Termofluidos_2019_IEMPMI_UTFSM_Sede_Conc

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Termofluidos 2019
IEMPMI UTFSM Sede Concepción
Héctor Ravanal Arriagada
ii
Índice general
1. Conceptos básicos de Hidrostática y algunas
aplicaciones 1
1.1. Densidad, volumen específico, peso específico
y gravedad específica . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1. Medición de la presión . . . . . . . . . 3
1.4. Fuerzas debido a fluidos estáticos . . . . . . . 4
1.4.1. Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2. Líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Flotabilidad y estabilidad . . . . . . . . . . . 6
1.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Ecuación de flujo 11
2.1. Principio de continuidad . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Principio de conservación de la energía . . . . 11
2.3. Ecuación general de flujo . . . . . . . . . . . 12
2.4. Ganancias de energía . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5. Remoción de energía . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Flujo en ductos 15
3.1. Pérdidas regulares . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. Número de Reynolds . . . . . . . . . . 15
3.1.2. Ecuación de Darcy . . . . . . . . . . . 15
3.2. Pérdidas singulares . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1. Expansión súbita . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2. Contracción súbita . . . . . . . . . . . 16
3.2.3. Expansión gradual . . . . . . . . . . . 16
3.2.4. Contracción gradual . . . . . . . . . . 17
3.2.5. Pérdida en la salida . . . . . . . . . . 18
3.2.6. Pérdida a la entrada . . . . . . . . . . 18
3.2.7. Válvulas y fittings . . . . . . . . . . . 18
3.3. Sistemas de tuberías . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1. Sistemas de tuberías en serie . . . . . 19
3.3.2. Sistema de tuberías en paralelo . . . . 20
3.4. Selección de bombas . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.1. Bombas centrífugas . . . . . . . . . . . 21
4. Fuerzas debido a fluidos en movimiento 25
4.1. Impulso y momentum . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Fuerzas en codos . . . . . . . . . . . . . . . . 25
A. Propiedades de las sustancias 29
B. Tablas y DDiagramas 31
B.1. Diagrama de Moody . . . . . . . . . . . . . . 31
C. Factores de conversión 33
D. Propiedades de áreas 37
iii
iv ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Conceptos básicos de
Hidrostática y
algunas aplicaciones
1.1. Densidad, volumen específico,
peso específico y gravedad
específica
Densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen
de una sustancia. Se denota la densidad con la letra griega
ρ (rho), y se puede expresar como:
ρ =
m
V
(1.1)
Donde V es el volumen de la sustancia que tiene una masa
m. Las unidades de la densidad son kilogramos por metro
cúbico [kg/m3], en el SI, y slug por pie cúbico [slug/pie3]
en el Sistema Tradicional de Estados Unidos.
El volumen específico v se define como el inverso de la
densidad, o sea:
v =
1
ρ
(1.2)
El peso específico es la cantidad de peso por unidad de
volumen de una sustancia. Se denota la densidad con la letra
griega γ (gama), y se puede expresar como:
γ =
w
V
(1.3)
Donde V es el volumen de la sustancia que tiene un peso
w. Las unidades de la peso específico son Newton por metro
cúbico [N/m3], en el SI, y libra por pie cúbico [lb/pie3] en
el Sistema Tradicional de Estados Unidos.
A veces el peso específico o la densidad de un fluido se
expresan en términos de su relación con el peso específico o
la densidad de un fluido de referencia. A esta relación se le
llama gravedad específica (s.g.). El fluido de referencia usado
universalmente es el agua pura a 4◦C (39.2◦F). El agua
tiene su mayor densidad precisamente a esa temperatura.
Entonces, la gravedad específica se puede definir de dos
maneras:
s.g. =
γsustancia
γagua@4◦C
=
ρsustancia
ρagua@4◦C
(1.4)
Las propiedades del agua a 4◦C son constantes, y tienen
los valores
ρagua = 1000.0[kg/m3] y γagua = 9.81[kN/m3] (SI)
ρagua = 1.94[slug/pie3] y γagua = 62.4[lbf/pie3] (USCS)
El peso específico se relaciona con la densidad y la
aceleración de gravedad g a través de la siguiente ecuación:
γ = ρg (1.5)
1.2. Viscosidad
La Figura 1.1 muestra el concepto de cambio de
velocidad en un fluido confinado entre dos superficies, una
de las cuales es estacionaría, en tanto que la otra está en
movimiento. Cuando un fluido real está en contacto con
una superficie, el fluido tiene misma velocidad que ésta.
Entonces, la parte del fluido en contacto con la superficie
inferior tiene una velocidad igual a cero, y aquélla en
contacto con la superficie superior tiene una velocidad v.
Si la distancia entre las dos superficies es pequeña, entonces
la tasa de cambio de la velocidad con posición v varía en
forma lineal. El gradiente de velocidad en el eje y se puede
expresar como ∆v/∆y:
Figura 1.1: Gradiente de velocidad de un fluido en movimiento.
El esfuerzo cortante en el fluido es directamente
proporcional al gradiente de velocidad en la capa de fluido.
Esto puede expresarse como:
τ = η
∆v
∆y
(1.6)
Donde η (eta) se denomina viscosidad dinámica del fluido.
También se le conoce como viscosidad absoluta. Las
1
2 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE HIDROSTÁTICA Y ALGUNAS APLICACIONES
unidades más comúnmente usadas pueden verse en la
Tabla 1.1.
También existe la viscosidad cinemática µ que se define
como:
µ =
η
ρ
(1.7)
Tabla 1.1: Unidades de viscosidad dinámica.
Sistemas de Unidades Unidades para η Unidades para µ
SI Ns/m2, Pa · s, kg/(m · s) m2/s
USCS lb · s/pie2, slug/(pie · s) pie2/s
A cualquier fluido que se comporte de acuerdo con la
Ecuación 1.6 se le llama fluido newtoniano. La viscosidad
sólo es función de la condición del fluido, en particular de
su temperatura. La magnitud del gradiente de velocidad
∆v/∆y no tiene ningún efecto sobre la magnitud η. A
los fluidos más comunes como el agua, aceite, gasolina,
alcohol, keroseno, benceno y glicerina, se les clasifican como
newtonianos.
1.3. Presión
La presión p se define como la cantidad de fuerza F que
se ejerce perpendicularmente sobre una unidad de área A de
una sustancia, o sobre una superficie. Se enuncia por medio
de la Ecuación 1.8, conocida como Ley de Pascal:
p =
F
A
(1.8)
Su unidad en el Sistema Internacional de Medidas SI
es el Pascal (Pa), aunque suele usarse con más frecuencia
el kilopascal (kPa). En el Sistema Tradicional de EEUU
(USCS), la unidad de uso común es el Pound per Square
Inches (psi).
◦ 1.0[kPa] = 1.0[kN/m2]
◦ 1.0[psi] = 1.0[lb/pulg2]
◦ 1[psi] = 6.895[kPa]
En un fluido confinado entre superficies, la presión actúa
de manera perpendicular a las paredes que lo contienen. En
la Figura 1.2 se muestran algunos ejemplos de como actúa
la presión de un fluido sobre las paredes del contenedor, y
en el Ejemplo 1.1 una aplicación.
La presión que se mide en relación con un vacío perfecto
se denomina presión absoluta. La presión que se mide
con respecto a la presión atmosférica se denomina presión
manométrica. Estas dos formas de medir la presión se
relacionan de la forma siguiente:
pabs = patm + pman (1.9)
Donde:
◦ pabs= presión absoluta
◦ patm= presión atmosférica
◦ pman= presión manométrica
Al nivel del mar, la presión atmosférica estándar es de
101.3[kPa](abs) o 14.69[psia].
Figura 1.2: Dirección de la presión.
Se sabe por experiencia que conforme se sumerge en un
fluido, la presión se incrementa. Es importante saber cómo
varía la presión con un cambio en la profundidad o elevación.
La elevación se refiere a la distancia vertical entre un nivel
de referencia y un punto de interés que se denotará como z.
Así, el cambio de presión debido a un cambio en la
elevación se puede expresar como:
∆p = γh (1.10)
Donde:
◦ ∆p= cambio en la presión.
◦ γ=peso específico del líquido.
◦ h=cambio en la elevación.
La Ecuación 1.10 tiene asociada las siguientes
implicaciones:
◦ La ecuación sólo es válida para un líquido homogéneo
en reposo.
◦ Los puntos en el mismo nivel horizontal tienen la
misma presión.
1.3. PRESIÓN 3
◦ Una disminución de la elevación ocasiona un
incremento de la presión.
◦ Un incrementoen la elevación provoca una
disminución de la presión.
Debido al bajo peso específico de los gases, para producir
un cambio significativo en la presión de un gas se requiere
un cambio grande en la elevación. En este apunte se supone
que la presión de un gas es uniforme, a menos que se
especifique otra cosa.
