geometría analítica

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Facultad de ciencias básicas 
Programa de Matemáticas 
Taller de Geometría II (G1-Jueves) 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRANTES 
Suarez Samuel 
Mesa Jesus 
Atencia Carlos 
 
 
 
 
 
 
 
 
DOCENTE: 
Martínez Eraus 
1. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(−1, −3) que sea tangente a la 
recta que pasa por los puntos A(−2, 4) y B(2, 1). 
Sol: 
Primero hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B aplicando 
Teorema 3 (ecuación de la recta que pasa por dos puntos) 
𝒚 − 𝒚𝟏 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
(𝒙 − 𝒙𝟏) 
 
𝑦 − 4 =
1 − 4
𝑥2 − (−2)
(𝑥 − (−2)) → 
𝑦 − 4 =
1 − 4
2 + 2
(𝑥 + 2) → 
𝑦 − 4 =
−3
4
(𝑥 + 2) → 
𝑦 − 4 =
−3𝑥
4
−
6
4
→ 
𝑦 =
−3𝑥
4
−
3
2
+ 4 → 
𝑦 =
−3𝑥
4
−
5
2
→ 
4𝑦 =
(4) − 3𝑥
4
−
(4)5
2
→ 
4𝑦 = −3𝑥 − 10 
Ahora hallamos la distancia que hay desde el punto C medio de la circunferencia a la recta 
aplicando la definición de distancia de un punto a una recta. 
𝒅(𝑳𝑪̅̅̅̅ ) =
𝑨𝒙𝟏 + 𝑩𝒚𝟏 + 𝑪
±√𝑨𝟐 + 𝑩𝟐
 
 
𝑑(𝐿𝐶̅̅̅̅ ) =
3(−1) + 4(−3) − 10
±√(3)2 + (4)2
 
𝑑(𝐿𝐶̅̅̅̅ ) =
−3 − 12 − 10
√9 + 16
 
𝑑(𝐿𝐶̅̅̅̅ ) =
−25
√25
 
𝑑(𝐿𝐶̅̅̅̅ ) =
|−25|
5
 
𝑑(𝐿𝐶̅̅̅̅ ) =
25
5
 
𝑑(𝐿𝐶̅̅̅̅ ) = 5 
Aplicamos Teorema 1 (Ecuación canónica) 
(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐 
 
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 3)2 = (5)2 
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 25 
Ahora aplicamos Teorema 2 (Forma general de la ecuación de la circunferencia) 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 
 
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 25 
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 6𝑦 + 9 = 25 
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 6𝑦 + 9 − 25 = 0 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 
Ecuación general de la circunferencia: ↑ 
 
 
2. Hallar la ecuación general de la parábola que se abre a la izquierda cuyo lado recto 
es el segmento entre los puntos A(3, 5) y B(3, −3) 
Sol: 
a) Como el lado recto de una parábola pasa por el foco 𝐹(ℎ + 𝑝, 𝑘) y es el punto medio de 
ese segmento, hallemos ese punto: 
Por Colorario 1 de punto medio tenemos que: 
𝒙 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
 
𝒚 =
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝟐
 
𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2
2
→ 𝑥 =
3 + 3
2
=
6
2
= 3 
𝑦 =
𝑦1 + 𝑦2
2
→ 𝑦 =
5 − 3
2
=
2
2
= 1 
El foco es: 𝐹(3,1). 1) 
 
b) Como |4𝑝|es igual a la longitud del lado recto, vamos a hallar la longitud del segmento 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ : 
Por Teorema 1 (Distancia entre dos puntos) tenemos que: 
𝒅(𝑷𝟏 𝑷𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)
𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)
𝟐 
 
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √(3 − 3)2 + (5 − (−3))2 
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √(3 − 3)2 + (5 + 3)2 
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √(0)2 + (8)2 
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √64 
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = 8 
Igualamos |4𝑝| a 8 
|4𝑝| = 8 
4𝑝 = 8 
𝑝 =
8
4
 
𝑝 = 2 
𝑝 = 2. 2) 
 
c) Como la parábola abre hacia la izquierda, entonces el vértice debe estar a la derecha del 
foco y 𝑝 < 0. 
 
