Cartilla Modulo de Matematica (2)

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1 
 
Carrera de Ciencias Veterinarias 
Facultad de Ciencias Agrarias y Veterinarias 
Universidad Católica de Salta 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUÍA MÓDULO DE MATEMATICA 
Curso de Introducción y Nivelación 
a las Ciencias Básicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
M.V. (MSc) Julieta Fernández Madero 
LIC. Martín Daroca A. 
 
 
 
2024 
2 
 
Materiales necesarios: los alumnos que realizan el módulo 
de matemática correspondiente al curso de ingreso 
deberán concurrir a las clases con los siguientes materiales 
 
❖ Lápiz, borrador, lapiceras, lápices de colores, regla. 
❖ Hojas cuadriculadas. 
❖ Calculadora científica. 
❖ Buena predisposición!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
NÚMEROS NATURALES 
Son los más antiguos de todos los tipos de números, surgieron por la necesidad de contar 
elementos, animales, personas... El conjunto de los números naturales se simboliza con la letra 
N. N= {1,2,3,4,……} 
 Los números naturales son también llamados enteros positivos. 
En el conjunto de los números naturales están definidas dos operaciones: suma (o adición) y 
producto (o multiplicación). 
 
Propiedades de la suma 
Cierre: la suma de dos números naturales es siempre otro número natural. 
 Dados a, b Є N, (a+b) Є N 
Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado. 
 Dados a, b Є N, a+b = b+a 
Asociativa: Dados a, b, c Є N, a + (b+c) = (a+b) + c 
(4 + 5) + 6 = 9 + 6 = 15 
UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
4 
 
4 + (5 + 6) = 4 + 11 = 15 
Cancelativa: todo sumando que aparece en ambos miembros de una igualdad puede ser 
cancelado conservando la igualdad. 
Dados a, b, c Є N, a+c=b+c (cancelas c) entonces a = b 
3 + 4 + 5 = 7 + 5 Podemos "cancelar" el 5 y queda 3 + 4 = 7 
Uniforme: si a ambos miembros de una igualdad se les suma un mismo número entero se 
obtiene otra igualdad. 
Dados a, b, c Є N, a = b entonces a+c = b+c 
5 + 7 = 6 + 6 
5 + 7 + 2 = 6 + 6 + 2 
 
Propiedades del producto 
Cierre: la multiplicación de dos números naturales es siempre otro número natural. 
 Dados a, b Є N, (a * b) Є N 
Conmutativa: Cuando dos o más números son multiplicados, su orden puede cambiarse sin 
afectar el resultado. En el ejemplo siguiente, nota que 5 multiplicado por 4 da el mismo resultado 
que 4 multiplicado por 5. En ambos casos, el resultado es 20. 
5 * 4 = 20 
4 * 5 = 20 
 Dados a, b Є N, a * b = b.a 
Asociativa: los números en una expresión de multiplicación pueden reagruparse en paréntesis. 
La siguiente expresión puede reescribirse de una manera distinta usando la ley asociativa. 
(2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4). 
Dados a, b, c Є N, a * (b*c) = (a*b)* c 
Cancelativa: Dados a, b, c Є N, a*c=b*c entonces a = b 
Ejemplo: 3 * 4 * 5 = 7 * 5 podemos "cancelar" el 5 y queda 3 * 4 = 12 
Uniforme: Dados a, b, c Є N, a = b entonces a*c = b*c 
3 * 4 = 12 
3 * 4 * 2 = 12 * 2 
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma en N 
Dados a, b, c Є N: a * (b+c) = a*b + a*c 
Según la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: 
2 x (3 + 5) será igual a 2 x 3 + 2 x 5 
5 
 
Comprobemos si esto es cierto. 
2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 16 
2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16 
Ambas nos dan como resultado 16, por lo que queda demostrada la propiedad distributiva de 
la multiplicación. 
EJERCICIOS 
Resolvemos usando las propiedades para números naturales: 
a) 3+24+17+6= 
b) x+4 =12 
c) x.4 = 12 
d) 7 (31+15) = 
e) 3+x= 16 
f) Las siguientes proposiciones, ¿son verdaderas o falsas? 
-4 Є N 
0 Є N 
 