El cambio en la presión sólo depende del cambio en la
elevación y el tipo de fluido, no del tamaño del contenedor
del fluido. Por tanto, todos los contenedores mostrados en
la Figura 1.3 tendrían la misma presión en su fondo,
Figura 1.3: Presión para distintos contenedores.
1.3.1. Medición de la presión
Manómetros
Los manómetros son ampliamente usados en ambientes
industriales, que se usan para medir la presión manométrica
de un fluido. Estos instrumentos emplean la relación entre un
cambio de presión y el cambio en la elevación de un fluido
estático (∆p = γh). El tipo más simple de manómetro es
el de tubo en U (ver Figura 1.4). Un extremo del tubo está
conectado a la presión que va a medirse, y el otro está abierto
a la atmósfera. El tubo contiene un líquido llamado fluido
manométrico.
Para determinar la presión registrada en cada
manómetro del tipo mostrado en la Figura 1.4 es necesario
plantear la ecuación del manómetro. Se puede proceder
como se indica a continuación:
1. Comenzar por uno de los extremos del manómetro y
expresar la presión en forma simbólica si no se conoce.
Cuando uno de los extremos del manómetro está abierto,
la presión corresponde a la atmosférica en el lugar.
2. Comenzar a sumar términos que representan los cambios
de presión conforme se avanza por los distintos puntos del
manómetro. Estos cambios de presión se calculan como
∆p = γ · h para cada columna de fluido por separado.
3. Cuando se avanza desde un punto hacia otros desde abajo
hacia arriba en la vertical, el ∆p es negativo. Si es en el
sentido opuesto ∆p es positivo.
4. Hacer esto último para cada columna de fluido del
manómetro hasta llegar al otro extremo de éste. Igualar
esta suma de términos con la presión en el punto final del
manómetro.
5. Despejar la presión requerida de la ecuación y reemplazar
los valores conocidos.
En el Ejemplo 1.2 se puede ver una aplicación de éste
método.
Barómetro
El barómetro es un dispositivo para medir la presión
atmosférica. En la Figura 1.5 se muestra un tipo sencillo.
Consiste en un tubo largo cerrado en uno de sus extremos
y se llena al inicio con mercurio. Después, se sumerge
el extremo abierto bajo la superficie del mercurio que se
encuentra en un contenedor y se permite que alcance el
equilibrio. En el extremo superior del tubo se produce un
vacío casi perfecto, que contiene vapor de mercurio a una
presión casi cero. Si se comienza en este punto y se escribe
una ecuación similar a la de los manómetros, se tiene:
0 + γmercurioh = patm
Reordenando queda que:
patm = γmercurioh (1.11)
Figura 1.4: Esquema de un manómetro en U .
4 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE HIDROSTÁTICA Y ALGUNAS APLICACIONES
Figura 1.5: Esquema de un barómetro.
1.4. Fuerzas debido a fluidos
estáticos
1.4.1. Gases
La distribución de la presión dentro de un gas es casi
uniforme. Por tanto, es posible calcular la fuerza sobre
cualquier superficie utilizando la ecuación F = pA.
1.4.2. Líquidos
Para la determinación de la fuerza ejercida por un líquido
sobre una superficie sumergida en éste se analizan distintos
casos.
Superficies planas horizontales
En una superficie plana sumergida en un líquido, la
presión del agua es uniforme en toda el área porque la
profundidad a la que se encuentra la superficie es la misma
en todos sus puntos. Por lo tanto, para calcular la fuerza en
el fondo se utiliza la ecuación F = pA.
Superficies planas sumergidas, caso general
La fuerza real se distribuye sobre toda una superficie
sumergida, pero para el propósitos de análisis es deseable
determinar la fuerza resultante y el lugar en que actúa, el
cual se denomina centro de presión. Es decir, si toda la fuerza
se concentrara en un solo punto ¿dónde estaría éste y cuál
sería la magnitud de la fuerza?
La Figura 1.6 muestra la distribución de la presión sobre
el muro vertical de contención. Las longitudes de las flechas
punteadas representan la magnitud de la presión del fluido
en puntos diferentes sobre el muro. Debido a que la presión
varía en forma lineal, la fuerza resultante FR total se calcula
por medio de la ecuación:
FR = ppromA (1.12)
Donde pprom corresponde a la presión promedio sobre el
muro y A el área total del muro. Pero pprom corresponde a
la presión a mitad de la profundidad h. Entonces
pprom = γ
h
2
(1.13)
Quedando finalmente que
FR = γ
h
2
A (1.14)
Figura 1.6: Fuerza sobre una pared vertical.
El punto de aplicación de la fuerza corresponde a h/3
medida desde el fondo del embalse, también denominado
centro de presión.
Entonces, si la fuerza resultante FR se aplica a una
profundidad que está a h/3 del fondo, se produce el mismos
efecto que toda la fuerza distribuida sobre la pared debido
a la presión.
Procedimiento para calcular la fuerza resultante
sobre una superficie plana sumergida
El procedimiento para calcular la fuerza resultante
sobre cualquier superficie plana sumergida se detalla a
continuación con la ayuda de la Figura 1.7.
1.4. FUERZAS DEBIDO A FLUIDOS ESTÁTICOS 5
Figura 1.7: Pared sumergida inclinada.
1. Identificar el punto en que el ángulo de inclinación del
área de interés intercepta el nivel de la superficie libre
del fluido. Esto tal vez requiera que se extienda de la
superficie inclinada o la línea de la superficie del fluido.
Se denominará punto S.
2. Localice el centroide del área, a partir de su geometría.
3. Determine hc como la distancia vertical entre el nivel de
la superficie libre y el centroide del área.
4. Determine Lc como la distancia inclinado del nivel de la
superficie libre al centroide del área. Ésta es la distancia
S al centroide. hc y Lc están relacionadas por la ecuación
hc = Lcsenθ (1.15)
5. Calcule el área total A sobre la que va a determinarse la
fuerza.
6. Calcule la fuerza resultante por medio de la ecuación
FR = γhcA (1.16)
7. Calcule Ic, el momento de inercia del área respecto de su
eje centroidal.
8. Calcule la ubicación del centro de presión con la ecuación
siguiente:
Lp = Lc +
Ic
LcA
(1.17)
9. Dibuje la fuerza resultante FR que actúa en el centro de
presión en forma perpendicular al área.
10. Si desea calcular la profundidad vertical al centro de
presión hp puede usar la ecuación:
hp = Lpsenθ (1.18)
En forma alternativa, se puede calcular hp directamente
con la ecuación:
hp = hc +
Icsen2θ
hcA
(1.19)
En el Ejemplo 1.3 se desarrolla este método paso a paso.
Superficies curvas sumergidas
Procedimiento para calcular la fuerza sobre una
superficie curva sumergida
Para el caso de superficies curvas sumergidas, la fuerza
resultante sobre ésta, por simplicidad del cálculo, se
puede descomponer en dos componentes, una horizontal
y otra vertical. El procedimiento para el cálculo de estas
componentes se detalla a continuación, con la ayuda de la
Figura 1.8.
Figura 1.8: Fuerza sobre una superficie curva sumergida.
1. Aislar el volumen del fuido arriba de la superficie.
2. Calcular el peso del volumen aislado.
6 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE HIDROSTÁTICA Y ALGUNAS APLICACIONES
3. La magnitud de la componente vertical de la fuerza
resultante FV es igual al peso del volumen aislado. Ésta
actúa cn la línea del centroide de dicho volumen.
4. Dibujar una proyección de la superficie curva sobre un
plano vertical y determinar su altura, denotada como s.
5. Calcular la profundidad al centroide del área proyectada
por medio de
hc = h + s/2 (1.20)
donde h es la profundidad a la parte superior del área
proyectada.
6. Calcular la magnitud de la componente horizontal de la
fuerza resultante por medio de
FH = γsw(h + s/2) = γswhc (1.21)
donde w corresponde a la dimensión perpendicular a la
figura.
7. Calcular la profundidad a la línea de acción de la
componente horizontal por medio de
hp = hc + s2/(12hc)(1.22)
8. Calcular la fuerza resultante por medio de
FR =
√
F 2
V + F 2
H (1.23)
9. Calcular el ángulo de inclinación de la fuerza resultante
en relación con la horizontal por medio de
φ = tan−1(FV /FH) (1.24)
10. Mostrar la fuerza resultante que actúa sobre la superficie
curva, en una dirección tal que su línea de acción pase a
través del centro de curvatura de la superficie.
En el Ejemplo 1.4 se desarrolla este método paso a paso.
Fuerza sobre una superficie curva con fluido debajo
de ella
En el caso de la superficie curva, del estanque de la
Figura 1.9(a), la presión del fluido en la superficie provoca
fuerzas que tienden a empujarla hacia arriba y a la derecha.
