El Cálculo

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i.QUE ES EL CALCULO? 
El cálculo se inventó en el siglo diecisiete para proporcionar una herramienta que 
resolviera algunos problemas en los que interviene el movimiento. La geometría, 
el álgebra y la trigonometría se aplican al estudio de los objetos que se mueven con 
velocidad constante; sin embargo para estudiar las órbitas de los planetas, para 
calcular el vuelo de un cohete, para predecir la trayectoria de una partícula car 
gada a través de un campo electromagnético, y en general, para tratar los diversos 
aspectos del movimiento, se necesitan los métodos del cálculo. 
Para poder discutir el comportamiento de los cuerpos en movimiento es esen 
cial definir primero lo que se entiende por velocidad y aceleración. A grandes 
rasgos, podemos decir que la velocidad de un objeto es una medida de la razón de 
cambio de la distancia que el objeto ha recorrido, con respecto al tiempo. La 
aceleración es una medida de la razón de cambio de la velocidad del objeto. La 
velocidad puede cambiar mucho, como por ejemplo cuando un automóvil de 
carreras arranca o cuando una cápsula espacial desciendey entra a la atmósfera 
terrestre. Para poder dar un significado preciso a las nociones de velocidad y 
aceleración se necesita usar uno de los conceptos fundamentales del cálculo, la 
derivada. 
Aunque el cálculo se inventó para ayudar a resolver algunos problemas de 
fisica, posteriormente se ha aplicado en muchos campos diferentes de la ciencia. 
Una de las razones por las que es tan versátil, es que la derivada es útil en el 
estudio de las razones de cambio de muchas cantidades, además de la distancia y 
la velocidad. Por ejemplo, un químico puede usar las derivadas para predecir el 
resultado de algunas reacciones químicas. Un biólogo puede usarlas en sus inves 
tigaciones sobre la razón de crecimiento del número de bacterias en un cultivo. Un 
ingeniero electricista puede usar la derivada para describir el cambio de la 
rriente en un circuito eléctrico. Los economistas la han aplicado en problemas 
relacionados con las pérdidas y las ganancias de una empresa. 
La derivada se usa también para encontrar las rectas tangentes a las curvas. 
Además de que esto es de cierto interés en la geometría, el significado de las rectas 
tangentes es de gran importancia en algunos problemas fisicos. Por ejemplo, si una 
particula se mueve a lo largo de una curva, entonces la recta tangente indica la 
dirección del movimiento. Si restringimos nuestra atención a una parte suficien 
temente pequeña de la curva, entonces en cierto sentido, podemos usar la recta 
tangente para calcular aproximadamente la posición de la partícula. 
Muchos de los problemas sobre máximos y mínimos pueden atacarse con 
ayuda de la derivada. Estos son unos ejemplos del tipo de preguntas que pueden 
responderse usando la derivada: ¿A qué ángulo de elevación debe dispararse un 
proyectil para que llegue lo más lejos posible? Qué dimensiones debe tener una 
lata de metal con un volumen de un litro para que la cantidad de metal necesaria en 
su construcción sea mínima? ¿Cuál de los puntos entre dos fuentes de luz tiene la 
máxima iluminación? ¿Cómo puede cierta compañía hacer que su ingreso sea 
máximo? ¿Cómo puede un productor minimizar el costo de producción de cierto 
artículo? 
Otro de los conceptos fundamentales del cálculo es la integral definida. Tam 
bién tiene muchas aplicaciones en las ciencias. Un fisico puede usarla para calcu 
lar el trabajo necesario para estirar o comprimir un resorte. Un ingeniero puede 
usarla para encontrar el centro de masa o el momnento de inercia de un cuerpo. Un 
biólogo puede usar la integral definida para calcular el flujo de sangre a través de 
una arteriola. Un economista puede emplearla para estimar la depreciación del 
equipo de una f£brica. Los matemáticos usan integrales definidas para investigar 
los conceptos de área de una superficie, volumnen de un sólido geométrico y 
longitud de una curva. 
A medida que avancemos a través de este libro, iremos discutiendo todos y 
cada uno de los ejemplos anteriores y muchos más. No hay límite a las apli 
caciones del cálculo. En efecto, quizás en el futuro tú, lector, descubrirás nuevos 
usos de esta importante rama de las matemáticas. 
La derivada y la integral definida se definen en términos de ciertos límites. La 
noción de límite es la idea inicial que separa al cálculo de las ramas más elemen 
tales de las matemáticas. Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz 
(1646-1716) descubrieron la conexión entre la derivada y la integral. Por esto y por 
sus otras contribuciones al tema, se les considera los inventores del cálculo. 
Muchos otros matemáticos también han contribuido a su desarrollo. 
La discusión anterior no es una respuesta a la pregunta iQué es el cálculo? 
De hecho, no hay una respuesta sencilla. Se podría llamar cálculo al estudio de los 
límites, las derivadas y las integrales; sin embargo esto no tiene sentido para quien 
no conoce el significado de estos términos. Aunque dimos unos cuantos ejemplos 
de lo que puede lograrse con las derivadas y las integrales, no hemos explicado 
aún el significado de estos conceptos. Definirlos será uno de los objetivos prin 
cipales de nuestro trabajo inicial en este texto.