NÚMEROS ENTEROS 
Ahora bien, si restamos dos números naturales, no siempre obtenemos como resultado un 
número natural… Surgió así la necesidad de ampliar el conjunto de números naturales, 
incorporando un cero y los enteros negativos, con lo que se define el conjunto de los números 
enteros: Z Z = {…..-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,……} 
En los números enteros se verifican las conocidas propiedades de la suma y el producto (en este 
caso con modificaciones) para los números naturales, pero como se agregan nuevos números, 
se agregan nuevas propiedades. 
Propiedades de la suma 
Cierre: Dados a, b Є Z, (a+b) Є Z 
Conmutativa: Dados a, b Є Z, a+b = b+a 
Asociativa: Dados a, b, c Є Z, a + (b+c) = (a+b) + c 
Cancelativa: Dados a, b, c Є Z, a+c=b+c (cancelas c) entonces a = b 
Uniforme: Dados a, b, c Є Z, a = b entonces a+c = b+c 
 
 
 
6 
 
Propiedades del producto 
Cierre: Dados a, b Є Z, (a*b) Є Z 
Conmutativa: Dados a, b Є Z, a*b = b.a 
Asociativa: Dados a, b, c Є Z, a*(b*c) = (a*b)*c 
Cancelativa: Dados a, b, c Є Z, a*c=b*c entonces a = b 
Uniforme: Dados a, b, c Є Z, a = b entonces a*c = b*c 
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma en N 
Dados a, b, c Є Z: a * (b+c) = a*b + a*c 
Ley de Existencia del Elemento Neutro 
Neutro Aditivo: Existe 0 Є Z tal que: dado a Є Z, a + 0 = 0 + a = a 
Neutro Multiplicativo: Existe a,b Є Z tal que: a*b = 0 si y solo si a=0 o b=0 
 
Ley de Existencia de Inversos Aditivos (opuestos): 
 Dado a Є Z, existe (-a) Є Z tal que a + (-a) = (-a) + a = 0 
Se introduce aquí la REGLA DE LOS SIGNOS. Para las operaciones de producto y cociente, el 
signo del resultado (si es positivo o negativo) depende de si los factores tienen o no el mismo 
signo. 
 
 
Ejemplo: 
5 + X = 13 + 8 
5 + X = 21 (por ley asociativa) 
5 + x = 5 + 16 (por ley asociativa) 
X = 16 (por ley Cancelativa, cancele el 5 que estaba sumando en ambos lados) 
Otra forma de resolverlo: 
7 
 
5 + X = 13 + 8 
5 + X = 21 (por ley asociativa) 
5 – 5 + X = 21 – 5 (por ley uniforme) 
0 + X = 16 
X = 16 
Otro ejemplo: 
21 – X + 7 = 14 
21 + 7 – X = 14 (ley conmutativa) 
28 – X = 14 (ley asociativa) 
28 – 28 – X = 14 – 28 (ley uniforme) 
-X = - 14 
-1 * -X = -1 * -14 (ley uniforme) 
X = 14 
PARA TOMAR NOTA: PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES 
1- Se calculan los paréntesis, operando del interior al exterior 
2- Se efectúan potencias y radicales 
3- Se efectúan multiplicaciones y divisiones 
4- Se efectúan sumas y restas 
5- En igualdad de prioridad, se trabaja de Izquierda a derecha 
 
Resolvemos: 
a) x+3 = 1 
b) Indique el inverso aditivo de 7: 
c) Represente en la recta numérica los siguientes números: -4; 3; -1; 0; 5 
8 
 
d) La temperatura ambiente en una localidad puneña donde se crían camélidos alcanzó los -18ºC 
en una noche de invierno. A la noche siguiente se registró un incremento absoluto de la 
temperatura en 4 ºC. ¿Qué temperatura marcó el termómetro esta noche? 
e) 5 x (-4) = 1 
f) (-2) * (3 – 4 * (3 + 2 * (-4))) = 
g) 3 * (-2) + 4 * 5 
h) (x + 5 / 7) – 4 = -6 
i) 42 + 12 * 3 /2-5 * -3 = 
j) (32 – 4 (5-12*4-6) – 2) * (3 – 23 ) = 
k) 2 – 33 – 5* (4-5* (2-3 * (-4)) + 52 )= 
 
