Fluidos no newtonianos en flujo laminar en tuberia

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FLUIDOS NO NEWTONIANOS EN FLUJO LAMINAR EN TUBERÍA 
Éste es un caso importante desde el punto de vista práctico, 
además de que permite comparar el comportamiento de los 
fluidos no newtonianos con el perfil de velocidad parabólico que 
se obtiene en el caso de un fluido newtoniano. 
 
Un fluido no newtoniano de densidad y parámetros reológicos 
constantes se mueve en flujo laminar en la dirección z , en una 
tubería horizontal recta con sección transversal circular de radio 
R , sujeta a un gradiente de presión ( )/ /P z P L∂ ∂ = − Δ , donde 
PΔ es la diferencia de presión entre los extremos 0 LP P− .* 
En este documento, se consideran dos tipos de fluido no 
newtoniano: un plástico de Bingham (plástico ideal) y un fluido 
que se comporta de acuerdo al modelo de Ostwald – de Waele 
(ley de la potencia, adecuado para fluidos pseudoplásticos o 
dilatantes). La parte inicial del análisis en ambos casos, desde la 
simplificación de las ecuaciones de conservación hasta el perfil de 
esfuerzo, es la misma para ambos casos y se presenta primero. 
Suposiciones 
 Estado estable. 
 0rv = , θ 0v = . 
 zv varía en la dirección r pero no varía en θ o en z . 
 No se toman en cuenta los efectos a la entrada o salida de 
la tubería. 
 Fluido no newtoniano de propiedades constantes 
(densidad y parámetros reológicos). 
Simplificación de las ecuaciones de 
conservación y perfil de esfuerzo 
La ecuación de conservación de masa, en coordenadas cilíndricas, 
para un fluido de densidad constante es: 
 ( ) θ
θ
1 1 0z
r
v vrv
r r r z
∂ ∂∂ + + =
∂ ∂ ∂
 (1) 
Los dos primeros términos se cancelan porque rv y θv son cero. 
Lo que resta confirma la suposición de que zv no depende de z : 
 0zv
z
∂ =
∂
 (2) 
Luego, la ecuación de conservación de momentum, en 
coordenadas cilíndricas, componente z , para el caso general de 
cualquier tipo de fluido, es: 
 
* De forma más general, si la tubería es vertical o inclinada, el desarrollo es el 
mismo al utilizar la presión combinada P, definida tal que ρP∇ = ∇ − gP . 
 θρ ρ
θ
z z z z
r z
vv v v vv v
t r r z
∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ 
 
 ( ) θτ ττ ρ
θ
1 1 0z zz
rz z
Pr g
r r r z z
∂ ∂∂ ∂ + + + + − = ∂ ∂ ∂ ∂ 
 (3) 
La derivada respecto al tiempo es cero por ser estado estable, y 
todos los términos de advección se cancelan ya sea porque rv y 
θv son cero o porque zv no depende de z . 
De los términos del transporte viscoso, τrz es el único que no es 
cero. Representa la fuerza en la dirección z que se ejerce entre 
dos capas de fluido que están en contacto en una superficie cuya 
perpendicular es en la dirección r (es decir, la superficie lateral 
de una capa cilíndrica del fluido). 
Finalmente, el gradiente de presión /P z∂ ∂ está dado en el 
planteamiento (hay que sustituirlo en la ecuación) y como la 
tubería está horizontal 0zg = . 
Con estas simplificaciones, la ecuación de conservación de 
momentum se reduce a: 
 ( )τ1
0rz
d Pr
r dr L
Δ− = (4) 
donde la derivada ya no es parcial porque el perfil de velocidad (y 
por ende el esfuerzo cortante) sólo depende de r . La ecuación 
diferencial (4) se resuelve por separación de variables: 
 ( )τrz
Pd r rdr
L
Δ= 
 ( )τrz
Pd r rdr
L
Δ=  
donde /P LΔ se sacó de la integral por ser constante. 
Integrando: 
 τ 2
12rz
Pr r C
L
Δ= + (5) 
y dividiendo entre r , se llega a la solución general para el perfil 
de esfuerzo: 
 τ 1
2rz
CP r
L r
Δ= + (6) 
En este punto, es conveniente establecer y aplicar una de las 
condiciones de frontera, para determinar 1C . Por simetría, justo 
en el centro de la tubería, hay dos capas de fluido que se mueven 
con la misma velocidad, por lo que no se ejerce fuerza entre ellas. 
Por lo tanto, se puede establecer la primera condición de frontera: 
  τ 0rz = en 0r = (7) 
Sustituyendo la condición de frontera 1 en la ecuación (5), para 
evitar la división entre cero, se tiene: 
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 ( )( ) ( )2
10 0 0
2
P C
L
Δ= + 
donde se ve inmediatamente que 1 0C = . Al sustituir 1C en la 
ecuación (5) se llega al perfil de esfuerzo buscado: 
 τ
2rz
P r
L
Δ= (8) 
Este perfil de esfuerzo es lineal respecto a r , lo que significa que 
el esfuerzo va aumentando desde el centro hacia afuera, 
proporcionalmente a la distancia desde el eje, y siempre es un 
valor positivo. Es independiente del tipo de fluido, y será el punto 
de partida para los dos casos analizados en este documento. 
Componentes del esfuerzo y de la rapidez de 
deformación 
Un modelo reológico es una relación empírica entre el esfuerzo τ 
y la rapidez de deformación γ . Estas dos cantidades son tensores 
de segundo orden, por lo que tienen nueve componentes cada 
una. Para casos sencillos de flujo, muchas veces es posible 
identificar con relativa facilidad cuál de todos ellos es el 
componente de interés. En este caso, se tiene que: 
 τ τ rz→ γ zdv
dr
→ (9) 
Caso 1: plástico de Bingham 
El modelo reológico de Bingham está definido en dos partes: 
 
