Electrodinámica Notas de Clase

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Electrodina´mica: Notas de Clase
Rodolfo A. Diaz
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de F´ısica
Bogota´, Colombia
The Date
ii
I´ndice general
Introduction XI
I Campos ele´ctricos y magne´ticos independientes del tiempo 1
1. Electrosta´tica 3
1.1. Ley de Coulomb y campo ele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Distribuciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Funcio´n delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Potencial electrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Potencial y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Energ´ıa potencial electrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Distribuciones cont´ınuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Ca´lculo de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6. Teoremas de unicidad para campo vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8. Discontinuidades en el campo ele´ctrico y en el potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.1. Capa dipolar superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. Ecuacio´n de Laplace 27
2.1. Expansio´n en funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1. Ejemplos de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Propiedades de las soluciones de la Ecuacio´n de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Unicidad de la ecuacio´n de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Ecuacio´n de Laplace en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.3. Cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5. Ecuacio´n de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6. Ecuacio´n de Laplace en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1. Operador momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2. Separacio´n de variables para la ecuacio´n de Laplace en coordenadas esfe´ricas . . . . . 44
2.6.3. Propiedades de Pl (cos θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6.4. Esfera con φ = V (θ) en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6.5. Cascarones conce´ntricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iii
iv I´NDICE GENERAL
2.7. Problemas con condiciones que no son de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8. Expansio´n de 1|r−r′| en polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8.1. Ejemplos de aplicacio´n en evaluacio´n de potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.9. Funciones asociadas de Legendre y Armo´nicos Esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.10. Ecuacio´n de Laplace en coordenadas cil´ındricas, Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . 55
3. Conductores electrosta´ticos 57
3.1. Cavidades en conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Capacitores . . . . . . . . . . 60
3.3. Sistemas con N conductores: Coeficientes de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1. El caso de dos conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5. Ejemplos de ca´lculos de la matriz de capacitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6. Energ´ıa electrosta´tica y matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.1. Simetr´ıa de los Cij por argumentos de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.2. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.3. Energ´ıa electrosta´tica y capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. Funciones de Green y ecuacio´n de Poisson en electrosta´tica 69
4.1. Teoremas de Green en electrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Ecuacio´n de Green y potencial electrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3. Interpretacio´n de la funcio´n de Green en electrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.1. Un teorema sobre las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3.2. Ca´lculo de funciones de Green unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.3. Un ejemplo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4. Problemas bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1. Combinacio´n de me´todo directo con expansio´n ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.2. Me´todo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.3. Problema bidimensional semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.4. Funcio´n de Green en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.5. Funcio´n de Green en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5. Me´todo de ima´genes 103
5.1. Me´todo de ima´genes y teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2. Carga frente a un plano equipotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1. L´ınea de carga finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3. Carga puntual frente a una esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.1. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5. Carga puntual en frente de un conductor esfe´rico a potencial V . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.6. Esfera conductora colocada en campo ele´ctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.7. Me´todo de las ima´genes como problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.8. Energ´ıa interna electrosta´tica usando el me´todo de ima´genes . . . . . . . . . . . . . . .. . . 114
5.8.1. Ejemplos de ca´lculo de energ´ıa interna por me´todo de ima´genes . . . . . . . . . . . . . 117
6. Funcio´n de Green y ecuacio´n de Poisson en coordenadas esfe´ricas 123
6.1. Delta de Dirac en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2. Funcio´n de Green en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2.1. Teorema de adicio´n de armo´nicos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3. Esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
I´NDICE GENERAL v
6.4. Funcio´n de Green para exterior e interior de la esfera combinando ima´genes con autofunciones 127
6.5. Funcio´n de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esfe´ricos conce´ntricos con
G = 0 en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.5.1. Solucio´n general en el espacio entre dos cascarones esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.6. Disco cargado uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.7. Condicio´n de frontera en esfera con varilla interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.8. Carga superficial en semic´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.9. Distribucio´n poligonal de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7. Funciones de Green en coordenadas cil´ındricas 135
8. Multipolos ele´ctricos 137
8.1. Expansio´n multipolar del potencial electrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.1.1. Multipolos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.1.2. Multipolos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.1.3. Ilustracio´n de los te´rminos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc. . . . . . . . . . . . . . . 141
8.1.4. Aproximacio´n dipolar para campos cercanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.1.5. Multipolos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.1.6. Multipolos de una esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.1.7. Esfera deformada con momento cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.2. Expansio´n multipolar de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.3. Expansio´n multipolar de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.4. Expansio´n multipolar del torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9. Electrosta´tica de medios materiales 157
9.1. Polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.1.1. Materiales diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.1.2. Momentos dipolares inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.1.3. Momentos dipolares permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.1.4. Materiales con momentos dipolares permanentes en campos ele´ctricos externos . . . . 159
9.1.5. Definicio´n del vector de polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.2. Campo ele´ctrico en el exterior de un diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.2.1. Interpretacio´n F´ısica de las cargas de polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.3. Campo en el interior de un diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.4. Ecuaciones de campo en presencia de diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.5. Susceptibilidad ele´ctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.6. Condiciones de frontera en la interfase entre diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.6.1. Problema con interfase utilizando ima´genes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.7. Funcio´n de Green para espacio infinito con semiespacios diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . 171
9.8. Esfera diele´ctrica de radio a colocada en diele´ctrico ∞. Carga puntual en r ′ > a. . . . . . . . 172
9.9. Energ´ıa potencial en presencia de diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.9.1. Distribucio´n sobre esfera diele´ctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.10. Energ´ıa de un diele´ctrico en un campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.Magnetosta´tica 179
10.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.2. Conservacio´n de la carga ele´ctrica y ecuacio´n de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.3. Ecuacio´n de continuidad y re´gimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.4. Leyes de Ampere y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.5. Ecuaciones diferenciales de la magnetosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.6. Invarianza Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
vi I´NDICE GENERAL
10.7. Rango de validez de la formulacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10.8. Formalismo de Green en magnetosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.8.1. Espira circular de corriente constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.9. Multipolos magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.9.1. Te´rmino cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.9.2. Multipolos magne´ticos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.9.3. Dipolo magne´tico de una espira de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.9.4. Flujo de part´ıculas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.10.Expansio´n multipolar de fuerza y torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.11.Promedio volume´trico del campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.12.Problemas resueltos de magnetosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.Magnetosta´tica de medios materiales 205
11.1. Magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.1.1. Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.1.2. Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.1.3. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.1.4. Consecuencias de la ausencia de monopolos magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.2. Campo generado por objetos magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.3. Interpretacio´n de las corrientes de magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.4. Campos magne´ticos en el interior de los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.5. Ecuaciones de campo en medios magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.5.1. Condiciones de frontera en materiales magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.5.2. Ca´lculo de potenciales y campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.6. Problemas resueltosde magnetosta´tica en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
II Campos ele´ctricos y magne´ticos dependientes del tiempo 221
12.Ecuaciones de Maxwell 223
12.1. Ley de induccio´n de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.1.1. Algunas sutilezas sobre el concepto de fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.1.2. Fuerza de Lorentz y ley de induccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
12.1.3. Forma diferencial de la ley de induccio´n de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.1.4. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
12.1.5. Energ´ıa almacenada en el campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.2. Ecuacio´n de Ampere Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
12.2.1. Forma integral de la cuarta ecuacio´n de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
12.4. Potenciales A y φ, transformaciones gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
12.4.1. Gauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.4.2. Gauge de Coulomb o transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.5. Ecuaciones de Maxwell en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.5.1. Corriente de Polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
13.Leyes de conservacio´n 243
13.1. Conservacio´n de la energ´ıa: Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13.2. Conservacio´n del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.3. Presio´n ejercida por el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
13.4. Teorema de Poynting para vectores de campo complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
13.4.1. Definicio´n de impedancia en te´rminos de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
I´NDICE GENERAL vii
14.Soluciones de la ecuacio´n de onda 257
14.1. Unicidad de la ecuacio´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
14.2. Solucio´n a la ecuacio´n de onda homoge´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
14.2.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
14.2.2. Coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
14.3. Solucio´n a la ecuacio´n de onda inhomoge´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
14.3.1. Funcio´n de Green para la ecuacio´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
14.3.2. Funcio´n de Green y transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
14.3.3. Funcio´n de Green para espacio tiempo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.3.4. Condicio´n de radiacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
14.3.5. Evaluacio´n de la funcio´n de Green para la ecuacio´n de Helmholtz . . . . . . . . . . . . 275
14.3.6. Otra forma de evaluacio´n de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
14.3.7. Funcio´n de Green para espacio infinito en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . 279
14.3.8. Expansio´n de una onda plana en armo´nicos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
14.3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.3.10.Ejercicio: carga puntual en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
14.3.11.Dipolo puntual oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
14.4. Transformada de Fourier de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
15.Ondas electromagne´ticas planas 289
15.1. Caracter´ısticas ba´sicas de una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
15.1.1. Transporte de momento y energ´ıa en una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
15.1.2. Ondas planas con vector de onda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
15.2. Polarizacio´n de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
15.3. Reflexio´n y transmisio´n de ondas planas cuando se cambia de medio diele´ctrico . . . . . . . . 297
15.3.1. Reflexio´n y transmisio´n con incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
15.3.2. Reflexio´n y transmisio´n con incidencia obl´ıcua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
15.3.3. Reflexio´n total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
15.4. Absorcio´n y dispersio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
15.4.1. Ondas planas en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
15.4.2. Reflexio´n y transmisio´n en superficies meta´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
15.5. Dispersio´n de ondas en un medio diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
16.Radiacio´n 313
16.1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
16.2. Ecuaciones de Jefimenko para los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
16.3. Ecuaciones de Jefimenko en el formalismo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
16.4. Potenciales generados por cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
16.4.1. Potenciales de Lie´nard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
16.5. Campos ele´ctrico y magne´tico asociados a cargas puntuales mo´viles . . . . . . . . . . . . . . . 323
16.6. Radiacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
16.7. Radiacio´n de dipolo ele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
16.8. Radiacio´n de dipolo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
16.9. Radiacio´n generada por un distribucio´n arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.10.Radiacio´n de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
16.10.1.Radiacio´n de Frenado (bremsstrahlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
16.10.2.Radiacio´n de Ciclotro´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
viii I´NDICE GENERAL
17.Relatividad especial 343
17.1. Propiedades de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
17.2. Transformaciones de Lorentz usando espacios de Riemann de cuatro dimensiones . . . . . . . 351
17.3. Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
17.4. Fuerza y energ´ıa en relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
17.5. Formulacio´n Lagrangiana de la meca´nica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
17.5.1. Formulacio´n no manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
18.Electrodina´mica y relatividad 373
18.1. Ecuaciones de Maxwell en forma manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
18.2. Fuerza de Lorentz en forma tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .375
18.3. Pruebas de consistencia de la formulacio´n covariante de Maxwell (opcional) . . . . . . . . . . 376
18.4. Ecuaciones de onda e invarianza gauge en notacio´n tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
18.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
18.5. Conservacio´n de momento y energ´ıa del campo electromagne´tico: tensor momento energ´ıa . . 378
18.6. Conservacio´n del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
18.7. Aplicaciones de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
18.7.1. Cuadrivectores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
18.7.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
A. Teoremas de unicidad de la ecuacio´n de Poisson 383
B. Coeficientes de capacitancia 387
B.1. Pruebas de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
B.2. Derivacio´n alternativa de (3.12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
C. Multipolos ele´ctricos 389
C.1. Ca´lculo del campo generado por un dipolo puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
C.2. Integral volume´trica del campo sobre una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
D. Ondas planas 395
D.1. Incidencia obl´ıcua de onda plana perpendicular al plano de incidencia . . . . . . . . . . . . . 395
Preface
This is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX field at the beginning of this
paragraph sets the correct page heading for the Preface portion of the document. The preface does not
appear in the table of contents.
