U6 pp 146 números reales

Vista previa del material en texto

Número real
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ) incluye
tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los
números irracionales;1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los
irracionales y los trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante una
fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya
trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.2 
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas
simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de
matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo
matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una
base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento
lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se
usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin
una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y
problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear
una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de
definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas)
del concepto de número real.3 En una sección posterior se
describirán dos de las definiciones precisas más usuales
actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Julio Rijo.
 
Editado por julio rijo
Historia
Evolución del concepto de número
Notación
Tipos de números reales
Racionales e irracionales
Algebraicos y trascendentes
Computables e irreductibles
Construcciones del conjunto de números reales
Presentación axiomática
Construcción por números decimales
Construcción por cortaduras de Dedekind
Cortaduras en el conjunto R de reales
Construcción por sucesiones de Cauchy
Definición de los números reales
Diferentes clases de números reales.
Recta real.
Índice
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/Cero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Euler
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal
https://es.wikipedia.org/wiki/Definici%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Clases_de_equivalencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Cauchy
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cortaduras_de_Julio_Rijo&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:N%C3%BAmeros_reales.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Real_number_line.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real
Propiedad Arquimediana (Axioma de Arquímedes)
Operaciones con números reales
Dos particiones
Véase también
Dos clasificaciones
Notas y referencias
Enlaces externos
Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor
del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos
liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números
irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios
cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se
utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard
Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba
irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una
definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha
por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de
conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos
grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos,
cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de
Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino
utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton,
Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.
Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin
embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos
descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les
inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».
En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean
múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para que las dos magnitudes tengan una medida entera. El
principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes
deben ser conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa
de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide raíz cuadrada de dos, :
Historia
Evolución del concepto de número
https://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egipto
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipcia
https://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.
https://es.wikipedia.org/wiki/500_a._C.
https://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Grecia
https://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
https://es.wikipedia.org/wiki/India
https://es.wikipedia.org/wiki/600
https://es.wikipedia.org/wiki/China_(regi%C3%B3n)
https://es.wikipedia.org/wiki/Europa
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVII
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIII
https://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
https://es.wikipedia.org/wiki/1871
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind
https://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekind
https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
https://es.wikipedia.org/wiki/Leibniz
https://es.wikipedia.org/wiki/Euler
https://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange
https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
https://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
https://es.wikipedia.org/wiki/Cauchy
https://es.wikipedia.org/wiki/Weierstrass
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_babil%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada_de_dos
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Oudjat.svg
Si por hipótesis es un número racional y está reducido, entonces de donde 
.
Si se supone que o tienen un dos en su descomposición entonces estaría al cuadrado y por tanto
sería una cantidad par en un lado de la igualdad cuando al otro lado es impar.
Por tanto, la suposición que es un número racional debe ser falsa.
Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa de un triángulo
rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelantelas magnitudes geométricas y las
cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante
los dos milenios siguientes.4 
Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores
numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmensurables, como la teoría de proporciones de
Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser
tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna) que si
a⁄b es una aproximación a √2 entonces p = a + 2b y q = a + b son tales que p⁄q es una aproximación más precisa. Repitiendo el
proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejor aproximación.5 Dado que las longitudes que expresan los
números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante
procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente
geométrica, identificando los números reales con los puntos de una línea recta.
Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notación algebraica,
lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se
encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales
incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora conocemos como números complejos). Sin embargo,
no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática.
Incluso con el desarrollo de la geometría analítica este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la
geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver
problemas geométricos.
Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que
permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número
irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por ejemplo, su expansión decimal).
Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:
entre muchas otras expresiones similares. Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin
problema un segmento con la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia
conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las
demostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.
Notación
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_proporciones_de_Eudoxo&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico
Los números reales se expresan con decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la
derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se sub
representan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún
faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.
Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es
más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser
escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde
íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de
estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo
y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la
continuidad.
Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo
es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los
números reales son recursivos.
Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de
ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, " ") en vez de su
respectiva aproximación decimal.
Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los
números reales. La notación matemática se refiere a un espacio de dimensiones de los números reales; por ejemplo, un
valor consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.
En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números
reales. Por ejemplo, matriz real, función real, y Álgebra de Lie real.
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden
expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los
demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente
periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer
número decimal .
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite
714285) .
 es irracional y su expansión decimal es aperiódica .
El conjunto de los números racionales se designa mediante .
Tipos de números reales
Racionales e irracionales
Algebraicos y trascendentes
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_discretas
https://es.wikipedia.org/wiki/Constructivismo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/R
https://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_s%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_real
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Lie
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
https://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_(aritm%C3%A9tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Latex_real_numbers.svg
Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de
coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son
algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los
números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número es algebraico puesto que es una raíz del polinomio 
Un ejemplo de número trascendente es 
El conjunto de los números algebraicos se designa mediante .
