E T , donde ocurren los eventos recibe el nombre 
de marco de referencia. Para cuantificar los eventos asociamos una base 
cartesiana B a un tiempo t, y llamamos también marco de referencia a (B,t). 
 
1.2.3 Cuerpos 
 Todos sabemos que la materia está compuesta por moléculas y que, a 
pesar de que ellas no alcanzan a ser captadas por nuestros sentidos, puede 
definírselas como las proporciones más pequeñas de un material que 
exhiben propiedades características. Las moléculas están formadas por 
partículas elementales mas pequeñas, el estudio de las cuales forma parte de 
la mecánica cuántica. 
 El hecho de que muchos fenómenos físicos de un material sean 
independientes del detalle de la composición de las partículas elementales 
que constituyen el material, lo que se puede comprobar por el 
comportamiento muy similar de materiales de composición muy diferente, 
ha llevado a la formulación de un teoría que, ignorando la microestructura 
de la materia, estudia el comportamiento de cuerpos macroscópicos cuando 
estos cambian de lugares en el espacio. Esta teoría es la mecánica clásica o 
mecánica racional. 
 Para formalizar estas ideas denominaremos cuerpo a un ente 
abstracto que posee muchas de las propiedades que muchos objetos tienen 
en común, tales como poseer una cierta cantidad de materia, ocupar una 
región del espacio, tener una cierta forma y poder ser deformados y 
cambiados de lugar. Un cuerpo B es un conjunto de partículas p B que 
ocupan una región del espacio E. El subconjunto P B también es un cuerpo 
y se lo conoce como la parte P de B. Volumen es la región del espacio que 
ocupa el cuerpo y masa es una propiedad aditiva no-negativa, que mide la 
CAPÍTULO 1 - Introducción a la Mecánica del Medio Continuo
 7 
cantidad de materia que contiene el cuerpo. Volumen material es una región 
del espacio, posiblemente en movimiento, que contiene siempre las mismas 
partículas y que, por lo tanto, tiene una masa constante. 
 
1.3 BIBLIOGRAFÍA 
Concha, F., Value of first principles and phenomenological modeling in 
Mineral Processing. Plenary Lecture, Proceedings of the XIX International 
Mineral Processing Congress, San Francisco, California, October 1995, 
Chapter 2, 9-15. 
Noll, W., The Foundation of Classical Mechanics in the light of recent 
advances in Continuum Mechanics; in Noll W., The Foundation of 
Mechanics and Thermodynamics. Selected Papers. Springer Verlag, Berlin 
1974, pp. 32-47. 
Truesdell, C., Rational Mechanics of Materials. Six Lectures on Modern 
Natural Philosophy. Springer Verlag, Berlin 1966, pp. 1-22. 
Truesdell, C., The Elements of Continuum Mechanics. Springer Verlag 
New York 1966, pp. 1-4. 
Truesdell, C. and Toupin, R., The Classical Field Theories. Encyclopedia of 
Physics. Flügge S. ed., Springer Verlag, Berlin 1960, pp. 226-235, 464. 
Truesdell, C. and Noll, W., The Non-linear Field Theory of Mechanics, . 
Encyclopedia of Physics, Volume III/3, Flügge S. ed., Springer Verlag, 
Berlin 1965. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO2 
 
CINEMÁTICA. 
 
 
Los elementos primitivos discutidos en la sección anterior permiten la 
construcción de varias teorías en mecánica clásica, tales como la mecánica 
de masas puntuales o la mecánica del medio continuo. En este libro 
solamente nos ocuparemos de la mecánica del medio continuo. En esta 
sección estudiaremos la cinemática del medio continuo. Describiremos en 
forma cuantitativa la deformación y movimiento de un cuerpo, estudiaremos 
los teoremas de transporte, la conservación de la masa e introduciremos los 
conceptos de momentum lineal y angular y los de energía cinética. 
 
2.1 CONFIGURACIÓN Y MOVIMIENTO. 
Un cuerpo B, o sus partes P, no son accesibles a nuestra observación 
sino a través de sus configuraciones. Configuración es una aplicación 
biyectora del cuerpo en el espacio Euclideano, tal que el lugar ocupado por 
la partícula p B en el espacio E es: 
 1( ) , ( )r rp y p (2.1-1) 
La primera expresión indica que r es la posición ocupada por la 
partícula p en el espacio, y la segunda expresión establece que p es la 
partícula cuya posición en el espacio es r. Las funciones 1y son suaves 
y suficientemente diferenciables. Como es usual, el valor de la función 
recibe el nombre de la función y, por lo tanto, la región de espacio ocupada 
por el cuerpo también recibe el nombre de configuración. Se denomina 
partículas materiales y puntos materiales a los lugares ocupados por las 
partículas del cuerpo en el espacio físico y el espacio Euclideano 
respectivamente. Movimiento del cuerpo B es la secuencia continua de 
configuraciones que el cuerpo asume en el tiempo y está dada por: 
 ( , )r p t (2.1-2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
2.2 COORDENADAS ESPACIALES Y MATERIALES 
La ecuación (2.1-2) indica que para diversos tiempos t el cuerpo 
adquirirá sucesivas configuraciones. Para identificar cada una de las 
partículas del cuerpo, una de estas configuraciones se puede elegir, en forma 
arbitraria, como configuración de referencia. Llamando B la configuración 
de referencia y R la posición de la partícula p en esta configuración, 
podemos escribir: 
 1( ) , ( )R Rp y p (2.2-1) 
El vector R identifica unívocamente cada partícula del cuerpo. Muchas 
veces se utiliza la configuración inicial como configuración de referencia y 
se identifica R como la posición de la partícula en ese instante inicial, 
cuando t=0. Esto no es necesario y la configuración B puede incluso ser una 
configuración que el cuerpo nunca ha ocupado o nunca ocupará durante su 
movimiento, o también, una configuración variable en el tiempo. 
Reemplazando la ecuación (2.2-1b) en la ecuación (2.1-2) resulta: 
 1 1( ), ,r R Rt t (2.2-2) 
Definiendo la función deformación ,r R t por: 
 1, ( , )r R Rt t (2.2-3) 
el movimiento de la partícula puede ser representado como: 
 ,r r R t (2.2-4) 
Para una determinada partícula, esto es, para R constante y t variable, la 
ecuación (2.2-4) representa la trayectoria de la partícula y para t constante, 
la misma ecuación representa la deformación que sufre el cuerpo desde la 
configuración de referencia B a la configuración actual que identificaremos 
por Bt Ver Figura 2.2.1. 
Las propiedades del cuerpo serán asignadas a cada una de sus 
configuraciones. Llamando G a una propiedad cualquiera de B, escalar, 
vectorial o tensorial, podemos escribir: 
 ,G G p t (2.2-5) 
Sustituyendo la ecuación (2.2-1) en la ecuación (2.2-5) resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
1( ), ,R RG G t g t (2.2-6) 
Si en cambio se sustituye (2.1-1) en la ecuación (2.2-5) resulta: 
 1
2( ), ,r rG G t g t (2.2-7) 
 
 
O
{B,t}
p
p
p
R r
r
p1
p2
p1
p2
R1
R2
{B,t}
r1
r2
B
Bt
 
(a) Trayectoria de la partícula p: ,r r R t (b) Deformación del cuerpo desde la 
 configuración de referencia B a la 
 configuración actual 
tB . 
Fig. 2.2.1 Función deformación 
Las propiedades 1 ,Rg t y 2 ,rg t del cuerpo son equivalentes. La 
primera es la descripción material de la propiedad, y la segunda la 
descripción espacial. Denominaremos a las componentes X de R, esto es, 
las componentes del vector posición de la partícula p en la configuración de 
referencia, las coordenadas materiales de la partícula y a las componentes 
x de r, esto es, las componentes del vector posición de la partícula en la 
configuración actual, las coordenadas espaciales. De las ecuaciones (2.2-6) 
y (2.2-7) se puede concluir que cualquier propiedad del cuerpo es posible 
expresarla en términos de las coordenadas materiales o espaciales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Ejemplo 2.2.1 
Considere el vector posición en la configuración actual r=xiei y en la configuración 
de referencia R=Xiei y la siguiente función deformación r=r(R,t) con: 
x X t
x X t
x X
1 1
2 2
1 2
3 3
1
1 2 
Encontrar la trayectoria de las partículas que en la configuración de referencia tenían las 
posiciones R e e R e e R e e1 1 2 2 1 2 3 1 22; ; . 
Solución 
Las ecuaciones de las trayectorias para cada una de las partículas son: 
Para x t x t xR1 1 2
1 2
31 1 2 0: , , 
Para x t x t xR2 1 2
1 2
31 1 2 0: , , 
Para x t x t xR3 1 2
1 2
31 2 1 2 0: ; ; 
0 2 4 6 8 10
-4
-2
0
2
4
6
8
10
 BR1
 CR2
 DR3
C
o
o
rd
e
n
a
d
a
 x
2
 [
c
m
]
Coordenada x1 [cm]
Trajectoria de las partículas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2.2.2 
Para la función deformación del ejemplo 2.2.1 encontrar la descripción material de 
la temperatura de un cuerpo si su descripción espacial es: r ,t x x x t1 2 3 [ºC] 
Solución 
Reemplazando los valores de las coordenadas espaciales en la temperatura se 
obtiene: 
 
1 2
1 2 3, 1 1 2 ºR t X X X t t t C 
 
2.3 DERIVADAS PARCIALES MATERIALES Y ESPACIALES 
Como la propiedad G es una función de dos variables, R o r y t, como 
ya hemos discutido, podemos escribir 
1 2, ,R rG g t g t y es posible 
calcular la derivada de G con respecto a cada una de estas variables. 
Denominaremos gradiente de G a la derivada parcial de G con 
respecto a una variable espacial. Como existen dos de tales variables, las 
coordenadas materiales y las espaciales, dando origen a las ecuaciones (2.2-
6) y (2.2-7), se podrán definir dos gradientes, uno material y uno espacial. El 
gradiente material y el gradiente espacial quedan definidos por: 
1
1 1( ) ( ) , , (gradiente material)R
R
R
g
GRAD G GRAD g g t (2.3-1a) 
2
2 2( ) ( ) , , (gradiente espacial)r
r
g
grad G grad g g t (2.3-1b) 
En notación tensorial cartesiana los gradientes pueden ser escritos en la 
forma: 
 