ix
x PREFACE
Introduction
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xi
xii INTRODUCTION
Parte I
Campos ele´ctricos y magne´ticos
independientes del tiempo
1
Cap´ıtulo 1
Electrosta´tica
1.1. Ley de Coulomb y campo ele´ctrico
La interaccio´n ele´ctrica se obtuvo inicialmente por frotamiento. Experimentalmente se encuentra que si
tenemos dos cuerpos electrizados a distancias muchos mayores que sus dimensiones entonces
La fuerza es proporcional al producto de las cargas.
Dicha fuerza es central, es decir actu´a a lo largo de la l´ınea que une las cargas.
F es proporcional a 1/r2 siendo r la distancia que separa las cargas.
Solo hay dos tipos de electrizacio´n, part´ıculas con electrizaciones semejantes se repelen en tanto que
si ellas tienen electrizaciones diferentes se atraen. Esto puede verse fa´cilmente con experimentos de
frotacio´n.
Convencionalmente se llamo´ positiva a la electrizacio´n que adquiere el vidrio frotado y negativa a la
electrizacio´n que adquiere el a´mbar frotado.
Cuando tenemos una distribucio´n de cargas que actu´an sobre una carga pequen˜a, la fuerza y campo
totales obedecen el principio de superposicio´n. Este principio de superposicio´n se puede extrapolar cuando
tenemos distribuciones cont´ınuas de carga.
1.1.1. Ley de Coulomb
La fuerza que una carga puntual q1 ejerce sobre la carga q2 viene dada por
Fq1→q2 = Kc
q1q2 (r2 − r1)
|r2 − r1|3
donde r1, r2 son las posiciones de las cargas con respecto a algu´n sistema de referencia inercial, y Kc es una
constante universal de proporcionalidad. En principio, todo el contenido F´ısico de la electrosta´tica yace en la
ley de Coulomb y el principio de superposicio´n. La escogencia de la constante de proporcionalidad determina
la unidad de carga. No´tese que la ley de Coulomb nos fija las dimensiones del producto Kcq1q2 pero no de
las cantidades Kc y q por aparte, por esta razo´n es posible fijar las dimensiones de Kc para obtener en
consecuencia las dimensiones de q, o por otro lado fijar las unidades de q (como unidades independientes de
las unidades ba´sicas de longitud tiempo y masa) con lo cual quedar´ıan fijadas las unidades de Kc. Esto nos
lleva a dos tipos de unidades que son las mas comu´nmente usadas
Unidades electrosta´ticas (e.s.u): Basado en el sistema c.g.s. En este sistema fijamos las unidades de
Kc eligiendo Kc = 1 (adimensional) de modo que la carga queda con dimensiones de cm
3/2g1/2s−1.
3
4 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
A la cantidad q = 1cm3/2g1/2s−1 lo denominamos una unidad electrosta´tica o statcoulomb. En este
sistema de unidades, q = 1 cuando ejerce una fuerza de una dina sobre otra carga ide´ntica colocada a
un cent´ımetro.
MKSA o sistema internacional SI: Este sistema fija a la carga como unidad independiente (coulombio)
en cuyo caso la constante Kc queda con unidades definidas. Se define a su vez la constante Kc =
1/ (4piε0) con ε0 = 8,85 × 10−12C2/Nm2. q = 1coulomb cuando dos cargas ide´nticas separadas un
metro experimentan una fuerza mutua de 14piε0Newtons. 1Coul = 3× 109Statcoul.
Las cargas son cantidades algebraicas reales positivas o negativas. La ley de Coulomb obedece au-
toma´ticamente la ley de accio´n y reaccio´n. Por otra parte, si asumimos que la Meca´nica Newtoniana es una
descripcio´n adecuada de la naturaleza, el principio de superposicio´n esta´ contenido en la segunda ley de
Newton, de tal forma que la ley de Coulomb se puede ver como un caso particular de fuerza que al obedecer
la segunda ley debe cumplir el principio de superposicio´n. Efectivamente, en el dominio de la meca´nica
cla´sica el principio de superposicio´n esta´ bien soportado a trave´s de diversas pruebas experimentales1. No
obstante, en los dominios de la meca´nica cua´ntica, se pueden observar pequen˜as desviaciones debidas a
procesos como la dispersio´n luz por luz y la polarizacio´n del vac´ıo. De igual forma, existe una fuerte base
experimental para la ley del inverso cuadrado tanto en el dominio microsco´pico como en el macrosco´pico.
La ley de Coulomb tambie´n puede pensarse como la interaccio´n de q2 con el campo generado por q1.
Definimos E1 ≡ Fq1→q2q2 =
Kcq1(r2−r1)
|r2−r1|3 de modo que F2 = q2E1. El campo as´ı definido solo depende de la
fuente y no de la carga de prueba. Ana´logamente, se puede definir el campo generado por q2.
El campo es un vector y satisface el principio de superposicio´n, el cual es herencia directa del mismo
principio aplicado a las fuerzas. Si una part´ıcula esta´ ubicada en alguna posicio´n dada por r ′ (respecto
a algu´n sistema de referencia inercial) entonces el campo ele´ctrico generado por e´sta, evaluado en alguna
posicio´n r viene dado por
E (r) = Kc
q (r− r′)
|r− r′|3
este campo es central y por tanto conservativo. Cuando tenemos una distribucio´n de carga se usa el principio
de superposicio´n para calcular el campo generado por dicha distribucio´n en cualquier punto del espacio.
Experimentalmente, el campo ele´ctrico en una posicio´n r se mide colocando una carga de prueba q ′ en r
y midiendo la fuerza que dicha carga experimenta. Formalmente la medicio´n del campo requiere tomar el
l´ımite cuando la carga de prueba es arbitrariamente pequen˜a
E = l´ım
q′→0
F
q′
con el fin de asumir que q′ no altera la distribucio´n de carga original al aproximarse a tal distribucio´n.
Esta definicio´n formal de campo no se puede aplicar con todo rigor en la realidad F´ısica, puesto que no
podemos tener hasta el momento, valores de carga menores que la carga electro´nica. No obstante, la carga
electro´nica es muy pequen˜a cuando tratamos feno´menos macrosco´picos y la ecuacio´n anterior nos da una
buena descripcio´n de la realidad. Pasando la carga a multiplicar queda
F = q′E
esta ecuacio´n se puede tomar como definicio´n alternativa de campo, y tiene la ventaja de independizar el
campo de sus fuentes. Si para dos distribuciones de carga diferentes el campo es el mismo en un determinado
punto, la fuerza que experimenta una carga de prueba en dicho punto sera´ la misma aunque las fuentes de
cada campo sean muy distintas. Aunqueesta redefinicio´n parece a priori trivial, nos sera´ de gran utilidad
cuando estudiemos la generacio´n de campos ele´ctricos que no dependen de fuentes.