NÚMEROS RACIONALES 
Son los números que nos permiten expresar cantidades que no corresponden a un entero. Por 
ejemplo si en una pecera con 6 peces hay 2 peces atacados con una fungosis externa (hongos) y 
queremos expresar la proporción de peces enfermos, usamos un número racional. Los números 
racionales permiten dividir 2 números enteros sin restricción con la única condición que el 
divisor (denominador) sea distinto de cero. El conjunto de números racionales se simboliza con 
la letra Q. Q = {a/b tal que a, b Є Z y b ≠ 0} 
 El conjunto Q está integrado por fracciones reducidas y por sus equivalentes no reducidos. En 
la pecera de la que hablábamos, la proporción de peces enfermos es de 2/6. Pero esta cantidad 
podría expresarse en su equivalente reducido que es 1/3. 
 
Indique el equivalente reducido de las siguientes raciones: 
3/9 = 
2/8 = 
6/32= 
9 
 
5/10= 
2/10= 
5/25= 
Una diferencia esencial del conjunto Q respecto a los números enteros Z es la densidad. Q es un 
conjunto denso, pues dados dos números racionales p y q siempre existe otro númeroracional 
r, tal que p<r<q por lo tanto entre dos puntos de la recta numérica correspondientes a dos 
números racionales existen infinitos puntos correspondientes a otros números racionales. 
Graficamos en la recta numérica los siguientes números racionales: 3/5 y 7/4 
 
Ahora, ubicamos gráficamente un número racional entre estos dos puntos. 
Esto conduce a pensar que en la recta no “queda lugar” para otros números que no sean 
racionales. Sin embargo, esto no es así: EXISTEN EN LA RECTA NUMÉRICA INFINITOS PUNTOS 
QUE NO CORRESPONDEN A NÚMEROS RACIONALES!! 
Conversión decimales a Fracción: 
 
 
10 
 
 
 
Decimal periódico en Fracción 
 
 
11 
 
 
 
Reglas para las operaciones con números racionales: 
 
 
 
Suma: p/q + r/s = (p*s + r*q) / q*s siempre que q ≠ 0, s ≠ 0 
 
12 
 
Producto: p/q * r/s = p*r / q*s siempre que q ≠ 0, s ≠ 0 
 
 
Cociente: p/q / r/s = p*s / q*r siempre que q ≠ 0, r ≠0, s ≠ 0 
 
Propiedades de la suma 
Cierre: Dados a/b, c/d Є Q, (a/b + c/d) Є Q 
Conmutativa: Dados a/b, c/d Є Q, a/b + c/d = c/d + a/b Є Q 
Asociativa: Dados a/b, c/d, e/f Є Q, (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f) Є Q 
Cancelativa: Dados a/b, c/d, e/f Є Q, a/b + e/f = c/d + e/f entonces a/b = c/d 
 
Uniforme: Dados a/b, c/d, e/f Є Q, a/b = c/d entonces a/b + e/f = c/d + e/f 
 
Propiedades del producto 
Cierre: Dados a/b, c/d Є Q, (a/b * c/d) Є Q 
Conmutativa: Dados a/b, c/d Є Q, a/b * c/d = c/d * a/b Є Q 
Asociativa: Dados a/b, c/d, e/f Є Q, (a/b * c/d) * e/f = a/b * (c/d * e/f) Є Q 
Cancelativa: Dados a/b, c/d, e/f Є Q, a/b * e/f = c/d * e/f entonces a/b = c/d 
 
Uniforme: Dados a/b, c/d, e/f Є Q, a/b = c/d entonces a/b * e/f = c/d * e/f 
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma en N 
Dados a/b, c/d, e/f Є Q a/b * (c/d+e/f) = a/b.c/d + a/b*e/f 
 
