DISTRIBUCION NORMAL

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Estadística General
SEMESTRE 2020 - II
Distribución Normal
1
Temas para el día de hoy:
Distribución Normal
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Aplicaciones
Logro de la sesión
Al finalizar la sesión el estudiante será capaz hallar la probabilidad de una distribución Normal.
 DISTRIBUCIÓN NORMAL
Se dice que X sigue una ley normal de media µ y varianza σ2, si su función de densidad esta dada por: 
Se denota por X ~ N(µ, σ2), con X en |R
Donde µ es la media y es la desviación estándar σ de la v. a. X
La gráfica nos muestra DOS distribuciones normales con diferentes µ y σ. Las áreas hasta la línea “son equivalentes”
 DISTRIBUCIÓN NORMAL
Propiedades de la curva normal
1) El máximo valor de la curva es en x = µ
2) La curva es simétrica respecto a la recta x = µ
3) La curva es cóncava hacia arriba en ] –o0; µ - σ [ U ] µ + σ ; +o0[ y es cóncava hacia abajo en ] µ - σ ; µ + σ [ .
El área bajo la curva distribuida normal es 1
P(X<k)
P(X>k)
P(k1 < X< k2 )
probabilidad
probabilidad
probabilidad
 
Una distribución normal especial es la normal estándar, es decir, aquella cuyos parámetros son µ=0 y σ2 =1.
En este caso, se dice que Z ~ N(0,1) si su función de densidad esta dada por
Esta distribución se encuentra tabulada.
Si para una distribución normal de media µ y varianza σ2 se requiere evaluar una probabilidad en particular, entonces mediante una transformación de está (llamada estandarización), se lleva a una distribución normal estándar, la cual esta tabulada, y se obtiene la probabilidad buscada.
Estandarización : Consiste el pasa de la variable X a la variable Z de la siguiente manera: 
-o0 0 +o0 z
Valor z se busca en tabla y el valor de tabla es probabilidad
Uso de la tabla z distribución normal estándar valores negativos:
Uso de la tabla z distribución normal estándar valores positivos:
Ejemplo: Calcule la probabilidad en el intervalo P(z ≤ 2,44)
Primero determinamos la probabilidad en la tabla parte positiva, queremos el valor 2,44, en la tabla la primera columna localizo 2,4 y en la primera fila localizo 0,04 que es el segundo digito de Z 
El valor correcto de probabilidad z = 2,44 es 0,9927
Ejemplo: Calcule la probabilidad en el intervalo P(z ≤ -1,75)
Primero determinamos la probabilidad en la tabla parte negativa, queremos el valor -1,75 en la tabla la primera columna localizo -1,7 y en la primera fila localizo 0,05 que es el segundo digito de Z 
El valor correcto de probabilidad z = -1,75 es 0,0401
Ejemplo: Calcule la probabilidad en el intervalo P(z ≥ 2,34)
Primero, como la tabla z toma la probabilidad como el área bajo la curva que este a la izquierda del valor z y la curva normas es simétrica, tomamos el valor simétrico de z que es -2,34 y su área se encontraría hacia la izquierda, entonces calculamos el área de la segunda figura.
Segundo, determinamos en la tabla la primera columna localizo -2,3 y en la primera fila localizo 0,04 que es el segundo digito de Z 
El valor correcto de probabilidad z = 2,34 es 0,0096
Ejemplo: Calcule la probabilidad en el intervalo P( -1,27 ≤ z ≤ 1,42)
Primero, como se observa es un área comprendida entre dos valores z .
Lo que haremos es tomar cada valor y graficarlo.
z = 1,42
z = -1,27
Segundo: geométricamente si restamos las áreas resulta el área pedida como la tabla Z sus valores determinan áreas hacia la izquierda así:
P[-1,27 ≤ z ≤ 1,42) = P[z ≤ 1,42] – P[z ≤ -1,27] Buscamos en la tabla , tenemos:
 = 0,9222 – 0,1020 
P[-1,27 ≤ z ≤ 1,42) = 0,8202 
Otra forma de usar la tabla Z y es conviene cuando no conocemos el valor de z y cuando z es mayor que un valor dado: P(z > 2,34)
 