Un número real se dice computable si tiene una complejidad de Kolmogórov finita, es decir, si puede escribirseun programa
informático de extensión finita que genere los dígitos de dicho número. Si un número real no es computable se dice irreductible.
Una definición de número irreductible es:
El conjunto de números reales computables se designa por . Obviamente los racionales y los algebraicos son números
computables. De hecho se tiene la siguiente inclusión:
Además se tiene que todos estos conjuntos son numerables:
Esto implica que el conjunto de todos los números computables es un conjunto de medida nula.
Fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert. En textos actuales de cálculo y análisis matemático aparecen enunciados
equivalentes al de Hilbert.6 
Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más
común, el conocido como método directo que introduce el sistema (ℝ, +,., ≤), donde los elementos de ℝ se llaman números
reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ.7 Se presenta una variante axiomática, mediante las
siguientes tres propiedades:
Un conjunto es el conjunto de los números reales si
satisface las siguientes tres condiciones:
1. es un campo.
Computables e irreductibles
Construcciones del conjunto de números reales
Presentación axiomática
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_computable
https://es.wikipedia.org/wiki/Complejidad_de_Kolmog%C3%B3rov
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_medida
https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_(matem%C3%A1ticas)
2. es un conjunto totalmente ordenado y el
orden es compatible con las operaciones del
campo:
Si entonces ;
Si y entonces .
3. El conjunto K es completo: satisface el axioma
del supremo:
Todo conjunto no vacío y acotado
superiormente tiene un supremo.
El axioma del supremo es una variante del Principio de Weirstrass" que dice que toda sucesión de números
reales acotada superiormente tiene supremo
Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza
topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar
que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes al
conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma.
Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades
mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales.
En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales) y
estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo ℝ para representarlo.
Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que ℝ es completo en el sentido de Dedekind, pues existen otros
axiomas que se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente equivalentes. Algunos de
estos son:
(Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de Cauchy es convergente.
(Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión
convergente.
Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados tiene intersección no vacía.
Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de
modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto que satisfaga la
siguiente lista de axiomas.
1. Si , entonces (Cerradura en la suma)
2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)
3. Si , entonces (Asociatividad en la suma)
4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)
5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo)
6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)
7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)
8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)
9. Existe , de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)
https://es.wikipedia.org/wiki/Orden_total
https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_del_supremo
https://es.wikipedia.org/wiki/Supremo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfo
https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Cauchy
10. Para cada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo)
11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma)
12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
13. Si , y entonces (Transitividad)
14. Si y , entonces (Monotonía en la suma)
15. Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación)
16. Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en (Axioma del
supremo)
Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue de
otros cuerpos ordenados como . Debe señalarse que los axiomas 1 a 15 no constituyen una teoría categórica ya que puede
demostrarse que admiten al menos un modelo no estándar diferente de los números reales, que es precisamente el modelo en el
que se basa la construcción de los números hiperreales
Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que 
, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una secuencia infinita de
dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.
Un número decimal se expresa entonces como donde es un número entero y cada es un elemento del
conjunto . Además, consideramos que no existen las colas de 9.
Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero positivo se le denota por y se le llama el conjunto
de los números reales positivos.
Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero negativo se le denota por y se le llama el conjunto
de los números reales negativos.
Al número decimal se le llama cero.
Al conjunto se le denota por y se le llama conjunto de números reales.
Se define la relación de orden total de los números decimales como
1. para todo 
2. siempre que y 
3. para todo 
4. Dados dos números reales cualesquiera y , en cualquiera de los
casos siguientes:
 y además existe tal que para todo y 
Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de . Sin embargo es claro que se puede
aproximar con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los números racionales en
dos subconjuntos y de manera que en el conjunto se encuentran todos los números racionales y en todos los
Construcción por números decimales
Construcción por cortaduras de Dedekind
https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_tricotom%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_del_supremo
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_(l%C3%B3gica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_modelos
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=An%C3%A1lisis_no-est%C3%A1ndar&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hiperreal
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pi
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/0,9_peri%C3%B3dico
https://es.wikipedia.org/wiki/Orden_total
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
números racionales tales que .
Una cortadura de dedekind es un par ordenado que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura es el "espacio"
que hay entre y . De esta manera es posible definir a como tal que y 
.
Es posible demostrar que queda unívocamente definido por , de esta manera la cortadura se reduce simplemente a .
También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, de esta manera 
es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de los números reales bajo la teoría de
conjuntos.Un número real r determina sobre la recta real una cortadura cuyas clases son A={x/ x≤r} y B ={x/ x>r} 8 
Las sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real.[cita requerida] Tómese por
ejemplo, la igualdad.