1 1
2 2
e
R R
e
r r
i
i
i
i
g gG
X
g gG
x
 (2.3-2) 
donde g1 y g2 son funciones tensoriales de cualquier orden. 
En la misma forma que para el caso del gradiente, es posible distinguir 
dos derivadas de la función G con respecto al tiempo. Denominaremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
derivada material de G a la derivada parcial de G con respecto al tiempo 
manteniendo R constante y se la denotará por G o DG Dt y estará dada 
por: 
 
21
, ,( , t) r RR g t tgDG
G
Dt t t
 (2.3-3) 
Como fijar R significa escoger una determinada partícula del cuerpo, la 
derivada material mide la velocidad de variación de la propiedad G de esa 
partícula, esto es, el observador que mide se traslada siguiendo la partícula 
en su movimiento. Por esta razón la derivada material recibe también el 
nombre de derivada convectiva. 
Denominaremos derivada espacial a la derivada parcial de G con 
respecto al tiempo manteniendo r constante y la denotaremos por G/ t: 
 2
1
( , )
, ,
r
R r
g tG
g t t
t t t
 (2.3-4) 
Fijar r significa escoger un cierto punto del espacio, por lo tanto la derivada 
espacial mide la velocidad de variación de G de aquellas partículas que, 
durante el movimiento del cuerpo, van pasando por el punto fijo r. 
 La relación entre las derivadas materiales y espaciales puede ser 
obtenida fácilmente usando la regla de la cadena:2 2 2
2
2
, , ( , ) ( , )
G
r R r r r
r
r
r
g t t g t g t D
G
t t Dt
g
g
t
G
t
 (2.3-5) 
 
Ejemplo 2.3.1 
Para el campo de temperatura del ejemplo 2.2.1, dada en sus dos formas, la 
espacial y la material, calcular la derivada material en la posición 
1 2 35 3r e e e para el 
tiempo 4st segundos. Qué partícula está en esa posición en el instante dado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Usando la versión espacial: r ,t x x x t1 2 3 [ºC], podemos calcular: 
 r
t
 
 
t
x x x t x x x1 2 3 1 2 3 
 ( )
r e e e e e
x x x
x
t
x
t1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
1 1 2 
 x x t x x t x x t
x
t
x
t
2 3 1 1 3 2 1 2 3
1
1
2
2
1 1 2
e e e e e
( )
 
 
x x x t
t
x x x t
t
1 2 3 1 2 3
1 1 2
 
 
x x x t t t
t t
1 2 3 1 2 1
1 1 2
 
Entonces: 
 
,
º /
r t x x x
x x x t t t
t t
x x x t t t t t t
t t
x x x
t t
t t
C s
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
1 2 1
1 1 2
1 1 2 1 2 1
1 1 2
5 5 1
1 1 2
 
Usando la versión material: R,t X X X t t t1 2 3
1 2
1 1 2 , podemos calcular: 
 ,R t X X X t t t t
t t
t
1 2 3
1 2 1 2
1 2
1 1 2 1 2
1
1 2
 
 ,r t
x x x t t t t t t
t t
1 2 3 1 1 2 1 2 1
1 1 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
2
1 2 3
5 5 1
º /
1 1 2
t t
x x x C s
t t
 
En la posición 1 2 35 3r e e e en el tiempo 4st , resulta: 
 
,
. º /
5 3 4 5 3 1
5 4 5 4 1
1 4 1 2 4
33 7
1 2 2
2
e e e x x
x x
x
C s
 
En el instante considerado 4st las coordenadas espaciales son 
1 2 35, 3, 1x x x , 
luego las coordenadas materiales de la partícula que está allí en ese instante serán: 
 
1
1
2
2 1 2 1 2
3 3
5
1
1 1 4
3
1
1 2 1 8
1
x
X
t
x
X
t
X x
 
La partícula a la que se le está calculando la variación de temperatura es aquella que en la 
configuración de referencia está en la posición R e e e1 2 3 . 
 
2.4 MEDIDAS DE DEFORMACIÓN 
Deformación es el cambio de forma que sufre un cuerpo al pasar de la 
configuración de referencia a cualquier otra configuración. 
2.4.1 Tensor gradiente de la deformación 
 Consideremos un cuerpo B donde dos partículas p e q ocupan los 
lugares R y R+dR en la configuración de referencia. Ver Figura 2.4.1. 
Después de la deformación, las posiciones de las partículas p y q serán r y 
r+dr respectivamente. Usando la función deformación podemos escribir: 
Para p: ,r r R t (2.4-1) 
Para q: d d ,r r r R R t (2.4-2) 
Con el concepto de gradiente material de una función, tal como se definió en 
la ecuación (2.3-1), el valor de r para q se puede aproximar como el valor de 
r para p mas una función lineal de dR: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p
q
B dR
dr
p
q
Bt
R
R+dR
r+dr
r
F(R,t)
O
{B,t}
 
Fig. 2.4-1 Deformación de un cuerpo desde la configuración de referencia B 
a la configuración actual Bt. 
 
( , t)
( d , t) ( , t) d
r R
r R R r R R
R
 (2.4-3) 
Usando el valor de d ,r R R t de la ecuación (2.4-1) y simplificando 
resulta: 
 
R
( ,t)
d d d
r R
r R r R
R
 (2.4-4) 
El tensor ( , ) /r R Rt da la aproximación lineal de la función deformación, 
se denomina tensor gradiente de la deformación y se lo denota por F: 
 
R
( , )
( ,t)=
r R
F R r
R
t
 (2.4-5) 
Es evidente que F depende de la configuración de referencia considerada. 
Para asegurar que para cada partícula corresponda solamente un punto del 
espacio debemos requerir que: 
 det 0F (2.4-6) 
En notación tensorial cartesiana y matricial F puede ser escrito en la forma: 
 i
R i j
j
=F r e e
x
X
 (2.4-7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
1 1 1
1 2 3
11 12 13
2 2 2
21 22 23
1 2 3
31 32 33
3 3 3
1 2 3
F T TB B B B
x x x
X X X
F F F
x x x
F F F
X X X
F F F
x x x
X X X
 (2.4-8) 
Usando la definición de F, las ecuaciones (2.4-3) y (2.4-4) pueden ser 
escritas en la forma: 
 d , , ,r R R r R F R Rt t t d (2.4-9) 
 d , dr F R Rt (2.4-10) 
Se dice que una deformación es homogénea si F es el mismo para 
todas las partículas del cuerpo, esto es, si F es independiente de R. Una 
gama amplia de problemas de ingeniería pueden ser descritos en términos de 
deformaciones homogéneas. Para una deformación homogénea tenemos: 
 d , , dr R R r R F Rt t t (2.4-11) 
 d dr F Rt (2.4-12) 
 
Ejemplo 2.4.1 
Calcular el tensor gradiente de la deformación para la función del ejemplo 2.2.1. 
Solución 
La función deformación puede ser escrita en forma matricial de la manera siguiente: 
 
1 1
1 2
2 2
3 3
1 0 0
0 1 2 0
0 0 1
tx X
x t X
x X
 
Inmediatamente se puede obtener el tensor gradiente de la deformación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F B B e e e e e et
t
t t tT
1 0 0
0 1 2 0
0 0 1
1 1 2
1 2
1 1
1 2
2 2 3 3 
Se puede observar que se trata de una deformación homogénea. 
 
2.4.2 Cambio de configuración de referencia. 
 La deformación descrita por ,F R t se calcula con respecto a una 
determinada configuración de referencia B . Como esta configuración es 
arbitraria debemos ser capaces de describir la deformación si se elige otra 
configuración de referencia. 
 Consideremos dos configuraciones de referencia B1 y B2 y la 
configuración actual Bt del cuerpo B. Ver Figura 2.4-2. Denominemos 
1 1,F R t y 2 2 ,F R t los tensores gradiente de la deformación para pasar de 
las configuraciones B1 y B2 a la configuración actual respectivamente. 
Usando la ecuación (2.4-12) obtenemos: 
p
q
B1
dR1
dr
p
q
Bt
R
R+dR
r+drr
O
{B,t}
p
q
dR2
B2
R+dRR
P
F1 F2
 
Fig. 2.4.2 Cambio de configuración de referencia. 
 
