La distribucion normal Metodo estadistico aplicado

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Ejemplos de distribución normal. 
 
En un examen de admisión participan 750 aspirantes y se registra una puntuación media de 72 con 
desviación típica de 9. 
 
 
¿Cuántos de los examinados alcanzarán un puntaje superior a 95? 
Datos: 
n=750 
xi=95 
95x 
 
s=9 
Z=? 
Calculando el valor de Z, 
✎ 
95 72
2.55
9
ix xZ
s
 
  
 
 
Calculando el área cuando Z=2.55 con la tabla 
✎ (Área Z2.55)=0.4946 
 
Calculando el área bajo la curva: 
✎ (Área B) = 1 – (Área A) 
✎ (Área A) =0.5+ (Área Z2.55)=0.5+0.4946=0.9946 
✎ (Área B)=1-0.9946=0.0054 
El (Área B) señala la probabilidad de que un alumno obtenga un puntaje mayor a 95. 
 
Calculando el número de alumnos que alcanzarán un puntaje mayor a 95 
✎ La probabilidad de tener un puntaje mayor a 95=0.0054 
✎ Número de alumnos = n*probabilidad=750*0.0054=4.05 
45 49.5 54 58.5 63 67.5 72 76.5 81 85.5 90 94.5 99
Valor Y 1 4 11 27 51 74 83 74 51 27 11 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
 
Valor X 
Z # # # # # 0.05
0.0 # # # # # 0.0199
0.1 # # # # # 0.0596
0.2 # # # # # 0.0987
0.3 # # # # # 0.1368
0.4 # # # # # 0.1736
0.5 # # # # # 0.2088
0.6 # # # # # 0.2422
0.7 # # # # # 0.2734
0.8 # # # # # 0.3023
0.9 # # # # # 0.3289
1.0 # # # # # 0.3531
1.1 # # # # # 0.3749
1.2 # # # # # 0.3944
1.3 # # # # # 0.4115
1.4 # # # # # 0.4265
1.5 # # # # # 0.4394
1.6 # # # # # 0.4505
1.7 # # # # # 0.4599
1.8 # # # # # 0.4678
1.9 # # # # # 0.4744
2.0 # # # # # 0.4798
2.1 # # # # # 0.4842
2.2 # # # # # 0.4878
2.3 # # # # # 0.4906
2.4 # # # # # 0.4929
2.5 # # # # # 0.4946
Área del centro a Z2.55 
 
 
 
 
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Conclusión: 
Dada la normalidad de los datos, se espera que sean 4 alumnos los que alcancen un puntaje 
superior a 95 aciertos. 
 
¿Cuantos aspirantes obtendrán puntaje entre 60 y 70? 
 
Datos: 
n=750 
x1=60 
x2=70 
x  72 
s=9 
Calculando el valor de Z para x1 
✎ 
1
60 72
1.3333
9
ix xZ
s
 
   
 
Calculando el valor de Z para x2 
✎ 
2
70 72
0.2222
9
ix xZ
s
 
   
 
Calculando el área entre Z-1.33 hasta Z-0.22 
✎ Área A= área entre Z-1.33 y Z-0.22=(Área B)-(Área C)=0.4082-0.0871=0.3181 
✎ Área B= área del centro hasta Z-1.33=0.4082 
✎ Área C= área del centro hasta Z-0.22=0.0871 
 
Calculando el número de alumnos que alcanzarán un puntaje entre 60 y 70: 
✎ La probabilidad de tener un puntaje entre 60 y 70 aciertos es de 0.3181 
✎ Número de alumnos = n*probabilidad=750*0.3181=238.575 
45 49.5 54 58.5 63 67.5 72 76.5 81 85.5 90 94.5 99
Valor Y 1 4 11 27 51 74 83 74 51 27 11 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Valor X 
El (área B) 
indica la 
probabili-
dad de 
alcanzar 
un puntaje 
mayor a 
95 
Valor xi=95 
Valor Z=? 
 