 
13 
 
Ley de Existencia del Elemento Neutro 
Neutro Aditivo: Existe 0 Є Q tal que: dado a/b Є Q, a/b + 0 = 0 + a/b = a/b 
Neutro Multiplicativo: Existe 1 Є Q tal que: dado a/b Є Q, a/b * 1 = 1* a/b = a/b 
Ley de Existencia de Inversos Aditivos (opuestos): 
Inverso Aditivo: Dado a/b Є Q, existe (-a/b) Є Q tal que a/b + (-a/b) = (-a/b) + a/b = 0 
Inverso Multiplicativo: Para todo a Є Q, con a ≠ 0, existe a -1 = 1/a Є Q tal que a * a-1 = 1 (o lo que 
es lo mismo a * 1/a = 1) 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
15 
 
1- (1/3 + 2/3 (1/4 + 5/3) – 2/3) 
2- (1/3 * 3/4 + (1 - 4/9))-1 
3- 3/5x + 1/3 – 3/5x + 2/7x = 3/7x – 2 
4- (1/3 + 2/3 (1/4 + 1/3)- 2/3) 
5- (1/4* 4/3 + (1 – 9/4))-1 
6- (1/4* √16/9 + ((6/5)0 – (3/2)-1 ))-1 
7- (3/2x + 1/4 (4/3 – 2/5x) + 1/4x) = 
8- (1/4* √16/9 + ((3/5)0 (3/2)-1 ))-2 
 
16 
 
 
 
NÚMEROS DECIMALES 
Expresiones decimales periódicas infinitas: Son números decimales con parte entera seguida de 
una parte decimal que tiene infinitas cifras decimales periódicas. Por ejemplo: 0,33333….; 
0,2566666…;0, 13999… Todo número racional puede ser representado mediante una expresión 
decimal periódica, realizándose el cociente entre numerador y denominador de la fracción. Por 
ejemplo: ½ = 0,500; 5/4 = 1,25. Son los puntos de la recta numérica que corresponden a los 
números racionales. 
 
Números decimales: 
Para representar una fracción decimal en forma entera, se escribe el numerador y se separa con 
una coma desde la derecha hacia la izquierda tantas cifras como ceros figuran en el 
denominador, completando con ceros si fuera necesario. 
 
Ejemplos: 
2142/10 = 214,2 Se lee: 214 enteros, 2 décimos. 
2142/1000 = 2,145 Se lee: 2 enteros, 142 milésimos. 
34/1000= 0,034 Se lee: 34 milésimos. 
 
NÚMEROS IRRACIONALES 
De acuerdo a lo visto hasta aquí, en la recta numérica existen infinitos puntos que no 
corresponden a números racionales, o sea, que no pueden expresarse como cocientes de dos 
números enteros. Por ejemplo: 
√2; √3; √7; π ; etc. 
Estos números se denominan Irracionales y son expresiones decimales infinitas no periódicas. 
El conjunto de los números irracionales se simboliza con la letra I. 
 
NÚMEROS REALES 
Los números racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales, que se 
representa con la letra R. Los números reales cubren totalmente la recta numérica, siendo los 
números naturales y los enteros casos particulares de los números reales. 
Propiedades de la suma 
Cierre: Dados a, b Є R, (a+b) Є R 
17 
 
Conmutativa: Dados a, b Є R, a+b = b+a 
Asociativa: Dados a, b, c Є R, a + (b+c) = (a+b) + c 
Cancelativa: Dados a, b, c Є R, a+c=b+c (cancelas c) entonces a = b 
Uniforme: Dados a, b, c Є R, a = b entonces a+c = b+c 
Propiedades del producto 
Cierre: Dados a, b Є R, (a*b) Є R 
Conmutativa: Dados a, b Є R, a*b = b.a 
Asociativa: Dados a, b, c Є R, a*(b*c) = (a*b)*c 
Cancelativa: Dados a, b, c Є R, a*c=b*c entonces a = b 
Uniforme: Dados a, b, c Є R, a = b entonces a*c = b*c 
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma en N 
Dados a, b, c Є R: a * (b+c) = a*b + a*c 
Ley de Existencia del Elemento Neutro 
Neutro Aditivo: Existe 0 Є R tal que: dado a Є R, a + 0 = 0 + a = a 
Neutro Multiplicativo: Existe 1 Є R tal que: dado a Є R, a * 1 = 1* a = a 
Ley de Existencia de Inversos Aditivos (opuestos): 
Dado a Є R, existe un único b Є R tal que a + b = b + a = 0; b = (-a) 
Existencia del Inverso: 
Dado cualquier número Є R ≠ 0, existe un único b Є R tal que a * b = b * a = 1; b = a -1 
 