 1 1 1 2 2 2d , d , dr F R R F R Rt t (2.4-13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
Por otra parte si designamos por 1,P R t el gradiente de la deformación 
para ir desde B1 a B2, entonces: 
 2 1 1d , dR P R Rt (2.4-14) 
y por lo tanto: 
 
1 1 1 2 2 1 1
2 2 1 1
, , ,
, ,
F R F R P R R
F R P R R
R t d t t d
t t d
 (2.4-15) 
Finalmente podemos concluir que: 
 
1 2F F P (2.4-16) 
 
Ejemplo 2.4.2 
Consideremos la función deformación del ejemplo 2.2.1, para la cual se calculó el tensor 
gradiente de la deformación en el ejemplo 2.2.4, el que denominaremos 
1F : 
 1 2
1 1 1 2 2 3 3( ) (1 ) (1 2 )F e e e e e et t t 
Elijamos ahora como nueva configuración de referencia aquella que adquirió el cuerpo 
para el tiempo t=1[s]. Calcular el tensor gradiente de la deformación respecto a esta nueva 
configuración de referencia. 
Solución 
Haciendo 1t en la expresión de 
1F obtenemos P. Entonces: 
 P e e e e e e2 31 1 2 2 3 3 
y, por lo tanto 
2F será: 
 F F P2 1
1t t 
 1 1 2
1
2
1
3
1 1
1 2
2 2 3 3 1 1 2 2 3 3t te e e e e e e e e e e e 
 
1
2
1
1
3
1 21 1
1 2
2 2 3 3t te e e e e e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.3 Configuración actual como referencia 
La configuración de referencia no debe necesariamente ser fija en el 
tiempo. Es así como la configuración actual, que cambia a medida que 
transcurre el tiempo, puede ser utilizada como configuración de referencia. 
En este caso se describe todo movimiento, pasado y futuro, como lo vería un 
observador fijo a la partícula p, que va ocupando el lugar r en el tiempo t. 
Designemos por la variable tiempo y por t el instante presente. 
Entonces, el tiempo t corresponde a la configuración de referencia. La 
posición de la partícula p para el tiempo la designaremos por y para el 
tiempo t por r, luego: 
 ,p (2.4-17) 
 ,p tr (2.4-18) 
Ver la Figura 2.4.3. Invirtiendo la ecuación (2.4-18) y reemplazándola en 
(2.4-17) resulta: 
 -1
t, t , ,r r (2.4-19) 
La función t ,r se denomina función deformación relativa. Su gradiente 
Ft recibe el nombre de gradiente de la deformación relativa y queda 
definido por: 
 t ( , )t rF (2.4-20) 
donde queda definido por la ecuación (2.4-19). 
El cambio de configuración de referencia dado por la expresión (2.4-
16), y representado en la Figura 2.4.2, puede también ser aplicado a las 
funciones ( , ), , , )y tF R F r F R , obteniéndose el resultado: 
 t, , tF R F F R (2.4-21) 
donde 
R t R( , ) , ( ) ( , )y tFR F F R r 
La expresión (2.4-21) indica que la deformación desde una 
configuración de referencia fija B a la configuración B para un tiempo , 
se puede considerar como la sucesión de la deformación , tF R desde B a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
la configuración Bt para el tiempo t, seguida de la deformación tF desde 
la configuración actual a la configuración B para el tiempo . Ver la Figura 
2.4.3. 
p
q
B
dR
dr
p
q
Bt
R+dR
r+drr
O
{B,t}
p
q
d
B
+dR
F(r, )=Ft( )F(R,t)
F(R, )
 
Fig. 2.4.3 Cambio de configuración de referencia usando la 
configuración actual como referencia. 
 
Es fácil observar que la deformación desde la configuración actual 
hasta la actual debe ser el tensor identidad. Reemplazando t en la 
ecuación (2.4-21) resulta: 
 t tF I (2.4-22) 
 
Ejemplo 2.4.3 
Para los datos del ejemplo 2.2.1 obtener el tensor gradiente de la deformación 
relativo 
tF y demostrar que 
t tF I . 
Solución 
Para la función deformación dada se puede escribir: 
 
1 2
1 2
1 1 2
1 1 2
t t tF
F
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
e e e e e e
e e e e e e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la expresión (2.4-21) resulta: 
t t1F F F 
1 2
1 2
1 1
1 1 2
1 1 2t t
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3e e e e + e e e e e e + e e 
1 2
1 1 2
1 1 2t t
1 1 2 2 3 3e e e e + e e 
Si en la expresión anterior hacemos t , resulta: 
t tF I1 1 2 2 3 3e e + e e + e e 
 
2.4.4 Transformación de elementos de línea, superficie y volumen 
Es conveniente tener a disposición relaciones entre los elementos de 
línea, superficie y volumen materiales antes y después de una deformación 
caracterizada por el tensor gradiente de la deformación , tF R . 
Elementos de Línea 
Consideremos un cuerpo B con una configuración de referencia B . 
Denotemos por dR y dr los elementos de línea materiales en la 
configuración de referencia y en la configuración actual respectivamente. 
Ver Figura 2.4.1. De la ecuación (2.4-10) sabemos que ambos elementos 
están relacionados por: 
 d , dtr F R R (2.4-23) 
donde , tF R es el tensor gradiente de la deformación. 
Elementos de Superficie 
Escribamos dS y dS para un elemento de superficie material en la 
configuración actual y en la de referencia respectivamente. Ver Figura 2.4.4. 
Cada superficie de éstas puede ser descrita en forma tal que 1 2d d 0xR R , es 
decir, dR1 y dR2.no sean paralelas: 
 
1 2 1 2d d d d dx xS d dS dNS R R S n r r (2.4-25) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
donde N y n con vectores unitarios normales a la superficie. 
Para cualquier vector a se debe cumplir: (ver Apéndice de 
matemáticas pág. 72, ecuación (3.4.1) 
2dR 2dr 1dr
O
{B,t}
B
B
R
r
F(R,t)
dS
dS
1dR
 
Fig. 2.4-4 Transformación de elementos de superficie 
material. 
 
 
1 2
1 2
1 2
1
1 2
d d d
d d
d , d ,
d , d ,
x
x
S a r r a
F R F R a
F R F R a
F R F R F F a
 
 
1
1 2
1 2
det d d
det d d
det d
det d
T
T
T
x
x
F R R F a
F F R R a
F F S a
F F S a
 
De aquí resulta que la relación entre dS y dS es: 
 d det T dS F F S (2.4-26) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Volumen y Dilatación. 
 Consideremos un elemento de volumen material dV en la 
configuración de referencia, con la forma de un paralelepípedo de lados 
d d y dR R R1 2 3, . Ver Figura 2.4.5. 
O
{B,t}
B
Bt
R
F(R,t)
r
 
 
Fig. 2.4.5 Dilatación de un cuerpo 
 Después de la deformación, caracterizada por , tF R , el 
volumen es dV . Para ambos volúmenes se puede escribir: 
 1 2 3 1 2 3x xdV d d d y dV d d dR R R r r r (2.4-27) 
Entonces, 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, ,
, ,
xdV d d d
d d d
d d d
r r r
r r r
F R F R F R
 
 
1 2 3
1 2 3
det , ,
det x
d d d
d d d
F R R R
F R R R
 
y por lo tanto: 
 detdV dVF (2.4-28) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
donde 
 
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
det
x x x
X X X
x x x
X X X
x x x
X X X
F 
La ecuación (2.4-28) muestra que el determinante de F representa el 
cuociente entre el elemento de volumen después y antes de la deformación. 
Por esta razón recibe el nombre de dilatación y se lo denota por J=detF. La 
dilatación será, por lo tanto: 
 /J dV dV (2.4-29) 
Además, la ecuación (2.4-28) muestra que detF no sólo debe ser distinto de 
cero sino que debe ser positivo, esto es: 
 det 0F (2.4-30) 
Ejemplo 2.4.4 
 Calcular la relación entre los elementos de línea, superficie y volumen de la 
configuración actual y de la referencia para la función deformación del ejemplo 2.2.1. 
Solución 
El tensor gradiente de la deformación está dado por: 
 
1 2 1 2
1 1 2 2 3 3
1+ 0 0
0 1+2 0 1+ 1+2
0 0 1
T
t
t t t tF B B e e e e e e 
Luego: 
 det F 1 1 2
1 2
t t 
 
1 2
1 1 2 2 3 31 2
1 2 1 2
1 1 2 2 3 3
1 1
det 1 1 2
1+t 1 2
1 2 1 1 1 2
T t t
t
t t t t
F F e e e e e e
e e e e e e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto podemos escribir: 
 
 
1 2
1 1 2 2 3 3
1 2 1 2
1 1 2 2 3 3
1 2
1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 1 2
d t t d
d t t t t d
dV t t dV
r e e e e e e R
S e e e e e e S 
 
2.4.5 Deformación rígida 
 Un tipo especial de deformación homogénea es la deformación 
rígida. Esta deformación es sufrida por un cuerpo si, para todo tiempo, la 
distancia entre dos partículas cualesquiera del cuerpo permanece constante 
 Consideremos dos partículas p1 y p2 en un cuerpo y designemos 
mediante ds y dso las magnitudes de dr y dR respectivamente, tal que 
dr=dse y dR=dsoeo. Para una deformación rígida, entonces, se debe cumplir 
que ds ds , luego 
 
2 2 0
0
ods ds
d d d dr r R R
 
Utilizando la ecuación (2.4-10) resulta: 
 0d d d dF R F R R I R 
Sacando factor común dR en ambos lados resulta: 
 0Td dR F F I R 
Esta ecuación se debe cumplir para todo dR, por lo tanto: 
 TF F I (2.4-31) 
La expresión (2.4-31) indica que para una deformación rígida el tensor 
gradiente de la deformación debe ser ortogonal. Como detF>0, el único 
valor admisible es detF=1, esto es, F es un tensor ortogonal propio 
denominado rotación. (ver Apéndice de matemática pág. 82,83). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 Es conveniente distinguir dos casos de deformaciones rígidas: (1) 
una traslación, cuando F=I y (2) una rotación cuando F=Q I. 
(1) Traslación 
 Cuando F=I se obtiene una forma especial de deformación rígida. 
Como dr=F dR, podemos escribir dr=dR y, haciendo referencia a la Figura 
2.4.6, tenemos : 
 
O 
{B,t} 
B 
Bt 
R 
r 
rq Rq 
q p 
q p 
u=r-R 
u=r-R 
 
Fig. 2.4.6 Traslación 
 q qr r R R (2.4-32) 
Definiendo el vector desplazamiento u(R,t) en la forma: 
 ,t tu r R R (2.4-33) 
De las dos últimas ecuaciones resulta: 
 q qr R r R (2.4-34) 
 
El campo de desplazamientos u(t) es independiente de la posición R, esto 
es, todas las partículas del cuerpo sufren el mismo desplazamiento para un 
determinado tiempo. Este tipo de deformación rígida se denomina 
traslación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Rotación 
 Cuando F I, la deformación rígida se denomina rotación. 
Consideremos un punto fijo en Rq como en la Figura 2.4.7, entonces: 
O
{B,t}
B
Bt
r
Rq=rq
pq
p
R
 