95 72
2.55
9
ix xZ
s
 
  
Área B 
❷ 
❶ 
❸ 
El centro del modelo, divide 
el área bajo la curva en dos 
mitades de 0.5 
Área del 
centro 
hasta Z2.55 
(0.4946) 
Área de 
la mitad 
izquierda 
(0.5) 
Área A 
❺
❹ 
❹ 
Área B= 1- 
(Área A) =1-
(0.5+0.4946)
=0.0054 
❻
❺
Z ## ## ## 0.03
0.0 ## ## ## 0.0120
0.1 ## ## ## 0.0517
0.2 ## ## ## 0.0910
0.3 ## ## ## 0.1293
0.4 ## ## ## 0.1664
0.5 ## ## ## 0.2019
0.6 ## ## ## 0.2357
0.7 ## ## ## 0.2673
0.8 ## ## ## 0.2967
0.9 ## ## ## 0.3238
1.0 ## ## ## 0.3485
1.1 ## ## ## 0.3708
1.2 ## ## ## 0.3907
1.3 ## ## ## 0.4082
Área del centro a Z1.33 
Z 0.00 0.01 0.02
0.0 0.0000 0.0040 0.0080
0.1 0.0398 0.0438 0.0478
0.2 0.0793 0.0832 0.0871
Área del centro a Z0.22 
 
 
 
 
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Conclusión: 
Dada la normalidad de los datos, se espera que 239 alumnos alcancen un puntaje de entre 
60 y 70 aciertos. 
 
 
¿Cuantos aspirantes obtendrán puntaje entre 68 y 88? 
Datos: 
n=750 
x1=68 
x2=88 
x  72 
s=9 
Calculando el valor de Z para x1 
✎ 
1
68 72
0.4444
9
i
x
x x
Z
s
 
   
 
Calculando el valor de Z para x2 
✎ 
2
88 72
1.7777
9
i
x
x x
Z
s
 
  
 
Calculando el área entre Z-0.44 hasta Z1.77 
✎ Área A= área entre Z-0.44 y Z1.77=(Área B)+(Área C)=0.6316 
✎ Área B= área del centro hasta Z-0.44=0.17 
✎ Área C= área del centro hasta Z1.77=0.4616 
 
Calculando el número de alumnos que alcanzarán un puntaje entre 68 y 88: 
✎ La probabilidad de tener un puntaje entre 68 y 78 aciertos es de 0.6316 
✎ Número de alumnos = (n)(probabilidad)=(750)(0.6316)=0.6316 
 
45 49.5 54 58.5 63 67.5 72 76.5 81 85.5 90 94.5 99
Valor Y 1 4 11 27 51 74 83 74 51 27 11 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Valor X 
Centro del 
modelo 
Área B 
Área B= el área del centro del 
modelo hasta Z-1.33 = 0.4082 
Área desde 
Z-1.33 hasta Z-0.22 
Área A 
❹ 
Valor x1=60 
Valor Z=-1.33 
❶ 
Área C= el área del centro 
del modelo hasta Z-0.22 = 
0.0871 
❺
❹ 
Valor x2=70 
Valor Z=-0.22 
❷ 
❸ 
❻
❺
Área A= (Área B)-
(Área C) =0.4082-
0.0871=0.3181 
❼
❻
Área del centro a Z-0.44 
Área del centro a Z1.77 
Z ## ## ## ## 0.04
0.0 ## ## ## ## 0.0160
0.1 ## ## ## ## 0.0557
0.2 ## ## ## ## 0.0948
0.3 ## ## ## ## 0.1331
0.4 ## ## ## ## 0.1700
Z # # # # # # # 0.07
0.0 # # # # # # # 0.0279
0.1 # # # # # # # 0.0675
0.2 # # # # # # # 0.1064
0.3 # # # # # # # 0.1443
0.4 # # # # # # # 0.1808
0.5 # # # # # # # 0.2157
0.6 # # # # # # # 0.2486
0.7 # # # # # # # 0.2794
0.8 # # # # # # # 0.3078
0.9 # # # # # # # 0.3340
1.0 # # # # # # # 0.3577
1.1 # # # # # # # 0.3790
1.2 # # # # # # # 0.3980
1.3 # # # # # # # 0.4147
1.4 # # # # # # # 0.4292
1.5 # # # # # # # 0.4418
1.6 # # # # # # # 0.4525
1.7 # # # # # # # 0.4616
 
 
 
 
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Conclusión: 
Dada la normalidad de los datos, se espera que 239 alumnos alcancen un puntaje de entre 
60 y 70 aciertos. 
 
