lista integracion IV

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Definiciones basicas de la Integral
1. Sean f, g : Q → R funciones acotadas tales que f(x) ≤ g(x) para x ∈ Q. Muestre
que
∫
Q
f ≤ ∫
Q
g y
∫
Q
f ≤ ∫
Q
g.
2. Suponga una funcio´n continua f : Q→ R. Demuestre que entonces f es integrable
en Q.
3. Considere la funcio´n f : [0, 1] × [0, 1] → R definida como f(x, y) = 0 si y 6= x, y
f(x, y) = 1 si y = x. Muestre que f es integrable en [0, 1]× [0, 1].
4. Sean f, g : [0, 1]→ R dos funciones crecientes y no negativas, muestre que entonces
la funcio´n h(x, y) = f(x)g(y) es integrable en [0, 1]× [0, 1].
5. Demuestre el siguiente teorema.
Teorema. Sea una funcio´n acotada f : Q → R. Entonces f es integrable en Q si
y solo si dado un � > 0, existe un δ > 0 tal que S(f, P ) − I(f, P ) < � para toda
particio´n P de medida menor a δ.
Sugerencias.(a) Verifique el ”si”del teorema.
(b) Suponga que |f(x)| ≤ M para x ∈ Q. Tome una particio´n P de Q. Muetsre
que si P ′′ es obtenida por adjuntar un unico punto a la particio´n de uno de los
intervalos que conforman a Q, entonces:
0 ≤ I(f, P ′′)− I(f, P ) ≤ 2M(medida(P ))(ancho(Q))n−1
Derive un resultado similar para las sumas superiores.
(c) Suponga que f es integrable sobre Q. Dado � > 0, escoja una particio´n P ′ tal
que S(f, P ′)− I(f, P ′) < �2 . Tome N como el numero de puntos de la particio´n P ′;
entonces tome:
δ =
�
8MN(ancho(Q))n−1
Muestre que si P tiene medida menor a δ, entonces S(f, P )− I(f, P ) < �.
6. Use el ejercicio anterior para demostrar el siguiente teorema.
Teorema. Tome un afuncio´n acotada f : Q → R. Entonces f es integrable sobre
Q con
∫
Q
f = A si y solo si dado � > 0, existe un δ > 0 tal que si P es un particio´n
de medida menor a δ, y si, para cada subrecta´ngulo R determinado por P , si xR es
un punto de R, entonces: ∣∣∣∣∣∑
R
f(xR)v(R)−A
∣∣∣∣∣ < �
Medida cero
7. Suponga que A tiene medida cero en Rn, responda entonces la siguiente pregunta:
¿Los conjuntos A y ∂A tienen medida cero?
8. Muestre que el conjunto Rn−1 × 0 tiene medida cero en Rn.
1
9. SeaA ⊂ [a, b] un conjunto de medida cero, demuestre que el conjunto {x ∈ [a, b]|x /∈ A}
no tiene medida cero.
10. ¿Tiene el conjunto de los irracionales contenidos en [0, 1] medida cero en R?
11. Muestre que si A es un conjunto compacto de Rn y A tiene medida cero en Rn,
entonces dado � > 0, existe una coleccio´n finita de recta´ngulos {Q1, · · · , Qn} de
volumen menor a � y que adema´s cubren a A, es decir que:
n∑
i=1
v(Qi) < �,A ⊆
n⋃
i=1
Qi
12. Muestre que el conjunto
{
(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1} tiene medida cero.
13. Sea una funcio´n f : [a, b]→ R. La grafica de f es el conjunto:
Gf = {(x, y)|y = f(x)} ⊆ R2
Muestre que si f es continua, entonces Gf tiene medida cero en R2.
14. Sea Q un recta´ngulo en Rn; Sea f : Q→ R una funcio´n acotada. Muestre que si f
se anula exepto sobre un conjunto cerrado B de medida cero, entonces
∫
Q
f existe
y es igual a cero.