Otras operaciones con números reales: 
Orden en r 
En R está definida una relación de orden “menor o igual que” ( ≤) 
Si a ≤ b entonces b - a ≥ 0 cualesquiera sean los números reales a y b. 
Ejemplo: 
Dados a = 8 y b = 12 (a ≤ b), b-a = 12- 8 = 4 (b - a ≥ 0) 
 
Potenciación de base real y exponente entero 
Sea a Є R y n Є Z; con n ≥ 0, se define: 
a0 = 1 ; si y solo si a ≠ 0 
an = a.a.a…….a (el producto de n veces a) 
18 
 
a-n = (1/a)n si y solo si a ≠ 0 
 
Propiedades: Sean a y b números reales y m y n números enteros: 
 
 
• -an = -an (si n es impar) 
• -an = an (si n es par) 
• -a-n = -an (si n es impar) 
• -a-n = an (si n es par) 
 
Regla: 
 
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN 
Ley uniforme, Ley distributiva: para la multiplicación y división, Ley cancelativa 
No conmutativa, no asociativa 
 
19 
 
 
 
 
Radicación 
Sean x y r números reales no negativos y n un entero positivo o x y r números reales negativos 
y n un entero positivo impar 
n√x = r si y solo si rn = x 
 
Propiedades 
 
 
20 
 
 
 
21 
 
 
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN 
Ley uniforme, Ley distributiva: para la multiplicación y división, Ley cancelativa 
No conmutativa , no asociativa 
Exponentes racionales 
Para cualquier número real x y cualquier entero positivo n, se define: 
X 1/n = n √x siempre que la raíz represente un número real. 
Sean n y m números enteros y n > 0, se define: 
X m/n = n √x m 
Se verifica que x m/n = (x m)1/n = (x 1/n )m siempre que las raíces representen un 
número real. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
Ejemplos: 
 
EJERCITACIÓN 
1) Obtenga la expresión decimal de las siguientes fracciones y represente en la recta numérica: 
 
1/4 ; 2/3; 156/48; 134/97; 10/6 
 
2) Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 
a- 4/6 es un elemento de Z 
b- √8 es un elemento de R 
c- -1/3 es un elemento de Q 
d- √6 es un número racional 
e- π es un elemento de R pero no es un elemento de Q 
f- Todo número irracional es un número real. 
g- Existen números decimales que no son reales. 
h- Existe un número decimal que no puede expresarse como cociente de dos números enteros. 
3) Elabora un cuadro sinóptico de los conjuntos de números conocidos. 
4) Determine a qué conjunto numérico pertenece cada uno de los siguientes números: 
(-2)2 ; -0,25 ; 16 ; √2; 0,353535 ; 27 2/3 
23 
 
5) Simplifique las siguientes expresiones: 
a- (-x)(-y) = 
b- b- 2(m+n) / 2m = 
c- c- a / 2 – (5+3) = 
d- d- 3√ 7√x21 = 
6) Encontrar las expresiones fraccionarias correspondientes a las siguientes expresiones 
porcentuales: 
70% ; 1,2 % ; 56 %, 20,2 % 
7) Resuelva aplicando las propiedades de las operaciones correspondientes a cada conjunto 
numérico: 
 
a) 1+ (-10) + (-2) = 
b) -12 * 15 = 
c) -5 : 15 = 
d) (4 + 3 + 2)3 = 
e) 2/8 * 3/9 = 
f) 1/5 + 1/9 + 2/15 = 
g) 1/6 + 36 = 
h) 3√2 + 4/5 3√2 = 
i) (3√9 / 9 2/5) 9 1/5 = 
 
24 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
28 
 
NOTACIÓN CIENTÍFICA 
Es una forma simplificada de expresar un número decimal. Cuando la cantidad de ceros a la 
izquierda del número real es muy grande, se escribe el número entero multiplicado por el 
número 10 elevado a la potencia negativa del número de veces que se corre la coma. 
 