Entonces, la superficie y sus conexiones tendrían que ejercer
fuerzas de reacción hacia abajo y a la izquierda, sobre el
fluido contenido.
(a)
(b)
Figura 1.9: Fuerza sobre una superficie curva sobre el fluido.
La fuerza vertical sobre la superficie curva FV ,
equivalente a aquélla en la que la superficie soportara un
volumen de líquido por arriba de ella, como puede verse en
la Figura 1.9(b), excepto por la dirección de los vectores de
fuerza.
La componente horizontal de la fuerza FH que ejerce
el fluido sobre la superficie curva , es la fuerza sobre la
proyección de dicha superficie en un plano vertical, igual
que cuando el líquido está sobre la superficie.
1.5. Flotabilidad y estabilidad
El principio de flotabilidad (principio de Arquímides)
establece que cualquier cuerpo que flote o esté sometido en
un fluido experimenta una fuerza vertical hacia arriba. La
magnitud de la fuerza está dada por la ecuación .
Fb = γf Vdesp (1.25)
1.5. FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD 7
donde
◦ Fb= fuerza de flotación.
◦ γf = peso específico del fluido.
◦ Vdesp= volumen desplazado.
El volumen desplazado corresponde al volumen del
cuerpo bajo el nivel del fluido.
Como la densidad de los gases es muy baja comparada
con la de los líquidos, la ecuación de flotabilidad se aplica
principalmente a estos. La flotabilidad en gases es aplicable
cuando la densidad del cuerpo es muy cercana a la del gas.
Un cuerpo en un fluido se considera estable si regresa
a su posición original después de habérsele dado un giro
pequeño sobre un eje horizontal. En el análisis de estabilidad
existen dos casos: cuando el cuerpo flota sobre el fluido y
cuando está completamente sumergido en éste.
La condición de estabilidad para un cuerpo sumergidos
por completo en un fluido es que su centro de gravedad esté
por debajo de su centro de flotabilidad (ver Figura 1.10 ).
El centro de flotabilidad de un cuerpo se encuentra en el
centroide del volumen desplazado de fluido, y es a través
de dicho punto que la fuerza de flotación actúa en dirección
vertical. El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo
a través del centro de gravedad.
Figura 1.10: Estabilidad de un cuerpo sumergido.
Cuando un cuerpo flota, la condición de estabilidad es
inversa a la anterior, su centro de flotabilidad debe estar
por debajo de su centro de gravedad (ver Figura 1.11).
El metacentro mc (ver Figura 1.11) se define como la
intersección del eje vertical de un cuerpo cuando está en
su posición de equilibrio, con una línea vertical que pasa a
través de la posición nueva del centro de flotación cuando el
cuerpo gira levemente.
Entonces, otra condición para que un cuerpo flotante sea
estable es que su centro de gravedad esté por debajo de su
metacentro.
Figura 1.11: Estabilidad de un cuerpo que flota.
8 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE HIDROSTÁTICA Y ALGUNAS APLICACIONES
1.6. Ejemplos
Ejemplo 1.1. Se aplica una carga de 350.0[lbf ] sobre un
pistón que sella un cilindro circular de 2.5[pulg] de diámetro
interior que contiene aceite. Calcular la presión en el aceite junto
al émbolo.
Solución.
Suponiendo que la el fluido está en contacto con toda la cara del
pistón, para calcular la presión se puede usar la ecuación ??.
p = F
A
= 350.0[lb]
π
(
2.5[pulg]
2
)2 = 71.3
[
lb
pulg2
]
= 71.3[psi]
Ejemplo 1.2. De acuerdo con la figura, calcular la presión en
el punto A.
Solución.
El único punto para el que se conoce la presión es la superficie del
mercurio en el extremo derecho del manómetro (punto 1), que
corresponde a la presión atmosférica del aire en el lugar en donde
se encuentra el manómetro. Como en el manómetro hay fluidos
en reposo, se puede aplicar la ecuación ?? para determinar la
variación de presión entre e punto 1 y 2. La presión en el punto
dos es:
p2 = p1 + ∆p1−2 = p1 + γmercurio0.25[m]
Debido a que los puntos 2 y 3 están al mismo nivel en el mismo
fluido en reposo, sus presiones son iguales (p2 = p3).
Como el punto 4 está a una elevación superior al punto 3, la
presión en éste punto p4 será menor a la presión en el punto 3
p3. Entonces, para el cálculo p4 es necesario agregar la variación
de presión entre 3 y 4, quedando p4 como:
p4 = p1 + ∆p1−2 + ∆p3−4 = p1 + γmercurio0.25[m] − γagua(0.25 +
0.15)m
Debido a que los puntos 4 y A están al mismo nivel en el mismo
fluido en reposo, sus presiones son iguales (p4 = pA). Entonces,
finalmente la presión en el punto a se puede calcular
pA = p1 +∆p1−2 +∆p3−4 = p1 +γmercurio0.25[m]−γagua(0.25+
0.15)m
Esta presión (punto A), corresponde a la presión absoluta en éste
punto. Si se despeja pman de la ecuación ?? se tiene que:
pman = pabs − patm
Como p1 = patm queda que :
pA − p1 = γmercurio0.25[m] − γagua(0.25 + 0.15)m = pmanA
Ahora se puede calcular la presión manométrica en el punto A.
pmanA = s.g.mercurioγagua0.25[m] − γagua(0.25 + 0.15)m
pmanA = 13.54(9.81[kN/m3])0.25[m] − 9.81[kN/m3](0.25 +
0.15)m = 29.3[kP a]
Ejemplo 1.3. El tanque ilustrado en la figura contiene un
aceite lubricante con gravedad específica de 0.91. En su pared
inclinada (θ = 60o) se coloca una compuerta rectangular con
dimensiones B = 4.0[pie] y H = 2.0[pie]. El centroide de
la compuerta se encuentra a una profundidad de 5.0 pies de
la superficie del aceite. Calcule (a) la magnitud de la fuerza
resultante FR sobre la compuerta y (b) la ubicación del centro
de presión.
1.6. EJEMPLOS 9
Solución.
El área de interés es la puerta rectangular dibujada en la figura.
El centroide se localiza en la intersección de los ejes de simetría
del rectángulo.
Por el enunciado del problema se sabe que hc = 5.0[pie], que es la
profundidad vertical de la superiicie libre del aceite al centroide
de la compuerta. Con hc se puede determinar la presión promedio
pprom sobre la compuerta.
pprom = γaceitehc = s.g.aceite ∗ γagua@4◦Chc
pprom = (0.91)62.4[lbf/pie3]5.0[pie] = 283.9[lbf/pie2]
El área del rectángulo de la compuerta se puede determinar
como:
A = BH = 4.0[pie]2.0[pie] = 8.0[pie2]
Ahora se puede calcular la magnitud de la fuerza resultante
FR = ppromA = 283.9[lbf/pie2]8.0[pie2] = 2271.2[lbf ]
El paso siguiente tiene que ver con la localización del centro de
presión. Para un rectángulo se tiene que
Ic = BH3
12
= (4[pie])(2[pie])3
12
= 2.67[pie4]
Además, Lc y hc están relacionados por la ecuación
Lc = hc
senθ
= 5[pie]
sen60o = 5.77[pie]
Ahora contamos con todos los datos necesarios para continuar
con el paso 8.
Lp = Lc + Ic
LcA
= 5.77[pie] + 2.67[pie4]
5.77[pie]8[pie2]
= 5.828[pie]
Ejemplo 1.4. Para el tanque de la figura, calcule las
componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante sobre la
superficie curva, asi como la fuerza resultante. Las dimensiones
son las siguientes:
h1 = 3.0[m], h2 = 4.5[m], w = 2.5[m], γ = 9.81[kN/m3]
Solución
Siguiendo el procedimiento descrito:
1.- El volumen de fluido sobre la superficie se muestra en la
figura inferior izquierda. 2.- Para determinar el peso es necesario
primero determinar el volumen total del fluido sobre la superficie:
A = A1 + A2 = h1R + π
4
R2
A = 3.0[m]1.5[m] + π
4
(1.5[m])2 = 6.57[m2]
el volumen es entonces
V = Aw = 6.57[m2]2.5[m] = 15.67[m3]
y el peso W
W = γV = 9.81[kN/m3]15.67[m3] = 153.7[kN ]
3.- Entonces, la magnitud de la fuerza vertical
10 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE HIDROSTÁTICA Y ALGUNAS APLICACIONES
FV = W = 153.7[kN ]
4.- En la figuratambién se muestra la proyección vertical de la
superficie curva. La altura s es igual a 1.5[m].
