T - SUCESIONES SERIES, PROGRESIONES

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¡BIENVENIDOS!
Hoy revisaremos el 
siguiente tema: 
SUCESIONES Y 
PROGRESIONES
CONTENIDO DE LA CLASE
 SUCESIONES
 Definición
 Sucesiones finitas e infinitas
 SERIES
 Definición
 Sumatorias notables
 PROGRESIONES
 Progresión aritmética
 Progresión geométrica
SUCESIONES
SUCESIONES
Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de números. Cada de uno de ellos
denominado término o elemento de la sucesión.
Es la que se compone de un número finito (numerable) de términos.
Sucesión
Sucesión finita
{ 7;14; 21; 28; 35 } 
1° término: t1
2° término: t2
3° término: t3
4° término: t4
5° término: t5
SUCESIONES
Es la que se compone de un número infinito de términos.
Sucesión infinita
{ 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑘; … }
•
1
𝑘2
; 𝑘 = 1; 2; 3;…
1° término
2° término
3° término
k-ésimo término
1
12
;
1
22
;
1
32
;
1
42
; … = 1;
1
4
;
1
9
;
1
16
; …
Solución:
1. Se define la sucesión 𝑎𝑛
𝑎𝑛 = −1
𝑛+1 𝑛2 + 1
Determina los cinco primeros términos.
• 𝑎1 = −1
1+1 12 + 1 = −1 2 2 = 2
• 𝑎2 = −1
2+1 22 + 1 = −1 3 5 = −5
• 𝑎3 = −1
3+1 32 + 1 = −1 4 10 = 10
• 𝑎4 = −1
4+1 42 + 1 = −1 5 17 = −17
• 𝑎5 = −1
5+1 52 + 1 = −1 6 26 = 26
2;−5; 10;−17; 26
Solución:
2. Escribe el enésimo término de cada sucesión:
a.
1
2
;
2
3
;
3
4
;
4
5
; …
𝑎1 =
1
2
=
1
1 + 1
𝑎2 =
2
3
=
2
2 + 1
𝑎3 =
3
4
=
3
3 + 1
…
𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛 + 1
b.
1
1 × 2
;
1
2 × 3
;
1
3 × 4
;
1
4 × 5
; …
Solución:
𝑏1 =
1
1 × 2
=
1
1 × 1 + 1
𝑏2 =
1
2 × 3
=
1
2 × 2 + 1
𝑏3 =
1
3 × 4
=
1
3 × 3 + 1
…
𝑏𝑛 =
1
𝑛 × 𝑛 + 1
SERIES
SERIES
Una serie es la suma de los términos de una sucesión 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑘 .
Serie:
 
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
𝑘: índice de la suma
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
 
𝑘=3
5
𝑘2 + 1 = 32 + 1 + 42 + 1 + 52 + 1 = 10 + 17 + 26 = 53
Ejemplo:
Solución:
3. Escribe la siguiente suma de forma desarrollada.
 
𝑘=1
𝑛
𝑘 + 1
𝑘
𝑡1 =
1 + 1
1
= 2
𝑡2 =
2 + 1
2
=
3
2
𝑡3 =
3 + 1
3
=
4
3
…
𝑡𝑛 =
𝑛 + 1
𝑛
∴ 
𝑖=1
𝑛
𝑘 + 1
𝑘
= 2 +
3
2
+
4
3
+ ⋯+
𝑛 + 1
𝑛
SERIES
1.
 
𝑘=1
𝑛
𝑚. 𝑎𝑘 = 𝑚 ∙ 
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
 
𝑘=1
4
3𝑘 = 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 = 3 1 + 2 + 3 + 4 = 3 ∙ 
𝑘=1
4
𝑘
Ejemplo:
Donde 𝑚 es una variable cualquiera.
Importante:
SERIES
Importante:
 
𝑘=1
𝑛
𝑏 = 𝑛𝑏
 
𝑘=1
5
3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 5 = 15
Ejemplos:
Donde 𝑏 es una variable cualquiera.
 
𝑘=1
𝑚
2 = 2 + 2 +⋯+ 2 + 2 = 2𝑚
𝑚 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
5 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
2.
SERIES
3.
 
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 = 
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 + 
𝑘=1
𝑛
𝑏𝑘
 
𝑘=1
6
𝑘2 + 𝑘 = 
𝑘=1
6
𝑘2 + 
𝑘=1
6
𝑘
Ejemplo:
Importante:
SERIES
1. Suma de los 𝒏 primeros números naturales positivos
Sumatorias notables
 
𝑘=1
𝑛
𝑘
Ejemplo:
= 
𝑘=1
40
𝑘1 + 2 + 3 +⋯+ 39 + 40 =
40 × 41
2
= 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 =
𝑛 𝑛 + 1
2
= 820
SERIES
2. Suma de los 𝒏 primeros números pares positivos
Sumatorias notables
 
𝑘=1
𝑛
2𝑘
Ejemplo:
= 
𝑘=1
20
2𝑘2 + 4 + 6 +⋯+ 38 + 40 = 20 × 21
= 2 + 4 + 6 +⋯+ 2𝑛 = 𝑛 𝑛 + 1
= 420
SERIES
3. Suma de los 𝒏 primeros números impares positivos
Sumatorias notables
 
