MATE2PROC

Vista previa del material en texto

1
Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje 
CON LA CO LABORACIÓN DE Angel Sandova l L em u s
(Versión para fase inicial)
1999
MATEMÁTICAS II
2
MATEMÁTICAS II
Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje
1998. Secretaría de Educación Pública/ Dirección General del Bachillerato
COSTO DE RECUPERACIÓN $ 15.00
3
ÍNDICE
Presentación ................................................................................................................................... 5
UNIDAD I. Geometría ....................................................................................................................... 7
1.1. Polígonos.............................................................................................................................................. 8
1.1.1. Clasificación de polígonos.............................................................................................................. 8
1.1.2. Triangulación de polígonos......................................................................................................... 11
1.1.3. Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono...................................................... 13
1.1.4. Cálculo de perímetros y áreas..................................................................................................... 21
1.2. Círculo y circunferencia.................................................................................................................... 31
1.2.1. Elementos de la circunferencia................................................................................................... 31
1.2.2. Ángulos de la circunferencia....................................................................................................... 32
1.2.3. Transformación de medidas angulares..................................................................................... 35
1.2.4. Cálculo del perímetro de la circunferencia y área de un círculo.......................................... 38
1.3. Sólidos.................................................................................................................................................. 51
1.3.1. Prismas............................................................................................................................................. 51
1.3.2. Paralelepípedos............................................................................................................................... 58
1.3.3. Cilindro............................................................................................................................................ 68
1.3.4. Cono.................................................................................................................................................. 70
1.3.5. Esfera................................................................................................................................................ 71
Quiero saber más ..................................................................................................................................... 88
UNIDAD II. Trigonometría...................................................................................................... 89
2.1. Razones trigonométricas....................................................................................................... 90
2.1.1. Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente................................................. 92
2.1.2. Cálculo para ángulos notables: 30°, 45° y 60°............................................................... 94
2.1.3. Razones trigonométricas para triángulos rectángulos.............................................. 98
2.2. Funciones trigonométricas................................................................................................... 107
2.2.1. Funciones directas, inversas y/o recíprocas................................................................. 107
2.2.2. Círculo trigonométrico...................................................................................................... 116
2.2.3. Reducción al primer cuadrante......................................................................................... 117
2.3. Identidades trigonométricas................................................................................................. 144
2.3.1. Funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos.............................................. 179
2.3.2. Funciones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos...................................... 185
2.4. Triángulos................................................................................................................................. 200
2.4.1. Resolución de triángulos rectángulos............................................................................. 200
2.4.2. Resolución general de triángulos oblicuángulos.................................................................... 206
Quiero saber más........................................................................................................................................ 222
4
5
Las Matemáticas se conciben como una ciencia formal debido a que en su desarrollo
histórico ha construido métodos, lenguajes numéricos y procedimientos
sistemáticos que posibilitan la representación simbólica de la realidad o sus
fenómenos.
La Geometría y la Trigonometría se encuentran estrechamente relacionadas con el
cálculo de perímetros y áreas, volúmenes y ángulos; también se relacionan con las
razones, funciones, identidades y aplicación de leyes en: triángulo, rectángulo,
oblicuángulo, círculo, circunferencia y sólidos.
El familiarizarte con métodos matemáticos es parte del saber intelectual y científico, ya
que constituye una base para el avance de la ciencia y la tecnología; además, te
proporciona herramientas para tu propio desarrollo -individual y social- en la vida
cotidiana.
El conocimiento que te proporciona Matemáticas II, se aplica en actividades como el
arte, la cultura, la ciencia y la tecnología, facilitando el trabajo de músicos, dibujantes,
artistas, comerciantes, fabricantes de aparatos y máquinas, y carpinteros, entre otros.
La asignatura de Matemáticas II, por su particularidad en el método, lenguaje y
procedimiento, permite facilitar la representación de la realidad (es decir, podemos
visualizar y representar geométricamente, fenómenos, hechos y sucesos), estudiarla,
interpretarla y analizarla a través de la construcción de modelos.
Para abordar los contenidos que se han propuesto en esta asignatura, es importante
que consideres su secuencia lógica, orden y congruencia.
Cada una de las actividades que se te señalan tiene una función que debes seguir para
lograr tu proceso de aprendizaje. Para ello, se requiere que desarrolles tu habilidad de
lectura y de constancia en la resolución de ejercicios y problemas, de tal manera que
vincules los conocimientos adquiridos en esta asignatura con la vida cotidiana.
Los ejercicios de reflexión y aplicación (solución de problemas) te ayudarán a reafirmar
lo aprendido a partir de actividades que te permitan integrar, relacionar, contrastar y
generalizar nuevos conocimientos.
Al final de cada tema encontrarás conceptos y términos cuyo significado deberás
investigar. Te sugerimos que con ellos elabores un glosario y lo consultes para facilitar
tu estudio.
Cómo elaborar un glosario:
 - Anota en una tarjeta la palabra, su significado
 o definición, según el texto donde la localizaste.
 - Ordena las palabras alfabéticamente.
 - En caso de ser necesario anota tu interpretación
 al reverso de la tarjeta.
PRESENTACIÓN
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
S
 II
Palabra/concepto
significado
6Antes de iniciar con la primera unidad es conveniente que contestes el apartado llamado Evaluación
Diagnóstica (se encuentra en el cuadernillo de evaluación), con lo cual tendrás una idea de los
conocimientos y habilidades con que cuentas para iniciar la siguiente experiencia de aprendizaje.
A lo largo de las unidades de aprendizaje que forman la asignatura de matemáticas II, te encontrarás
con el apartado Quiero saber más donde se te proporcionarán actividades y ejercicios que requerirán
de la aplicación de los conocimientos aprendidos a lo largo de la unidad.
Es importante que lleves un registro de tus avances, con la finalidad de identificar los temas donde
necesites esforzarte para estudiar con mayor profundidad. Nunca te desanimes, analiza las dificultades
que has encontrado y supéralas. Ya sabes que hay más de una manera de resolver los problemas a los
que nos enfrentamos.
La importancia de esta asignatura radica en que te permite una visualización geométrica de los
fenómenos que se presentan en tu entorno, así como su interpretación, por medio de la construcción
de modelos matemáticos para su estudio.
El estudio de Matemáticas II fomentará tu capacidad de comprensión, análisis y reflexión, mismos
que aplicarás en las asignaturas de Física y Química, así como en las Matemáticas subsecuentes a este
curso.
Para abordar los diferentes temas y subtemas de este cuadernillo el texto base es: Baldor, J.A. Geometría
Plana y del Espacio. México, Publicaciones Cultural, 1996.
Para ampliar informes y conocimientos, además de tu cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje,
cuentas con un centro de asesoría en donde encontrarás diversos materiales didácticos (libros, guías -
cuadernillos de trabajo y evaluación-, videos y programas de T.V.), mismos que te ayudarán a aclarar,
reforzar y ejercitar los temas vistos, así como un asesor para resolver tus dudas.
Ubicación de la asignatura
La Aritmética y el Álgebra constituyen el fundamento teórico-metodológico para abordar los contenidos
de la asignatura en este segundo bloque. Dichos contenidos son la Geometría y la Trigonometría, los
cuales nos permitirán la representación y el estudio de fenómenos químicos, biológicos y físicos.
Matemáticas II se ubica en el segundo bloque y, junto con Matemáticas I, III y IV, constituye parte de
tu formación básica en la modalidad a distancia.
Objetivo de la asignatura
Aplicar la Geometría y Trigonometría, a través del uso de sus principios, lemas, teoremas y leyes, en
la resolución de problemas de la vida cotidiana.
7
¿QUÉ VOY A APRENDER?
GEOMETRÍA
UNIDAD IUNIDAD IUNIDAD IUNIDAD IUNIDAD I
Objetivo de la Unidad:
Resolver problemas de la vida cotidiana, a través de la aplicación de
conceptos, postulados y teoremas de polígonos, círculo, circunferencia y
sólidos; para determinar perímetros, áreas, superficies y volúmenes.
Para lograr el objetivo mencionado, la presente unidad se ha conformado por tres
temas: polígonos, círculos y circunferencias, y sólidos. De los polígonos conocerás
su definición, clasificación (regulares e irregulares), la suma de sus ángulos
(interiores y exteriores), la triangulación, y el cálculo de perímetros y áreas. Con
el estudio del círculo y la circunferencia desarrollarás habilidades para: identificar
cuáles son los elementos que constituyen la circunferencia, conocer sus ángulos
(interiores, exteriores, central, inscrito y semi-inscrito), el arco, la transformación
de las medidas angulares, así como obtener áreas y perímetros. En cuanto a los
sólidos estudiarás los prismas, paralelepípedos, cilindros, cono y esfera, de los cuales
podremos conocer sus volúmenes y superficies respectivamente.
8
1.1. POLÍGONOS
1.1.1. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
Lee con atención las siguientes fichas temáticas:
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
Concepto y definición
Un polígono es una figura geométrica determinada por una polígonal cerrada. Una polígonal es la
sucesión de segmentos de recta en los que el origen de un segmento coincide con el final de otro.
Las poligonales pueden ser cerradas o abiertas.
LÍNEA POLIGONAL POLÍGONO
 Polígono Concepto Ejemplo
 Equilátero Es el que tiene todos sus lados iguales.
 Equiángulo Es aquel que tiene todos sus ángulos iguales
 Convexo Es el que tiene todos sus ángulos menores de 180°
Cóncavo Es aquel que tiene uno o varios ángulos mayores
 de 180°
¿CÓMO APRENDO?
 
