Problemas sobre polinomios

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1. El polinomio 
es divisible por x? + x-2. Hallar los valores de a y b. 
Sugerencia: Expresar x² + x-2 en forma factorial. 
2. El polinomio 
es divisible por x' -x-x + 1. 
Hallar los valores de a, b y c. 
x* + ax'-(2b + l)x² +x +b 
x$+ ax- bx' + (c+ 1) x-c 
3. El residuo de la división del polinomio P(x) por (x-3) es 2 y el de la división por (2x + 1) es -1. Hallar el 
residuo de la división de P(r) por (x -3)(2x + 1). 
Sugerencia: El residuo es a lo sumo de grado uno (ax + b): 
P(«) = (x-3)\(2x + 1) · c(x) + ax + b. 
DIVISOR COCIENTE RES0DUO 
4. El residuo de la división del polinomio P(«) por (-3) es -1; por (3x�1) es 2; por (2x + 1) es 3. Hallar el 
residuo de la división de P(x) por (x-3)(3x� 1)(2x + 1). 
7. Resolver la ecuación: 
5. El residuo de la división de P(x) por x + 3 es 5. El polinomio P(*) es divisible por x²- 1. Hallar el resjduo de 
la división de P(x) por x + 3x'�x -3. 
6. Hallar el cociente y el residuo de la división: 
8. Resolver la ecuación: 
Sugerencia: Hacer la sustitución x +y= z. 
((x + )+ 3(x + )' + 2x + 2y + 1]:[x + y-1]. 
2 
X 
-2 
-2 3 +x 
2 
3 
-3x 
x-3 
-1 x-4 
-5 
=0 
Potinomios 
=0 
9. Hallar las soluciones de la ecuación, pertenecientes al intervalo (0, 21. 
(x'+ 3x'-4) sen 2x =0. 
x-3 3x + 1 
10. Hallar las soluciones que pertenecen al intervalo (0, 2] de las ecuaco 
11. Resolver las ecuaciones: 
sabiendo que tienen una raíz común. 
12. La ecuación de grado par: 
a) 4 cos 
b) 4 cos 
C) 4 cos 
que tiene iguales los coeficientes equidistantes de los extremos se llama reciproca. Si se dividen por x* (potencia 
de x del término central) los dos miembros de la ecuación, y se hace el cambio de variable: 
x- 8 cos' x + 4 =0; 
la ecuación se transforma en una de segundo grado en y, ya que: 
x-4 cos x-3 cos? x + 4 cos x-l=0; 
x -(8+6 senx) cos² x+3 sen x + 3 =0. 
3x' +x²-6x-2 = 0; 
3x' + x'-9x-3 = 0; 
3x-5x'-5x-l = 0; 
x4+3x� 2x' + 3x + l =0 
Sugerencia: Sustituir x por a y por 
14. Resolver la ecuación: 
(+) =y=x'++23*+ 
Si la ecuación transformada tiene por raices y,. V,, deshaciendo el cambio: 
Sugerencias: 
Sigase este método para resolver la ecuación dada. 
acepta como raíz el número a también acepta 
se obtienen dos ecuaciones de segundo grado en x, de las que obtendremos las cuatro raices de la dada. 
13. Probar que s1 una ecuación recíiproca de grado par: 
ax + bxn-+ cx-2 +.... 
1 
x 
2) Observar quex+ =y'-3y; 
Comprobar que en el ejercicio 12 las cuatro raices son dos a dos inversas. 
1 
1) Hacer el mismo cambio que en el ejercicio 12; 
t-2 
xo + 5x' + 6x* +9x' + 6x' + 5x + l =0. 
3) Resolver la ecuación de 3." grado resultante; 
4) Deshacer el cambio. 
+ cx' + bx + a =0, 
15. Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos de la ecuación de 6.° grado (par) 
son números opuestos. (El coeficiente de x' es 0 ya que 0 es el único número que es igual a su opuesto). Esta 
ecuación tambi
n es reciproca en el sentido de que si a es una raiz tambiÃn lo espor qué?). Es evidente que la 
ecuación acepta como raices ly -l. Al separar estas raices queda una ecuación reciproca del tipo del ejercicio 12. 
Resuélvase la ecuación dada. 
16. Resolver la ecuación 
Sugerencia: Aplicar número 15. 
17. Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos de la ecuación de 5.° grado (impar). 
Resolver la ecuación. 
18. Resolver la ecuación: 
6x-29x?-18x + 171x-17lx' + 18x² + 29x-6 =0 
son iguales. La ecuación es reciproca (¿por qué?). La ecuación acepta la raíz -1. Separada la raiz queda una 
ecuación del tipo del ejercicio 12. 
Sugerencia: Separar la raíz 3. 
sabiendo que una de sus raíces es 3. 
3x + 2x'-x +x'-2x-3 =0 
Resuélvase. 
