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INTRODUCCIÓN AL METODO DE
LOS ELEMENTOS FINITOS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos
y Teoría de Estructuras
Problema de elasticidad
Modelo de elementos finitos
lLlL BDBC 8,06,0 ==
De la geometría de la
estructura:
EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL TEOREMA T. V.
C
P
l B
D
3
4
3
4
δ
C
P
l B
D
3
4
3
4
B’
Desplazamiento virtual: B B´
CB
CB L
αδε δ cos
=
DB
DB L
βδε δ cos
=
Deformaciones
virtuales:
α
β δ
C
P
l B
D
B’
δ
C
B
α
δ cos α
B’
0=⋅= ∑ δ
rr
FWe '
( ) ( )DB
DB
DBCB
CB
CB
barras
xxi LA
L
LA
L
VolW ⋅+⋅=⋅= ∑ βδσαδσεσ δ coscos'
( ) ( ) 0=⋅+⋅ DB
DB
DBCB
CB
CB LA
L
LA
L
βδσαδσ coscos
Trabajo virtual
fuerzas exteriores:
Trabajo virtual desarrollado por las tensiones internas:
CBCBDB σσσ
3
4
5
3
5
4
−=−=
ELEMENTO TRIANGULAR DE TENSIÓN CONSTANTE
ELEMENTO DE TRES NUDOS DE TURNER (1957)
Sentido de
numeración
del elemento
x
y
1
2
3
(F1)x , u1
(F1)y , v1
(F2)x , u2
(F2)y , v2
(F3)y , v3
(F3)x , u3
Se consideran en cada nudo dos grados de libertad de traslación
Fi = fuerzas en los nudos
ui = desplazamientos de los nudos
¿Qué buscamos para este elemento?
{ } [ ]{ }uKF e=
donde:
{ }
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
F
3
3
2
2
1
1
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
u
Vector de fuerzas que
actúan en los nudos
Vector de desplazamientos
de los nudos
[ ]eK = Matriz de rigidez del elemento (6x6)
Hipótesis: los desplazamientos de los puntos del interior
del elemento pueden aproximarse mediante funciones
lineales de las coordenadas del punto que consideremos.
u y v = componentes del desplazamiento en un punto genérico del elemento
según los ejes coordenados
( )
( ) yxvyxv
yxuyxu
654
321
,
,
ααα
ααα
++==
++==
Coeficientes α’s = coeficientes a determinar
Lógicamente, en los nudos del elemento, dichos desplazamientos deben coincidir
con los desplazamientos nodales que experimentan dichos nudos.
Si las coordenadas de los nudos fueran:
del nudo 1, (x1,y1), del 2, (x2,y2) y del 3, (x3,y3), se tiene que:
363543
333213
262542
232212
161541
131211
yxv
yxu
yxv
yxu
yxv
yxu
ααα
ααα
ααα
ααα
ααα
ααα
++=
++=
++=
++=
++=
++=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
33
33
22
22
11
11
3
3
2
2
1
1
1000
0001
1000
0001
1000
0001
α
α
α
α
α
α
yx
yx
yx
yx
yx
yx
v
u
v
u
v
u
{ } [ ] { }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
6
5
4
3
2
1
33
33
22
22
11
11
3
3
2
2
1
1
1000
0001
1000
0001
1000
0001
α
α
α
α
α
α
αy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
C
v
u
v
u
v
u
u
{ } [ ]{ }αCu =
{ } [ ] { }uC 1−=α
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=−
321
321
321
321
321
321
1
000
000
000
000
000
000
2
1
ccc
bbb
aaa
ccc
bbb
aaa
a
C
123
312
231
213
132
321
12213
31132
23321
xxc
xxc
xxc
yyb
yyb
yyb
yxyxa
yxyxa
yxyxa
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
3212 aaaa ++=
La expresión de los movimientos de un
punto resulta ahora
yxu 321 ααα ++=
yxv 654 ααα ++=
[ ] [ ] [ ] 333322221111 2
1
2
1
2
1 uycxba
a
uycxba
a
uycxba
a
⋅+++⋅+++⋅++=
[ ] [ ] [ ] 333322221111 2
1
2
1
2
1 vycxba
a
vycxba
a
vycxba
a
⋅+++⋅+++⋅++=
N1(x,y) N2(x,y) N3(x,y)
“Los desplazamientos de un punto cualquiera son una media
ponderada de los movimientos de los extremos”
ELEMENTO DE TURNER: FUNCIONES DE FORMA
N1(x,y) N2(x,y) N3(x,y)
332211 uyxNuyxNuyxNu ⋅+⋅+⋅= ),(),(),(
332211 vyxNvyxNvyxNv ⋅+⋅+⋅= ),(),(),(
Es decir:
Ni (x,y) son las denominadas funciones de forma del elemento
Si expresamos lo anterior
matricialmente:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
321
321
000
000
v
u
v
u
v
u
NNN
NNN
v
u
( ) [ ]ycxba
a
yxNN ii 1112
1
++== ,
La "función de forma" i_ésima del elemento es:
Interpretación geométrica de las funciones de forma:
N1
N3
N2
21u
3
1u
1u
x
y
1
2
3
[ ]{ }uB
v
u
v
u
v
u
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
xy
y
x
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
332211
321
321
000
000
γ
ε
ε
3
3
2
2
1
1 u
x
N
u
x
Nu
x
N
x
u
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=ε
3
3
2
2
1
1 v
y
N
v
y
Nv
y
N
y
v
y ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=ε
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1 v
x
N
u
y
N
v
x
Nu
y
Nv
x
Nu
y
N
x
v
y
u
xy ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=γ
Deformaciones:
Es decir:
CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL ELEMENTO
La matriz [B] ¡¡¡es constante!!!