 
· 
· 
· 
· 
· · 
· · 
· · 
 
9
 
Los polígonos regulares son los que tienen ángulos y lados iguales, es decir, los que a la vez son 
equiláteros y equiángulos. 
 
Polígono Concepto Ejemplo 
 
Regular 
 
Los polígonos regulares son: 
 
· Triángulo ( 3 lados) 
 
 
· Cuadrilátero ( 4 lados) 
 
 
· Pentágono ( 5 lados) 
 
 
· Hexágono ( 6 lados) 
 
 
· Heptágono ( 7 lados) 
 
 
· Octágono ( 8 lados) 
 
 
· Eneágono ( 9 lados) 
 
 
· Decágono (10 lados) 
 
 
· Endecágono (11 lados) 
 
 
· Dodecágono (12 lados) 
 
 
· Pentedecágono (15 lados) 
 
 
Los demás polígonos no tienen nombre 
particular; se dice polígono de 23 lados, 
polígono de 16 lados, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dibuja los polígonos restantes y 
observa que a medida que aumentan los 
lados se hace igual a la circunferencia. 
POLÍGONOS REGULARES: Concepto y definición
10
POLÍGONOS IRREGULARES: Concepto y definición 
 
Los polígonos irregulares son los polígonos de lados desiguales o ángulos desiguales; por 
ejemplo, cualquier triángulo que no sea equilátero o equiángulo. 
 
Polígono Concepto Ejemplo 
Rectángulo Son los que tienen lados iguales (dos 
a dos) y los cuatro ángulos son 
rectos. 
 
 
 
 
Trapecio 
rectángulo, 
isósceles o 
escaleno. 
 
 
Es la sección inferior de un triángulo 
rectángulo cortado por una línea 
paralela a la base. 
 
 
Es la sección inferior de un triángulo 
isósceles cortado por una línea 
paralela a la base. 
 
 
Es la sección inferior de un triángulo 
escaleno cortado por una línea 
paralela a la base. 
 
 
 
Trapezoide 
 
 
Es aquel que no tiene ningún lado 
paralelo. 
 
 
 
Rombo 
 
Es un paralelogramo de lados iguales 
y ángulos opuestos iguales (dos a 
dos). 
 
 
 
Romboide 
 
 
Es un paralelogramo de lados 
consecutivos desiguales y ángulos 
iguales (dos a dos). 
 
 
 
 Lee las páginas 73-75 del texto de Baldor, elabora un cuadro donde clasifiques los 
 diferentes polígonos. Posteriormente, compáralo con la ficha temática. 
 
11
1.1.2. Triángulación de polígonos
Antes de ver la suma de ángulos interiores y exteriores, lee las páginas 75, 77 y 82 del libro de
Baldor y conteste lo siguiente:
1. Se le llama �Diagonal� al:
2. De acuerdo al concepto anterior, traza las �diagonales� correspondiente a cada figura de los
polígonos.
Son diagonales
3. Es muy importante que analices y concluyas que el número de �diagonales� que pueden
trazarse desde un vértice es igual a:
Si tienes duda al respecto lee el teorema 26 de la página 77 de Baldor, Op. cit.
 
D C 
A B 
FIGURA 1 
D C 
A B 
FIGURA 2 
B 
D 
F C 
E 
A 
FIGURA 5 
D 
E C 
A B 
FIGURA 4 
D C 
A B 
FIGURA 3 
 
 
Referencia 
 
N° de lados del 
polígono 
N° de Diagonales 
que se forman 
desde un vértice 
d=n-3 
 
 
Polígono 
N° de triángulos 
que se forman 
D=n-2 
 
Fig. (1) 
Fig. (2) 
Fig. (3) 
 
 
 
4 
 
 
 
d4=4-3=1 
 
 
 
Fig. (4) 
 
 
 
 
 
5 
 
 
d5=5-3=2 
 
 
 
Fig. (5) 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
d6=6-3=3 
 
 
 
 
 
AC y BD 
12
Ahora vas a completar en la siguiente tabla, la última columna al calcular el número de trián-
gulos obtenidos en cada polígono al trazar los �Diagonales� desde un vértice.
Así el número de triángulos que se forman de acuerdo al polígono es �n-2�. (El alumno debió
escribir 2, 3 y 4 triángulos).
4. Para calcular el número total de �Diagonales� se debe considerar si:
5. Y la fórmula es:
6. Completa la tabla:
 
Ejemplo 
 
 
N° de lados n 
 
 
Total de diagonales 
D=
( )
2
3nn -
 
N°total de 
diagonales en el 
polígono 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
( ) ( )
2
2
4
2
14
2
344
D4 ===
-
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 
13
1.1.3. Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono
Lee la siguiente ficha temática y analiza cómo se resolvieron los polígonos regulares.
Para realizar la suma de los ángulos, tanto interiores como exteriores, es importante
considerar: a) el número de lados y b) el número de triángulos que se forman del polígono
al trazar las diagonales.
Ejemplos:
FORMULARIO 
SUMA DE ÁNGULOS 
Interiores 
Si = 2 R (n - 2) 
 
 
 
 
Si= suma de los ángulos interiores de un 
 polígono 
Se= suma de los ángulos exteriores de un 
 polígono 
i=ángulo interior 
e= ángulo exterior 
R= ángulo recto de 90° 
n= No. de lados del polígono 
n-2= No. de triángulos que se forman 
Exteriores 
 Se = 4 R 
 
VALOR DEL ÁNGULO 
Interiores 
 i = 
n
2) - (nR 2
 
Exteriores 
e= 
n
R 4
 
 
 
 Polígono: TRIÁNGULO 
 
 
 
No. de lados = 3 
No. de triángulos que se forman: 3 � 2 = 1 
 
SUMA DE LOS ÁNGULOS 
Interiores 
2 (90°) (3 - 2) = 180° (1) = 180° 
Exteriores 
4 (90°) = 360° 
 
 1 
 2 
3 
14
 
 
 
 
 
 
No. de lados = 5 
No. de triángulos que se forman: 5 - 2 = 3 
 
1 
3 
4 
2 
5 
Polígono: PENTÁGONO 
VALOR DEL ÁNGULO 
Interiores 
 
0
0
60
3
180
= 
 
 
Comprobación:(60°)(3)=180° 
Exteriores 
 
°=
°
120 
3
360
 
 
 
Comprobación: (120°)(3)= 360° 
 
Polígono: CUADRILÁTERO 
 
 
 
 
No. de lados = 4 
No. de triángulos que se forman: 4 - 2 = 2 
SUMA DE LOS ÁNGULOS 
Interiores 
2 (90°) (4 - 2) = 180° (2) = 360° 
Exteriores 
4 (90°) = 360° 
VALOR DEL ÁNGULO 
Interiores 
0
0
90
4
360
= 
Comprobación 
(4) (90°) = 360° 
Exteriores 
0
0
90
4
360
= 
Comprobación 
(4) (90)=360° 
 
 
90° 
90° 
90° 
90° 
60°
60° 60°
120°
120°
60°
60° 60°
120°
120°
 
 
60° 
60° 60° 
 
2 
1 3 
4 
 
90° 90° 
90° 90° 
15
SUMA DE LOS ÁNGULOS 
Interiores 
2 (90°) (5 - 2) = 180° (3) = 540° 
Exteriores 
4 (90°) = 360° 
VALOR DEL ÁNGULO 
Interiores 
0
0
108
5
540 = 
 
 
Comprobación 
(5) (108°) = 540° 
Exteriores 
0
0
72
5
360
= 
 
 
Comprobación 
(5) (72°)=360° 
 
10 8°
10 8° 10 8°
10 8°10 8°
 
7 2 °
7 2 °
7 2 °
7 2 °
7 2 °
 
 Una vez observadas las fichas temáticas, resuelve los siguientes ejercicios
 
 
 
 
 
 
 
 
No. de lados = 
No. de triángulos que se forman: 
SUMA DE LOS ÁNGULOS 
Interiores 
 
 
Exteriores 
 
VALOR DEL ÁNGULO 
Interiores 
 
 
Comprobación 
 
Exteriores 
 
 
Comprobación 
 
 
Polígono: HEXÁGONO 
16
 
 
No. de lados = 
No. de triángulos que se forman: 
SUMA DE LOS ÁNGULOS 
Interiores 
 
Exteriores 
 
VALOR DEL ÁNGULO 
Interiores 
 
Comprobación 
 
Exteriores 
 
Comprobación 
 
 
Polígono: HEPTÁGONO 
Con el conocimiento adquirido anteriormente, elabora un resumen para calcular el n°
de lados del polígono y el n° de triángulos que se forman, así como el valor del ángulo
interior y exterior, y la suma de cada uno de éstos.
Observa con atención los siguientes ejemplos.
N
o.
 d
e 
la
do
s 
 