 
Si se planea aceptar a 300 de ellos, ¿Cuál será el puntaje requerido para la admisión? 
Datos: 
n=750 
n*p=300 ∴ p=300/750=0.4 (Alumnos que serán aceptados). El área debe avanzar de la cola 
derecha hacia la izquierda, ya que se espera captar a los 300 
mejores puntajes. 
x=? 
Z=? 
x  72 
s=9 
Calculando el valor de Z 
✎ El valor de Z determina un área de 0.4 desde la cola derecha de la curva normal, de otro 
modo, el valor de Z determina un área de 0.1 desde al centro a la cola derecha. 
✎ Si empleamos la atabla para calcular el área desde el centro, hasta el punto en que toma un 
valor de 0.1, podemos hallar el valor de Z. 
✎ 
0.26Z 
 
Calculando el valor de x 
✎ 
(0.26 9) 72 74.34
i
i
x x
Z
s
x Zs x


     
 
45 49.5 54 58.5 63 67.5 72 76.5 81 85.5 90 94.5 99
Valor Y 1 4 11 27 51 74 83 74 51 27 11 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Valor X 
Centro del 
modelo ❹ 
Valor x1=68 
Valor Z=-0.44 
❶ 
Área C= el área del centro 
del modelo hasta Z1.77 = 
0.4616 
Valor x2=88 
Valor Z=1.77 
❷ 
❻
❺
Área A= (Área 
B)+(Área C) 
=0.17+0.4616=0.63
16 
❼
❻
Área A: desde 
Z-0.44 hasta Z1.77 
❸ 
Área B= el área del centro del 
modelo hasta Z-0.44 = 0.17 
❺
❹ 
Valor de Z donde el área bajo la 
curva equivale a 0.1 
Z ## ## ## ## ## ## 0.06
0.0 ## ## ## ## ## ## 0.0239
0.1 ## ## ## ## ## ## 0.0636
0.2 ## ## ## ## ## ## 0.1026
 
 
 
 
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Conclusión 
✎ Dada la normalidad de los datos, el puntaje mínimo que asegura que alrededor de 300 
alumnos sean aceptados, equivale a 74 aciertos en la prueba de admisión. 
 
Se habrán de conceder 50 becas a los mejores alumnos, ¿Cuál será el puntaje 
requerido para obtener una beca? 
 
Datos: 
n=750 
(n)(p)=50∴ p=50/750=0.06 ⇾ (probabilidad de los alumnos que serán becados). El área debe 
avanzar de la cola derecha hacia el centro del modelo, ya que se 
espera incluir a los 50 mejores alumnos. 
x=? 
Z=? 
x  72 
s=9 
Calculando el valor de Z 
✎ El valor de Z determina un área de 0.06, que se calcula desde dicha posición hasta la cola 
derecha de la curva normal; el área también se puede expresar desde el centro del modelo 
hasta la posición de Z, el valor de dicha área seria de 0.5-0.06 =0.4333 
✎ Si empleamos la tabla para calcular el área desde el centro, hasta el punto en que toma un 
valor de 0.4333, podemos hallar el valor de la posición de Z. 
✎ 
1.5Z 
 
Calculando el valor de x 
✎ 
(1.5 9) 72 85.5
i
i
x x
Z
s
x Zs x


     
 
 
 