5.- La profundidad al centroide del área proyectada es
hc = h1 + s/2 = 3.0[m] + 1.5[m]/2 = 3.75[m]
6.- La magnitud de la fuerza horizontal es
FH = γswhc
⇒ FH = 9.81[kN/m3]1.5[m]2.5[m]3.75[m] = 138.0[kN ]
7.- La profundidad a la línea de acción de la componente
horizontal se encuentra con
hp = hc + s2/(12hc)
⇒ hp = 3.75[m] + 1.5[2]
12(3.75[m])
= 3.8[m]
8.- La fuerza resultante se calcula con
FR =
√
FV 2 + F 2
H =
√
(153.7[kN ])2 + (138.0[kN ])2 =
206.5[kN ]
9.-El ángulo de inclinación de la fuerza resultante en relación con
la horizontal se calcula con
φ = tan−1(FV /FH) = tan−1(153.7[kN ]/138.0[kN ]) = 48.1o
Capítulo 2
Ecuación de flujo
Flujo se define como la cantidad de materia que pasa
por un sistema por unidad de tiempo. Se pueden definir tres
tipos de flujos:
◦ Flujo volumétrico Q= es el volumen de fluido que
pasa por una sección por unidad de tiempo. Se puede
calcular como
Q = V · A (2.1)
donde A es el área de la sección por donde pasa el
fluido y V es su velocidad promedio en la sección.
◦ Flujo másico M= es la cantidad de masa de un fluido
que para por una sección por unidad de tempo. Se
calcula con la ecuación:
M = ρ · Q (2.2)
◦ Flujo en peso W= corresponde al peso del fluido
que circula por una sección por unidad de tiempo. Se
calcula como:
W = γ · Q (2.3)
Cuando la velocidad de un fluido en un sistema no
cambia con el tiempo, se le llama flujo estacionario. Es
importante definir esto ya que serán problemas bajo flujo
estacionario los que se analizarán en éste curso.
2.1. Principio de continuidad
En la figura Figura 2.1 se representa un fluido en
movimiento en un ducto en el que se produce un cambio se
sección. Ya que no existen aportes extras de masa de fluido
en el tramo de ducto entre los puntos 1 y 2, y se trata de un
flujo estacionario, se puede concluir que M1 = M2, o lo que
es igual
ρ1v1A1 = ρ2v2A2 (2.4)
Esta es la ecuación de continuidad (conservación de
masa). Para el caso de un fluido incompresible ρ1 = ρ2,
entonces se tiene que Q1 = Q2.
Figura 2.1: Principio de continuidad en ductos.
2.2. Principio de conservación de la
energía
Un elemento de fluido que se mueve por un ducto (ver
Figura 2.2 ) posee tres formas de energía.
◦ Energía Potencial EP
EP = w · z (2.5)
donde z se mide en la dirección vertical con respecto
a un sistema de referencia y w es el peso del elemento.
◦ Energía Cinética EC
EC = w
v2
2g
(2.6)
donde v corresponde a la magnitud de la velocidad del
elemento y g la aceleración de gravedad.
◦ Energía de Flujo EF
EF = w
p
γ
(2.7)
donde p corresponde a la presión sobre el elemento de
fluido γ su peso específico.
Una forma conveniente de expresar la energía de un
fluido es en unidades de altura H. Esto se consigue
dividiendo cada uno de los términos por su peso. Entonces,
la energía de un elemento de fluido en movimiento puede
expresarse con la Ecuación 2.8.
e =
p
γ
+ z +
v2
2g
(2.8)
11
12 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE FLUJO
Figura 2.2: Energía de un elemento de fluido.
Si en un sistema no existen aportes ni retiros de energía
(bombas, motores, turbinas) y además no hay pérdidas de
energía, la energía de un elemento de fluido en un instante
inicial 1, y su energía en un instante final 2 es la misma (ver
Figura 2.3). Así se puede escribir la ecuación Ecuación 2.9.
p1
γ
+ z1 +
v2
1
2g
=
p2
γ
+ z2 +
v2
2
2g
(2.9)
Esta es la ecuación de Bernoulli, donde la energía se
expresa por unidad de peso, obteniéndose de esta forma en
unidades de longitud. A los términos de la ecuación que
incluyen la presión se les llama carga de presión, a los
que incluyen la velocidad carga de velocidad y la elevación
carga de elevación.
El uso de la ecuación de Bernoulli se restringe a casos
donde:
1. Es válida sólo para fluidos incompresibles, ya que el peso
específico del fluido debe ser el mismo en las dos secciones
de interés.
2. No puede haber dispositivos mecánicos que agreguen o
retiren energía del sistema entre las dos secciones de
interés, debido a que la ecuación establece que la energía
en el fluido es constante.
3. No puede haber transferencia de calor hacia o desde el
fluido.
4. No puede haber pérdida de energía debido a la fricción.
Para aplicar la ecuación de Bernoulli se pueden aplicar
algunas simplificaciones que no afectan la validez del cálculo.
◦ Cuando el fluido en un punto está expuesto a la
atmósfera, la presión es igual a cero y el término de
carga de presión se cancela de la ecuación de Bernoulli.
◦ A la carga de velocidad en la superficie de un tanque
o depósito se le considera igual a cero, y se cancela de
la ecuación de Bernoulli.
◦ Cuando los dos puntos de referencia de la ecuación
de Bernoulli están dentro de una tubería del mismo
tamaño, los términos de carga de velocidad en ambos
lados de la ecuación se cancelan al ser iguales.
◦ Cuando los dos puntos de referencia de la ecuación
de Bernoulli están a la misma elevación, los términos
de carga de elevación a ambos lados de la ecuación se
cancelan al ser iguales.
Figura 2.3: Conservación de la energía en un elemento de fluido.
En el Ejemplo 2.1 puede verse una aplicación de los dos
principios tratados anteriormente.
2.3. Ecuación general de flujo
En la práctica, en el flujo de fluidos existen pérdidas
y transferencias de energía que pueden cuantificarse, y se
definen de tres formas:
1. Energía agregada al sistema hA: energía proveniente
de un componente mecánico como una bomba centrífuga
o de desplazamiento positivo.
2. Energía removida del sistema hR: energía que
el fluido entrega a dispositivos mecánicos tales como
turbinas o motores de fluido.
3. Energía perdida hL: pérdidas debidas a la fricción en
la cañerías y a válvulas y otros accesorios.
Teniendo en consideración estos tres elementos, se puede
escribir ahora la ecuación general de flujo.
p1
γ
+ z1 +
v2
1
2g
+ hA − hR − hL =
p2
γ
+ z2 +
v2
2
2g
(2.10)
2.4. GANANCIAS DE ENERGÍA 13
2.4. Ganancias de energía
La energía que entrega una bomba al fluido por unidad
de peso del fluido o la potencia agregada al sistema por una
bomba se puede calcular como:
PA = hA · W = hA · γ · Q (2.11)
donde PA es la potencia que la bomba entrega al fluido y
hA la energía entregada al fluido.
Para el SI PA está en Watts [W] o kiloWatts [kW]. En
el sistema tradicional de estados unidos la potencia PA se
expresa en hp , donde:
◦ 1.0[hp] = 550[lb · pie/s]
◦ 1.0[lb · pie/s] = 1.356[W ]
◦ 1.0[hp] = 0.7457[kW ]
También se puede escribir la ecuación para la eficiencia
mecánica eM de la bomba.
eM =
potencia entregada al fluido
potencia de entrada a la bomba
=
PA
PI
(2.12)
2.5. Remoción de energía
La energía que retira un motor o turbina del fluido por
unidad de peso del fluido o la potencia retirada del sistema
por un motor o turbina puede calcular como:
PR = hR · W = hR · γ · Q (2.13)
donde PR es la potencia que el motor o turbina le saca al
fluido y hR la energía sacada del fluido.
Se puede escribir la ecuación para la eficiencia mecánica
eM del motor de fluido o turbina.
eM =
potencia entregada por el motor o turbina
potencia retirada de fluido
=
PO
PR
(2.14)
14 CAPÍTULO 2. ECUACIÓN DE FLUJO
2.6. Ejemplos
Ejemplo 2.1. El medidor venturi de la figura interior conduce
agua a 60oC. La gravedad específica del fluido manométrico en el
manómetro es de 1.25. Calcular la velocidad y el flujo volumétrico
del agua.
Solución
1.- Se puede ver en la figura que entre los puntos de interés (A y
B) no existen dispositivos que aumenten o disminuyan la energía
del fluido en movimiento. Además, si se asume que no existen
pérdidas por fricción se puede escribir la ecuación de Bernoulli
entre A y B.
pA
γ
+ zA +
v2
A
2g
= pB
γ
+ zB +
v2
B
2g
De ser posible se eliminan términos de la ecuación, aplicando
las simplificaciones descritas con anterioridad o si alguno de los
términos es cero.
Como se tienen varias incógnitas (pA, pB , vA, vB) se puede
reordenar la ecuación agrupando términossemejantes.
