PPT - SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

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¡BIENVENIDOS!
Esta semana revisaremos 
el siguiente tema: 
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
CONTENIDO DE LA CLASE
 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
 Cilindro, cono y esfera: elementos, áreas y volúmenes
 Ejemplos
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
CILINDRO CIRCULAR 
RECTO
GENERACIÓN DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO 
Un cilindro circular recto o cilindro de revolución es el sólido generado por la rotación completa de un 
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
𝑅
𝑅
ELEMENTOS DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO
ELEMENTOS NOTACIÓN
BASES
ALTURA
𝐴𝐵
𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑂 𝑦 𝑂´
𝑟
ℎ = 𝑂𝑂´ (𝑂𝑂´ = 𝐴𝐵)
GENERATRIZ
Es el segmento 𝐴𝐵 que al girar
alrededor del eje 𝑂𝑂´ genera una
superficie cilíndrica.
𝐴𝐵 = 𝑔
RADIO
Es el radio de cualquiera de las bases
ℎ
𝑂´
Eje
𝑂
ℎ𝑔
𝐴
𝐵
𝑟
𝑟
DESARROLLO EN EL PLANO DE UN CILINDRO
𝑂´
𝑂
ℎ𝑔
𝑟
𝐴
𝐵
Superficie lateral
𝑟
𝑂´
base
𝑟
𝑂
base
Perímetro de la base = 2𝜋𝑟
ℎ = 𝑔
En el espacio En el plano
ÁREA LATERAL, ÁREA TOTAL Y VOLUMEN DE CILINDRO CIRCULAR RECTO
EJEMPLOS
1. Calcula el área total y el volumen de un cilindro circular recto si su generatriz mide 8 cm y el radio
de su base mide y 7 cm.
Solución:
ℎ
𝑂´
𝑂
𝑟 = 7
• Área total = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝑏
= 112𝜋 + 2𝜋𝑟2
= 112𝜋 + 2𝜋(7)2
= 210𝜋 𝑐𝑚2
• Volumen = 𝐴𝑏 × ℎ
= 𝜋𝑟2 × ℎ
= 𝜋(7)2× 8
= 392𝜋 𝑐𝑚3
• Área lateral = 2𝜋𝑟𝑔
= 8
= 2𝜋(7)(8)
= 112𝜋 𝑐𝑚2
𝑔 = 8
2. En un cilindro circular recto, el desarrollo de la superficie lateral es un cuadrado de diagonal
8 2 𝑐𝑚. Calcula el volumen del cilindro.
Solución:
𝑂´
𝑂𝑟
ℎ
Superficie lateral
Perímetro de la base = 2𝜋𝑟
8 2𝑔 𝑔
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝜋𝑟2 × 𝑔
2𝜋𝑟 = 𝑔
2𝜋𝑟 = 8
= 𝜋
4
𝜋
2
× 8
=
128
𝜋
𝑐𝑚3
𝑔
𝑔
𝑇. 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠: 𝑔2 + 𝑔2 = (8 2)2
2𝑔2 = 128
𝑔 = 8
⟶ 𝑟 =
4
𝜋
CONO CIRCULAR RECTO
GENERACIÓN DE UN CONO CIRCULAR RECTO
Un cono circular recto o cono de revolución es el sólido generado por la rotación completa de un 
triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
𝑅
ELEMENTOS DE UN CONO CIRCULAR RECTO
𝑉
ℎ
ELEMENTOS NOTACIÓN
VÉRTICE
ALTURA
𝑉𝐴
Círculo de centro O
𝑟
ℎ = 𝑉𝑂
GENERATRIZ
Es el segmento que une el vértice
con un punto de la circunferencia
base, 𝑉𝐴, que al girar alrededor del
eje 𝑉𝑂 genera la superficie cónica.
RADIO
Es el radio del círculo base
ℎ𝑔
BASE
𝑉
Eje
𝑂
𝐴
𝑟𝑟
Se cumple: ℎ2 + 𝑟2 = 𝑔2
DESARROLLO EN EL PLANO DE UN CONO CIRCULAR RECTO
En el espacio: En el plano:
• Se sabe que:
𝐿 𝐴𝐵 = 2𝜋𝑔
𝛼
360°
𝐿⊙ = 2𝜋𝑟
⟶ 2𝜋𝑔
𝛼
360°
= 2𝜋𝑟 ⟶ 𝑔
𝛼
360°
= r
𝑂
ℎ
𝑔
𝑟 𝐴, 𝐵
𝑉
𝐴 𝐵
𝑉
𝛼
𝑔 𝑔
Superficie lateral
𝑂
𝑟
base
ÁREA LATERAL, ÁREA TOTAL Y VOLUMEN DEL CONO CIRCULAR RECTO
EJEMPLOS
3. Un cono circular recto tiene 18𝜋 𝑐𝑚2 de superficie lateral. Si su generatriz mide 6 cm, calcula el 
volumen del cono.
𝑟
• Área lateral 
𝑟
6
𝑟2 + ℎ2 = 𝑔2⟶ 32 + ℎ2 = 62
⟶ ℎ = 3 3
= 𝜋𝑟𝑔
18𝜋 = 𝜋 𝑟 6
• Volumen =
1
3
𝜋𝑟2 × ℎ
𝑉 =
1
3
𝜋32 × 3 3
= 9 3𝜋 𝑐𝑚3
Solución:
ℎ
𝑟 = 3
ℎ2 = 27
Solución:
4. La generatriz de un cono mide 9 cm y la superficie lateral desarrollada forma un sector circular
cuyo ángulo central es 120°. Calcula el volumen de dicho cono.