 
POLÍGONO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n-2 
 
SUMA DE LOS 
ÁNGULOS 
INTERIORES 
Si =2R(n-2) 
 
VALOR DEL ÁNGULO 
 
 
 
 
SUMADE LOS 
ÁNGULOS 
EXTERIORES 
Se = 4R 
 
 
Triángulo 
 
 
 
 
3 
 
 
3-2=1 
 
 
2(90)(3-2)=180(1) 
 
 180° 
 
 
3
180°
=60° 
 
 
3
)90(4 °
=120° 
 
4(90)=360° 
 
comprobación 
(120°)(3)=360° 
 
 
Cuadrilátero 
 
 
 
 
4 
 
 
4-2=2 
 
 
2(90)(4-2)=180(2) 
 
 360° 
 
 
4
360°
=90° 
 
 
4
)90(4 °
=90° 
 
4(90)=360° 
 
comprobación 
(90°)(4)=360° 
 
 
 
Pentágono 
 
 
 
 
5 
 
 
5-2=3 
 
 
2(90)(5-2)=180(3) 
 
 540° 
 
 
5
540°
=108° 
 
 
5
)90(4 °
= 72° 
 
4(90)=360° 
 
comprobación 
(72°)(5)=360° 
 
 
 i=
n
)2n(R2 - 
 
e= 
n
R4
 
N
o.
 d
e 
tr
iá
ng
ul
os
 q
ue
 
lo
 fo
rm
an
 
17
 Con base en esto, completa el siguiente cuadro resumen:
N
o.
 d
e 
la
do
s 
 
 
POLÍGONO 
 
 
 
 
 
 
 
 
n 
 
 
 
 
 
 
 
 
n-2 
 
SUMA DE LOS 
ÁNGULOS 
INTERIORES 
Si =2R(n-2) 
 
VALOR DEL ÁNGULO 
 
 
 
 
SUMADE LOS 
ÁNGULOS 
EXTERIORES 
Se = 4R 
 
Hexágono 
 
 
 
 
 
 
 
Heptágono 
 
 
 
 
 
 
 
Octágono 
 
 
 
 
 
 
 
Eneágono 
 
 
 
 
 
 
 
Decágono 
 
 
 
 
 
 
 
N
o.
 d
e 
tr
iá
ng
ul
os
 q
ue
 
lo
 fo
rm
an
 
 i=
n
)2n(R2 - e= 
n
R4
 
18
 Lee del libro de Baldor, Op. cit., las páginas 81-82 y responde lo que se te pide.
1. ¿Qué es un cuadrilátero?
2. Señala sus características.
a) Lados consecutivos.
b) Lados opuestos
c) Vértices y ángulos opuestos
d) Suma de ángulos interiores
e) Diagonales desde un vértice
f) N° total de diagonales
 Lee del libro de Baldor, las páginas 82 - 87 y realiza las siguientes actividades:
1. ¿Qué criterio se utiliza para clasificar un cuadrilátero? Explica brevemente.
19
2. Dibuja un paralelogramo, trapecio, trapezoide, rectángulo, cuadrado, romboide y rombo.
Después indica sus características y elementos.
3. ¿Qué criterio se utiliza para indicar las propiedades particulares de los paralelogramos?
Explica brevemente.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20
4. Dibuja los paralelogramos y comenta las propiedades de cada uno.
5. Resuelve los ejercicios 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y 15 de la página 88 del libro de Baldor. Compara
tus resultados con los del libro. En caso de duda acude con tu asesor.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21
1.1.4. Cálculo de perímetros y áreas
Concepto y definición 
Perímetro: 
 
 
Área: 
 
Es la medida del contorno de una figura 
geométrica. Se representa con la letra P. 
 
Es la medida de una superficie. 
Se representa con la letra A. 
 
Ejemplos: 
Si ABC es un triángulo rectángulo, ¿cómo se calcula el perímetro y el área? 
 
P = a + b + c 
2
h))(B(
=A 
P = 3 + 4 + 5 = 12 cm 6 
2
12
2
)4)(3(
A === 
 
 A = 6 cm2 
Calcular el área de un triángulo cuya base mide 8 cm y la altura 6 cm. 
 
 
 
( )( )
2
hB
A = 24 
2
48
2
)6)(8(
A === 
 
 A = 24cm2 
 
 
 
 
 
P E R ÍM E T R O P = a + b + c 
 
Á R E A 
( )( )
2
hB
A =
 
 
 
P olíg on o : T R IÁ N G U L O 
 C 
4 cm 
5 cm 
B 
A 3 cm 
C 
6 cm 
8 cm A 
 
 
A 
P 
 
a 
c b a c 
b 
h 
B 
h 
B 
22
Cuando los triángulos no son rectángulos y se conocen las medidas de los tres lados, sus áreas
se calculan con la fórmula de Herón.
Ejemplos: 
 
Retomando el ejemplo anterior del triángulo rectángulo, observa cómo se calcula el área 
aplicando la fórmula de Herón. Compara los resultados. 
 
Semiperímetro = 6
2
12
2
543
S ==
++
= 
)36)(46)(56(6A ---= 
 
636)3)(2)(1(6A === 
 
A = 6 cm ² 
 
 
Calcular el área de un triángulo cuyos lados miden 9 cm, 7 cm y 5 cm, aplicando la 
fórmula de Herón. 
 
 
Semiperímetro = 5.10
2
21
2
975
S ==
++
= 
 
)55.10)(75.10)(95.10(5.10A ---= 
 
1875.303)5.5)(5.3)(5.1(5.10A == 
 
A =17.41 cm ² 
 
 
 C 
B A D 
h 
b 
a 
 
4cm 
3cm 
5cm 
C 
B A 
 
5cm 
9cm 
7cm 
C 
B A 
 
 El área de un triángulo en término de sus lados 
 a, b y c está dada por la fórmula de Herón: 
 
 )c-S)(b-S)(a-S(SA = 
 
 Donde S es igual al semiperímetrodel triángulo: 
 
 
2
cba
 S
++
= 
 
23
CÁLCULO DE PERÍMETRO Y ÁREA 
Ejemplo: 
Si se sabe que el área de ABCD es de 49 cm2, calcular: 
 
 
 a) el valor de x 
 b) el área sombreada de cada figura geométrica 
 c) el área total sombreada 
 d) el perímetro de la figura geométrica ABCD 
 
 Solución 
 Datos 
 AB = 2+x+2 = 4+x 
 BC = 2+x+2 = 4+x 
 Área total = ABCD = 49 cm2 
 
a) Como puedes observar, la figura geométrica es un cuadrado y conocemos que: 
 A=a2=(a)(a), por lo cual sustituimos los valores de cada lado en la ecuación. 
 
 A= (a)(a) 
49= (4+x) (4+x) 
49= 16+4x+4x+x² 
49= 16+8x+ x² 
 
 
 Se trata de una ecuación de 2do. Grado* y 
 para resolverla igualamos a cero y aplicamos la 
 fórmula General. 
x² +8x+16-49=0 
x² +8x-33=0 
)a(2
ac4bb
x
2 - - ±
= 
 * Recuerda que en el bloque 1estudiaste el tema 
 de ecuaciones 
a=1 
b=8 
c=-33 
 
3
2
6
2
148
x
2
148
2
1968
2
132648
)1(2
)33)(1(4)8()8(
x
2
==
+-
=
±
=
±
=
+±
=
±
= - --- - -
 
 x= 3 
 
 
2 
 C 
 
 
 L 
 
 
 
 
 K 
 
 
 B 
M N 
 D 
 
 
 O 
 
 
 
 
 P 
 
 
 A 
H 
E 
G 
F 
E 
I J 
2 x 
2 
 
x 
2 
24
X 
2 
 
b) El área sombreada de la figura geométrica ABCD es igual al: 
 
 rectángulo EFIJ = FGLK = HGMN = EHOP 
 
A=(2)(x) 
sustituyendo el valor de x obtenido anteriormente: 
A=(2)(3)=6 cm² 
 
EFIJ=FGLK=HGMN=EHOP=6 cm² 
 
c) El área sombreada total es: 
 
A TOTAL=(4 figuras geométricas) (A rectángulo) 
 
AT=(4)(6)=24 cm² 
 
 
d) El perímetro del cuadrado ABCD es: 
 
 P=4(2+x+2) 
 
 sustituyendo el valor de x=3 en la expresión anterior: 
 
 P=4(2+3+2)=4(7)=28 cm 
 
 P= 28 cm 
 
 Comprobación: 
 
 El área del cuadrado ABCD mide 49 cm² (dato original): 
 
 A= (2+x+2) (2+x+2) 
 
 sustituyendo el valor de x=3: 
 
 A= (2+3+2) (2+3+2) = (7)(7)=49 
 
 A= 49 cm² 
 
 
 
 
25
Polígono: CUADRADO 
 
 
 
 
P = a + a + a + a A = (lado)(lado)=(a)(a) = a2 
 
 
Ejemplo: 
Calcular el perímetro y el área de un cuadrado cuyo lado mide 2 cm. 
 