(pA−pB)
γ
+ (zA − zB) =
(v2
B
−v2
A
)
2g
2.- Ahora se puede comenzar a resolver cada uno de los términos
agrupados:
2.1.- (zA − zB) = −0.46[m]
2.2.- (pA − pB) se puede obtener planteando y resolviendo la
ecuación para el manómetro de la derecha.
pA + γagua · y + γagua · 1.18[m] − γfluido,man · 1.18[m] − γagua · y −
γagua · 0.46[m] = pB
pA − pB = γagua(0.46 − 1.18)[m] + γfluido,man · 1.18[m]
Se eliminaron los términos en donde aparece la dimensión y ya
que su suma es cero.
Dividiendo ambos lados de la ecuación por γagua y reemplazando
los valores de los pesos específicos del agua y del fluido
manométrico
γagua = 9.65[kN/m3]
γfluido,man = s.g · γagua@40C = 1.25 · 9.81[kN/m3] =
12.26[kN/m3]
Finalmente se tiene
pA − pB
γagua
= (0.46 − 1.18)[m] +
12.26[kN/m3] · 1.18[m]
9.65[kN/m3]
⇒
pA − pB
γagua
= 0.78[m]
2.3.- Aplicando el principio de continuidad entre los puntos A
y B considerando al agua como fluido incompresible se tiene que:
AA · vA = AB · vB ⇒ vB = AA
AB
vA
Resolviendo el cálculo de las área de las secciones de 200 y 300
mm se llega a
vB = 0.07069[m2]
0.03142[m2]
vA ⇒ vB = 2.25vA ⇒ v2
B =
5.06vA
3.- Ahora se puede reemplazar v2
B en función de v2
A en la segunda
ecuación del punto 1, junto con los valores obtenidos en el punto
2.1 y 2.2, y sugando g = 9.81[m/s2] quedando:
0.78[m] − 0.46[m] =
4.06v2
A
2·9.81[m/s2]
⇒ vA = 1.24[m/s]
4.- Ahora ya se puede calcular el flujo volumétrico
Q = AA · vA = 0.07069[m2] · 1.24[m/s] = 0.0877[m3/s]
Capítulo 3
Flujo en ductos
Se pueden diferenciar dos tipos de pérdidas de energía o
pérdidas de carga en fluidos circulando por ductos, las pérdidas
por fricción o pérdidas regulares y las pérdidas por turbulencia
o pérdidas singulares.
◦ Pérdidas regulares: dependen de la viscosidad del fluido,
velocidad del flujo, diámetro, calidad superficial y largo de
la tubería. Debido a la fricción se genera calor que sale del
sistema a través de los límites de éste.
◦ Pérdidas singulares: debido a cambios en la dirección y
velocidad del flujo se genera turbulencia, la que se disipa
como calor.
Ambas pérdidas son proporcionales a la velocidad del flujo,
y se calculan con la ecuación de Darcy:
hL = K
v2
2g
(3.1)
donde K es el coeficiente de pérdida de carga.
3.1. Pérdidas regulares
Según lo ordenado o desordenado que sea el flujo, éste se
clasifica en flujo laminar y flujo turbulento. En la Figura 3.1
se muestra algunos ejemplos gráficos del comportamiento de cada
un de ellos.
Figura 3.1: Flujo laminar y turbulento.
3.1.1. Número de Reynolds
La representación gráfica del tipo de flujo mostrada en
la Figura 3.1 no es suficiente para resolver problemas de
flujo de fluidos. Para esto existe el número de Reynolds Re,
cantidad adimensional.que permite cuantificar cuando un flujo
es turbulento o laminar. La ecuación ?? que define el número de
Reynolds para el caso específico de flujo de fluidos en ductos de
sección circular.
Re =
ρ · v · D
η
(3.2)
donde:
◦ ρ= densidad del fluido.
◦ v= velocidad del fluido.
◦ D= diámetro interno del ducto o cañería
◦ η= viscosidad dinámica del fluido.
También Re se puede expresar en función de la viscosidad
cinemática µ = η/ρ.
Re =
v · D
µ
(3.3)
Para Re ≤ 200 se considera flujo laminar y para Re ≥ 4000
flujo turbulento.
Para flujos donde 2000 < Re < 4000 no es ni laminar ni
turbulento. Estos valores no son recomendables, ya que se hace
difícil determinar las pérdidas de carga, y por lo tanto el diseño
del sistema.
En la Figura 3.2 se presentan las unidades que usan para el
cálculo del número de Reynolds según el sistema usado.
3.1.2. Ecuación de Darcy
La Ecuación 3.1 (ecuación de Darcy) se ocupa para calcular
pérdidas de energía hL debido a fricción en secciones rectilíneas
y largas de tubos redondos.
Para el caso particular de las pérdidas regulares, el factor
de pérdida de carga K se puede determinar con la ecuación:
K = f
L
D
(3.4)
donde:
◦ f= factor de fricción.
◦ L= largo del tramo recto de cañería donde se quiere
conocer la pérdida.
◦ D= diámetro interior del tramo recto de cañería donde se
quiere conocer la pérdida.
El factor de fricción f se determina en función del número
de Reynolds y de la rugosidad relativa de la cañería usando el
Diagrama de Moody mostrado en el apéndice B.1 .
La rugosidad relativa es el cociente entre la rugosidad del
material de la cañería ǫ y el diámetro interno de la cañería D. O
sea:
rugosidad relativa =
ǫ
D
(3.5)
En la Figura 3.3 se presentan algunos valores de rugosidad
para materiales de cañerías.
15
16 CAPÍTULO 3. FLUJO EN DUCTOS
Las pérdidas de carga en tuberías son proporcionales a la
velocidad promedio del fluido en el ducto, y se pueden
calcular como:
hL = K
V 2
2g
(3.6)
Figura 3.2: Unidades para el cálculo de Re.
Figura 3.3: Rugosidades típicas de algunos materiales.
En el ?? se procede a resolver un problema calculando la
pérdida regular.
3.2. Pérdidas singulares
Dependiendo del tipo de singularidad (válvula, codo, curva,
contracción, filtro) es diferente la forma de calcular la pérdida de
carga. En la práctica lo que se busca es obtener K para aplicar
la ecuación de Darcy.
En algunos casos, por medio de gráficos o de tablas, se
entregan valores del coeficiente de resistencia K directamente. En
otros casos el cálculo es en función de un par de factores, como el
factor de fricción para turbulencia completamente desarrollada
fT y de un largo equivalente Le tabulado por tipo de elemento.
3.2.1. Expansión súbita
En una expansión súbita existe un aumento abrupto del
diámetro de la cañería (ver Figura 3.4). Las curvas de la figura
fueron determinados experimentalmente y permiten obtener el
valor de K para una singularidad de éste tipo.
Figura 3.4: Coeficiente de resistencia K para expansión súbita.
Así la pérdida se pude calcular:
hL = K
v2
1
2g
(3.7)
3.2.2. Contracción súbita
En una contracción súbita existe una disminución abrupta del
diámetro de la cañería (ver Figura 3.5 ). Las curvas de la figura
fueron determinados experimentalmente y permiten obtener el
valor de K para una singularidad de éste tipo.
3.2.3. Expansión gradual
Es posible hacer que la transición de una tubería pequeña
a otro más grande sea menos abrupta que aquella que se logra
con una expansión súbita (ver Figura 3.6), y por lo tanto tener
menores pérdidas.
Así la pérdida se pude calcular:
hL = K
v2
1
2g
(3.8)
3.2. PÉRDIDAS SINGULARES 17
Figura 3.5: Coeficiente de resistencia K para contracción súbita.
Figura 3.6: Coeficiente de resistencia K para expansión gradual.
3.2.4. Contracción gradual
También es posible hacer que la transición de una tubería
grande a otra más pequeña sea menos abrupta que aquella que
se logra con una contracción súbita (ver Figura 3.7), y por lo
tanto tener menores pérdidas.
Así la pérdida se pude calcular:
hL = K
v2
2
2g
(3.9)
Figura 3.7: Coeficiente de resistencia K para contracción gradual.
18 CAPÍTULO 3. FLUJO EN DUCTOS
3.2.5. Pérdida en la salida
Desde el punto 1 al punto 2 la velocidad del fluido se hace
casi igual a cero (ver Figura 3.8). En este caso se considera que
toda la energía cinética del fluido se pierde, por lo tanto K = 1.
3.2.6. Pérdida a la entrada
A la entrada de una cañería que sirve de descarga a un
contenedor existen diferentes configuraciones geométricas, cada
una con diferente factor de resistencia asociado (ver Figura 3.9).
Figura 3.8: Salida de una cañería hacia un contenedor.
Figura 3.9: Entrada en una cañería desde un contenedor.
3.2.7. Válvulas y fittings
Existen muchas clases de válvulas y acoplamientos o
fittings de distintos fabricantes.
Las válvulas se emplean para controlar el flujo y pueden ser de
distinto tipo: globo, ángulo, compuerta, mariposa, de verificación
y muchas más.
