(ETSI Aeronáuticos) F. Bugallo Siegel Análisis de Circuitos Eléctricos ETSIA Universidad Politécnica de Madrid (UPM)

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Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 
SÍMBOLOS, NOTACIONES Y UNIDADES 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
La simbología utilizada en los esquemas de los circuitos eléctricos es muy amplia y aunque existe 
una tendencia a su normalización, en la actualidad hay una diversidad de símbolos para el mismo 
concepto que el uso de uno u otro símbolo depende del autor del texto. En este capítulo se 
presentan los símbolos que más se utilizan en los tratados de electricidad españoles y que, en su 
gran mayoría, siguen los tratados de otros países traducidos al castellano. 
Dentro de este apartado se asocian los símbolos y definiciones de potencial y diferencia de 
potencial, así como de la corriente eléctrica según la concepción clásica de la misma. En textos 
consultados, la definición de corriente es distinta, contraria a la que aquí se expone, pero no por 
ello invalida los conceptos que aquí se vierten, sino que a la hora de aplicarlos en dichos textos 
habrá que alterar el sentido de la corriente. 
 
A fin de que se proporcionen resultados lo más coherentes posibles, en consonancia con los 
datos que se indican en los problemas propuestos, se dan una serie de nociones sobre la 
posibles notaciones numéricas, sobre el concepto de cifra significativa y por último sobre el 
redondeo al cinco, todo ello con el fin de ajustar los resultados numéricos a los datos iniciales de 
los problemas. 
 
Por último, se relacionan las unidades básicas y suplementarias del Sistema Internacional de 
unidades ( SI ), así como los múltiplos y submúltiplos de dichas unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SÍMBOLOS 
 
Son las representaciones gráficas tanto de los elementos de los circuitos, instrumentos de 
medida, etc., como de los vectores representativos de las variables eléctricas tensiones y 
corrientes. 
 
SÍMBOLOS GRÁFICOS 
 
+ polaridad positiva; - polaridad negativa; ∆ conexión o devanado en triángulo; 
Y conexión o devanado en estrella. 
 
 
 
 
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TENSIONES 
 
En este estudio se utilizará como símbolo de diferencia de potencial, o tensión, una flecha cuya 
base está en el punto de menor potencial ( signo -, ó B) y su extremo en el punto de mayor 
potencial (signo +, ó A). De forma que se verifica: 
 
V - V = V ; V > V BAABBA 
 
 
Aunque todos los textos coinciden con la notación + y -, no todos coinciden en el sentido de la 
flecha de referencia. 
En los sistemas trifásicos se diferenciarán además entre las tensiones de línea, o tensiones 
compuestas, expresadas por y las tensiones de fase, o tensiones simples, simbolizadas por . En 
el capítulo correspondiente se volverá sobre este tema. 
 
CORRIENTES 
La corriente se simbolizará mediante una flecha que indicará el sentido del flujo de la misma. El 
sentido indicado será tomado como positivo. Si al final de los cálculos se llega a que la magnitud 
tiene un signo negativo, ésta indicará que el sentido real es opuesto al inicialmente supuesto 
como referencia. 
Con esta notación la corriente corresponde a desplazamientos de cargas positivas, que se 
desplazarán desde potenciales positivos (+) a potenciales negativos (-). 
 
En la notación puede figurar un subíndice para enumerar la corriente. 
Se ha de tener especial cuidado a la hora de establecer un subíndice. Así, para la corriente que 
circula entre los puntos A (+) y B (-) la notación AB no es la más adecuada ya que: 
 
I - I I BAAB ≠ 
 
 
es decir, se trata de expresar que la corriente circula desde A a B. 
En los sistemas trifásicos se diferencian dos tipos de corrientes: las corrientes de línea simboliza-
 
 
 
 
 
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das por acompañadas por un subíndice; las corrientes de fase simbolizadas por acompañadas 
por un subíndice. Estos subíndices, cuyo significado y notación se indicarán en el capítulo 
correspondiente, sirven para diferenciar las distintas corrientes. 
 
ÁNGULOS: FASES y DESFASES 
Los ángulos representativos de las fases y desfases se simbolizan mediante letras griegas, de 
las cuales las más utilizadas son: α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ζ (zeta), θ 
(theta), λ (lambda), µ (mu), v (nu), ξ (xi), φ, (phi), ψ (psi), ω (omega). 
 
NOTACIONES 
 
Realizada una consulta sobre el tipo de notación utilizada en diferentes textos españoles y 
extranjeros, correspondientes a esta materia, se comprobó que no existe una notación totalmente 
común a todos. Incluso existen discrepancias entre autores de un mismo país de origen. Por 
tanto, se recurrirá, como base para fijar los criterios de notación, a la normativa actual, adoptando 
así mismo los siguientes criterios de notación: 
- Los valores instantáneos de las funciones del tiempo se representarán mediante letras 
minúsculas. Ejemplo: v(t)= 20 sen (2πft + 30º) V, representa una tensión senoidal de valor 
máximo 20 voltios y de frecuencia f, con una fase de 30º. 
- Los valores eficaces de las magnitudes periódicas se expresarán mediante una letra mayúscula. 
Ejemplo: V= 220 V. 
- Los valores máximos de las funciones se indicarán mediante una letra mayúscula con el 
subíndice M o bien max. Ejemplo: VM= Vmax= 20 V 
- Los valores mínimos de las funciones se mostrarán mediante una letra mayúscula con el 
subíndice min. Ejemplo: Vmin= 20 V. 
- Los valores medios de las funciones se expresarán mediante una letra mayúscula y el subíndice 
med. Ejemplo: Vmed= 0 V. 
- Las magnitudes complejas se expresarán en la forma binómica: Re + j Imag , o bien en la forma 
módulo argumental: Mod _θ. Ejemplo: 3 + j 4 = 5 _ 53º. 
- Las magnitudes vectoriales se representan mediante una letra mayúscula con un guión en su 
parte superior. Ejemplo , que representa a una tensión alterna expresada en el plano de la 
frecuencia en forma de vector, o fasor. 
 
NOTACIÓN CIENTÍFICA 
La notación científica es una forma de expresión de las cantidades, que facilita la comparación 
entre unas y otras y que permite una inmediata identificación de las cifras significativas utilizadas. 
Un número en notación científica se escribe con la puntuación decimal a la derecha del primer 
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dígito, manteniendo las restantes cifras significativas como decimales, y un multiplicador 10N para 
indicar el valor del número. 
Así por ejemplo, 0,018 se escribirá en notación científica como 1,8 x 10 -2, o bien la cantidad 
521,63 se escribirá como 5,2163 x 10 2. 
 
CIFRAS SIGNIFICATIVAS 
Los valores numéricos de las mediciones son siempre aproximaciones. La exactitud de una 
medida se determina por el instrumento particular de medida utilizado. El número de dígitos en 
las mediciones se denomina número de cifras significativas. Así, una medida de 4,48 V, es una 
medida con una aproximación a la centésima de voltio y dispone de tres cifras significativas. 
La última cifra significativa de cualquier dato de medición es estimada y por lo tanto es de 
exactitud dudosa. Por tanto, el número de cifras significativas en la solución numérica de un 
problema que incluye cantidades medidas, deberá redondearse para que esté de acuerdo con el 
número de cifras significativas del dato menos preciso. En caso contrario, se estará dando a la 
una exactitud distinta a la que los datos medidos puedan garantizar. 
Los ceros en un número pueden ser o no significativos, depende de como se utilicen. 
Cuando los ceros aparecen en la primera cifra de un número son no significativos, ya que sólo 
sirven para localizar el punto decimal. Así por ejemplo: 0'00448 tiene tres cifras significativas. 
Los ceros situados entre cifras son siempre significativos. Así por ejemplo: 801 tiene tres cifras 
significativas. 
Los ceros situados como últimas cifras de un decimal son significativos. Así por ejemplo: 0'04480
tiene cuatro cifras significativas. 
Los ceros en las últimas cifras de un número entero pueden ser o no significativos. Debe 
utilizarse la notación adecuada para dar un indicador apropiado. Así por ejemplo: 56.000 puede 
tener dos, tres, cuatro o cinco cifras significativas. Si la precisión correcta fuese de cuatro cifras, 
se debería anotar como: 
56'00 k. 
En las operaciones matemáticas sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, el resultado ha de 
redondearse de acuerdo al número de cifras significativas del número menos preciso que 
interviene en la operación. 
 
REDONDEO 
Cuando se redondean las respuesta para hacerlas concordar con el número de cifras significati-
vas requerido, se debe seguir el siguiente procedimiento, denominado redondeo al cinco: 
1.- Si el primer dígito que se va a eliminar es mayor que 5, o si es un 5 seguido por lo menos de 
un dígito diferente de cero, el último dígito que se retiene debe aumentarse en 1. 2.- Si el primer 
dígito que se va a eliminar es menor que 5, el último dígito que se retiene no debe cambiarse. 
 
 
 
 
 
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3.- Si el primer dígito que se va a eliminar es exactamente 5, o bien un 5 seguido de ceros, el 
último dígito no debe cambiarse si es par, pero debe incrementarse en 1 si es impar. 
 
En la solución de problemas numéricos con varios apartados, en donde la solución de una de 
éstas se utiliza para obtener la solución de otra, deben evitarse los redondeos mientras el 
problema no esté completo. 
 
UNIDADES 
 
Antes de iniciar el estudio de los circuitos eléctricos, es necesario conocer las clases de unida-
des, las notaciones científicas y de ingeniería que se encuentran generalmente en la práctica. 
 