Ejemplos: 
0,0000003 puede expresarse como 3 x 10-7 
0,00000125 puede expresarse como 1,25 x 10 -6 
Asimismo, cuando el número entero es muy grande, se escribe en forma simplificada. 
 
Ejemplos: 
34.000.000 (34 millones) puede expresarse como 3,4 x 107 
27450000000 puede expresarse como 2,745 x 1010 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
31 
 
EJERCITACIÓN: 
Expresamos en notación científica las siguientes medidas: 
El diámetro de un átomo de hidrógeno es 0,0000001 mm: …………………………….. 
En el cerebro hay más de 14 millones de neuronas: …………………………………. 
El tiempo que tarda la luz en atravesar el vidrio de una ventana es de 0,000000000013 
segundos: …………………………….. 
8) Convierta a notación extendida las siguientes cantidades expresadas en notación científica: 
2,16 x 105 = 
25 x 10-4 = 
6,583 x 10-6 = 
8,6 x 106 = 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
Ejercitación: 
1) √24* 32 + 5*2 – (3*2)2 
2) (√8 – 2)3 / 4+5(10 – 5)2 
3) 52 + √49 * 22*(-3)*4 + (3*3)3 
4) 23 + 6*3/2 – 24 
5) (52*11+20) + 15/3 -32 
6) (2/5 . 3/4) 3 = 
7) (24/3 / 32/8) 2 = 
8) (6/3)3 * (24/3) 2 = 
9) (25/5) 4 * (15/5) 2 = 
10) ((½) -2) 3 = 
11) 3 -4 + (1/3) -4 + (1/3) 4 = 
12) √1/4 = 
13) √(1/4 ) = 
14) (6/20 )3 * (36/4)-3 
15) (62/3) 4 * (15/5) -2 = 
16) √(25/5) + √ 82 = 
17) ((3/ √4) -3) 4 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD II: OPERACIONES COMBINADAS Y CON 
NÚMEROS RACIONALES 
34 
 
 
Como debemos plantear una ecuación. 
 
Resolver una ecuación es determinar el valor numérico de la 
incógnita que hace verdadera la igualdad. 
La ecuación es una igualdad entre dos expresiones que se denominan miembros de la misma, o 
igualdad, que contiene una o más incógnitas. Una ecuación que solo se verifique para ciertos 
valores de las incógnitas, recibe el nombre de ecuación propiamente dicha. 
Ejemplo: 
x + 3 = 10 x + 3: primer miembro 
 10 : segundo miembro 
 x : incógnita 
En cambio, una ecuación que se verifica para todos los valores de las incógnitas recibe el nombre 
de identidad. 
Ejemplo: x2 – y2 = (x + y) * (x – y) = 
 En este caso se verifica para todos los valores de x e y 
 
Las soluciones son los valores de las incógnitas que transforman la ecuación en identidad, es 
decir igualan ambos miembros. 
Ejemplo: x del primer ejercicio es igual a 7, ya que: 
 x + 3 = 10 
 x = 10 – 3 
 x = 7 
Para realizar pasajes de términos debemos tener en cuenta algunas consideraciones para poder 
resolver una ecuación. 
a) Si se suman o se restan miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad. 
Ejemplo: x – 6 = 3 
 x = 3 + 6 
 x = 9 
Si reemplazamos x de la ecuación : x – 6 = 3, obtenemos una igualdad: 9 – 6 = 3 
x + 4 = 10 
x = 10 – 4 
x = 6 
Si reemplazamos x de la ecuación: x + 4 = 10, obtenemos una igualdad: 6 + 4 = 10 
UNIDAD III: ECUACIONES 
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Por lo tanto: al transponer un término de una ecuación de un miembro a otro, el mismo pasa 
con signo cambiado. 
b) Si se multiplica o se divide miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad, 
siempre que no se divida por cero. 
Ejemplo: 
1. 1 / 4 * y = 2x2 
y = 2x2 * 4 
y = 8 x2 
2. V = I * R 
 *Se pasa R al primer miembro siempre que R ≠ 0 
 V / R = I 
2. p = m * g 
p/g = m 
 