 
45 49.5 54 58.5 63 67.5 72 76.5 81 85.5 90 94.5 99
Valor Y 1 4 11 27 51 74 83 74 51 27 11 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Valor X 
Centro del 
modelo 
Área B=0.1 
 
Valor Z= 0.26 
Área A =0.4 
Es el área 
donde se 
encuentran 
los 300 
mejores 
puntajes 
❶ 
Valor X= 74 
❹ 
❺
❹ 
❸ 
❷ 
Valor de Z 
donde el área 
bajo la curva 
equivale a 
0.4333 
Z 0.00
0.0 0.0000
0.1 0.0398
0.2 0.0793
0.3 0.1179
0.4 0.1554
0.5 0.1915
0.6 0.2257
0.7 0.2580
0.8 0.2881
0.9 0.3159
1.0 0.3413
1.1 0.3643
1.2 0.3849
1.3 0.4032
1.4 0.4192
1.5 0.4332
 
 
 
 
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Conclusión 
✎ Dada la normalidad de los datos, el puntaje mínimo que asegura contar con los 50 mejores 
alumnos, equivale a 86 aciertos en la prueba de admisión. 
 
Si planea conceder 80 medias becas, ¿Cuál será el puntaje requerido para obtener 
media beca? 
 
Datos: 
n=750 
(n)(p)=80 ∴ p=80/750=0.1066 ⇾ (probabilidad de los alumnos que obtendrán media beca). El 
área debe calcularse entre la posición de Z1.5 hacia el centro del 
modelo, ya que se espera incluir a los 80 mejores alumnos, que no 
alcanzaron una beca completa. 
x=? 
Z=? 
x  72 
s=9 
Calculando el valor de Z? 
✎ El valor de la posición Z? debe determinar un área de 0.1066, que se calcula desde dicha 
posición hasta la posición Z1.5; si sabemos que el área a la derecha de Z1.5 es de 0.06, 
entonces el área también se puede expresar desde el centro del modelo hasta la posición de 
Z?, el valor de dicha área seria de 0.5-(0.06+0.1066)=0.3334 
✎ Si empleamos la tabla para calcular el área desde el centro, hasta el punto en que toma un 
valor de 0.3334, podemos hallar el valor de la posición de Z. 
✎ 
0.97Z 
 
Calculando el valor de x 
✎ 
(0.97 9) 72 80.73
i
i
x x
Z
s
x Zs x


     
 
 
 
45 49.5 54 58.5 63 67.5 72 76.5 81 85.5 90 94.5 99
Valor Y 1 4 11 27 51 74 83 74 51 27 11 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Valor X 
Centro del 
modelo 
Valor Z= 1.5 
Área A =0.06 
Es el área 
donde se 
encuentran 
los 50 
mejores 
alumnos 
❶ 
Valor X= 85.5 
❹ 
❺
❹ 
❷ 
Área B=0.5-
0.06=0.4333 
 ❸ 
Valor de Z? 
donde el área 
bajo la curva 
equivale a 
0.3334 
Z # # # # # # # 0.07
0.0 # # # # # # # 0.0279
0.1 # # # # # # # 0.0675
0.2 # # # # # # # 0.1064
0.3 # # # # # # # 0.1443
0.4 # # # # # # # 0.1808
0.5 # # # # # # # 0.2157
0.6 # # # # # # # 0.2486
0.7 # # # # # # # 0.2794
0.8 # # # # # # # 0.3078
0.9 # # # # # # # 0.3340
 
 
 
 
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7
 
 
Conclusión 
✎ Dada la normalidad de los datos, el puntaje mínimo que asegura contar con los 80 mejores 
alumnos que no obtuvieron beca completa, equivale a 81 aciertos en la prueba de admisión. 
Dicho de otra manera, tendrán media beca los alumnos que tengan entre 81 y 86 aciertos. 
 
 Si las alturas de 300 estudiantes se distribuyen normalmente con media 68,0 pulgadas y 
desviación típica 3,0 pulgadas. 
 
 
 
 
 
a) ¿cuántos estudiantes tienen alturas mayores de 72 pulgadas? 
 