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
332211
321
321
000
000
2
1
bcbcbc
ccc
bbb
a
B
[ ] [ ]321 BBBB = [ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
x
N
y
N
y
N
x
N
B
ii
i
i
i 0
0
( )
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
ESimétrica
E
EE
γ
ε
ε
ν
ν
ν
ν
ν
τ
σ
σ
12
0
1
0
11
2
22
Campo de tensiones en el interior del elemento
(Hipótesis de tensión plana)
( )
( )( )
( )
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−+
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x
Simétrica
E
γ
ε
ε
ν
ν
ν
ν
νν
ν
τ
σ
σ
12
21
01
0
1
1
211
1
Campo de tensiones en el interior del elemento
(Hipótesis de deformación plana)
{ } [ ]
( )
{ }
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xy
y
x
xy
y
x
ESimétrica
E
EE
D
γ
ε
ε
ε
ν
ν
ν
ν
ν
τ
σ
σ
σ
12
0
1
0
11
2
22
{ } [ ]{ }εσ D=
{ } [ ][ ]{ }uBD=σ
{ }σ se denomina vector tensión en el elemento,
{ }u se denomina vector desplazamientos nodales,
[ ]D es una matriz que depende de las propiedades elásticas del material
y, finalmente, [ ]B es una matriz cuyos elementos dependen de las coordenadas
cartesianas de los nudos del elemento.
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
'
'
'
'
'
'
'
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
u
x
y
1
2
3
u1
’
u3
’
u2
’
v1
’
v2
’
v3
’
Aplicación del P.T.V.
Vector de desplazamientos virtuales
impuestos al elemento:
{ } { } nodalesfuerzaslasdeTrabajouF T =′
{ } { } { } { } VolduF
Volumen
TT ∫ ′=′ εσ
{ } [ ]{ }uB ′=′ε
Campo de deformaciones virtuales:
{ } { } { } [ ] [ ]( ) [ ]{ }( ) { } [ ] [ ] [ ]{ } VolduBDBuVolduBDBuuF
Volumen
TTT
Volumen
TTTT ∫∫ ′=′⋅=′
{ } { } [ ] [ ] [ ]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∫ VoldBDBuF
Volumen
TTTT
Como la ecuación anterior debe verificarse para cualquier
vector de desplazamientos virtuales {u’} impuesto al elemento:
{ } { } [ ] [ ] [ ]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∫ VoldBDBuF
Volumen
TTTT
{ } [ ] [ ][ ] { }uVoldBDBF
Volumen
T
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∫
{ } [ ] [ ][ ]( ){ }uVolumenBDBF T=
[ ] [ ] [ ] [ ]VolumenBDBK Te =
{ } [ ]{ }uKF e=
ó, trasponiendo:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
.