 
P = a + a + a + a A = (a) (a) 
P = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 cm A = (2)(2) = 4 cm2 
P = 8 cm A = 4 cm2 
 
 
 a 
a a 
a 
 2 cm 
2 cm 2 cm 
2 cm 
Polígono: RECTÁNGULO 
 
 
 
P = 2a + 2b A = (largo) (ancho) 
 
 A = (a)(b) 
 
Ejemplo: 
Calcular el perímetro y el área del rectángulo, si el largo mide 8 cm y el ancho 5 cm. 
 
 
P = 2(8) + 2(5) = 16 + 10 = 26 cm A = (8)(5) = 40 cm2 
P = 26 cm A = 40 cm2 
 
 
 
 a 
b 
 
5 cm 
8 cm 
Polígono: PENTÁGONO REGULAR 
 
 
 
 
 
 
P = suma de las medidas de sus lados 
 li 
 
P = n · li 
 
)(a (P) 
2
1
 =A 
a = apotema 
P = perímetro 
 
å 
n 
1 =i = P 
 
a 
li 
E 
A 
D 
C 
B 
26
Polígono: ROMBO 
 
 
 li = (4) (li) 
 
( )( )
2
dD
 = A 
donde: 
D = diagonal mayor 
d = diagonal menor 
 
Ejemplo: 
Calcular el perímetro y el área del rombo cuyos lados miden 2 cm, su diagonal mayor 3.5 
cm y la menor 1.7 cm. 
 
 P = 4(2) = 8 cm 
 
P = 8 cm 
 
( )( )
 2.975 = 
2
7.13.5
 = A 
 
A = 2.975 cm2 = 2.9 cm2 
 
 
å 
4 
1 = i = P 
 
d 
D 
li 
Ejemplo: 
Calcular el perímetro y el área de un pentágono regular cuyo lado mide 2.3 cm y su 
apotema 1.5 cm. 
 P = n · li 
P = 5(2.3) = 11.5 cm 
 
P = 11.5 cm 
 
( )( )ap 
2
1
 = A 
A = 
2
1
 (11.5) (1.5) = 8.625 cm2 
A = 8.6 cm2 
 
 
 
a 
L=2.3 
E 
A 
D 
C 
B 
 
3.5 
1.7 
2i =l 
27
 
Polígono: TRAPECIO 
 
 
 
 
 
 
 li (lados) 
h
2
bB
A ÷
ø
ö
ç
è
æ +
= en donde: B = base mayor 
 b = base menor 
 h = altura 
 
 
Ejemplo: 
Calcular el perímetro y el área del trapecio cuya base mayor mide 4 cm y la menor 1.5 
cm, la altura es de 2 cm y el último lado mide 3.3 cm. 
 
 P = 4 + 1.5 + 2 + 3.3 
P = 10.8 cm 
 
( ) 5.52
2
5.5
)2(
2
1.5+4
 = A =÷
ø
ö
ç
è
æ=÷
ø
ö
ç
è
æ 
 
A = 5.5 cm 2 
 
 
å 
4 
1 = i = P 
B 
h 
b 
 1.5 
3.3 
4 
2 
Polígono: IRREGULAR 
 
 
Para el cálculo del área de polígonos irregulares se aplica el 
método de triangulación y se calcula el área de cada triángulo. 
La suma de las áreas de todos los triángulos es el área del polígono 
irregular. 
 
 
 
 
 Calcular el área del polígono irregular, tomando como base 
 la figura de la izquierda. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
5 
2 
3.16 
II 
III 
IV 
28
 
Ejem plo: 
 
¿Cuál es el área de un rectángulo cuya diagonal m ide 9 cm y su altura 2 cm? 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 X = ? 
 
 
Datos 
 
Diagonal = 9 
Altura = 2 
Ancho = ? 
 
 
 
 
 
 
Determinar el N° 
de triángulos. 
 
 
Triángulo 
 
 I 
 
 
 II 
 
 
 III 
 
 
 IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N° triángulos = n � 2 
N° triángulos = 6 � 2 
N° triángulos = 4 
 
Cálculo de área 
 
2cm1
2
2
2
1x2
 = A == 
 
2cm3
2
6
2
3x2
 = A == 
 
2cm5
2
10
2
5x2
 = A == 
 
2cm5.4
2
9
2
3x3
 = A == 
 
Suma total de las áreas = 1 + 3 + 5 + 4.5 = 13.5 cm2 
 
Área total = 13.5 cm2 
 
 
 
9 cm 2 
29
 
Aplicando el Teorema de Pitágoras (visto en Matemáticas I): 
 
77.877x
77x
481x
29x
92x
2
2
222
222
==
=
-=
=
=+
-
 
 
 Aplicando la fórmula del área de un rectángulo: 
 
 A=(a)(h)=(x)(2) 
 
 Sustituyendo el valor de �x�: 
 
 A=(8.77)(2)=17.54 
 
 
 
 
Ejercicio tomado de Geometría y trigonometría de Baldor, pp. 228-229. 
 
 
Resultado 
A=17.54 cm2 
 Realiza los siguientes ejercicios. Al finalizar verifica tus respuestas.
1. Calcular el perímetro y el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos son 6 y 8 cm.
2. Calcular el área de un triángulo cuya base mide 12 cm y la altura 7 cm.
3. Calcular el perímetro y el área de un rectángulo donde el largo mide 12 cm y el ancho 7
cm.
4. Calcular el perímetro y el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 3 cm y su apotema
1.5 cm.
5. Calcular el perímetro y el área del rombo donde la diagonal mayor mide 9 cm, la menor 6
cm y los lados 5.5. cm.
6. Calcular el perímetro y el área de un trapecio donde la base mayor mide 2 veces más que la
base menor que mide 3 cm, la altura es de 4 cm, y el último lado 5 cm.
30
 4 4 
2 
4 
6 
2 4 2 
 
 
Respuestas: 
 
1. P = 24 cm A = 24 cm2 
2. A = 42 cm2 
3. P = 38 cm A = 84 cm2 
4. P = 18 cm A = 13.5 cm2 
5. P = 22 cm A = 27 cm2 
6. P = 18 cm A= 18 cm2 
7. Atotal = 6 + 16 + 12 + 2 + 4 
 Atotal = 40 cm2 
 
 
 Para concluir con este tema, realiza las siguientes actividades.
1. Resuelve los ejercicios: 1, 3, 5, 7, 8, 9, 12 de las páginas 228-229, y 15, 17 y 19 que aparecen
en las páginas 230 y 231 del libro de Baldor. Recuerda que para obtener la incógnita (x)
requieres del Teorema de Pitágoras en los ejercicios 5, 8 y 9.
 2. Lee las páginas 203-215 y 218-220 del mismo libro y señala los diferentes polígonos
regulares e irregulares; al lado de cada figura,escribe la fórmula para calcular su área.
7. Calcular el área del polígono irregular de las siguientes dimensiones
31
1.2. CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
Concepto de circunferencia y círculo 
 
 
La circunferencia: Se refiere a una curva cerrada y plana donde 
todos sus puntos equidistan de otro punto interior llamado centro 
(se representa con la letra O mayúscula). 
 
 
 
 
 
El círculo: Se refiere a todos los puntos de una circunferencia así 
como a los interiores de la misma; es decir, es la superficie plana 
limitada por la circunferencia. 
 
1.2.1. Elementos de la circunferencia 
 
Radio: Es el segmento que va del centro a un punto de la 
circunferencia (se representa con la letra r). 
 
 
 
Diámetro: Es el segmento de recta que pasa por el centro del 
círculo y une dos puntos (A y B). El diámetro es la mayor cuerda 
posible trazada en una circunferencia. 
 
 
 
 
Cuerda: Es el segmento de recta cuyos extremos (A y B) son 
puntos de la circunferencia [ l ]. 
 
 
 
 
Arco: Es el segmento de curva marcado por dos puntos A y B de la 
circunferencia [Ç]. 
 
 
Secante: Es la recta AB que corta en dos puntos a la circunferencia 
por cualesquiera de sus puntos. 
 
 
 
 
Tangente: Es la recta AB que toca a la circunferencia en un solo 
punto (C). 
 
 
 
 
.O 
 
.O 
 
r O 
 
B 
A 
O 
 
B 
A 
.O 
 
B 
A 
. O 
 
B A 
. O 
 
B 
A 
. O C 
32
1.2.2. Ángulos en la circunferencia 
 
 
 
 
 
Ángulo Central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la 
circunferencia y sus lados son radios. 
 ángulo central = 0= AOB=ÇAB 
 
 
 
 
 
 
 
Ángulo inscrito: Es aquel que tiene su vértice en la circunferencia 
y sus lados son dos secantes. 
 ángulo inscrito = ABC= 
2
ACÇ
 
 
 
 
 
 
 
Ángulo semi-inscrito: Es aquel que tiene su vértice en la 
circunferencia, donde uno de sus lados es una tangente y el otro una 
secante. 
 ángulo semi-inscrito = BAC =
2
ADÇ
 
 
 
 
 
 
 
 
Ángulo ex-inscrito: Es aquel ángulo adyacente a un ángulo 
inscrito. CBD es el ángulo ex-inscrito 
 
 
 
Ángulo adyacente: Es aquel que tiene el mismo vértice con otro 
ángulo y un lado común que los separa. 
 