15. Sea un recta´ngulo Q ⊂ Rn; sea f : Q→ R; asuma que f es integrable sobre Q.
(a) Muestre que si f(x) ≥ 0 para x ∈ Q, entonces ∫
Q
f ≥ 0.
(b) Muestre que si f(x) > 0 para x ∈ Q, entonces ∫
Q
f > 0.
16. Muestre que si Q1, Q2, · · · , es una coleccio´n numerable de rectangulos que cubren
a Q, entonces v(Q) ≤
∞∑
i=1
v(Qi).
Teorema de Fubini
17. Considere la funcio´n f : [0, 1]× [0, 1]→ R como F (x, y) = 1q si y es racional y x = pq
con p, q primos relativos; tome f(x, y) = 0 en caso contrario.
(a) Muestre que f es integrable en [0, 1]× [0, 1].
(b) Calcule
∫
y∈[0,1]f(x, y) y
∫
y∈[0,1]f(x, y).
(c) Verifique el Teorema de Fubini para esta funcio´n.
18. Tome Q = A × B, donde A es un recta´ngulo en Rk y B es un recta´ngulo en Rn.
Sea f : Q→ R una funcio´n acotada.
(a) Sea g una funcio´n tal que:∫
y∈B
f(x, y) ≤ g(x) ≤
∫
y∈B
f(x, y)
2
para todo x ∈ A. Muestre que si f es integrable sobre Q, entonces g es integrable
sobre A, y que adema´s
∫
Q
f =
∫
A
g.
(b) Dar un ejemplo donde
∫
Q
f exista y una de las integrales interadas:∫
x∈A
∫
x∈B
f(x, y),
∫
x∈B
∫
x∈A
f(x, y)
exista, pero la otra no.
(c) Encuentre un ejemplo donde ambas integrales iteradas de (b) existan, pero la
integral
∫
Q
f no. (Sugerencia. Encuentre un subconjunto S de Q tal que S = Q, tal
que adema´s S contiene a lo mas un punto sobre cada linea vertical y en a lo mas
uno sobre cada linea horizontal).
19. Tome un conjunto abierto A ⊂ R2; sea una funcio´n f : A → R de clase C2. Tome
Q un recta´ngulo contenido en A.
(a) Use el teorema de fubini y el teorema fundamental del calculo para mostrar que:∫
Q
∂2f
∂yx
=
∫
Q
∂2f
∂xy
(b)Demuestre que ∂
2f
∂yx =
∂2f
∂xy .
20. Sea la funcio´n f : [0, 1]× [0, 1]→ R definida por:
f(x, y) =
{
1 x racional
2y x irracional
Mostrar que la integral iterada
∫ 1
0
[∫ 1
0
f(x, y)dy
]
dx existe pero f no es integrable.
21. Calcular el volumen del so´lido acotado por la gra´fica z = x2y, el recta´ngulo R =
[0, 1]× [1, 2] y los ¨lados verticales¨ de R.
22. Calcular el volumen del so´lido acotado por el plano xz, el plano yz, el plano xy, los
p‘lanos x = 1 y y = 1, y la superficie z = x2 + y4.
23. Calcular el volumen del so´lido acotado por la superficie z = sen(y), los planos
x = 1, x = 0, y = 0, y = pi2 y el plano xy.
24. Construyamos una funcio´n en la cual falla el teorema de Fubini. Comienze dividi-
endo el cuadrado unitario [0, 1]× [0, 1] en una infinidad de recta´ngulos de la forma
[ 1m+1 ,
1
m ]× [ 1n+1 , 1n ]. Defina f de manera que el volumen bajo la gra´fica de f sobre
cada recta´ngulo tome valores de acuerdo con la tabla siguiente:
3
· · · 132 116 18 14 12 −1
· · · 116 18 14 12 −1 0
· · · 18 14 12 −1 0 0
· · · 14 12 −1 0 0 0
...
...
...
...
...
...
Definir f como cero en (0, 0). Cada renglo´n suma cero, de modo que al sumar
los renglones y despue´s las columnas da como resultado cero. Por otro lado, las
columnas suman:
· · · − 1
32
− 1
16
− 1
8
− 1
4
− 1
2
− 1,
de modo que al sumar las columnas y despue´s los renglones da como resultado −2.