Fig. 2.4.7 Rotación Pura 
 rRr dtR q, 
 d t dr Q R 
 qq t RRQR )( (2.4-35) 
Este análisis es válido tanto si el punto qR está localizado en el cuerpo B o 
fuera de él. En este último caso se puede considerar que el punto qR se 
encuentra dentro del cuerpo B, pero el análisis lo realizamos solamente 
considerando la rotación del sub-cuerpo P B alrededor del punto qR . 
Roto-traslación 
 Es fácil verificar que una deformación rígida se puede obtener de la 
combinación de una rotación alrededor de un punto fijo y de la traslación de 
dicho punto. Ver Figura 2.4.8. En general: 
( )d t dr Q R 
, ( ) qt tr R Q R R u (2.4-36) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
O
{B,t}
B
Bt
R
r
rR
q p
q p
u=r-R
u=r-R
p
dr
dr
 
Fig. 2.4.8 Deformación rígida como una secuencia de 
rotación y translación.Ejemplo 2.4.5 
Considere la función deformación 
 
1 1 2cos senx 
 2 1 2sen cosx 
 
3 3x 
 
cos sen 0
sen cos 0
0 0 1
TF B B 
 2 2
det cos sen 1F 
 
cos sen 0 cos sen 0
sen cos 0 sen cos 0
0 0 1 0 0 1
T TF F B B 
 
2 2
2 2
cos sen 0 0
0 sen cos 0
0 0 1
T
BB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
T
B B I 
Es una rotación 
Si 1 1d dXR e , 
 
1cos sen 0
sen cos 0 0
0 0 1 0
T T
d
d
X
r B B B 
 
1
1
cos
sen
T
d
d
d
X
r B
X
 
 1d dR X 
 
2 2
1 1 1cos send d d dr X X X 
 
2.4.6 Deformación unitaria 
Consideremos dos partículas p y q del cuerpo B con posiciones R y 
R+dR en B y posiciones r y r+dr en Bt. Hagamos dR=dsoeo y dr=dse, 
entonces la deformación unitaria se puede definir en la forma: 
 
2 2
2
o
o
ds ds
G
ds
 (2.4-37) 
 
2
• •
1
o
d d d d
ds
r r R R
 
 
2
1
= d d d d
ods
F R F R R R
 
 
2
T
1
 = d d d d
ods
R F F R R I R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 Td d
=
o ods ds
R R
F F I 
 T
o o= e F F I e (2.4-38) 
Definiendo el tensor de deformación unitaria G en la forma: 
 T1
=
2
G F F I (2.4-39) 
podemos escribir: 
 2G o oe G e (2.4-40) 
En la sección anterior hemos visto que para una translación F=I y que 
para una rotación FT F=I, por lo tanto el tensor de deformación unitaria 
mide la deformación excluyendo las translaciones y rotaciones, como 
debería esperarse. 
 
2.4.7 Estiramiento 
Si 1 1 1 2 2 2 3 3 3F U u u u u u u , y y o od ds d dsr e R e , (2.4-41) 
podemos escribir: 
 
k k k o o
k o k k o
k ok k
d ds
ds
ds
r u u e
u u e
u
 
Proyectando en 
ku resulta: 
 
k k ok k k
k k ok
d ds
ds ds
r u u u
 (2.4-42) 
Se puede concluir que kds es un estiramiento de ods en la dirección k y, por 
lo tanto, el tensor U recibe el nombre de tensor de estiramiento. Observar 
que el tensor U es diagonal con det 0U , esto es positivo-difinido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2.4.6 
Considerar el tensor diagonal 
1 2
1 1 2 2 3 31 1 2t tU e e e e e e y calcular la 
deformnación producida en el vector dR en el tiempo t=1 segundo. 
 1 2
1 1 2 2 3 31 1 2 o o
d d
t t ds
r U R
e e e e e e e
 
 
1 2
1 1 2 2 3 3
1 1 1 1
1 1 1
1 2
2 2 2 2
1 2
2 2 2
3 3 3 3
3 3
1 1 2
1, 1
1 2
2, 1 2
1 2 3
3
k o o o k
o
o o
o
o o
o
o
d t ds t ds ds
k ds t ds
ds t ds ds
k ds t ds
ds t ds ds
k ds ds
ds ds
r e e e e e
e e
e e
e e
 
Como, en general, la función deformación , tr r R cumple el 
requisito det 0F , se puede aplicar al tensor F la descomposición polar, 
(ver apéndice xx-yy). Definamos un tensor ortogonal Q y dos tensores 
simétricos y positivos definidos U y V, tal que se cumpla: 
 F Q U V Q (2.4-43) 
 T2U F F C (2.4-44) 
 T2V F F B (2.4-45) 
 Los tensores U y V son simétricos y por lo tanto pueden ser 
reducidos a su forma diagonal mediante el uso de los valores y vectores 
característicos. Si denotamos por 
k
 y 
ku los valores y vectores 
característicos de U respectivamente, podemos escribir: 
 k k kk
U u u (2.4-46) 
Substituyendo esta expresión en la ecuación (2.4-41) resulta: 
 k k k k
Q u u V Q 
multiplicando por 
ku resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 k k kQ u V Q u , (sin suma en k) (2.2-47) 
y, definiendo el vector unitario vk en la forma: 
 k kv Q u (2.4-48) 
se obtiene finalmente: 
 k k kv V v , (sin suma en k) (2.4-49) 
y por lo tanto 
 k k kk
V v v (2.4-50) 
Se puede concluir que los tensores U y V tienen los mismos valores 
característicos k y los vectores característicos kv están rotados en Q con 
respecto a los ku . De las ecuaciones (2.4-44) y (2.4-45) podemos observar 
que los tensores C y B tienen a 2
k como valores característicos y yk ku v 
como vectores característicos respectivamente. Los tensores C y B reciben el 
nombre de tensores de deformación de Cauchy-Green de la derecha y de la 
izquierda respectivamente. Los tensores U y V representan estiramientos, 
como puede verse de: 
 d dr U R 
 k k kk
du u R 
 1,2,3 (sin )k k okds ds para k suma (2.4-51) 
La ecuación (2.4-49) muestra que U representa un estiramiento en la 
dirección de los valores característicos 
ku . Ver Figura 2.4.9. Lo mismo 
puede ser demostrado para V. Los tensores U y V reciben el nombre de 
tensores de estiramiento de la derecha y de la izquierda respectivamente. 
Los valores característicos de U y V representan los estiramientos 
principales y los vectores característicos las direcciones principales de 
estiramiento. 
 La deformación representada por F en (2.4-41) se puede interpretar 
como la secuencia de un estiramiento U seguido de una rotación Q, o la 
secuencia de una rotación Q seguida de un estiramiento V. Ver la Figura 
2.4.10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los invariantes de los tensores C y B son: 
C tr B trI IC B 1
2
2
2
3
2 (2.4-51) 
B
U
B
u1
u2
O
 
Fig. 2.4.9 Estiramientos en las direcciones u
1
 y u
2
, con 
1
=0.8 y 
2
=1.2. 
 
u1
u2
O
Q
U
F
V
Q
 
Fig. 2.4.10 Descomposición polar de una deformación. 
 
 
2 2
2 2
1 2
1 2
II IIC B tr tr
tr tr
C C
B B
 (2.4-52) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1
2 2 2
1 2 3det det
II II
III III
C B
C BC B
 (2.4-53) 
Para U y V los invariantes son: 
 
1 2 3I IU tr V trU V (2.4-54) 
 
2 2
2 2
1 2 2 3 3 1
1 2
1 2
II IIU V tr tr
tr tr
U U
V V (2.4-55) 
 1 2 3det detIII IIIU VU V (2.4-56) 
Reemplazando la ecuación (2.4-42) en la ecuación (2.4-39) podemos 
escribir: 
 G C I=
1
2
 (2.4-57) 
 La descomposición polar también se puede aplicar al tensor 
gradiente de deformación relativa. Definiendo los siguientes tensores: 
 ( )tF = tensor gradiente de deformación relativa 
 ( )tU = tensor de estiramiento relativo de la derecha 
 ( )tV = tensor de estiramiento relativo de la izquierda 
 ( )tQ = tensor de rotación relativo 
 ( )tC = tensor de Cauchy-Green relativo de la derecha 
 ( )tB = tensor de Cauchy-Green relativo de la izquierda 
con ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )t t t t t tt t t t t tF r U r V r Q r C r B r I (2.4-58) 
podemos escribir: 
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )t t t t tF r Q r U r V r Q r (2.4-59) 
2 2( , ) ( , ) y ( , ) ( , )t t t tC r U r B r V r (2.4-60) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2.4.5 
 Para la función deformación del ejemplo 2.2.1 determinar:para t10 a) La 
dilatación, los tensores de estiramiento, los tensores de Cauchy Green y el tensor de 
deformación unitaria. b) los estiramientos principales y las direcciones principales de 
estiramiento. c) Analizar la deformación sufrida por el cubo unitario definido por: 
B X X XR: ; ;0 1 0 1 0 11 2 3 y por el cilindro definido por: 
B X X XR: ;0 1 0 11
2
2
2
3 y c) para el tiempo t=1 [s] dibujar las 
configuraciones de referencia y la configuración actual en ambos casos. 
 