59 60.5 62 63.5 65 66.5 68 69.5 71 72.5 74 75.5 77
Valor Y 1 4 14 32 61 88 100 88 61 32 14 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2 
45 49.5 54 58.5 63 67.5 72 76.5 81 85.5 90 94.5 99
Valor Y 1 4 11 27 51 74 83 74 51 27 11 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Valor X 
Centro del 
modelo 
Valor Z= 1.5 
Valor X=85.35 
Área A =0.06 
Es el área 
donde se 
encuentran 
los alumnos 
que tienen 
beca 
completa 
❶ 
Valor Z?= 0.97 
❺
❹ 
Área C=0.5-
(0.1066+0.06)
=0.3334 
 
Área B =0.1066 
Valor X= 80.7 
❻
❺
❸ 
❹ 
Es el área donde se 
encuentran los 
alumnos que tienen 
media beca ❷ 
Valor X 
 
 
 
 
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Datos: 
n=300 
xi=72 
x =68 
s=3 
Z=? 
Calculando el valor de Z, 
✎ 
72 68
1.33
3
ix xZ
s
 
  
 
 
Calculando el área del centro del modelo hasta Z1.33 con la tabla 
✎ (Área del centro hasta Z1.33)=0.4082 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(Área A) 
 
Calculando el área de Z1.33 hacia la cola derecha: 
✎ (Área de Z1.33 hasta la cola derecha)=0.5-(Área A)=0.5-0.4082=0.0918 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(Área B) 
✎ El Área B indica la probabilidad de encontrar alumnos con talla mayor a 72 pulgadas. 
 
Calculando el número de alumnos que alcanzarán una talla mayor a 72 pulgadas 
✎ La probabilidad de tener una talla mayor a 72=0.0918 
✎ Número de alumnos = (n)(probabilidad)=300*0.0918=27.54 
 
 
 
Conclusión 
✎ Dada la normalidad de los datos, se espera que 28 alumnos tengan tallas por arriba de 72 
pulgadas. 
 
 
 
(b) ¿cuántos estudiantes tienen alturas menores a 64 pulgadas? 
 
Datos: 
59 60.5 62 63.5 65 66.5 68 69.5 71 72.5 74 75.5 77
Valor Y 1 4 14 32 61 88 100 88 61 32 14 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Valor X 
Centro del 
modelo 
Valor Z= 1.33 
Área A 
=0.4082 
Valor X= 72 
❷
❶
❶
❺
❹
❺
❸
❹
Área B =0.5-
AreaA=0.5-
0.4082=0.0918 
Es el área 
donde se 
encuentran 
los alumnos 
con más de 
72 pulgadas 
❺
❸
Área del centro a Z1.33 
Z ### ### ### 0.03
0.0 ### ### ### 0.0120
0.1 ### ### ### 0.0517
0.2 ### ### ### 0.0910
0.3 ### ### ### 0.1293
0.4 ### ### ### 0.1664
0.5 ### ### ### 0.2019
0.6 ### ### ### 0.2357
0.7 ### ### ### 0.2673
0.8 ### ### ### 0.2967
0.9 ### ### ### 0.3238
1.0 ### ### ### 0.3485
1.1 ### ### ### 0.3708
1.2 ### ### ### 0.3907
1.3 ### ### ### 0.4082
 
 
 
 
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n=300 
xi=72 
x =68 
s=3 
Z=? 
Calculando el valor de Z, 
✎ 
72 68
1.33
3
ix xZ
s
 
  
 
 
Calculando el área del centro del modelo hasta Z1.33 con la tabla 
✎ (Área del centro hasta Z1.33)=0.4082 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(Área A) 
 
Calculando el área de Z1.33 hacia la cola derecha: 
✎ (Área de Z1.33 hasta la cola derecha)=0.5-(Área A)=0.5-0.4082=0.0918 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(Área B) 
✎ El Área B indica la probabilidad de encontrar alumnos con talla mayor a 72 pulgadas. 
 