𝑘=1
𝑛
2𝑘 − 1
Ejemplo:
= 
𝑘=1
30
2𝑘 − 11 + 3 + 5 +⋯+ 57 + 59 = 302
= 1 + 3 + 5 +⋯+ 2𝑛 − 1 = 𝑛2
= 900
SERIES
4. Suma de los cuadrados de los 𝒏 primeros números naturales positivos
Sumatorias notables
 
𝑘=1
𝑛
𝑘2
 
𝑘=1
10
𝑘2 = 12 + 22 + 32 +⋯+ 102 =
10 × 11 × 21
6
Ejemplo:
= 12 + 22 + 32 +⋯+ 𝑛2 =
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6
= 385
SERIES
5. Suma de los cubos de los 𝒏 primeros números naturales positivos
Sumatorias notables
 
𝑘=1
𝑛
𝑘3
 
𝑘=1
15
𝑘3 = 13 + 23 + 33 +⋯+ 153 =
15 × 16
2
2
Ejemplo:
= 13 + 23 + 33 +⋯+ 𝑛3 =
𝑛 𝑛 + 1
2
2
= 1202 = 14400
Solución:
4. Halla el valor de B ‒ A.
A = 12 + 22 + 32 +⋯+ 122
• A = 12 + 22 + 32 +⋯+ 122= 
𝑘=1
12
𝑘2
=
12 × 12 + 1 × 2 × 12 + 1
6
= 650
B = 13 + 23 + 33 + ⋯+ 113
 
𝑘=1
𝑛
𝑘2 =
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6
=
12 × 13 × 25
6
• B = 13 + 23 + 33 +⋯+ 113= 
𝑘=1
11
𝑘3
=
11 × 11 + 1
2
2
= 4356= 662
 
𝑘=1
𝑛
𝑘3 =
𝑛 𝑛 + 1
2
2
∴ B − A = 3706
Solución:
5. Calcula el valor de la siguiente sumatoria:
 
𝑘=1
8
𝑘2 + 3𝑘 
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 = 
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 + 
𝑘=1
𝑛
𝑏𝑘
 
𝑘=1
8
𝑘2 + 3𝑘 = 
𝑘=1
8
𝑘2 + 
𝑘=1
8
3𝑘
 
𝑘=1
𝑛
𝑚. 𝑎𝑘 = 𝑚 ∙ 
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
= 
𝑘=1
8
𝑘2 + 3 ∙ 
𝑘=1
8
𝑘 
𝑘=1
𝑛
𝑘 =
𝑛 𝑛 + 1
2
 