1No´tese que el principio de superposicio´n depende fuertemente de la naturaleza aditiva de las cargas.
1.1. LEY DE COULOMB Y CAMPO ELE´CTRICO 5
1.1.2. Distribuciones de carga
El descubrimiento de la estructura ato´mica de la materia nos enfrenta con distribuciones de carga de
naturaleza granular, que en muchas circunstancias se puede aproximar razonablemente a cargas puntuales.
Incluso en el caso macrosco´pico, cuando la distribucio´n de carga esta´ confinada a un taman˜o mucho menor
que las distancias de intere´s, la aproximacio´n de carga puntual nos da una buena descripcio´n de la mayor´ıa
de feno´menos ele´ctricos. Por otra parte, cuando tenemos distribuciones macrosco´picas con una gran cantidad
de a´tomos y queremos tener en cuenta los efectos que produce la extensio´n de dicha distribucio´n, es u´til con-
siderar que la densidad de carga es una funcio´n cont´ınua de las tres dimensiones espaciales. En consecuencia
el campo ele´ctrico se puede modelar en te´rminos de distribuciones de carga cont´ınuas o discretas
Discretas
E (r) = Kc
n∑
i=1
qi (r− ri)
|r− ri|3
Cont´ınuas
E (r) = Kc
∫
dq (r′) (r− r′)
|r− r′|3
Las distribuciones cont´ınuas pueden ser lineales λ, superficiales σ, o volume´tricas ρ. Tambie´n es posible
tener densidades mixtas.
1.1.3. Funcio´n delta de Dirac
Como veremos a continuacio´n la funcio´n delta de Dirac es un excelente instrumento para convertir
densidades puntuales, lineales y superficiales, en densidades volume´tricas equivalentes. Esto tiene un gran
intere´s ya que la ecuacio´n de Poisson es para densidades volume´tricas y no posee ana´logo en menores
dimensiones, puesto que dicha ecuacio´n proviene del teorema de la divergencia el cual no tiene ana´logo en
dimensiones menores a tres. Es importante enfatizar que la funcio´n delta de Dirac mas que una funcio´n es
una distribucio´n. En el lenguaje del ana´lisis funcional, es una uno-forma que actu´a en espacios vectoriales de
funciones, asigna´ndole a cada elemento del espacio, un nu´mero real de la siguiente forma: Sea V el espacio
vectorial de las funciones definidas en el dominio (b, c) con ciertas propiedades de continuidad, derivabilidad,
integrabilidad, etc. La distribucio´n delta de Dirac es un mapeo que asigna a cada elemento f (x) de V un
nu´mero real con el siguiente algoritmo2∫ c
b
f (x) δ (x− a) dx =
{
f (a) si a ∈ (b, c)
0 si a /∈ [b, c]
Con esta distribucio´n es posible escribir una densidad de carga puntual (ubicada en r0) como una
densidad volume´trica equivalente
ρ (r) = qδ
(
r′ − r0
)
(1.1)
esta densidad reproduce adecuadamente tanto la carga total como el potencial que genera
q =
∫
ρ
(
r′
)
dV ′ =
∫
q δ
(
r′ − r0
)
d3r′
φ (r) = Kc
∫
dq (r′)
|r− r′| = Kc
∫
ρ (r′)
|r− r′|d
3r′ = Kc
∫
q δ (r′ − r0)
|r− r′| d
3r′
φ (r) =
Kc q
|r− r0| (1.2)
2Es usual definir la “funcio´n” delta de Dirac como δ (r) =
{
∞ si r = 0
0 si r 6= 0
y
∫
δ (x) dx = 1. Esta definicio´n se basa en
una concepcio´n erro´nea de la distribucio´n delta de Dirac como una funcio´n. A pesar de ello, hablaremos de ahora en adelante
de la funcio´n delta de Dirac para estar acorde con la literatura.
6 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
finalmente, es inmediato ver que el campo ele´ctrico tambie´n se reproduce adecuadamente. Hay varias
sucesiones de distribuciones que convergen a la funcio´n Delta de Dirac (para mas detalles ver Me´todos
matema´ticos de Gabriel Te´llez Acosta ediciones UniAndes) una de las mas utilizadas es la sucesio´n definida
por
fn (x− a) = n√
pi
e−n
2(x−a)2
se puede demostrar que al tomar el l´ımite cuando n→∞ se reproduce la definicio´n y todas las propiedades
ba´sicas de la distribucio´n delta de Dirac. No´tese que todas las distribuciones gaussianas contenidas en esta
sucesio´n tienen a´rea unidad y esta´n centradas en a. De otra parte, a medida que aumenta n las campanas
gaussianas se vuelven ma´s agudas y ma´s altas a fin de conservar el a´rea, para valores n suficientemente altos,
el a´rea se concentra en una vecindad cada vez ma´s pequen˜a alrededor de a. En el l´ımite cuando n → ∞,
toda el a´rea se concentra en un intervalo arbitrariamente pequen˜o alrededor de a.
Algunas propiedades ba´sicas son las siguientes:
1.
∫∞
−∞ δ (x− a) dx = 1
2.
∫∞
−∞ f (x) ∇δ (r− r0) dV = − ∇f |r=r0
3. δ (ax) = 1|a|δ (x)
4. δ (r− r0) = δ (r0 − r)
5. xδ (x) = 0
6. δ
(
x2 − e2) = 12|e| [δ (x+ e) + δ (x− e)]
Vale enfatizar que debido a su naturaleza de distribucio´n, la funcio´n delta de Dirac no tiene sentido
por s´ı sola, sino u´nicamente dentro de una integral. Por ejemplo cuando decimos que δ (ax) = 1|a|δ (x), no
estamos hablando de una coincidencia nume´rica entre ambos miembros, sino de una identidad que se debe
aplicar al espacio vectorial de funciones en que estemos trabajando, es decir∫ c
b
f (x) δ (ax) dx =
∫ c
b
f (x)
1
|a|δ (x) dx ∀ f (x) ∈ V y ∀ a ∈ R
Estrictamente, el mapeo tambie´n se puede hacer sobre los nu´meros complejos con propiedades ana´logas. En
este mismo esp´ıritu, es necesario aclarar que la densidad volume´trica equivalente de una carga puntual (y
todas las densidades equivalentes que nos encontremos de aqu´ı en adelante) es realmente una distribucio´n.
Por ejemplo, la densidad descrita por (1.1), solo tiene realmente sentido dentro de integrales tales como las
expresadas en (1.2). Las densidades ordinarias son funciones, pero las densidades equivalentes son distribu-
ciones. En s´ıntesis, lo que se construye con la densidad volume´trica equivalente es una distribucio´n que me
produzca el mapeo adecuado para reproducir la carga total y el potencial3.
En ma´s de una dimensio´n la delta se convierte simplemente en productos de deltas unidimensionales,
la propiedad
∫
δ(n) (x) dnx = 1, aplicada a n dimensiones, nos dice que la delta no es adimensional, sus
dimensiones son de x−n.
1.2. Ley de Gauss
La ley de Coulomb junto con el principio de superposicio´n conducen a una forma integral muy u´til
conocida como ley de Gauss. La ley de Gauss en su forma integral, es u´til cuando queremos evaluar E en
una distribucio´n de cargas con cierta simetr´ıa, o cuando queremos evaluar la carga total encerrada en cierto
3Estos dos mapeos se definen en el espacios de las funciones q (r0) y q (r0) / |r− r
′| en el caso de cargas puntuales. Para
cargas lineales ser´ıan en el espacio de funciones λ (x) y λ (x) / |r − r′|.
1.2. LEY DE GAUSS 7
volumen. Finalmente, la forma integral nos conduce a una forma diferencial con la cual se pueden abordar
casos ma´s generales. De acuerdo con la figura ???, dado un origen de coordenadas O y un punto donde se
ubica la carga O′ podemos construir un diferencial de flujo en la vecindad de la posicio´n definida por el
vector r. El campo electrosta´tico viene dado por
E (r) = Kc
q (r− r′)
|r− r′|3
y el flujo de un campo E (r) sobre un diferencial de superficie dS centrada en r esta´ dado por
E (r) · dS (r) = Kc q (r− r
′) · dS (r)
|r− r′|3
donde r′ define la posicio´n de la carga que genera el campo (con respecto a O). Integrando sobre una
superficie cerrada, se obtiene ∮
E (r) · dS (r) = Kc q
∮
(r− r′) · dS (r)
|r− r′|3
es bien conocido que el integrando del miembro derecho define el diferencial de a´ngulo so´lido subtendido por
el a´rea dS tomando como ve´rtice el punto O ′∮
(r− r′) · dS (r)
|r− r′|3 =
∮
dΩ (1.3)
donde ∮
dΩ =
{
4pi si O′ esta´ dentro de la superficie cerrada
0 si O′ esta´ fuera de la superficie cerrada (1.4)
con lo cual resulta ∮
E (r) · dS (r) = Kc q
∮
dΩ
y teniendo en cuenta (1.4), este resultado se puede expresar de manera equivalente as´ı∮
E · dS = 4piKcq
∫
δ
(
r− r′) dV = 4piKcq{ 1 si O′esta´ dentro0 si O′ esta´ fuera
apelando al principio de superposicio´n esta ley se puede aplicar a cualquier distribucio´n de cargas. Para el
flujo de campo solo contribuye la carga neta que esta´ adentro (suma algebraica de cargas). Obse´rvese que la
ley de Gauss se basa en tres suposiciones fundamentales a) La ley del inverso cuadrado del campo de cargas
puntuales, b) el principio de superposicio´n, c) la naturaleza central de la fuerza.