ℎ
𝑟
𝑔 = 9
𝑟 = 9
120°
360°
• 𝑟2 + ℎ2 = 𝑔2
32 + ℎ2 = 92
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
1
3
𝜋𝑟2 × ℎ
=
1
3
𝜋32 × 6 2
= 18 2 𝜋 𝑐𝑚3
Desarrollo de la superficie lateral
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠
⟶ 𝑟 = 3
⟶ ℎ = 6 2
𝑔
2𝜋𝑟 = 2𝜋 ∙ 9 ∙
120°
360°
= 9
ℎ2 = 72
ESFERA
GENERACIÓN DE UNA ESFERA
Una esfera es el sólido generado por la rotación completa de un semicírculo alrededor de su
diámetro. Se encuentra limitada por la superficie esférica, que es el conjunto de todos los puntos
que se encuentran a una misma distancia de otro interior llamado centro.
𝑅 𝑅
𝑅
𝑂
ELEMENTOS DE LA ESFERA
ELEMENTOS NOTACIÓN
R
CENTRO
Es el centro del semicírculo 
generatriz.
O
𝑅 𝑅
𝑅
O
RADIO
Es el segmento de recta que une el 
centro con un punto cualquiera de la 
superficie esférica
ÁREA TOTAL Y VOLUMEN DE UNA ESFERA
EJEMPLOS
Solución:
5. Calcula el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de altura 16 𝑐𝑚.
𝑅
Vista frontal:
𝑅
𝑅
16
16
𝑅 = 8
𝑂
𝑂1
𝑂
𝑂1
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4
3
𝜋𝑅3 =
4
3
𝜋(8)3 =
2048𝜋
3
𝑐𝑚3
6. Calcula el volumen del sólido que se obtiene
al girar la figura mostrada alrededor de 𝐴𝐵.
Solución:
5
+
1
2
4
3
𝜋23+ 𝜋 × 22 × 5
1
3
(𝜋22 × 1)𝑉 =
𝑉 =
4𝜋
3
+ 20𝜋 +
16𝜋
3
2
2
1
2
5
ℎ
𝑟
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2 × ℎ
𝑟
ℎ
𝑉 = 𝜋𝑟2 × ℎ
𝑅
𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3
251
2 𝑢2 𝑢
5
8 𝑢
𝐴 𝐵
251
2 𝑢2 𝑢
2 𝑢
=
80𝜋
3
𝑐𝑚3
Solución:
7. En la figura se muestra un sólido constituido por un cono circular recto y una semiesfera. Si el radio 
del cono mide 2 cm, halla el volumen de todo el sólido.
2
3 𝑐𝑚
𝑉𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 + 𝑉𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
=
1
3
𝜋𝑟2 ∙ ℎ +
1
2
4
3
𝜋𝑟3
=
1
3
𝜋22 ∙ 3 +
1
2
4
3
𝜋23
= 4𝜋 +
16𝜋
3
=
28𝜋
3
𝑐𝑚3
Solución:
8. Se inscribe un cono de altura 2a y radio a en un cilindro. Calcula el volumen comprendido entre el 
cono y el cilindro.
𝑅 = 𝑎
H = 2𝑎
𝑂
𝑉
𝐴
𝐵
Volumen entre el cilindro y el cono = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜
= 𝜋𝑅2 ∙ 𝐻 −
1
3
𝜋𝑅2 ∙ 𝐻
= 𝜋𝑎2 ∙ 2𝑎 −
1
3
𝜋𝑎2 ∙ 2𝑎
= 2𝜋𝑎3 −
2
3
𝜋𝑎3
=
4
3
𝜋𝑎3
9. Determina el volumen de la esfera inscrita en el cono circular recto de 8 cm de altura y radio de la 
base 6 cm.
Solución:
• Vista frontal:
𝑂
𝑅
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4𝜋𝑅3
3
6
ℎ = 8
𝑂 6
𝑅
8
−
𝑅
𝑅
𝑉
𝐴 𝐵
𝑇
𝑇
𝑉
𝐴 𝐵
𝑂1 𝑂1
10
6
4
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠:
𝑅2 + 42 = (8 − 𝑅)2
𝑅2 + 16 = 82 + 𝑅2 − 16𝑅
16𝑅 = 48
𝑅 = 3
=
4𝜋33
3
= 36 𝜋 𝑐𝑚3
8
10. Un cono de revolución tiene altura H y radio de la base igual a 8 cm. Un plano paralelo a la base
del cono lo corta a una distancia de 16 cm de la misma. Si en el parte superior de este sólido
resultante se visualiza un círculo de radio 3 cm, halla el volumen del tronco de cono resultante.
16
𝑟 = 3
𝑅 = 8
𝑟 = 8
16
𝑟 = 3
TRONCO DE CONO
8
3
(𝐻 − 16) 𝐻 − 16
3
=
𝐻
8
→ 𝐻 =
128
5𝐻
𝑅 = 8
𝑅 = 8
𝐻
ℎ
→ 𝐻 − 16
Solución
=
48
5
𝑉𝑇𝑅𝑂𝑁𝐶𝑂 =
1
3
𝜋𝑅2 ∙ 𝐻 −
1
3
𝜋𝑟2 ∙ ℎ =
1
3
𝜋82 ∙
128
5
−
1
3
𝜋32 ∙
48
5
=
1552𝜋
3
𝑐𝑚3
𝐻 =
128
5
𝑅 = 8
𝑟 = 3
48
5
Para hallar el volumen del tronco restamos:
𝑅 = 8
16
𝑟 = 3
10. Un cono de revolución tiene altura h y radio de la base igual a 8 cm. Un plano paralelo a la base
del cono lo corta a una distancia de 16 cm de la misma. Si en el parte superior de este sólido
resultante se visualiza un círculo de radio 3 cm, halla el volumen del sólido resultante.
Solución
=
8192𝜋
15
−
432𝜋
15
=
7760𝜋
15