Conclusión: al transponer factores (distinto de cero) de una ecuación de un miembro a otro, 
pasan como divisor y viceversa. 
c) Si se eleva un mismo exponente en ambos miembros de una igualdad, se obtiene otra 
igualdad. 
Ejemplo: T = 2 π * √ i/g *ambos miembros son elevados al cuadrado 
 T2 = ( 2 π * √ i/g )2 
 T2 = 4 π2 * i/g 
 
d) Si se extrae la raíz enésima de los dos miembros de una igualdad se obtiene otra igualdad 
Ejemplo: 
Si n es impar: x3 = 125 
 x = 3 √125 
 x = 5 
Si n es par: x2 = 81 
 x = 2 √81 
 x = 9 
 
e) Los recíprocos de los miembros de una igualdad, dan lugar a otra igualdad, siempre que no 
tenga lugar la división por cero. 
Saber plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición 
formulada en palabras. Primero consiste en entender o comprender lo que estamos expresando 
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en palabras, gráficos o dibujos. Segundo se debe saber utilizar los símbolos y operaciones 
matemáticas para describir las palabras o una condición propuesta en palabras. 
Ejemplo: Una vasija se consumió 2/4 de la cantidad de agua, y luego la ½ de los que le quedaba. 
Si aún le quedan 200 ml. ¿Qué cantidad de agua tenía la vasija? Planteo de la ecuación 
2/4X + 1/2 * 2/4 X + 200 = x 
Ahora resuelva. 
 
EJERCITACION: 
1) 3 x + 3 = 12 
2) 2x /a = b + c 
3) 2/3 (x + 3) = 1/2 (x + 8) 
4) 2 x – 12 = x+ 24 
5) 5 + 8( x + 1) = -5* (x-1) 
6) Escriba en forma simbólica las siguientes expresiones: 
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico 
La edad de Pedro: x 
A – dentro de cuatro años ................................. 
B – el triple de la edad de Pedro .................................. 
C – la mitad de la edad que tenía Pedro hace 10 años .................................. 
 
7) Escriba la ecuación y resuelva el ejercicio 
a) Un hombre repartió su herencia entre sus hijos del siguiente modo: a su hijo mayor le dejo la 
mitad, al segundo la tercera parte de lo que quedaba, al tercero la sexta parte de lo que le queda 
y al cuarto hijo cien mil pesos ($ 100.000). ¿Cuánto dinero repartió en total entre todos sus hijos? 
b) De un frasco se sacan 3/5 parte de cloruro de sodio, luego se vuelve a sacar 2/3 parte de los 
que quedaba. En el frasco quedan 50grs. De sal. ¿qué cantidad tenía el frasco? 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
(QUÉ!) PROBLEMAS 
a) La suma de tres números consecutivos es 24 ¿Cuáles son esos números? 
b) Se desea construir una pileta para un criadero de patos considerando 1 m2 de espejo de agua 
por animal (la profundidad es estándar).. Se adquirirán 50 patos. Si se desea construir una pileta 
rectangular en la que la longitud máxima sea de 10metros. ¿Cuántos metros tendrá de ancho? 
c) Martín tiene el doble de edad que Darío. Marcela tiene 5 años menos que Martín. Si la suma 
de las tres edades es 70 ¿Cuál es la edad de cada uno? 
d) El triplo de un numero por él mismo más dos da 24. 
e) El doble de un numero menos una tercera parte de su siguiente 
f) En las vacaciones una familia fué de viaje a Cafayate y recorrieron los 172 Km en 3 horas 15 
minutos. ¿A qué velocidad promedio fueron? 
g) De un camino en construcción se ha inaugurado la cuarta parte de su longitud total; la mitad 
del resto está en construcción y aún quedan 24 Km por construir. ¿Cuál es la longitud del 
camino? 
h) La suma de tres números es 176. El primero es la cuarta parte del tercero y este supera al 
segundo en 40 unidades. ¿Cuáles son esos números? 
i) El promedio en peso al nacer de 3 cerdos de la raza Hampshire es de 1,89 Kg. Si los dos 
primeros cerdos que se pesaron resultaron de 1,54 y 2,09 Kg, ¿cuánto pesó el tercero? 
j) Para asar un cordero hay que meterlo en el horno durante dos horas y luego tenerlo 30 
minutos más por cada kilogramo de peso. ¿Cuál de las siguientes fórmulas expresa el tiempo 
necesario para asar un cordero en función del tiempo? 
1. Tiempo = 30 * Kilogramos 
2. 2. Tiempo = 0,5 * Kilogramos 
3. 3. Tiempo = 2 + 30 * Kilogramos 
4. 4. Tiempo = 2 + 0,5 * Kilogramos 
k) El epitafio de Diofanto (Matemático griego de Alejandría) 
¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! 
La duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. 
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su 
barba. A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio estéril. 
Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. 
Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo 
que su padre llegó a vivir. 
Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido 
cuatro años a su hijo. 
Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte. 
 