La expresio´n (1.3) para el a´ngulo so´lido nos permitira´ desarrollar una importante identidad que sera´ de
uso frecuente en nuestros desarrollos, calculemos la divergencia del gradiente de la funcio´n |r− r ′|−1
∇ ·
(
∇ 1|r− r′|
)
≡ ∇2
(
1
|r− r′|
)
el operador ∇ se refiere a las coordenadas no primadas. Haciendo el cambio de variable r¯ = r− r ′ y teniendo
en cuenta que ∇r¯ = ∇ tenemos que
∇2
(
1
|r− r′|
)
= ∇2r¯
(
1
r¯
)
esto es equivalente a redefinir el origen en r′ = 0. Olvidemos la notacio´n r¯ y calculemos expl´ıcitamente esta
cantidad para r 6= 0; en tal caso escribiendo el operador laplaciano en coordenadas esfe´ricas vemos que solo
aparece la derivada con respecto a la coordenada r debido a la simetr´ıa esfe´rica de 1/r
∇2
(
1
r
)
=
1
r
∂2
∂r2
(
r
1
r
)
= 0
8 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
pero para r = 0 esta expresio´n esta´ indeterminada. No obstante, veremos el comportamiento de esta expre-
sio´n bajo una integral de volumen en una cierta vecindad de r = 0∫
V
∇2
(
1
r
)
dV =
∫
∇ ·
[
∇
(
1
r
)]
dV =
∮ [
∇
(
1
r
)]
· n dS
=
∮ [
− r
r3
]
· dS = −
∮
dΩ = −4pi (1.5)
donde hemos aplicado el teorema de Gauss y la Ec. (1.3). Vemos entonces que ∇2 (1r) = 0 para r 6= 0 en
tanto que su integral en un volumen que contiene a r = 0 es 4pi, reasignando r→ r− r ′ resulta entonces que∫
V
∇2
(
1
|r− r′|
)
dV = −4pi
{
1 si el volumen incluye al punto r′
0 si el volumen no incluye a r′ (1.6)
no´tese que en (1.5) hemos usado el teorema de Gauss a pesar de que la funcio´n no es bien comportada en
el volumen en cuestio´n, esto es inconsistente si tomamos a ∇2
(
|r− r′|−1
)
como una funcio´n ordinaria. Lo
que realmente estamos haciendo es considerando a ∇2
(
|r− r′|−1
)
como una distribucio´n y encontrando cual
es el mapeo que nos permite asignar un valor a la integral de volumen de modo que nos permita usar el
teorema de Gauss. Notemos que precisamente la Ec. (1.6) emula la propiedad fundamental de la delta de
Dirac en tres dimensiones de modo que
∇2
(
1
|r− r′|
)
= −4piδ (r− r′) (1.7)
esta identidad sera´ de uso muy frecuente.
1.2.1. Ley de Gauss en forma diferencial
Partiendo de la ley de Gauss, escribimos la carga total como una integracio´n volume´trica de la densidad∮
E · dS = 4piKcq = 4piKc
∫
ρ (r) dV
esto siempre es posible incluso si la densidad es lineal, superficial o puntual, ya que podemos constru´ır una
densidad volume´trica equivalente, como veremos ma´s adelante. Por otro lado el teorema de la divergencia
nos dice que ∮
E · dS =
∫
(∇ · E) dV
comparando las integrales de volumen∫
(∇ ·E) dV = 4piKc
∫
ρ (r) dV
al ser esto va´lido para un volumen arbitrario en forma y taman˜o se tiene
∇ · E = 4piKcρ (r)
Esta ecuacio´n es va´lida para cualquier distribucio´n esta´tica de cargas, y me dice que las cargas positivas
(negativas) son fuentes (sumideros) de l´ıneas de campo ele´ctrico. Sin embargo, veremos ma´s adelante que
esta ecuacio´n se extrapola al caso de campos dependientes del tiempo.
1.2. LEY DE GAUSS 9
1.2.2. Potencial electrosta´tico
El campo ele´ctrico generado por una carga puntual esta´tica es conservativo en virtud de su naturaleza
central y de su independencia temporal. Por otro lado, la superposicio´n de campos conservativos genera otro
campo tambie´n conservativo, de lo cual se sigue que cualquier campo ele´ctrico generado por una distribucio´n
esta´tica de cargas (cont´ınuas o discretas) es conservativo. Matema´ticamente, un campo conservativo se puede
escribir como E = −∇φ, siendo φ una funcio´n escalar. La funcio´n escalar asociada al campo ele´ctrico se
conoce como potencial
Por otro lado, si recordamos que F = qE para una carga de prueba q, resulta que la fuerza F sobre
la carga de prueba es conservativa y se le asocia una energ´ıa potencial F = −∇Ep. De esto se deduce
que φ = Ep/q de modo que el potencial es la energ´ıa potencial por unidad de carga generada por cierta
distribucio´n. El hecho de que el potencial sea una cantidad escalar con la misma informacio´n F´ısica del
campo, es una ventaja operativa, pero tambie´n surge la pregunta ¿como un objeto con un solo grado de
libertad puede contener la misma informacio´n que uno de tres grados de libertad?, la respuesta es que las
componentes del campo ele´ctrico no son realmente independientes, puesto que ∇× E = 0, nos brinda tres
ecuaciones diferenciales para las componentes de dicho campo4. Cabe mencionar que el potencial obedece
a un principio de superposicio´n, heredado del campo. Finalmente, es importante tener en cuenta que existe
una arbitrariedad en la definicio´n del potencial, para lo cual es necesario fijar el punto del espacio en el cual
definimos el potencial cero. Esto no es ninguna contradiccio´n ya que el potencial no es un observable f´ısico
como veremos ma´s adelante, el observable es la diferencia de potencial.
Escribamos el campo ele´ctrico para una distribucio´n arbitraria de cargas
E (r) = Kc
∫
dq (r′) (r− r′)
|r− r′|3
Va´lido para distribucio´n cont´ınua. Usando
−∇
(
1
|r− r′|
)
=
r− r′
|r− r′|3 (1.8)
el campo queda
E (r) = −Kc
∫
dq
(
r′
) ∇( 1|r− r′|
)
y como ∇ opera sobre la variable r pero no sobre r′, puede salir de la integral
E (r) = −∇
[
Kc
∫
dq (r′)
|r− r′|
]
Definiendo
E = −∇φ (r) ; φ (r) ≡ Kc
∫
dq (r′)
|r− r′| (1.9)
y φ (r) es el potencial escalar electrosta´tico5 . En esta ecuacio´n podemos tomar ∇2 a ambos lados
∇2φ (r) ≡ Kc∇2
∫
dq (r′)
|r− r′| = Kc
∫
dq
(
r′
) ∇2( 1|r− r′|
)
usando la identidad (1.7)
∇2
(
1
|r− r′|
)
= −4piδ (r− r′) (1.10)
4Es importante enfatizar que au´n quedan grados de libertad, gracias a que estas tres ecuaciones son ecuaciones diferenciales
de primer orden (estos grados de libertad se traducen en el potencial y en la arbitrariedad para definirlo). Si las ecuaciones solo
involucraran a los campos en s´ı, no quedar´ıa ningu´n grado de libertad.
5Esta expresio´n para el potencial depende de que se defina el cero de potencial en el infinito. Por esta razo´n, la forma integral
t´ıpica del potencial puede diverger cuando se trabajan distribuciones de carga no localizadas.