4
k
kksim
kkk
kkkk
kkkkk
kkkkkk
a
eK e
( )
3133311216
3133311115
2133211214
2133211113
11331212
2
333
2
32266
2
333
2
31155
2
233
2
22244
2
233
2
21133
2
133
2
12222
2
133
2
11111
bcdcbdk
ccdbbdk
bcdcbdk
ccdbbdk
cbddk
bdcdk
cdbdk
bdcdk
cdbdk
bdcdk
cdbdk
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
3133312226
3133131225
2133212224
2133121223
bbdccdk
cbdcbdk
bbdccdk
cbdcbdk
+=
+=
+=
+=
( )
2333321236
3133321135
22331234
cbdcbdk
ccdbbdk
cbddk
+=
+=
+=
( ) 33332156
2333322246
3233232145
cbddk
bbdccdk
cbdcbdk
+=
+=
+=
( )3212
1 aaaa ++=
e = espesor del elemento
MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO TRIANGULAR
Se establece la relaciónentre los nodos de cada elemento y los
nodos de la malla global
4
2
Nudo 2
322
3
Nudo 3
11
Nudo 1ELEMENTO
ENSAMBLAJE
u
v3
y
x
v
1
2
4
3
u2
u4
u3
u1
v1
v4
v2
Elemento 1
Elemento 2
Matriz de rigidez del elemento 1
Cada elemento tiene 6 grados de libertad (2 por nudo)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=)1(k
u1
u2
v1
v2
u3
v3
u1 v1 u2 v2 u3 v3
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=)2(k
u2
u3
v2
v3
u4
v4
v2 u3 v3 u4 v4u2
Matriz de rigidez del elemento 2
)1(k
)2(k
Las condiciones de contorno se incorporan como ya sabemos
u1 v1 u2 v2
88
K
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
u1
v1
u2
v2
u3
v3
u4
v4
u3 u4
v4v3
P
x
y
2
1 3
5
4
1
2
3
P
x
y
P
x
y
2
1 3
5
4
1
2
3
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Elemento 1 Nudos: 1 2 3
Elemento 2 Nudos: 2 4 3
Elemento 3 Nudos: 3 4 5
(F3
’ )x
2
1 3
1
(F1
’ )y
(F1
’ )x
(F3
’ )y
(F2
’ )y
(F2
’ )x
(F2
’’ ) x(F2
’ ) x (F2
’ ) y
(F2
’’ ) y
(R2 )x
(R2 )y
2
(F1
’ )x
(F1
’ )y
(R1 )x
(R1 )y
1
(F2
’ ) x
(F2
’ ) y
(F3
’’’ ) x
(F3
’’’ ) y
(R3)x
(R3 )y
3
(F3
’’ )y
(F3
’’ )x
4
2
(F2
’’ )x
2
(F2
’’ )y
3 (F3
’’ )x
(F3
’’ )y
(F4
’’ )x
(F4
’’ )y
5
3
4
3
(F3
’’’ )y
(F3
’’’ )x
(F4
’’’ )x
(F4
’’’ )y
(F5
’’’ )x
(F5
’’’ )y
(R4 )y
(R4)x(F4
’’ )x
(F4
’’’ )x
(F4
’’ )y
(F4
’’’ )y
4
(R5)x
(R5 )y
(F5
’’’ )x
(F5
’’’ )y
5
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
66
1
56
1
55
1
46
1
45
1
44
1
36
1
35
1
34
1
33
1
26
1
25
1
24
1
23
1
22
1
16
1
15
1
14
1
13
1
12
1
11
1
1
.
k
kksim
kkk
kkkk
kkkkk
kkkkkk
K elementoe
ELEMENTO 1 { } [ ] { }111 uKF elementoe=
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ′
=
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
F
3
3
2
2
1
1
1 { }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
3
3
2
2
1
1
1
v
u
v
u
v
u
u
ELEMENTO 2 { } [ ] { }222 uKF elementoe=
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ″
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ″
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ″
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ″
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ″
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ″
=
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
F
3
3
4
4
2
2
2 { }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
3
3
4
4
2
2
2
v
u
v
u
v
u
u
{ } [ ] { }333 uKF elementoe=ELEMENTO 3
{ }
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
F
'''
'''
'''
'''
'''
'''
5
5
4
4
3
3
3 { }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
5
5
4
4
3
3
3
v
u
v
u
v
u
u
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
′
′
0
0
0
0
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
00
000
0000.
0000
0000
0000
0000
0000
0000
1
66
1
56
1
55
1
46
1
45
1
44
1
36
1
35
1
34
1
33
1
26
1
25
1
24
1
23
1
22
1
16
1
15
1
14
1
13
1
12
1
11
Sim
k
kk
kkk
kkkk
kkkkk
kkkkkk
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
0
0
0
0
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
=
ELEMENTO 1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
″
″
″
″
″
″
0
0
0
0
4
4
3
3
2
2
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
00
00
00.