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 
A lo largo del tiempo se han ideado distintos sistemas de unidades para satisfacer las necesida-
des de comparación por medio de unidades. Se puede decir que un sistema de unidades es 
aquel en el que las unidades guardan una relación directa entre sí, normalmente expresada por 
un número entero. 
El sistema métrico está formado por unidades relacionadas entre sí como múltiplos de 10. Así, el 
centímetro, metro y kilómetro guardan la relación 100, 1.000 y 100.000. Es fácil la conversión de 
una unidad a otra y por tanto constituye esta disposición decimal una de las ventajas del sistema 
métrico de unidades. 
 
Al igual que otros sistemas de unidades el sistema métrico ha sufrido diversos cambios, dando 
origen a cuatro sistemas se unidades, alguno de los cuales han caído en desuso. Estos sistemas 
son métricos y comprenden: 
Sistema CGS (esu) o centímetro-gramo-segundo, sistema de unidades electrostáticas. 
Sistema CGS (emu) o centímetro-gramo-segundo, sistema de unidades electromagnéticas. 
Sistema MKS o metro-kilogramo-segundo. 
Sistema SI o Sistema Internacional de unidades. 
 
El Sistema Internacional de unidades, designado por SI, es un sistema definido de cuyas 
unidades guardan una relación directa entre sí, expresada por un número entero. Es el sistema 
utilizado en las publicaciones de los trabajos científicos y técnicos, y en particular en los campos 
de la ciencia y la tecnología eléctrica, por lo que se utilizará en este texto. 
Este sistema se apoya en siete unidades básicas y dos suplementarias. 
 
 
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Unidades básicas: 
Longitud: metro [m] 
Masa: kilogramo [kg] 
Tiempo: segundo [s] 
Corriente eléctrica: amperio [A] 
Temperatura: kelvin [K] 
Intensidad lumínica: candela [cd] 
Cantidad de materia: mole [mol] 
 
Unidades suplementarias: 
Ángulo plano: radián [rad] 
Ángulo sólido: estereorradián [sr] 
 
A partir de estas unidades se derivan otras para expresar cantidades de diversos tipo tales como 
áreas, potencia, flujo, etc. Algunas unidades derivadas son de frecuente uso y por tanto se les ha 
asignado un nombre concreto. Algunas de ellas son: 
Capacidad eléctrica: farad (faradio) [F] 
Carga eléctrica: coulomb (culombio) [C] 
Conductancia eléctrica: siemens (siemens) [S] 
Potencial eléctrico: volt (voltio) [V] 
Resistencia eléctrica: ohm (ohmio) [Ω] 
Energía: joule (julio) [J] 
Fuerza: newton (newton) [N] 
Frecuencia: hertz (hercio) [Hz] 
Iluminación: lux (lux) [lx] 
Inductancia: henry (henrio) [H] 
Flujo lumínico: lumen (lumen) [lm] 
Flujo magnético: weber (weber) [Wb] 
Densidad de flujo magnético: tesla (tesla) [T] 
Potencia: watt (vatio) [W] 
Presión: pascal (pascal) [Pa] 
 
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE LAS UNIDADES SI 
Para simplificar el lenguaje, cuando se utilizan cantidades muy grandes (múltiplos) o pequeñas 
(submúltiplos) de una cierta unidad, se utilizan prefijos decimales. Los prefijos más comúnmente 
utilizados con las unidades SI en notación de ingeniería son los siguientes: 
1012 tera [T] 
 
 
 
 
 
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109 giga [G] 
106 mega [M] 
103 kilo [k] 
10-3 mili [m] 
10-6 micro [µ] 
10-9 nano [n] 
10-12 pico [p] 
 
Estos prefijos representan potencias de 10, con todos los exponentes múltiplos de 3. 
 
Los datos de las placas de características de los equipos eléctricos y las soluciones a los 
problemas de ingeniería se expresan normalmente en notación de ingeniería. Sin embargo, antes 
de sustituir los datos de ingeniería dentro de ecuaciones matemáticas, todas las unidades deben 
convertirse a la forma sin prefijo, ya que en caso contrario se pueden cometer errores graves. 
 
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CAPÍTULO 2 
DEFINICIÓN DE LOS ELEMENTOS Y VARIA-
BLES DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS: 
LEYES BÁSICAS 
 
 
INTRODUCCIÓN. 
 
En este capítulo se presentan los elementos implicados en los circuitos eléctricos. Éstos serán los 
únicos que los conformen y establezcan, de acuerdo con las leyes de la física, las relaciones 
entre las variables eléctricas tensión y corriente en los circuitos eléctricos. 
Se establece una primera clasificación de estos elementos en virtud de su posibilidad, o no, de 
suministrar energía eléctrica. Una segunda clasificación se establece a través de la forma en que 
estos elementos transforman la energía eléctrica que se les comunica. 
Se definen, para cada tipo de elemento, las relaciones entre las variables eléctricas, tensión y 
corriente, obtenidas de las características eléctricas propias de cada elemento. Cada una de 
estas expresiones, que relacionan las variables eléctricas de un elemento, serán la definición 
eléctrica del propio elemento y serán las que se utilicen a la hora de establecer las ecuaciones de 
los circuitos. 
Las leyes básicas del comportamiento de los circuitos eléctricos se deducen como consecuencia 
de los principios fundamentales de la continuidad y conservación de la energía. Estos principios 
fueron enunciados por KIRCHHOFF, a través de dos leyes fundamentales que recibieron su 
nombre. Se establecen las definiciones de la primera y segunda ley de Kirchhoff, indicándose el 
número de ecuaciones linealmente independientes que se obtienen de la aplicación de dichas 
leyes. 
Por último, se establece la definición de potencia eléctrica en corriente continua, sus expresiones 
en variables eléctricas y sus unidades de medida. 
 
ELEMENTOS DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO. 
 
Los circuitos eléctricos, que serán considerados en todo lo expuesto, estarán constituidos por tres 
tipos de elementos perfectamente diferenciados. No serán considerados los elementos de unión 
ya que se suponen de conductividad infinita. 
Estos tipos son: 
 
 
 
 
 
 
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 * Elementos activos o generadores. Son aquellos que suministran energía al circuito. Pueden 
considerarse las siguientes clases: 
 Generadores de tensión, que pueden ser dependientes o independientes, ideales o 
reales. 
 Generadores de corriente, que pueden ser dependientes o independientes, ideales o 
reales. 
 * Elementos pasivos o cargas. Son aquellos elementos
que reciben la energía que suminis-
tran los elementos activos. Estos elementos pueden ser de tres clases: 
 Resistencias o resistores. 
 Bobinas o inductores. 
 Condensadores o capacitores. 
 
Todo circuito eléctrico consta única y exclusivamente de uno o varios elementos activos y uno o 
varios elementos pasivos, dispuestos de una forma adecuada para cumplir ciertas exigencias. 
Se denomina "carga", y se representa genéricamente por Z según se muestra en la figura 2.1, a 
una combinación cualquiera de elementos pasivos. 
 
 
Figura 2.1.- Representación de una carga o impedancia. 
 
GENERADORES DE TENSIÓN Y GENERADORES DE CORRIENTE. 
 
El GENERADOR IDEAL DE TENSIÓN INDEPENDIENTE, es aquel dispositivo que suministra 
una tensión independiente de la carga a él conectado. 
Su representación gráfica es la de la figura 2.2. 
El símbolo en el interior del circulo diferencia a los generadores de tensión constante de los 
generadores de tensión alterna. 
 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
 
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Figura 2.2.- Representación generador ideal tensión. 
 
Un símbolo muy utilizado para los generadores de tensión ideal de corriente continua denomina-
dos pila o batería es el mostrado en la figura 2.2.1. 
 
 
Figura 2.2.1.- Representación de la batería o pila. 
 
El trazo largo corresponde al terminal positivo, roja en las baterías, y el trazo más corto y grueso 
al terminal negativo, negra en las baterías. La flecha indica el sentido del potencial al igual que 
en los generadores de tensión ideal genéricos. 
La flecha indica el sentido del potencial en los bornes del generador. Es decir, la flecha con la 
punta en A y el extremo en B significa que el potencial es Vab, es decir, el punto A tiene mayor 
potencial que el punto B. 
La función v(t) corresponde a la función temporal de la tensión, entre los bornes del generador. 
En el caso en que la tensión sea senoidal figurará V, valor eficaz de la tensión sinusoidal, cuyo 
significado se estudiará en el siguiente capitulo. En el caso de que se trate de un generador de 
tensión de corriente continua figurará el valor de la fuerza electromotriz V entre sus bornes. 
Su curva característica tensión-corriente es la mostrada en la figura 2.3. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 2.3.- Curva característica generador tensión. 
 
La curva característica indica que la tensión en bornes del generador ideal es independiente de la 
corriente que circule por el mismo. 
Si entre los terminales A y B del generador de tensión se conecta una resistencia R1, o una carga 
Z1, la diferencia de potencial en los extremos de la misma será la propia tensión del generador y 
la corriente que circula por ella será: I1 = V / R1 , tal como se muestra en la figura 2.4. 
 
 
Figura 2.4.- Generador de tensión en carga. 
 
Si se sustituye la resistencia R1 por otra resistencia R2, o carga Z2, diferente, la diferencia de 
potencial entre los extremos de la nueva carga sigue siendo la del generador, pero la corriente 
que circula será distinta que en el caso anterior, es decir: I2 = V / R2 , siendo R1 distinto de R2, I1 
distinto de I2, tal como se muestra en la figura 2.5. 
 
Figura 2.5.- Generador de tensión en carga. 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
 
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Para un generador de tensión, la corriente que suministra es una 
variable dependiente, función del circuito que alimenta. La tensión es la variable independiente. 
Como consecuencia de lo anterior resulta que, la conexión en paralelo de una resistencia R, o 
carga Z cualquiera, a un generador ideal de tensión que alimenta a un circuito, no afecta, en 
cuanto al valor de la tensión de alimentación de dicho circuito, como se muestra en la figura 2.6. 
 