 
 
 
 
Ángulo interior: Es aquel cuyo vértice es un punto interior de la 
circunferencia y sus lados son dos secantes. 
 ángulo interior = B= 
2
DCAD Ç+Ç
 
 ABD, DBC, CBE, ABE son ángulos interiores 
 
 
 
 
 
Ángulo exterior: Es aquel cuyo vértice es un punto exterior de la 
circunferencia. 
 ángulo exterior = ABC = 
2
DEAC Ç-Ç
 
 
A 
. O 
B 
D 
C 
 
. O 
A 
B 
C 
D 
 
. O 
A 
B 
C 
D 
E 
 
. O 
A 
 
 
 
 
C 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
B 
 C 
B 
A 
E 
D 
. O 
33
Figura Datos Fórmula Sustitición y resultado 
 
 
Si: 
 Ç 0100AB = 
 encontrar: 
 AOB=? 
 
 
ángulo central 
 0= AOB=ÇAB 
Como 
 AOB= ÇAB 
 AOB=100° 
 
 Respuesta 
 AOB =100° 
 
 
Si: 
ÇAC=150° 
encontrar: 
 ABC = ? 
ángulo inscrito 
 ABC=
2
ACÇ
 
 ABC= °=
°
75
2
150 
 
 Respuesta 
 ABC=75° 
 
 Si: 
ÇBC=220° 
encontrar: 
 ABC = ? 
ángulo semi-inscrito 
 ABC=
2
BCÇ
 
 ABC= °=
°
110 
2
220
 
 
 Respuesta 
 ABC=110° 
 
 Si: 
ÇBD=20° y 
ÇAE=80° 
encontrar: 
 BCD = ? 
 
ángulo exterior 
 
 BCD = 
2
BDAE Ç-Ç 
 
 BCD= 0
OOO
30
2
60
2
2080 ==
- 
 
 Respuesta 
 BCD=30° 
 
 
 
 Si: 
ÇDC=60° y 
ÇAE=130° 
encontrar: 
 DBC = ? 
ángulo interior 
 DBC= 
2
DCAE Ç+Ç
 
 
 DBC= 
°=
°
=
°+°
95
2
190
2
60130 
 Respuesta 
 DBC=95° 
 
 Si: 
 AOC=70° 
 
encontrar: 
 ABC = ? 
ángulo central 
 AOC= ÇAC 
ángulo inscrito 
 ABC=
2
ACÇ
 
Como: AOC= ÇAC 
ÇAC=70° y 
 ABC=
0
0
35
2
70
2
AC
==
Ç 
 
 Respuesta 
 ABC=35° 
 
 
 
B o. 
A 
C 
O 
 
0. 
C 
A 
B 
Ejemplos:
Observa cómo se realizaron los cálculos para los ángulos y arcos de la circunferencia.
 
0 
A 
100°
B 
 
B D 
 C 
 A E 
 D 
A 
B C 
 
E 
 O . 
 
A 
C 
B 
.O 
34
Figura Datos Fórmula Sustitución y 
resultado 
 
 
 
 
Si: 
 BOC=40° 
encontrar: BAC=? 
 
 
 Respuesta 
 BAC=20° 
 
 
 
 
Si: 
 ABC=80° 
 ÇDC=35° 
encontrar: ÇAD=? 
 
 
 Respuesta 
 ÇAD=125° 
 
 
 
 
 
 
 
Si: 
EC es paralela a FB 
ÇBD=30° 
ÇAF=100° 
encontrar: BCD=? 
 ÇAE=? 
 
 
 
 Respuesta 
 BCD=50° 
 ÇAE=130° 
 
 
 
 
 
Si: 
 ABD=30° 
 ÇBE=70° 
encontrar: ACD=? 
 
 
 Respuesta 
 ACD=65° 
 Resuelve los ejercicios del 1 al 8 de las páginas 158 y 159 del libro de Baldor. En caso de
dudas acude con tu asesor.
 A B 
C D 
 Completa la siguiente tabla:
 A 
B 
C O 
 A 
B 
C 
D 
 
A B 
C 
D 
E 
F 
 
A 
B 
C 
D 
E 
· 
 
 
 
 
 
 
 
Figura Datos Fórmula Sustitución y 
resultado 
 
 
Si AB es una 
cuerda paralela a 
CD y BAC =35° 
 
encontrar: 
ÇBC=? 
ÇAD=? 
ángulo inscrito 
 BAC=
2
BCÇ y 
 ACD=
2
ADÇ 
 BAC= ACD 
 
por ser alternos 
internos (concepto 
visto en el bloque 
1). 
Como: 
 BAC = 35° 
 ACD=35° A.I. 
 BAC= 
2
BCÇ 
 
sustituyendo el 
valor del ángulo de 
35° y despejando el 
arco de BC. 
 
2( BAC)= ÇBC 
ÇBC=2(35° )=70° 
 ÇBC=70° 
ÇAD=2(<ACD) 
ÇAD=2(35)=70° 
 ÇAD=70° 
 
 
35
MEDIDAS ANGULARES 
La letra griega pp (pi) representa la relación que existe entre el diámetro de una 
circunferencia y su longitud; pp se define como la razón de L a D. 
D
L
p pp (pi): Es un número irracional por lo que no se puede expresar 
como cociente de dos números enteros. Su valor es 3.1416 
aproximadamente. 
 
UNIDAD DE MEDIDA 
Grado Radián 
La unidad de medida angular para la 
circunferencia es el grado [°], con lo cual 
se considera a la circunferencia dividida 
en 360°. 
Otra unidad de medida angular es el radián. 
Un radián es un ángulo cuya longitud de 
arco es igual al radio; se representa como: 1 
rad. 
1 revolución 
1°
1� 
1° 
 
= 360° 
= 60� 
= 60�� 
= 60 x 60 =3600�� 
El ángulo formado por 
 AOB representa un 
radián. 
 
1 rad = 
p2
3600
 = 570 17� 44.3� 
 
 
A 
B 
r O . 
p=180° 
2p=360° 
1.2.3. Transformación de medidas angulares 
Para desarrollar una transformación con las medidas angulares, consideremos el 
siguiente razonamiento sobre la circunferencia. 
 
De grados a radianes De radianes a grados 
 
 1p radián = 180° 1p radián = 180° 
 1p radián = 1° (180) 1 radián = 
p
0180
 
 \ 1°= 
180
 1p radián 
 
 
 
 
 
 0° 
36
II.- Convertir de grados a radianes 
 
1) 300 = ? radián 
Para convertir a radianes la medida de un arco se multiplica por: 
0180
p
 
300 ÷
ø
ö
ç
è
æ
0180
p
 
 
 
 
 
para simplificar las operaciones se saca la décima: 
rad 
18
3
p 
se saca tercera: 
 rad 
6
1
p 
 Respuesta: rad 
6
 = rad 
6
1
300 p
p= 
 
2) 600 = ? radián 
600 = 600 rad 
3
1
18
6
1800
pp
p
==÷
ø
ö
ç
è
æRespuesta: rad 
3
 
= rad 
3
1
600 p
p= 
 
 
3) 900 = ? radián 
 
900 = 900 rad 
2
1
18
9
1800 pp
p
==÷
ø
ö
ç
è
æ
 
 
 Respuesta: rad 
2
= rad 
2
1
900 p
p= 
 
 
 
 
Ejemplos:
37
IIII. Convertir de radianes a grados 
1) grados ?rad
6
=
p
 
 
La conversión a grados de la medida de un arco se realiza multiplicando el valor 
inverso: 
p
0180
 
 
0
00
30
6
180180
6
==÷÷
ø
ö
çç
è
æ
p
p
 
 Respuesta: 030rad
6
=
p 
 
 
2) grados ?rad
3
=
p 
 
0
00
60
3
180180
3
rad
3
==÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
p
pp
 
 Respuesta: 060rad
3
=
p 
 
 
3) grados ?rad
2
=
p 
 
0
00
90
2
180180
2
rad
2
==÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
p
pp
 
 Respuesta: 090rad
2
=
p 
 
 
 
38
1.2.4. Cálculo del perímetro de la circunferencia y área de un círculo 
 
El perímetro es el contorno que limita una 
circunferencia o la longitud de la circunferencia; 
es decir, el doble de p multiplicado por el radio. 
 
 Su fórmula es: 
 L=pD = p(2r)= 2pr 
 
Donde: L= longitud de la circunferencia 
 D= diámetro 
 p= 3.1416 
 r= radio 
 
El área de un círculo es igual al 
producto de p por el cuadrado de su 
radio. 
 
Su fórmula es: 
 A=p r² 
 
Donde: A= área del círculo 
 p= 3.1416 
 r= radio 
 
Ejemplos: 
 
1) Calcular el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 6 cm. 
 
 L=? Datos Fórmula Sustitución Resultado 
 r= 6 cm P=L=2pr L=2(3.1416)(6) L=37.70 cm 
 p= 3.1416 L=37.6992 
 P=? 
 
2) Una circunferencia tiene como diámetro 22 cm, ¿cuál será su perímetro? 
 