Solución 
 
Del problema anterior se tiene el tensor gradiente de la deformación 
 
F B B e e e e e et
t
t t tT
1 0 0
0 1 2 0
0 0 1
1 1 2
1 2
1 1
1 2
2 2 3 3 
 
a) La dilatación será 
 
J t t t t( ) det ( )F 1 1 2
1 2
 
 
y para el tiempo t=1 [s] resulta: 
 
J 2 3 
 
Como F es simétrico y la descomposición polar es única, podemos concluir que: 
0RIFGFBCFVU y,, 2212
, entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
U V e e e e e e
C B e e e e e e
t t t t
t t t t
( )
( ) ( )
1 1 2
1 1 2
1 1
1 2
2 2 3 3
2
1 1 2 2 3 3
 
b) C B BT
t
t
1 0 0
0 1 2 0
0 0 1
2
 
 
Por lo tanto el espectro de C es: (1, (1+2t), (1+t)2). Las direcciones principales se calculan 
en la forma: 
 
1t211t100
000
000
000
01t210
001t1
adjadj1Para
2
2
11 IC:
 
 
Entonces, u e1 3 (el signo se elige por conveniencia, ver figura) 
 
t21100
000
00t21t1
t21Para
2
22 adjadj: IC 
t200
000
00t2
adj
 
Entonces, u e2 2 y, por lo tanto, 123213 xx eeeuuu 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente los estiramientos principalesson: 1 1 2 1
1 2
, ,t t y las 
direcciones principales de estiramiento: u e u e u e1 3 2 2 3 1, , 
El tensor de estiramiento puede ser escrito en las dos siguientes formas: 
 
U e e e e e e u u u u u u3t t t t t1 1 2 1 2 11 1
1 2
2 2 3 3 1 1
1 2
2 2 3 
 
c) Como d dr U R , podemos escribir: 
 
d t t dr e e e e e e R1 1 21 1
1 2
2 2 3 3 
d t dX t dX dXi ir e e e e e1 1 21 1
1 2
2 2 3 3 
 
dx t dX
dx t dX
dx dX
1 1
2
1 2
2
3 3
1
1 2 
 
En la configuración Bt el cubo y el cilindro quedarán definidos por: 
 
Cubo: B x t x t xt r: ; ;0 1 0 1 2 0 11 1
1 2
1 
 
Cilindro: B
x
t
x
t
xt R: ;0
1 1 2
1 0 11
2
2
2
3 
 
En el instante t=1 [s] resulta: 
 
Cubo: B x x x1 1 1 10 2 0 3 0 1r: ; ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
Cilindro: B
x x
x1
1
2
2
2
30
2 3
1 0 1R: ; 
 
c) Las configuración de referencia y aquella para t=1 [s] para el cubo y el cilindro se 
muestran en la figura siguiente: 
 
 
Ejemplo 2.4.6 
 
 Considere la siguiente función deformación: 
 
x X X
x X X
x X X X
1 1 3
2 2 3
3 3 1 2
2
2
2 2
 
 
 
 
 
22
1
3
1 2 3
X2
X1
22
1
3
1 2 3
X2
X1
U
 
 
Deformación de un cubo de lado unitario 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2
1
1
2
X
U
X
-1
-2 -1
1
1 2
X
X
 
 
Deformación de un cilindro de sección circular y diámetro unitario 
 
Establezca: a) si la deformación es posible; b) si el cuerpo se dilata y, si así fuera, cuanto 
vale la dilatación y c) si el cuerpo rota y, si así lo hiciera, cuanto vale el tensor de rotación. 
 
Solución 
 
El tensor gradiente de la deformación será: 
 
F B BT
1 0 2
0 1 2
2 2 1
 
 
a) El determinante de F es detF=9>0, por lo que la deformación es posible. 
b) Como detF=9 el cuerpo se dilata y la dilatación es J=9. 
c) Para saber si el cuerpo rota hagamos la descomposición polar de F. Calculemos C, U y 
R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
C F F B B
B B
T T
T
1 0 2
0 1 2
2 2 1
1 0 2
0 1 2
2 2 1
5 4 0
4 5 0
0 0 9
 
 
det , ,C I
5 4 0
4 5 0
0 0 9
0 1 91 2 3de donde 
 
Como existen dos valores propios iguales habrá infinitas bases para C, siendo su espacio 
característico bi-dimensional. La base será: 
adj adj de dondeC I u e e1 1 1 2
4 4 0
4 4 0
0 0 8
32 32 0
32 32 0
0 0 0
1
2
, 
 
Como u u u e e1 2 2 1 20
1
2
, podemos elejir y u u u e3 1 2 3x 
 
La base de vectores característicos será: 
 
B u u u e e e e e* , , , ,T
1 2 3 1 2 1 2 3
1
2
1
2
 
 
y los tensores de Cauchy-Green de la derecha C y de estiramiento de la derecha U serán: 
 
C B B U B B* * * *T Ty
1 0 0
0 9 0
0 0 9
1 0 0
0 3 0
0 0 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volviendo a la base B se puede escribir: 
 
C B B U B BT Ty
5 4 0
4 5 0
0 0 9
2 1 0
1 2 0
0 0 3
 
 
Finalmente podemos calcular el tensor de rotación desde la descomposición polar: 
 
R F U B B
R B B
1
1 0 2
0 1 2
2 2 1
2 3 1 3 0
1 3 2 3 0
0 0 1
1
3
2 1 2
1 2 2
2 2 1
T
T
 
 
 
Ejemplo 2.4.7 (Rotación) 
 
 Considere la rotación de un cubo de lado en un ángulo alrededor del eje X3, de 
acuerdo a la Figura que sigue. Determine los tensores F, U, V, B, B2, C, B-1 , G y los 
invariantes de B y C. 
 
Solución 
 La función deformación es: 
 
x X X sen
x X sen X
x X
1 1 2
2 1 2
3 3
cos
cos 
 
El tensor gradiente de la deformación será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
F R B BT
cos sen
sen cos
0
0
0 0 1
 
 
Los tensores de estiramiento son: 
 
A B
CD
E F
GH
A
B
C
D
E F
G
H
X3
X1
X2
x3
x1
x2
 
 
 Cubo en configuración de referencia Cubo rotado alrededor del eje X3 
 
U V I 
 
Los tensores de Cauchy-Green son: 
 
B B B B B I
C B B B B I
T T
T T
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
0
0
0 0 1
0
0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
0 0 1
0
0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B B I1 2 
 
Los invariantes de B y C son: 
 
I II I II
III III
B B C C
B C
3
1
 
 
Ejemplo 2.4.8 (Extensión uniaxial) 
 
 Considere el estiramiento uniaxial de un cubo de material incompresible en una 
magnitud 1 en la dirección X1, de acuerdo a la Figura que sigue. Determine los tensores F, 
U, V, B, C,B-1 , G y los invariantes de B y C. 
 
A B
CD
E F
GH
X3
X1
X2
x3
x1
x2
A B
CD
E F
GH
 
 
 Cubo en configuración de referencia Cubo estirado en la dirección X1 
 
 
Solución 
 
La función deformación es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
x X
x X
x X
1 1 1
2 2 2
3 3 3
 
 
El tensor gradiente de la deformación es: 
 
F B BT
1
2
3
0 0
0 0
0 0
 
 
La deformación uniaxial en la dirección de X1 es simétrica con respecto al eje X1., luego 
2= 3. Como el material es incompresible, detF=1 y, por lo tanto, 
 
1 2 2
2
1
1 2 3
1
1 
 
Entonces: 
 
F B B U VT
1
1
1 2
1
1 2
0 0
0 0
0 0
 
 
B C B B B BT T
1
1
1 2
1
1 2
1
1
1 2
1
1 2
1
2
1
1
1
1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B B B1
1
2
1
1
0 0
0 0
0 0
T 
 
B B B2
1
4
1
2
1
2
0 0
0 0
0 0
T 
 
Los invariantes de B y C son: 
 
I I
II II
III III
B C
B C
B C
1 1
1 2
1
4
1 1
2
1
4
1
2
1 1
2
1 1
1 2
1
1 2
2
1
2
4 4 2 2
1
 
 
 
Ejemplo 2.4.9 (Cizalle plano) 
 
 Considere el cizalle plano de un cubo de material incompresible, que se deforma 
en un en un ángulo de acuerdo a la Figura que sigue. Determine los tensores F, U, V, B, 
C,B-1 , G y los invariantes de B y C. 
 
Solución 
La función deformación es: 
33
22
211
Xx
Xx
Xtanx X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
A B
CD
E F
GH
X3
X1
X2
x3
x1
x2
A B
CD
E F
GH
 
 Cubo en configuración de referencia Cubo cizallado en la dirección X1 
 
 
Designando por tan , el tensor gradiente de la deformación es: 
 
F B BT
1 0
0 1 0
0 0 1
 
Un cubo de lados 321 ddd XXX ,, se deformará de acuerdo a: 
 
211 dddx XX 
 21 dtangd XX 
22 ddX X 
 
dX2
X1dX1 X1
X2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B B B B B
C B B B B
T T
T T
1 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
1 0
0 0 1
1 0
1 0
0 0 1
1 0
1 0
0 0 1
1 0
0 1 0
0 0 1
1 0
1 0
0 0 1
2
2
 
 
B B B2
2
2
2
2
1 0
1 0
0 0 1
T 
 
B F F B B B B1 1 2
1 0 0
1 0
0 0 1
1 0
0 1 0
0 0 1
1 0
1 0
0 0 1
T T T 
 
Los invariantes de B son: 
 
I I
II II tr tr
III III
B C
B C
B C
3
1
2
1
2
3 2 1 6 4
1
2
2 2 2
2
2
2
2
2
B B 
 
 
2.5 MEDIDAS DE MOVIMIENTO 
 
 En la sección 2.2 vimos que la función deformación r=r(R,t) puede 
representar tanto una deformación como un movimiento, dependiendo de 
cual parámetro es mantenido constante. En esta sección estudiaremos las 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
medidas del movimiento, esto es, la tasa a la cual se produce la deformación 
o el cambio de lugar. 
 
2.5.1 Velocidad y aceleración 
 
 Se define como velocidad y aceleración de una partícula p de un 
cuerpo B a la primera y segunda derivada material del movimiento. Como 
el movimiento queda representado por r=r(R,t), la velocidad será: 
 
v
r R
r R
r
=
( , t)
t
= , t =
D
Dt
 (2.5-1) 
 
Aquella parte de una configuración del cuerpo B en la cual se ha asignado 
una velocidad a cada partícula recibe el nombre de campo de velocidad. 
 
