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Matemáticas para
Administración y
Economía
Matemáticas para
Administración y
Economía-
Segunda Edición
Ernest F. Haeussler, Ir./ Richard S. Paul
The Pennsylvania State University I
Traductor:
Lic. Alfred0 Díaz Mata
Facultod de Cantadurio y Administración
México, D.F.
Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).
Revisores Técnicos:
Ing. Francisco Paniagua Docanegra
Universidad Nocionol Autonoma de Mexico (UNAM).
México, D.F.
Ing. Andrds Rojas Lobato
Puebla. Mexico.
Universidod de las Americas (UDLA).
S.A. de C. I? -
G m p E d b k l ~ ~
Nebwka 199. Col. Nápoles, 03810 Mhico, D.E %l. 523 O9 94 Far 543 11 73
Versión en español de la obra lntroducrory Muthemuticul Analysis Sixth Edition
1 x 1 1 - Ernest F. Haeusder, Jr. y Richard S. Paul.
Edición original en inglés publicada por Prentice-Hall, Inc..
Copyright 0 1990, en Estados Unidos de América.
ISBN 0-13-501438-7
D.R. @ I992 por Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V.
Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida
e11 forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electrónico, mecanico,
de fotorreproducción, de almacenamiento en memoria o cualquier otro,
\ i n el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica.
ISBN 968-7270.97-7
Impreso en México
Edrfor: Nicolás Grepe P.
Prohtctor: Enrique Fradera T.
( 'u~ ' ) iw/u; Suzanne Behnke
i ocogmfiir de cubierfu: Slide Graphics of Ne\& England lnc
Grupo Editorial Iberoamérica S.A. de C.V.
Nebraska 199, Col. Nápoles, C.P. 03810 México, D.F.
Tel. 523-0994 Fax. 543-1173
Reg. CNIEM 1382
Apdo. 5-192, C.P. 06500
Prólogo
Esta nueva edición de Maternúticaspara Adrninistracicin J* Economía continúa propor-
cionando un fundamento matemático apropiado para los estudiantes de Administra-
ción, Economía, y Ciencias Sociales y Biológicas. Comienza con los temas previos a la
ciencia del Cálculo, como ecuaciones, funciones, matemáticas financieras, geometria
analítica, álgebra matricial y programación lineal. Luego presenta los aspectos del Cálcu-
lo en una y varias variables. Las demostraciones técnicas, condiciones, etc., se describen
en el grado suficiente, sin llegar a la sobreestimación. Se proporcionan a veces razona-
mientos intuitivos informales destinados a preservar la claridad.
En todo el libro se tiene abundancia y variedad de aplicaciones para los cursos a los
que se dirige este texto; los estudiantes perciben continuamente cómo se utilizan las máte-
máticas que están aprendiendo. Tales aplicaciones son en áreas tan diversas como las
ciencias económico-administrativas, las ciencias de la salud (biología, medicina, psicolo-
gía), ciencia de la Tierra, Ecología, Arqueología, etc. Al final de la obra figura un amplio
indice de aplicaciones. Muchas de estas aplicaciones en el mundo real se han tomado
de las publicaciones de esos campos y se documentan con referencias. En algunos casos
se proporciona el contexto completo a fin de estimular el interés. Sin embargo, este libro
es virtualmente autosuficiente en el sentido de que considera que no existe estudio previo
de los conceptos sobre los cuales se basan las aplicaciones.
Deseminadas en toda la extensión de la obra se presentan al lector muchas indicaciones
acerca de errores que se cometen por lo general, las cuales se especifican como Adverten-
cias. Las definiciones se enuncian y presentan con claridad. Los conceptos clave, así
como las reglas y las fórmulas importantes, se destacan en recuadro para patentizar
su importancia. Casi 800 ejemplos y problemas resueltos se analizan en detalle. AsÍ mis-
V
VI PRÓLOGO
mo, se incluye u n abundante número de ejercicios (más de 4000). En cada conjunto
de ejercicios hay grupos de problemas que se dan en orden creciente de dificultad; en
tales grupos los problemas se gradúan desde los de tipo básico de resolución mecánica
directa, hasta los de carácter más interesante que provoca el razonamiento profundo.
Se incluyen muchos problemas de tipo práctico con datos reales. Así mismo, se ha realiza-
do un esfuerzo considerable para lograr un equilibrio adecuado entre los ejercicios de
simple aplicación y los problemas que requieren la integración de los conceptos aprendi-
dos. Cada capítulo (excepto el 1 ) contiene una sección final titulada Reposo y que está
compuesta por las subsecciones “Terminología y símbolos”, “Resumen” y “Problemas
de repaso”.
Las Respuestas a los problemas de número irrlpar aparecen al final del libro. Para
muchos de los problemas de diferenciación de los Capítulos 1 1 y 12, las respuestas se
dan en las formas no simplificada y simplificada. Esto permite que los estudiantes verifi-
quen fácilmente su trabajo.
En esta edición se han efectuado varios cambios. En algunas secciones el material
ha sido reescrito y reorganizado para lograr una mayor claridad. Algunos conjuntos
de ejercicios se han revisado. Como temas nuevos se tienen las ecuaciones exponenciales
y logaritmicas (Secc. 6.4), el teorema del valor extremo (Secc. 13.2) y el método de New-
ton para aproximación de la raíz (Secc. 14.2). Se presentan anticipadamente las nociones
de intercepción y simetría respecto a los ejes (Cap. 4) para exponer el trazo de gráficas
sin el auxilio de la derivada, Se ha ampliado el Cap. 6 (Funciones exponenciales y logarít-
micas); incluye ahora el interés compuesto, el decrecimiento radiactivo y una sección
sobre ecuaciones logaritmicas y exponenciales. Se han hecho cambios extensos al Cap.
10 (Límites y continuidad). E n particular, la sección sobre continuidad refleja el papel
de los límites. El capítulo sobre diferenciación se ha dividido en dos para tener más
flexibilidad. Como resultado, las derivadas de las funciones logaritmicas y exponencia-
les, junto con la diferenciación implícita y las derivadas de orden superior, están en
un capitulo por separado. Ha sido reorganizado el Cap. 13 referente al trazo de gráficas.
En primer lugar se analiza la graficación de funciones que carecen de asíntotas y se con-
cluye con la investigación de éstas. Además, los valores y puntos extremos se tratan
ahora en una sección separada, En Cap. 15 (Integración), los problemas de valor inicial
se introducen en una nueva sección.
Una novedad en esta edición es la inclusión de una Aplicación práctica al final de
cada capitulo. Cada aplicación es un caso interesante, y a veces novedoso, de utilización
de los conceptos matemáticos expuestos en el capítulo respectivo. Muchas de las aplica- ’
ciones incluyen ejercicios.
Como todos los profesores establecen el plan de su curso de acuerdo con las condicio-
nes de cada grupo y el plan de estudios establecido, no se intentará proponer esbozos
de planes. Sin embargo, dependiendo de la preparación de los estudiantes, algunos profe-
sores opten por omitir el Cap. 1 (Repaso de álgebra) o el Cap. 2 (Ecuaciones). Otros
podran excluir las materias de álgebra matricial y programación lineal. Ciertamente que
hay Otras secciones que pueden ser omitidas a discreción del maestro. Como ayuda para
planear un curso, quizá sean útiles algunos comentarios. La Secc. 3.1 introduce algunos
términos de administración como ingreso total, costo fijo, costo variable y utilidades.
La Secc. 5.2 introduce la noción de las ecuaciones de oferta ( o abasto) y demanda, Y
la Secc. 5.6 analiza el punto de equilibrio. Algunas secciones son optativas y no causarán
problemas s i son omitidas. Tales son las 9.3, 9.5, 14.2, 16.1, 16.2, 17.4, 17.6, 17.9 Y
17.10. LaSecc. 8.9 puede omitirse si no se trata la Secc. 8.10.
PROLOGO VI I
Los interesados pueden conseguir de la casa editorial el extenso Manual del Profesor,
que contiene las respuestas a todos los problemas, y la resolución detallada de un gran
número de ellos. Como otras ayudas didácticas también están disponibles un Banco
de Exámenes Computadorizado, un Manual de Soluciones para el Estudiante, y la Edi-
ción Anotada para Profesores, de este libro de Matemáticas para Administración y
Economía.
Los problemas para resolver con ayuda de la calculadora electrónica se indican
Expresamos nuestro agradecimiento a los siguientes colegas que aportaron comenta-
rios y sugerencias degran valor para laevolución deeste libro: R. M. Alliston (Pennsylva-
nia State University), R. A. Alo (University of Houston), M. N. de Arce (University
of Puerto Rico), G. R. Bates (Western Illinois University), D. E. Bennett (Murray State
University), C. Bernett (Harper College), A. Bishop (Western Illinois University), S.
A. Book (California State University), A. Brink ((St. Cloud State University), R. Brown
(York University), R. W. Brown (University ofAlaska), S. D. Bulman-Fleming (Wilfrid
Laurier University), D. Calvetti (National College), K. S. Chung (Kapiolani Community
College), D. N. Clark (University of Georgia), E. L. Cohen (University of Ottawa),
J. Dawson (Pennsylvania State University), A. Dollings (Pennsylvania State University),
G. A. Earles (St. Cloud State University), B. H. Edwards (University of Florida), J.
R . Elliott ( WiIJrid Laurier University), J. Fitzpatrick (University of Texas at El Paso),
M. J. Flynn (Rhode Island Junior College), G. J. Fuentes (University of Maine), G.
Goff (Oklahoma State University), J. Goldman (DePaul University), L. Griff (Penn-
sylvania State University), F. H. Hall (Pennsylvania State University), V. E. Hanks ( Wes-
tern Kentucky University), J. N. Henry (California State University), W. U. Hodgson
( West Chester State College), B. C. Horne, Jr. (Virginia Polytechnic Institute and State
University), J. Hradnanski (PennsylvaniaState University), C. Hurd (Pennsylvania Sta-
te University), J. A. Jimenez (Pennsylvania State University), W. C. Jones (Western
Kentucky University), R. M. King (Gettysburg College), M. M. Kostreva (University
of Maine), G . A. Kraus (Cannon University), M. R. Latina (Rhode Island Junior Colle-
ge), J. F. Longman (Villanova University), I. Marshak (Loyola University of Chicago),
F. B. Mayer (Mt. San Antonio College), P. McDougle (University of Miami), F. Miles
(CaliforniaState University), E. Mohnike (Mt. San Antonio College), C. Monk (Univer-
sityof Richmond), J. G. Morris (University of Wisconsin-Madison), J.C. Moss (Padu-
cah Community College), D. Mulling (Pennsylvania State University), E. Nelson
(Pennsylvania State University), S. A. Nett (Western Illinois University), R. H. Oehmke
(University oflowa), Y.Y. Oh (Pennsylvania State University), N. B. Patterson (Penn-
sylvania State University), E. Pemberton ( Wirfrd Laurier University), M. Perkel (Wright
State University), D. B. Priest (Harding College), J . R. Provencio (Universityof Texas),
L. R. Pulsinelli (Western Kentucky University), M. Racine (University of Ottawa), N.
M . Rice (Queen's University), A. Santiago (University of Puerto Rico), W. H . Seibold,
Jr. (West Chester State College), J . R. Schaefer (University of Wisconsin-Milwaukee),
S. Sehgal (Ohio State University), S. Singh (Pennsylvania State University), E. Smet
(Huron Colcege), M. Stoll (University of South Carolina), B. Toole (University of Mai-
ne), J. W. Toole (University of Maine), D. H. Trahan (Naval Postgraduate School),
J. P. Tul1 (OhioState University), L. O. Vauhan, Jr. (UniversityofAlabamain Birming-
ham), L. A. Vercoe (Pennsylvania State University), M. Vuilleumier (Ohio State Univer-
sity), B. K. Waits (Ohio State University), A. Walton (Virginia Polytechnic Institute
and State University), H. Walum (Ohio State University), A. J. Weidner (Pennsylvania
Vlll PRÓLOGO
Srute University), 1.. Weiss (Pennsylvania State UniversitJj), N. A. Weigmann (Califor-
niu State University), C . R. B. Wright (University of Oregon), C . Wu (University of
Wisconsin-Milwaukee).