τ τ τ μ γ τ
τ τ γ
0 0 0
0
si 
si 0
> → = − ±
 ≤ → =


 (10) 
donde los parámetros del modelo son el esfuerzo de cedencia 
( τ0 ) y la viscosidad plástica ( μ0 ). En la primera ecuación se 
toma el signo positivo si τ 0> y el signo negativo si τ 0< . De la 
ecuación (8) se sabe que para este caso el esfuerzo siempre es 
positivo, por lo que se tomará el signo positivo. 
Empleando los componentes indicados en la ecuación (9), el 
modelo reológico de Bingham para este caso se vuelve: 
 
τ τ τ μ τ
τ τ
0 0 0
0
si 
si 0
z
rz rz
z
rz
dv
dr
dv
dr
 > → = − +

 ≤ → =

 (11) 
Ya que el modelo está definido en dos partes, es necesario 
analizar el perfil de velocidad también en dos partes. Se define 0r 
como el radio en el cual se alcanza el valor del esfuerzo de 
cedencia (es decir, τ τ0rz = ). De la ecuación (8), se obtiene: 
 
ττ 0
0 0 0
2
2
LP r r
L P
Δ= ⎯⎯→ =
Δ
 (12) 
Una observación adicional en este punto: si el valor de 0r es 
mayor que el radio de la tubería, el esfuerzo en el fluido nunca 
sobrepasa el esfuerzo de cedencia τ0 y por lo tanto el plástico de 
Bingham no se mueve en la tubería. De la ecuación (8) se obtiene 
pues la mínima diferencia de presión para que el fluido se mueva: 
 
( ) ( ) ττ 0
0
2
2
min minP LR P
L R
Δ
= ⎯⎯→ Δ = (13) 
Primero, se analiza la región externa ( 0r r> , donde τ τ0rz > ), así 
que se sustituye la primera parte de la ecuación (11) en la 
ecuación (8): 
 μ τ0 0 2
zdv P r
dr L
Δ− + = (14) 
se resuelve por separación de variables: 
 μ τ0 02
zdv P r
dr L
Δ− = − 
 
τ
μ μ
0
0 02
zdv P r
dr L
Δ= − + 
 
τ
μ μ
0
0 02z
Pdv r dr
L
 Δ= − + 
 
 
 
τ
μ μ
0
0 02z
Pdv rdr dr
L
Δ= − +   
 
τ
μ μ
2 0
2
0 04z
Pv r r C
L
Δ= − + + (15) 
Se plantea ahora la segunda condición de frontera: 
  0zv = en r R= (16) 
Sustituyendo en la solución general (15): 
 