𝑘=1
𝑛
𝑘2 =
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6
=
8 × 9 × 17
6
+ 3 ∙
8 × 9
2
= 12 × 17 + 3 × 36
= 204 + 108 = 312
PROGRESIONES
PROGRESIONES
Es una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.
Progresión aritmética
Dada la progresión: 𝑡1; 𝑡2; 𝑡3; 𝑡4; … ; 𝑡𝑛−1; 𝑡𝑛
Se cumple: 𝑡2 − 𝑡1 = 𝑡3 − 𝑡2
+𝑟 +𝑟 +𝑟 +𝑟
= 𝑡4 − 𝑡3 = ⋯ = 𝑡𝑛 − 𝑡𝑛−1 = 𝒓
• Si 𝑟 > 0 → progresión creciente
𝑟: 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎
• Si 𝑟 < 0 → progresión decreciente
PROGRESIONES
Es una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.
Progresión aritmética
Dada la progresión: 𝑡1; 𝑡2; 𝑡3; 𝑡4; … ; 𝑡𝑛−1; 𝑡𝑛
Se cumple: 𝑡2 = 𝑡1 + 𝑟
+𝑟 +𝑟 +𝑟 +𝑟
𝑟: 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑡3 = 𝑡1 + 2𝑟
…
𝑡𝑛 = 𝑡1 + 𝑛 − 1 𝑟
Término de lugar 𝑘:
𝑡𝑘 = 𝑡1 + 𝑘 − 1 𝑟
PROGRESIONES
Es una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.
Progresión aritmética
Dada la progresión: 𝑡1; 𝑡2; 𝑡3; 𝑡4; … ; 𝑡𝑛−1; 𝑡𝑛
Se cumple: 𝑡2 = 𝑡1 + 𝑟
+𝑟 +𝑟 +𝑟 +𝑟
𝑟: 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑡3 = 𝑡1 + 2𝑟
𝑠𝑛 = 𝑡1 + 𝑡𝑛
𝑛
2
Suma de los 𝑛 primeros términos:
𝑠𝑛 = 2𝑡1 + 𝑛 − 1 𝑟
𝑛
2
…
𝑡𝑛 = 𝑡1 + 𝑛 − 1 𝑟
Solución:
6. Debo pagar un departamento en 36 cuotas. La primera cuota es de $ 8000 y cada
una de las siguientes es $ 200 menos que la anterior. ¿Cuánto dinero debo pagar en
total?
Cuotas: 8000; 7800; 7600; 7400;… ; t36
−200 −200 −200
…
𝑡1 = 8000
𝑟 = −200
𝑛 = 36 cuotas
Pago total = 8000 + 7800 + 7600 + ⋯+ t36 𝑠𝑛 = 2𝑡1 + 𝑛 − 1 𝑟
𝑛
2
= 2 × 8000 + 35. −200 ×
36
2
= 16 000 − 7000 × 18
= 9000 × 18
= $ 162 000
Solución:
7. Eva deposita cada mes cierta cantidad de dinero en el banco. Además, las
cantidades que deposita cada mes forman una progresión aritmética. Finalmente,
se sabe que depositó S/ 308 en el quinto mes y S/ 416 en el noveno mes. ¿Cuánto
dinero tendrá acumulado Eva luego de nueve meses de ahorro?
Depósitos: t1; t2; … ; t5 = 308;… ; t9 = 416
; 𝑛 = 9 depósitos
𝑡5 = 𝑡1 + 4𝑟
𝑡𝑘 = 𝑡1 + 𝑘 − 1 𝑟
𝑡9 = 𝑡1 + 8𝑟
= 308
= 416
4𝑟 = 108
→ 𝑡1 + 108 = 308
𝑡1 = 200
𝑠𝑛 = 𝑡1 + 𝑡𝑛
𝑛
2Ahorro total = 200 + t2 + t3 +⋯+ 416
= 200 + 416 ×
9
2
= 616 ×
9
2
= 𝑆/ 2772
PROGRESIONES
Es una sucesión de números en la que el cociente entre dos términos consecutivos es constante.
Progresión geométrica
Dada la progresión: 𝑡1; 𝑡2; 𝑡3; 𝑡4; … ; 𝑡𝑛−1; 𝑡𝑛
Se cumple:
𝑡2
𝑡1
=
𝑡3
𝑡2
× 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞
=
𝑡4
𝑡3
= ⋯ =
𝑡𝑛
𝑡𝑛−1
= 𝒒
𝑞: 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
• 128; 64; 32; 16;…
Ejemplo:
×
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
𝑞 =
1
2
razón geométrica
PROGRESIONES
Es una sucesión de números en la que el cociente entre dos términos consecutivos es constante.
Progresión geométrica
Dada la progresión: 𝑡1; 𝑡2; 𝑡3; 𝑡4; … ; 𝑡𝑛−1; 𝑡𝑛 𝑞: 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
Término de lugar 𝑘:
𝑡𝑘 = 𝑡1. 𝑞
𝑘−1
Se cumple: 𝑡2 = 𝑡1. 𝑞
𝑡3 = 𝑡1. 𝑞
2
…
𝑡𝑛 = 𝑡1. 𝑞
𝑛−1
× 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞
PROGRESIONES
Es una sucesión de números en la que el cociente entre dos términos consecutivos es constante.
Progresión geométrica
Dada la progresión: 𝑡1; 𝑡2; 𝑡3; 𝑡4; … ; 𝑡𝑛−1; 𝑡𝑛 𝑞: 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
Se cumple: 𝑡2 = 𝑡1. 𝑞
𝑡3 = 𝑡1. 𝑞
2
× 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞
𝑆𝑛 = 𝑡1
𝑞𝑛 − 1
𝑞 − 1
Suma de los 𝑛 primeros términos:
…
𝑡𝑛 = 𝑡1. 𝑞
𝑛−1
Solución:
8. Un padre ofrece a su hijo el siguiente sistema depropina: por el primer día de
estudio constante recibirá S/ 3 y luego, cada nuevo día de estudio constante,
recibirá el doble de lo que recibió el día anterior. ¿Cuánto debería recibir el hijo por
8 días de estudio constante?
3; 6; 12; 24;… ; 𝑡8
× 2 × 2 × 2
Propinas:
× 2
𝑡1 = 3
𝑞 = 2
𝑛 = 8 días
Recibe = 3 + 6 + 12 + 24 +⋯+ 𝑡8
𝑆𝑛 = 𝑡1
𝑞𝑛 − 1
𝑞 − 1
= 3 ∙
28 − 1
2 − 1
= 3 ∙
256 − 1
1
= 3 × 255 = S/ 765
PROGRESIONES
Es una progresión geométrica que se compone de un número infinito de términos.
Progresión geométrica infinita
Dada la progresión: 𝑡1; 𝑡2; 𝑡3; 𝑡4; …
Si − 1 < q < 1
× 𝑞 × 𝑞 × 𝑞
𝑞: 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑆∞ =
𝑡1
1 − 𝑞
Suma de los infinitos términos:
Solución:
9. Calcula el valor de M.
M =
2
3
+
1
3
+
1
6
+
1
12
+ ⋯
M =
2
3
+
1
3
+
1
6
+
1
12
+⋯
×
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
𝑡1 =
2
3
𝑞 =
1
2
𝑆∞ =
𝑡1
1 − 𝑞
∴ M =
2
3
1 −
1
2
=
2
3
1
2
=
2 × 2
1 × 3
=
4
3