10 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
queda
∇2φ (r) = −4piKc
∫
dq
(
r′
)
δ
(
r− r′) = −4piKc ∫ ρ (r′) δ (r− r′) dV ′ = −4piKcρ (r)
Con lo cual queda
∇2φ (r) = −4piKcρ (r) (1.11)
Conocida como la ecuacio´n de Poisson para el potencial escalar. Esta ecuacio´n tambie´n se puede obtener de
la ley de Gauss en forma diferencial junto con la conservatividad del campo
∇ ·E = 4piKcρ (r) ⇒∇ · (−∇φ) = 4piKcρ (r) ⇒∇2φ (r) = −4piKcρ (r)
Para un conjunto de cargas puntuales qi ubicadas en las posiciones ri, se puede definir una densidad
volume´trica equivalente que me permite usar la formulacio´n en el cont´ınuo, tal distribucio´n equivalente
se describe por
ρ
(
r′
)
=
N∑
i=1
qiδ
(
r′−ri
)
Demostremos que el ρ equivalente para una distribucio´n discreta nos da el potencial correcto
φ (r) = Kc
∫
ρ (r′)
|r− r′|dV
′ = Kc
∑
i
qi
∫
δ (r′−ri)
|r− r′| dV
′ = Kc
∑
i
qi
|r− ri|
por otro lado
∇×E = −∇× (∇φ) = 0 (1.12)
ya que el rotacional del gradiente de una funcio´n escalar bien comportada es siempre cero. Esta es otra
forma equivalente de ver la conservatividad del campo, todos los campos conservativosson irrotacionales y
viceversa (siempre y cuando el campo dependa exclusivamente de la posicio´n). Ahora usando el teorema de
Stokes ∫
S
(∇×E) · dS =
∮
C
E · dl = 0
donde S es cualquier superficie delimitada por el lazo cerrado C. Vemos entonces que toda integral de l´ınea
cerrada del campo electrosta´tico es cero. Ahora sean dos caminos que pasan por los mismos puntos A y B ⇒∮
E · dl =
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C1
+
∫ A
B
E · dl
∣∣∣∣
C2
= 0
⇒
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C1
−
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C2
= 0
de lo cual se deduce que ∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C1
=
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C2
y como los puntos A y B son arbitrarios (en virtud de la arbitrariedad de los lazos cerrados originales),
se deduce que la integral de l´ınea del campo ele´ctrico es independiente del camino y solo depende de
los extremos, es entonces un campo conservativo. Hay que tener especial cuidado con los campos mal
comportados. Como ejemplo, sea F (r) = (A/r)uθ, una fuerza restringida a dos dimensiones. El diferencial
de trabajo es dW = F · dr = (A/r)uθ · (dr ur + r dθ uθ) = (A/r) r dθ calculemos el trabajo para varias
trayectorias
1) Trayectoria cuyos vectores posicio´n inicial y final esta´n a un a´ngulo θ1 y θ2 respectivamente
W =
∫
Adθ = A (θ2 − θ1)
1.2. LEY DE GAUSS 11
independiente de la trayectoria, solo importan los extremos e incluso solo el a´ngulo (no la distancia)
2) Trayectoria cerrada que no encierra al origen
W =
∫ r2
r1
A dθ +
∫ r1
r2
A dθ = 0
da cero independiente de la forma espec´ıfica de la trayectoria (siempre que no incluya el origen)
3) Trayectoria cerrada que encierra al origen
W =
∫ 2pi
0
A dθ = 2piA 6= 0
Luego la fuerza no es conservativa, la cuestio´n es que ∇×F = 0 en todo el espacio excepto en el origen, de
modo que un camino cerrado que contenga al origen no da necesariamente cero.
Se puede probar que un campo central de la forma E (r) = E (ρ) uρ con ρ en coordenadas esfe´ricas
es conservativo si E (ρ) es una funcio´n bien comportada. Se puede calcular el rotacional de este campo y
verificar que es cero en todo el espacio. De especial intere´s son los campos de la forma
M (r) = k
∫
df (r′) (r− r′)
|r− r′|n+1 n = real
Se puede verificar que ∇×M = 0, y el potencial asociado se puede encontrar teniendo en cuenta que
(r− r′)
|r− r′|n+1 =
{
1
n−1∇
(
1
|r−r′|n−1
)
si n 6= 1
∇ ln |r− r′| si n = 1
1.2.3. Potencial y trabajo
La coleccio´n de todos los puntos con el mismo potencial forman las llamadas superficies equipotenciales.
Como E = −∇φ, las l´ıneas de campo son perpendiculares a tales superficies, y el campo va en la direccio´n
en la cual el potencial disminuye, veamos el sentido F´ısico del potencial: consideremos el trabajo realizado
sobre una carga q puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de un campo
ele´ctrico
Wa→b =
∫ b
a
Fext · dr = −q
∫ b
a
E · dr = q
∫ b
a
∇φ · dr
Wa→b = q
∫ b
a
dφ = q [φ (b)− φ (a)]
el signo menos proviene del hecho de que la fuerza se hace opuesta al campo. Dividiendo por la carga
Wa→b
q
= φ (b)− φ (a) = −
∫ b
a
E · dr
De modo que la diferencia de potencial asociada al campo E es el trabajo realizado sobre una carga unidad
q puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de dicho campo ele´ctrico.
Es importante mencionar que el trabajo solo depende de la diferencia de potencial y que E = −∇φ deja
una constante arbitraria por definir en el potencial. φ′ = φ + c describe la misma F´ısica que φ. Esto se
llama una transformacio´n Gauge o de calibracio´n (transformacio´n del campo). El campo y el trabajo son
invariantes Gauge. La forma ma´s general del potencial es entonces
φ (r) = Kc
∫
ρ (r′) dV ′
|r− r′| + φ0
12 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
Para fijar la constante escojemos un punto de referencia para definir el cero de potencial. Tomemos el ejemplo
de la carga puntual; en coordenadas polares tenemos:∫ b
a
E · dr = KcQ
∫ b
a
1
r2
ur · (dr ur + rdθ uθ) = Kc
∫ b
a
Q
r2
dr = −Kc Q
r
∣∣∣∣b
a
= KcQ
(
1
ra
− 1
rb
)
= φ (a)− φ (b)
de modo que
φ (a) = KcQ
(
1
ra
− 1
rb
)
+ φ (b)
si hacemos ra = r, rb →∞ tenemos que
φ (r) =
KcQ
r
+ φ (∞)
la escogencia φ (∞) = 0 siempre es posible en distribuciones localizadas de carga, pues estas se ven de lejos
siempre como puntuales. Cuando hay distribuciones de carga no localizadas como en el caso de un alambre
infinito, la escogencia del cero de potencial en el infinito conduce por lo general a divergencias.
Discusio´n: En general s´ı es posible definir el cero de potencial en un punto en el infinito incluso cuando
la carga no esta´ localizada. Sin embargo, en tal caso no es correcto definir el potencial cero cuando r →∞
(r distancia del punto a un origen de coordenadas). La razo´n para ello es que r → ∞ no define un punto
sino una superficie, y no debemos perder de vista que el potencial debe ser fijado en un punto y no en
una superficie. La pregunta natural es ¿porque´ la definicio´n del cero de potencial en r →∞ es va´lida para
distribuciones localizadas?, la respuesta radica en el hecho de que para distancias suficientemente grandes, la
distribucio´n se puede ver como una carga puntual, esto significa que para una esfera suficientemente grande
y “centrada” en la distribucio´n, la superficie de dicha esfera es equipotencial, de modo que definir cero el
potencial en un punto de su superficie equivale a definirlo cero en todos los puntos de la superficie. Cuando
la distribucio´n no es localizada, no podemos verla como puntual, incluso aleja´ndonos indefinidamente, por
tanto esta enorme esfera no define una superficie equipotencial.
Veamos el ejemplo espec´ıfico de un alambre infinito, si ri define la distancia del punto Pi al alambre,
tenemos que
φ21 = −
∫ P2
P1
E · dS = −2λ ln r2 + 2λ ln r1 = −2λ ln r + const
Escogemos φ (a) = 0 con a arbitrario (a 6= 0, a 6= ∞). Si elegimos el cero de potencial en un punto espec´ıfico
en el infinito (por ejemplo el punto (0, 0, z →∞)), vamos a obtener potenciales infinitos en todo el espacio.
Sin embargo, las diferencias de potencial (que son los verdaderos observables f´ısicos) van a continuar siendo
finitas. Hay que tener en cuenta sin embargo que las distribuciones reales son localizadas.
1.3. Energ´ıa potencial electrosta´tica
Dado el cara´cter conservativo del campo electrosta´tico, el trabajo realizado para traer una carga desde
a hasta b en un potencial externo φ (r) es
Wa→b = −q
∫ b
a
E · d~l = q [φ (b)− φ (a)]
De esta manera podemos asociar una energ´ıa potencial a una carga q, en cada punto r del espacio, y
sera´ equivalente al trabajo necesario para mover la carga desde un punto de referencia donde el potencial
1.3. ENERGI´A POTENCIAL ELECTROSTA´TICA 13
es cero hasta el punto r en cuestio´n6. Para distribuciones localizadas de carga es usual definir el cero de
potencial en el infinito, en tal caso
W∞→r = qφ (r) = U (r) = energı´a potencial asociada a la carga q
Calculemos ahora el trabajo necesario para formar una distribucio´n esta´tica de cargas puntuales.