Además, agradecemos en especial a los colegas mencionados a continuación, sus útiles
comentarios y sugerencias para el mejoramiento de esta edición: John T. Gresser ( B o w
ling Green Stnte University), Raymond C. Heitmann (The University of Texasat Austin),
Don Mason (Elmhurst College), Robert A. Moreland (Texus Tech University), Gordon
Shilling (The University of Texas at Arlington), Laurence Small (Los Angeles Pierce
College), Edward T. H. Wang ( Wilfrid Laurier Universiry), y Gloria Woods (Ohio Strrte
University).
Por último, vaya nuestro sincero reconocimiento a John Morgan, nuestro supervisor
editorial, por su paciencia, ayuda experta y entusiasta colaboración.
Ernest F. Haeussler, Jr .
Richard S. Paul
1
m
Contenido
Prólogo v
C A P í T U L O 1 Repaso de Ólgebta
1.1 Propósito 1
1.2 Conjuntos y números reales 1
1.3 Algunas propiedades de los números reales 3
1.4 Operaciones con números reales 7
1.5 Exponentes y radicales 1 1
1.6 Operaciones con expresiones algebraicas 17
1.7 Factorización 23
1.8 Fracciones 26
C A P í T u L o 2 Ecuaciones
2.1 Ecuaciones lineales 33
2.2 Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales 40
2.3 Ecuaciones cuadraticas 43
2.4 Complemento 49
2.5 Repaso 50
Aplicación práctica: Crecimiento real de una inversión 52
33
IX
X CONTENIDO
CAP~TULO 3 Aplicaciones de las ecuaciones y
desigualdades
3.1 Aplicaciones de las ecuaciones 55
3.2 Desigualdades lineales 62
3.3 Aplicaciones de las desigualdades 68
3.4 Valor absoluto 71
3.5 Repaso 76
Aplicación práctica: Grabación de calidad en
videograbadoras 78
CAPíTULO 4 Funciones y gráficas
4.1 Funciones 81
4.2 Funciones especiales 88
4.3 Combinaciones de funciones 92
4.4 Gráficas en coordenadas rectangulares 97
4.5 Simetría 107
4.6 Repaso 1 13
Aplicación práctica: ¡Una experiencia en el pago de
impuesto! 1 17
CAP~TULO 5 Rectas, parábolas y sistemas
5.1 Rectas 121
5.2 Aplicaciones y funciones lineales 127
5.3 Funciones cuaráticas 135
5.4 Sistemas de ecuaciones lineales 141
5.5 Sistemas no lineales 151
5.6 Aplicación de los sistemas de ecuaciones 153
5.7 Repaso 163
Aplicación práctica: ¿Un juego de tenis? 167
CAPíTULO 6 Funcisnes exponenciales y
logasítmica
6.1 Funciones exponenciales 172
6.2 Funciones logarítmicas 18 1
6.3 Propiedades de los logarítmos 188
6.4 Ecuaciones logaritmicas y exponenciales 195
6.5 Repaso 201
Aplicación práctica: Dosificación de medicamentos 205
55
01
121
172
CONTENIDO
CAPíTULO 7 Matemáticas financieras
7.1 Interés compuesto 208
7.2 Valor actual ( o presente) 212
7.3 Anualidades 21 7
7.4 Amortización de créditos 227
7.5 Repaso 232
Aplicación práctica: La regla de los 78 235
XI
208
c n P i T u L o 8 Algebra de matrices 240
8.1 Matrices 240
8.2 Adición de matrices y multiplicación por un escalar 247
8.3 Multiplicación de matrices 254
8.4 Método de reducción 264
8.5 Método de reducción (continuación) 273
8.6 Inversas 279
8.7 Determinantes 287
8.9 Inversas utilizando la adjunta 299
8.10 Análisis de insumo-producción (o insumo-producto) 304
8.11 Repaso 309
Aplicación practica: Los requisitos de administración de insulina
como un proceso lineal 31 2
CAP~TULO 9 Programación lineal
9.1 Desigualdades lineales con dos variables 31 5
9.2 Programación lineal 321
9.3 Soluciones óptimas múltiples 330
9.4 El método simplex 332
9.5 Degeneración, soluciones no acotadas, soluciones óp ima \
múltiples 345
9.6 Variablesartificiales 35 1
9.7 Minimización 363
9.8 El dual 368
9.9 Repaso 376
Aplicación práctica: Terapias con fármacos y radiación 379
31 5
CAPiTULO 10 límites y continuidad 381
10.1 Límites 1 381
10.2 Límites (continuación)/ 388
10.3 Interés compuesto en forma continua 398
10.4 Continuidad 401
10.5 Aplicación de la continuidad a las desigualdades .408
10.6 Repaso 413
Aplicacicin práctica: Déficit de presupuesto 417
XI I CONTENIDO
CAPíTULO 11 Diferenciación (o derivación)
11.1 La derivada ’ 420
11.2 Reglas para la diferenciacicín ’ 427
11.3 La derivada como tasa de variación 435
11.4 Diferenciación y continuidad 445
11.5 Reglas del producto y el cociente 147
11.6 La regla de la cadena y de la potencia . 455
11.7 Repaso 463
CAPíTULO 12 Temas adicionales sobre
diferenciación
12.1 Derivadas de funciones logarítmicas’ 468
12.2 Derivadas de funciones exponenciales ,-” 473
12.3 Diferenciación implícita 378
12.4 Diferenciación logaritmlcd ’ 483
12.5 Derivadas de orden superior (o sucesivas) 486
12.6 Repaso 490
CnpíTuLo 13 Trazo de CUCVOS
13.1 Extremos relativos o locales 493
13.2 Valores extremos 504
13.3 Concavidad 505
13.4 Prueba de la segunda derivada 5 13
13.5 Asintotas 515
13.6 Repaso 525
420
468
493
CAPíTULO 14 Aplicaciones de la diferenciación 529
14.1 Aplicación de máximos y mínimos 529
14.2 El método de Newton 540
14.3 Diferenciales 545
14.4 Elasticidad de demanda 550
14.5 Repaso 555
CAPíTULO 15 Integración
15.1 La integral indefinida /’ 553
15.2 Integración con condiciones iniciales’ 565
15.3 M& fórmulas de integración 563
15.4 Técnicas de integracion I ’ 578
15.5 Sumatoria 583 ,’
15.6 La integral definida,/ 586
558
CONTENIDO Xlll
15.7 El Teorema fundamental del Cálculo Integral 595
15.8 Área 604
15.9 Área entre curvas 610
15.10 Excedentes de consumidores y fabricantes 617
15.1 1 Repaso 621
Aplicación práctica: Precio de un articulo entregado 626
CAPíTULO 16 Mbtodos y a@CaCiOneS de
la integración
16.1 Integración por partes” 629
16.2 Integración por fracciones parciales 633
16.3 Integración por medio de tablas 640
16.4 Valor promedio de una función 647
16.5 Integración aproximada 649
16.6 Ecuaciones diferenciales 654
16.7 Más aplicaciones de las ecuaciones diferenciables 663
16.8 Integrales impropias 671
16.9 Repaso 675
Aplicación práctica: El régimen dietario 680
CAPÍTULO 17 Cálculo en varias variables
17.4 Funciones de varias variables 682
17.2 Derivadas parciales 689
17.3 Aplicaciones de las derivadas parciales 696
17.4 Diferenciación parcial implícita 702
17.5 Derivadas parciales de orden superior 705
17.6 Regia de la cadena 708
17.7 Máximos y minimos paa funciones de dos variables 713
17.8 Multiplicadores de Lagrange 722
17.9 Líneas de regresión 729
17.10 U n comentario sobre las funciones homogéneas 737
17. I 1 Integrales múltiples 738
17.12 Repaso 743
Aplicación práctica: Análisis de datos puru modelar el
en.friarniento 748
APÉNDICE A Potencias, raíces y recíprocos
APÉNDICE Valores de ex y e-x
APÉNDICE c logarítmos naturales
629
682
751
754
156
XIV CONTENIDO
APÉNDICE D Interés compuesto
APÉNDICE E Integrales seleccionadas
APÉNDICE F Áreas bajo la curva normal estándar
Respuestas a problemas de número impar
lndice
lndice de aplicaciones
759
774
778
780
820
830
Matemáticas para
Administración y
Economía
CAPíTULO 1
Repaso de
álgebra
-1 .l Propósito
Este capítulo está diseñado para ofrecer un breve repaso de algunos términos y méto-
dos necesarios en la manipulación matemática. Sin duda, el lector ha estado expuesto
a gran parte de este material en ocasiones anteriores. Sin embargo, debido a que estos
temas son importantes para manejar las matemáticas que vienen después, es posible
que una segunda exposición resulte benéfica. Se debe dedicar a estas secciones el tiem-
po necesario para repasarlas.
- 1.2 Conjunto. y números reales
En términos simples, un conjunto es un grupo de objetos. Por ejemplo, se puede hablar
del conjunto de los números pares entre 5 y 11, que son el 6, el 8 y el 10. A un objeto
que se encuentre en un conjunto se le denomina miembro o elemento de aquél.
Una forma de especificar un conjunto es listando sus miembros, en cualquier
orden, dentro de llaves. Por ejemplo, el conjunto anterior es (64 8, lo}, el cual se puede
denotar mediante una literal como A . Se dice que un conjunto A es un subconjunto de
un conjunto B si, y sólo si, todos los elementos de A son también elementos de B. Por
ejemplo, si A = {6, 8, 10) y B = (6, 8, 10, 12}, entonces A. es un subconjunto de B.
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1, 2, 3,
etc., forman el conjunto de los enteros positivos (o números naturales):
conjunto de los enteros positivos = (1, 2,' 3 . . . } ,
Los tres puntos significan que la lista de elementos no tiene fin, aun cuando se sabe
cuáles son los elementos.
Los enteros positivos, junto con el cero y los enteros negativos - 1 , -2, -3, , . .
forman el conjunto de los enteros:
conjunto de los enteros = {. . . , -3, -2, - 1 , O, 1, 2, 3, . . .}.
1
2 I REPASO DE ALGEBRA
El conjunto de los números racionales consiste en números como 4 y 3 , que se
pueden escribir como una razón (cociente) de dos enteros. Es decir, un número racional
es aquel que puede escribirse como p/q, donde p y q son enteros y q f O. (El símbolo
“#” se lee “es diferente de”.) No se puede dividir entre cero. Los números - - 19 - 2
20’ 7
-6 2
- 2 1
y __ son racionales. El entero 2 es racional puesto que 2 = - . De hecho, todos los
enteros son racionales. Se debe señalar que - - - - 2 1 3 - 4
4’ 2’ 6’ -8
y 0.5 representan todos el mis-
mo número racional.
Todos los números racionales se pueden representar mediante números decimales
conmensurables (con un número definido de cifras), tales como 2 = 0.75 y 4 = 1.5, o
mediante decimales inconmensurables periódicos (con un grupo de dígitos que se repi-
2 ten indefinidamente), tales como - = 0.666. . ., - = -0.3636. . . y & = 0.1333. . .
3 11
- 4
Los números que se representan mediante decimales inconmensurables no periódicos
se llaman números irracionales. Un número irracional no se puede escribir como un
entero dividido entre otro entero. Los números a (pi) y 1/z son irracionales.