 Datos Fórmula Sustitución Resultado 
 D= 22 cm P=L=2pr r=
2
D
= 
2
22
=11 L=69.12 cm 
 p= 3.1416 D=2r L=2(3.1416)(11) 
 
 P=? r=
2
D
 L=69.1152 
 
 
 
 
 
D=22 
 
R=6 
39
ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR 
La corona circular es el área limitada por dos circunferencias concéntricas; es decir, 
cuando dos circunferencias tienen un mismo centro. Se representa como Acc. 
 
 El área de la corona circular se obtiene restando el área 
 del círculo mayor, al área del círculo menor: 
 Acc = A1 - A2 
 Acc = pr1² - pr2² =p (r1² - r2² ) 
 
 
r2 
r1 
3) Si el perímetro de una circunferencia es igual a 120 cm, ¿cuánto mide su radio? 
 
 Datos Fórmula Sustitución Resultado 
 L=P=120 cm L=2pr r=
)1416.3(2
120 r=19.10cm 
 p= 3.1416 Despejando �r� r= 
2832.6
120 
 r=? r=
ð2
L r=19.098 
 
 
4) Determinar el área de un círculo cuyo radio mide 8 cm. 
 
 
 Datos Fórmula Sustitución Resultado 
 r= 8cm A=pr² A=(3.1416)(8) ² A=201.06cm² 
 p =3.1416 A=201.0624 
 A=? 
 
 
 
5) Calcular el radio de un círculo cuya área mide 90 cm2. 
 
 Datos Fórmula Sustitución Resultado 
 A=90 cm² A=p r² 
p
A
r = r=5.35cm 
 p=3.1416 despejando �r� 
 r=? r² =
p
A
 6478.28
1416.3
90
r == 
 
p
A
r = r= 5.352366 
 
 
 
 
r 
 
R=8 
 
A=90cm2 
40
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR 
 
El área de un sector circular es igual a la mitad del producto de la longitud del arco por 
el radio. Se representa como Asc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
°
°
=
=
360
)n)((r 
 A
2
(L)(r)
 A
2
sc
sc
p
 
Donde: 
n° = ángulos en grados 
 
360° = son las partes en que se divide 
 el círculo •r n°
L
 
Ejemplos: 
 
1) Calcular el área de la corona circular donde el radio mayor mide 8 cm y el menor 5 cm. 
 
 Datos Fórmula Sustitución 
 r1=8cm Acc= p( r1² - r2² ) Acc=(3.1416)[82-52] 
 r2=5cm Acc=(3.1416)[64-25] 
 p= 3.1416 Acc=(3.1416)[39] 
 Acc=? 
 Resultado 
 Acc=122.52cm2 
 
2) Calcular el área de la corona circular (Acc) de la moneda de $5.00 que actualmente 
 circula en México. El Acc es la franja con símbolos prehispánicos. 
 
 Datos Fórmula Sustitución 
 d1=2.5 cm Acc= p( r1² - r2² ) Acc=(3.1416)[(1.25)2-(0.9)2] 
 \r1=1.25 cm Acc=(3.1416)[1.5625-0.81] 
 d2 = 1.8 cm Acc=(3.1416)(0.7525) 
 \ r2=0.9 cm Acc=2.364054 
 Acc=? 
 Resultado 
 Acc=2.36cm 
 
 
 
 
 
 
r1=8 
r2=5 
41
•
60°
r=50
0
B
L
A
 
 
Ejemplos: 
 
1) Determinar el área de un sector circular cuyo radio mide 12 cm y la longitud de arco 
es de 8 cm. 
 
 Datos Fórmula Sustitución 
 
 r=12 cm 
2
(L)(r)
 Asc = Asc = 
2
)12(8
 
 L=8 cm Asc = 48 
 Asc=? 
 
 
 
 
 
2) Si el radio de una circunferencia es de 50 cm, calcular el área del sector circular que 
define un ángulo central de 60°. 
 
 Datos Fórmula Sustitución 
 
 r=50 cm 2
(L)(r)
 A sc = 
 AOB=60° 
 
 
 
 360° es 2pr L = 52.36 
 60° es L(?) 
 después se sustituye 
.para obtener el área: 
 donde se obtiene: 
 
 L=
0
0
360
)2)(60( rp A= 2
)50)(36.52(
2
)r)(L(
= 
 
 
 Resultado 
 Asc = 1,309 cm2 
 
 
 
Resultado 
Asc = 48 cm2 
• r=12
L=8
0
Como se conoce �L� 
se realiza el siguiente 
razonamiento: 
Primero se calcula la 
longitud del arco: 
°
°
=
360
)(50)])[2(3.1416(60
 L 
2p r
360°
 
42
 
 
3) Si el área de un sector circular mide 150 cm² y su radio 30 cm. ¿Cuál es la longitud 
 del arco y el ángulo central que se forma? 
 
 Datos Fórmula Sustitución 
 Asc=150cm² 
2
)r)(L(
A sc = L=
30
)150(2 
 r=30cm despejando �L� L= 10 
 L= ? L=
r
A2 sc 
 AOB=? 
 
 
 
 360° es 2pr AOB=
)30)(1416.3(2
)10)(360( O
 
 
 X° (?) es L AOB=
496.188
3600 
 
 Donde se obtiene �x�: AOB=19.0985 
 X°= AOB= ( )( )
r2
L360
p
° 
 
 Resultados 
 L = 10cm. 
 AoB = 19.09° 
 AoB = 19°5� 
 
4) Calcular el área de un sector circular de 75° cuyo radio mide 4 cm. 
 
 Datos Fórmula Sustitución 
 AOB=75° °
°
360
nr 2
p
 
( )( ) ( )
°
°
360
7541416.3 2
 
 r=4cm °360
92.3769 
 Asc=? Asc=10.472 
 
 Resultado 
 Asc=10.47cm2 
 
 
2pr
360°
 
•
0
75°
A
r=4
B
 
Para encontrar el 
ángulo se sustituye 
el valor de L= 10 
en la expresión: 
Para calcular el 
ángulo partimos 
del razonamiento: 
•
A=150
0 r=30
B
A
L
 
 
 
 
 
 
 
 Resuelve los ejercicios 7 - 10 de la página 200 de Baldor. En caso de dudas acude con
tu asesor.
43
A
•
B
0
130°
 
Área del segmento circular 
 
El área del segmento circular se obtiene restando al área del sector circular, el área del 
triángulo incluido en el mismo. Se representa como Aseg. 
 
 Aseg= Asc-área triángulo 
 Aseg = 
2
bh
360
nr
0
02
-
 p 
 Aseg =
2
bh
2
)r)(L(
- Donde: L= longitud del arco AB 
 r= radio 
 
Ejemplos: 
 
1) Calcular el área de un segmento circular de 130° que pertenece a un círculo de 4 cm de 
radio, cuya cuerda mide 7 cm y la altura del triángulo correspondiente es de 2.5 cm. 
 
 Datos Fórmula Sustitución 
 
 Aseg =? Aseg = 
2
bh
360
nr 
0
02
-
p
 Aseg =
2
)5.2)(7(
360
)130()4)(1416.3(
0
02
- 
 
 AOB=130° Aseg = 2
5.17
360
528.6534
O - = 18.1514-8.75 
 r=4cm Aseg= 9.4014 
 b=7cm 
 h=2.5cm 
 
 
2) Determinar el área de un segmento circular definido en una circunferencia donde el 
 radio mide 9 cm, la longitud de arco 16 cm y la cuerda es igual al radio. 
 
 Datos Fórmula Sustitución 
 
 Aseg =? Aseg = 
2
)h)(b(
2
)r)(L(
- Por el teorema de Pitágoras: 
 r=9 cm Teorema de Pitágoras: 
 L=16 cm a² +b² =c² (4.5)² +h² =(9)² 
 
 b=9 cm h² =(9)² -(4.5)² 
 
 25.2081h -= 
 75.60h = 
 
 h=7.7942 
 
0
A B
• rr
 
 Resultado 
Aseg=9.40cm2 
•9 9
9
A B
L
 
•9 9
9
A B
L
 
 
44
 
Ejemplos: 
 
1) Dado un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia cuya altura es de 12 cm, 
 calcular el radio, el apotema y el lado. 
 
 Datos Fórmulas Sustitución Resultado 
 h=12 cm r= h
3
2
 r= ( ) 8
3
24
12
3
2
== r=8 cm 
 r=? a= h
3
1
 a= 4)12(
3
1
= a=4 cm 
 a=? l3=r 3 l3=8 3 =8(1.73) l3=13.86 cm 
 
 l3=? l3=13.8564 
 
 
 
 Aseg=
2
)79.7)(9(
2
)9)(16(
- 
 Aseg=
2
11.70
2
144
- 
 Aseg=72-35.05 
 Aseg= 36.95 
 
 Resultado 
 Aseg= 36.95 
 
 
 
9 9
9
h
9
4.5
h
 
Relación que existe entre: el lado, el apotema y el radio de polígonos regulares de 3, 4 y 6 
lados. Posteriormente este conocimiento será útil al estudiar el tema de prismas y 
pirámides. 
 