Para estimar este trabajo podemos razonar del siguiente modo: El trabajo necesario para traer la primera
carga es cero, ya que no hay fuerzas ni campos a los cuales oponerse, de modo que el trabajo necesario para
traer la primera carga (denotado por W1) es nulo. Al traer la segunda carga desde el infinito e´sta ya se
mueve en el campo generado por la primera, y como la primera carga genera un potencial φ1 (r) entonces el
trabajo para traer la segunda carga desde el infinito hasta una cierta posicio´n r2 es
W2 = q2φ1 = Kc
q1q2
r12
ana´logamente, la tercera carga se mueve en el campo generado por las dos primeras
W3 = q3 (φ1 + φ2) = Kcq3
(
q1
r13
+
q2
r23
)
= Kc
(
q1q3r13
+
q2q3
r23
)
si el sistema solo consta de tres cargas el trabajo total es
WT = W1 +W2 +W3 = Kc
(
q1q2
r12
+
q1q3
r13
+
q2q3
r23
)
esto sugiere que para n cargas la expresio´n sea
WT =
n−1∑
i=1
n∑
k>i
Kcqiqk
rik
se sugiere al lector demostrar la anterior expresio´n por induccio´n matema´tica. Tambie´n se deja al lector la
tarea de demostrar que este trabajo total coincide con el valor de la energ´ıa potencial interna del sistema
Uint, es decir la energ´ıa potencial asociada con las fuerzas internas. Esta expresio´n se puede escribir como
WT = Uint =
1
2
n∑
i=1
n∑
k 6=i
Kcqiqk
rik
(1.13)
donde el factor 1/2 se coloca debido al doble conteo de te´rminos, adema´s k 6= i lo cual implica que una
part´ıcula no interactu´a consigo misma. Por otro lado, si tenemos en cuenta que
φi =
n∑
k 6=i
Kcqk
rik
donde φi es el potencial asociado a la carga qi debido a su interaccio´n con las otras cargas. La energ´ıa interna
se puede escribir como
Uint =
1
2
n∑
i=1
qiφi (1.14)
Esta expresio´n no contiene la autoenerg´ıa asociada a cada carga individual, pues asume que las cargas ya
esta´n armadas, esto se ve´ en el hecho de que φi es el potencial debido a todas las cargas excepto la i− e´sima.
Solo contiene los te´rminos debidos a la interaccio´n entre las cargas. Estas autoenerg´ıas son divergentes pero
se pueden renormalizar. Como veremos ma´s adelante, cuando asumimos distribuciones cont´ınuas de cargas
estos te´rminos de autoenerg´ıa aparecen en la formulacio´n sin dar divergencias (siempre y cuando la densidad
sea finita en todo el espacio).
6Esto es ana´logo a la energ´ıa potencial asociada a una part´ıcula en un campo gravitatorio. Cuando estamos en un campo
gravitatorio constante la energ´ıa potencial es mgh donde h = 0 se define por ejemplo en el suelo. Esta energ´ıa potencial es
justamente el trabajo necesario para que una part´ıcula de masa m se traslade desde el cero de potencial hasta un punto con
altura h.
14 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
1.3.1. Distribuciones cont´ınuas de carga
Formaremos la distribucio´n volume´trica trayendo elementos diferenciales de carga desde el infinito. La
naturaleza conservativa de las interacciones electrosta´ticas nos garantiza que la energ´ıa total final de la
distribucio´n es independiente del orden en que se traigan las cargas (de lo contrario esta cantidad no tendr´ıa
ningu´n significado intr´ınseco).
Pensemos que queremos concentrarnos en armar la carga que finalmente quedara´ en un volumen dV (r),
denotemos el valor final de la densidad asociada a dV (r) como ρ (r). Supongamos que en cierta etapa del
proceso hemos acumulado una carga dq ′ en el volumen dV (r), por lo tanto se tiene que dq ′ = ρ′ (r) dV (r)
de modo que ρ′ (r) es la densidad de carga en r en esta etapa del proceso. Parametricemos ρ′ (r) = αρ (r)
donde 0 ≤ α ≤ 1. Si asumimos que α es independiente de la posicio´n y tomamos la ecuacio´n de Poisson
∇2φ (r) = −4piKcρ ⇒ ∇2 [αφ ( r)] = −4piKc (αρ) y como ∇2φ′ (r) = −4piKcρ′ = −4piKc (αρ) se concluye
que φ′ (r) = αφ (r).
Ahora traemos desde el infinito una carga adicional dq hasta el elemento de volumen dV (r), la carga en
este volumen es ahora dq” (r) = (α+ dα) ρ (r) dV (r). El incremento es claramente dq (r) = (dα) ρ (r) dV (r).
El trabajo realizado para traer dq es
dW = φ′ (r) dq = [αφ (r)] [(dα) ρ (r) dV (r)] = αdα ρ (r)φ (r) dV (r)
Ahora bien, para traer elementos dq (r) para cada elemento de volumen dV (r) se requiere un trabajo
dW ′ = α dα
∫
V
ρ (r)φ (r) dV (r)
este trabajo au´n no es el trabajo total, ya que todav´ıa falta seguir trayendo cargas diferenciales a cada
elemento de volumen hasta completar la carga total que debe tener cada dV (r), es decir hasta que la
densidad sea ρ (r). Esto se describe matema´ticamente integrando en α desde cero hasta uno.
W =
∫ 1
0
α dα
∫
V
ρ (r)φ (r) dV (r)
W =
1
2
∫
V
ρ (r)φ (r) dV (1.15)
obse´rvese que hemos supuesto que α no depende del elemento de volumen en el cual este´ definido, es decir
no depende de la posicio´n. Esto simplemente implica que para cada elemento de volumen se trae un dq (r)
que contenga la misma fraccio´n de la carga total final en cada elemento de volumen, pero como el me´todo de
construccio´n no afecta, esto no le quita generalidad al problema. Se puede observar que la expresio´n (1.15)
coincide con el paso al cont´ınuo de la expresio´n (1.14).
La integral de volumen se realiza solo donde hay carga. Sin embargo, la integral se puede extender sobre
todo el espacio teniendo en cuenta que en las regiones donde no hay carga ρ = 0, y no van a contribuir. Al
usar todo el espacio podemos escribir
φ (r) =
∫
ρ (r′) dV ′
|r− r′| (1.16)
de modo que
Uint =
1
2
∫ ∫
ρ (r) ρ (r′) dV dV ′
|r− r′|
que coincide con el paso al cont´ınuo de (1.13). Este me´todo de ca´lculo nos asocia la energ´ıa directamente a
las cargas, como si la energ´ıa residiera en las cargas ya que en los sitios de ρ = 0 no hay contribucio´n a U int.
Un desarrollo adicional permite asociar la energ´ıa con el campo electrosta´tico (como si la energ´ıa residiera
en el campo). Partiendo de (1.15) escribimos
Uint =
1
2
∫
V
ρφ dV =
1
8piKc
∫
V
(4piKcρ)φ dV =
1
8piKc
∫
V
φ (∇ · E) dV
=
1
8piKc
∫
V
[∇ · (Eφ)−E · ∇φ] dV
1.3. ENERGI´A POTENCIAL ELECTROSTA´TICA 15
usando el teorema de la divergencia y el hecho de que E = −∇φ
W =
1
8piKc
∫
Eφ·dS + 1
8piKc
∫
E2dV (1.17)
Para dilucidar sobre que´ volumen estamos integrando, recordemos que se partio´ de la Ec. (1.15). Por tanto
el volumen de integracio´n es aque´l que contiene a toda la distribucio´n de carga. Sin embargo, podemos
extender el volumen sin alterar la integral puesto que las partes del volumen que no contienen carga no
contribuyen a dicha integral. En consecuencia, la expresio´n (1.17), es va´lida para cualquier volumen y
superficie que lo delimita, siempre y cuando toda la carga este´ contenida en el volumen. Una eleccio´n astuta
para distribuciones localizadas de carga es extender el volumen y la superficie hasta el infinito de modo que
E ' Q/r2, φ ' Q/r y S ∼ r2 de modo que todo el integrando de superficie se comporta como 1/r y tiende
a cero. Finalmente tenemos
W =
1
8piKc
∫
todo el espacio
E2dV (1.18)
De modo que la energ´ıa aparece como almacenada en el campo. Esta interpretacio´n nos permite definir la
densidad de energ´ıa del campo electrosta´tico como
ε ≡ E
2
8piKc
; Uint =
∫
ε dV
Queda la pregunta, A que se asocia la energ´ıa a las cargas o al campo?, la respuesta es que la energ´ıa
se asocia al sistema de part´ıculas pero no se puede asociar a porciones de carga o a porciones del espacio
(el te´rmino E2/8piKc que definimos como densidad de energ´ıa, no se puede medir experimentalmente
7). A
priori podr´ıamos pensar que a cada carga se le puede asociar una porcio´n de esta energ´ıa, si esto es posible
debe ser de una manera un´ıvoca. Pensemos que al armar un sistema de cargas puntuales asociamos a cada
part´ıcula la porcio´n de energ´ıa asociada al potencial en el cual se movio´ cuando se trajo desde el infinito, en
ese caso a la primera no le corresponde nada, a la segunda le corresponde la energ´ıa necesaria para traerla
desde el infinito hasta el punto donde se dejo´, lo cual se hizo en presencia del campo generado por la primera
carga y as´ı sucesivamente, pero esta forma no es un´ıvoca ya que las cargas se pueden traer en cualquier
orden y las porciones asignadas son diferentes para cada orden.
En conclusio´n, las interpretaciones como energ´ıa asociada a la carga o al campo son solo me´todos de
ca´lculo, en la primera interpretacio´n con cargas solo importa el espacio que tiene carga, en el segundo solo
importan las regiones donde hay campo. Son dos formas diferentes de sumar, as´ı como lo son las diferentesmaneras de traer las cargas, pero el me´todo particular de hacer la suma no tiene significado intr´ınseco8.
