notas_avanzadas compilacion matematicas olimpiadas-139

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7.2. Concursos nacionales de la OMM 7. Exámenes
Problema 7.161 Considere un punto P en el interior de el triángulo ABC. Sean D, E y F los
puntos medios de AP , BP y CP , respectivamente y L, M y N los puntos de intersección de BF
con CE, AF con CD y AE con BD, respectivamente.
(i) Muestre que el área del hexágono DNELFM es igual a una tercera parte del área del triángulo
ABC.
(ii) Muestre que DL, EM y FN concurren.
Problema 7.162 En una cuadŕıcula de 8 × 8 se han escogido arbitrariamente 10 cuadritos y se
han marcado los centros de éstos. El lado de cada cuadrito mide 1. Demuestre que existen al menos
dos puntos marcados que están separados por una distancia menor o igual que
√
2, o que existe al
menos un punto marcado que se encuentra a una distancia de 1/2 de una orilla de la cuadŕıcula.
Problema 7.163 ABCD es un trapecio con AB paralelo a CD. Las bisectrices exteriores de los
ángulos B y C se intersecan en P . Las bisectrices exteriores de los ángulos A y D se intersecan en
Q. Demuestre que la longitud de PQ es igual a la mitad del peŕımetro del trapecio ABCD.
Problema 7.164 Un poĺıgono se dice que es ortogonal si todos sus lados tienen longitudes enteras
y cada dos lados consecutivos son perpendiculares. Demuestre que si un poĺıgono ortogonal puede
cubrirse con rectángulos de 2 × 1 (sin que éstos se traslapen), entonces al menos uno de sus lados
tiene longitud par.
7.2.14. XIV Olimpiada mexicana de matemáticas (2000)
Problema 7.165 Sean A, B, C y D circunferencias tales que A es tangente exteriormente a B en
P , B es tangente exteriormente a C en Q, C es tangente exteriormente a D en R y D es tangente
exteriormente a A en S. Supón que A y C no se intersecan, ni tampoco B y D.
(i) Prueba que los puntos P , Q, R y S están todos sobre una circunferencia.
(ii) Supón además que A y C tienen radio 2, B y D tienen radio 3 y la distancia entre los centros
de A y C es 6. Determina el área del cuadrilátero PQRS.
Problema 7.166 Se construye un triángulo como el de la figura, pero empezando con los números
del 1 al 2000. Cada número del triángulo —excepto los del primer renglón— es la suma de los dos
números arriba de él. ¿Cuál es el número que ocupa el vértice inferior del triángulo? (Nota: Escribe
tu respuesta final como producto de primos.)
1 2 3 4 5
3 5 7 9
8 12 16
20 28
48
145