Primero, como se observa es un área comprendida entre dos valores z .
Ahora, geométricamente usamos resta de áreas 
Área total tiene probabilidad 1
Sabemos que la tabla Z toma valores cuya área que representan es hacia la izquierda, entonces tomamos P[z ≤ 2,34] 
Segundo, si restamos las áreas obtenemos la probabilidad pedida:
P[z > 2,34] = 1 – P[z ≤ 2,34] 
P[z > 2,34] = 1 – P[z ≤ 2,34] 
P[z > 2,34] = 1 – 0,9904 
P[z > 2,34] = 0,096
 
Cierto tipo de batería dura un promedio de tres años, con una desviación estándar de 0,5 años. Suponiendo que las duraciones de las baterías son normalmente distribuidas, encuentre la probabilidad de que una determinada batería dure menos de 2,3 años
Solución
X : duración de la batería X  N(3;0,25)
 
P[X < 2,3] estandarizamos a Z
 
P[X < 2,3] =
 
 
P[X < 2,3] = P[Z < -1,4] = 0,0808
La probabilidad de que una determinada batería dure menos de 2,3 años es de un 0,0808 .
Ejemplo
Una compañía fabrica focos cuya duración es normalmente distribuida con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que un foco dure entre las 778 y 834 horas de uso.
Solución
X : duración de focos X  N(778,1600)
 
P[778 < X < 834] estandarizamos a Z
P[778 < X < 834] =
 
 
P[778 < X < 834] = P[ -0,55 < Z < 0,85] = 
P[778 < X < 834] = P[Z < 0,85] - P[ Z < -0,55 ] = 
P[778 < X < 834] = 0,8023 – 0,2912 =
P[778 < X < 834] = 0,511
La probabilidad de que un foco dure entre las 778 y 834 horas de uso es de un 0,511 
Ejemplo
En una empresa las edades de los trabajadores se distribuye normalmente con media 50 años y desviación estándar es de 5 años.
a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene entre 50 y 52,5 años?
b) ¿Cuál es la probabilidad que un trabajador cualquiera no sea mayor de 45 años?
c) ¿Cuál es la probabilidad que un trabajador tenga entre 41 y 58 años?
d) El 20 % de los trabajadores están bajo cierta edad ¿Cuál es esa edad?
Ejemplo
 
 
b) Si se considera un riesgo para aquellas personas diabéticas que tengan una glicemia en el 2,5% más alto de la distribución ¿a partir de que valor se cae en esa categoría?
Sea X : x el valor pedido:
Entonces nos pide P[X > x] que tenga 2,5% más alto de la distribución, tener presente que 2,5% es la probabilidad que es igual a 0,025
Como el área siempre esta hacia la izquierda tenemos que la probabilidad es 97,5%
Entonces el valor encontrado en la tabla es 0,9750 
Sea N( µ, σ) , nuestra distribución para X , entonces lo estandarizamos a Z, de la siguiente manera:
El valor de X es superior a 113,8
De la tabla normal témenos:
Tareas en el aula virtual
*Resuelve los ejercicios y problemas de la semana 14
*Realiza el cuestionario del tema
Fuentes
Autor(es): Córdova Zamora, Manuel Título: Estadística descriptiva e inferencial Editorial: Moshera
Año: 2001
Código UCSS: ucssJ19-5/c78
Autor(es): Moya C. Rufino; Saravia, A. Gregorio Título: Probabilidades e inferencia estadística Editorial: San Marcos
Año: 2017
Código UCSS: **
Autor(es): Rosa Millones R, Jorge Chue Título: Estadistica descriptiva y probabilidades Editorial: Fondo Editorial
Año: 2017
Código UCSS: **
GRACIAS