 
Figura 2.6.- Circuito alimentado por un generador de tensión. 
 
A los generadores ideales de tensión no se les puede cortocircuitar sus s, ya que dicha situación 
corresponde a un estado de sobrecarga infinita, como se muestra en la figura 2.7. En la 
aplicación de la definición de generador de tensión se llega a un absurdo, es decir, se viola la 
propia definición. 
 
Figura 2.7.- Generador de tensión cortocircuitado. 
 
Por el contrario, un generador ideal de tensión con los bornes en circuito abierto supone una 
condición de carga nula o funcionamiento en vacío. 
 
El GENERADOR IDEAL DE CORRIENTE INDEPENDIENTE, es aquel dispositivo que suministra 
una corriente independiente de la carga a él conectado. 
Su representación gráfica es la de la figura 2.8. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 2.8.- Representación del generador de corriente. 
 
El símbolo en el interior del rectángulo diferencia a los generadores de corriente continua de los 
generadores de corriente alterna. 
La flecha indica el sentido de la corriente que atraviesa el generador. Es decir, la flecha con la 
punta hacia A indica que la corriente fluye del generador hacia la A y retorna al generador por la 
B. 
La función i(t) corresponde a la función temporal de la corriente que fluye por el generador. En el 
caso en que la corriente sea senoidal figurará I, valor eficaz de la corriente sinusoidal, cuyo 
significado se estudiará en el siguiente capitulo. En el caso de que se trate de un generador de 
corriente continua figurará el valor de dicha corriente. 
Su curva característica tensión-corriente es la mostrada en la figura 2.9. 
 
 
Figura 2.9.- Curva característica del generador de corriente. 
 
La curva característica indica que la corriente que circula por el generador ideal es independiente 
de la tensión entre sus bornes. 
Si entre los terminales A y B del generador de corriente se conecta una resistencia R1, o una 
carga Z1, la corriente que circulará por dicha carga será la propia corriente del generador y la 
tensión entre los extremos de la misma vendrá dada por: V1 = R1 x I , tal como se muestra en la 
figura 2.10. 
 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
 
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Figura 2.10.- Generador de corriente con carga. 
 
Si se sustituye la resistencia R1 por otra resistencia R2, o carga Z2, diferente, la corriente que 
circula por la nueva carga sigue siendo la del generador, pero la diferencia de potencial entre sus 
extremos será distinta que en el caso anterior, es decir: V2 = R2 x I, siendo R1 distinto de R2, V1 
distinto de V2, como se muestra en la figura 2.11. 
 
 
Figura 2.11.- Generador de corriente en carga. 
 
Para un generador de corriente, la tensión entre sus bornes es una variable dependiente de las 
características del circuito conectado. 
La corriente que suministra es una variable independiente. 
Como consecuencia de lo anterior resulta que, la conexión en serie de una resistencia R, o carga 
Z cualquiera, a un generador ideal de corriente que alimenta a un circuito, como se muestra en la 
figura 2.12, no afecta, en cuanto a variación de corriente de alimentación de dicho circuito. 
 
 
Figura 2.12.- Circuito alimentado por un generador de corriente. 
 
 
 
 
 
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No se pueden dejar en circuito abierto los bornes de los generadores ideales de corriente, pues 
esto supone una condición de sobrecarga infinita, como se muestra en la figura 2.13. 
 
 
Figura 2.13.- Generador de corriente en circuito abierto. 
 
En la aplicación de la definición de generador de corriente se llega a un absurdo, es decir, se 
viola la propia definición. 
Por el contrario, en un generador ideal de corriente el cortocircuito de sus bornes supone una 
condición de carga nula para el mismo. 
 
El GENERADOR IDEAL DE TENSIÓN, O CORRIENTE, DEPENDIENTE. 
 
Es aquel dispositivo que suministra una tensión, corriente, dependiente de otra variable (tensión, 
corriente, temperatura, etc.) existente, o no, en alguna parte del circuito. 
Los generadores ideales de tensión y corriente
dependientes se representan según la figura 2.14. 
 
 
Figura 2.14.- Representación de lo generadores dependientes. 
 
En la representación de la variable tensión, o corriente, se formula la función de dependencia 
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correspondiente, indicándose así mismo el sentido positivo del potencial o flujo de la corriente 
mediante los signos (+) y (-) o una flecha respectivamente. 
 
COMPOSICIÓN DE GENERADORES IDEALES. 
 
La composición, o agrupamiento, de generadores se puede establecer con las limitaciones dadas 
por sus propias definiciones. 
Así, los generadores ideales de tensión pueden agruparse en serie, ver figura 2.15, siendo la 
tensión total la suma de las tensión de cada uno de ellos. Esta suma habrá de realizarse de 
acuerdo con el tipo de función temporal que presenten. 
 
 
 
Figura 2.15.- Acoplamiento serie de generadores de tensión. 
 
La corriente que suministra cada uno de los generadores será la misma y dependerá de la carga 
total que alimentan. El agrupamiento en paralelo de estos generadores, figura 2.16, es imposible, 
salvo que proporcionen idénticas tensiones. En caso contrario, se violaría la definición de 
generador de tensión de uno de ellos, al forzarla a ser igual a la tensión suministrada por el otro. 
 
Figura 2.16.- Acoplamiento paralelo de generadores de tensión. 
 
 
 
 
 
 
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Algo similar sucede con los generadores de corriente, cuyo agrupamiento ha de realizarse en 
paralelo, ver figura 2.17, proporcionando una corriente total igual a la suma de las corrientes de 
cada uno de los generadores. En este caso, como en el anterior, la suma de las funciones 
temporales correspondientes a ambos generadores se habrá de hacer adecuadamente. 
 
 
Figura 2.17.- Acoplamiento paralelo de generadores de corriente. 
 
Las tensiones entre los extremos de los generadores será la misma y dependerá de la carga a la 
que estén conectados ambos. 
El agrupamiento en serie de los generadores de corriente no es posible, figura 2.18, salvo que 
proporcionen corrientes idénticas. De no suceder así, se violaría la definición de generador de 
corriente de uno de ellos, al forzar el otro a suministrar su misma corriente. 
 
 
Figura 2.18.- Acoplamiento serie de generadores de corriente. 
 
 
GENERADORES REALES DE TENSIÓN Y CORRIENTE INDEPENDIENTES Y DEPENDIEN-
TES. 
 
Los generadores reales de tensión y de corriente tienen una resistencia (impedancia) interna 
debida a su propia concepción. Cuando se conecta una carga a los bornes de dichos generado-
res se origina una caída de tensión, o pérdida de corriente, en dicha resistencia, ya sea genera-
dor de tensión o de corriente, acompañada de un aumento de temperatura del mismo. Es por ello 
por lo que los generadores reales no mantienen exactamente constante la tensión, o corriente, en 
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sus bornes de salida, sino que disminuyen sus valores nominales con el aumento de la carga 
conectada. 
 
Un GENERADOR REAL DE TENSIÓN INDEPENDIENTE se representa mediante el esquema 
de la figura 2.19. 
 
 
Figura 2.19.- Generador real de tensión. 
 
Los bornes de salida del generador son los puntos A y B. 
Rg representa la resistencia interna del generador. 
La función v(t) es la fuerza electromotriz que suministra el generador, que coincide con la tensión 
de salida, o en bornes, en vacío o sin carga, es decir con los bornes en circuito abierto. 
En la figura 2.20, se muestra la curva característica del generador real de tensión, corresponde a 
una recta de ecuación: 
I R - V = V gAB 
siendo I la corriente que suministra el generador. Como se puede observar la pendiente de la 
recta es negativa y proporcional a Rg, de forma que cuanto mayor sea la resistencia interna del 
generador menor será la tensión a su salida, a igualdad de consumo de corriente. Si la resisten-
cia interna es nula se obtendrá un generador ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 2.20.- Curva característica de un generador de tensión real. 
 
Si se conecta entre A y B una resistencia R1, o una carga Z1, la corriente que circula por el 
circuito será: I = V / (Rg + R1), ver figura 2.2.1,y la diferencia de potencial entre A y B, correspon-
diente a la tensión V suministrada por el generador será: 
o Vab = V R1 / (Rg + R1) 
o VAB = V / (Rg/R1) + 1 
o Para Rg << R1 ; VAB = V 
o Para Rg ~ R1 ; VAB disminuye 
o Para Rg >> R1 ; VAB = 0 
 
 
Figura 2.21.- Generador real de tensión en carga. 
 
Si se sustituye la resistencia R1 por otra resistencia R2, o carga Z2, diferente se obtendrá: 
I' = V / (Rg + R2) y V'ab = V R2 / (Rg + R2), ver figura 2.22. 
 
 
Figura 2.22.- Generador real de tensión en carga. 
 
Por tanto, V ≠ V'ab ≠ Vab cuando R1 ≠ R2, es decir, la tensión en bornes del generador varía con la 
carga conectada. 
En un generador real de tensión, la tensión en sus bornes no puede considerarse como una 
variable independiente, sino que es una función de la carga conectada al mismo. 
 
Un GENERADOR REAL DE CORRIENTE INDEPENDIENTE se representa mediante el 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
 
23
esquema de la figura 2.23. 
 
 
igura 2.23.- Representación de un generador de corriente real. 
 
Los bornes de salida del generador son los puntos A y B. 
Rg representa la resistencia interna del generador. 
La función i(t) es la corriente que suministra el generador, que coincide con la corriente de vacío 
o sin carga, es decir, con sus bornes cortocircuitadas. 
La curva característica del generador real de corriente, mostrada en la figura 2.24, es una recta 
de ecuación: 
R
V - I = I
g
AB
idealreal 
siendo Ireal la corriente que suministra el generador real, Iideal la suministrada por el generador 
ideal. 
 