Por que´ no se cumple el teorema de Fubini para esta funcio´n?
Integracio´n sobre regiones mas generales
25. Sean f, g : S → R, donde S ⊂ Rn es un conjunto acotado. Asuma que f, g son
integrables sobre S.
(a) Muestre que si f y g coinciden salvo sobre un conjunto de medida cero, entonces:∫
S
f =
∫
S
g
(b) Muestre que si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ S y ∫
S
f =
∫
S
g, entonces f y g
coinciden salvo en un conjunto de medida cero.
26. Sea A un recta´ngulo en Rk; tome B un recta´ngulo en Rn; tome Q = A × B. Sea
f : Q→ R una funcio´n acotada. Muestre que si ∫
Q
f existe, entonces:∫
y∈B
f(x, y)
existe para todo x ∈ A−D, donde D es un conjunto de medida cero en Rk.
27. Sean S1 y S2 conjuntos acotados en Rn; tome f : S1∪S2 → R una funcio´n acotada.
Muestre que si f es integrable sobre S1 y S2, entonces F es integrable sobre S1−S2,
y adema´s: ∫
S1−S2
f =
∫
S1
−
∫
S1∩S2
f
28. Sea un conjunto acotado S ⊂ Rn; Sea adema´s una funcio´n continua y acotada
f : S → R; Sea A = Int(S). Proporcione un ejemplo donde ∫
A
f exista y
∫
S
f no.
4
29. Demuestre el siguiente teorema.
Teorema. Sea S un conjunto acotado en Rn; Sea una funcio´n acotada f : S → R.
Tome D como el conjunto de puntos de S en los cuales f no es continua. Sea adema´s
el conjunto:
E =
{
x0 ∈ ∂| l´ım
x→x0
f(x) 6= 0
}
Demuestre que
∫
S
f existe si y solo si D y E tienen medida cero.
Sugerencias.
(a) Muestre que fS es continua en cada punto x0 ∈ D ∪ E.
(b) Tome el conjunto B de puntos aisalados de S; entonces B ⊂ E porque el limite
no puede ser definido si x0 no es un punto limite de S. Muestre que si fS es continua
en x0, entonces x0 /∈ D ∪ (E −B).
(c) Muestre que B es contable.
Conjuntos Rectificables
30. SeaS un conjunto acotado en Rn que es la union de una coleccion contable de
conjuntos rectificables S1, S2, · · ·
(a) Muestre que S1 ∪ · · · ∪ Sn es rectificable.
(b) Proporcione un ejemplo que muestre que S no es necesariamente rectificable.
31. Muestre que si S1 y S2 son rectificables, entonces S1−S2 tambien es rectificable, y
adema´s:
v(S1 − S2) = v(S1)− v(S1 ∩ S2)
32. Muestre que si A es un conjunto no vacio, rectificable y abierto en Rn, entonces
v(A) > 0.
33. Proporcione un ejemplo de un conjunto acotado de medida cero que es rectificable
y un ejemplo de un conjunto acotado de medida cero que no es rectificable.
34. Encuentre un ejemplo de un conjunto acotado y cerrado en R que no es rectificable.
35. Sea A un conjunto abierto y acotado en Rn; sea f : Rn → R una funcio´n continua
y acotada. Proporcione un ejemplo donde
∫
A
f exista pero
∫
A
f no.
36. Sea S un conjunto acotado en Rn.
(a) Muestre que si S es rectificable, entonces tambien lo es el conjunto S y adema´s
v(S) = v(S).
(b) Proporcione un ejeplo donde S y Int(S) son rectificables,pero S no.
37. Sean A,B recta´ngulos en Rk y Rn, respectivamente. Tome S como un conjunto
contenido en A×B. Para cada y ∈ B, tome:
Sy = {x|x ∈ A, (x, y) ∈ S}
Al conjunto Sy le llamaremos una seccio´n cruz de S. Muestre que si S es rectificable
para cada y ∈ B, entonces:
v(S) =
∫
y∈B
v(Sy)
Integrales Impropias
5
38. Considere la funcio´n f(x) = 1x−y y sea la regio´n:
D =
{
(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < x}
. Muestre que f no es integrable en D.