TRIÁNGULO EQUILÁTERO 
 Esta relaciónse forma al trazar el apotema �a� y el 
 radio �r� cuyos extremos son puntos de uno de los 
 lados del polígono �l �. 
 l3=r 3 
 radio: h
3
2
 
 apotema: a = h
3
1
 ó r
2
1 
 altura: h =a+r 
 
 
•0
l3
l6
r
A
D
C
B
r
a
 
45
2) Si en una circunferencia se encuentra inscrito un triángulo equilátero, ¿cómo se 
 determina el lado, el apotema y la altura sabiendo que el radio es igual a 16 cm? 
 
 Datos Fórmulas Sustitución Resultado 
 r=16 cm l3=r 3 )73.1(163)16(3 ==l l3=27.68 cm 
 l3=? a= r
2
1 l3=27.68 a=8 cm 
 a=? r= h
3
2
 a= 8)16(
2
1
= h=24 cm 
 h=? despejando �h�: h= 24)16(
2
3
= 
 h= r
2
3
 
 
 
CUADRADO 
 
 Lado del cuadrado: l4 = 2r 
 Apotema: 2r
2
1
2
1
a 4 == l 
 
 
 
 
 
EJEMPLOS: 
 
1) Dado un cuadrado inscrito en una circunferencia cuyo radio es igual a 9 cm, 
 determinar el lado y el apotema. 
 
 Datos Fórmula Sustitución Resultados 
 r=9 cm l4= 2r l4=(9)( 2 ) l4=12.73 cm 
 l4=? a= 2r
2
1
 l4=(9)(1.4142) a=6.36 cm 
 a=? l4=12.7278 
 a= )2)(9(
2
1
 
 a= )7278.12(
2
1 
 a=6.36 
 
 
·
l
4
l 4
A
B
C
D
l
4
l 4
 
46
2) Si en una circunferencia se encuentra inscrito un cuadrado, determinar el radio y el 
 apotema, sabiendo que el lado es igual a 20 cm. 
 
 Datos Fórmula Sustitución Resultados 
 l4=20 cm a= 4
2
1
l a= 10)20(
2
1
= a=10cm 
 r=? a= 2r
2
1
 r=
2
20
2
)10(2
= r=14.14cm 
 a=? despejando �r�: r= 14.14
4142.1
20
= 
 r=
2
a2
 
 
 
HEXÁGONO REGULAR 
 
 Lado del hexagono: l6 = r 
 Apotema: a = 3r
2
1
 
 
 
 
EJEMPLOS: 
 
1) Si en una circunferencia se encuentra inscrito un hexágono regular cuyo radio mide 8 
 cm, determinar el lado y el apotema. 
 
 Datos Fórmula Sustitución Resultados 
 r=8 cm l6 =r l6= r =8 cm l6=8 cm 
 l6=? a= 3r
2
1
 a= )3)(8(
2
1
 a=6.92 cm 
 a=? a= )73.1)(8(
2
1
 
 a=6.92 
 
2) Si en una circunferencia se encuentra inscrito un hexágono regular, ¿cuál es el radio 
 y el apotema si el lado es de 20 cm? 
 
 Datos Fórmula Sustitución Resultados 
 l6= 20cm r=l6 r=20 cm r= 20 cm 
 r=? a= 3r
2
1
 a= )3)(20(
2
1
 a=17.3 cm 
 a=? a = )73.1)(20(
2
1
 
 a=17.3 
 
 
•
r
l
6
a
1l
6 
6
2
1
l
a
r
6
2
1
l
a
r
 
47
 Resolver los ejercicios 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 de las páginas 184 y 185 del texto de
Baldor. En caso de dudas acude con tu asesor.
 Para complementar tu aprendizaje, realiza los siguientes ejercicios. Al finalizar
 compara tus resultados
1. Dado un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia, determinar:
a) El radio, el apotema y el lado, si la altura mide 30 cm.
b) El lado, el apotema y la altura, si el radio mide 12 cm.
2. Dado un cuadrado inscrito en una circunferencia, determinar:
a) El lado y el apotema, si el radio es igual a 25 cm.
b) El radio y el apotema, si el lado del cuadrado mide 60 cm.
3. Dado un hexágono regular inscrito en una circunferencia, determinar:
a) El lado y el apotema, si el radio mide 16 cm.
b) El radio y el apotema, si el lado del hexágono mide 5 cm.
Resultados:
1.
a) r=20 cm, a= 10 cm, l
3
=34.6l cm
b) l
3
=20.76 cm, a=6 cm, h=18 cm
2.
a) l4=35.35 cm, a=17.67 cm
b) a=30 cm, r=42.42 cm
3.
a) l6=16 cm, a=13.84 cm
b) r=5 cm, a=4.33 cm
48
CÁLCULO DE PERÍMETRO Y ÁREAS 
 
1) Determinar el área sombreada: 
 
 Datos Razonamiento Fórmula 
 l4=40 cm Az =(l) (l)=l² 
 r=20 cm Ao =pr² 
 
 
 Sustitución 
 Acuadrado = (40)² =1600 
 Acírculo = (3.1416)(20)² =1256.64 
 Asombreada = Acuadrado - Acírculo 
 As=1600-1256.64 Resultado 
 As=343.36 As= 343.36 cm² 
 
 
2) Determinar el área sombreada: 
 
 Datos Razonamiento Fórmula 
 b=500 cm Arect =(b)(h) 
 h=2500 mm Acír=pr² 
 h=250 cm 
2
1 Acír= 
2
1 pr² 
 r=125 cm 
 
 Sustitución 
 
 Arect =(500)(250)=125,000 
 A
cír2
1
=
2
1 (3.1416)(125)2=24,543.75 
 Asombreada = Arect- A
cír2
1 
 As=125,000-24 ,543.75=100,456.25 
 
 Resultado 
 As=100,456.25 cm² 
 
 
 
 - = 
 - = 
 
40cm 
40cm 
 
2500mm 
500cm 
r=125cm 
49
 
3) Determinar el área sombreada: 
 
 Datos Razonamiento Fórmula 
 
 cuadrado Arect=bxh 
 l4=20 cm Acua=l² 
 triánguloAtria=
2
bh 
 b=20 cm A
cir
2
1 = 
2
1 pr² 
 h=20 cm 
 
 círculo 
 r=20 cm 
 
 rectángulo 
 b=50 cm 
 h=40 cm 
 
 Sustitución 
 Arect=50x40=2000 
 Acua=(20)² =400 
 Atria=
2
)20(20 =200 
 A
cir2
1
= 
2
1 (3.1416)(20)2 = 628.32 
 Asom=2000-(400+200+628.32) 
 Asom =2000-1228.32 
 Asom =771.68 
 
 
 
 Resultado 
 As=771.68 cm² 
 
 
 
 
 
 
 
20
20
20
30
•r=20
 
 = - - - 
50
Para practicar lo aprendido, realiza lo siguiente:
1. Resuelve los ejercicios 22 al 31 de la página 232 del libro Baldor. En caso de duda acude
con tu asesor.
2. Lee de la página 128 a la 146 del libro de Baldor el apartado que se refiere a la definición
y diferencia entre circunferencia y círculo. Después elabora una ficha temática donde
indiques las principales diferencias entre la circunferencia y el círculo. Si tienes dudas,
acude con tu asesor.
3. Resuelve los ejercicios 1, 3, 5, 7, 8, 9 y 10 de las páginas 146-148 del libro de Baldor.
4. Lee de la página 149 a la 158 del libro de Baldor. Elabora un cuadro donde clasifiques los
diferentes ángulos de la circunferencia: central, inscrito, semi-inscrito, interior y exterior.
Si tienes dudas, acude con tu asesor.
5. Lee de la página 130 a la 133 del libro de Baldor, el apartado que se refiere al concepto de
Arco. Continúa tu lectura en las páginas 153-158. Elabora una ficha temática donde indiques
el concepto y las principales aplicaciones del arco. Si tienes dudas, acude con tu asesor.
6. Resuelve los siguientes ejercicios, expresando su respuesta en la medida angular solicitada,
después verifica tus respuestas.
 
I.- Convertir de grados a radianes: 
 
II. Convertir de radianes a grados: 
 
 
1) 00 
 
2) 1200 
 
3) 1500 
 
4) 1800 
 
5) 450 
 
6) 2700 
7) 2400 
8) 3000 
9) 3400 
10) 1950 
 
1) 
4
p
 
 
2) p
3
2
 
3) ð
5
3
 
 
4) 2 p 
 
5) ð
5
6
 
 
 
6) p
4
7
 
7) p
6
5
 
8) p
3
5
 
 
9) 1 p 
 
10) p
9
17
 
 
 
51
Respuestas:
7. Lee de las páginas 221-228 del texto de Baldor, el apartado sobre el área de un círculo.
Elabora un cuadro donde incluyas la definición de perímetro y área, así como sus fórmulas
y procedimientos para su cálculo.
1) 0 rad 
2) rad 
3
2
p 
3) rad 
6
5
p 
4) 1 p rad 
5) rad 
4
p
 
6) rad 
2
3
p 
7) rad 
3
4
p 
8) rad 
3
5
p 
9) rad 
9
17
p 
10) rad 
12
13
p 
1) 450 
 
2) 1200 
 
3) 1080 
 
4) 3600 
 
5) 2160 
6) 3150 
 
7) 1500 
 
8) 3000 
 
9) 1800 
 
10) 3400 
 
1.3. SÓLIDOS
En el medio en que vivimos nos encontramos frecuentemente con figuras de cuerpos
geométricos, las cuales pueden verse tan sencillas como complejas. Así, encontramos envases
tetrapack, edificios, esculturas, y pirámides, cuyas figuras se adaptan a la forma geométrica;
es decir, tienen tres dimensiones: longitud, altura y ancho.
1.3.1. Prismas
Un prisma es un poliedro con dos bases paralelas en forma de polígono y caras laterales que
son paralelogramos.
Entre la diversidad de figuras y cuerpos geométricos se distinguen las que están formadas
por polígonos* , y que por sus características los llamamos prismas.
 