Juntos, los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de
los números reales, Estos números pueden representarse mediante puntos en una recta.
esto se elige primero un punto de la recta para representar el cero. A este punto
se le denomina origen (véase la Figura 1.1). Después, se elige una unidad de medida
de distancia, a la que se le denomina “distancia unitaria” y se marca en forma sucesiva
tanto hacia la izquierda como a la derecha del origen. A cada punto sobre la recta se
le asocia una distancia dirigida, o número con signo, que depende de la posición del
punto con respecto al origen. Las posiciones que se encuentran a la derecha del origen
se las considera positivas ( + ), y a las que se están a la izquierda se las considera negativas
(-). Por ejemplo, al punto que se encuentra + unidad a la derecha del origen le corres-
ponde el número con signo +, al que se le denomina la coordenada de ese punto. De
manera similar, la coordenada del punto que se sitúa a 1.5 unidades a la izquierda del
origen es -1.5. Se indican las coordenadas de algunos puntos en la Figura l . l . La pun-
ta de flecha indica que la dirección hacia la derecha de la recta se considerapositiva.
Recto de los números feotes
-r -1.5 f & T - 1 - 1 - - I- - ” ,+ Direcci6n positiva
”3 -2 -1 o 1 2 3
Origen
FIGURA I .I
A cada punto de la recta le corresponde un número real único, y a cada número
real le corresponde un punto único en la recta. Por esta razón, se dice que existe una
correspondencia de uno a uno entre los puntos de la recta y los números reales. A dicha
recta se la llama eje de coordenadas o recta de los números reales. Se pueden considerar
los números reales como puntos en una recta numérica, y viceversa.
1.3 Algunas propiedades de los números reales 3
EJERCICIOS 1.2
En los Problemas 1-12, clusiLfcar el planteamiento como verdadero o falso. Si es falso, diga cuál es la razdn.
1. -7 es un entero. u'
3. -3 es un número natural. 7 p ' ~ * ~ L' R c , ~ r ' " ' " 4. O no es racional. . . , ' ' ' .
5. S es racional. G' 6. 5 es un número,racional. ;
7. 4 no es un entero positivo. i- .:, I .
9. 8 es racional. d
\~ '
2. Q es racional. V
' , . . i <
, L , X , ' /f i*'. , , > , <- I , C '
.. .: 8. a es un numero real. \i
10. O es un número natural. --
- < -1 1, i .
11. -3 se encuentra a la derecha de -4 en la recta 12. Todo entero es, o positivo o negativo. );
de los números reales. d
- 1.3 Alqunas propiedades de los números reales -.___
Si a, b y c son números' reales, las siguientes son algunas propiedades importantes de
los números reales.
1. Propiedad transitiva de la igualdad
Si a = b y b = c, entonces a = c.
I
". ,
Así, dos números que son iguales a un tercero son iguales entre si. Por ejen.ii;i,i, si
x = y y y = 7 , entonces x = 7.
""
2. Propiedades conmutativas de la adición 7
a + b = b + a y a b = b a . 1 A
Esto significa que se pueden sumar o multiplicar dos números reales en cualqu;.* i,.r 01"
den. Por ejemplo, 3 + 4 = 4 + 3 y 7 (-4) = (-4)(7).
3. Propiedades asociativas de la adici6n y la multiplicación
I i.
a + (b + c) = (a + b) + c y a(bc) = (&)c.
I ,
_ ,
Lo anterior sigdifica que en la adición o la multiplicación, los números se pueden
agrupar en cualquier orden. Por ejemplo, 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4. Tarnbikn
6(5 * 5 ) = ( 6 . f ) . 5 ~ 2 u 4 ( x + y ) = ( 2 x + x ) + y .
F 4' i
4 1 REPASO DE ÁLGEDKA
4. Propiedades de los inversos
a. Para cada número real a, existe un número real Único, denotado por -a,
tal que
a + (-a) = o.
El número -a se denomina inverso aditivo, o el negativo, de a.
Por ejemplo, puesto que 6 + (-6) = O, el inverso aditivo de 6 es -6. El inverso aditivo
de un número no es necesariamente un número negativo. Por ejemplo, el inverso aditi-
vo de -6 es 6, puesto que (-6) + (6) = O . Es decir, el negativo de -6 es 6.
b. Para todo número real a, exceptuando el O, existe un número real Único,
denotado por a-' tal que
a . a-' = 1.
Al nlimero a-' se le denomina inverso multiplicativo de a.
Así, todos los números excepto el O tienen un inverso multiplicativo. Se debe recordar
que a-] se puede escribir como - y también se le denomina rec@roco de a. Por ejem-
plo, el inverso multiplicativo de 3 es 4, dado que 3(f) = 1. Así, f es el recíproco
de 3. El recíproco de f es 3, puesto que (4)(3) = 1. El reciproco de O no está definido.
1
a
5. Propiedades distributivas
a(b + c) = ab + ac y (b t c)a = ba + ca
Por ejemplo,
'713 + 4) 2(3) + 2(4) = 6 -t 8 = 14,
(2 + 3)(4) == 2(4) + 3(4) = 8 + 12 = 20,
X(Z + 4) = x(z) + x(4) = xz + 4x.
La propiedad distributiva se puede extender a la forma a(b + c + d ) = ab -t-
(IC + ad. De hecho, puede amp!iarse a sumas que implican cualquier número de términos.
La sustruccidn o resta se define formalmente mediante Ia propiedad del inverso
aditivo: a - b significa a + (-b), en donde -b es el inverso aditivo de b. Así 6 - 8
significa 6 + (-8). Por ello, la sustracción se define en términos de la adición.
1.3 Algunas propiedades de los números reales 5
De manera similar se define la división en términos de la multiplicación. Si I, #
a
b
O, entonces a + 6, o -, se define como
a - = a(b").
b
1
Puesto que b" = -
b'
a
- = a(b") = a(:)
b
1
Puesto que b" = -
b'
a
- = a(b") = a(:)
b
Así 2 significa 3 tantos 4, en donde 4 es el inverso multiplicativo de 5. En ocasiones
se llama a a + b o - razón de a a b. Es importante destacar que como el O no tiene
inverso multiplicativo, la división entre O no está definida.
des anteriores:
a
b
Los siguientes ejemplos muestran algunas operaciones que implican las propieda-
EJEMPLO 1
a. x ( y - 32 + 2w) = ( y - 3: + 2w)x, por la propiedad conmutativa de la multiplicación.
b. Por la propiedad asociativa de la multiplicación, 3(4 . 5) = (3 4)5. Así, el resulta-
do de multiplicar 3 por el producto de 4 y 5 es igual al resultado de multiplicar el
producto de 3 y 4 por 5. En uno u otro caso el resultado es 60.
c. Por la definición de la resta, 2 - fl = 2 + (- fi). Sin embargo, mediante la
propiedad conmutativa de la adición, 2 + (- \e) = -t/z + 2. Así, por la propie-
dad transitiva, 2 - t/z = -t/z + 2. En forma más concisa, se puede escribir
2 - V 2 = 2 + ( - V 2 ) = - f i + 2 .
d. (8 + x) - y = (8 + x) + ( - y ) (por la definición de sustracción)
= 8 + [x + ( - y ) ] (por la propiedad asociativa)
= 8 + ( x - y ) (por la definición de sustraccibn).
Así, mediante la propiedad transitiva,
(8 + X) - y = 8 + (X - y).
e. Mediante la definición de división,
ab 1
" - (ab) * - para c # O .
C C
Pero, por la propiedad asociativa,
(ab) - C 1 = a ( b -!),
Sin embargo, mediante la definición de división, b - - = - . En consecuencia, l b
c c
C
También se puede demostrar
C
6 1 REPASO DE ALGEBRA
EJEMPLO 2
a. Demostrar que 3(4x + 2y + 8) = 12x + 6y + 24.
Mediante la propiedad distributiva,
3 ( 4 ~ + 2y + 8) = 3(4x) + 3(2y) + 3(8).
Pero, mediante la propiedad asociativa de la multiplicación,
3(4n) = ( 3 4)x = 12r de manera similar, 3(2y) = 6y.
Por tanto 3(4x + 2y + 8) = 12x + 6y + 24.
b. Demuéstrese que si c # O, entonces - = - + -_ a + b a b
C c c
Mediante la definición de división y la propiedad distributiva,
a + b 1 1 1 - (a + b)- = a - - + b . - .
C C C C
"
Sin embargo,
Por lo que
1 l a b a . - + b - - = - + - .
C c c c
a + b a b -"+-- .
c c c
Por ejemplo,
3 3 3
2 + 1 2 1
f - + - .
Para obtener el producto de varios números se requiere considerar sus productos,
de dos en dos. Por ejemplo, para evaluar el producto de x, y y z , se podría primero
multiplicar x por y , y después multiplicar ese producto por z; o en forma alternativa,
podria multiplicarse x por el producto de y y z. La propiedad asociativa de la multipli-
cación señala que ambos resultados son idénticos sin importar la forma en que se agru-
pen los números. Por ello no resulta ambiguo escribir xyz. Este concepto puede am-
pliarse a más de tres números y se aplica de igual manera a la adición.
Un comentario final antes de terminar esta secci6n. No sólo se debe estar cons-
ciente de los aspectos manipulativos de las propiedades de los números reales, sino que
también se debe conocer y estar familiarizado con la terminología, implicada.
EJERCICIOS 1.3
En los Problemas 1-10, clasificar el planteamiento como verdadero O falso.
1. Todo número real tiene un recíproco. ij 2. El recíproco de $ es 9 . 'I '
3. El inverso aditivo de 5 es 4. 4. 2(3 * 4) = (2 . 3)(2 . 4). '
1.4 Operociones con números reales 7
5. "x + y = y - x. 1' 6. (x + 2)(4) = 4x + 8. J
x + 2 x I
7 . - = - + l . '
2 2
8 . 3 - = -. ($ '4" d
9. x + ( y + 5) = (x + y ) + (x + 5). 7 10. 8(9x) = 72x. \ /
En 10s Problemas11-20, especificar qué propiedades de los números reales se están utilizando.
11. 2(x + y) = 2x + 5 . 9 .:, -I \'+ 1 . **I' 12. (x + 5) + y = y + (x + 5). (. e - " 1 ' I . I .
13. 2(3y) = (2 3)y. 6405 'e' '' *-/O 14. Q = 6 . 4. I A : ,. ,' , -: . .. '
', '
15. 2(x - y ) = (x - y)(2) . c . ' * ~ , ~ ~ * ~ - ~ - ' ' O 16. X + (X + y ) = (X + X) + y. 61, .- 4 ' " " '
17. 8 - y = 8 + ( - y ) . ¡?( ' "- ''
19. (7 + x ) ~ = 7 y + xy. ', 1 . ' . S '
En los Problemas 21-26, demostrar que los planteamientos son ciertos utilizando las propiedades de los núme-
ros reales.
21. 5a(x + 3) = S a x + 15a. b/ 22. (2 - x) + y = 2 + (y - x).
-i\
18. 5(4 + 7) = 5(7 + 4). ' 1 .-
. . . r r '
20. (-1)[-3 + 41 = ( - l ) ( - 3 ) + (-1)(4). . . ,'
27. Probar que a(b + c + d ) = ab + ac + ad. [Sugerencia: b + c + d = (b + c) + d. ] I:
- 1.4 Operaciones con números reales
Enseguida se listan importantes propiedades de los números reales que deben estudiar-
se con cuidado. La capacidad de manipular números reales es esencial para tener éxito
en matemáticas. A cada propiedad le sigue un ejemplo numérico. Todos los denomina-
dores son diferentes de cero. Se supone que se conoce la adición y la sustraccih de
números reales.
PROPIEDAD
1. U - b = a + ( -b ) .
2. a - ( - b ) U + b.
3. -a = ( - l ) (a) .
4. a(b + c) = ab + ac.
5. a(b - c) = ab - U C .
6. - ( U + b) = -a - b.
7. -(a - b) = - a + 6.
8. -(--a) = a.
9. 4 0 ) = (-a)(O) = o.
10. ( - a)(b) = -(ab) U( - b).