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i)Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de nafta. El trayecto lo hizo 
en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la nafta que tenía el tanque y en la 
segunda etapa, la mitad de la nafta que le queda. Se pide: 
a) Litros de nafta que tenía en el tanque. 
b) Litros consumidos en cada etapa. 
j) La diferencia de dos números es 6, y la ½ del mayor excede en 10 a los 3/8 del menor 
k) El precio de un helado es la ½ de su precio aumentado en 5 
l) Si el promedio de hijos aumenta en 3/10, este sería de 13 hijos. 
m) Hallar el número que disminuido en sus 3/8 equivale al duplo disminuido en 11 
n) Andrea gasto 230$ en vestido, bolso y zapatos. Vestido salió 20$ más que los zapatos, el bolso 
30$ menos que los zapatos. Cuál es el precio de cada prenda 
o) Juan le pregunta a Luis: ¿Cuántos años tenes? Y el le contesta: Si al triple de los años que 
tendré en tres años le resto el triple de años que tenía hace tres años tendrás mis años. 
p) Pedro gastó 23$ de su sueldo y la tercera parte de lo que quedó lo depositó en el banco. 
Todavía le quedan 162$. ¿Cuánto cobró? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Se llaman problemas de regla de tres a los problemas de proporcionalidad en los que se 
conocen tres términos y se desconoce uno. 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD IV: REGLA DE TRES SIMPLE Y COMBINADA 
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EJEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REGLA DE TRES COMPUESTA: 
Cuando la cantidad de magnitudes que aparecen en un problema es mayor que dos, se 
aplica la regla de tres compuesta. 
 
 
 
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EJERCITACIÓN: 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
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Función Lineal 
 
Es de la forma :𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
Donde 𝑚 es la pendiente y 𝑏 es la ordenada al origen. 
Para poder graficar solo hace falta tener dos pares ordenados, ya que su gráfica es una 
línea recta. 
 
 
 
A continuación se presentan las distintas formas que puede adoptar la función lineal según 
el valor de su pendiente 𝑚. 
 
A continuación se presentan las distintas formas que puede adoptar la función lineal según 
el valor de su pendiente 𝑚. 
 
 
 
 
 
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Ejercicios 
Dadas las siguientes expresiones, graficar analizando las intersecciones con los ejes si 
las hubiera: 
a) 𝑦 = 0 
b) 𝑦 = 3 
c) 𝑦 = −2 
d) 𝑥 = 0 
e) 𝑥 = 4 
f) 𝑥 = −1 
g) 𝑦 = 𝑥 
h) 𝑦 = −𝑥 
i) 𝑦 = −2𝑥 
j) 𝑦 = 𝑥 + 5 
k) 𝑦 = 8 − 𝑥 
l) 𝑦 =
1
2
𝑥 + 6 
m) 𝑦 = −
2
3
𝑥 −
5
3
 
n) 𝑦 = 5𝑥 − 7