Es claro que esta suma opera sólo con los números racionales de la forma:
sin embargo el resultado final es el número irracional . Cada vez que se añade un término, la expresión se aproxima más y más
a .
Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que una sucesión de
números racionales es una función se denota simplemente por .
Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes. Más
formalmente, se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales tales que para todo existe un 
 tal que para todo se cumple .
De esta manera es posible definir al número real como la sucesión de números racionales:
Sea Γ el conjunto de las sucesiones de Cauchy en Q. Sea la relación ρ siguiente, definida entre las sucesiones de Cauchy de Q,
(xn) y (yn):
(xn)ρ(yn) s. s.s. lim (xn-yn) = 0 cuando n → ∞
.
Cortaduras en el conjunto R de reales
Construcción por sucesiones de Cauchy
Definición de los números reales
https://es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenado
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_formal
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidad
Esta relación ρ es una relación de equivalencia en el conjunto de sucesiones de Cauchy con elementos del
conjunto Q de los números racionales.
Llamamos conjunto de los números reales al conjunto cociente R = Γ/ρ.
En seguida se define sobre R una ley de grupo aditivo, una relación de orden y una topología. Se demuestra que
Q ( conjunto de los racionales) es isomorfo a una parte de R.9 
Sean a > 0 y b números reales cualesquiera, existe un número natural n tal que na > b; esto expresa a su vez que la sucesión b/n
tiende a cero.10 
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con diversas excepciones importantes:
1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales,
(aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).
2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal
que 0·x=1).
3. No se puede hallar el logaritmo de un número real negativo, cualquiera sea la base de logaritmos, un número
positivo distinto de 1.11 
Estas restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los
lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se
presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos
para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.
1. El conjunto de los reales es la unión disjunta de los racionales y de los irracionales
2. El conjunto R es la unión de A y T, A el conjunto de los reales algebraicos y T el conjunto de los
trascendentes12 
Clasificación de números
Complejos Reales 
Racionales 
Enteros 
Naturales 
uno: 1
Naturales
primos
Naturales
compuestos
Cero: 0
Enteros negativos
Fraccionarios
Exactos
Periódicos
Puros
Mixtos
Propiedad Arquimediana (Axioma de Arquímedes)
Operaciones con números reales
Dos particiones
Véase también
https://es.wikipedia.org/wiki/Radicaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_entre_cero
https://es.wikipedia.org/wiki/As%C3%ADntotas
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_entre_cero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Uno
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuesto
https://es.wikipedia.org/wiki/Cero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal_peri%C3%B3dico
Irracionales Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios
1. Hay una partición del conjunto de los reales en dos subconjuntos: racionales e irracionales. Todos los racionales
son algebraicos y los irracionales pueden ser algebraicos y trascendentes.
2. Hay otra partición del conjunto de los reales en otros dos subconjuntos: algebraicos y trascendentes. Los
primeros son racionales e irracionales. Todos los trascendentes son irracionales2 
1. Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez,
Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada.
p. 13. ISBN 9788421659854.
2. Manual de matemáticas (1985) Tsipkin, Editorial Mir, Moscú, traducción de Shapovalova; pg. 86
3. Anglin, W. S. (1991). Mathematics: A concise history and philosophy. Springer. ISBN 3-540-94280-7.
4. Dantzig, Tobias (1955). The Bequest of the Greeks. London: Unwin Brothers LTD. 3982581.
5. Stillwell, John (1989). Mathematics and its History. Springer-Verlag. ISBN 3-540-96981-0. 19269766.
6. Haaser y otros, Kudiatsev; Bartle y otro, siguen
7. "El concepto de número de Número" (1973) César Trejo. La propuesta es de D. Hilbert que apareció en su
célebre artículo en 1900: Über die Zahlbegriff pp. 82 y 83
8. Kudriátsev: Análisis matemático, Editorial Mir Moscú, época de la URSS
9. Zamansky. Introducción al álgebra y análisis moderno. Montaner y Simon, Barcelona
10. Haaser y otros: Análisi matemático I
11. Aplíquese la definición de logaritmo
12. Courant: ¿Qué es la matemática?
 Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Número real.
Weisstein, Eric W. «Número real» (http://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld (en
inglés). Wolfram Research.
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Número_real&oldid=118823464»
Esta página se editó por última vez el 2 sep 2019 a las 00:01.
El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; pueden aplicarse
cláusulas adicionales. Al usar este sitio, usted acepta nuestros términos de uso y nuestra política de privacidad. 
Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una organización sin ánimo de lucro.
Dos clasificaciones
Notas y referencias
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788421659854
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/3-540-94280-7
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/3-540-96981-0
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikimedia_Commons
https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Real_numbers
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_real&oldid=118823464
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_3.0_Unported
https://wikimediafoundation.org/wiki/Terms_of_Use
https://wikimediafoundation.org/wiki/Privacy_policy
https://www.wikimediafoundation.org/