EJEMPLO
2 - 7 = 2 + ( -7 ) = -5.
2 - ( -7) = 2 + 7 = 9.
- 7 = (-1)(7).
6(7 + 2) = 6 . 7 + 6 . 2 = 54.
6 ( 7 - 2 ) = 6 * 7 - 6 * 2 = 3 0 .
"(7 + 2) = - 7 - 2 = -9.
" ( 2 - 7) = - 2 + 7 = 5.
- ( - 2 ) = 2.
2(0) = ( - 2)(0) = o.
(-2)(7) = - ( 2 * 7) = 2(-7).
I REPASO DE ALGEBRA
11. ( - a ) ( - b ) = ab.
12. - = a. a
1
13. - = a(:)
a
b
a a -a
14 - = - - = - . * - b b b
15. - -
- b b'
O
a
-a a - _
16. - = O cuando a # O.
17. - = 1 cuando a # O. a
a
19. a . - = 1 cuando a f o. 1
a
20. - . - = - a c ac
b d bd'
21. @ c =
e ) b = a(:).
22. - =
23. tf. = t)e) = - ac
b bc
cuando c f O .
( -2)(-7) = 2 7 = 14.
7 - 2
1 - = 7'1 = -2 .
2 7 = 2(+),
2 2 - 2
"
-7 7 7
- " _ - -
-2 2
-7 7'
" - _
O
- = o.
7
2 -5 - = 1, - = 1.
2 -5
1.4 Operaciones con números reales 9
2 3 2 - 3 -1
"" "-
9 9 9 9 '
" 2 7 . - - - = - a b a - b
c c C
28. - + - = a c ad + bc
b d bd '
a c ad - bc
b d bd .
29. - -- - =
- a
4 2 4.3 + 5.2 22
1 5'
5 + 3 = 5.3 - - -
4 2 4.3 - 5.2 2
5 3 - - " - - - -
5.3 15'
2 -
3 2 7 2 5 10
7 3 5 3 7 21'
" _"" . . - - * - - - -
-
5
2 3
3 5 - 3 3 3 '
5
" - 2 + - = 2 . " 5 2 . 5 10 "
r
La Propiedad 23 es, en esencia, el principio fundamental de las fracciones, que
establece que multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador de una
fracción por el mismo número, exceptuando el O da como resultado una fracción que
es equivalente a (es decir, tiene el mismo valor que) la fracción original. Por consiguiente,
1. - 2 + (-4). ('
5. 7 - (-4).
9. 7(-9). ' .'
13. - ( - 6 + X ) " - ,."
17. - 2 + 6 . - "'5
21. 3[ -2(3) + 6(2)1. , .
25. 3(x - 4). -, -
33. - . 2 1 I
3 x
7 1 3"
Y A
1 1
2 3
43. - - -. X Y
9 9
38. - . -.
X Y
39. - + I . - . -. .. y X' ,
. ,
7 49. -. "
O
O 50. -.
7
X '
47. 6
y
O 51. -. ! '
O
32. -2x' 3 +
36. -. - 1 5 ~ _ _ .
- 3y
40. - + -. 5 3 -.
12 4
a/"-+- 3 1 1
2 4 6'
- -7
2 ,
5
48. -.
8
52. O . O. '
- 1.5 Exponentes y radicales
El producto x . x . x se abrevia como x3 . En general, para un entero positivo n, x"
es la abreviatura de n veces x. Al símbolo n de x" se le denomina exponente y a x se
le llama base. En términos más específicos, si n es un entero positivo se tiene que:
1 . X n = X . X - X - . . . ' X .
n factores
1 1 2, X - n = - =
x n X . X . X . . . : x '
I
n factores
1
3. = xn.
X
4. xO = I si X # O. 0' no está definido.
1.5 Exponentes y radicales 11
EJEMPLO 1
1
16'
a.
1 1 1
35 3 . 3 . 3 . 3 . 3 243'
b. 3-5 = - = - "
1
C. - = 35 = 243.
3 -$
d. 2' = 1, vo = 1, (-5)' = 1
e. x' = x.
Si r" = x, en donde n es un entero positivo, entonces r es la raíz n-ésima de x.
Por ejemplo, 32 = 9, y así 3 es la raíz segunda (a la que usualmente se denomina raiz
cuadrada) de 9. Puesto que (-3)2 = 9, -3 es también una raíz cuadrada de 9. De ma-
nera similar, -2 es una raíz cu'bica de -8, puesto que (-2)3 = -8.
Algunos números no tienen raíz n-ésima que sea un número real. Por ejemplo,
puesto que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, no existe ningún nd-
mero real que sea raíz cuadrada de -4.
La raíz n-ésima principal de x es aquella raíz n-ésima de x que sea positiva, si x
es positiva, y que sea negativa si x es negativa y n es impar. Se le denota por Vi . Por
lo tanto,
-\cr,es { positiva si x es positiva,
negativa si x es negativ'a y n es impar.
Por ejemplo,@ = 3, = -2 y = f . Se define que = O.
A la expresión se le denomina radical. Aquí, n es el índice, x es el radicando
y %"- es el signo de radical. Con las raíces cuadradas principales normalmente se omi-
te el índice y se escribe sólo fi en vez de 6. Por tanto fi = 3.
Si x es positivo, la expresión xPiq, en donde p y q son enteros y q es positiva,
se define como fh?. En consecuencia,
x314 @; 8213 = = = 4;
4-"2 = = 4 = 3.
Enseguida se presentan las leyes básicas de los exponentes y los radicales.*
* Aunque algunas leyes implican restricciones, no son de importancla para este análisis.
12 I REPASO DE ALGEBRA
1 3. X-" = -
X"'
1
X "
4. y = X".
Xrn 1 5 - = X m - " = -
X" Y-"'
Xrn
Xrn
6. - = 1 .
7. (x")" = xmn.
1 1
_. = 23 = 8; - = x5.
2-3 x - 5
24
24
- = 1.
9. k)" = 7. X"
10.
4-1/2 = 1 - - 1 1 = -
4112 2'
(m>8 = 7
EJEMPLO 2
1.5 Exponentes y radicales 13
b. Por la Ley 16,
C. ("a)"' = (g)4 = (-) m 4 $47 (Leyes 16y 14)
Racionalizar el denominador de una fracción es un procedimiento en el que una
fracción que tiene un radical en su denominador se expresa como una fracción equiva-
lente sin el radical en su denominador. Se utiliza el principio fundamental de las
fracciones.
EJEMPLO 3
Racionalizar los denominadores.
Los siguientes ejemplos ilustran diversas aplicaciones de las leyes de los exponen-
tes y los radicales.
EJEMPLO 4
a. Eliminar los exponentes negativos en - z - 2 .
X -)J
- 7 3
x -2y3 1 3z2 - x - 2 . ) ) 3 . - -
z - 2
3 . z 2 =y-
X x2 '
"
2-2
- ? ' Y
Comparando la respuesta con la expresi6n original, se puede bajar un factor del nu-
merador al denominador, y viceversa, cambiando el signo del exponente.
b. Simplificar 7.
x2y
x-Y
X2Y7 Y7- Y 2
3 5 - x 3 - 2 = - . X
-x Y
"
14 1 REPASO DE ALGEBRA
(.x';;5615)5
e . Simplificar -
f . Simplificar 7 7 -
x 3 , x6
Y Y S '
7 7 1 7 1
7,x-2 + (7x)" = 7 + "-7 = - + - x (74' x2 49x2'
d. Eliminar íos exponentes negativos en (x" -
1.5 Exponentes y radicales 15
b. Reescribir 4- sin utilizar un signo de radical.
VTT.5 = (2 + 5X)'l2.
+5
+% C. Racionalizar el denominador de - y simp-lificar.
m
d. Simplificar -
" -8 v3 - = = = 2 .
EJEMPLO 7
b. Simplificar /;.
c . Simplificar - m + 15t/z.
~ - . \ / s T i + 1 5 ~ = V ~ - ~ ~ + + 5 t / z
= 5m - 5 t / z + 1 5 q 3
= 5m + l o a .
d. Si x es un numero real, simplificar JXT.
x, si x es positiva,
-x, si x es negativa,
O, si x = O .
Por tanto fl = 2 y = " ( - 3 ) = 3 .
""
9. (2x2y3)3
(x2)3(x3)2
(x3)4
14. -
27. ( g 4 .
213
28. (-2) .
32. fix.
33. m.
37. ( 9 Z 4 Y 2 .
radicales en la formafinal. Por ejemplo, , y - ‘ G = A-. Y
42. $w. 43. 2x”x-3. 44. x i- y - l .
48. (x-Zy2)Y2.
x3y -
41. -
z2 .
45. (3r)y2 .
49. v5 - v 5 .
46. (3 - 2)Y4. 47. m.
X-2Y-622 50. - 1 . 51. 2 m . 52. ( W ) x - I y - 2 .
XY
1.6 Operaciones con expresiones olgebroicos 17
63. - 1
4 5 '
t4
67. -
fi
66. x.
En los Problemas69-90, simplificar. Expresar todas las respuestasen términosde exponentes positivos. Raciona-
lizar el denominador cuando sea necesario para evitar exponentes fraccionarios en el mismo.
75. q&2w
77. 3'(27) -4'3. 78. ( a)2'5. 79. ( 2 Y '$y. 3 80. -
81. GmG. 82. e. 83. ~ I z ) - 2
(xy2) - 4 ,
84. m.
(XZ)'
x4
-. 2
85. - + [&] . 8s - 2 86. d( -6) ( -6) . 87. -- 2s3 .
89. (2x2y + 3y3z-2)2. 90. 1
__ 1.6 Operaciones con expresiones algebraicas
Si se combinan números, representados con símbolos, mediante operaciones de adición,
sustracción, multiplicación, división o extracción de raíces, entonces se denomina al re-
sultado una expresión algebraica.
EJEMPLO 1
,
es una expresión algebraica en la variable x.
10 - .r
5
h. IO - 3 f i + ___
7 + y- , es una expresión algebraica en la variable y .
(x + y)' -
c .
Y
+ 2 es una expresión algebraica en las variables x y y .
La expresión algebraica Sax3 - 2bx + 3 consta de 3 términos: +5ax3, -2bx,
y + 3. Algunos de los factores del primer término 5ax3 son 5 , a, x, x2, x3, 5ax, y ax2.
También, Sa es el coeficiente de x3 y 5 es el coeficiente numérico de ax3. Si a y b re-
presentan números invariables en todo el análisis, entonces a y b reciben el nombre de
constantes.
18 I REPASO DE ALGEBRA
A las expresiones algebraicas que constan exactamente de un término se les deno-
mina monomios. A las que tienen exactamente dos términos se les denomina binomios
y a las que constan exactamente de tres términos se les llama trinomios. A las expresio-
nes algebraicas que tienen más de un término se les denomina polinomios. Así 2x -
5 es un binomio; el polinomio 3 f i + 5 - 4y2 es un trinomio.
Un polinomio en x es una expresión algebraica que tiene la siguiente forma*
c,x" + c,-Ixn-l + . ' . + CIY + co,
en donde n es un entero no negativo y los coeficientes co, c, , . . ., c , son constantes;
se tiene que c , # O . A n se le denomina grado del polinomio. Por ello, 4x3 - 5x2 +
x - 2 es un polinomio en x de grado 3 y y 5 - 2 es un polinomio en y de grado 5. Una
constante diferente de O es un polinomio de grado O; de modo que 5 es un polinomio
de grado O. Se considera que la constante O es un polinomio; sin embargo no se le asig-
na ningún grado.
EJEMPLO 2
Simplificar (3x2y - 2x + 1) + (4x2y + 6x - 3 ) .