Sabemos que 3) 𝑉(ℎ, 𝑘) y 4) 𝐹(ℎ + 𝑝, 𝑘). Pero como tenemos el foco, 2) y 3) se invierten 
de la siguiente manera: 5) 𝑉(ℎ + 𝑝, 𝑘) y 6)𝐹(ℎ, 𝑘). Entonces, el vértice lo hallamos 
sustituyendo 1) y 2) en 5). 
𝑉(3 + 2,1 ) 
𝑉(5,1 ) 
El vértice es: 𝑉(5,1 ). 7) 
d) Por Teorema 1 (Ecuación ordinaria de la parábola), tenemos que: 
Considerando que la parábola con 𝑉(ℎ, 𝑘), y su eje parabólico es paralelo al eje x. 
(𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉) 
 
Sustituimos 2) y 7) en d), y teniendo en cuenta que la parábola abre hacia la izquierda 𝑝 < 0 
(y − k)2 = −4p(x − h) 
(y − 1)2 = −4(2)(x − 5) 
(y − 1)2 = −8(x − 5) 
 
e) Por Teorema 3 (Ecuación general de la parábola) tenemos que: 
Considerando que la parábola con 𝑉(ℎ, 𝑘), y su eje parabólico es paralelo al eje x. 
𝑪𝒚𝟐 +𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 
 
Sustituimos d) en e). 
(y − 1)2 = −8(x − 5) 
y2 − 2y + 1 = −8𝑥 + 40 
y2 + 8x − 2y + 1 − 40 = 0 
𝐲𝟐 + 𝟖𝐱 − 𝟐𝐲 − 𝟑𝟗 = 𝟎 
Ecuación general de la parábola ↑ 
 
 
 
 
 
3. Demostrar: 
 
La ecuación de la elipse de centro en el origen y eje focal el eje x, distancia focal 
igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
donde a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor. Están 
relacionadas por la ecuación 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2. 
 
Sol: 
Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide en el eje x. Los 
focos 𝐹 𝑦 𝐹´ están sobre el eje x. Como el centro 𝐶(0,0) es nel punto medio del segmento 
𝐹𝐹´, las coordenadas de 𝐹 y 𝐹´ serán (𝐶, 0) y (−𝐶, 0) respectivamente, siendo C una 
constante positiva. 
a) Sea 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto cualquiera de la elipse, por la definición de elipse, el punto P debe 
satisfacer la condición geométrica. 
|𝐹𝑃̅̅ ̅̅ | + |𝐹´𝑃̅̅ ̅̅ ̅| = 2𝑎 
En donde a es una constante positiva mayor que C, por el Teorema 1 (Distancia entre dos 
puntos) tenemos que: 
𝒅(𝑷𝟏 𝑷𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)
𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)
𝟐 
𝑑(𝐹𝑃̅̅ ̅̅ ) = √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 ; 𝑑(𝐹´𝑃̅̅ ̅̅ ̅ ) = √(𝑥 + 𝐶)2 + 𝑦2 
 
b) De manera que la condición a) esta expresada por la ecuación. 
√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 +√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎 
 
Para simplificar la ecuación b), pasamos el segundo radical al segmento miembro, 
elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes, esto nos da: 
𝑐𝑥 + 𝑎2 = 𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 
 
c) Elevamos al cuadrado nuevamente obtenemos. 
(𝑐𝑥 + 𝑎2)2 = (𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)
2
 
𝑐2𝑥2 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎4 = 𝑎2[(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2] 
𝑐2𝑥2 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎4 = 𝑎2(𝑥2 + 2𝑋𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2) 
𝑐2𝑥2 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 + 2𝑎2𝑋𝑐 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2 
Donde 
(𝑎2−𝑐2)𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) 
 
 
Como 2𝑎 > 2𝑐, es 𝑎2 > 𝑐2 y 𝑎2 − 𝑐2 es un numero positivo que puede ser reemplazado 
por el numero positivo 𝑏2, es decir 
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 
 
Si en c) reemplazamos 𝑎2 − 𝑐2 por 𝑏2, obtenemos 
𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 
 
Dividimos por 𝑎2𝑏2, se obtiene finalmente 
𝑏2𝑥2
𝑎2𝑏2
+
𝑎2𝑦2
𝑎2𝑏2
=
𝑎2𝑏2
𝑎2𝑏2
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
4. Hallar la ecuación general de la elipse de centro en el punto C(3, 1), uno de los 
vértices en (3, −3) y excentricidad ε = 
1
2
 
Sol: 
 
Para hallar la ecuación de la elipse debemos tener en cuenta los siguientes datos: 
a = 𝒅(𝑪𝑨̅̅ ̅̅ ) 
b =? 
c =? 
𝜺 = 
𝒄
𝒂
 