La pérdida de energía que tiene lugar cuando el fluido circula
por una válvula o acoplamiento se calcula con la ecuación de
Darcy. Sin embargo, el método para determinar el coeficiente de
resistencia K es diferente al visto hasta ahora.
El coeficiente de resistenciase puede obtener con la ecuación
??:
K = fT
(
Le
D
)
(3.10)
El término (Le/D) se puede obtener para algunos elementos
de la Figura 3.10.
El factor de fricción para flujo turbulento
completamente desarrollado fT de la Ecuación 3.10 es
función sólo de la rugosidad relativa, y se puede obtener usando
el diagrama de Moody proyectando directamente desde el eje de
rugosidad relativa de la derecha al de factor de fricción.
Figura 3.10: Le/D para válvulas y fittins.
También, para cañería de acero comercial nueva y limpia,
existen valores que se entregan en la tabla de la Figura 3.11.
3.3. SISTEMAS DE TUBERÍAS 19
Figura 3.11: fT para cañerías de acero comercial nuevas y limpias.
3.3. Sistemas de tuberías
La mayoría de los sistemas de bombeo implica pérdidas
importantes de energía debido a fricción y turbulencia.
Los sistemas de bombeo en que hay flujo de fluido por una
línea continua sin ramificaciones corresponde a un sistema de
tuberías en serie.
3.3.1. Sistemas de tuberías en serie
La ecuación general de flujo para el sistema de la Figura 3.12
se puede escribir así:
p1
γ
+ z1 +
v2
1
2g
+ hA − hL =
p2
γ
+ z2 +
v2
2
2g
(3.11)
Figura 3.12: Sistema de tuberías en serie.
Las pérdidas hL de la ecuación del sistema corresponden a la
sumatoria de las regulares más las singulares. Para el sistema de
la figura las pérdidas a considerar serían:
a. pérdida en la entrada.
b. pérdida regular en la línea de succión.
c. pérdida en la válvula a la salida de la bomba.
d. pérdida los codo a 90o.
e. pérdida regular en la línea de descarga.
f. pérdida a la salida.
Para el diseño o análisis de un sistema de bombeo existen 6
parámetros básicos a ser considerados:
1. Pérdidas o adición de energía al sistema.
2. Velocidad del fluido en las cañerías.
3. Diámetro de la tubería.
4. Longitud de la cañería.
5. La rugosidad de la pared de la tubería (ǫ).
6. Las propiedades del fluido (γ, ρ, η)
Dependiendo de los parámetros que son necesarios conocer
para el diseño o análisis de un sistema de tuberías, estos se pueden
clasificar de tres formas.
◦ Clase 1: se determinan las pérdidas o adiciones de energía.
◦ Clase 2: se determina el flujo.
◦ Clase 3: se determina el diámetro de la cañería.
Sistemas Clase 1
En estos sistemas se cuenta con gran cantidad de información.
Se conoce la diferencia de elevación entre la succión y la descarga,
el fluido y las condiciones en que se bombea, los diámetros y
largos y material de las cañerías, la cantidad y tipo de fitings.
Se calcula la pérdida de carga total y se determina hA que la
bomba debe aportar al sistema.
Sistemas Clase 2
Este sistema de tubería es aquel para el que se desea
conocer el flujo volumétrico de fluido que un sistema dado podría
conducir. El sistema está descrito por completo en términos de
sus elevaciones, tamaños de tubería, válvulas y acoplamientos y
la caída de presión permisible en puntos clave del sistema.
Se usa un procedimiento iterativo para determinar el caudal
que satisface las necesidades del problema. Este se describe a
continuación:
1. Escriba la ecuación de la energía del sistema.
2. Evaluar las cantidades conocidas.
3. Expresar las pérdidas de energía en términos de la velocidad
desconocida v y del factor de fricción f .
4. Despejar la velocidad v en función del factor de fricción f .
5. Expresar el númerode Reynolds en función de la velocidad v.
6. Calcular la rugosidad relativa ǫ/D.
7. Seleccionar un valor de prueba para f basado en ǫ/D y un Re
en la zona de turbulencia.
8. Con el f seleccionado calcular v con la ecuación del paso 4.
9. Calcular Re con la ecuación del paso 5.
10. Con el Re calculado y ǫ/D determinar f del diagrama de
Moody.
11. Si el nuevo valor de f es diferente al seleccionado en el punto
7, repetir los pasos 8 a 11 con el nuevo valor de f .
12. Si no se presenta ningún cambio importante en f del valor
supuesto en el punto 7, entonces la velocidad calculada en el
punto 8 es correcta.
20 CAPÍTULO 3. FLUJO EN DUCTOS
Sistemas Clase 3
Según Mohinder L. Nayyar (Piping Handbook), si se
consideran sólo las pérdidas por fricción en el sistema, se puede
estimar el diámetro mínimo D con la Ecuación 3.12, conociendo
los siguientes datos del sistema:
◦ Caudal de diseño Q
◦ Caída de presión máxima esperada para el sistema p1 −p2.
Donde p1 corresponde a la presión en la descarga de la
bomba y p2 la presión en el punto final del sistema.
◦ La diferencia de elevación entre la salida de la bomba y el
final del sistema(z1 − z2).
◦ El largo total de la cañería L.
◦ Viscosidad cinemática µ del fluido
◦ La rugosidad ǫ del material de la cañería.
D = 0.66
[
ǫ1.25
(
LQ2
ghL
)4.75
+ µQ9.4
(
L
ghL
)5.2
]0.04
(3.12)
La pérdida hL se obtiene aplicando la ecuación general de
flujo para el sistema desde la descarga de la bomba hasta el final
del sistema.
hL =
p1 − p2
γ
+ (z1 − z2) (3.13)
3.3.2. Sistema de tuberías en paralelo
El la Figura 3.13 se muestra un sistema de tuberías. El fluido
entra por 1 y fluye hacia la derecha dividiéndose por los ductos
A, B y C y luego vuelve a unirse en el punto 2. Este es un sistema
de tuberías en paralelo.
Refiriéndose a la Figura 3.13, en este tipo de sistemas se
cumplen dos principios:
hLA
= hLB
= hLC
=
p1 − p2
γ
+ (z1 − z2) (3.14)
Q1 = Q2 = QA + QB + QC (3.15)
La Ecuación 3.14 es válida cuando las velocidades en 1 y 2 son
las mismas.
Figura 3.13: Sistema de tuberías en paralelo.
En general se pueden presentar dos casos para solucionar un
sistema de éste tipo.
a. Conociendo las presiones manométricas en 1 y 2 se debe
determinar el caudal del sistema.
b. Conociendo el cadal Q del sistema, se deben determinar el
caudal en cada rama (QA, QB y QC) y la pérdida de carga
hL1−2 .
Para ambos casos se conocen las propiedades del fluido, el tamaño
de las tuberías y el material de éstas.
Usando el sistema de la Figura 3.13 como referencia se
procederá a explicar como resolver el sistema para cada caso.
Para el primer caso (caso a) se procede como:
1. Calcular la pérdida de carga entre 1 y 2 con la Ecuación 3.14
y luego igualarla a la pérdida de carga en función del factor
de fricción f en cada rama. Para la rama A se tiene:
p1 − p2
γ
+ (z1 − z2) = hLA
= f
LA
DA
V 2
A
2g
2. Suponer un factor de fricción fA1 = f y expresar la velocidad
VA en función de este valor:
VA1 =
√
hLA·DA·2g
LA · fA1]
3. Con VA1 obtenida calcular Re y junto con la rugosidad relativa
ǫ/D determinar un nuevo factor de fricción fA2 del diagrama
de Moody.
4. Si el valor de fA2 está en el rango ± 5 % de fA1 ya se tiene
resuelto el problema y se puede determinar QA usando VA2
calculada con fA2 como en el paso 2. Así se tiene que:
QA = VA2
πD2
A
4
5. Si la diferencia entre fA2 y fA1 es mayor al 5 %, repetir pasos
2 y 3 hasta que la diferencia entre los factores de fricción sea
menor al 5 %. Cuando eso pase proceder como en el paso 4 y
determinar QA.
6. Repetir este procedimiento para cada una de las ramas del
sistema.
El caudal total del sistema sera Q = QA + QB + QC .
Para el segundo caso (caso b) el procedimiento es el que sigue:
1. Conociendo el caudal total Q, suponer un caudal adecuado
para una de las ramas. Este caudal debe ser menor al caudal
total.
La velocidad en la rama seleccionada con el caudal supuesto,
debe estar dentro de los rangos recomendados de velocidad de
flujo en cañerías. (1.5 a 5 [m/s]).
Tomando como referencia el sistema de la Figura 3.13 se puede
suponer QA′ .