En primer lugar se eliminan los paréntesis. Después, utilizando la propiedad conmuta-
tiva de la adición, se agrupan todos los términos semejantes. Términos semejantes son
aquéllos que sólo difieren en sus coeficientes numéricos. En este caso, 3x2y y 4x2y
son semejantes, al igual que lo son -2x y 6x, y 1 y -3. Así,
(~x'Y - 2x + I ) + ( 4 x 2 ~ + 6~ - 3 )
= 3x2y - 2~ + 1 + 4x'y + 6~ - 3
= 3x2y + 4x2y - 2x + 6~ + 1 - 3 .
Por la propiedad distributiva
3x5 + 4x2y = (3 + 4)2y = 7 2 y
Y -2x + 6x ( - 2 + 6 ) ~ = 4 ~ .
De donde
(3x2y - 2x + 1) + (4x2y + 6x - 3) = 7x2y + 4x - 2.
EJEMPLO 3
Simplificar (3x2y - 2x + 1) - (4x2y + 6x - 3 ) .
Aquí se aplica la definición de sustracción Y la propiedad distributiva:
(3x2y - 2x + 1) - (4x2y + 6~ - 3)
= (3x'y - 2~ + 1) + ( - 1 ) ( 4 ~ ~ y + 6~ - 3 )
1.6 Operaciones con expresiones olgebroicas 19
= (3x2y - 2~ + 1) + (-4x’y - 6~ + 3)
= 3x2y - Zr + 1 - 4x2y - 6.u + 3
= 3x2y - 4x2y - 2x - 6~ + 1 + 3
= (3 - 4)x2y + ( - 2 - 6 ) ~ + 1 + 3
= -.‘y - 8x + 4.
EJEMPLO 4
Simp/ificar 3{k[2x + 31 + 5[4x2 - (3 - 4x)I).
En primer lugar, se eliminan Ips símbolos de agrupamiento que se encuentran mas al
interior (paréntesis) utilizando la propiedad distributiva. Después se repite este proceso
hasta que se eliminan todos los símbolos de agrupación, combinando términos seme-
jantes cuando sea posible.
3{2x[k + 31 + 5[4x2 - (3 - 4 ~ ) ] }
= 3{2~[2x + 31 + 5[4x2 - 3 + 4x1)
= 3{4x2 + 6~ + 20x2 - 15 + 2 0 ~ )
= 3{24x2 + 2 6 ~ - 15}
= 72x2 + 7 8 ~ - 45.
La propiedad distributiva es la herramienta clave para multiplicar expresiones. Por
ejemplo, para multiplicar ax + c por bx + d , se puede considerar que ax + c es un
solo número y después utilizar la propiedad distributiva.
(ax + c)(bx + d ) = (ax + c)bx + (ax + c)d.
Utilizando de nuevo la propiedad distributiva,
(ax + c)bx + (ax + c)d = a h 2 + cbx + adx + cd
= abx2 + (ad + cb)x + cd.
Así (ax + c)(bx + d) = abxZ + (ad + cb)x 3- cd. En particular, si a = 2, b = 1,
c = 3 y d = -2, entonces
( 2 ~ + 3 ) ( ~ - 2) = 2( 1)x2 + [2( - 2) + 3 ( 1 ) ] ~ + 3( - 2)
= 2 U 2 - x - 6 .
Enseguida se presenta una lista de productos especiales que pueden obtenerse me-
diante la propiedad distributiva, y que sirven para multiplicar expresiones algebraicas.
20 1 REPASO DE ALGEBRA
Productos especiales (o notables)
1. x(?. + z ) = ,uy + x 2 (propiedad distributiva)
2. (x + a)(.r + h) I= -YZ + ( N + h)x + ab.
3. (ax + c.)(h.r + d ) = UhX2 + (ad + ch)s + c.d.
4. ( x + a)' = ,u1 + 2ax + a 7 (cuadrado de un binomio)
5. (x - a)' = x2 - 2u.u + u? (cuadrado de un binomio)
7. (x + a)' = x3 + 3ux2 + 3cr2s + u3 (cubo de un binomio)
8. (X - = - 3a.2 + 3d.u - a3 (cubo de un binomio)
6. (x + a)(x - u) = x' - u' (producto de una suma y una diferencia)
EJEMPLO 5
a. Por la Regla 2, (x + 2)(x - 5) = [x + 2][x + ( -5)]
= xz + (2 - 5)x + 2( - 5)
= x 2 - 3x - 10.
b. Por la Regla 3 , (32 + 5)(7z + 4) = 3 . 7 z 2 + (3 . 4 + 5 7)z + 5 . 4
= 21z2 + 472 + 20.
c. Mediante la Regla 5, (x - 4)2 = x' - 2(4)x + 4'
= x- ' - 8x + 16.
d. Por la Regla 6 ,
( g m + 3 ) ( V G - 3 ) = ( d j G - i ) 2 - 3'
= ( y 2 + l ) - 9
- - y2 - 8.
e . Mediante la Regla 7,
(3x + 2)3 = (3x)" + 3 ( 2 ) ( 3 ~ ) ~ + 3(2)2(3x) + (2)3
= 27x3 + 54,~' + 36x + 8.
EJEMPLO 6
Multiplicar: (2t - 3)(5 t2 + 3t - 1).
Se considera a 2t - 3 como un solo número y se aplica dos veces la propiedad distributiva.
(2t - 3)(5t' + 31 - 1) = (2f - 3)5t' + (2t - 3)3r - ( L t - 311
= lot3 - 15r' + 6t' - 9t - 2t + 3
= lor' - 9r' - 11t + 3.
1.6 Operaciones con expresiones olgebrolcos 21
En el Ejemplo 2(b) de la Sección 1.3, se mostró que - = - + - . De manera si-
milar, - - - - - . Utilizando estos resultados, se puede dividir un polinomio
a + b a b
a - b u b c c c
c L’ c
-
entre un monomio, dividiendo cada término del polinomio entre el monomio.
EJEMPLO 7
a. - + - = x 2 + 3 . x 3 + 3x x’ 3x ”
X x x
b. 4z3 - 8z2 + 32 - 6 42’ 82’ 32 6 3 3 - - ”_
2”
+ “ - “ 2 z ” 4 z + “ -
22 22 22 22 2 z’
Para dividir un polinomio entre otro, se utiliza lo que se denomina “división no
abreviada” cuando el grado del divisor es menor que o igual al grado del dividendo,
como se muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 8
Dividir 2x3 - 14x - 5 entre x - 3.
Aquí, 2x3 - 14x - 5 es el dividendo y x - 3 es el divisor. Para evitar errores, lo mejor
es escribir el dividendo como 2 x 3 + Ox2 - 14x - 5. Obsérvese que ]as potencias de
x se ordenaron en orden decreciente.
2 u 2 + 6x + 4 +cociente
X - 312~’ + OX’ - 1 6 - 5
2 x 3 - 6x2
6x2 - 1 4 ~
6x2 - 1 8 ~
4x - 5
4x - 12
7 +- residuo r.
Aquí se dividió 2x3 (el primer térmir,o del dividendo) entre x (el primer término del
divisor) y se obtuvo 2x2. Después se multiplicó 2x2 por x - 3 y se obtuvo 2x3 - 6x2.
Después de restar esta expresión de 2x3 + 6x2 se obtuvo 6x2 y después se “bajó” el
término -14x. Se continuó este proceso hasta llegar a 7 , el residuo. Siemprese detiene
el procedimiento cuando el residuo es O o un polinomio cuyo grado es inferior al grado
del divisor. La respuesta se puede escribir de la siguiente manera:
7
x - 3
2.x2 + 6~ + 4 +
Esa es, la respuesta tiene la forma
coeficiente + __- residuo divisor‘
Una forma de comprobar una división es verificar que
(cociente)(divisor\ + residuo = dividendo
Se debe verificar el resultado del ejemplo utilizando esta fórmula.
22 I REPASO DE ALGEBRA
EJERCICIOS 1.6
Realizar las operaciones que se indican y simplificar.
1. ( 8 ~ - 4y +2) + (3x + 2y - 5).
3. (st2 - 6s’) + (4s2 - 2t’ + 6).
5. (6 + fiy) + (vi + f i ) .
9. (v5 + f i y ) - (v5 + fi) .
7. (6x2 - lOay + d) - ( 2 ~ - XJ + 4).
11. 3 ( 3 ~ + 2y - 5) - 2 ( 8 ~ - 4y + 2) .
13. 3(x2 + y 2 ) - X(Y + 2 ~ ) + 2y(x + 3 ~ ) .
15. 2{3[3(x2 + 2) - 2e2 - 5)]}.
17. -3{4x(x + 2) - 2[x2 - (3 -- X)]}.
19. (x + 4)(.x + 5).
21. (x + 3)(x - 2).
23. (2x + 3)(5x + 2).
25. (x + 3) l .
27. (x - 5)’.
29. (fiy + 3)*.
31. (2s - 1 ) ( 2 ~ + 1).
33. (X2 - 3)(x + 4).
35. ( X 2 - 1)(2w2 + 2x - 3).
37. x { ~ ( x - I)(x - 2) + ~ [ x { x + 711).
39. (x + y + 2)(3x + 2~ - 4).
41. (x + 5)3.
43. (22. - 3)3.
45. -. z2 - 42
6.2 + 4x3 - 1
22.‘
Z
47.
49. (x2 + 3x - 1) f (x + 3) .
51. (3x’ - 2x’ + x - 3) + (x + 2) .
53. t’ + ( t - 8).
55. ( 3 2 - 4x + 3 ) t (3.u + 2).
2. ( 6 2 - 1 0 ~ ~ + 2 ) + ( 2 z - 17 + 4).
4. (vi + 2 6 ) + (V5 + 3 v 5 ) .
8. (4 + 2 6 ) - (6 + 3 6 ) .
6. (3.x +, 2y - 5) - (8.r - 4y + 2 ) .
/
10. 4 ( 2 ~ - W ) - 3(w “22).
12. (2s + t ) - 3 ( ~ - 6) + 4(1 - f ) .
14. 2 - [3 + 4 ( ~ - 3)].
16. 4{3(t + 5) - t[l - ( t + l)]}.
18. - { -2[2a + 36 - I ] + 4[a - 201 - a[2(b - 3)]}.
20. (x + 3)(x + 2).
22. (t - 7 ) ( z - 3).
24. ( y - 4)(2y + 3).
26. (2x -
28. (6 - 1 ) ( 2 6 + 5 ) .
30. (y - 3 ) ( y + 3).
32. (z* - ~w)(z’ + 3 ~ ) .
34. (x + 1)(x’ + x + 3).
36. (k - 1)(3x3 + 7x2 - 5).
38. [ ( 2 ~ + 1)(22 - 1)](4z2 + 1).
40. (x2 + x + 1)2.
42. (x - 213.
44. (x + 2y)’.
2 x 3 - 7x + 4
46.
X
48.
( 3 ~ - 4) - (X + 8)
4x
50. (X’ - 5x + 4) + (X - 4) .
52. (x4 + 2 ~ ’ + 1) + (x - I ) .
54. (4.2 + 631 + 1) +- ( 2 ~ - 1).
56. (z’ + 2’ + z ) + (z? - z + 1).
1.7 Foctorizoclón 23
__ 1 .I Factorización
Si se multiplican entre sí dos o más expresiones, entonces éstas reciben el nombre
de factores del producto. Por tanto, si c = ab, entonces a y b son factores del producto
c. El proceso por el cual se escribe una expresión como producto de sus factores se de-
nomina factorización.
A continuación se enuncian las reglas de la factorización, la mayor parte de las
cuales se obtiene a partir de los productos notables que se describieron en la Sec-
ción 1.6. El segundo miembro de cada identidad es la forma factorizada del primer
miembro.
Reglas de factorización
1. xy + xz = x b + z ) (factor común).
2. x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
3. abx2 + (ad + &)x + cd = (ax + c)(bx + d ) .
4 . x’ + 2ax + a* = ( x + u)’ (trinomio cuadrado perfecto).