τ
μ μ
2 0
2
0 0
0
4
RP C
L
RΔ= − + + 
de donde se despeja la constante 2C : 
 
τ
μ μ
2 0
2
0 04
PC R R
L
Δ= − (17) 
y se sustituye en la solución general (15): 
 
τ τ
μ μ μ μ
2 20 0
0 0 0 04 4z
P Pv r r R R
L L
Δ Δ= − + + − 
Al reacomodar, se obtiene el perfil de velocidad para la región: 
 ( ) ( )τ
μ μ
2 2 0
0 04z
Pv R r R r
L
Δ= − − − (18) 
Ahora, para la región interna ( 0r r< , donde τ τ0rz < ), la 
segunda parte de la ecuación (11), 0/zdv dr = , simplemente 
indica que la velocidad es constante. A esta región también se le 
denomina “de flujo tapón” (en inglés: plug flow) por moverse 
como si fuera un sólido. 
Para determinar la velocidad se mueve esta región, que se puede 
denominar 0v , se sustituye 0r de la ecuación (12) en el perfil de 
velocidad (18): 
 
μ
τ
μ
ττ2
2 0
0
0 0
0 02
4
2LPv R R
PL
L
P
 Δ     = − − −          Δ  Δ
 (19) 
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que, después de simplificar, se llega a: 
 
τ τ
μ μ μ
22
0 0
0
0 0 04
L RR Pv
L P
Δ=+ −
Δ
 (20) 
Finalmente, se puede plantear el perfil de velocidad completo para 
el plástico de Bingham fluyendo en la tubería: 
 
( ) ( )τ τ
μ μ
τ τ τ
μ μ μ
2 2 0 0
0 0
22
0 0 0
0 0 0
2
si 
4
2
si 
4
z
LP R r R r r
L P
v
L R LR P r
L P P
Δ − − − > Δ= 
Δ + − ≤ Δ Δ
 (21) 
Este perfil de velocidad se puede comparar con el perfil parabólico 
de un fluido laminar, como se observa en la Figura 1. Se aprecia 
la región central donde la velocidad es constante (también 
llamado flujo tapón). 
 
Figura 1. Comparación del perfil de velocidad de un 
plástico de Bingham y un fluido newtoniano. 
Caso 2: fluido de la potencia 
Para este caso, el modelo reológico es: 
 ( )τ γ γ1nK −= −   (22) 
donde los parámetros del modelo son el índice de consistencia 
de flujo (K ) y el índice de comportamiento de flujo (n ). Cuando 
1n < el modelo predice un comportamiento pseudoplástico, y 
cuando 1n > se predice un comportamiento dilatante. 
Sustituyendo en la ecuación (22) los componentes del esfuerzo y 
de la rapidez de deformación que corresponden a este caso: 
 τ
1n
z z
rz
dv dvK
dr dr
−
 = −  
 
 (23) 
La razón del signo de valor absoluto es porque se necesita un 
valor positivo para elevarlo al exponente 1n − , ya que n es un 
valor arbitrario, y no se puede elevar un valor negativo a un 
exponente no entero. 
Sin embargo, para poder resolver la ecuación diferencial que se 
va a obtener, se tiene que eliminar el signo de valor absoluto. Para 
poder hacer esto, hay que notar que la velocidad disminuye desde 
el centro (donde tiene el mayor valor) hacia la superficie de la 
tubería (donde es cero, por la condición de no deslizamiento. Por 
lo tanto, la derivada /zdv dr tiene un valor negativo. Ya que 
sacar el valor absoluto de un número negativo equivale a 
cambiarle el signo, para este caso se cumple que: 
 en este casoz zdv dv
dr dr
⎯⎯⎯⎯⎯→ − (24) 
Si /zdv dr fuera positivo, no habría necesidad de cambiarle el 
signo. Sustituyendo la relación (24) en la ecuación (23): 
 τ
1n
z z
rz
dv dvK
dr dr
−
   = − −   
   