12x6-68x5-109x + 410x' + 58x? + 108x�36 = 0 
19. Los coeficientes equidistantes de los extremos de la ecuación de 5.° grado (impar) 
20. Hallar el verdadero valor de: 
2x-3x++ 2x + 2x'-3x + 2 = 0 
son opuestos. Es una ecuación recíproca (ipor qué?). Acepta la raiz 1. Separada esta raíz resulta una ecuación del 
tipo de la ecuación del número 12. 
21. Halar el verdadero valor de: 
22. Hallar el verdadero valor de: 
23. Hallar el verdadero valor de 
3x5-2x + x'-x' + 2x-3=0 
x+ ax- 2a' x + a'x-a 
2x4+ ax' + a'x?-4a 
2x + a²b'x + 3a'bo 
x + a'bo 
fx) = 
x²+ x 
x'-1 
Sugerencia: Simplificar las fracciones y opcrar. 
para x =-ab'. 
x+3 
para x = 4. 
x'+ 2r-? Para x = 1. 
3x'-(3e+ d-3)x-3c-d 
Zx* + (2a + b + 2)x + 2ab Para x =-l. 
24. Hallar el verdadero valor de 
Sugerencia: Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del numerador. 
25. Hallar 
26. Hallar 
son: x, = 4, X, = b, x, = C. 
Sugerencia: Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del numerador. Multiplicar numerador y 
denominador por Vr-1). 
para que pueda ponerse en la forma: 
lim 
27. Calcular los valores de a, b, c para los cuales las raíces de la ecuación: 
simples 
para X = a. 
lim 
28. Hallar los valores de a y by la tercera raíz. Se sabe que a y b son dos de las raices de la ecuación: 
x'-(a + b+ 1)x' + (ab + 2a-)x-(a-b+ ab- l) =0. 
P(*) 
donde a, b, 
2x + 1-V'+ 5x +3 
x' +x-2 
29. Determinar la relación que debe existir entre ios coeficientes del polinomio 
Vx+3-y3x + 1 
Vx-1 
2x + 1 
x'-x-2 
31. Descomponer en fracciones simples 
x'-ax? + bx +c=0 
P(*) 30. Sea una fracción algebraica en la que el grado del numerador es menor que el del denominador. Si el 
Q0) 
denominador tiene raices reales simples (a,, a,,.... a,), la fracción puede descomponerse en fracciones 
4ax} + 6bx' + 4cx + d 
Sl(x + a) - (x + p)1. 
c son números reales. Segün esto calcular, por el método de los coeficientes indeterminados, 
a, b, c en la siguiente descomposición en fracciones simples: 
2x + 1 
(x + l)(x-2) 
x-2x-x + 2 
+ 
C 
x-2 
32. Sea una Iracción algebraica en la que el grado del numerador es menor que el del denominador. Si el 
denominador tiene raices múltiples a cada raiz múltiple le corresponde un nçmero de fracciones simples igual a su 
orden de multiplicidad, en la siguiente forma: si a es raíz múltiple de orden m de Q(x), endremos 
P(x) 
Qx) 
34. Sea 
P(x) 
Qr) 
en donde los puntos suspensivos a la derecha de 
33. Descomponer en fracciones simples 
(x- a)m 
2x-1 
x'+r-5x + 3 
Um 
a) 
Según esto, calcular a, b, c en: 
indican las fracciones simples correspondientes a las restan 
tes raices de O(*). Según esto, calcular a,, a, b en la siguiente descomposición: 
P(x) 
3x? + 8x + 1 
x'+x'-x-1 
+ 
En la descomposición en fracciones simples de 
simple de la forma: 
2x-1 
(x-1)(r+3) 
a, 
P(x) 
Qr) 
am-l 
(x- a)m-1 
En la descomposición en fracciones simples de 
ciones simples en la forma: 
b) 
P(x) 
una fracción algebraica en R en la que el grado del numerador es menor que el del denominador y 
Q0) 
que tiene raices complejas simples. Sabemos que si Q admite la raiz simple a + Bi también admite la conjugada 
simple a- Bi. 
P(r) 
Q(x) 
En la descomposición factorial en R de P(x) aparecerá el factor irreducible 
(x'+ )x-3) 
(x-a)' + B² 
x}-x'-X-2 
ax + b 
(x-a)' + B² 
+ (x-1)? X-1 x +3 
-3x' + 4x? + 13x+ 4 
x* + 2x'-3x'-4x+4 
P(x) 
Q) 
a 
ax + b 
x' + x + 1 
al factor irreducible (x- a)? + B² le corresponde una fracción 
a, 
a, x + b, 
I(x-a)² + Bn-1 
Qx) I(x-a)? + B²" 
Según esto, hallar a,, b, a,, b,, c en la descomposición: 
+ 
35. Si O admite una raiz compleja múltiple de orden n (también admite su conjugada con igual orden de multi 
plicidad) en la descomposición factorial aparece la potencia n del trinomio irreducible de 2.° grado l(x- o)' + 821. 
a,x + b, 
C 
+ 
+-2 
al factor ((-a)' + Bn le corresponde una suma de frac 
a,x + b, 
a,x + b, 
I(x- a)² + B1 
X-3 
+ 
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