S. x* - 2ax + a2 = (x - al2 (trinomio cuadrado perfecto).
6. x’ - a* = (x + a)(x - a ) (diferencia de dos cuadrados).
7 . x3 + a3 = (x + a>(x2 - ax + a2) (suma de dos cubos).
8. x 3 - a3 = (x - U ) ( X 2 t ax + a2) (diferencia de dos cubos).
, ,,S ,
Cuando se factoriza un polinomio, por lo general se eligen factores que sean tam-
bién polinomios. Por ejemplo, x 2 - 4 = (x + 2)(x - 2). No se escribe x - 4 como
(G + 2)(& - 2 ) .
Siempre se debe factorizar en forma completa. Por ejemplo,
2.~’ - 8 = 2 ( x Z - 4) = 2 ( ~ + 2 ) ( ~ - 2 ) .
EJEMPLO 1
Factorizar en forma completa las expresiones.
a. 3k2x2 + 9k3x.
Dado que 3k2x2 = (3k2x)(x) y 9k3x = (3k2x)(3k), cada término de la expresión ori-
ginal contiene el factor común 3k2x. De modo que por la Regla 1,
3k2x’ + 9k3x = 3k2k(x + 3 k ) .
Obsérvese que aunque 3k2x2 + 9k3x = 3(k2x2 + 3k3x), no se dice que la expre-
sión esté completamente factorizada, pues todavía puede factorizarse k 2 x 2 + 3k3x.
b. 8a5x2y3 - 6a2b3yz - 2a4bSxy2z7.
8a5x2y3 - 6a2b3yz - 2a4b4xy2z2
= 2a’y(4a3x2y‘ - 3b3z - a2b4xyz2).
24 1 REPASO DE ALGEBRA
C. 3x2 + 6x + 3.
3x’ + 6x + 3 = 3 ( x 2 + 2.w + 1)
= 3(x + 1)’ (Regla 4).
EJEMPLO 2
Factorizar completamente las expresiones.
a. X’ - x - 6.
Si se factoriza este trinomio en la siguiente forma x2 - x - 6 = (x + a)(x + b),
que es el producto de dos binomios, entonces deben determinarse los valores de a
y b. Puesto que (x + a)(x + 6) = x? + (a + b)x + ab, entonces
X’ + ( - 1 ) ~ + (-6) = X’ + (U + b ) ~ + ab.
Igualando los coeficientes correspondientes, entonces
U + b = - 1 y ab = -6 .
Si a = -3 y b = 2 , entonces se satisfacen ambas condiciones y,
X’ - X - 6 = (X - 3 ) ( ~ + 2) .
b. X’ - 71 + 12.
X L - 7x + 12 = (.Y - 3)(x - 4).
así.
.
EJEMPLO 3
Enseguida se Iistan expresiones completamente factorizadas. Los números en paréntesis
se refieren a las reglas que se utilizaron.
1.7 Foctorizoción 25
Obsérvese en el Ejemplo 3(f) que .x2 - 1 es factorizable, pero x2 + 1 no lo es.
En el Ejemplo 3(h) se factorizó utilizando el agrupamiento.
EJERCICIOS 1 .I
Factorizar completamente las expresiones.
1. 6x + 4.
3. loxy + 5x2.
5. 8 ~ ' b ~ - 12~h'c.d + 4h4c'd2.
7'. x2 - 25.
9. y 2 + 4p + 3 .
11. 16x2 - 9.
13. z2 + 62 + 8.
15. X' + 6x + 9.
17. 2.x' + 12r + 16.
19. 3x2 - 3.
21. 6y2 + 13y + 2.
23. 12s3 + los2 - 8s.
25. xu31, - 4x83,3.
27. k3 + 2x2 - Ik.
29. (4x + 2)2.
31. x3y2 - 1 0 ~ ' ~ + 2Sx.
33. (x3 - 4 ~ ) + (8 - b2).
35. (y" + 8y6 + 16~') - (ys + 8y4 + 16).
37. x3 + 8.
39. x6 - I .
41. (X + 3 ) 3 ( . ~ - 1 ) + (X + 3)*(.~ - 1)'.
43. P( 1 + r ) + P( 1 + r)r.
45. x4 - 16.
47. y8 - I .
49. x4 + x2 - 2.
51. x' - 2 w 3 + X.
2. 6y' - 4~1.
4. 3x5 - 9x3y3.
8. xz + 3x - 4.
6. 6z2t' + 3 2 d - I2z2t3.
10. S' - 6s + 8.
12. x' + 5~ - 24.
14. 4t' - 9s'.
16. - 15y + SO.
18. 2 x z + 7x - 15.
20. 4.' - 8y + 3.
22. 4x2 - x - 3 .
24. 92' + 242 + 16.
26. 9~'"' - I .
28. . x y - 4xy + 4.
30. 3sL(3.y - 9s2)*.
32. (3x2 + x ) + (6x + 2).
34. ( x 2 - 1) + (x' - x - 2).
36. x3y - .xy + z'x' - 2'.
38. x' - 1.
40. 27 + Sx3.
42. (x + 5 ) " ~ + 1 ) 3 + (.r + S) j (x + 1 )'.
44. (X - 3 ) ( 2 ~ + 3) - ( 2 ~ + 3 ) ( ~ + S).
46. 8Ix4 - y4.
48. t4 - 4.
50. x' - SX' + 4.
52. 4x' -- 6x' - 4x.
26 I REPASO DE ÁLGEBRA
- 1.8 Fracciones
Utilizando el principio fundamental de las fracciones (Sección 1.4) se pueden simplifi-
car fracciones. Este principio permite multiplicar o dividir tanto el numerador como
el denominador de una fracción, entre la misma cantidad diferente de cero. La fracción
resultante equivale a la original. Se supone que las fracciones consideradas tienen deno-
minadores diferentes de cero.
EJEMPLO 1
Simplificar.
x ’ - x - ~
x2 - 7x + 12‘ a.
En primer lugar, se factorizan completamente tanto el numerador como el deno-
minador
x2 - X - 6 - (X - 3 ) ( ~ + 2)
x2 - 7x + 12 (x - 3)(x - 4)‘ -
Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre el factor común x - 3,
se obtiene
(x - 3)(x + 2) l(x + 2) x + 2
(x - 3)(x - 4) l ( x - 4) x - 4’
- - ” -
Normalmente, sólo se escribe
x2 - X - 6 &)(x + 2) x + 2
-
x2 - 7x + 12 (%”3)(x - 4) x - 4 - “ -
o bien
X’ - X - 6 (X - 3 ) ( ~ + 2) X + 2
x2 - 7x + 12 (x - 3)(x - 4) x - 4’ - - ” -
El proceso que acaba de utilizarse comúnmente se denomina “cancelación”
2 x 2 + 6~ - 8
b.
~.
8 - 4x - 4x2‘
2X2 + 6~ - 8 - 2(x2 + 3x - 4) 2 ( ~ - l ) ( ~ + 4)
8 - 4~ - 4x2 4(2 - X - 2) 4(1 - X)(2 + X) -
- -
2(x - l)(x + 4)
2(2)[( - l)(x - 1)](2 + x)
- -
x + 4 x + 4 - -
- 2(2 + x) 2(x + 2)’
“ -
Si se desea multiplicar - por - entonces
a C
h d’
a c ac
h d hd‘
_ . - = -
1.8 Fracciones 27
a
b d
Para dividir - entre - , en donde c # O, se tiene que C
a
a , c b a d
b d c b c '
d
-
" - = - = - . -
-
EJEMPLO 2
x x + 3 x(x + 3)
x + 2 x - 5 (x + 2)(x - 5)' as- . -=
x' - 4x + 4 6 ~ ' - 6 [(x - 2l21[6(x + 1)(x - 1>1 b. - -
x2 + 2x - 3 x2 + 2x - 8 [(x + 3)(x - I)][(x + 4)(,Y - 2)]
6 ( ~ - 2)(x + 1) - -
(x + 3 ) ( x + 4) .
x . x + 3 x x - 5 x(x - 5) c . - : - - -
x + 2 x - 5 x + 2 x + 3 ( , u + 2 ) ( x + 3 ) '
x - 5 x - 5
. x - 3 x - 3 x - 5 1 .Y - 5
"
d. - - --- 2x 2x x - 3 2x 2X(X - 3)' - ~- -
1
4x
x2 - 1 4x x - 1 4x(x - 1)
e. - ". -
2 r 2 + 8x X' - 1 2x2 + 8~ [(X + I)(x - 1)][2x(x + 4)] -
x - 1 2 - -
(x + ])(x + 4)'
En ocasiones, el denominador de una fracción tiene dos términos e implica raíces
cuadradas, como 2 - fl o bien -t/5 + a. Se puede racionalizar el denominador
multiplicando por una expresión que haga que el denominador se convierta en la dife-
rencia de dos cuadrados. Por ejemplo,
4 - 4 *-v2
*+a-a+-t.fi-v2
28 I REPASO DE ÁLGEBRA
EJEMPLO 3
Racionalizar los denominadores.
En el Ejemplo 2(c) de la Sección 1.3, se mostró que -
a b a + b c + c = c . Es decir,
si se suman dos fracciones que tienen denominador común, entonces el resultado es una
fracción cuyo denominador es dicho denominador común. El numerador es la suma
de los numeradores de las fracciones originales. De manera similar, - - - = -. a b a - b
c c c
EJEMPLO 4
- 5 3p + 2 (p' - 5) + (3p + 2) p 2 + 3p - 3
p - 2 p - 2 P - 2 P - 2
a, p 2 + ____ - - - -
x = - 5x + 4 x 2 + 2x
b' .x2 + 2.x - 3 x2 + 5x + 6 -
- (x - l )(x - 4) x(x + 2) -
(x - l)(x + 3) (x + 2)(x + 3) -
x - 4 x (x - 4) - x 4
x + 3 x + 3 x + 3 x + 3'
- - "" - - - "
x * + x - 5 x 2 - 2 - 4 ~ + 8
C. _ _ _ _ + x - 7 X - 7 x 2 - 9 x + 14
x 2 + x - 5 x 2 - 2 -4(x - 2) - " - +
x - 7 x - 7 (x - 2)(x - 7 )
- - (x2 + x - 5) - (x2 - 2) + (-4)
x - 7
Para sumar (o restar) dos fracciones con denominadores diferentes, se debe utili-
zar el principio fundamental de las fracciones para expresarlas como fracciones equiva-
1.8 Frocciones 29
lentes con el mismo denominador. Después, se procede a la adición (o a la sustracción),
mediante el método antes descrito.
Por ejemplo, para evaluar
2 3 +
x3(x - 3) x(x - 3)2’
se puede convertir la primera fracción en otra equivalente multiplicando el numerador
y el denominador por x - 3:
2(x - 3)
x3(x - 3)’’
Se puede transformar la segunda fracción multiplicando su numerador y su denomina-
dor por x2:
3x
x3(x - 3)’.
2 3 2(x - 3 ) 3.u
x3(x - 3) x(x - 3)’ x3(x - 3 y x’(x - 3)‘
Estas fracciones tienen el mismo denominador. Por tanto,
+ - - +
3 ~ ’ + 2~ - 6 - -
x”x - 3)2 .
Se pudieron haber convertido las fracciones originales en fracciones equivalentes
con cualquier denominador común. Sin embargo, se decidió convertirlas en fraccio-
nes con el denominador x3(x - 3)2. Este es el mínimo común denominador (M.C.D.)
de las fracciones 2/[x3(x - 3)] y 3/[x(x - 3)2].
En general, para encontrar el M.C.D. de dos o más fracciones, primero se facto-
riza cada denominador en forma completa. El M. C. D. es el producto de cada uno &
los factores distintos que aparecen en los denominadores, cada uno de ellos elevado
a la más alta potencia que ocurra en cualquiera de los denominadores.