Cuando intentamos calcular la energ´ıa potencial de una distribucio´n de cargas puntuales a trave´s de
la expresio´n (1.18) obtenemos divergencias debido a la autoenerg´ıas de las part´ıculas. Veamos un ejemplo
concreto: dos cargas puntuales q1, q2 ubicadas en las coordenadas r1 y r2. El campo ele´ctrico esta´ descrito
por
E = Kc
[
q1 (r− r1)
|r− r1|3
+
q2 (r− r2)
|r− r2|3
]
E2
8piKc
=
K2c q
2
1
8piKc |r− r1|4
+
K2c q
2
2
8piKc |r− r2|4
+
K2c q1q2 (r− r1) · (r− r2)
4piKc |r− r1|3 |r− r2|3
los dos primeros te´rminos correspondientes a la autoenerg´ıa de las part´ıculas son intr´ınsecos de las part´ıculas
y no se intercambian ni se modifican por el hecho de que las part´ıculas se muevan, solo podr´ıan ser relevantes
7Obse´rvese adema´s que la Ec. (1.15) nos brinda otra posible definicio´n de densidad de energ´ıa i.e. ε = 1
2
ρφ. De acuerdo
con esta definicio´n la densidad de energ´ıa en las regiones sin carga es cero, lo cual en general no es cierto cuando asumimos
ε = E2/8piKc.
8Cuando estudiemos campos dependientes del tiempo, veremos que la forma E2/8pi es la mas adecuada para definir densidad
de energ´ıa. Pero en el caso esta´tico, la densidad de energ´ıa no tiene significado F´ısico, debido a que ninguna porcio´n de volumen
esta´ intercambiando energ´ıa con otra.
16 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
si la interaccio´n entre las part´ıculas es tan fuerte que revela su estructura interna, en cuyo caso tenemos
que abandonar la abstraccio´n de part´ıculas puntuales. Las autoenerg´ıas divergen debido a que se producen
singularidades para r→ r1 y para r→ r2. El u´ltimo te´rmino se debe a la interaccio´n entre las dos part´ıculas
y se puede calcular de la forma siguiente.
Kc
∫
q1q2 (r− r1) · (r− r2)
4pi |r− r1|3 |r− r2|3
dV =
Kcq1q2
4pi
∫
∇
(
1
|r− r1|
)
· ∇
(
1
|r− r2|
)
dV
=
Kcq1q2
4pi
{∫
∇ ·
[
1
|r− r1|∇
(
1
|r− r2|
)]
dV −
∫
∇2
[(
1
|r− r2|
)]
1
|r− r1|dV
}
=
Kcq1q2
4pi
{∫ [
1
|r− r1|∇
(
1
|r− r2|
)]
· dS + 4pi
∫
δ (r− r2) 1|r− r1|dV
}
=
Kcq1q2
4pi
{∫ [
(r− r2)
|r− r1| |r− r2|3
]
· dS + 4pi 1|r2 − r1|
}
como la carga es localizada, la superficie donde se define la primera integral es el infinito en el cual el
integrando decae como 1/r3 en tanto que la superficie crece como r2 de modo que esta integral de anula. El
te´rmino de interaccio´n queda
Uint =
Kcq1q2
|r2 − r1|
el cual coincide con el ca´lculo ya realizado en el caso discreto, Ec. (1.14). Sin embargo, cuando se usa (1.14),
no resultan los infinitos de autoenerg´ıa como ya se discutio´, la razo´n es que en el caso discreto el potencial φ i
excluye la contribucio´n de autointeraccio´n. En contraste, se puede ver que en el caso cont´ınuo descrito por
(1.15), el potencial φ (r) s´ı incluye la contribucio´n del diferencial de carga centrado en r. Cuando la densidad
es bien comportada, la inclusio´n de este te´rmino no afecta el resultado ya que es despreciable, pero para
puntos en donde la densidad tiene singularidades (como en cargas puntuales), estas contribuciones divergen
9.
————————————————-
Calculemos ahora la fuerza experimentada por la superficie de un conductor de carga superficial σ en
este caso la densidad y el campo ele´ctrico esta´n relacionados de modo que
ε =
E2
8piKc
=
2pi
Kc
σ2
para llevar un elemento de superficie de 1 a 2 se realiza un trabajo ∆W = ∆F ∆x = ε∆V
∆F =
ε∆V
∆x
= ε∆A⇒ ∆F
∆A
= ε =
2pi
Kc
σ2
este resultado tambie´n se puede derivar tomando εσ teniendo presente que el campo ele´ctrico debido al
elemento mismo debe ser exclu´ıdo (Jackson second ed. pag. 48).
1.4. Ecuaciones de campo
Tenemos las dos ecuaciones de campo
∇ ·E = 4piKcρ (r) ; ∇×E = 0 (1.19)
9Obse´rvese por ejemplo que si las cargas q1 y q2 son de signo opuesto, el ca´lculo con (1.14) da un valor negativo en tanto
que la Ec. (1.18) esta´ definida positiva. Esto se debe a que las autoenerg´ıas son divergentes positivas.
1.4. ECUACIONES DE CAMPO 17
El conocimiento de la divergencia y el rotacional de un campo especifican el valor del campo salvo por un
factor adicional que ser´ıa el gradiente de una funcio´n escalar que satisfaga la ecuacio´n de Laplace en todo
el espacio. Es decir si E es solucio´n de estas ecuaciones vectoriales entonces E ′ tambie´n es solucio´n si
E′ = E +∇ϕ con ∇2ϕ = 0 en todo el espacio
pero si ∇2ϕ = 0 en todo el espacio entonces ϕ puede ser a lo ma´s una constante, de modo que E ′ = E. Sin
embargo, en la mayor´ıa de problemas reales de la F´ısica, conocemos la densidad ρ solo en una cierta regio´n R
del espacio. En tal caso conocemos la divergencia y el rotacional del campo electrosta´tico pero solo dentro
de la regio´n R. Esto nos indica que ∇2ϕ = 0 en la regio´n R, pero no necesariamente en todo el espacio, lo
cual implica que la solucio´n para ϕ puede ser no trivial y tenemos problemas con la unicidad de E. Desde
el punto de vista F´ısico, esto es de esperarse puesto que el conocimiento de la densidad en cierta regio´n del
espacio, no nos excluye de la influencia de las densidades externas, las cuales por principio de superposicio´n
tambie´n afectara´n el campo. Este sencillo argumento F´ısico nos dice que hay infinitas soluciones para E
cuando solo se conoce la densidad en una cierta regio´n del espacio. Esto indica que las ecuaciones anteriores
solo son u´tiles en alguno de los siguientes casos
Conocemos la distribucio´n de carga en todo el universo
La distribucio´n de carga en R esta´ lo suficientemente aislada de otras cargas, con lo cual asumir que la
densidad de carga es ρ (r) en el interior de R y cero fuera de R constituye una aproximacio´n razonable.
Conocemos la densidad de carga en R e ignoramos la carga fuera de dicha regio´n, pero en cambio
conocemos ciertas condiciones en la frontera de R que hacen que la solucio´n de la ecuaciones anteriores
sean u´nicas.
Esta u´ltima posibilidad esta´ inspirada en un argumento F´ısico y otro Matema´tico. F´ısicamente, sabemos
que en algunos sistemas como los conductores electrosta´ticos, aunque no conozcamos la distribucio´n de carga
exterior, conocemos ciertos efectos netos que la interaccio´n de la carga externa con la interna producen:
que la superficie del conductor sea un equipotencial. Desde el punto de vista matema´tico, sabemos que
las ecuaciones diferenciales parciales tienen solucio´n u´nica bajo cierto tipo espec´ıfico de condiciones en la
frontera.
Como ya vimos, las ecuaciones (1.19) se pueden sintetizar en una sola: la ecuacio´n de Poisson (1.11),
que en el caso homoge´neo se reduce a la ecuacio´n de Laplace. Esta ecuacio´n muestra de nuevo las ventajas
de trabajar con el potencial
1. La ecuacio´n para el potencial (Poisson o Laplace) es una sola, en tanto que las ecuaciones de los
campos son dos (divergencia y rotacional).
2. Esta u´nica ecuacio´n se define sobre un campo escalar, y no sobre un campo vectorial.
3. En esta ecuacio´n es mas fa´cil acomodar las condiciones de frontera.
1.4.1. Ca´lculo de campos
Hay varias te´cnicas para calcular campos electrosta´ticos
1. Utilizando E (r) = Kc
∫ ρ(r′) (r−r′)
|r−r′|3 dV
′ para usarla requerimos saber la distribucio´n de carga en el
universo, o hacer la aproximacio´n de que la distribucio´n de carga que conocemos es la u´nica en el
universo (i.e. asumir que el sistema en cuestio´n esta lo suficientemente aislado)..
2. Usar φ (r) = Kc
∫ ρ(r′)
|r−r′|dV
′ + φ0 y luego E = −∇φ se usa bajo las mismas condiciones anteriores pero
con la ventaja de que se realiza una integracio´n escalar y no vectorial.
18 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
3. Utilizando ley de Gauss
∮
E·dS = 4piKcq, aunque tiene validez general, solo es u´til para casos especiales
conmuy alta simetr´ıa. Espec´ıficamente, su utilidad se restringe al caso en el cual se conoce la forma
de las superficies equipotenciales. En caso contrario resulta ser una ecuacio´n integral muy dif´ıcil de
resolver.