 
Figura 2.24.- Curva característica de un generador de corriente real. 
 
Como se puede observar la pendiente de la recta es negativa e inversamente proporcional a Rg, 
de forma que cuanto mayor sea la resistencia interna del generador menor será la diferencia 
entre generadores, es decir, la corriente de salida del generador real se acercará más a la del 
 
 
 
 
 
23
ideal. El caso límite corresponde a la ausencia de resistencia interna que corresponde a Rg => ∞∞∞∞. 
Se conecta entre A y B un resistencia R1, o una carga Z1, tal como se muestra en la figura 2.25. 
Para dicho circuito se verifica que: 
o I = Ig + IR1, teniendo en cuenta la suma de las corrientes en el nudo superior es cero. 
o Ig Rg = IR1 R1, diferencia de potencial en los extremos del generador. 
 
 
Figura 2.25.- Generador de corriente real en carga. 
 
Eliminando Ig, entre ambas expresiones, se obtiene la corriente que suministra el generador de 
corriente a la carga. 
o La corriente será: IR1 = I Rg/ (Rg + R1), es decir, IR1 = I / 1 + (R1/Rg) 
o Para R1 << Rg ; IR1 = I 
o Para R1 ~ Rg ; IR1 disminuye 
o Para R1 >> Rg ; IR1 = 0 
Se sustituye la resistencia R1 por otra resistencia R2, o carga Z2, diferente como se muestra en la 
figura 2.26. 
I = Ig + IR2, teniendo en cuenta la suma de las corrientes en el nudo superior es cero. 
 
 
Figura 2.26.- Generador real de corriente en carga. 
 
Ig Rg = IR2 R2, diferencia de potencial en los extremos del generador. 
Eliminando Ig, entre ambas expresiones, se obtiene la corriente que suministra el generador de 
corriente a la nueva carga. Ésta viene dada por: IR2 = I Rg/ (Rg + R2) 
Por tanto, I ≠ IR2 ≠ IR1 cuando R1 ≠ R2, es decir, la corriente que circula por la carga depende del 
valor de la misma. 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
 
23
En un generador real de corriente, la corriente que suministra en bornes ya no es una variable 
independiente,
sino que dependerá de la carga conectada. 
Los GENERADORES REALES DE TENSIÓN O DE CORRIENTE DEPENDIENTES tienen un 
comportamiento similar a los correspondientes generadores reales independientes ya que son 
iguales, salvo la función de tensión, o de corriente, entre sus bornes. 
En este estudio, mientras no se indique lo contrario, los generadores de tensión y de corriente 
se supondrán ideales. 
 
ELEMENTOS PASIVOS. 
 
Así como en los circuitos eléctricos de corriente continua el único elemento pasivo es la resisten-
cia, en los circuitos eléctricos de corriente alterna se han de contemplar tres elementos pasivos 
distintos. Se diferencian entre sí por su forma de comportarse frente a la energía eléctrica 
procedente de los elementos generadores. 
* Si toda la energía eléctrica que recibe el elemento pasivo se disipa en forma de calor, se 
trata de una resistencia pura. 
* Si toda la energía eléctrica que recibe el elemento pasivo se almacena en forma de campo 
magnético, se trata de una bobina pura. 
* Si toda la energía eléctrica que recibe el elemento pasivo se almacena en forma de campo 
eléctrico, se trata de un condensador puro. 
Estos elementos se denominan puros, o ideales, ya que se supone que se comportan exclusiva-
mente de una de las tres formas indicadas. 
En la realidad, en cualquiera de estos elementos están presentes las tres características reunidas 
con mayor o menor preponderancia. Así una resistencia eléctrica real, obtenida mediante el 
arrollamiento de un conductor, tiene algo de bobina, efecto inductivo debido al propio arrollamien-
to, y algo de condensador, efecto capacitivo entre espiras. Algo análogo les sucede a las bobinas 
y a los condensadores reales. 
En este estudio se considerará que los elementos pasivos se comportan de forma idealizada, 
mientras no se indique lo contrario. 
 
RESISTENCIA O RESISTOR. 
 
La representación gráfica es la de la figura 2.27. 
 
 
 
 
 
 
23
 
Figura 2.27.- Representación de una resistencia 
 
Si a través de una resistencia circula una corriente i(t), aparece en sus extremos una diferencia 
de potencial vR(t) directamente proporcional a dicha corriente. La relación de proporcionalidad es: 
)(tiR = (t) vR 
A esta relación se la denomina LEY DE OHM. 
La constante de proporcionalidad R se la denomina RESISTENCIA, el mismo nombre que el 
elemento. De ahí que en algunos países de lengua castellana el elemento sea llamado resistor. 
Cuando la tensión v(t) y la corriente i(t) son constantes, la ley de Ohm se establece como: 
IRVR = 
Aunque en general el valor de R no es constante, depende linealmente de la temperatura, en lo 
sucesivo se supondrá constante. 
Se define la resistencia de UN OHMIO como aquella a la que al aplicar entre sus extremos una 
diferencia de potencial de UN VOLTIO, circula por ella UN AMPERIO. 
 
] A [ I
] V [ V =] [ R RΩ 
 
 De los submúltiplos el más utilizado es el miliohmio [ mΩ ], y de los múltiplos el kilohmio [ KΩ ] y 
el meghomio [ MΩ ]. 
 
Como nota final, dentro del concepto de resistencia, se pueden definir dos abstracciones muy 
comunes en la teoría de circuitos. Éstas son: Cortocircuito y Circuito abierto. 
El cortocircuito entre dos puntos se puede asimilar a un conductor ideal, figura 2.28, es decir con 
resistencia nula, o conductividad infinita, conectado entre dichos puntos. La propiedad fundamen-
tal del cortocircuito, y que es la que lo define, se puede enunciar de la forma siguiente: 
 Dos puntos están en cortocircuito cuando para cualquier valor de la corriente que circule 
entre ambos la diferencia de potencial entre los mismos es nula. 
 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
 
23
 
 
Figura 2.28.- Cortocircuito. 
 
Análogamente un circuito abierto, figura 2.29, es una apertura por la que no puede fluir corriente. 
Esto equivale a una resistencia infinita, o a un elemento con conductividad nula. 
Se puede establecer la definición de circuito abierto como: 
 Dos puntos están en circuito abierto cuando para cualquier valor de la tensión entre dichos 
puntos la corriente que circula entre ambos es nula. 
 
 
 
Figura 2.29.- Circuito abierto. 
 
BOBINA O INDUCTOR. 
 
Su representación gráfica corresponde a la de la figura 2.30. 
 
 
 
Figura 2.30.- Representación de una bobina. 
 
Al circular por una bobina una corriente i(t), se origina en sus extremos una fuerza electromotriz 
inducida que es directamente proporcional a la variación, con respecto al tiempo, de dicha 
corriente. Este hecho se establece como: vL(t) = L di(t)/dt 
La constante de proporcionalidad L se denomina COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN, o 
simplemente AUTOINDUCCIÓN. 
 
 
 
 
 
23
Cuando la corriente i(t) es constante, I, se verifica que: 
 i(t) = I ; dI/dt = 0 ; vL(t) = L dI/dt = 0 
la tensión entre los extremos de la bobina es nula. Es decir se comporta como un cortocircuito. 
El coeficiente de autoinducción, aunque variable con la frecuencia, se supondrá en lo sucesivo 
constante. 
Si la tensión entre los extremos de la bobina se expresa en VOLTIOS y la variación de la 
corriente que la atraviesa en AMPERIO/SEGUNDO, el coeficiente de autoinducción viene dado 
en HENRIOS [ H ]. 
La unidad más utilizada es su submúltiplo denominado milihenrio [ mH ]. 
Una bobina tiene un coeficiente de autoinducción L de UN HENRIO, cuando al circular por ella 
una corriente que varia a razón de UN AMPERIO POR SEGUNDO, induce en sus extremos una 
diferencia de potencial de UN VOLTIO. 
 
CONDENSADOR O CAPACITOR. 
 
En la figura 2.31, se muestra la representación gráfica de un condensador. 
 
 
Figura 2.31.- Representación de un condensador. 
 
En un condensador se verifica que la carga q(t) almacenada en su dieléctrico es directamente 
proporcional a la diferencia de potencial que se establece en sus extremos, verificándose: 
q(t) = C vc(t) 
La constante de proporcionalidad C se denomina CAPACIDAD o CAPACITANCIA. Aunque 
ligeramente variable con la temperatura y la frecuencia, en lo sucesivo se supondrá constante. 
Derivando, respecto al tiempo, la expresión anterior, se obtiene: 
 dq(t)/dt = C dvc(t)/dt ; i(t) = C dvc(t)/dt 
o bien, 
 vc(t) = (1/C) ∫ i(t) dt 
 
La capacidad viene dada en FARADIOS cuando la variación de tensión se expresa en VOLTIOS 
POR SEGUNDO y la corriente en AMPERIOS. 
Los submúltiplos más utilizados son el microfaradio [ µF ], y el picofaradio [ pF ]. 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
 
23
Si la tensión v(t) aplicada, entre los extremos del condensador, es constante V, se verifica que: 
 v(t) = V ; dV/dt = 0 ; i(t) = C dV/dt = 0 
la corriente que circula por el condensador es nula. Es decir se comporta como un circuito 
abierto. 
 
LEYES DE KIRCHHOFF. 
 