39. Evaluar las siguientes integrales, en caso de que existan.
(a)
∫
D
1√
xy , D = (0, 1)× (0, 1).
(b)
∫
D
1√
|x−y| , D = (0, 1)× (0, 1)− {(x, y) : x = y}.
(c)
∫
D
y
x , D acotada por x = 1, x = y, x = 2y.
40. Investigue la existencia o no de la integral:∫
D
sen2(x− y)√
1− x2 − y2
donde D es el disco unitario D =
{
(x, y) : x2 + y2 < 1
}
.
41. Tome f : R → R como la funcio´n f(x) = x. Muestre que , dado λ ∈ R, existe una
sucesio´n CN de subconjuntos compactos rectificables de R cuya union es R, y tales
que CN ⊂ Int(CN+1) para cada N y
l´ım
n→∞
∫
CN
f = λ
¿Existe la integral extendida
∫
R f?
42. Tome un conjunto abierto A en Rn; sean f, g : A → R continuas; suponga que
|f(x)| ≤ g(x) para cada x ∈ A. Muestre que si ∫
A
g existe, entonces
∫
A
f tambie´n.
(Este resultado es analogo a la llamada prueba de comparcio´n para la convergencia
de series infinitas).
43. Tome C = {(x, y)|x > 0, y > 0}. Tome
f(x, y) =
1
(x2 +
√
x)
(
y2 +
√
y
)
Muestre que
∫
C
f existe.
44. Tome f(x, y) = 1(y+1)2 . Sean A y B los conjuntos abiertos de R
2:
A = {(x, y)|x > 0, x < y < 2x}
B =
{
(x, y)|x > 0, x2 < y < 2x2}
Muestre que
∫
A
f no existe; muestre que
∫
B
f existe y caculela.
45. Tome f(x, y) = 1x√xy para x > 0,y > 0. Tome:
A0 = {(x, y)|0 < x < 1, x < y < 2x}
B0 =
{
(x, y)|0 < x < 1, x2 < y < 2x2}
Determine cual de las integrales
∫
A0
f y
∫
B0
f existe.
6
46. Tome A el conjunto de R2 definido por:
A =
{
(x, y)|x > 1, 0 < y < 1
x
}
Calcule
∫
A
1
x
√
y si esta existe.
47. Tome un conjunto acotado, abierto A en Rn. Sea f : A → R una funcio´n continua
acotada. Tome Q un recta´ngulo contenido en A. Muestre que:∫
A
f =
∫
Q
(f+)A −
∫
Q
(f−)A
Particiones de la Unidad.
48. Dado un entero n ≥ 0, defina la funcio´n fn : R→ R por la ecuacio´n:
fn(x) =
{
e−
1
x
xn para x > 0
0 para x ≤ 0 }
(a) Muestre que fn es continua en 0. Sugerencia: Muestre que a < ea para todo a.
Tome a = t2n para concluir que:
tn
et
<
(2n)n
e
t
2
Tome t = 1x y tome x aproximandose a 0 por valores positivos.
(b) Muestre que fn es diferenciable en cero.
(c) Muestre que f ′n(x) = fn+2(x)− nfn+1(x) para todo x.
(d) Muestre que fn es de clase C∞.
49. Tome f : R→ R definida por la ecuacio´n
f(x) =
{
1+cos(x)
2 para − pi ≤ x ≤ pi;
0 caso contrario
}
Para cada entero m ≥ 0, defina φ2m+1(x) = f(x −mpi). Para cada entero m ≥ 1,
tome φ2m(x) = f(x+mpi). Muestre que las funciones {φi} forman una particion de
la unidad de R. Sugerencia. Tome fm(x) = f(x−mpi), para todo entero m. Muestre
que
∑
f2m(x) =
1+cos(x)
2 . Encuentre adema´s
∑
f2m+1(x).
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