 Substituyendo la ecuación (2.5-1) en la expresión (2.3-5), que da la 
derivada material de una propiedad cualquiera G, resulta: 
 
G =
G
t
G v (2.5-2) 
 
El segundo término de la mano derecha de (2.5-2) recibe el nombre de 
término convectivo, porque su magnitud depende de la magnitud del campo 
de velocidad. 
La denominada derivada total a la derivada parcial de G son respecto 
al tiempo siguiendo un movimiento arbitrario de velocidad ,w r t , es: 
W
r
G
t
tG
dt
dG ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De acuerdo a su definición, la aceleración se puede escribir en laforma: 
 
a
r R r r v
v=
( , t)
t
=
D
Dt
=
D
Dt
D
Dt
=
D
Dt
=
2
2
2
2
 (2.5-3) 
 
Si el campo de velocidad se expresa en coordenadas espaciales v(r,t), el 
campo de aceleraciones será: 
 
a v r
v r v
v v
R
=
t
( , t)
D ( , t)
Dt
=
t
+ (2.5-4) 
 
El segundo término de la mano derecha es la aceleración convectiva. 
 
 
Ejemplo 2.5.1 
 
 Determinar la velocidad y aceleración a partir de la función deformación del 
ejemplo 2.2.1, dada por: 
 
x X t
x X t
x X
1 1
2 2
1 2
3 3
1
1 2 
 
Solución 
 
Velocidad: Es la primera derivada material, entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
v
Dx
Dt
X v
Dx
Dt
X
t
v
Dx
Dt
1
1
1 2
2 2
1 2 3
3
1 2
0, , 
 
En coordenadas materiales: v e eX
X
t
1 1
2
1 2 2
1 2
 
 
En coordenadas espaciales: v e e
x
t
x
t
1
1
2
2
1 1 2
 
Aceleración: Es la segunda derivada material , entonces: 
 
a
D x
Dt
a
D x
Dt
X
t
v
D x
Dt
1
2
1
2 2
2
2
2
2
3 2 3
2
3
2
0
1 2
0, , 
 
En coordenadas materiales: a e
X
t
2
3 2 2
1 2
 
 
En coordenadas espaciales: a e
x
t
2
2 2
1 2
 
 
2.5.2 Líneas de corriente, trayectorias y líneas de emisión 
 
Líneas de corriente 
 
 Se denomina líneas de corriente a curvas tangentes al campo de 
velocidad en un instante determinado. Si dr es un vector tangente a una 
línea de corriente, será paralelo al campo de velocidad v. Ver Figura 2.5.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dr
v
{B,t}
O
 
 
Fig. 2.5.1 Campo de velocidad y líneas de corriente 
 
Como dr es paralelo a v: 
 
d xr v 0 (2.5-5) 
 
o, en términos de componentes: 
 
dx vi j ijk ke 0 (2.5-6) 
 
dx v dx v dx v dx v dx v dx v2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3e e e 0 
 
por lo tanto: 
 
dx v dx v2 3 3 2 (2.5-7a) 
 
dx v dx v3 1 1 3 (2.5-7b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
dx v dx v1 2 2 1 (2.5-7c) 
 
Estas ecuaciones pueden ser combinadas para obtener la expresión que 
representa las líneas de corriente: 
 
dx
v
= constante , (sinsuma en i)i
i
 (2.5-8) 
 
 
Ejemplo 2.5.2 
 
 Determinar las líneas de corriente para la función deformación del ejemplo 2.2.1. 
 
Solución 
 
Del ejemplo anterior podemos escribir: 
dx
x t
dx
x t
dx1
1
2
2
3
1 1 2 0
 
 
Entonces: 
dx
x
t
t
dx
x
dx1
1
2
2
3
1 2
1
0, 
 
Integrando resulta: 
 
x Kx x
t t
1
1
2
1 2
3
( ) ( )
, constante 
donde K es una constante. Las figuras muestran las líneas de corriente para t=0 y t=1 [s] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
 B K=1
 C K=2
 D K=3
 E K=4
 F K=5
X
2
X
1
 
0 2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
6
7
8
 B K=1
 C K=2
 D K=3
 E K=4
 F K=5
x
2
x
1
 
Líneas de corriente para t=0, Líneas de corriente para t=1 
 x Kx2 1 x Kx2
3
1
2
 
 
 
Trayectorias 
 
 Se denomina trayectorias a las curvas descritas por las partículas 
durante su movimiento. En la sección 2.2 mostramos que la ecuación de las 
trayectoria es la propia función deformación usando R como parámetro: 
 
r r R, t (2.5-9) 
 
Líneas de emisión 
 
 Se denomina líneas de emisión aquellas curvas que, para un tiempo 
determinado t, unen todas las partículas que han pasado por un punto 
determinado en algún tiempo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
Las partículas que se enuentran en el punto para distintos tiempos 
quedan expresadas por ),( R . El tensor gradientes de la defomación 
para está transformación será: 
),( RF . Por otra parte esta partícula esta en el tiempo t en la posición ,tal 
que tB su función deformación. 
 
p
dR
dr
d
p
p
t,RF
t,Rrr
t,F
t,rr
,R
,R
,RF
B
tB,
0
B
R
 
sea: ),( trr 
 tt ),,(Rrr 
Los gradientes de la deformación están relacionadas por 
 ),(),(),( RFFRF ott 
 ),(),(),( RFRFF ott 
 
Para 
33
2
21
2
11
x
t21x
t1x
X
X
X
)(
)(
 
T
21
21T B
100
0
21
1
0
00
1
1
100
0t210
00t1
BtF )()( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
322
21
11
T ee
21
t21
e
1
t1
tRrB
100
0
21
t21
0
00
1
1
BtF )),,((),( 
 
322
21
11 ee
21
tc21
e
1
tc1
tRrr )),,(( 
y las líneas de emisión corresponden a las curvas con t=constante : 
 
r r R( ), t t c 
 
Ejemplo 2.5.3 
 
 Determinar las líneas de emisión que pasan por el punto de coordenadas 
1 2 34 7 1, , en los tiempos tc=0.01, 0.1, 1,2,3,4 y 5 [s], para la función 
deformación del ejemplo 2.2.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
0
2
4
6
8
10
 B t=0.01
 D t=0.1
 F t=0.5
 H t=1
 J t=2
 L t=3
 N t=4
 P t=5
x
2
x
1
 
Líneas de emisión que pasan por el punto de coordenadas 
 1 2 34 7 1, , para tc=0.01, 0.1, 0.05, 1, 2, 3, 4 y 5[s]. 
 
 
Solución 
 
La función deformación es: 
 
R e e e1
1 1 2 2 3
1
2
1 2
 
 
entonces las líneas de emisión serán: 
 
x
t
x
t
x1 1 2 2
1 2
3
1
1
1 2
1 2
1, , , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y, para tc=5 [s] , con 1 24 7, se tiene: 
 
x x x1 2
1 2
34
6
1
7
11
1 2
1, , 
 
La figura muestra las líneas de emisión calculadas. 
 
2.5.3 Gradiente de velocidad 
 
 Consideremos dos partículas vecinas p y q en un cuerpo B cuyas 
posiciones en la configuración actual Bt son r r ry + d respectivamente, y 
supongamos que el movimiento del cuerpo puede ser representado por la 
función deformación r r R= ( , )t . Ver Figura 2.5.2. 
 
p
q
dv
v+dv
r+dr
r
O
{B,t}
dv
v
dr
 
 
Fig. 2.5.2 Velocidad para dos partículas vecinas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
Si la velocidad de la partícula p en la configuración actual es v v r= ( , )t , la 
velocidad de la partícula vecina q puede ser aproximada por: 
 
v r r v r
v r
r
r( + d ) = ( , t) +
( , t)
d (2.5-10) 
 
De la Figura 2.5.2 podemos observar que v r r v r v( d t t d, ) ( , ) , y por lo 
tanto: 
 
d = dv
v
r
r (2.5-11) 
 
El tensor v r , que permite una aproximación lineal para la velocidad en 
un punto cuando se conoce la velocidad en un punto vecino, recibe el 
nombre de tensor gradiente de la velocidad y se lo denota por L(r,t). 
Entonces: 
 
L
v
r
v e e= = =
v i
x j
i j (2.5-12) 
 
o, en forma matricial: 
 
L B B= T
v
x
v
x
v
x
v
x
v
x
v
x
v
x
v
x
v
x
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
3
3
 (2.5-13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituyendo la ecuación (2.5-12) en la expresión (2.5-10) y (2.5-11) se 
obtiene: 
 
v r r v r L r rd t t t d, , , (2.5-14) 
 
d t dv L r r, (2.5-15) 
 
 Para obtener la relación entre F y L, se debe tomar la derivada 
material de la ecuación (2.5-5), recordando que R 0= : 
 
dr F Rd 
 
Invirtiendo (2.5-5) y reemplazando dR en esta ecuación resulta: 
 
dv F F r= d1 
 
Comparando esta expresión con (2.5-15) concluimos que: 
 
L F F= 1 (2.5-16) 
 
 
2.5.4 Velocidad de dilatación o expansión 
 
 En la sección anterior demostramos que la dilatación queda 
representada por J, el jacobiano de la transformación de coordenadas 
materiales y espaciales: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
J tR F, det (2.5-17) 
 
La velocidad de dilatación J se obtiene tomando la derivada material de esta 
expresión: 
 
detJ =
D
Dt
= (det )tr
= (det )tr
F
F F F
F L
1 
 
Es fácil demostrar que trL v, por lo tanto: 
 
)J = J( v (2.5-18) 
 
 De esta expresión se deduce que trL v, o , mide la velocidad de 
dilatación por unidad de dilatación. La ecuación da sentido físico a la 
divergencia del campo de velocidad. 
 