 
Ahora, el signo negativo que está al principio se introduce en el 
segundo paréntesis: 
 τ
1n
z z
rz
dv dvK
dr dr
−
   = − −   
   
 
para poder aplicar la ley de los exponentes para la multiplicación, 
ya que la base es la misma, para tener el modelo reológico 
simplificado para este caso: 
 τ
n
z
rz
dvK
dr
 = − 
 
 (25) 
A continuación, se sustituye la ecuación (24) en la ecuación (8): 
 
2
n
zdv PK r
dr L
Δ − = 
 
 (26) 
y el índice de consistencia pasa dividiendo: 
 
2
n
zdv P r
dr KL
Δ − = 
 
 
Ésta es una ecuación diferencial no lineal, por estar la derivada 
elevada a un exponente diferente de 1. Afortunadamente, no 
representa mayor complicación para resolverse, pues se puede 
elevar ambos lados de la ecuación a la 1/ n y aplicar la propiedad 
de los exponentes ( )cb bca a= : 
 
1
1
2
n
nn
zdv P r
dr KL
  Δ   − =        
 
ya que 1/n n = : 
 
1
2
n
zdv P r
dr KL
Δ − =   
 (27) 
Ya que 2/P KLΔ es constante, conviene manejarlo por separado 
de la variable r y aplicar el exponente 1
n a cada factor: 
 
1
1
2
n
nzdv P r
dr KL
Δ − =  
 
 
que se puede escribir simplemente como: 
 
1
nzdv ar
dr
− = (28) 
-1
0
1
0 1
velocidad →
Bingham
newtoniano
r = 0
r = R
r = R
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donde la constante a es: 
 
1
2
nPa
KL
Δ =  
 
 (29) 
Se procede entonces a resolver la ecuación diferencial (28) por 
separación de variables: 
 
1
n
zdv ar dr= − 
 
1
n
zdv a r dr= −  (30) 
Para la integral del lado derecho, se usa la fórmula: 
 
1
1
m
m uu du C
m
+
= +
+ (31) 
Como el exponente m es 1/ n , conviene desarrollar 1m + 
primero como fracción: 
 
1 1 11 1 n nm
n n n
+ ++ = + = = (32) 
Así, el resultado de la ecuación (30), es la solución general: 
 
1
21
n
n
z
nv ar C
n
+
= − +
+
 (33) 
Se plantea ahora la segunda condición de frontera: 
  0zv = en r R= (34) 
Sustituyendo en la solución general (33): 
 
1
21
0
n
nRn a C
n
+
= − +
+
 
se obtiene la constante 2C : 
 
1
2 1
n
n
nC aR
n
+
=
+
 (35) 
que a su vez se sustituye en la solución general, ecuación (33): 
 
1 1
1 1
n n
n n
z
n nv ar aR
n n
+ +
= − +
+ +
 
Sacando factor común: 
 ( )1 1
1
n n
n n
z
nv a R r
n
+ +
= −
+
 (36) 
Finalmente, se sustituye de regreso la constante a para llegar al 
perfil de velocidad buscado: 
 ( )
1
1 1
1 2
n n n
n n
z
n Pv R r
n KL
+ +Δ = − +  
 (37) 
Este perfil de velocidad se puede comparar con el perfil parabólico 
de un fluido laminar, considerando los dos casos que cubre la ley 
de la potencia, fluido pseudoplástico ( 1n < ) o fluido dilatante 
( 1n > ), como se muestra en las Figuras 2 y 3. 
 
Figura 2. Comparación del perfil de velocidad de un 
fluido pseudoplástico ( 1n < ) y un fluido newtoniano. 
 
Figura 3. Comparación del perfil de velocidad de un 
fluido dilatante ( 1n > ) y un fluido newtoniano. 
Se puede apreciar en dichas figuras cómo el perfil de velocidad 
para un fluido pseudoplástico es “más chato” que el perfil 
parabólico del fluido newtoniano, incluso tiene un ligero parecido 
con el de un plástico de Bingham (comparar con la Figura 1), 
mientras que el perfil de velocidad para un fluido dilatante es más 
“puntiagudo” que para el fluido newtoniano. 
 
-1
0
1
0 1
velocidad →
pseudoplástico
newtoniano
r = 0
r = R
r = R
-1
0
1
0 1
velocidad →
dilatante
newtoniano
r = 0
r = R
r = R