EJEMPLO 5
t 4
a. Restar: ___ - -
3 t + 2 t - 1 ‘
El M.C.D. es (3t + 2)(t - 1).
t 4 t(t - 1) 4(3t + 2)
3t + 2 t - 1 (3r + 2)(t - 1) (31 + 2)(t - 1) ”“ - -
- t(f - 1) - 4(3t + 2)
(3t + 2)(t - 1)
-
t’ - t - 12t - 8 t’ - 13t - 8 - -
(3t + 2)(t - 1) (3t + 2)(t - 1)‘
- -
4 4
b. - + 3 = - + 3(q - 1)
q - 1 q - 1 q - 1
30 1 REPASO DE ALGEBRA
EJEMPLO 6
x - 2 x + 2
X* + 6x + 9 2(x2 - 9) -
x - 2 x + 2 - -
(x + 3 y 2(x + 3)(x - 3) - [M.C.D. = 2(x + 3)’(~ - 3)]
- (x - 2)(2)(x - 3) (x + 2)(x + 3) -
(X + 3)*(2)(~ - 3) 2 ( ~ + 3 ) ( ~ - 3 ) ( ~ + 3) -
(x - 2)(2)(x - 3) - (x + 2)(x + 3)
2(x + 3>2(x - 3)
- -
2(x2 - 5~ + 6) - ( x 2 + 5~ + 6) - -
2(x + 3 y ( X - 3)
b’ - OX + 12 - X’ - 5~ - 6 - -
2(x + 3y (X - 3)
X’ - 1 5 ~ + 6 - -
2(x + 3)’(x - 3)‘
EJEMPLO 7
1 1
“-
Simplificar x + h x
h .
Primero combinemos las fracciones en el numerador.
1 1 X x + h x - ( X + h )
x + h x .x(x + h) x(x + h) x(x + h) ”- -
h
- -
h
- -
h
- h
También se puede simplificar la fraccibn original multiplicando el numerador y el deno-
minador por el M.C.D. de las fracciones que se encuentran en el numerador (y en el
denominador), es decir, x(x + h):
- -
h x(x + h)h
x - (x + h) -h 1 - - - - -
x(x + h)h X(X + h)h x(x + h)’ - -
1.8 Fracciones
EJERCICIOS 1.8
En los Problemas 1-6 simplificar
x2 - 4
1. - x2 - 5x - 6 2. 3. x2 - 9x + 20 3 ~ ' - 27x + 24 xL - 2x' xz + x - 2 0 '
2 x 2 + 3x - 2' 6. 6x2 - 17x + 12'
4.
x2 - 2x - 3' 2 x 3 - 16x2 + 14x'
5.
6x2 + x - 2 12x2 - 19x + 4
11. 2 x - 2
, x 2 - 1
x 2 - 2 x - 8 - ' x 2 + 5 x + 4 '
X 2 - 4x 3
13. -.
6
.. . -
14. - 9x
4x -
17. - 3
2x'
18. - 4x
3 '
operaciones y simplificar cuanto sea posible.
12.
x 2 + 2 x , x 2 - x - 6
3x2 - 18x + 24 - ' x ' - 4x + 4'
-
2x
x' + 6x + 9
21.
x - 5
22.
X
x* - 7x + 10' x + 3 '
x - 2
x * + 7x + 10 (x + 2)*
25.
X 2 - h - 8
x 2 + 6x + 5 ' 26. - 3x - 2 9x + 18'
XL - 3x - 4
X 2 5x + 6
4 - 9x2
29. - +- 2 X
x + 3 x + 3 .
30. - + -
x + 2 x + 2 .
33. 1 - - P2
p 2 - 1'
34. - 4
s + 4 + s .
4
39. - -
x - I
3 +
- 3x 2
5 - 4x - x2'
41. (1 + x"')2. 42. ( x - ] + y")*.
2m
15. - n3
4m '
n2
-
-
19. -,
- 9x3
X -
3
- lox3
x 2 - 1
23. -
5x '
x + I
-
- c + d
16.
c - d'
2c
-
- 9x3 -
20. -
3 '
X
x 2 - 4
x z + 2 x - 3
x 2 - 9
24.
X' - x - 6 .
4x2 - 9 6x2y + 7 q , - 3y
- a - 3 ' .'y + 4x2y .
1 - x 2 x y - x + 4 y - 4
27.
x 2 + 3x - 4
28.
q - x + 5 y - 5
31. - + -. 1 2
t 32
32. 7 - -. 4 1
x x
38. Y 2 -
3y2 - 5y - 2 3y2 - 7y + 2 '
40.
2 x - 3 3x + 1 - I +-
2 x 2 + I I x - 6 3x2 + 16x - 12 3x - 2'
32 I REPASO DE ALGEBRA
I
I + -
45. -
3
t
.r + 3
46. -
Y '
.r - -
-
r
Y
I .Y - I 1
J - -
47.
2Y .x2 + 5x + 6 .Y + 2 48.
Y
x -t - 3 + - .r - 7
x + 2 3
L L
49. ___ - - \m \I5
En los Problemas 51-60 simplificar y expresar la respuesta en forma que no aparezcan radicales en el
denominador
2 f l
55.
- v5
1
52. ___
1 - \a
\/i
v3-6 53.
S
54* \/?I + f l '
x - 3 4
58. ___ + ___ v 5 - I 6 - 1
Aun los estudiantes que se inician en muchas áreas de estudio, S: ven enfrentados pron-
to con la solución de ecuaciones elementales. En este capítulo, se desarrollan técnicas
para llevar a cabo tal tarea. Estos métodos se aplicarán en el siguiente capítulo a algu-
nos casos de la práctica.
__ 2.1 Ecuaciones lineales
Una ecuación es un planteamiento que señala que dos expresiones son iguales. Las dos
expresiones que conforman una ecuación se denominan lados o miembros. Se separan
por un signo de igualdad “ = ”.
EJEMPLO 1
Las siguientes son ecuaciones.
a . x + 2 = 3 . b. x’ + 3x + 2 = O.
c. - - Y - 7 . d. M: = 7 - Z.
Y - 5
En el Ejemplo 1, cada ecuación contiene cuando menos una variable. Una varia-
ble es un símbolo que puede ser reemplazado por cualquiera de un conjunto de núme-
ros diferentes. Los símbolos más utilizados para las variables son letras de la parte final
del alfabeto, tales como x, y, z, w y t. Se dice que las ecuaciones (a) y (c) son ecuaciones
en las variables x y y, respectivamente. La ecuación (d) se da en las variables w y z .
En la ecuación x + 2 = 3, a los números 2 y3 se les denomina constantes, y son núme-
ros fijos.
Nunca se permite que una variable tenga un valor para el cual cualquier expresión
de la ecuación resulte indefinida. Por lo tanto, en y/@ - 5) = 7, la y no puede ser
5 puesto que esto haría que el denominador fuera O.
33
34 2 ECUACIONES
Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de sus variables para
los cuales la ecuación se verifica. A estos valores se les denomina soluciones de la ecua-
ción y se dice que la satisfacen. Cuando sólo se maneja una variable, a una solución
también se le denomina raíz. AI conjunto de todas las soluciones se le denomina con-
junto solución de la ecuación. En ocasiones, a una letra que representa una cantidad
desconocida en una ecuación se le denomina simplemente incógnita. Enseguida se ilus-
tran estos términos.
EJEMPLO 2
a. En la ecuación x + 2 = 3, la variable x es la incógnita. El Único factor de x que
satisface la ecuación es 1. Por ello, 1 es una raíz y el conjunto de soluciones es (1).
b. M' = 7 - z es una ecuación con dos incógnitas. Una solución es el par de valores
w = 4 y z = 3. Sin embargo, existe una cantidad infinita de soluciones. ¿Puede el
lector pensar en otra?
c . -2 es raíz de x* + 3x + 2 = O debido a que al sustituir x por -2 la ecuación se
verifica: (-2)2 -+ 3(-2) + 2 = O.
Al resolver una ecuacibn se desea que cualquier operación que se haga sobre ella
dé como resultado otra ecuación que tenga exactamente las mismas soluciones que la
ecuación dada. Cuando ocurre esto, se dice que las ecuaciones son equivalentes. Exis-
ten tres operaciones que garantizan la equivalencia:
1. Sumar (o restar) el mismo polinomio* a (o de) ambos miembros de una
ecuación, cuando el polinomio tiene la misma variable de la ecuación.
Por ejemplo, si 3x = 5 - 6x, entonces sumar 6x a ambos lados produce la ecuación
equivalente 3x + 6x = 5 - 6x + 6x, o bien 9x = 5.
2. Multiplicar (o dividir) ambos miembros de una ecuación por la misma
constante, exceptuando el cero.
Por ejemplo, si lox = 5, entonces dividir ambos lados entre 10 produce la ecuación
10s 5 1 equivalente -- = -, o bien x = -
10 10 2'
3. Reemplazar cualquier miembro de una ecuación por una expresión igual.
Por ejemplo, si x (x + 2) = 3, entonces el reemplazo del lado izquierdo por una expre-
sión igual, x2 + 2x, produce la ecuación equivalente x2 + 2x = 3.
* Véase la Secci6n 1.6 que contiene la definición de polinomio.
2.1 Ecuaciones lineales 35
Repitiendo: La aplicación de las operaciones 1 a 3 garantiza que la ecuación resul-
tante equivale a la dada. Sin embargo, en ocasiones, al resolver una ecuación se desea
utilizar operaciones diferentes a las consideradas en los cuadros 1 a 3. Estas operacio-
nes pueden no necesariamente dar como resultado ecuaciones equivalentes. Dichas ope-
raciones son:
4. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por una expresión que con-
tiene a la variable;
5. Dividir ambos lados de una ecuación entre una expresión que implica la
variable;
6. Elevar ambos lados de una ecuación a potencias de igual exponente.
Enseguida se ilustran estas tres últimas operaciones. Por ejemplo, por inspeccih
se observa qde la única raíz de x - 1 = O es 1. Multiplicando ambos lados por x (opera-
ción 4) se tiene x2 - x = O, la cual se satisface si x es O o bien 1 (verifíquese esto me-
diante sustitución). Pero O no satisface la ecuación original. Por ello, las ecuaciones
no son equivalentes.
Se puede verificar que (x - 4)(x - 3) = O se satisface cuando x es 4 o bien 3. Divi-
diendo ambos miembros entre x - 4 (operación 5) se obtiene x - 3 = O, cuya única
raíz es 3. De nueva cuenta, no se tiene equivalencia porque, como en este caso, se ha
“perdido” una raíz. Obsérvese que cuando x es 4, la divisicin entre x - 4 implica divi-
sión entre O la cual es una operación no válida.
Para terminar, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación x = 2 (opera-
ción 6) se obtiene x2 = 4, la cual se verifica si x = 2 o bien -2. Pero -2 no es una
raíz de la ecuación dada.
Del análisis anterior resulta claro que cuando se llevan a cabo las operaciones 4
a 6, se debe tener cuidado acerca de las conclusiones que se plantean para las raíces
de una ecuación dada. Las operaciones 4 y 6 pueden producir una ecuación con una
mayor cantidad de raíces. Por ello, se debe verificar si cada una de las “soluciones”
que se obtienen de estas operaciones satisfacen la ecuación original o no. La operación
5 puede producir una ecuación con menor cantidad de raíces. En este caso es posi-
ble que nunca se determine alguna raíz “perdida”. Por tanto, debe evitarse la opera-
ción 5 cuando sea posible.
En resumen, se puede considerar una ecuación como un conjunto de restricciones
impuestas a cualquiera de las variables de la misma. Las operaciones 4 a 6 pueden aumen-
tar o disminuir las restricciones, produciendo soluciones diferentes a las de la ecuación
original. Sin embargo, las operaciones 1 a 3 nunca afectan a las restricciones.
Ahora se mostrará en la solución de una ecuación lineal cómo utilizar los princi-
pios que se han presentado hasta este punto.