3.4. SELECCIÓN DE BOMBAS 21
2. Con QA′ calcular VA′ :
VA′ =
QA′
πD2
A
4
Luego calcular el ReA′ . Con la rugosidad relativa determinar
fA′ del diagrama de Moody.
3. Con f ′
A calcular la pérdida de carga en la rama hL′
A
:
hL′
A
= fA′
LA
DA
V 2
A′
2g
4. Ahora hay que igualar hLA′
a la pérdida de carga en las otras
ramas del sistema:
hLA′
= hLB′
= fB′
1
LB
DB
V 2
B′
2g
hLA′
= hLC′
= fC′
1
LC
DC
V 2
C′
2g
5. Ahora se deben suponer fB′
1 y fC′
1 , reemplazar en las
ecuaciones del punto 4, y determinar VB′
1 y VC′
1 .
Con estas velocidadcalcular ReB′
1 y ReC′
1 respectivamente,
y con la rugosidad relativa para cada rama determinar fB′
2 y
fC′
2 del diagrama de Moody.
6. Para la rama B: si el valor de fB′
2 está en el rango ± 5 % de
fB′
1 ya se tiene parcialmente resuelto el problema para esta
rama, y se puede determinar QB′ usando VB′
2 calculada con
fB′
2 .Así se tiene que:
QB′ = VB′
2
πD2
B
4
Para la rama C: si el valor de fC′
2 está en el rango ± 5 % de
fC′
1 ya se tiene parcialmente resuelto el problema para esta
rama, y se puede determinar QC′ usando VC′
2 calculada con
fC′
2 .Así se tiene que:
QC′ = VC′
2
πD2
C
4
7. Para la rama B: si la diferencia entre fB′
2 y fB′
1 es mayor
al 5 %, repetir pasos 4 y 5 (iniciando con fB′
2 ) hasta que
la diferencia entre los factores de fricción sea menor al 5 %.
Cuando eso pase proceder como en el paso 6 y determinar
QB′ .
Para la rama C: si la diferencia entre fC′
2 y fC′
1 es mayor
al 5 %, repetir pasos 4 y 5 (iniciando con fC′
2 ) hasta que
la diferencia entre los factores de fricción sea menor al 5 %.
Cuando eso pase proceder como en el paso 6 y determinar
QC′ .
8. Determinar Q′:
Q′ = QA′ + QB′ + QC′
9. Determinar los caudales finales en cada una de las ramas:
QA =
QA′
Q′
Q QB =
QB′
Q′
Q QC =
QC′
Q′
Q
10. Se puede verificar el resultado obtenido calculando la pérdida
de carga en cada rama con los caudales que se determinaron.
3.4. Selección de bombas
Las bombas se utilizan para impulsar líquidos a través
de sistemas de tuberías. Las bombas pueden cumplir varias
funciones.
◦ Para elevar la presión del fluido, desde la que tiene en
el punto de inicio p1 hasta Ia que tendrá en el punto de
destino p2.
◦ Para subir el fluido desde su elevación inicial z1 hasta la
elevación final z2.
◦ Aumentar la velocidad del fluido.
◦ Para compensar las pérdidas de energía del sistema.
3.4.1. Bombas centrífugas
La Figura 3.14 muestra la configuración básica de una bomba
centrífuga de flujo radial.
El fluido entra por la succión y sale por la descarga.
En el interior de la voluta se encuentra el impulsor que gira
acoplado al eje. El impulsor aumenta la energía cinética del
fluido, la que es convertida en presión en el difusor.
El impulsor cuenta con un conjunto de álabes que son los
que interactúan con el fluido para la transferencia de energía. La
forma de los álabes puede ser recta, de curvatura simple o de
curvatura doble. El impulsor puede ser abierto o cerrado.
El sentido de giro del impulsor es con los álabes hacia atrás,
o sea, en el sentido opuesto a las manecillas del reloj según la
figura central de la Figura 3.14.
Las bombas centrífugas se pueden clasificar según la dirección
del flujo a la salida del impulsor en radiales, el flujo a la salida
del impulsor es perpendicular al eje de giro; flujo mixto, el flujo
a la salida tiene un ángulo menor a 90o y mayor a 0o; axiales,
el flujo a la salida del impulsor es paralelo al eje de giro (ver
Figura 3.15).
Figura 3.14: Bomba centrífuga radial.
22 CAPÍTULO 3. FLUJO EN DUCTOS
La Figura 3.16 muestra las curvas de rendimiento
características de las bombas centrífugas. El ellas se representa
la altura de operación para caudales y diámetro de impulsor
dados, curvas de rendimiento, curvas de potencia y curva NPSH
(Net Positive Suction Head). Estas curvas son para una velocidad
de giro del impulsor, que varia de acuerdo al motor acoplado a
ella.
Figura 3.15: Tipos de impulsores.
Leyes de semejanza de bombas centrífugas
Como ya se mencionó, la curva de la bomba centrífuga
que entrega el fabricante, está definida a cierta velocidad de
giro N del impulsor, por lo tanto, cada bomba puede tener
distintas capacidades (caudal) y altura, y por lo tanto potencia
de operación, dependiendo de éste parámetro.
Además, para una misma voluta, pueden existir diferentes
diámetros de impulsor.
Figura 3.16: Curvas de una bomba centrífuga.
A continuación se presentarán las relaciones llamadas leyes
de semejanza cuando se cambia la velocidad N de giro del
impulsor o el diámetro del impulsor D en una bomba centrífuga.
Capacidad Q con la velocidad N
Q1
Q2
=
N1
N2
(3.16)
h con la velocidad N
h1
h2
=
(
N1
N2
)2
(3.17)
P con la velocidad N
P1
P2
=
(
N1
N2
)3
(3.18)
Q con diámetro D
Q1
Q2
=
D1
D2
(3.19)
h con diámetro D
h1
h2
=
(
D1
D2
)2
(3.20)
P con la diámetro D
P1
P2
=
(
D1
D2
)3
(3.21)
Altura neta positiva de succión NPSH
Cuando la presión de succión en la entrada de la bomba es
demasiado baja, se forman burbujas en el fluido. Si se forman
burbujas, estas colapsarán cuando lleguen a las zonas de presión
más alta. El colapso de las burbujas libera cantidades grandes de
energía, lo que afecta directamente a los álabes del impulsor y
ocasiona la erosión rápida de su superficie.
Cuando hay cavitación, el rendimiento de la bomba disminuye
con el el caudal. La bomba se hace ruidosa. Si se permitiera que
esto continue la bomba se destruiría en poco tiempo.
Los fabricantes de bombas prueban cada diseño para
determinar el nivel de la presión de succión que se requiere, con
el fin de evitar la cavitación, y reportan los resultados como la
carga de succión positiva neta requerida, NP SHR, de la bomba
en cada condición de operación de esta.
El diseñador del sistema de bombeo debe tener en
consideración el valor del NP SHR entregado por el fabricante.
Haciendo que el valor de la altura neta positiva de succión
disponible del sistema, NP SHA, sea mayor al NP SHR de
manera de evitar que se produzca cavitación en la bomba.
NP SHA = hea + hz + hL−succión + hvapor (3.22)
Donde:
◦ he−a= carga de presión estática (absoluta) sobre el fluido
en el almacenamiento, hsp = palmacenamiento/γ
◦ hz= diferencia de elevación desde el nivel del fluido en el
depósito a la linea central de la entrada de succión de la
bomba; se expresa en metros o en pies.
Si la bomba está abajo del nivel del depósito hs es positiva.
Si la bomba está arriba del nivel del depósito hs es
negativa.
3.4. SELECCIÓN DE BOMBAS 23
◦ hL−succión= pérdida de carga en la tubería de succión,
debido a la fricción y pérdidas menores; se expresa en
metros o en pies.
◦ hvp= carga de presión de vapor del líquido a la temperatura
de bombeo, en metros o pies; hvapor = pvapor/γ
Se recomienda que NP SHA ≥ 1.1NP SHR.
Punto de operación
El punto de operación de una bomba corresponde al caudal
que impulsará cuando se instale en un sistema dado. La carga
total que la bomba vence es la resistencia del sistema para el
caudal de operación. En la Figura 3.17 se muestra el punto de
operación corresponde de una bomba en un sistema para dos
casos, y corresponde a la intersección de la curva de la bomba
con la del sistema para cada caso.
La curva del sistema corresponde a la carga del sistema
(altura del sistema) según el caudal de operación. Esta curva
parte para caudal cero con la carga estática total del sistema, que
corresponde a la suma de la diferencia de presiones entre el punto
inicial y final del sistema (∆p = p2 − p1), más la diferencia de
elevación entre el punto final e inicial del sistema (∆z = z2 − z1).
Conforme se aumenta el caudal, se van sumando las perdidas de
carga debido al flujo.
Figura 3.17: Punto de operación de una bomba en un sistema.
