Diseño y fabricación de bombas centrífugas

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____________________________ Ud.1 DISEÑO Y FABRICACIÓN DE BOMBAS CENTRIFUGAS. Problema 267 
____________________________ Ud.1 DISEÑO Y FABRICACIÓN DE BOMBAS CENTRIFUGAS. Problema 267 
Diseño y fabricación de bombas centrífugas
El rodete de una bomba centrífuga, cuya velocidad real de giro va a ser 1320 rpm, presenta las siguientes características geométricas:
 D1 = 125 mm D2 = 300 mm b1 = 17º b2 = 22º b1 = 30 mm b2 = 25 mm z = 10 
Determinar:
· a) El caudal de diseño de la bomba, sin considerar prerrotación a la entrada, y la altura útil correspondiente a dicho caudal. Suponer hh = 0,85 , hv = 0,95 y hm = 0,90 
Se sabe además que los álabes del rodete se han construido como arcos de circunferencia. Admitiendo las hipótesis de Pfleiderer y considerando el flujo ideal, determinar para el caudal anterior:
· b) Par total que soporta cada álabe y par elemental soportado en su punto medio.
· c) Potencia transmitida al fluido en la primera mitad del rodete, hasta r = (r1 + r2 )/ 2
· d) Velocidades relativas a uno y otro lado de los álabes para el radio medio r , teniendo en cuenta que en dicho punto b = 27 mm y que según Pfleiderer w¥ = (wA+wB) / 2
· e) Variación de la velocidad relativa en la dirección del centro de curvatura del álabe, en el punto A del intradós de radio r
Nota. Para el trazado de los álabes en arco de circunferencia, aplicar las siguientes expresiones:
R =	r2b22−−r1r2 1 cos 	 ;	OC = R2+ r22− 2R r2 cosb2 = R2+ r12 − 2R r1 cosb1
2 (r2 cos	b1 )
Solución
a) Caudal de diseño de la bomba y altura útil en su punto nominal
Determinemos primeramente el caudal de diseño del rodete, que es aquél para el cual las pérdidas por choque son nulas. Para dicho caudal el ángulo b1 de entrada del flujo deberá coincidir con el del álabe, de modo que resolviendo el triángulo de entrada resulta:
pN	p 1320
u1 =	D1 =	0,125 = 8,64 m s3
60	60
v1m = u1 tgb1 = 8,64tg17 = 2,64 m s
Qro = pD1 b1 v1m = p 0,125 ⋅0,03⋅2,64 = 0,0311 m	s = 31,1ls
	Qo =
Teniendo en cuenta ahora el rendimiento volumétrico, el caudal de diseño de la bomba será:
Qro hv = 31,1⋅0,95 = s 
l
5
,
29
La altura teórica que comunicaría el rodete a las partículas, supuesto el número de álabes infinito, es:
Ht,∞ =  pD2 2 N 2 − cot g b2 NQro = p600,32 13209,8 2 − 60 cot⋅9,8g⋅22 0,025 1320⋅0,0311=
 60 	g	60g b2
= 43,87 − 6,91 = 36,96 m
Para tener en cuenta el efecto de la desviación, evaluaremos el coeficiente de Pfleiderer, con y = 0,6 (1 + sen b2), puesto que b2 < 90º y r2/r1 > 2. Sustituyendo resulta:
y = 0,6 (1+ sen22) = 0,82
m=	1	=	1 	 = 0,83
82 
,
0
2
1
2
1
⋅
+ 
+
y
z 	 r1 2	10 1 − 125 2 
 1− r2  		 300  
	