00
00
00
00
000000000
0000000000
2
44
2
34
2
33
2
64
2
63
2
66
2
54
2
53
2
56
2
55
2
26
2
25
2
24
2
23
2
22
2
16
2
15
2
14
2
13
2
12
2
11
k
kkSim
kkk
kkkk
kkkkk
kkkkkk
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
0
0
0
0
4
4
3
3
2
2
v
u
v
u
v
u
=
ELEMENTO 2
ELEMENTO 3
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
y
x
y
x
y
x
F
F
F
F
F
F
'''
'''
'''
'''
'''
'''
0
0
0
0
5
5
4
4
3
3
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
66
3
56
3
55
3
46
3
45
3
44
3
36
3
35
3
34
3
33
3
26
3
25
3
24
3
23
3
22
3
16
3
15
3
14
3
13
3
12
3
11
.
0000000
00000000
000000000
0000000000
k
kk
kkk
kkkkSim
kkkkk
kkkkkk
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
5
5
4
4
3
3
0
0
0
0
v
u
v
u
v
u
=
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
++
++++
++++++
+++
++++
=
3
66
3
56
3
55
3
46
3
45
3
44
2
44
3
36
3
35
3
34
2
34
3
33
2
33
3
26
3
25
3
24
2
64
3
23
2
63
3
22
2
66
1
66
3
16
3
15
3
14
2
54
3
13
2
53
3
12
2
56
1
56
3
11
2
55
1
55
2
24
2
23
2
26
1
46
2
25
1
45
2
22
1
44
2
14
2
13
2
16
1
36
2
15
1
35
2
12
1
34
2
11
1
33
1
26
1
25
1
24
1
23
1
22
1
16
1
15
1
14
1
13
1
12
1
11
00
00
0000
0000
k
kk
kkkk
kkkkkkSim
kkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkk
kkkkkkkk
kkkkkkkkkk
kkkkk
kkkkkk
K
.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
{ } [ ]{ }uKR =
{ }
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
++
++
+
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
y
x
yy
xx
yyy
xxx
yy
xx
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
F
F
FF
FF
FFF
FFF
FF
FF
F
F
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
'''
'''
'''''
'''''
''''''
''''''
'''
'''
'
'
5
5
44
44
333
333
22
22
1
1
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
v
u
v
u
u
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRyRRRRR yyxxyx −====== 344311 0
{ }
( )
( )
( )
( ) ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
y
x
y
x
R
R
P
R
R
F
5
5
2
2
0
0
0
0
0
Incógnitas: 4
05522 ==== vuvu
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
0
0
0
0
4
4
3
3
1
1
v
u
v
u
v
u
u
Incógnitas: 6
( )
( )
( )
( )
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
y
x
y
x
R
R
P
R
R
5
5
2
2
0
0
0
0
0
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
++
++++
++++++
+++
++++
3
66
3
56
3
55
3
46
3
45
3
44
2
44
3
36
3
35
3
34
2
34
3
33
2
33
3
26
3
25
3
24
2
64
3
23
2
63
3
22
2
66
1
66
3
16
3
15
3
14
2
54
3
13
2
53
3
12
2
56
1
56
3
11
2
55
1
55
2
24
2
23
2
26
1
46
2
25
1
45
2
22
1
44
2
14
2
13
2
16
1
36
2
15
1
35
2
12
1
34
2
11
1
33
1
26
1
25
1
24
1
23
1
22
1
16
1
15
1
14
1
13
1
12
1
11
.
00
00
0000
0000
k
kk
kkkk
kkkkkkSim
kkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkk
kkkkkkkk
kkkkkkkkkk
kkkkk
kkkkkk
¡10 ECUACIONES CON 10 INCÓGNITAS!
⎪
⎪
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⎧
0
0
0
0
4
4
3
3
1
1
v
u
v
u
v
u
Ejemplos de problemas en los que puede aplicarse este elemento:
1. Tuberías
2. Tanques cilíndricos
3. Tanques esféricos,…
•Problemas en los que no haya flexiones
Porque a los nodos del elemento solo se les ha posibilitado
moverse en su plano
•Problemas en los que la tensión pueda aceptarse como constante
Porque con las funciones de forma definidas la tensión en
el elemento es constante
•Problemas en los que la deformación pueda aceptarse como constante
Porque con las funciones de forma definidas la deformación
en el elemento es constante
“CONDICIONES DE USO” DEL ELEMENTO TRIANGULAR DE TURNER