Las leyes básicas del comportamiento de los circuitos eléctricos, se deducen como consecuencia 
de la interconexión de los diferentes elementos que constituyen el circuito. Se establecen ciertas 
limitaciones a las tensiones y corrientes en el circuito de forma que se verifiquen los principios 
fundamentales de continuidad y conservación de la energía. 
Estos principios, para la energía eléctrica, fueron enunciados por KIRCHHOFF a través de dos 
leyes fundamentales que recibieron su nombre: 
 
PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF ( LKC - Ley de Kirchhoff para las corrientes ), está basada en el 
principio de continuidad de la corriente eléctrica. Establece que la suma de todas las corrientes 
que concurren en un nudo de un circuito es cero. 
Se denomina NUDO de un circuito a todo punto del mismo donde concurren tres o más elemen-
tos, o ramas, de dicho circuito. 
Se llama RAMA de un circuito a la unión de dos nudos con elementos del circuito (no se 
considera elemento de un circuito los cables de conexión que se supondrán de conductividad 
infinita, cortocircuitos).
El número de ecuaciones independientes que se pueden establecer aplicando esta ley es de (n-
1), siendo n el número total de nudos que tiene el circuito. 
 n°°°° de ecuaciones = n - 1 
Para el ejemplo de la figura 2.32, con cuatro nudos; n = 4, por tanto, (n-1) = 3, ecuaciones 
independientes. 
 
 
 
 
 
 
23
 
 
Figura 2.32.- Nudos y mallas en un circuito genérico. 
 
SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF ( LKV - Ley de Kirchhoff para las tensiones ), fundamentada en 
el principio de conservación de la energía eléctrica. Establece que la suma de las diferencias de 
potencial (caídas o subidas de potencial) de los elementos de un bucle del circuito es nula. 
Se denomina BUCLE a cualquier camino cerrado que se establezca en el circuito, no teniendo 
porqué realizarse entre nudos contiguos, ni entre nudos de un mismo plano en circuitos tridimen-
sionales. 
Se denominan MALLAS a los bucles establecidos a través de ramas con nudos comunes. El 
número de ecuaciones independientes que se pueden establecer, es igual al número mínimo de 
mallas que se pueden obtener del circuito. Este número es igual al número de ramas, r, menos la 
cantidad (n-1), donde n es el número de nudos. 
 n°°°° de ecuaciones = r - (n-1) 
Para el ejemplo de la figura 1.32; r = 6, número de ramas, (n-1) = 3, n° de ec. = 3 
 
Con el fin de que no existan confusiones con los sentidos en las subidas y caídas de potencial, a 
la hora de aplicar esta ley, se aconseja la utilización de la siguiente metodología, por lo menos 
hasta que se alcance una cierta soltura en el cálculo. Para ello, en la malla de la figura 1.33, se 
suponen conocidos los valores de los elementos activos y pasivos del circuito, es decir, las 
tensiones y corrientes de los generadores y los valores de las resistencias, inductancias y 
capacidades. 
 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
 
23
# Se supone que por cada rama del circuito, y por tanto de la malla, circula una corriente 
determinada, con un sentido arbitrario. 
# Con el sentido elegido en cada rama, se marca con un signo (+) la parte del elemento pasivo 
por donde penetra la corriente y un signo (-) por donde sale. 
# Como en los generadores de tensión el sentido del potencial está fijado, en la punta de la flecha 
se pondrá un signo (+) y en la base el signo (-). Para los generadores de corriente, suponiendo 
en principio que suministran energía, se tomará también el signo (+) en la punta de la flecha 
representativa a la corriente y el signo (-) en su extremo. 
# Se aplica la segunda ley de Kirchhoff, recorriendo la malla en el sentido que se desee, 
antecediendo a cada salto de diferencia de potencial el signo que se vaya encontrando a lo largo 
del recorrido elegido. Caídas de tensión con signo (+) y subidas de tensión con signo (-). 
 
 
 
Figura 2.33.- Malla genérica de un circuito eléctrico. 
 
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se obtiene; 
 
+ 
dt
(t)di L + dt (t)i 
C
1 + (t)i R + (t)v - (t)i R + 212
1
22111 ∫ 
0 = (t)v + dt
(t)di L + (t)i R + (t)i R + 2424433 
 
 
 
 
 
 
23
Planteado el sistema de ecuaciones correspondiente a cada una de las mallas del circuito, y junto 
con las ecuaciones de los nudos, se calcularían las corrientes por cada rama, que son las 
incógnitas del circuito. 
Como resumen, para el ejemplo de la figura 2.32 se establecen: 
 Tres ecuaciones provenientes de aplicación de la primera Ley de Kirchhoff ( LKC ). 
 Tres ecuaciones obtenidas aplicando la segunda Ley de Kirchhoff ( LKV ). 
Con estas seis ecuaciones se obtendrán las seis incógnitas que son las seis corrientes que 
circulan por las seis ramas del circuito. 
 
POTENCIA EN CORRIENTE CONTINUA. 
 
Dado que la aplicación del concepto de potencia eléctrica es muy útil en el análisis de algunos 
circuitos eléctricos, se incluye esta reflexión para dicho concepto en el caso de corriente continua. 
 
 
 
Figura 2.34.- Resistencia recorrida por una corriente I. 
 
Cuando por una resistencia R circula una corriente I, estableciéndose en sus extremos una 
diferencia de potencial VR, tal como se muestra en la figura 2.34, la potencia absorbida por la 
resistencia puede expresarse mediante las siguientes relaciones: P = R I2 = VR2 / R = VR I 
De cualquiera de las expresiones anteriores puede hallarse el valor de la potencia disipada por la 
resistencia, que vendrá expresada en VATIOS [ W ] cuando los valores de I, VR y R se expresan 
en AMPERIOS [ A ], VOLTIOS [ V ] y OHMIOS [ Ω ], respectivamente. El submúltiplo más 
utilizado es el milivatio [ mW ], y los múltiplos kilovatio [ kW ], megavatio [ MW ] y gigavatio [ GW 
]. 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
59
 
CAPÍTULO 3 
FUNCIONES DE ONDA DE LAS VARIABLES ELÉC-
TRICAS 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
En la teoría de circuitos se manejan como funciones de excitación, correspondientes a los generadores de 
tensión y de corriente, funciones variables con el tiempo. De este tipo son también las funciones de respuesta 
de los circuitos, es decir, las tensiones y corrientes en los elementos de los mismos. 
En general la dependencia funcional: v=v(t) ó i=i(t) , puede proporcionarse analítica o gráficamente. A esta 
relación funcional se la denomina función de onda, o forma de onda, respectivamente. 
 
TIPOS DE FUNCIONES DE ONDA 
 
En el estudio de los circuitos eléctricos se presentan funciones, o formas, de onda que pueden clasificarse, 
atendiendo a si su magnitud es constante o no, como: 
 ONDAS CONSTANTES EN EL TIEMPO, son las que se generan y se obtienen como respuesta en 
circuitos de corriente continua, en estado estacionario. 
 
 
 
Figura 3.1.- Onda constante con el tiempo (Corriente continua constante). 
 
Las tensiones y corrientes permanecen en todo instante constantes sin sufrir variaciones a lo largo del 
tiempo. 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
59
 ONDAS VARIABLES EN EL TIEMPO, son aquellas tensiones y corrientes que presentan variaciones en 
el tiempo ya sea por que su generación sea variable con el tiempo, por ejemplo corriente alterna, ya sea por 
que las tensiones y corrientes respuesta de los circuitos sean variables con el tiempo, por ejemplo la 
respuesta transitoria de un elemento de un circuito a una tensión constante con el tiempo. 
 
 
Figura 3.2.- Onda variable con el tiempo. 
 
Este último grupo se puede dividir a su vez, atendiendo al signo de la magnitud, en dos nuevos grupos: 
 ONDAS NO ALTERNADAS, son aquellas en las que la variable función del tiempo mantiene el signo, es 
decir, la polaridad en los extremos de los elementos de los circuitos. 
 
 
Figura 3.3.- Onda no alternada (Corriente continua variable). 
 
 ONDAS ALTERNADAS, son aquellas en las que la variable función del tiempo cambia de signo a lo largo 
del tiempo. 
 
Figura 3.4.- Onda alternada. 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
59
 
Las ondas variables con el tiempo, dependiendo de el régimen de variación de la función temporal se pueden 
clasificar en: 
 ONDAS NO PERIÓDICAS, cuando el régimen de variación de la función no se repite en módulos 
temporales a lo largo del tiempo. 
 
 
Figura 3.5.- Onda no periódica. 
 
 ONDAS PERIÓDICAS, cuando los valores que toma la función del tiempo se repiten a intervalos iguales 
de tiempo y en el mismo orden. 
 
 
 
Figura 3.6.- Onda periódica. 
 
Las ondas periódicas se pueden clasificar, atendiendo a la forma de la onda, en: 
 ONDAS NO SINUSOIDALES, son aquellas ondas periódicas cuya función del tiempo no es del tipo 
sinusoidal. 
 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
59
 
Figura 3.7.- Onda periódica no sinusoidal. 
 
 ONDAS SINUSOIDALES, cuando los valores que toma la función responde
a una función del tipo 
sinusoidal. 
 
 
Figura 3.8.- Onda periódica sinusoidal. 
 
Por último, se distinguirán las ONDAS SINUSOIDALES SIMÉTRICAS, como aquellas cuyos valores 
máximos positivos y negativos son iguales. 
 
 
 
Figura 3.9.- Onda sinusoidal simétrica. 
 
 
 
 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
59
 
COMO RESUMEN, de entre las múltiples formas posibles de establecer una ordenación de las ondas 
eléctricas, y conforme a lo explicado se propone la siguiente clasificación: 
 Ondas constantes en el tiempo. 
 Ondas variables en el tiempo. 
 Por su magnitud: Ondas NO alternadas 
 Ondas alternadas. 
 Por el régimen de variación de la función temporal: 
 Ondas NO periódicas, alternadas o no. 
 Ondas periódicas, alternadas o no: 
 Por la forma de onda: 
 Ondas NO sinusoidales 
 Ondas SINUSOIDALES: 
 ONDAS SINUSOIDALES SIMÉTRICAS. 
 