52
 
PRISMAS REGULARES 
 
Son aquellos cuerpos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí, de tal manera, 
que en cada vértice concurren el mismo número de caras. 
 
Los prismas de mayor interés son los poliedros regulares, igual que en geometría plana 
se estudia los polígonos regulares, en los cuerpos sólidos se puede pensar en analogías 
con características en cuanto a la regularidad. 
 
A continuación se muestran algunas de las relaciones que se pueden establecer entre los 
polígonos de la geometría plana y los poliedros mencionados de la geometría del espacio. 
 
 Geometría plana Geometría del espacio 
 Polígono Poliedro 
êê êê 
 Cuadrilátero Prisma 
ê ê 
 Paralelogramo Paralelepípedo 
 
 
 Rectángulo Cuadrado Paralelepípedo Cubo 
 Rectángulo 
 
Tomado de Barnett, Rich. Geometría Plana con coordenadas. Teoría y 850 problemas resueltos. México, Mc Graw-Hill, 
1992, p. 14. 
 
 
Podemos identificar a los prismas rectos cuando las aristas laterales son perpendiculares a la
base y, a los prismas oblicuos (llamados romboides) cuando las aristas laterales son oblicuas
a la base.
Prisma recto Prisma oblicuo
* Polígono: Figura que se forma por una línea poligonal cerrada; existen dos tipos:
 Convexo, formado por una línea polígonal convexa
 Cóncavo, formado por una línea polígonal cóncava.
 
53
 
 
FIGURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCEPTO 
 
 
El tetraedro está limitado por cuatro caras 
que son triángulos equiláteros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
El cubo o hexaedro está limitado por seis 
caras que son cuadrados. 
 
 
 
 
 
 
El octaedro es limitado por ocho caras que 
son triángulos equiláteros. 
 
 
 
 
 
El dodecaedro es limitado por doce caras 
que son pentágonos regulares. 
 
 
 
 
 
 
El icosaedro, limitado por veinte caras que 
son triángulos equiláteros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sólo existen cinco prismas regulares, también sólidos poliédricos. Estos se clasifican, de
acuerdo con el tipo de polígonos de las bases, en: triangular, cuadrangular, pentagonal,
etc.
54
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La pirámide es un poliedro limitado por un 
ángulo poliedro y un plano que corta todas 
sus aristas en puntos distintos del vértice. 
Todas sus caras tienen un vértice común, 
menos la base que no tiene vértice. 
 
 
La altura de la pirámide es la distancia del 
vértice al plano de la base. 
 
 
Criterios análogos a los utilizados en 
prismas permiten clasificar las pirámides 
en: 
 
 
 
 
· Rectas y oblicuas. 
· Regulares e irregulares. 
· De base triangular, cuadrangular, 
pentagonal, hexagonal, etc. 
 
 
 
 
 
 
apotema 
Apotema 
(altura de la cara lateral 
o altura inclinada) 
Altura 
de la pirámide 
Cara 
lateral 
base 
En una pirámide regular el apotema es la altura de una de sus caras laterales (en algunos
libros se utiliza también el nombre de altura inclinada, o bien, altura de la cara lateral). Es
importante notar que el apotema de la pirámide forma, junto conel apotema de la base y la
altura de la pirámide, un triángulo rectángulo.
Tú puedes construir diferentes tipos de éstas, por el método experimental del hilo elástico
como se muestra en la siguiente figura:
55
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomada de García Arenas, Jesús y Beltrán Infante, Celestí. Geometría y experiencias. México, Alhambra, 1990, p. 131 
(Biblioteca de Recursos Didácticos). 
 
 
56
ÁREA Y VOLUMEN DEL PRISMA Y LA PIRÁMIDE 
 
El área de prismas y pirámides es igual a la suma de las áreas de las caras laterales más 
las áreas de las bases. 
 
Como te diste cuenta en la definición, para determinar el área de los prismas y pirámides, 
se requieren dos momentos: primero se obtiene el área lateral y después el área total. 
 
Prisma de altura h, con caras laterales rectangulares y bases pentagonales. 
 ´AA = h =altura 
 
 P= BCAB + AEDECD +++ 
 
 Fórmulas 
 área lateral 
 AL = (p) (h) 
 Donde: P= perímetro de la base 
 h= altura 
 área total 
 AT =(p) (h)+2B 
 Donde: B= Área de cada base. 
 
Pirámide regular con base pentagonal, altura inclinada y aristas de la base. 
 
 EG =altura inclinada 
 
 P= BCAB + FADFCD +++ 
 
 Fórmulas 
 área lateral 
 AL = hP
2
1 
 Donde: P = perímetro de la base 
 h = altura inclinada 
 área total 
 AT = hP
2
1 +B 
 Donde: B= área de la base 
 
 
Tomado de Clemens y otros. Geometría con aplicaciones y solución de problemas. México, Addison-Wesley 
Iberoamericana, 1989, p. 449. 
 
 
h
A´
B´ C´
D´
E´
B
B C
A
A
E
D
 
A
G
B C
D
F
E
 
57
VOLUMEN DE SÓLIDOS 
 
La unidad de medida de los prismas es la unidad cúbica, la cual se refiere al volumen de 
un cuerpo y es el número de unidades cúbicas que éste puede contener. 
 
Por ejemplo, una caja de forma rectangular con 4 unidades de longitud, 3 de ancho y 2 de 
altura, ocupa 24 unidades cúbicas como se muestra a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cubo 
l 
Figura 
Fórmula para 
el volumen 
V= 
l 3
 
l 
h 
a 
Rectángulo 
V=( 
l )(a)(h) 
h h 
Prisma 
V= Bh 
Donde: 
B=Área de la base 
Figura 
Fórmula para 
el volumen 
h 
Prisma recto 
V= Bh 
Donde: 
B=Área de la base 
del prisma 
• B 
h 
Pirámide regular 
V= Bh 
Donde: 
B= Á rea de la base 
de la pir á mide 
B 
24u2
= +
12u2
+
12u2
Total: 24u2
B 
58
Ejemplos: Cálculo de áreas y volumen de cuerpos sólidos 
 
1) Calcular el área y el volumen de un prisma en forma de cubo regular, cuyo lado mide 5 
 cm. 
 
 Datos Fórmulas Sustitución 
 l4=5 cm Área lateral Perímetro 
 AL=(P) (h) P= 4 (l)= 4(5)=20 cm 
 
 Perímetro de la base Área lateral 
 P= l1+l2+l3+l4 AL=(20) (5)=100 cm2 
 
 Área Total Área base cuadrada 
 AT= (P) (h)+2B B=A=(5)2=25cm2 
 B=A= área de la base AT= (P) (h)+2B 
 de la pirámide 
 B=A=l2 Área total 
 AT=(20) (5)+2(25) 
 V=l3 AT=100+50 
 AT=150 cm2 
 
 V=(5)3=125 cm3 
 
 Respuestas 
 AT=150 cm2 
 V=125 cm3 
 
5
B
5
5
 
 
1.3.2. Paralelepípedos 
 
Los prismas son poliedros de igual manera que los paralelepípedos son prismas. 
El paralelepípedo se caracteriza por tener caras en forma de paralelogramo (lados 
paralelos dos a dos). 
 
Podemos identificar algunos paralelepípedos: el rectángulo (cuya base es un rectángulo), 
el recto (sus aristas son perpendiculares a los planos de base) y el paralelogramo 
oblicuángulo (también llamado romboide). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
A B
F
D
C
H G
Rectángulo 
E
H
A
D
B
F
G
C
Cubo 
A B
D
C
E
H G
F
Romboide 
59
2) Calcular área y volumen de un prisma en forma rectangular, donde el largo mide 12 
 cm, el ancho 5 cm y la altura 3 cm. 
 Datos Fórmulas Sustitución 
 
 l =12 cm Área lateral Perímetro 
 a =5 cm AL=(P) (h) P=2(12)+2(5)=24+10=34 cm 
 h =3 cm 
 Perímetro de la base Área lateral 
 P = 2l + 2a Al=34(3)=102 cm2 
 Área total Área base rectangular 
 AT=(P) (h) +2B B=(12) (5)=60 cm2 
 
 B= Área de la base Área total 
 del prisma AT = (34)(3)+2(60) 
 rectangular AT=102+120 
 B = (l) (a) AT=222 cm2 
 
 V=(l)(a)(h) V=(12)(5)(3)=180 cm3