DEFlNlClÓN
Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma
a x + b = O ,
en donde a y b son constantes y a # O.
(1)
36 2 ECUACIONES
A las ecuaciones lineales se les denomina también ecuaciones de primer grado o ecua-
ciones de grado I , puesto que la mayor potencia que ocurre en la variable de la ecua-
ción (1) es la primera.
Para resolver una ecuacion lineal, se llevan a cabo operaciones hasta que se llega
a una ecuación equivalente cuyas soluciones son evidentes. Esto significa una ecuación
en la cual la variable se encuentra sola en un miembro, como en los ejemplos que se
presentan enseguida.
EJEMPLO 3
Resolver 5x - 6 = 3x.
Se comienza haciendo que los términos que implican a x se encuentren en un lado y
las constantes en el otro.
5~ - 6 3x,
5x - 6 + ( - 3x) = 3.x + ( - 3 ~ ) (sumando -3x a ambos miembros),
2 ~ - 6 = 0 (simplificando, es decir, operación 3),
2 ~ - 6 + 6 = 0 + 6 (sumando 6 a ambos lados),
2 x = 6 (simplificando),
2x 6
2 2
- = - (dividiendo ambos lados entre 2),
x = 3
Resulta claro que 3 es la única raíz de la última ecuación. Dado que cada ecuación es
equivalente a la que le antecede, se concluye que 3 debe ser la única raíz de 5x - 6 =
3x. Es decir, el conjunto solución es (3). Se puede describir el primer paso de la solu-
ción diciendo que se pasa un término de un miembro de la ecuación al otro, al tiempo
que se le cambia de signo; es común que se denomine a esto transposición. Obsérve-
se que como la ecuación original puede ponerse en la forma 2 x + (-6) = O, es así una
ecuación lineal.
EJEMPLO 4
Resolver 2 (p + 4) = 7 p + 2.
En primer lugar se eliminan los paréntesis.
2QJ + 4) = 7 p + 2,
2p + 8 = 7 p + 2 (propiedad distributiva),
2p = 7 p - 6 (se resta 8 de ambos lados),
- 5 p = -6 (se resta 7 p de ambos miembros),
- 6
P = T (se dividen ambos lados entre "9,
2.1 Ecuociones lineales 37
tí
P = J
EJEMPLO 5
7 x + 3 9 ~ - 8 Resolver ___ - ___ - - 6.
2 4
En primer lugar, se eliminan las fracciones multiplicando ambos lados por el mínimo
común denominador (M.C.D.)*, que es 4.
7x + 3 9x - 8 4."
2
4.- = 24 (propiedad distributiva),
4
2(7x + 3 ) - (9x - 8) = 24 (se simplifica),
14x + 6 - 9x + 8 = 24 (propiedad distributiva),5x + 14 = 24 (se simplifica),
5x = 10 (se resta 14 de ambos lados),
x = 2. (se dividen ambos miembros entre 5).
Cada una de las ecuaciones de los Ejemplos 3 a 5 tiene una y sólo una raíz. Esto
es característico de todas las ecuaciones lineales en una variable.
Las ecuaciones en las que algunas de las constantes se representan por letras se
denominan ecuaciones literales. Por ejemplo, en la ecuación literal x + a = 4b se con-
considera que a y b son constantes no especificadas. Las fórmulas, como I = Prt, que
expresan una relación entre ciertas cantidades, pueden considerarse ecuaciones litera-
les. Si se desea expresar una letra específica de una fórmula en términos de las otras,
a dicha letra se le considera la incógnita.
EJEMPLO 6
a. La ecuación I = Prt es la fórmula para el interés simple I que se obtiene sobre un
capital P, a la tasa anual de interés r por un período de t años. Expresar r en térmi-
nos de I, P y t.
Aquí se considera que res la incógnita. Para separar r se dividen ambos lados entre Pt.
I = Prt,
I Prt
Pt Pt '
_" -
* El mínimo común denominador de dos o más fracciones es el menor número que tiene a todos 10s
denominadores como factores. Es decir, el M.C.D. es el mínimo común rnúltiplo (M.C.M.) de todos 10s de-
nominadores.
38 2 ECUACIONES
\ Cuando se dividen ambos miembros entre Pt, se supone que P t # o, Porque no se
puede dividir entre cero. En la resolución de otras ecuaciones literales se hacen las
mismas suposiciones. I
b. La ecuación S = P + Prt es la fórmula para el valor S de una inversión de un capital
P a una tasa anual de interés simple r por un periodo de t años. Despejar P.
S = P + Prt,
S = P(l + rt) (se factoriza)
S - = p
1 + rt (se dividen ambos lados entre 1 + rt) .
c. Despejar x en (a + c)x + x2 = (x + a>2.
En primer lugar se simplifica la ecuación y después se colocan en un mismo lado
todos los términos que implican a la x.
(a + c)x + 2 = ( x + a)2 ,
ax + cx + x2 = x2 + 2ax + u’,
cx - ux = a , 2
x(c - a) = a?,
a2
c - a
x=”----
EJERCICIOS 2.1
En 10s Problemas 1-6, determinar por sustitución cuál de los números dados satisface la ecuación dada, si
es que alguno lo hace.
1. 9x - x* = o; 1, o. 2. 20 - 9x = -x2; 5, 4.
3. y + 20, - 3) = 4; y , 1. 4. 2x + x’ - 8 = O; 2, - 4 .
5. x(7 + x) - 2(x + 1) - 3x = -2; - 3 . 6. X(X + l)’(x + 2) = O; O, - 1, 2.
2
x - 2 11. x2 - 2x = o; x - 2 = o. 12. - + x = S’; 2 + n(x - 2) = x2(x - 2).
2.1 Ecuaciones lineales 39
14. x(x + 5 ) ( x + 9) = x(x + 1); (x + 5)(x + 9) = x + 1.
15. ___ -
x(x + 1)
x - 5
- x(x + 9); X + 1 = (X t 9 ) ( ~ - 5). 16. 2 x 2 - 9 = X; X' - f s = 8.
EA los Problemas 17-46, resolver las ecuaciones.
17,. 4x = 10. 18, 0 . 2 ~ = 5. 19. 3y = O.
20. 2x - 4x = -5 . 21. - 5 ~ = 10 - 15. 22. 3 - 2x = 4.
23. 5x - 3 = 9. 24. ax + 3 = 8. 25. 7x + 7 = 2(x + 1).
26. 62 + 52 - 3 = 41. 27. 2@ - 1) - 3(p - 4) = 4p. 28. t = 2 - 2[2t - 3(1 - t ) ] .
29. - = 2x - 4.
X
5
X
32. - - 4 = -.
3 5
X
.x
35. 3 x + - - 5 = - + S x
1
5 . 5
38. - + -p = -(p - 1). P 3 9
3 4 2
3
2
33. q = - q - 4.
31. 5 + - = -
4x x
9 2'
3 4 . - + - = 7
2 3
x x
37. - - 2 ~ - 3 6 y + 7
4 3 '
"
39. w + - " + " = 5 ~ 7 + 2(x + 1) 8x 40. = - 3 5 '
w w w
2 3 4
41. - - - = x - 2. 42. - + ___ = 7. x + 2 2 - X x 2(x - 4)
3 6 5 10
<
9 3
5 4
43. -(3 - x) = -(x - 3).
3
21 '
46. ( 3 ~ - 1)I - (SX - 3)' = - ( 4 ~ - 2)'
En los Problemas 41-54, expresar el símbolo que se indica en términos de los simbolos restantes.
47. I = Prt; P. 48. ux + b = O; x. 49. p = 8q - 1; q.
50. p = -39 + 6; q. 51. S = P(l + rt); r. 2mI 52. r = ' m.
B(n + 1)'
53. S = !(a, + un); u, . R[(1 + i)" - 11 2 54. S = ; R . i
55. Si se compra un artículo para utilizarlo en un
negocio, al elaborar la declaración del impuesto sobre
la renta se puede repartir su costo sobre toda su vida
útil. A esto se le denomina depreciación. Un método
de evaluar esta cantidad es la depreciación en línea
recta, en la cual se calcula la depreciación anual divi-
diendo el costo del artículo, menos su valor estima-
do de desecho, entre su vida útil. Supóngase que el
costo es C, la vida útil es N (años) y no hay valor
de desecho. Entonces, el valor V del artículo al fi-
nal de n años está dado por
Supóngase que se adquieren $1 600 (dólares)
de muebles nuevos para oficina, que tienen una vida
útil de 8 años y que carecen de valor de desecho. ¿Des-
pués de cuántos años valdrán $1 OOO?
56. Cuando se utiliza radar en una carretera para
determinar la velocidad de un automóvil, se envía un
haz de ondas para que se refleje en el automóvil que
transita. La diferencia F (en ciclos por segundo) en
la frecuencia entre el haz original emitido y el refle-
jado está dada por
F = - vf
334.8'
40 2 ECUACIONES
en donde v es la velocidad del automóvil en millas cia de pie frente a una mesa de 3 pies cuadrados en
por hora (mi/h) y f es la frecuencia del haz radio- la cual se habían colocado discos uniformes de lija,
eléctrico original (en megaciclos por segundo). la “presa”. Durante un minuto, el “depredador”
Supóngase que un conductor maneja en una
carretera que tiene límite de velocidad de 55 mi/h.
Un policía dirige un haz de radar, cuya frecuencia
es de 2 450 (megaciclos por segundo) al automóvil,
y observa que la diferencia en frecuencia es de 420
(ciclos por segundo) ¿Puede suponer el policía que
el conductor está rebasando el límite de velocidad?
buscó los discos tocrndo con un dedo. En los casos
en los que enc0ntrat.a un disco, se eliminaba éste y
la búsqueda cordir uaba. El experimento se repitió con
diversas densidad, S (número de discos por 9 pies cua-
drados). Si y es el número de discos encontrados en
un minuto cuando se encontraban x objetos de éstos
en la mesa, se estima que
57. Para estudiar la relación entre depredador y pre-
sa, se llevó a cabo un experimento* en el cual un suje- en donde a y b son constantes. Despeje y de esta
to con los ojos tapados, el “depredador”, permane- ecuación.
?’ = a( l - b?’)x,
- 2.2 Ecuaciones que conducen
a ecuaciones lineales
Algunas ecuaciones que no son lineales carecen de solución. En este caso, se dice que
el conjunto solución es el conjunto vacio o conjunto nulo, el cual se denota mediante
{ } o 0. LOS siguientes ejemplos ilustran que resolver ecuaciones no lineales puede con-
ducir a ecuaciones lineales.
EJEMPLO 1
Resuelva las siguientes ecuaciones.
5 6
x - 4 S ” . ? .
a, -- = ___
A esta ecuaci6n se le denomina ecuación fracciona[ debido a que la incógnita se en-
cuentra en el denominador. Para resolverla, primero se le escribe en forma que no
tenga fracciones. Multiplicando ambos lados por el M.C.D., (x - 4)(x - 3), se tiene
5(x - 3 ) = 6(.r - 4) [ecuación lineal],
5x - 15 = 6~ - 24,
9 = x.
En el primer paso, se multiplicó cada uno de los lados por una expresión que impli-
caba la variable x. Como se mencionó en la Sección 2.1, esto significa que no se ga-
rantiza que la ultima ecuación equivale a la ecuación original. Por consiguiente, debe
verificarse si el número 9 satisface la ecuación original. Si se sustituye x por 9 en
esa ecuacion, el lado. izquierdo se convierte en
- = - = 1 5 5
9 - 4 5
* C.S. Holling, “Some Characteristics of Simple Types
of Predation and Parasitism”, The Canadian Entomologist.
><GI, no. 7 (1959), 385-98.
2.2 Ecuaciones que conducen o ecuaciones lineoles
y el lado derecho es
6 6
9 - 3 6
” ” = 1.
Dado que ambos