 
MAGNITUDES ASOCIADAS A UNA ONDA PERIÓDICA. 
 
Dado que en la teoría de circuitos de corriente alterna que se va a exponer no se contempla el régimen 
transitorio de respuesta, las funciones que van a intervenir serán, en general, funciones alternadas del tipo 
periódico. Posteriormente, se utilizarán fuentes de tensión y corriente con funciones alternadas del tipo 
sinusoidal y simétricas, inmersas en circuitos con componentes lineales, lo que lleva a un tratamiento 
exclusivo de funciones sinusoidales tanto para las tensiones como para las corrientes, que se presentan en 
dichos circuitos. Pero estas ondas sinusoidales, no son sino un caso particular de las ondas periódicas y, por 
tanto, son aplicables todos los conceptos desarrollados en este apartado. 
Una función se dice que es periódica, desde el punto de vista matemático, cuando se verifica que: 
)()( nTtftf += 
siendo n un número entero y T el período. 
 
Una onda periódica se puede representar en un sistema de ejes de coordenadas tomando los valores de la 
función, o amplitudes, en el eje de ordenadas y el tiempo en el eje de abcisas, tal como se muestra en la 
figura 3.10. En el eje de abcisas se puede representar también el ángulo ωt en radianes, o bien en grados. 
De las tres formas de representación es la más común la segunda, aunque en ciertos casos se utilicen las 
dos últimas conjuntamente. 
 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
59
 
 
 Figura 3.10.- Magnitudes asociadas a una onda sinusoidal. 
 
CICLO, es la parte de onda donde la función toma una serie completa de valores positivos y negativos. 
PERÍODO, es el tiempo de duración de un ciclo. Se representa por la letra T y se mide en segundos (s). 
FRECUENCIA, es el numero de ciclos por segundo presente en la onda. Representa la frecuencia de 
repetición de la onda. Se representa por la letra f y se mide en hercios (Hz). 
]Hz [ f] s[ T 
La relación entre el período y la frecuencia es: 
T
1 = f 
f
1 = T 
PULSACIÓN, de una onda periódica es la velocidad angular de la misma y se expresa en función de la 
frecuencia, y del período, como: 
T
 2 = wf 2 = w ππ 
cuando la frecuencia se expresa en hercios, el período en segundos, la pulsación viene dada en radianes por 
segundo (rad/s). ] s
rad [ w 
FASE de un punto de una onda periódica, respecto a un tiempo de referencia, es la fracción de período, o 
tiempo, que transcurre desde el punto de referencia y el punto considerado. 
FASE de una onda periódica alternada, respecto a un tiempo de referencia, es la fracción de período, o 
tiempo, que transcurre desde el punto de referencia y el punto cero de la onda, más próximo a dicha 
referencia. Se denominan puntos cero de una onda a los puntos de la función que toman el valor medio de 
la misma, o bien cero en ondas simétricas tal como se muestra en la figura 3.11, y que presentan a su vez 
pendiente positiva. Ángulo de fase se denomina a la fase expresada en radianes (rad), o en grados (º), a 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
59
través de la pulsación. 
 
 
 
 
Figura 3.11.- Fase de una onda sinusoidal simétrica. 
 
AMPLITUD o VALOR PICO, es el mayor valor positivo, o negativo, dentro de un ciclo o período. 
- Para una onda sinusoidal, por ejemplo i(t) = Imax sen(ωt), el valor de pico será Imax 
VALOR DE PICO A PICO, es la diferencia algebraica entre el mayor valor positivo y el mayor valor negativo 
dentro de un período. 
- Para la onda sinusoidal del ejemplo anterior i(t) = Imax sen(ωt), el valor de pico a pico valdrá 2Imax 
VALOR MEDIO, es el valor promedio integral de la onda en un período. Para una onda periódica y(t) de 
período T viene expresado por: dt y(t) 
T
1 = Y
T
0
med ∫ 
- Para una onda sinusoidal, por ejemplo i(t) = Imax sen(ωt), el valor medio es nulo. 
- 0 = d(wt) (wt) senI 2
1 = I
 2
0
med max�
π
π
 
VALOR EFICAZ (RMS o rms, Root Mean Square), es la raíz cuadrada de la media cuadrática de la función. 
Su valor, para una onda y(t) de período T, viene dado por: dt (t)y 
T
1 = Y 2
T
0
∫ 
Su justificación es la siguiente: Considérese una resistencia R por la que circula una corriente i(t), función 
periódica de período T. Por efecto de la corriente, la resistencia disipa una potencia instantánea p(t), que 
viene dada por: p(t) = R i2(t). El valor medio de la función periódica p(t), o potencia media, se calculará como: 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
59
dt (t)i R T
1 = dt p(t) 
T
1 = P 2
T
0
T
0
med ∫∫ 
Por otra parte, considerando la misma resistencia R se calcula la corriente constante I que debe circular por 
ella para que disipe la misma potencia que con la corriente periódica, es decir, que la potencia media sea la 
misma que la calculada para i(t). Así se tendrá que: 
 dt (t)i R T
1 = I R = P 2
T
0
2
med ∫ 
A este valor de la intensidad de corriente continua, que hace disipar la misma potencia que la potencia media 
disipada por la corriente i(t), se denomina valor eficaz de i(t). 
- Para una onda sinusoidal, por ejemplo i(t) = Imax sen(ωt), el valor eficaz viene dado por: 
t)d( t)(sen I 2
1 = I 22
 2
0
2 ωω
π
π
max� ; t)d( ) 2
t) (2 - 
2
1 ( I 2
1 = I 2
 2
0
2 ω
ω
π
π cos
max� ; 2
I = I max 
FACTOR DE AMPLITUD, de una onda se le denomina a la relación entre el valor de pico y el valor eficaz de 
dicha onda. 
- Para la onda sinusoidal i(t) = Imax sen(ωt): 1,414 2 = I
I
=
max 
FACTOR DE FORMA, de una onda se define como la relación entre el valor eficaz y el valor medio de dicha 
onda. Cuando el valor medio de la onda es nulo, como en el caso de las ondas sinusoidales, se suele tomar 
como valor medio el correspondiente a la onda doblemente rectificada. 
 
 
 
Figura 3.12.- Onda senoidal simétrica. 
 
- Para una onda sinusoidal, por ejemplo i(t) = Imax sen(ωt), se verifica que: 0 = I med 
 
Por tanto, el factor de forma no sería representativo. Es por ello, por lo que se calcula el factor de forma en 
base al valor medio de la onda doblemente rectificada. 
 
Se define la ONDA RECTIFICADA, de una onda alternada simétrica figura 3.12, como aquella en que se 
hacen cero los valores (lóbulos) negativos de la función original, tal como se muestra en la figura 3.13 para la 
onda senoidal. El valor medio de la onda rectificada viene dado por: 
π
ωω
π
π
max
0
max )()(2
1 ItdtsenIImed == � 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
59
 
 
 
Figura 3.13.- Onda sinusoidal rectificada. 
 
Se define la onda DOBLEMENTE RECTIFICADA, de una onda alternada simétrica, como aquella en la que 
se hacen positivos (cambio de signo) los valores
negativos de la función original, tal como se muestra en la 
figura 3.14 para la onda senoidal. El valor medio de la onda rectificada viene dado por: 
 
π
ωω
π
π
max
0
max
2)()(1 ItdtsenIImed == ∫ 
 
 
Figura 3.14.- Onda sinusoidal doblemente rectificada. 
 
Teniendo en cuenta este último valor medio, se tiene, para el factor de forma de la onda senoidal: 
 
1,11 
 / I 2
2 / I = 
I
I = forma de Factor
med
=
πmax
max 
 
 
ANÁLISIS DE LAS FORMAS DE ONDA POR EL MÉTODO DE FOURIER 
 
Los armónicos son corrientes, o tensiones, generadas por elementos activos o pasivos no lineales, que 
distorsionan las ondas sinusoidales puras. Las frecuencia de los armónicos son múltiplos de la frecuencia 
fundamental de la alimentación. 
 
Análisis de Circuitos Eléctricos F. Bugallo Siegel 
 
 
 
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El teorema de Fourier permite expresar cualquier función periódica como suma de un número finito o infinito 
de funciones sinusoidales. El error cometido, finito, puede ser tan pequeño como se quiera. Esto permite 
reducir el estudio de las funciones periódicas al de las funciones sinusoidales. Las respuestas de los circuitos 
lineales sometidos a excitaciones no sinusoidales se podrán determinar aplicando el teorema de Fourier, 
resolviendo para cada onda sinusoidal el problema lineal y aplicando el principio de superposición al conjunto 
de respuestas lineales. 
Toda onda periódica, es decir, que verifique que: ) T n + (t f = f(t) 
siendo n un número entero positivo y T el período, puede expresarse en serie de Fourier siempre que: 
1.- La función tenga un número finito de discontinuidades en el período T, si es discontinua. 
2.- El valor medio de la función, en el período, sea finito. 
3.- La función tenga un número finito de máximos positivos y negativos. 
La serie de Fourier puede escribirse en forma trigonométrica como: 
 t))w sen(nb + t)w (n a( + a = f(t) 0n0n
=1n
0 cos∑
∞
 
siendo, ω0 = 2 π / T, es la pulsación fundamental, relacionada con el período T de la función. 
a0, an, y bn son constantes a determinar que dependen de n y de f(t). 
El proceso de determinación de las constantes se denomina análisis de Fourier. Dicho valor se obtiene de 
las siguientes expresiones: 
dt f(t) 
T
1 = a
T
0
0 ∫ 
t)wd( t)w (n f(t) T
2 = a 00
T
0
n cos∫ 
t)wd( t)w (n senf(t) T
2 = b 00
T
0
n ∫ 
El término a0 corresponde al valor medio de la función y por tanto, al ser de frecuencia cero, a la componente 
de corriente continua, o de frecuencia cero, de la función periódica. 
Ciertos tipos de simetrías asociadas a las formas de onda hacen que el desarrollo de Fourier de las mismas 
contengan únicamente términos de un tipo, es decir, sólo términos en seno, o bien sólo armónicos impares, 
etc. Conocidas las simetrías de la onda en análisis, se simplifican los cálculos de los coeficientes del 
desarrollo. 
 