4. Me´todo de ima´genes: tambie´n aplicable solo bajo simetr´ıas muy especiales. Requiere del conocimiento
de algunas superficies equipotenciales.
5. Usando las formas diferenciales ∇2φ = −4piKcρ, o´ ∇2φ = 0, junto con ciertas condiciones de frontera,
como veremos este es el me´todo mas fruct´ıfero.
6. Usando el me´todo de transformaciones conformes: Aplicacio´n de la teor´ıa de la variable compleja a la
ecuacio´n de Laplace. Solo vale para problemas bidimensionales y es en la pra´ctica aplicable solo para
problemas con alta simetr´ıa.
Con mucha frecuencia lo que conocemos es la distribucio´n de carga en el interior y cierta condicio´n sobre
la frontera, pero desconocemos la distribucio´n de carga en el exterior y en la frontera. Es en estos casos en
donde la ecuacio´n de Poisson con condiciones de frontera resulta provechosa.
Veamos un caso particular
Example 1 Placa plana conductora infinita que yace a potencial cero sobre el plano XY, y una carga q en
z = h. Al tratar de usar los me´todos tradicionales se tiene
φ (r) = Kc
∫
ρ (r′) dV ′
|r− r′| + φ0 ; ρ
(
r′
)
= qδ
(
r′
)
+ ρ′
(
r′
)
= qδ
(
r′
)
+ σ
(
r′
)
δ (z)
donde ρ′ (r′) es la carga volume´trica equivalente a la carga superficial σ (r′). El potencial queda
φ (r) = Kcq
∫
δ (x′) δ (y′) δ (z′ − h) dV ′√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
+Kc
∫
ρ′ (r′) dV ′
|r− r′| + φ0
φ (r) =
Kcq√
x2 + y2 + (z − h)2
+Kc
∫
σ (r′) δ (z) dV ′
|r− r′| + φ0
pero σ (r′) es desconocido y no se puede inferir fa´cilmente con la informacio´n sobre el potencial (φ = 0
en z = 0), lo ma´ximo que podemos hacer es reducir la integral por medio de la delta de dirac usando
coordenadas cartesianas o cil´ındricas (la simetr´ıa indica en todo caso que las coordenadas cil´ındricas son
mas apropiadas). Tambie´n podemos decir que por simetr´ıa la densidad en el plano es solo funcio´n de la
distancia al origen, con esto la integral triple se convierte en simple pero no es suficiente para realizar el
u´ltimo paso.
En general, las formas integrales no pueden inclu´ır fa´cilmente las condiciones de frontera. En este caso
particular conocemos fa´cilmente una superficie equipotencial del sistema (plano XY) y se puede usar el
me´todo de ima´genes, pero en casos mas complejos el me´todo resulta inmanejable.
Ahora consideremos el uso de las formas diferenciales. La ecuacio´n de Laplace se puede resolver por
separacio´n de variables en 11 sistemas coordenados diferentes que incluyen pra´cticamente todos los sistemas
coordenados de intere´s f´ısico. Las constantes de integracio´n usualmente se acoplan con facilidad a las condi-
ciones de frontera y las soluciones pueden generalmente expresarse con facilidad en te´rminos de funciones
ortogonales. Por supuesto, tal ecuacio´n solo es va´lida en regiones con ausencia de carga.
La ecuacio´n de Poisson que nos permite solucionar el problema esta´tico mas general, es una ecuacio´n
inhomoge´nea y no admite separacio´n de variables salvo en caso muy simples. Sin embargo, la te´cnica de
Green que veremos mas adelante, hace que el me´todo sea mas manejable.
1.5. UNICIDAD DEL POTENCIAL CON CONDICIONES DE DIRICHLET Y NEUMANN 19
1.5. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann
En general la solucio´n de las ecuaciones diferenciales parciales requiere de condiciones de frontera. En el
caso espec´ıfico electrosta´tico, con frecuencia se conoce el potencial en la superficie (condiciones de Dirichlet) o
la componente normal del campo (equivalentemente la derivada normal del potencial). Si estas condiciones se
definen sobre una superficie cerrada S que delimita a un volumen V , la solucio´n es u´nica como demostraremos
a continuacio´n.
Desarrollemos un par de identidades integrales, partiendo del teorema de la divergencia∫
∇ ·A =
∮
A · dS
y tomando A = φ∇ψ, donde por el momento φ, ψ son campos escalares arbitrarios, reemplazando esta
expresio´n en el teorema de la divergencia∫ [
φ∇2ψ +∇ψ · ∇φ] dV = ∮ [φ∇ψ] · dS (1.20)
La Ec. (1.20) se conoce como primera identidad de Green. Escribiendo de nuevo esta identidad con el
intercambio ψ ↔ φ, y restando∫ [
φ∇2ψ − ψ∇2φ] dV = ∮ [φ∇ψ − ψ∇φ] · dS (1.21)
Esta expresio´n se conoce como segunda identidad de Green o teorema de Green. No´tese que es fundamental
que la superficie sea cerrada ya que partimos del teorema de la divergencia. Lo que se busca es demostrar
la unicidad de la solucio´n de la ecuacio´n de Poisson dentro de un volumen sujeto a condiciones de frontera
sobre S de Dirichlet o Neumann.
Para realizar esta demostracio´n supongamos que existen dos soluciones φ1 y φ2 que satisfacen la ecuacio´n
de Poisson y las mismas condiciones de frontera.
1. Para Dirichlet: φ1|S = φ2|S = φS
2. Para Neumann: ∂φ1∂n
∣∣∣
S
= ∂φ2∂n
∣∣∣
S
= ∂φS∂n
Sea U ≡ φ2 − φ1, entonces ∇2U = ∇2φ2 −∇2φ1 = −4piKcρ+ 4piKcρ = 0
1. US = φ2|S − φ1|S = 0 (Dirichlet)
2. ∂US∂n =
∂φ2
∂n
∣∣∣
S
− ∂φ1∂n
∣∣∣
S
= 0 (Neumann).
Usando la primera identidad de Green (1.20) con φ = ψ = U se obtiene∫ [
U∇2U︸︷︷︸
=0
+ |∇U |2
]
dV =
∮
[U∇U ] · ndS
pero ∇U · n = ∂U/∂n y tenemos ∫
|∇U |2 dV =
∮ [
U
∂U
∂n
]
dS
La integral de superficie es cero tanto para condiciones de Dirichlet (US = 0), como de Neumann (∂US/∂n).
De modo que ∫
|∇U |2 dV = 0 ⇒∇U = 0
puesto que |∇U |2 dV ≥ 0. Esto nos indica que U = cte.
20 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
1. Condiciones de Dirichlet: φ2|S = φ1|S ⇒ US = 0 = cte. Por tanto U = 0 y la solucio´n es u´nica.
2. Neumann: ∂US∂n = 0 =
∂(φ2−φ1)S
∂n ⇒ φ2 − φ1 = cte.
Estos resultados son lo´gicos ya que el conocimiento de φ en la superficie requiere de haber definido el
cero de potencial en tanto que el conocimiento de la derivada au´n deja la constante arbitraria sin fijar.
En general la especificacio´n de condiciones de Neumann y Dirichlet simulta´neamente sobre una regio´n de
la superficie conduce a contradiccio´n. Sin embargo, la unicidad de la solucio´n (salvo una posible constante),
se sigue cumpliendo si empleamos condiciones mixtas, en donde las regiones de Dirichlet y Neumann sean
disyuntas. Vale mencionar que estos teoremas de unicidad son teoremas matema´ticos va´lidos para funciones
escalares arbitrarias φ y ρ que cumplan con la ecuacio´n de Poisson, aunque estas funciones no tengan ninguna
relacio´n con problemas electrosta´ticos.
1.6. Teoremas de unicidad para campo vectoriales
Como corolario de los anteriores teoremas de unicidad obtenemos el siguiente teorema de unicidad para
un campo vectorial (en nuestro caso los campos vectoriales de intere´s sera´n el campo ele´ctrico y el campo
magne´tico)
Theorem 2 Un campo vectorial esta´ un´ıvocamente especificado si se conocen la divergencia y el rotacional
dentro de una regio´n simplemente conexa y su componente normal en la superficie que delimita a dicha
regio´n.
Asumamos que en la regio´n en cuestio´n la divergencia y el rotacional del campo vectorial V esta´ dada
por
∇ ·V = s ; ∇×V1 = c (1.22)
a s usualmente se le llama un te´rmino de fuente (densidad de carga en nuestro caso) y a c una densidad
de circulacio´n (densidad de corriente en nuestro caso). Asumiendo que conocemos V1n en la superficie que
delimita la regio´n, asumamos que existen dos soluciones V1 y V2 definimos
W = V1 −V2
claramente el rotacional y divergencia de W son nulos
∇ ·W = 0 ; ∇×W = 0 (1.23)
dado que W es irrotacional, podemos expresarlo como
W = −∇φ (1.24)
y tomando la divergencia a ambos lados de (1.24) y teniendo en cuenta (1.23) queda
∇ ·W = −∇ · ∇φ = 0 ⇒ ∇2φ = 0
claramente tenemos que
Wn,s = V1n,s − V2n,s = 0
y
Wn,s = (W · n)s = − ∇φ · n|s = −
∂φ
∂n
∣∣∣∣
s