LOGARITMOS ECUACIONES EXPONENCIALES

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REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS ‒ CIENCIAS 1 
 
Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas 
 
 
 
 
 
John Napier (Neper), fue el primero que definió y desarrolló los logaritmos. El método de cálculo 
mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John 
Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis 
Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió 
por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que 
Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta 
apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban. 
Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la 
resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente 
en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las 
calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un 
importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para 
el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647. 
Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, 
funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, 
eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. 
Inicialmente, Napier llamó «números artificiales» a los logaritmos y «números naturales» a los 
antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una 
proporción: λόγος (logos) el sentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, 
literalmente, como «un número que indica una relación o proporción». Se refiere a la proposición que 
fue hecha por Napier en su «teorema fundamental», que establece que la diferencia de dos logaritmos 
determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una progresión 
aritmética de logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. El término 
antilogaritmo fue introducido a finales de siglo xvii y, aunque nunca se utilizó ampliamente en 
matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#Historia 
 
 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/John_Napier
http://es.wikipedia.org/wiki/John_Napier
http://es.wikipedia.org/wiki/John_Napier
http://es.wikipedia.org/wiki/Joost_B%C3%BCrgi
http://es.wikipedia.org/wiki/Kepler
http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia
http://es.wikipedia.org/wiki/Navegaci%C3%B3n_mar%C3%ADtima
http://es.wikipedia.org/wiki/Computadora
http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:John_Napier_(Neper).jpg
 
2 C E P R E P U C 2021.0 
LOGARITMO 
 
DEFINICIÓN 
 
 Sea a  R   { 1 } una constante llamada base. El logaritmo en base a, que se denota loga, se define de 
la siguiente manera: 
 loga x = b  a b = x 
 
 
Notación 
logN = log10N, se lee logaritmo decimal de N. 
Ejemplos 
log2 8 = 3 log3 9 = 2 log 100 = 2 
 
Definición: 
logeN = ln N se lee logaritmo neperiano de n, donde e  2,7182... 
Ejemplos 
 
 
PROPIEDADES 
Si a, b  R   { 1 } (constantes), x, y  R  . 
PROPIEDAD EJEMPLO 
 1. loga (xy) = loga x + loga y log3 (15) = 
 2. loga
y
x
 = loga x – loga y log5
2
3
 = 
 3. Si z  R, loga x
z = z loga x log5 3
4
 
 4. Si z, s  R, s  0, log
sa
x z = 
s
z
loga x log 25
3
4
 
 5. a
xalog
 = x, loga a
x = x 3
2log3 = 
 6. loga a = 1, loga 1 = 0 log5 5 = ; log5 1 = 
 7. logb a = 
blog
1
a
 log2 3 = 
 8. loga x = loga y  x = y log5 x = log5 3  x = 
 9. loga x = 
alog
xlog
b
b (Cambio de base) log5 3 = 
10. loga x . logx y = loga y log5 3 log3 7 = 
 
ln 1 = 0 ln e = 1 ln e = 
2
1
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS ‒ CIENCIAS 3 
 Ejemplos 
1. log2 (
𝟏𝟐𝟖
𝟐𝟗
) = 
2. log5 (𝟏𝟐𝟓√𝟏𝟐𝟓)
𝟏
𝟕= 
3. log3 (
√𝟐𝟕
𝟔
√𝟖𝟏
𝟑 ) = 
 
Ejercicios 
1. Si y = log3 243, calcula el valor de 
 a. logy 25 
 
 
 
 
 
 
 
 b. logy 125 
 
 
 
 
 
 
 
 c. logy 3125 
2. Si log2 = a, log3 = b; calcula log 36 2 
 
 
 
4 C E P R E P U C 2021.0 
3. Calcula el valor de E. 
 
E = 
25log
3 25log3 
4. Reduce E. 
 E = log7 








49
7
3
log5 0,2 
5. Si se considera que log2  0,3  log3  0,48, 
halla el valor aproximado de E. 
E = log(230x 340) 
6. Si log a = 6, log b = 4, halla E = 
4 2ba . 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS ‒ CIENCIAS 5 
 
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 
Para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, debemos tener en cuenta lo siguiente: 
 
 
 
 
 Donde a  R   { 1 } 
Ejemplos 
1. Halla el valor de x en la siguiente 
ecuación: 
 log3 (2x ‒ 1) = 2 
 
 SOLUCIÓN 
 
 log3 (2x ‒ 1) = 2 
  2x ‒ 1 = 3
2
 
 2x = 10 
 x = 5 
 
2. Resuelve la siguiente ecuación: 
log(x
2
 ‒ 3) = log(2x) 
 SOLUCIÓN 
 log(x
2
 ‒ 3) = log(2x) 
 x
2
 ‒ 3 = 2x 
 x
2
 ‒ 2x ‒ 3 = 0 
 x ‒ 3 
 x 1 
(x ‒ 3)(x + 1) = 0 
 x ‒ 3 = 0  x = 3, cumple ecuación original 
 x + 1 = 0  x = ‒ 1, 
no cumple la ecuación original (2x > 0  x > 0) 
C.S. = { 3 } 
3. Halla el valor de x en la siguiente ecuación: 2
x
 = 3 
 SOLUCIÓN 
 
 Aplicamos logaritmo en base 10: log 2 x = log 3 
 Por propiedad: x log 2 = log 3 
 
 x = 
2log
3log
 
 Por propiedad: x = log2 3 
 
 Otra forma: usando la definición 
2 x = 3  x = log23 
 
 
 
 
 
 
 
loga x = y  x = a y 
loga x = loga y  x = y 
 
6 C E P R E P U C 2021.0 
Ejercicios 
1. Calcula la suma de los valores de x en la 
ecuación: 
log2 (x
2 + 7) = 4 
2. Resuelve: 
log 4x = 2  log x 
 
3. Resuelve: 
5
x
 = 7 
4. Resuelve: 
4 x2 ‒ 2.4 x = 15 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS ‒ CIENCIAS 7 
 
5. Resuelve la siguiente ecuación: 
 ln(x ‒ 3) 2 = ln(4x 2 ) 
 
6. Resuelve: 
3
1
1010
1010
xx
xx





 
 
 
7. Resuelve: 
1 + 2logx ‒ log(x + 2) = 0 
 
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8. Resuelve: 
3log2x + 2log4x + 4log8x = 32 
9. Resuelve: 
xlogxlog 