con lo que la altura teórica para un número de álabes finito, será:
Ht,z =	Ht,∞m= 36,96 ⋅0,83 =	30,68 m
Considerando finalmente el rendimiento hidráulico de la bomba, se tiene:
	26,07 m
Ht,zhh = 30,68 ⋅0,85 =
	Hu =
b) Par total que soporta cada álabe y par elemental soportado en su punto medio
El par total transmitido por el rodete al fluido en su punto nominal será:
Mt = gQ rowHt,z = 30gpQroNHt,z = 30⋅1000p⋅01320 ,0311⋅30,68 = 6,9 Kp ⋅m
	Mz =
y por consiguiente, el par total que soporta cada álabe:
	0,69 Kp.m
Mt / z = 6,9 / 10 =
Para calcular el par elemental en el punto medio, recurriremos a las hipótesis de Pfleiderer. En ellas se supone que el producto (Dp b) se mantiene constante a lo largo de todo el álabe. Para evaluar dicho producto, recordemos que el par resistente sobre un elemento de álabe ds viene dado por:
dM = dF ⋅ h = Dpds ⋅b ⋅h = Dpbds ⋅rsenb = Dpb⋅ rdr
de modo que al integrar el par elemental a lo largo de todo el álabe, el producto (Dp b) puede salir fuera de la integral, resultando:
r	r	r2 − r2
MzdF 
dM
h= 
rsen 
b 
r
b
ds
b
r1	r1
Dicho par debe ser igual al calculado anteriormente a partir de las características nominales de la bomba:
Mz .m
y despejando:
Dp ⋅b =	2 M z	=	2⋅0,69 ⋅4 	 = 74,22 kpm = cte
r22 − r12	0,32 −0,1252
Finalmente, en el punto medio del álabe, esto es, para:
	7,87 dr Kp ⋅m
r = r =0,106 m
el par elemental soportado será:
	dM r =
(Dp ⋅b) r dr = 74,22⋅0,106 dr = c) Potencia transmitida al fluido en la primera mitad del rodete
Primeramente evaluaremos el par transmitido por los álabes al fluido, hasta dicha sección:
m
r1	2	2
y multiplicando éste por la velocidad angular tendremos la potencia transmitida:
MtwW
=
	CV
la cual representa un porcentaje respecto a la potencia total idéntico al del par transmitido, esto es:
 100 = 39,4%
d) Velocidades relativas a uno y otro lado de los álabes para el radio medio r
Conforme al teorema de Bernouilli generalizado, la diferencia de presiones entre dos puntos A y B ubicados a uno y otro lado del álabe, y equidistantes del eje de giro, es igual a la diferencia de las alturas dinámicas referidas a la velocidad relativa:
DpAB = w2A − w2B
g	2g
Conforme a las hipótesis de Pfleiderer, para el punto medio del álabe tendremos:
Dpm = D p ⋅b = 74,22 = 2748,9 kpm2 bm	0,027
de modo que igualando Dpm = DpAB resulta:
 w2A − w2B = 2gg Dpm = 21000 ⋅ 9,8 2748,9 = 53,88 (ms)2 	 (1)
Por otra parte, según otra de las hipótesis de Pfleiderer, referida en el enunciado, se tiene:
(wA+wB)/2 = w¥ (2)
donde w¥ representa la velocidad relativa para dicho radio, supuesto un número de álabes infinito, y por consiguiente el flujo perfectamente guiado por éstos, de modo que del triángulo de velocidades se desprende:
w¥ = vm /sen b
La velocidad vm puede determinarse mediante la ecuación de continuidad, y el ángulo b de los álabes en dicho punto a partir del trazado de los mismos, de modo que resolviendo (1) y (2) simultáneamente, podremos determinar las velocidades wA y wB pedidas.
Calculemos primeramente la velocidad meridiana en el rodete para el radio medio:
vm = ms73
,
1
027 
,
0
106
,
0
2
0311 
,
0
b
r
2
Q
ro
=
⋅
=
p
p
Por otro lado, para determinar el ángulo b de los álabes en su punto medio calcularemos primero el radio y el centro de los mismos. Según las fórmulas del enunciado:
r 2 − r 2	D2 − D2	2 −	2
R ====0,117 m
OC =	R2 + D22  2 − RD2 cosb2 =	0,1172 + 0,152 −0,117 ⋅0,3cos22 = 0,060 m

y para el punto medio del álabe, de la figura se deduce:
 OC2 = R2 +r2 −2Rrcosb 
cosb = R2 + r 2 −OC 2 
b º
Resolviendo ahora el triángulo de velocidades en A:w
A
O
C
u
r
b
A
b
R
D
B
v m =	1,73 	 = 3,37 ms
w∞ = senb sen30,9
y sustituyendo dicha velocidad en (2) resulta:
wA + wB = 2w∞ = 2⋅ 3,37 = 6,74 ms
Por otra parte, de la ecuación (1):
w2A − wB2 = 63,68 =(wA + wB)(wA − wB )= 6,74 (wA − wB)
wA − wB = = 9,45 ms
y resolviendo estas dos últimas ecuaciones simultáneamente se obtiene:
	wB = −1,36 m ss
m
1
,
8
w
A
=
El valor negativo de wB significa un retroceso en la cara convexa del álabe, y por consiguiente la aparición de remolinos en dicha zona.
e) Variación de la velocidad relativa en la dirección del centro del álabe, en el punto A
La variación de la velocidad relativa w en la dirección normal viene dada por:
dw	w
= − 2w dn R
y en particular, para el punto medio de la pared cóncava, esto es, para el punto A, valdrá:
 dw	= wA − 2w =	8,1 − 2 p1320 = 69,23 − 276,46 = −207,2 s−1

 dn A 	 R	0,117	30
es decir:
(
)
m 
s
m
2
,
207
dn
dw
A 
−
=






Supongamos ahora que dicha variación fuera constante a lo largo de la normal, y aproximemos la distancia a entre los puntos A y D, siendo D el pie de la perpendicular cuando alcanza al álabe siguiente, como:
a ≈ t sen b = 2p r sen b = 2p 0,106 sen30,9 = 0,034 m z	10
La velocidad relativa en el punto D, anterior al B, sería, conforme a las aproximaciones anteriores:
wD = wA + a  dw dn A = 8,1+0,034⋅(−207,2 )= 1,01 m/ s
lo que significa que el flujo se ralentiza a medida que avanza hacia la salida. En realidad, para un cálculo más exacto del comportamiento del flujo en el interior del canal, habría querecurrir a la resolución de las ecuaciones completas del flujo ideal en el mismo.
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