 En términos de trL se puede definir un tensor isotrópico 
denominado tensor velocidad de expansión: 
 
L L IE =
1
3
tr (2.5.19) 
 
 
2.5.5 Velocidad de rotación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Consideremos un cuerpo B con dos partículas vecinas p y q. Hemos 
visto en la sección 2.4.5 que una rotación queda expresada por la 
deformación rígida: 
 
d t dr Q R( ) 
 
En el caso actual cada partícula tendrá una rotación diferentepor lo que 
podemos escribir localmente: 
 
d t dr Q r R( , ) 
 
Para obtener la velocidad de rotación, tomemos la derivada material de esta 
expresión para obtener: 
 
d t t dT( , ) ( , )r Q r Q r r= (2.5-20) 
 
Si definimos el tensor velocidad de rotación W(t) en la forma: 
 
W r Q r Q r( , t) = ( , ) ( , )t tT (2.5-21) 
 
podemos escribir (2.5.20) como: 
 
d t dv W r r= ( , ) (2.5-22) 
 
y, por lo tanto, si la velocidad de la partícula p en la configuración actual Bt 
es v(r,t), la velocidad de la partícula vecina q será: 
 
v r r v r W r( , ) ( , ) ( , )d t t t dr (2.5-23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 Se puede demostrar fácilmente que el tensor velocidad de rotación es 
antisimétrico. Por esta razón está asociado a un vector axial (r,t), la 
velocidad angular de rotación de la partícula p, tal que: 
 
W 0 W r ry d xd (2.5-24) 
 
En términos del vector ( , )r t , las ecuaciones (2.5-22) y (2.5-23) se pueden 
escribir como: 
 
d t xdv r r= ( , ) (2.5-25) 
 
v r r v r r( , ) ( , ) ( , )d t t t xdr (2.5-26) 
 
 Comparando las ecuaciones (2.5-14) y (2.5-22) podemos concluir 
que, para un movimiento de rotación se tiene: 
 
L r W r, ,t t (2.5.27) 
 
2.5.6 Velocidad de estiramiento 
 
 Consideremos un movimiento representado por la función 
deformación r r R( , )t , el gradiente de la deformación F R( , )t y el 
gradiente de la velocidad L r( , )t . Como cualquier otro tensor, L puede ser 
descompuesto en sus partes simétricas y anti-simétricas: 
 
L L L L L=
1
2
T T1
2
 (2.5.28) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como esta descomposición es única, las ecuaciones (2.5.27) y (2.5-28) 
muestran que la parte antisimétrica de L tiene que ser W. La parte simétrica 
será denotada por D, entonces: 
 
W L L=
1
2
T (2.5-29a) 
D L L=
1
2
T (2.5-29b) 
 
y la ecuación (2.5.28) se puede escribir en la forma: 
 
L D W (2.5-30) 
 
De esta expresión y de la ecuación (2.5-14) resulta: 
 
v r r v r D r r W r r( , ) ( , ) ( , ) ( , )d t t t d t d (2.5-31) 
 
y por lo tanto: 
 
d d dv D r W r 
 
 Podemos concluir que en la vecindad de un punto de velocidad 
v(r,t), el campo de velocidad v r r( , )d t está dado por la suma del campo 
de velocidad v(r,t), un campo de velocidad rígido local W rd y un campo 
de velocidad D rd . Como W representa una velocidad de rotación, D debe 
ser interpretado como una velocidad de estiramiento. La comprobación de 
esto se puede hacer fácilmente partiendo de la descomposición polar del 
tensor gradiente de la deformación relativo Ft ( ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
F Q Ut t t( ) ( ) ( ) 
 
Tomando la derivada material de esta expresión para t 
 
F Q U Q Ut t t t tt = t t tt 
 
y como Q U It tt t( ) ( ) , resulta: 
 
F U Qt t tt = t t (2.5-32) 
 
El primer término de esta expresión es: 
 
( ) ( )F Ft t=
D
D
t
t 
 
y como F F F( ) ( ) ( )t t , reemplazando en la expresión anterior resulta: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
F F F
F F
F F L
t =
D
D
=
D
D
= =
t
t
t t
t
t t
1
1
1
 (2.5-33) 
 
Por otra parte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )U Ut t=
D
D
t
t
 (2.5-34) 
 
Como U es simétrico, también lo es su derivada. 
 
Ahora: 
 
( ) ( )Q Qt t=
D
D
t
t
 (2.5-35) 
 
Como el tensor Qt( ) es ortogonal, se cumple: 
 
Q Q
Q Q Q Q
Q Q
t t
T
t t
T
t t
T
t
T
t
= 0
t = 0
= -
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
t t t
t t
 (2.5-36) 
 
Volviendo a la ecuación (2.5-32), y tomando en cuenta la ecuación (2.5-33) 
podemos especificar: 
 
ttt t= QU (2.5-37) 
 simétrico antisimétrico 
 
de donde concluimos que: 
 
D U W Q= =( ) ( )t tt y t (2.5-38) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
Como U Qt t( ) ( ) y representan el estiramiento y la rotación, sus derivadas 
cuantifican la velocidad de estiramiento y la velocidad de rotación 
respectivamente. 
 
 Finalmente, como L v , los tensores velocidad de estiramiento y 
velocidad de rotación serán: 
 
D v v
W v v
=
1
2
+
=
1
2
-
T
T
 (2.5-39) 
 
 Para obtener la interpretación física del tensor velocidad de 
estiramiento D, consideremos dos partículas vecinas p y q, cuyas posiciones 
en la configuración de referencia B son R R R y d y en la configuración 
actual Bt son r r r y d respectivamente. Como antes, llamemos ds la 
magnitud del vector dr. Estudiemos como cambia la magnitud ds a medida 
que transcurre el movimiento. La velocidad de cambio de ds, por unidad de 
ds, debiera dar una buena medida de la velocidad de deformación unitaria o 
velocidad de estiramiento que se produce. Esta magnitud la denotaremos por 
D. Entonces: 
 
D =
1
ds
D
Dt
ds 
 
=
D
Dt
ln( )ds 
 
=
D
Dt
ln ( )ds 2
1 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
D
Dt
1
2
2ln( )ds 
 
1
2
1
2
2
ds
D
Dt
ds 
 
Como ds d d d dT2
r r R F F R , substituyendo en la ecuación 
anterior resulta: 
 
D =
1
2
D
Dt
d
=
1
2
d
T
T T
1
1
2
2
ds
d
ds
d
R F F R
R F F F F R
 
 
Invirtiendo dr=F dR e introduciéndolo en la última expresión ecuación 
 
D =
1
2
d
 =
1
2
d
=
1
2
d
ds
-T T T -1
-T T
1
1
2
2
1
1 1
ds
d
ds
d
d
ds
T
r F F F F F F r
r F F F F r
r
F F F F r
 
 
Substituyendo la ecuación (2.5-16) en la última expresión, y recordando que 
d dsr e , se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
D =
1
2
e L L eT (2.5-40) 
 
D e D e (2.5-41) 
 
Podemos concluir que las componentes del tensor velocidad de estiramiento 
en la dirección e mide la velocidad de deformación unitaria en la dirección 
e. 
 
 El tensor velocidad de estiramiento D es simétrico y, por lo tanto, se 
puede escribir en forma diagonal en términos de sus valores y vectores 
característicos: 
 
D u u u
u
u
u
=
D 0 0
0 D 0
0 0 D
1
1
2
3
1
, ,2 3 2
3
 (2.5-42) 
 
 Los valores característicos Di reciben el nombre de velocidades de 
estiramiento principales y los vectores característicos ui se denominan 
direcciones principales de la velocidad de estiramiento y representan el 
máximo y mínimo de las velocidad de estiramiento. 
 
 Los invariantes de D son: 
 
D tr D D D
D tr tr D D D D D D
D D D D D
I
II
III
D
D D
1 2 3
2 2
1 2 2 3 3 1
1 2 3
1 2
det
 (2-5-43) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es fácil demostrar que: 
 
tr trL D v (2.5-44) 
 
y, por lo tanto, el primer invariante de D mide la velocidad de expansión. La 
ecuación (2.5-19) puede ser escrita ahora en la forma: 
 
L D D I v IE E tr1 3 1 3 (2.5-45) 
 
 Hemos visto que el tensor velocidad de estiramiento mide la velocidad 
de deformación unitaria en una determinada dirección. Si a este tensor le 
restamos el tensor velocidad de expansión, dado por la ecuación (2.5-45), 
obtenemos un movimiento que recibe el nombre de velocidad de cizalle, y 
que se lo designa por DS: 
 
D D DS E (2.5-46) 
 
Podemos concluir que la velocidad de deformación unitaria, o velocidad de 
estiramiento, puede ser separada en dos movimientos, la velocidad de 
expansión y la velocidad de cizalle: 
 
 D = DE + DS 
 
 D = (1/3)(trD)I + {D-(1/3)(trD)I} 
 
(Velocidad de estiramiento)=(velocidad de expansión)+(velocidad de 
cizalle) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
2.5.7 Vorticidad 
 
 El tensor velocidad de rotación W(r,t) corresponde a un movimiento 
rígido local del cuerpo, esto es, a un movimiento que tiene las características 
de un movimiento rígido pero que cambia punto a punto en el cuerpo 
constituyendo un campo. 
 