Bombas en serie y paralelo
Las curvas que se muestran en la Figura 3.18 sirven para
analizar los que pasa cuando existe un sistema con dos bombas
en paralelo. Se pueden ver:
◦ Curva del sistema.
◦ Curva bomba 1: corresponde a la curva de una bomba
operando en el sistema. Su punto de operación es H1 para
Q1.
◦ Curva de las bombas en paralelo: corresponde a la
curva equivalente a dos bombas idénticas funcionando en
paralelo. Para igual altura de cada bombas, se suman
los caudales correspondientes. Como en este caso son dos
bombas iguales, para cada altura se duplican los caudales.
El punto de operación para esta bomba equivalente
corresponde a H2 para Q2.
◦ Punto de operación para cada bomba: Cuando ambas
bombas están funcionando operaran ambas a la altura
correspondiente a la intersecciónentre la curva del sistema
y la curva de las bombas en paralelo H2.
Para determinar el caudal que cada bomba impulsaría,
hay que recurrir a la curva de la bomba 1 para la altura
descrita anteriormente (ya que ambas bombas son iguales).
El punto de operación para cada bomba en este sistema es
H3 = H2 para Q3.
Las curvas que se muestran en la Figura 3.19 sirven para
analizar los que pasa cuando existe un sistema con dos bombas
en serie. Se pueden ver:
◦ Curva del sistema.
◦ Curva bomba 1 y bomba 2: curva individual de las dos
bombas del sistema con bombas en serie.
◦ Curva de las bombas en serie: corresponde a la curva
equivalente de las dos bombas funcionando en serie.
Para igual caudal de cada bombas, se suman las alturas
correspondientes.
El punto de operación de esta bomba equivalente es Htotal
para Qtotal.
◦ Punto de operación para cada bomba: Cuando las bombas
1 y 2 están funcionando operaran al caudal correspondiente
a la intersección entre la curva del sistema y la curva de
las bombas en serie Qtotal y a H1 y H2 respectivamente.
Puede verse que Htotal = H1 + H2.
Figura 3.18: Curvas de bombas en paralelo.
24 CAPÍTULO 3. FLUJO EN DUCTOS
Figura 3.19: Curvas de bombas en serie.
Capítulo 4
Fuerzas debido a
fluidos en
movimiento
4.1. Impulso y momentum
Siempre que cambia la magnitud o dirección de la velocidad
de un cuerpo, se requiere una fuerza que provoque el cambio.
La segunda ley de Newton sirve para expresar este concepto en
forma matemática.
F = m · a (4.1)
La ecuación 4.1 es conveniente para utilizarla en cuerpos
sólidos. Para problemas de movimiento de fluidos, se usa otra
forma de la misma ecuación:
F = m · a = m
∆v
∆t
(4.2)
Pero se sabe que m/∆t = ρQ, entonces la ecuación 4.2 queda
como:
F = ρQ∆v (4.3)
Esta última ecuación representa la fuerza neta que actúa
sobre un fluido. Para flujos estacionario en ductos ∆v es debido
a un cambio de dirección del flujo.
Tiene validez sólo cuando todos los términos tienen la misma
dirección. Por eso se definen ecuaciones para las direcciones de
interés en casos particulares
Fx = ρQ∆vx = ρQ(v2x − v1x)
Fy = ρQ∆vy = ρQ(v2y − v1y)
Fx = ρQ∆vz = ρQ(v2z − v1z)
(4.4)
Impulso I se define como la fuerza que actúa sobre un cuerpo
durante un periodo de tiempo I = F ∆t. También se puede de
definir como el cambio de momentum o cantidad de movimiento
I = m∆v.
Entonces se puede relacionar la fuerza sobre un fluido
en movimiento con su cambio de momentun con la siguiente
ecuación.
I = F ∆t = m∆v (4.5)
4.2. Fuerzas en codos
En los codos de sistemas de cañerías se producen fuerzas
que es necesario tener en consideración a la hora del diseño
del sistema. Los soportes que sostienen la cañería deben
dimensionarse adecuadamente para soportar las cargas a las que
son sometidos.
Se sabe que cuando un fluido en movimiento cambia de
dirección genera fuerzas sobre las superficies con las que están
en contacto. Pero como el fluido está sometido a presión
generalmente sobre la atmosférica es necesario tener en cuenta
también este efecto. En la figura ?? se representa el volumen de
fluido dentro de un codo de la cañería por la que circula, y todas
las fuerzas que se ejercen sobre éste.
La sumatoria de fuerzas en los ejes x e y para el volumen de
fluido son:
Fx = ρQ(v2x − v1x) = Rx − p1A1
Fy = ρQ(v2y − v1y) = Ry − p2A2
(4.6)
donde Rx y Ry corresponden a las reacciones en el codo.
Las paletas de turbinas y otras máquinas rotatorias son
ejemplos de objetos sobre los que actúan fluidos a gran velocidad.
Un chorro de fluido con velocidad mayor que la de las paletas de
la turbina ejerce una fuerza sobre éstas, y hará que aceleren para
generar energía mecánica.
Cuando se estudian las fuerzas sobre cuerpos en movimiento,
debe considerarse el movimiento relativo del fluido respecto del
cuerpo.
En la figura 4.2(a) se muestra una paleta que se mueve a una
velocidad v0 sobre la cual incide un chorro a una velocidad v1.
En la figura 4.2(b) se muestra la velocidad relativa del chorro
con respecto a la paleta. El cambio de dirección de la velocidad
relativa vrel es la que efectivamente ejerce fuerza sobre la paleta.
El caudal relativo del chorro con respecto a la paleta es
Qrel = A · vrel, con A el área de la sección del chorro.
Si se considera que el área del chorro a la entrada y salida de
la paleta es la misma, y los signos de los ejes coordenados de la
derecha, las reacciones en la paleta son:
Rx = ρ · Qrel · vrel · cosθ − (−ρ · Qrel · vrel) = ρ · Qrel · vrel(cosθ + 1)
Ry = ρ · Qrel · vrel · senθ − 0
(4.7)
25
26 CAPÍTULO 4. FUERZAS DEBIDO A FLUIDOS EN MOVIMIENTO
Figura 4.2: Flujo desviado por una paleta en movimiento.
Bibliografía
[1] Mohinder L. Nayyar; Piping Handbook, 7th edition; McGraw-Hill, 2000.
[2] Robert L. Mott; Mecánica de Fluidos, 6ta edición; Pearson Educación 2006.
[3] Yunus E. Cengel, John M. Cimbala ;Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, 1ra edición; McGraw-Hill
Interamericana; 2006.
[4] Frank M. White; Fluid Mechanics, 4th edition; WBC McGraw-Hill. 2002.
27
28 BIBLIOGRAFÍA
Apéndice A
Propiedades de las sustancias
Figura A.1: Viscosidad y densidad del agua a 1 atmósfera.[4]
Figura A.2: Viscosidad y densidad del aire a 1 atmósfera.[4]
29
30 APÉNDICE A. PROPIEDADES DE LAS SUSTANCIAS
Figura A.3: Viscosidad dinámica de fluidos comunes a 1 atmósfera.[4]
Apéndice B
Tablas y diagramas
B.1. Diagrama de Moody
Figura B.1: Diagrama de Moody.[?]
31
32 APÉNDICE B. TABLAS Y DIAGRAMAS
33
34 APÉNDICE C. FACTORES DE CONVERSIÓN
Apéndice C
Factores de conversión
Figura C.1: Factores de conversión.[2]
35
Figura C.2: Factores de conversión (continuación).[2]
36 APÉNDICE C. FACTORES DE CONVERSIÓN
Apéndice D
Propiedades de áreas
Figura D.1: Propiedades de áreas.[2]
37
	Conceptos básicos de Hidrostática y algunas aplicaciones
	Densidad, volumen específico, peso específico y gravedad específica
	Viscosidad
	Presión
	Medición de la presión
	Fuerzas debido a fluidos estáticos
	Gases
	Líquidos
	Flotabilidad y estabilidad
	Ejemplos
	Ecuación de flujo
	Principio de continuidad
	Principio de conservación de la energía
	Ecuación general de flujo
	Ganancias de energía
	Remoción de energía
	Ejemplos
	Flujo en ductos
	Pérdidas regulares
	Número de Reynolds
	Ecuación de Darcy
	Pérdidas singulares
	Expansión súbita
	Contracción súbita
	Expansión gradual
	Contracción gradual
	Pérdida en la salida
	Pérdida a la entrada
	Válvulas y fittings
	Sistemas de tuberías
	Sistemas de tuberías en serie
	Sistema de tuberías en paralelo
	Selección de bombas
	Bombas centrífugas
	Fuerzas debido a fluidos en movimiento
	Impulso y momentum
	Fuerzas en codos
	Propiedades de las sustancias
	Tablas y DDiagramas
	Diagrama de Moody
	Factores de conversión
	Propiedades de áreas