FUNCIÓN PAR, es aquella que verifica f(t) = f(-t), figura 3.11. El desarrollo sólo tiene términos en coseno. 
Por otra parte, la suma de dos funciones pares es una función par y la suma de una constante mantiene la 
función par. 
 
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Figura 3.11.- Función par. 
 
FUNCIÓN IMPAR, es aquella que cumple f(t) = -f(-t), figura 3.12. El desarrollo sólo posee términos en seno. 
La suma de dos o más funciones impares es una función impar. La suma de una constante a una función 
impar destruye la condición. 
 
Figura 3.12.- Función impar. 
 
SIMETRÍA DE SEMIONDA, surge cuando la función verifica que f(t) = -f(t+T/2), figura 3.13. El desarrollo sólo 
tiene términos impares. Si además la función es; Par, sólo tiene términos impares en coseno el desarrollo. 
Impar, solo tiene términos impares en seno el desarrollo. Este tipo de funciones aparece frecuentemente 
como respuesta de los elementos electrónicos cuando actúan con fuentes sinusoidales. 
 
Figura 3.13.- Simetría de semionda. 
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Los términos seno y coseno de la misma pulsación se pueden combinar para formar un único término con un 
ángulo de fase. Así, en forma más genérica se puede poner: ) - t (n c + c = f(t) nn
1=n
0 θω0cos∑
∞
 
o bien: ) + t (n senc + c = f(t) nn
1=n
0 φω0∑
∞
, siendo c0 = a0 el término de corriente continua, y los restantes 
parámetros: b + a = c n
2
n
2
n y )
b
a( arctg = )
a
b( arctg = 
n
n
n
n
n
n φθ 
por tanto, cn es el valor máximo de la función correspondiente al armónico n-ésimo y θn ó φn son los ángulos 
de fase del armónico n-ésimo cuando se expresan en funciones coseno o seno, respectivamente. 
Para una onda periódica expresada por: ) + t (n senc + c = f(t) nn
1=n
0 φω0∑
∞
 
el VALOR MEDIO viene dado por: c = F 0med 
 
y el VALOR EFICAZ por: ... + c 2
1 + c 2
1 + c = F 2
2
1
2
0
2
ef 
En la expresión del desarrollo en serie de senos de Fourier se puede reagrupar separando el armónico 
fundamental de los restantes, así: ) + t (n senc + ) + t( senc + c = f(t) nn
2=n
110 φωφω 00 ∑
∞
 
Se define DISTORSIÓN (o factor de distorsión), THD ( Total Harmonic Distortion ), a la relación entre el valor 
eficaz de la componente fundamental y el valor eficaz del conjunto de armónicos. Por tanto, su expresión 
será:
∑
=
=
n
n
nc
cTHD
1
2
1 
supuesto C0 = 0, es decir, una onda simétrica alternada. 
Con presencia de armónicos, el denominador es mayor que el numerador y por tanto el factor de distorsión 
es menor que la unidad, como sucede con el factor de potencia, que se verá posteriormente. 
Este factor de distorsión da una idea de lo apartada que se encuentra una onda periódica de la forma 
sinusoidal ya que muestra la existencia, o no, de armónicos. Se ha de recordar que las ondas sinusoidales 
sólo contienen el armónico fundamental. Por tanto, los límites del factor de distorsión serán, uno para ondas 
sin distorsión, y cero para las ondas muy distorsionadas con armónico fundamental despreciable. 
 
 
ESPECTRO DE LÍNEAS 
 
Se llama así a la representación gráfica en la que figuran uno de los parámetros del desarrollo en función de 
la frecuencia o pulsación, figura 3.14. Cuando se representan las amplitudes de los armónicos se denomina 
ESPECTRO DE AMPLITUDES (o VALORES EFICACES), y cuando se representan las fases de cada uno de 
los armónicos ESPECTRO DE FASES. 
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 Figura 3.14.- Espectro de amplitudes. Espectro de fases. (Onda cuadrada). 
 
SÍNTESIS DE ONDAS 
 
La síntesis de las ondas es la recombinación de los armónicos correspondientes a una onda dada para 
reproducir dicha onda original. Dado que el desarrollo de Fourier tiene infinitos términos y la síntesis se hace 
con un número discreto de armónicos, la recomposición será aproximada. Normalmente, para las formas de 
onda de la Electrotecnia de potencia, la utilización de los cuatro o cinco primeros armónicos es suficiente 
para una reconstrucción adecuada de la onda original. 
Una onda cuadrada alternada, de amplitud Vm, tiene una serie de Fourier de armónicos impares dada por: 





 ... + t 5 
5
1 + t 3 
3
1 - t V 4 = ) t ( v 000m ωωω
π
coscoscos 
su representación corresponde a la figura 3.15, en la que se muestran estos tres primeros armónicos y la 
composición del primer y tercer armónico. 
 
 Figura 3.15.- Síntesis de una onda cuadrada. 
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RESUMEN 
 
ONDAS PERIÓDICAS: ) T n + t (y = ) t (y 
�=
T
med dttyT
Y : medio Valor
0
)(1 
t d ) t ( y 
T
1 = Y :eficaz Valor 2
T
0
2 � 
 
ONDAS SINUSOIDALES: ) t ( senY + Y = ) t (y 0 ωmax 
Y = Y : medio Valor 0med 
2
Y + Y = Y :eficaz Valor
2
2
0
max 
 
ONDAS SINUSOIDALES SIMÉTRICAS: ) t ( senY = ) t (y ωmax 
0 = Y : medio Valor med 
2
Y = Y :eficaz Valor max 
ONDAS NO SINUSOIDALES: ) ) t n ( senb + ) t n ( a ( + a = ) t (y 0n0n
1 = n
0 ωωcos∑
∞
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 4 
TENSIONES Y CORRIENTES SENOIDALES 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
En este capitulo se estudian los fundamentos necesarios para el conocimiento y práctica de la corriente 
alterna. Se introducen algunas definiciones inherentes a las ondas sinusoidales. Se continua con el estudio 
del comportamiento de los elementos pasivos y electrónicos cuando son utilizados con corrientes senoidales. 
Se introduce las representación fasorial y el concepto de impedancia y admitancia. 
 
 
ORIGEN DE TIEMPOS 
 
Cuando se analiza la respuesta de un circuito de corriente alterna, en régimen estacionario, es necesario 
tener en cuenta el origen de tiempos de las funciones temporales, a no ser que se incluya con los datos del 
problema. 
Fijar el origen de tiempos es establecer el origen del eje de abcisas, o de tiempos, en un punto determinado 
de la representación de una de las múltiples ondas senoidales que aparecen en todo circuito eléctrico 
excitado por fuentes de tensión y de corriente sinusoidales. 
 
 
 Figura 4.1.- Puntos cero de una onda sinusoidal. 
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Establecido el origen de tiempos, las expresiones matemáticas de todas las ondas sinusoidales vendrán 
referidas a dicho origen, ya que es único para todas las funciones temporales del circuito. Se puede decir 
que, fijado un origen de tiempos, éste es único para todo el circuito. 
En general, se recomienda tomar como origen de tiempos el punto de la onda que más simplifique la 
posterior resolución del problema y que dependerá en cada caso de la configuración del circuito. Pueden 
darse, de antemano, algunas recomendaciones para su elección. 
Es aconsejable tomar como origen de tiempos uno de los puntos cero de cualquiera de las ondas. Se 
entiende por punto cero, ver figura 4.1., aquel en el cual la función senoidal vale cero y se hace positiva. 
 
ÁNGULO DE FASE Y DIFERENCIA DE FASES 
 
La expresión matemática de una onda senoidal con origen de tiempos en un punto cero viene dada por: 
t)( senY = y(t) ωmax 
siendo y(t) el valor instantáneo de la función, Ymax el valor máximo, pico o amplitud de la función, ω la 
pulsación o velocidad angular y t el tiempo. Su representación es la de la figura 4.2. 
 
 
Figura 4.2.- Origen de tiempos en un punto cero. 
 
Elegido el anterior origen de tiempos, la expresión genérica de otra onda senoidal es: 
) + t( senX = x(t) φωmax 
siendo φ la fase, o ángulo de fase, de la onda x(t), o diferencia de fase entre x(t) e y(t) (referido al origen de 
tiempos seleccionado). La representación de ambas ondas es la de la figura 4.4. 
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Figura 4.4.- Ángulo de fase. Desfase. 
 
Se dice que una onda adelanta a otra, cuando el tiempo en que alcanza su valor máximo la primera onda es 
anterior al de la segunda. 
 
 
Figura 4.4.- Ángulo de fase. Desfase. 
 
En el caso anterior, la onda x(t) adelanta a la onda y(t) en un ángulo φ, o lo que es lo mismo, la onda y(t) está 
retrasada un ángulo φ respecto a la onda x(t). El adelanto, o retraso, de las ondas se puede también 
expresar en tiempo sin más que aplicar la expresión t = φ°°°°/ f x 360°°°°, siendo f la frecuencia en hercios. 
Si se toma cualquier otro punto cero de la onda x (t) como referencia, tal como se muestra en la figura 4.4, la 
función tendrá una expresión diferente. 
Tomando como origen de referencia el punto cero de la izquierda, más alejado del origen, se tiene que: 
) + t ( senX = ) t ( x => ) + 2 + t ( senX = ) t ( x φωφπω maxmax 
Si se toma como origen de referencia el punto cero de la derecha se obtendrá que: 
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 [ ] ) + t ( senX = ) t ( x => ) - 2 ( - t senX = ) t ( x φωφπω maxmax 
 
Por tanto, la fase de la onda senoidal es independiente de la elección del punto cero seleccionado. Por ello, a 
la hora de establecer la fase de una onda, es mejor tomar el punto cero más próximo al origen de tiempos. 
 