Calculando el número de alumnos que alcanzarán una talla mayor a 72 pulgadas 
✎ La probabilidad de tener una talla mayor a 72=0.0918 
✎ Número de alumnos = (n)(probabilidad)=(300)(0.0918)=27.54 
 
 
 
Conclusión 
✎ Dada la normalidad de los datos, se espera que 28 alumnos tengan tallas por arriba de 72 
pulgadas. 
 
 
 
(c) ¿cuántos estudiantes tienen alturas entre 65 y 71 pulgadas inclusive? 
Datos: 
n=300 
x1=65 
59 60.5 62 63.5 65 66.5 68 69.5 71 72.5 74 75.5 77
Valor Y 1 4 14 32 61 88 100 88 61 32 14 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Valor X 
Centro del 
modelo 
Valor Z= 1.33 
Área A 
=0.4082 
Valor X= 72 
❷
❶
❶
❺
❹
❺
❸
❹
Área B =0.5-
AreaA=0.5-
0.4082=0.0918 
Es el área 
donde se 
encuentran 
los alumnos 
con más de 
72 pulgadas 
❺
❸
Área del centro a Z1.33 
Z ###### ### 0.03
0.0 ### ### ### 0.0120
0.1 ### ### ### 0.0517
0.2 ### ### ### 0.0910
0.3 ### ### ### 0.1293
0.4 ### ### ### 0.1664
0.5 ### ### ### 0.2019
0.6 ### ### ### 0.2357
0.7 ### ### ### 0.2673
0.8 ### ### ### 0.2967
0.9 ### ### ### 0.3238
1.0 ### ### ### 0.3485
1.1 ### ### ### 0.3708
1.2 ### ### ### 0.3907
1.3 ### ### ### 0.4082
 
 
 
 
Página 10 de 10 
x2=71 
x =68 
s=3 
Z=? 
 
Calculando el valor de Z 
✎ 
1
65 68
1
3
i
x
x x
Z
s
 
   
 
✎ 
1
71 68
1
3
i
x
x x
Z
s
 
  
 
Calculando el área del centro del modelo hasta Z-1 y Z1 con la tabla 
✎ (Área del centro hasta Z-1)=0.4082 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(Área A) 
✎ (Área del centro hasta Z1)=0.4082 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(Área B) 
 
Calculando el área de Z-1 hasta Z1: 
✎ (Área de Z-1 hasta Z1)= (Área A)+(Área B)= 0.4082+0.4082=0.8164 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(Área C) 
✎ El Área C indica la probabilidad de encontrar alumnos con tallas entre 65 y 71 pulgadas. 
Calculando el número de alumnos 
✎ La probabilidad de tener una talla entre 65 y 71 pulgadas =0.8164 
✎ Número de alumnos = (n)(probabilidad)=(300)(0.8164)=244.92 
 
 
Conclusión 
✎ Dada la normalidad de los datos, se espera que 245 alumnos tengan tallas entre 65 y 71 
pulgadas. 
 
 
 
 
.:. 
59 60.5 62 63.5 65 66.5 68 69.5 71 72.5 74 75.5 77
Valor Y 1 4 14 32 61 88 100 88 61 32 14 4 1
Valor Z -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Valor X 
Centro del 
modelo 
Área A 
=0.4082 
Valor X= 65 
Valor Z= -1 
❹
❶
❶
❹
❸
❹
Area C =Area 
A+Area 
B=0.4082+0.4
082=0.8164 
Es el área 
donde se 
encuentran 
los alumnos 
con más de 
72 pulgadas 
❻
❺
Valor X= 71 
Valor Z= 1 
Área B 
=0.4082 
❺
❷
❷
❶
Área del centro a Z1 
Z 0.00
0.0 0.0000
0.1 0.0398
0.2 0.0793
0.3 0.1179
0.4 0.1554
0.5 0.1915
0.6 0.2257
0.7 0.2580
0.8 0.2881
0.9 0.3159
1.0 0.3413