 Un conjunto de vectores e pertenecen al eje de rotación de W si 
cumplen la siguiente relación: 
 
W e = 0 (2.5-47) 
 
La velocidad angular (r,t), definida según la expresión (2.5-32), pertenece 
al eje de rotación y, por lo tanto, las componentes de W estarán dadas por: 
 
W B B=
0
T
3 2
3 1
2 1
0
0
 (2.5-48) 
 
donde i son las componentes de . Por otra parte, usando las ecuaciones 
(2.5-31)podemos escribir: 
 
BBW
0xvxvxvxv
xvxv0xvxv
xvxvxvxv0
32233113
23322112
13311221
2
////
////
////
= 1 
 (2.5-49) 
 
y por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vBw x=
//
//
//
= T
2112
1331
3223
xvxv
xxxv
xvxv
 (2.5-50) 
 
 
El vector w = 2 = xv se denomina vorticidad. 
 
wv
2
1
2
1
== x 
 
Ejemplo 2.5.4 
 
 Para la función deformación del ejemplo 2.2.1, determinar el tipo de movimiento 
que sufre un cuerpo. 
 
Solución 
 
El tipo de movimiento queda caracterizado por las partes irreducibles del gradiente de la 
velocidad, la velocidad de expansión, la velocidad de cizalle y la velocidad de rotación: 
 
L v I D v I W
1
3
1
3
 
 
a) Velocidad de expansión: 
 
En el ejemplo 2.5.1 calculamos la velocidad v e e
x
t
x
t
1
1
2
2
1 1 2
, entonces 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
la velocidad de expansión será: v
1
1
1
1 2
2 3
1 1 2t t
t
t t
 
 
b)velocidad de Cizalle: 
 
F e e e e e e
F e e e e
F e e e e
t t t
t t
t t t
1 1 2
1 2
1 1 2
1 1
1 2
2 2 3 3
1 1
1 2
2 2
1 1
1 1
1 2
2 2
 
L F F e e e e1 1
1 1
1
2 21 1 2t t 
 
Como L es simétrico, L=D 
 
y la velocidad de cizalle será: 
D v I e e e e e e
1
3
1 3
3 1 1 2
1
3 1 1 2
2 3
3 1 1 2
1 1 2 2 3 3
t
t t t t
t
t t
 
 
c) velocidad de rotación 
 
No hay rotación ya que W=0 
 
Ejemplo 2.5.5 
 
 Dado el campo de velocidad v e e ex x x x x1
2
2 1 2 2 2 3
2
3 , determinar: 
a) La función deformación y el tensor gradiente de la deformación 
b) el tipo de movimiento sufrido en el punto r e e e3 31 2 3 . 
c) El vector vorticidad en el punto r e e e3 31 2 3 . 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Función deformación 
 
 Las ecuaciones de las componentes de la velocidad son: 
 
v
dx
dt
x x v
dx
dt
x v
dx
dt
x x1
1
1
2
2 2
2
2 3
3
2 3
2, , 
 
Integrando primero la segunda ecuación diferencial y luego las otras dos, con la condición 
inicial x Xi i( )0 , obtenemos: 
 
x
X
X X e
x X e x
X
X X et
t
t1
1
1 2
2 2 3
3
2 31 1 1 1
, , 
 
El tensor gradiente de la deformación es: 
 
F B BT
t
t
t
X X e
e
X X e
1 1 0 0
0 0
0 0 1 1
1 2
2
2 3
2
 
 
b) Descomposición irreducible de L 
 
 El gradiente de la velocidad se puede obtener directamente de las componentes de 
v: 
L v B BT
x x x
x x x
2 0
0 1 0
0 2
1 2 1
2
3
2
2 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
D L L B B
1
2
2 2 0
2 1 2
0 2 2
1 2 1
2
1
2
3
2
3
2
2 3
T
x x x
x x
x x x
 
 
D D I e e e e e eE tr x x x x
1
3
1 3 1 2 21 2 2 3 1 1 2 2 3 3 
 
D D D I e eS tr x x x x
1
3
4 3 2 3 1 31 2 2 3 1 1 
x x x x x1
2
1 2 2 3 1 22 1 3 1 2 2 e e 
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
1
2
1 2 2 3 2 1
3
2
1 2 2 3 2 3
3
2
1 2 2 3 3 2
2 3 1 2 3 3
2 1 3 1 2 2
2 1 3 1 2 2
2 1 3 1 2 2
4 3 2 3 1 3
e e
e e
e e
e e
 
 
W L L B B
1
2
0 2 0
2 0 2
0 2 0
1
2
1
2
3
2
3
2
T
x
x x
x
 
 
En el punto r e e e3 31 2 3 
 
L B B D B B W B BT T T
6 9 0
0 1 0
0 9 6
6 9 2 0
9 2 1 9 2
0 9 2 6
6 9 2 0
9 2 1 9 2
0 9 2 6
, , 
 
D e e e e e e D B BE S
13
3
5 3 9 2 0
9 2 10 3 9 2
0 9 2 5 3
1 1 2 2 3 3 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Vector vorticidad 
 
w B BT T
W
W
W
x
x
32
13
21
3
2
1
2
2
0
2
 
 
y, en el punto r e e e3 31 2 3 , tenemos: 
 
w e e
9
2
9
2
1 3 
 
 
2.6 TEOREMAS DE TRANSPORTE 
 
 En muchos problemas de mecánica debemos calcular la derivada con 
respecto al tiempo de una integral cuyos límites son, a su vez, funciones del 
tiempo. En matemática esto se lleva a cabo mediante el teorema de Leibnitz. 
Es conveniente desarrollar herramientas similares para los problemas que se 
encuentran en mecánica. Estas herramientas son los Teoremas de 
Transporte. Nos interesa saber como cambia respectivamente la longitud, el 
área y el volumen de líneas, superficies y volúmenes materiales al pasar de 
la configuración de referencia a cualquier otra configuración. La Figura 2.6-
1 muestra este cambio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
B Bt
 
 
Fig. 2.6-1 Línea, superficie y volumen material en la 
configuración actual y en la configuración de referencia. 
 
 Consideremos el movimiento r r R( , )t de un cuerpo B y 
denotemos por Pt la región regular ocupada por la parte P del cuerpo B en el 
espacio: 
 
P P tt ( , ) (2.6-1) 
 
 Una línea material Cm(t), una superficie material Sm(t) y un volumen 
material Vm(t), en que cm(t) es el largo de la línea material, serán definidos 
en la forma: 
 
Cm
c tm
(t) = dr
( )
 (2.6-2) 
 
S = dm ( )t
Pt
n S (2.6-3) 
 
V tm ( ) = dV
Pt
 (2.6-4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6.1 Teorema de Transporte para una línea material 
 
 Consideremos dos campos suaves, uno escalar (r,t) y uno vectorial 
a(r,t), que representan propiedades del cuerpo P B por unidad de longitud. 
Haciendo uso de la ecuación (2.4-12) podemos escribir: 
 
d
dt
d
d
dt
d
d d
c t c
c c
m
r F R
F R F R
( )
 
( . )
( )
( ) ( )
d d
d d
c t c
c t c t
m
m m
r F F F R
r L r
1
2 6 5
 
 
donde c es la línea material en la configuración de referencia. En forma 
similar, para una campo vectorial a(r,t) resulta: 
 
d
dt c t c t c tm m m
a r a r a L rd d d
( ) ( ) ( )
 (2.6-6) 
 
 
2.6.2 Teorema de Transporte para una superficie material 
 
 Consideremos los campos escalar (r,t) y vectorial c(r,t) que 
representan propiedades del cuerpo P B por unidad de área. Haciendo uso 
de la ecuación (2.4-26) se puede escribir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
d
dt
d
dt
J
P Pt
d = d-TS F S 
t
t
P
T
P
T
P
PPP
PPP
tr
tr
Jtr
JJtrJ
JJJ
SLIL
SLIL
SFLIL
SFLSLFSF
SFSFSF
d=
d=
d)(=
ddd=
ddd=
T-T-
T-T-T-T-
T-T-T-
 (2.6-7) 
 
En forma similar para un campo vectorial c r( , )t : 
 
d
dt
tr
P Pt t
c S c L c L c Sd = ) dT( (2.6-8) 
 
 
2.6.3 Teorema de Transporte para un volumen material: Teorema de 
Tranporte de Reynolds. 
 
 Consideremos campos escalares ( , )r t y vectoriales d r( , )t que 
representan propiedades del cuerpo P B por unidad de volumen. Haciendo 
uso de la ecuación (2.4.29) resulta: 
 
d
dt
dV
d
dt
JdV
J J dV
P P
P
t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v
v
JdV
dV
P
Pt
 (2.6-9) 
 
Substituyendo la derivada material en la ecuación (2.6-9) por la derivada 
espacial, de acuerdo a la ecuación (2.5-2), resulta: 
 
d
dt
dV =
Pt t
dV
t
dV
P
P
t
t
v v
v
 
 
Separando las integrales y usando el teorema de GGO, resulta: 
 
d
dt
dV =
Pt tt
dV d
PPt
v S (2.6-10) 
La ecuación (2.6.10) se denomina Teorema de Transporte de Reynolds. Este 
teorema muestra que la velocidad de cambio de en Pt es igual a la 
velocidad de cambio calculada como si la región Pt fuera fija, mas la 
velocidad a la cual es transportada por convección a través de la frontera 
fija Pt. 
 
 
2.6.4 Teorema General de Transporte para un volumen de control 
 
 En el análisis del Teorema de Transporte de Reynolds, el campo de 
v(r,t) corresponde a la velocidad de cada punto de la configuración del 
cuerpo y, por lo tanto, también a la velocidad con que se está moviendo la 
frontera Pt. Por esta razón no hay flujo convectivo a través de la frontera 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
del cuerpo. En muchas ocasiones es conveniente estudiar la velocidad de 
cambio de una propiedad en una cierta región del espacio R t , cuya frontera 
R t se mueve en forma arbitraria a velocidad w(r,t). Este tipo de volumen 
recibe el nombre de volumen de control. Es obvio que partículas del cuerpo 
atravesarán la frontera de este volumen de control durante el movimiento del 
cuerpo. Mediante una deducción similar a la realizada para el Teorema de 
Transporte sobre un cuerpo, se puede deducir un Teorema de Transporte 
para un volumen de control, el que recibe el nombre de Teorema General de 
Tranporte: 
 
d
dt
dV dV
R Rt t