 
Figura 4.5.- Desfase y diferencia de fases. 
 
Si las ondas a comparar no tienen ángulos de fase cero, es decir que sus expresiones matemáticas son del 
tipo: ) - t( senZ = z(t) ) + t( senX = x(t) θωφω maxmax 
el ángulo α diferencia entre φ y θ se denomina diferencia de fase ( α = φ - θ ), como se muestra en la figura 
4.5. 
Como la función x(t) alcanza su valor máximo antes que la función z(t), se dice que x(t) adelanta a z(t) un 
ángulo α, o bien que z(t) está retrasada respecto de x(t) el citado ángulo. 
 
UNIDADES 
 
Los valores: instantáneo, máximo y eficaz, de una onda senoidal se expresan en las mismas unidades que la 
magnitud física que representa dicha onda. Así, para la función i(t) = Imax sen ( ω t + θ ) que representa un 
corriente alterna, i(t), Imax e I, se expresarán en amperios. 
La velocidad angular ω, o pulsación, se expresa en radianes por segundo y, al dimensionarse t en segundos, 
ωt se vendrá dado en radianes. 
Como ωt se proporciona en radianes, el ángulo de fase debería darse en radianes, sin embargo suele 
indicarse en grados con el fin de facilitar las operaciones, como se verá posteriormente. 
Si en algún caso es necesario calcular el valor instantáneo de la función, será necesario o bien transformar 
ωt en grados o bien la fase en radianes. 
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CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO 
 
Se trata de calcular la tensión que aparece en los extremos de una resistencia R pura, o ideal, figura 4.6, 
cuando es recorrida por una corriente senoidal. 
 
Figura 4.6.- Circuito resistivo puro. 
 
Se toma como origen de tiempos el instante en que la corriente pasa por un punto cero. Su expresión 
matemática será entonces: t)( senI 2 = i(t) ω 
siendo I el valor eficaz de la onda de corriente. 
Teniendo en cuenta que: i(t) R = (t)vR , se obtiene: t)( senI R 2 = (t)vR ω 
La tensión en los extremos de una resistencia pura está en fase con su corriente, tal como se muestra en la 
figura 4.7. 
 
Figura 4.7.- Representación de vR(t) e i(t). 
 
Si se llama VR al valor eficaz de la función vR(t), se verifica que: 
I R = V R 
es decir que entre el valor eficaz de la tensión entre los extremos de una resistencia pura y el de
su corriente 
se verifica la LEY DE OHM. 
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Si la corriente que circula por la resistencia es de la forma: ) + t( senI 2 = i(t) αω 
la tensión en sus extremos valdrá: ) + t( senI R 2 = (t)vR αω 
Por tanto, en una resistencia pura siempre se verifica que la tensión y corriente están en fase. 
 
CIRCUITO PURAMENTE INDUCTIVO 
 
 
El cálculo de la tensión entre los extremos de una bobina pura, o ideal, de autoinducción L, figura 4.8, cuando 
circula por ella una corriente senoidal de la forma: t)( senI 2 = i(t) ω 
 
Figura 4.8.- Circuito inductivo puro. 
 
se establece teniendo en cuenta que: 
dt
di(t) L = (t)vL 
y, por tanto, se obtiene: t)( I ) L ( 2 = (t)vL ωω cos 
pasando a función seno: )90 + t( senI ) L ( 2 = (t)vL °ωω 
La tensión en los extremos de una bobina pura adelanta 90º a la corriente, o bien, la corriente está retrasada 
90º respecto de la tensión, como se muestra en la figura 4.9. 
 
Figura 4.9.- Representación de vL(t) e i(t). 
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Llamando VL al valor eficaz de la onda v(t), se verifica que: I ) L ( = V L ω 
] [ =] 
A
V [ L ] 
s
rad [ ;] 
A
 s. V [ L Ω×⇒ ωω 
El producto ωL puede ser comparado, dimensionalmente, a una resistencia. pero con la particularidad de 
que la tensión y la corriente están desfasados 90º entre sí. A este producto se le denomina reactancia, y por 
tratarse de una bobina se la designa como reactancia inductiva y se representa simbólicamente por XL. 
Por definición de reactancia inductiva se tiene que: f 2 L = L = X L ×××× πω 
por tanto, el valor de la reactancia inductiva depende de la frecuencia. 
Expresando las relaciones anteriores en función de los valores eficaces de las ondas se puede escribir: 
I X = V LL × 
expresión que representa la LEY DE OHM para una bobina. 
Si la corriente que circula por la bobina es de la forma: ) + t( senI 2 = i(t) αω 
como, 
dt
i(t) d L = (t)vL , se tiene que: )90 + + t( senI X 2 = (t)v LL °αω 
es decir, en una bobina pura, o ideal, se verifica siempre que la tensión entre sus extremos está adelantada 
90º respecto de su corriente. 
Este hecho es muy útil a la hora de elegir el origen de tiempos, ya que si se toma como éste el instante en 
que la corriente pasa por un punto cero, la fase de ésta será cero y la correspondiente a la de la tensión será 
de 90º. 
 
 
CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO 
 
El cálculo de la tensión entre los extremos de un condensador ideal o puro, de capacidad C, figura 4.10, 
cuando por él circula una corriente senoidal, se puede establecer de la siguiente forma. 
 
 
Figura 4.10.- Circuito capacitivo puro. 
 
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Para una corriente dada por la función: t)( senI 2 = i(t) ω 
teniendo en cuenta que: dt i(t) 
C
1 = (t)vC ∫ 
se tiene que: ] t)( - [ I )
 C
1( 2 = (t)vC ω
ω
cos 
pasando a función seno: )90 - t( senI )
 C
1( 2 = (t)vC °ω
ω
 
 
La tensión entre los extremos de un condensador puro retrasa 90º respecto de la corriente que lo atraviesa, 
o bien, la corriente adelanta 90º respecto de la tensión, como se muestra en la figura 4.11. 
 
 
Figura 4.11.- Representación de vC(t) e i(t). 
 
Llamando VC al valor eficaz de la onda vC(t) se verifica: I ) C
1( = V C
ω
 
El factor 1/ωC puede ser comparado a una resistencia, pero con la peculiaridad de que la tensión y la 
corriente están desfasadas 90º entre sí, figura 4.11. Este factor toma el nombre de reactancia y, por 
presentarse en los condensadores y con el fin de diferenciarla de la reactancia inductiva, se califica como 
reactancia capacitiva, representándose por XC. 
Por definición de reactancia capacitiva se tiene que: ) 
f 2 C
1 ( = ) 
 C
1 ( = X C
××× πω
 
por tanto, el valor de la reactancia capacitiva depende de la frecuencia. 
Teniendo en cuenta las expresiones anteriores se puede establecer la siguiente relación entre los valores 
eficaces de las ondas de tensión y corriente: 
I X = V CC 
expresión que representa la LEY DE OHM para un condensador puro. 
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Si la corriente que circula por el condensador es de la forma: ) + t( senI 2 = i(t) αω 
la tensión vendrá dada por: )90 - + t( senI ) 
 C
1 ( I 2 = (t) vC °αω
ω
 
así, en un condensador puro siempre se verifica que la tensión entre sus extremos está retrasada 90º 
respecto de la corriente que lo atraviesa. 
Como en el caso de la bobina, el hecho de conocer el desfase entre tensión y corriente es muy útil a la hora 
de elegir el origen de tiempos de las ondas, ya que si se toma origen un punto cero de la onda de corriente la 
fase de ésta será nula y la de la tensión será de - 90º. 
 
REPRESENTACIÓN VECTORIAL - FASORIAL DE LAS ONDAS ELÉCTRICAS 
 
En cualquier circuito eléctrico aparece una multitud de ondas senoidales correspondientes a tensiones y 
corrientes con amplitudes y fases distintas. La representación de estas funciones, amplitud función del 
tiempo, se convierte en un proceso tedioso cuyo resultado es un sinnúmero de gráficas, todas ellas 
senoidales, cuya falta de claridad no permite un fácil análisis del comportamiento del circuito. Conviene 
disponer de un método de representación sencillo y claro. 
El método utilizado es la representación vectorial - fasorial, figura 4.12, que consiste en asignar a cada onda 
un vector que tenga: 
1.- Por módulo, el valor máximo de la onda en el caso de representación vectorial, o el valor eficaz de la onda 
para la representación fasorial. 
2.- Por argumento, la fase de la onda medida a partir del origen de tiempos y con signo positivo en el 
sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. 
 
 
Figura 4.12.- Diagrama vectorial. 
 
Tanto los vectores como los fasores se representan por una letra mayúscula con un guión en la parte 
superior. Así por ejemplo, para el valor instantáneo de una tensión dada por: 
) V ( ) + t ( senV 2 = (t) v °αω 
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su vector o fasor se representará por , siendo su valor máximo √ V, su valor eficaz V y su fase α. 
El vector y fasor correspondientes viene dado por: 
) V ( V 2 = V Vector °∠⇒ α 
) V ( V = V Fasor °∠⇒ α 
Es muy importante tener presente que todas las funciones de onda que se representen han de tener la 
misma velocidad angular ω, o pulsación o frecuencia f, ya que la representación vectorial-fasorial es una 
congelación en el tiempo de estos vectores giratorios. Para que esta detención del tiempo sea independiente 
del instante en que se realice (origen de