C(3,1) 1. 
Por Teorema 1 (Distancia entre dos puntos) tenemos que: 
𝒅(𝑷𝟏 𝑷𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)
𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)
𝟐 
 
𝑑(𝑃1 𝑃2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ) = √(3 − 3)
2 + (1 − (−3))2 
𝑑(𝑃1 𝑃2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ) = √(0)
2 + (1 + 3)2 
𝑑(𝑃1 𝑃2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ) = √(4)
2 
𝑑(𝑃1 𝑃2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ) = √16 
𝑑(𝑃1 𝑃2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ) = 4 
a) 𝑎 = 4 
Nos dan la excentricidad ε = 
1
2
, tenemos que 𝜺= 
𝒄
𝒂
 . Pero como a = 4 hacemos lo siguiente: 
1
2
∗ 1 
1
2
(
2
2
) =
2
4
 
b) Encontramos c, que es igual a 2 
 
c) b lo hallamos de la formula 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐. 
Sustituimos a) y b) en c) 
(4)2 = 𝑏2 + (2)2 
16 = 𝑏2 + 4 
16 − 4 = 𝑏2 
𝑏2 = 12 
𝑏 = √12 
d) tenemos que 𝑏 = √12 
e) Identificamos que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje y, esto nos dice que la 
ecuación de la elipse cuando es vertical está dada de la siguiente manera: 
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒃𝟐
+
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏 
 
Sustituimos 1., a), d) en e) 
(𝑥 − 3)2
(√2)2
+
(𝑦 − 1)2
(4)2
= 1 
(𝑥 − 3)2
12
+
(𝑦 − 1)2
16
= 1 
 
f) (Ecuación general de la elipse) 
𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒚𝟐 +𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 
 
De e) debemos llegar a f) 
(𝑥 − 3)2
12
+
(𝑦 − 1)2
16
= 1 
16(𝑥 − 3)2 + 12(𝑦 − 1)2
192
= 1 
16(𝑥2 − 6𝑥 + 9) + 12(𝑦2 − 2𝑦 + 1)
192
= 1 
16(𝑥2 − 6𝑥 + 9) + 12(𝑦2 − 2𝑦 + 1) = 192 
16𝑥2 − 96𝑥 + 144 + 12𝑦2 − 24𝑦 + 12 = 192 
16𝑥2 − 96𝑥 + 144 + 12𝑦2 − 24𝑦 + 12 − 192 = 0 
16𝑥2 + 12𝑦2 − 96𝑥 − 24𝑦 − 36 = 0 
 
 
5. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, cuyo eje transversal es el 
eje x y que pase por los puntos (3, 1) y (9, 5). 
Sol: 
a) Utilizando (Ecuación ordinaria de la hipérbola) con eje focal que coincide con el eje x 
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
Tenemos 𝑃1(3,1) y 𝑃2(9,5) 
1. sustituimos 𝑃1 en a) 
32
𝑎2
−
12
𝑏2
= 1 
9
𝑎2
−
1
𝑏2
= 1 
 
2. sustituimos𝑃2 en a) 
92
𝑎2
−
52
𝑏2
= 1 
81
𝑎2
−
25
𝑏2
= 1 
Ecuación 1:
9
𝑎2
−
1
𝑏2
= 1 
Ecuación 2: 
81
𝑎2
−
25
𝑏2
= 1 
b) Aplicamos el método de eliminación para hallar las variables a y b. 
{
−9 (
9
𝑎2
−
1
𝑏2
= 1 )
81
𝑎2
−
25
𝑏2
= 1 
→
{
 
 
 
 
−81
𝑎2
+
9
𝑏2
= −9 
81
𝑎2
−
25
𝑏2
= 1 
− − − − −− − −
−
16
𝑏2
= −8
 
−
16
𝑏2
= −8 
−16 = −8𝑏2 
−16
−8
= 𝑏2 
2 = 𝑏2 
𝒃 = √𝟐 
Ahora reemplazamos b en una de las ecuaciones para hallar a la variable a 
9
𝑎2
−
1
(√2)2
= 1 
9
𝑎2
−
1
2
= 1 
9
𝑎2
= 1 +
1
2
 
9
𝑎2
=
3
2
 
9 =
3
2
 𝑎2 
18
3
= 𝑎2 
6 = 𝑎2 
√𝟔 = 𝒂 
Sustituimos b) en a) 
𝒙𝟐
(√𝟔)𝟐
−
𝒚𝟐
(√𝟐)
𝟐
= 𝟏 
𝒙𝟐
𝟔
−
𝒚𝟐
𝟐
= 𝟏